Regola di Ruffini - Prof. Sergio Vitale

Teorema di Ruffini e regola di Ruffini
Teorema 3 (di Ruffini , solo enunciato)
Sia A(x) un polinomio e x – c un binomio.
Se e solo se (condizione necessaria e sufficiente) A(c) = 0
Allora A(x) è divisibile per x - c
Es. 1: (6 x 2 − 5 x − 14) : ( x − c)
Determiniamo per quale valore di c il polinomio è divisibile:
per c = 1 (6(12 ) − 5(1) − 14) = −13 non è divisibile
per c =-1 (6(−12 ) − 5(−1) − 14) = −3 non è divisibile
per c = 2 (6(2 2 ) − 5(2) − 14) = 0 è divisibile
Es. 2: ( x 3 + 2 x − 3) : ( x − c)
Determiniamo per quale valore di c il polinomio è divisibile:
per c = 1 (13 + 2(1) − 3) = 0 è divisibile
Es. 3
Mostriamo che : x n − a n è sempre divisibile per x – a qualunque sia l’ intero positivo n.
Infatti: a n − a n = 0
Es. 4
Mostriamo che : x n + a n non è mai divisibile per x – a
Infatti: a n + a n = 2a n
Regola di Ruffini:
Si consideri la seguente divisione: (2 x 3 − 5x 2 + 3x + 1) : ( x − 2)
Seguendo le consuete procedure otteniamo: 2x2 – x + 1 con resto di 3.
Lo schema di Ruffini prevede i seguenti passi:
1)
Si forma la seguente figura, simile a un quadrato:
con in alto i coefficienti del polinomio e a destra
della seconda linea verticale il termine noto.
2) Si scrive il termine noto del dividendo,
cambiandolo di segno, a sinistra,
prima della prima linea verticale
appena sopra la linea orizzontale
3) Si “abbassa “ il primo coefficiente portandolo
sotto la linea orizzontale
4) Si moltiplica il
termine noto
il valore
lo si scrive
polinomio.
il risultato
del binomio per
del primo coefficiente “abbassato” e
sotto il secondo coefficiente del
Si esegue la somma algebrica e
si scrive sotto la linea orizzontale
5) Si procede allo stesso modo per il terzo
coefficiente e per il termine noto. L’ ultimo valore
ottenuto sotto il termine noto del polinomio a
destra della seconda retta verticale è il resto.
I valori ottenuti sono i coefficienti del
polinomio quoziente e il resto dell operazione.
Abbiamo ottenuto:
(2 x 3 − 5x 2 + 3x + 1) : ( x − 2) = 2 x 2 − x + 1 col resto di 3
Es. 1
Eseguiamo : (3x 5 − 5x 2 + 2) : ( x − 1)
Abbiamo ottenuto:
(3x 5 − 5x 2 + 2) : ( x − 1) = 3x 4 + 3x 3 + 3x 2 − 2 x − 2 senza resto (R = 0)
Es. 2
a
Eseguiamo: ( x 4 + 2ax 3 − 4a 2 x 2 − a 3 x) : ( x + )
2
a
3a 2 19a 2
11a 3
11a 4
Abbiamo ottenuto: ( x 4 + 2ax 3 − 4a 2 x 2 − a 3 x) : ( x + ) = x 3 +
; R=−
x −
x+
2
2
4
8
16