scomposizione mediante il teorema del resto di ruffini

Scomposizione mediante la regola di Ruffini
SCOMPOSIZIONE MEDIANTE IL TEOREMA DEL RESTO DI RUFFINI
Si deve scomporre il seguente polinomio:
A(x) = 3x3 – 4x2 – 17x +6
Il polinomio A(x) lo si deve scrivere prodotto fra un binomio, del tipo (x – a), ed un
polinomio P(x).
A(x) = 3x3 – 4x2 – 17x +6 = (x – a)⋅(
P(x) )
Pertanto il problema consiste nel trovare il valore di a ed il polinomio P(x). Quindi
a=?
P(x) = ?
Per trovare il valore di a si fa uso del teorema del resto di Ruffini 1 . Per poter applicare tale
teorema è necessario ordinare in senso decrescente il polinomio A(x) e, successivamente,
scomporre in fattori primi il termine noto del polinomio (nell’esempio il termine noto è 6). Si
scrivono tutti i divisori del termine noto sia con il segno positivo sia con il segno negativo. Nel caso
dell’esempio si ha
6 → divisori = ⎨+1, -1, +2, -2, +3, -3, +6, -6⎬
La procedura per l’applicazione del teorema del resto è la seguente:
1. Si prende un divisore del 6, ad esempio il numero +1.
2. Si sostituisce tale valore alla variabile x del polinomio A(x):
A(x =1) = 3⋅(+1)3 - 4⋅(+1)2 - 17⋅(+1) + 6
3. Eseguendo i calcoli si ottiene:
A(+1) = 3⋅1 - 4⋅1 - 17⋅1 + 6 = -12
4. Il numero (-12) è il resto della divisione fra il polinomio A(x) ed il binomio (x – 1). Poiché è
diverso da zero, allora vuol dire che il binomio (x – 1) non è un divisore del polinomio A(x).
Pertanto bisogna scegliere un altro divisore del numero 6.
5. Si prende il numero (-1), si ripete la procedura eseguita nei passi 2, 3 e 4.
A(x = -1) = 3⋅(-1)3 - 4⋅(-1)2 - 17⋅(-1) + 6
A(x) = = 3⋅(-1) - 4⋅(+1) - 17⋅(-1) + 6 = + 16
6. Il numero (-1) è il resto della divisione fra il polinomio A(x) ed il binomio (x – (-1)) = ( x
+ 1). Poiché il resto è diverso da zero, il binomio (x + 1) non è un divisore del polinomio
A(x). Pertanto bisogna scegliere un altro divisore del 6.
7. Si prende il numero (-2), si ripete la procedura eseguita nei passi 2, 3 e 4.
A(x = -2) = 3⋅(-2)3 - 4⋅(-2)2 - 17⋅(-2) + 6
A(x) = = 3⋅(-8) - 4⋅(+4) - 17⋅(-2) + 6 = 0
Il numero zero, 0, è il resto della divisione fra il polinomio A(x) ed il binomio (x – (-2)) = (x
+ 2). Poiché il resto è uguale a zero, allora vuol dire che il binomio (x + 2) è un divisore del
polinomio A(x). La ricerca, per il momento parziale, del numero da attribuire alla variabile a è
terminata. Quindi
a= -2
8. Trovato un binomio divisore del polinomio A(x), è necessario determinare il polinomio
P(x). Questo polinomio lo si trova eseguendo la divisione mediante il metodo di Ruffini.
9. Il polinomio A(x) è
A(x) = 3x3 – 4x2 – 17x +6
Si prendono i coefficienti del polinomio A(x) e li si dispongono nel seguente modo:
1
Teorema del resto di Ruffini: Un polinomio A(x) è divisibile esattamente per il binomio x – c se, e soltanto se,
risulta A(c) = 0. Cioè, se nel polinomio A(x) alla variabile x si sostituisce il valore numerico c, il valore del polinomio
A(x = c) è zero.
1
Scomposizione mediante la regola di Ruffini
3
-4
-17
+6
3
-6
10
+20
+3
-6
0
-2
Il tre (3) in grassetto viene riportato in basso e scritto in corsivo (3). Si moltiplica il numero (-2),
che è il valore della a, per il numero (3). Si ottiene il numero (-6) che viene riportato sotto il
numero (-4). Si esegue l’addizione tra i due numeri (-4 –6), la somma è (-10) e viene scritta sotto
la linea orizzontale. Si ripetono le operazioni di moltiplicazione e di addizione e si ottengono i
valori riportati nel grafico. Il numero zero (0) che compare nell’angolo in basso a destra è il resto
della divisione tra il polinomio A(x) ed il binomio (x +2).
10. Il quoziente Q(x) della divisione tra il polinomio A(x) ed il binomio (x + 2) non è altro che
il polinomio P(x) che si sta cercando. Pertanto si ha
Q(x) = 3x2 – 10x + 3 = P(x)
11. Pertanto, considerando solo questa prima fase della scomposizione, si ha:
A(x) = 3x3 – 4x2 – 17x +6 = (x + 2)⋅(3x2 – 10x + 3)
12. Il polinomio A(x) è formato da due fattori: il primo, (x + 2), è un binomio di primo grado,
perciò non ulteriormente scomponibile; il secondo, (3x2 – 10x + 3), è un polinomio di
grado superiore al primo e potrebbe essere ulteriormente scomposto.
13. Per la scomposizione del polinomio P(x) = 3x2 – 10x + 3 si utilizzano le stesse procedure
eseguite perla scomposizione del polinomio A(x).
14. Il polinomio P(x) = 3x2 – 10x + 3 lo si deve scrivere nel seguente modo:
P(x) = 3x2 – 10x + 3 = (x – b)⋅( B(x) )
Quindi bisogna trovare sia il valore di b sia il valore del polinomio B(x).
15. Per trovare il valore di b si applicano le procedure 2, 3, 4, 5, 6, 7.
16. Il divisore del termine noto 3 sono:
3 → divisori = ⎨+1, -1, +3, -3⎬
17. Poiché i valori 1 e –1 fornivano resti diversi da zero per il polinomio A(x), lo stesso succede
per il polinomio P(x). Quindi i due valori possono essere non presi in considerazione. Si
passa, pertanto, agli altri divisori.
18. Si prende il numero e lo si sostituisce alla variabile x del polinomio P(x):
P(x = 3) = 3x2 – 10x + 3 = 3⋅(3)2 – 10⋅(3) + 3= 0
19. Poiché il resto della divisione è zero, il polinomio P(x) è divisibile per il binomio (x – (3))
= (x - 3).
20. Il quoziente, B(x), viene calcolato con la regola di Ruffini.
3
3
-10
3
3
9
-1
-3
0
Il quoziente è:
B(x) = 3x –1
pertanto
P(x = 3) = 3x2 – 10x + 3 = (x – 3)⋅(3x –1)
21. In conclusione, il polinomio A(x) è stato scomposto nei seguenti fattori:
A(x) = 3x3 – 4x2 – 17x +6 = (x +2)⋅(x ⋅ 3)⋅(3x –1)
Tutti i fattori sono binomi di primo grado, perciò essi non sono ulteriormente scomponibili. Il
problema è terminato.
2