problemi area e perimetro

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PROBLEMI AREA - PERIMETRO
LA MUCCA DI NONNA PAPERA (Cat. 3, 4) (15°,I, 4)
Gli alberi del frutteto di Nonna Papera sono allineati molto bene. Essi sono rappresentati dai punti
neri nella figura qui sotto.
Lunedì mattina, Nonna Papera ha fatto un recinto per consentire alla sua mucca Ortensia di brucare
l’erba che cresce sotto gli alberi. Ha utilizzato 8 pali di legno, 4 più lunghi e 4 più corti, che ha
sistemato tra 8 tronchi di alberi, in modo da collegare un tronco ad un altro.
Lunedì sera, Ortensia ha mangiato tutta l’erba del recinto, ma ha ancora fame.
Martedì mattina, Nonna Papera fa un nuovo recinto, più grande di quello di lunedì, utilizzando gli
stessi 8 pali. Ortensia avrà così più erba da mangiare.
Martedì sera, Ortensia ha mangiato di nuovo tutta l’erba del recinto, ma ha ancora fame.
Piantina del frutteto di Nonna Papera
con la posizione dei recinti di lunedì e martedì
Aiutate Nonna Papera e disegnate un recinto per mercoledì ed un altro per giovedì, via via più
grandi, per dare ogni giorno più erba ad Ortensia.
Ma attenzione, dovete ogni volta collegare tra loro 8 alberi, utilizzando sempre gli stessi 8 pali.
Spiegate perché il vostro recinto di mercoledì è più grande di quello di martedì e il vostro
recinto di giovedì è più grande di quello di mercoledì.
ANALISI A PRIORI
Ambito concettuale
- Geometria: proprietà di figure chiuse, confronto di lunghezze
- Misura: ricerca di un’unità comune per l’area
Analisi del compito
-
Interpretare la piantina del frutteto ed individuarvi gli alberi, i pali e i diversi recinti.
-
Osservare i perimetri dei recinti e riconoscere che ci sono due tipi di pali, quelli la cui lunghezza corrisponde ad un
lato di un «quadretto» o a una sua diagonale. Constatare che ciascun perimetro è composto da quattro pali di
ciascuno dei due tipi.
- Comprendere che le espressioni «quello che c’è da mangiare» nel recinto, o «più grande», si riferiscono all’area del
recinto il cui perimetro è sempre lo stesso e la cui forma non sembra debba essere presa in considerazione. Cercare
allora di confrontare le aree per verificare che tale grandezza è aumentata e cercare di trovarne una più grande.
- Trovare che le aree dei recinti possono essere espresse in «quadrati» e/o in «triangoli» (metà dei quadrati). Per
esempio, l’area del recinto del lunedì vale 2 quadrati interi e 4 triangoli, quella del recinto del martedì vale 3
quadrati interi e 4 triangoli.
- Cercare una disposizione dei pali che dia un’area più grande (4 quadrati e 4 triangoli, poi 5 quadrati e 4 triangoli)
tenendo conto delle tre condizioni:
aumento dell’area da martedì a mercoledì (scoperta di una delle forme A, B, C, D)
aumento dell’area da mercoledì a giovedì
rispetto delle lunghezze dei pali (4 «lati», 4 «diagonali»)
Alcune soluzioni per il mercoledì (A, B, C, D) e la soluzione per il giovedì (E).
-
Fornire una spiegazione che mostri che c’è un conteggio dei quadrati o dei triangoli o del numero dei punti interni
(secondo il teorema di Pick, l’area in quadrati vale il numero dei punti interni + la metà del numero dei punti sulla
frontiera – 1. Gli alunni non lo possono conoscere, ma l’intuizione «più alberi ci sono all’interno, più grande è
l’area» è da accettare come spiegazione).
Attribuzione dei punteggi
4 Risposta completa (due figure trovate in progressione, rispetto delle lunghezze dei pali) con spiegazione
3 Risposta completa, con spiegazione non chiara o assente
2 Risposta parziale con due delle tre condizioni precedenti (per esempio, due figure in progressione di 8 «diagonali»)
1 Risposta parziale con una sola delle tre condizioni precedenti
0 Incomprensione del problema
Livello: 3, 4
Origine: C.I.
LA CORDICELLA (Cat. 4, 5) (15°, F, 7)
Annamaria ha teso una cordicella su un’asse
chiodata rettangolare.
Vede che la cordicella:
- forma un rettangolo i cui lati sono
paralleli a quelli della tavoletta
- tocca 22 chiodi
- circonda 18 quadretti interi
Disegnate una cordicella che, come la precedente:
- formi un rettangolo i cui lati siano paralleli a quelli dell’asse
- tocchi sempre 22 chiodi
- ma circondi il maggior numero possibile di quadretti interi.
Siete sicuri d’aver trovato il rettangolo che contiene il maggior numero di quadretti?
ANALISI A PRIORI
Ambito concettuale
- Aritmetica: addizione, moltiplicazione
- Geometria: rettangolo, approccio alle nozioni di perimetro e area
Analisi del compito
-
Verificare i dati dell’enunciato: 22 chiodi e 18 quadretti
Pensare che il rettangolo potrebbe essere più lungo o più largo e rendersi conto che se si aumenta la lunghezza, la
larghezza diminuisce e reciprocamente, se diminuisce la lunghezza la larghezza aumenta toccando egualmente lo
stesso numero di chiodi (il perimetro è conservato).
- Constatare che il numero dei quadretti interni varia secondo i rettangoli e annotare i risultati, superando le difficoltà
ad esprimere le lunghezze dei lati
lunghezza*:
10
9
8
7
6
5
...
larghezza*:
1
2
3
4
5
6
...
chiodi toccati (perimetro*)
22
22
22
22
22
22
...
quadretti circondati (area)
10
18
24
28
30
30
...
- Spiegare che il numero dei quadretti varia, secondo i calcoli o i tentativi, che è possibile circondarne 24, poi 28, poi
30 e disegnare il rettangolo da 5 per 6 come soluzione. Visto che le dimensioni sono espresse in numeri interi, il
numero di tentativi è limitato e permette di essere sicuri che la soluzione trovata sia quella ottimale.
4 Disegno di un rettangolo 5 x 6 con spiegazione del perché è il rettangolo più grande (lista dei rettangoli il cui
perimetro è 22, il rettangolo che ha l’area più grande è quello che più si avvicina al quadrato,...)
3 Soluzione corretta, senza spiegazioni pertinenti
2 Disegno di un rettangolo 7 x 4
1 Inizio di ricerca coerente o non rispetto di un vincolo
0 Incomprensione del problema...
Livello: 4, 5
Origine : C.I.
* I bambini potrebbero non usare necessariamente i termini «lunghezza» e «larghezza» e potrebbero riferirsi al
«numero di chiodi». Per esempio, potrebbero considerare il rettangolo la cui area è 30 come “ 6 x 5” oppure come
quello che ha “7 chiodi e 6 chiodi” in lunghezza e in larghezza. Dai chiodi al perimetro considerato come una
grandezza continua (una lunghezza), c’è ancora tutta una costruzione da elaborare, ma qui il disegno della cordicella
elimina le ambiguità.
DA UN RECINTO ALL’ALTRO (Cat. 7, 8, 9, 10) (14°, F, 14)
Con 60 metri di rete, il signor Pastorelli ha costruito un recinto per le pecore di forma rettangolare;
le misure dei lati sono espresse in metri da numeri interi.
Poiché ora ha comprato altre pecore, il signor Pastorelli acquista altri 6 m di rete per ingrandire il
recinto e con i 60 metri del suo primo recinto, ne costruisce uno nuovo ancora di forma rettangolare.
Egli osserva che una delle dimensioni del nuovo rettangolo misura 6 metri di più del primo e che
l’altra dimensione è diminuita di 3 metri, mentre l’area è aumentata di 90 m2.
Quanto misurano i lati del primo recinto rettangolare?
Spiegate come avete trovato le vostre risposte.
ANALISI A PRIORI
Ambito concettuale
- Geometria: rettangolo, perimetro, area
- Aritmetica: addizione e moltiplicazione
- Algebra: equazioni e sistemi di equazioni
Analisi del compito
-
-
Rendersi conto che esiste una famiglia di rettangoli con perimetro 60 m e un’altra famiglia con perimetro 66 m.
Procedere per tentativi organizzati a partire dalla decomposizione del numero 30 nella somma di due interi e stilare
una tabella del tipo:
lati del 1° rettangolo
lati del 2° rettangolo
area del primo
area del secondo differenza delle aree
15 e 15
12 e 21
225
252
27
16 e 14
13 e 20
224
260
36
17 e 13
14 e 19
221
266
45
…
…
…
…
…
21 e 9
18 e 15
189
270
81
22 e 8
19 e 14
176
266
90
23 e 7
20 e 13
161
260
99
Concludere che 22 m ed 8 m sono i lati del primo rettangolo.
-
Oppure: procedere per via algebrica aiutandosi con un
disegno che mostri il “passaggio” dal primo al
secondo rettangolo, come in figura.
Indicata con x la misura di uno dei lati del rettangolo
iniziale, si può impostare l’equazione
(x +6) [(30-x)-3] = x(30-x) + 90, dalla quale si
ottiene 9x = 72, da cui x = 8.
- Oppure: impostare un sistema con le due equazioni
x+y=30 e (x+6)(y-3)=90+xy dove x e y indicano
rispettivamente l’altezza e la base del rettangolo iniziale.
6
x
Attribuzione dei punteggi:
4 Risposta corretta (8 m e 22 m) con spiegazione chiara del procedimento
3 Risposta corretta con spiegazione incompleta o poco chiara
2 Risposta corretta senza spiegazione
oppure procedimento corretto ma errore di calcolo
1 Tentativi o ragionamenti che mostrano una comprensione iniziale del problema
Livello: 7, 8, 9, 10
Origine:Siena e Parma
3
30 - x
IL CAMPO INGRANDITO (Cat. 5, 6, 7) (15°,II, 11)
Giuliano possiede un terreno quadrato recintato. Decide di ingrandirlo in modo che il terreno sia
ancora quadrato e abbia ciascun lato con un metro in più. In questo modo la superficie del suo
campo viene aumentata di 41 m2.
Quale era la lunghezza dei lati del vecchio terreno di Giuliano?
Ora che il terreno è più grande, il recinto di prima non è più sufficiente: quanti metri di
recinzione mancano?
ANALISI A PRIORI
Ambito concettuale
- Geometria: perimetro e area di un quadrato, area del rettangolo
- Aritmetica: addizione, moltiplicazione
Analisi del compito
-
Per esempio fare un disegno come uno di questi:
- Constatare che il recinto deve essere allungato di 4 volte 1 metro
Oppure: ricordarsi che il perimetro di un quadrato vale 4 volte la lunghezza
di un lato e se il lato aumenta di 1 metro, il perimetro deve essere aumentato
di 4 metri.
Oppure, scomporre la parte nuova in due rettangoli e un quadratino di 1 metro di lato.
I due rettangoli hanno per area insieme 41-1 = 40 m2.
Avendo la stessa lunghezza (il lato del vecchio campo) e la stessa larghezza (1 m), hanno la stessa area, che vale per
ciascuno di essi 20 m2.
I lati del vecchio campo misurano dunque 20 m.
Oppure: stilare un inventario organizzato facendo variare il lato, per determinare la soluzione corrispondente:
misura del vecchio lato (in m)
16
...
20
...
21
misura del nuovo lato (in m)
17
...
21
...
22
2
differenza delle aree (in m ) 289 – 256 = 33
...
441 – 400 = 41
...
484 – 441 = 43
E rendersi conto che le differenze dei due quadrati aumentano di 2 in 2 e che c’è una sola soluzione.
4 Soluzione completa: 20 m e 4 m, con spiegazione
3 Soluzione completa, con spiegazione incompleta
2 Soluzione completa: 20 m e 4 m, senza alcuna spiegazione
o con errore di calcolo, ma con spiegazione
oppure risposta corretta alla prima domanda con spiegazione e risposta 24 m (1+20+1+1+20+1) alla seconda
1 Inizio di ricerca coerente, riposta giusta ad una delle due domande
0 Incomprensione del problema o risposte errate
Livello: 5, 6, 7
Origine: Franche-Comté
TRE AMICI E I LORO DISEGNI (Cat. 4, 5, 6) (20°, II, 6)
Tre amici, Anna, Bea e Carlo, hanno disegnato queste tre figure su un foglio di “carta punteggiata”.
La figura di Anna ha la stessa area di quella di Bea e lo stesso perimetro di quella di Carlo.
Qual è la figura di Anna? Spiegate la vostra risposta.
Ora disegnate, accanto alle figure dei tre amici, un’altra figura che abbia la stessa area e lo
stesso perimetro di quella di Anna.
ANALISI A PRIORI
Ambito concettuale
-
Geometria: proprietà di figure chiuse, confronto di misure di lunghezze e aree
Misura: confronto “intuitivo” fra il lato e la diagonale di un quadrato, ricerca di un’unità comune per l’area
Analisi del compito
- Osservare i perimetri delle tre figure e riconoscere che ci sono due tipi di segmenti, quelli la cui lunghezza
corrisponde ad un lato (l) di un «quadretto» e quelli la cui lunghezza corrisponde ad una sua diagonale (d).
- Per ogni figura, contare questi due tipi di segmenti e trovarne i perimetri: ottagono, 4d + 4l; pentagono, 2d + 8l;
esagono, 2d + 8l; oppure effettuare misure con l’aiuto di una riga graduata.
- Trovare le aree delle tre figure contando i quadretti (q) e i mezzi quadretti: ottagono, 7q; pentagono, 7q; esagono,
5q; oppure confrontare le aree per ritagli e sovrapposizioni.
- Stabilire che la figura di Anna è il pentagono.
- Fornire una spiegazione che mostri come sono stati determinati perimetri ed aree.
- Per disegnare una figura avente la stessa area e lo stesso perimetro di quello di Anna, cercare una disposizione di 2
segmenti di tipo d e 8 segmenti di tipo l che dia un’area di 7 q. Ci sono varie figure possibili, come ad esempio, le
seguenti:
Punteggio massimo:
4 Risposta completa: è individuata la figura di Anna (pentagono), con spiegazione corretta e completa, ed è disegnata
una figura con le stesse caratteristiche di quella di Anna
Livello: 4, 5, 6
Origine: Gruppo geometria piana, a partire dal problema n. 4 della I prova del 15° RMT
IL PAVIMENTO DECORATO (Cat. 5, 6) (16°,II, 8)
Il pavimento della camera di Alice ha la forma di un rettangolo i cui lati misurano esattamente 360
cm e 480 cm.
Alice vuole ricoprire il pavimento con mattonelle di legno di forma quadrata di 20 cm di lato, in
modo da formare il disegno seguente:
480
A
C
B
360
-
La parte A (in grigio chiaro) sarà formata di tre file di mattonelle di legno di quercia, disposte
lungo il bordo del pavimento
-
La parte B (in grigio scuro) sarà costituita da una sola fila di mattonelle di legno intarsiato,
disposte a fianco di quelle della parte A
-
La parte C (in bianco), al centro, formerà un rettangolo costituito da mattonelle in legno di pino,
più chiare.
Quante mattonelle di quercia, quante di legno intarsiato e quante di pino saranno necessarie
per ricoprire il pavimento della camera di Alice?
Spiegate il vostro ragionamento.
ANALISI A PRIORI
Ambito concettuale
- Geometria: rettangolo; pavimentazione
- Grandezze e misura: perimetro ed area e loro misura
- Aritmetica: le quattro operazioni
Analisi del compito
-
Immaginare che la camera sia interamente ed esattamente quadrettata dalle mattonelle di legno, ovvero che ci sia
un numero intero di mattonelle nella lunghezza e nella larghezza.
- Calcolare il numero di mattonelle nella lunghezza e nella larghezza della stanza: 480 : 20 = 24; 360 : 20 =18.
- Costruire un modello del pavimento della camera su carta quadrettata, di 18x24 quadretti; disegnare le file
successive e distinguerle, poi contare i quadrati di ogni tipo: al centro 10x16=160, la cornice per esempio
2x(10+16)+4=56, il bordo, per esempio, 12x18+4x9 =216.
Benché non sia indispensabile si può terminare verificando che la somma di tutte le mattonelle (216+56+160=432)
è uguale al numero delle mattonelle della camera (area del rettangolo: 24x18=432).
Oppure, senza ricorrere al modello su carta quadrettata:
- Dedurre le dimensioni del rettangolo centrale in lati di mattonelle (o in cm, cosa più difficile) togliendo le 8 file
delle parti A e B: 24 – 8 =16 e 18 – 8 =10. Poi calcolare il numero delle mattonelle corrispondenti, 160, quindi
procedere come prima o per rettangoli successivi 12x18 = 216 e 18x24 = 432 ed infine per sottrazione: 216-160=56
e 432-160-56=216.
Oppure, senza considerare le mattonelle e lati di mattonelle come unità, ma rimanendo in cm2 e cm, seguire il
procedimento precedente, facendo uso di numeri grandi e di tante moltiplicazioni e divisioni per 20. Per esempio,
calcolare che una mattonella ha l’area di 400 cm2, calcolare che l’area totale è 172800 cm2, trovare che le dimensioni del
rettangolo interno sono 480-(8x20)=320 e 380-(8x20)=200, etc.
Punteggio 4 : Soluzione corretta e completa (160 mattonelle di pino, 56 mattonelle decorate, 216 mattonelle di
quercia) con spiegazione del conteggio o delle operazioni
Livello: 5, 6 Origine: Siena
PAVIMENTO DI LEGNO (Cat. 7, 8, 9, 10) (23, I, 4)
Ecco l’immagine del pavimento di una stanza rettangolare fatto di listoni tutti uguali tra loro.
Il perimetro della stanza è 15 m. Il prezzo dei listoni è 30 euro a m2.
Qual è il prezzo complessivo dei listoni che si sono dovuti utilizzare per pavimentare l’intera
stanza?
Spiegate la vostra risposta.
ANALISI A PRIORI
Compito matematico
Vengono dati il disegno di un pavimento rettangolare e il suo perimetro, fatto di listoni rettangolari di legno tutti uguali.
Calcolare il prezzo dei listoni necessari per il pavimento conoscendo il loro prezzo al metro quadrato.
Analisi del compito
-
Osservare la figura e coglierne le regolarità, dedotte dall’isometria dei rettangoli che compongono la
pavimentazione: la lunghezza dei listoni è il triplo della larghezza e questa è la «relazione-chiave» della situazione,
che suggerisce di prendere la larghezza di un listone come unità o di immaginare una trama quadrettata
(quadrettatura) sulla quale è costruita la pavimentazione, con ogni rettangolo che ricopre 3 quadretti unità della
trama.
- In questa percezione della trama o della larghezza di un listone come unità, le dimensioni della stanza sono 10 e 15
in lati di quadretti-unità, il perimetro è 50 = (10 + 15) × 2 in questa unità.
- Con la proporzionalità, in metri: 50 (in lati di quadretti-unità) ! 15 (in m) determina il rapporto 15/50 oppure 3/10
o 0,3 e le dimensioni della stanza sono 3 e 4,5 (in m).
- Passare poi all’area del pavimento: 3 × 4,5 = 13,5 (in m2) e al prezzo dei listoni che è 13,5 × 30 = 405 (in euro).
Oppure, con una procedura algebrica, esprimere le dimensioni con delle lettere (per esempio x e y per la larghezza e la
lunghezza dei listoni, poi sostituire y con 3x per arrivare all’equazione: 2(15x + 10x) = 15 poi 50x = 15).
Oppure misurare le dimensioni su un disegno, quello dell’enunciato e un altro realizzato rispettando i rapporti, calcolare
il perimetro del pavimento sul disegno, dedurne la scala e determinare per proporzionalità le dimensioni reali del
pavimento, poi calcolarne il prezzo.
Oppure procedere per tentativi.
4 Risposta corretta (405 euro) con spiegazioni complete (trasformazione di unità, dimensioni, area, prezzo)
Origine: Siena
IL ROBOT ARTURO (Cat. 3, 4) (20, II, 2)
Il robot Arturo si muove spostandosi sulle linee della griglia
disegnata qui a fianco, compiendo passi sempre della stessa
lunghezza.
A
Per spostarsi da A a B può seguire percorsi diversi.
B
B
Quando segue questo percorso fa 42 passi:
A
B
Invece quando segue quest’altro percorso fa 30 passi:
A
B
Quanti passi fa il robot Arturo quando segue
quest’altro percorso?
A
Spiegate come avete trovato la vostra risposta.
ANALISI A PRIORI
Ambito concettuale
- Aritmetica: le quattro operazioni
- Geometria: percorsi
Analisi del compito
-
Comprendere che il robot Arturo fa sempre un numero intero di passi per percorrere un tratto di griglia e che per
percorrere tratti uguali impiegherà lo stesso numero di passi perché i suoi passi hanno sempre la stessa lunghezza.
- Ricavare così dal primo percorso, composto da 7 tratti obliqui tutti uguali, che ogni tratto vale 6 passi (42:7).
- Osservare il secondo percorso e rendersi conto che esso è formato da 3 tratti obliqui e da 3 tratti orizzontali.
- Dedurre che Arturo per percorrere i tratti obliqui del secondo percorso impiegherà 18 passi (6×3) e che quindi per
percorrere i tratti orizzontali ne impiegherà 12 (30-18); di conseguenza ogni tratto orizzontale vale 4 passi (12:3).
- Concludere che per compiere il terzo percorso, composto da 5 tratti obliqui e 1 orizzontale, Arturo impiegherà 34
passi (6×5 + 1×4).
Oppure, osservare che il secondo percorso è formato da 3 tratti orizzontali e da 3 tratti obliqui e dedurre che, per
percorrere 1 tratto obliquo e 1 orizzontale, Arturo impiega complessivamente 10 passi (30:3). Procedere per tentativi
per trovare quanti passi valgono ciascuno dei due tratti (5-5, 6-4, 7-3, 8-2, 9-1) e scoprire che l’unica possibilità
compatibile con il primo percorso è 6 passi per il tratto obliquo e 4 passi per quello orizzontale. Concludere che
Arturo compie 34 passi per il terzo percorso.
Punteggio massimo:
4 Risposta corretta (34 passi) con spiegazione chiara
Livello: 3, 4
Origine: Bourg en Bresse
IL QUADRATO DI TOMMASO (Cat. 5, 6) (15, I, 8)
Tommaso ha ritagliato da un cartoncino molti pezzi quadrati:
" 3 pezzi da 1 cm di lato
" 1 pezzo da 4 cm di lato
" 1 pezzo da 5 cm di lato
Egli vuole unire tutti questi pezzi per formare un grande quadrato di 10 cm di lato. I pezzi non
devono sovrapporsi e non ci devono essere spazi vuoti.
Tommaso potrà formare il grande quadrato utilizzando tutti i pezzi che ha ritagliato?
Spiegate perché.
Disegnate questo quadrato di 10 cm di lato e i pezzi che avete utilizzato per formarlo.
ANALISI A PRIORI
Ambito concettuale
- Geometria: quadrato, area, pavimentazione
- Logica: ragionamento, deduzioni
Analisi del compito
-
Considerare che si possono utilizzare solo pezzi quadrati delle dimensioni indicate per costruire il quadrato grande.
Calcolare l’area del quadrato grande in cm2 (o il numero totale dei quadrati da 1 cm di lato), cioè 100, e l’area totale dei pezzi
disponibili in cm2 (o il numero totale dei quadrati da 1 cm), cioè 109; dedurre che c’è un pezzo in più, cioè un quadrato di 3 cm
di lato.
Provare a realizzare il quadrato grande con i pezzi rimasti (per esempio, ritagliando i quadrati piccoli e disponendoli su un
quadrato 10x10, oppure disegnando una griglia quadrettata 10x10 e suddividendola in quadrati aventi le dimensioni desiderate)
Oppure: procedere per tentativi cercando di realizzare il quadrato grande con i pezzi indicati e constatare che alla fine
rimane sempre un quadrato da 3 cm di lato.
Oppure: dopo aver osservato che il quadrato di lato 5 cm non può essere eliminato, constatare che 10 cm possono essere ottenuti
come 5 cm+3 cm+2 cm o come 5 cm+3 cm+1 cm+1 cm o come 5 cm+2 cm+2 cm+1 cm o come 5 cm+4 cm+1 cm o come 5
cm+2 cm+1 cm+1 cm+1 cm, che determinano i quadrati che possono essere “affiancati” al quadrato di 5 cm lungo un lato del
quadrato grande. Per tentativi e deduzioni, pervenire alla costruzione del quadrato grande (si può ottenere in più modi).
Esempio di possibile assemblaggio:
4
Risposta completa corretta (No, un quadrato di lato 3 cm è di troppo e presentazione di un possibile assemblaggio) con
spiegazione chiara del metodo utilizzato per determinare il pezzo in più
Livello: 5, 6
Origine: Bourg-en-Bresse
QUADRATO DA RICOPRIRE (Cat. 3, 4, 5) (12°, I, 5)
Gianluca vuole ricoprire interamente questo quadrato con dei pezzi scelti fra quelli disegnati sotto:
Gianluca vuole utilizzare il minor numero possibile di pezzi.
Con quali pezzi potrà ricoprire il suo quadrato?
Disegnate le vostre soluzioni in modo che si vedano bene i vari pezzi.
ANALISI A PRIORI
Ambito concettuale
- Geometria: pavimentazione, isometrie, equiestensione per somma
Analisi del compito
-
Comprendere che bisogna formare una figura uguale al quadrato dato
Comprendere che si deve operare una scelta tra i pezzi dati privilegiando quelli più grandi (5 o 4 quadrati).
Procedere per tentativi e trovare che il numero minimo di pezzi necessari a ricoprire il quadrato è 4 e che si possono
avere due soluzioni: una che utilizza i due pezzi da 5 e i due pezzi da 3; l’altra che utilizza un pezzo da 5 (non la
“L”), i due pezzi da 4 e uno da 3. Ad esempio:
Oppure:
- Contare il numero dei quadretti che costituiscono il quadrato, 16, e andare a vedere con quali pezzi si può ottenere
tale numero.
- Scartare le situazioni che non permettono di costruire il quadrato e quelle che utilizzano cinque pezzi.
- Trovare così le due soluzioni minimali.
4 Risposta corretta: le due soluzioni ottimali e relativi disegni sul quadrato
3 Una sola soluzione ottimale e relativo disegno sul quadrato oppure le due soluzioni ottimali senza disegno oppure le
due soluzioni ottimali con disegno e una o più soluzioni non ottimale (5 pezzi) oppure le due ottimali con disegno e
altre soluzioni ad esse isometriche
2 Una sola soluzione ottimale con disegno e altre non ottimali o isometriche alla soluzione data o due soluzioni
ottimali e altre soluzioni ottenute con più pezzi di uno stesso tipo (es. due a “L”)
1 Trovata una sola soluzione non ottimale o una soluzione ottimale e altre soluzioni ottenute con più pezzi di uno
stesso tipo (es. due a “L”)
Livello: 3 - 4 - 5
RETTANGOLI CHE PASSIONE! (Cat. 3, 4) (20°, F, 2)
Ecco i cinque pezzi di un puzzle: due quadrati piccoli, un pezzo composto da tre quadrati e altri due
di quattro quadrati.
• Pietro ha costruito un rettangolo la cui lunghezza è il doppio della larghezza, utilizzando più
di due pezzi.
• Nadia ha costruito un rettangolo (non quadrato) utilizzando quattro pezzi.
• Giuseppe vuole costruire un rettangolo con tutti i pezzi disponibili.
Disegnate i rettangoli di Pietro e Nadia.
Riuscirà Giuseppe a costruire un rettangolo con i cinque pezzi?
Se sì, disegnatelo, se no, spiegate perché.
ANALISI A PRIORI
Ambito concettuale
- Geometria: rettangolo
Analisi del compito
-
Osservare i pezzi e la loro scomposizione in quadrati.
Immaginare i rettangoli che si possono formare con essi o fare l’inventario dopo ritaglio e ricomposizione:
da 1 o 2 pezzi: 1 x 2, 1 x 4, 1 x 5, 2 x 2
di 3 pezzi: 1 x 6, 2 x 3, 2 x 4,
di 4 pezzi: 3 x 3, 3 x 4.
Disegnare i rettangoli di Pietro e di Nadia:
Pietro
Nadia
-
Comprendere che è impossibile formare un rettangolo che utilizza tutti i pezzi, poiché con 13 quadrati unitari il solo
rettangolo possibile è il rettangolo 13 x 1.
- Spiegare l’impossibilità del compito di Giuseppe con disegni, collage o argomentazione.
4 Disegno (o collage) preciso dei rettangoli di Pietro e Nadia e risposta “no” per il rettangolo di Giuseppe con una
spiegazione chiara (numerica o con disegno dei 5 pezzi in due “strisce” di lunghezza 6 e 7 )
3 Assenza di una delle quattro richieste:
disegno (o collage) preciso dei rettangoli di Pietro e Nadia e risposta “no” per il rettangolo di Giuseppe senza
spiegazione,
oppure disegno (o collage) preciso di uno dei rettangoli di Pietro o di Nadia e risposta “no” per il rettangolo di
Giuseppe con spiegazione
2 Solamente due delle quattro richieste
1 Una sola delle quattro richieste
0 incomprensione del problema
Livello: 3, 4
Origine: Luxembourg
SCENARIO (Cat. 3, 4, 5) (20°, II, 4)
La nostra classe deve preparare lo scenario per una recita.
Camilla e Mattia sono stati incaricati di ritagliare in due parti un pezzo di cartone rigido.
Una delle due parti sarà ricoperta di carta lucida gialla, l’altra parte sarà ricoperta di carta lucida
verde. Ecco il disegno del progetto che hanno preparato Camilla e Mattia.
Parte
gialla
Parte
verde
Per ricoprire interamente ciascuna delle due parti occorrerà più carta verde o più carta
gialla?
Spiegate come avete trovato la vostra risposta
ANALISI A PRIORI
Ambito concettuale
- Geometria e misura: confronto di aree, simmetria
Analisi del compito
-
Tra le grandezze che si possono percepire sulla figura (perimetri, area, …) scegliere quella pertinente al problema:
in questo caso l’area.
- Capire che si tratta di confrontare le aree delle due parti di cartone e non lasciarsi fuorviare dai due perimetri o dalla
forma della figura che potrebbero indurre l’idea che le due parti siano congruenti.
- Poiché le due aree non si possono stimare ad occhio, è necessario passare alle misure per conteggio delle unità
d’area determinate dalla quadrettatura.
- Nel conteggio bisogna procedere ad una conversione di unità: i triangoli sul bordo delle parti sono dei semi-quadrati
e quindi due triangoli andranno contati come un quadrato. Questo conteggio dà:
per la parte verde: 52 quadrati e 12 triangoli, cioè in tutto 58 (in quadrati)
per la parte gialla: 51 quadrati e 12 triangoli, cioè in tutto 57 (in quadrati)
Oppure, procedere ad un confronto con la suddivisione delle due parti in poligoni aventi la medesima area che, quindi,
si compensano e non hanno più bisogno di essere conteggiati.
Oppure, conteggiare quadrato per quadrato e triangolo per triangolo per arrivare alla constatazione che c’è un quadrato
in più nella parte verde.
4 Risposta corretta (carta verde) con i dettagli del ragionamento
3 Risposta “devono usare la stessa quantità di carta gialla e di carta verde”, con tutti i dettagli, ma un solo errore nei
conteggi
2 Ragionamento corretto con spiegazione che mostri come si è arrivati alla soluzione, ma con più di un errore nei
conteggi
1 Risposta “carta verde” senza spiegazione
0 Risposta basata sul perimetro oppure incomprensione del problema
Livello: 3, 4, 5
Origine: Cagliari
BISCOTTI (Cat. 4, 5, 6) (14°, II, 7)
Ecco i biscotti che il pasticciere ha preparato per cinque bambini e che ha disposto con molta
precisione su un vassoio.
I biscotti sono tutti dello stesso spessore, ma alcuni dei bambini sono insoddisfatti e dicono che il
loro biscotto è più piccolo di quello degli altri.
Pensate che tutti i bambini avranno la stessa quantità di biscotto da mangiare?
Se no, mettete i biscotti in ordine dal più piccolo al più grande.
ANALISI A PRIORI
Ambito concettuale
- Geometria: confronto di aree, scelta di unità di misura e decomposizione, approssimazioni
- Aritmetica: conteggio e addizione
Analisi del compito
-
-
-
-
Individuare la grandezza in gioco per trovare la parte di biscotto di ognuno : scartare gli angoli (la forma), il numero
di lati o di vertici e il perimetro; optare per l’area delle figure (o il volume, visto che i biscotti hanno tutti lo stesso
spessore)
Trovare un modo di confrontare le aree: constatare che i tentativi di sovrapposizione o di scomposizione e
ricomposizione non danno risultati significativi; pensare di utilizzare la trama del vassoio per «pavimentare» le
forme (in quadrati, triangoli, …)
Immaginare o disegnare la trama del vassoio sulle figure, scegliere una unità e procedere al conteggio per le figure
« pavimentabili » (in quadrati si ottiene 8 per Jeff e Bob, 7 per Zoe)
Per le figure non « pavimentabili », constatare che nella figura di Anna ci sono 6 quadrati interi e 4 quarti di cerchio
(quattro semi-quadrati e quattro piccole parti di cerchio), ciò che equivale ad una misura di più di 8 quadrati. La
figura di Leo è inscritta in un rettangolo di 8 quadrati; togliendo da questo 2 semi-quadrati e altre parti di quadrato si
ottiene la sua misura che equivale a meno di 7 quadrati.
Stabilire la classifica. Per esempio, esprimendo le aree in quadrati: Leo (< 7), Zoe (7), Jeff e Bob (8), Anna (>8).
Risposta corretta: La classificazione completa (Leo (< 7), Zoe (7), Jeff e Bob (8), Anna (>8)) con spiegazioni chiare
Livello: 4, 5, 6
Origine: C.I. e Genova
IL GIARDINO DEL SIGNOR TORQUATO (CAT. 3, 4) (11°,F, 6)
Questo è il giardino del signor Torquato:
Nella parte grigia egli ha piantato fiori e ha
seminato a prato la parte bianca.
Il signor Torquato osserva il suo giardino e si
chiede:
«Sarà maggiore la parte con i fiori o quella con il
prato?»
E voi che cosa ne pensate?
ANALISI A PRIORI
AMBITO CONCETTUALE
-
Geometria: figure congruenti, scomposizione e ricomposizione di figure, equivalenza
ANALISI DEL COMPITO
-
Intuire che la parte grigia e quella bianca sono formate dagli stessi «pezzi»
Verificarlo ritagliando i pezzi
Dedurre che la parte con i fiori ha la stessa estensione di quella seminata a prato
Valutazione
4 Risposta corretta con giustificazione (disegno corretto, ritaglio, argomentazione)
3 risposta corretta con giustificazione approssimativa
2 valutata correttamente solo metà figura o risposta corretta senza giustificazione
1 Inizio di ragionamento corretto
0 incomprensione del problema o risposta sbagliata
Livello: 3 - 4
Origine: Praga - Incontro di Siena
LA TORTA DI NONNA LUCIA (Cat. 4, 5, 6) (22, II, 6)
Nonna Lucia ha preparato una torta rettangolare al cioccolato per la merenda dei suoi nipoti Luca,
Carlo, Sara e Maria.
Per darne una fetta ciascuno la divide in questo modo:
Maria
Luca
Carlo
Sara
Luca e Carlo non sono contenti perché pensano che Sara e Maria abbiano i due pezzi più grandi.
Sara e Maria sostengono invece che ognuno ha ricevuto la stessa quantità di torta.
Chi ha ragione?
Mostrate come avete trovato la vostra risposta.
ANALISI A PRIORI
Compito matematico
Mostrare che un rettangolo viene diviso dalle sue diagonali in quattro parti equivalenti
Analisi del compito
Osservare che le fette delle due nipotine sono uguali fra loro, così come quelle dei due nipoti (per sovrapposizione,
visiva o manipolativa, o per simmetria assiale o centrale, a seconda dei livelli).
-
Confrontare poi una fetta di una femmina con una fetta di un maschio, trovando una comune unità d’area.
Senza ricorrere al calcolo delle aree, gli allievi possono procedere
Maria
tagliando e/o piegando al fine di constatare l’uguaglianza delle aree. Per
esempio, il taglio seguente mostra che la metà della parte di Luca e la
Carlo
metà di quella di Sara sono due metà di uno stesso rettangolo:
Luca
-
Sara
Gli allievi possono anche immaginare e poi disegnare una trama sulla
figura, tracciando le mediane del rettangolo, il che permette di
decomporre la figura in 8 triangoli congruenti.
Concludere che le quattro parti sono uguali.
Oppure:
utilizzare la formula dell’area di un triangolo applicandola in modo opportuno: notare per esempio che l’altezza del
triangolo di Luca, tracciata dal centro del rettangolo, è uguale alla metà della base del triangolo di Sara e viceversa.
4
Risposta corretta (Sara e Maria hanno ragione) con giustificazione chiara (ritaglio/piegatura o disegno di una
trama e spiegazioni, o anche calcoli utilizzando la formula dell’area del triangolo)
Livello: 4, 5, 6
Origine: Parma
TAGLIAMO I QUADRATI IN QUATTRO (Cat. 5, 6, 7) (20°, I, 9)
Isabella, Giulia, Sergio e Saverio hanno ricevuto ognuno lo stesso quadrato.
Ognuno di loro ha tagliato il suo quadrato in quattro parti identiche. Poi le ha messe insieme per
realizzare una nuova figura.
Ecco il ritaglio del quadrato in quattro parti fatto da Isabella e la figura ottenuta con le quattro parti.
Isabella:
Ecco i quadrati ricevuti dagli altri tre bambini e le figure formate con le loro quattro parti.
Giulia:
Sergio:
Saverio:
Disegnate i ritagli del quadrato di ogni bambino, e disegnate anche le quattro parti sulla
figura che ha formato.
ANALISI A PRIORI
Ambito concettuale
- Geometria: scomposizione e ricomposizione di figure
Analisi del compito
-
Capire le condizioni di ritaglio del quadrato e i vincoli dell’assemblaggio delle parti.
Un possibile primo modo di risolvere il problema consiste nel ricercare diversi modi per ritagliare il quadrato in
quattro parti identiche e poi di metterle insieme posizionandole sulle figure;
• la scomposizione in quattro quadrati secondo le mediane o in quattro rettangoli identici (come nel caso di
Isabella) non permette di ottenere le tre altre figure;
• la scomposizione in quattro triangoli isosceli rettangoli secondo le diagonali permette di ottenere il triangolo
costruito da Giulia e il parallelogramma costruito da Saverio;
La scomposizione del quadrato
di Giulia e Saverio
la figura
di Giulia
la figura
di Saverio
• la scomposizione in due rettangoli uguali utilizzando una mediana del quadrato, poi di ogni rettangolo in due
triangoli rettangoli uguali utilizzando una diagonale permette di ottenere la figura di Sergio (e non quella di
Saverio!).
La scomposizione
del quadrato di Sergio
-
la figura
di Sergio
una figura sbagliata di Saverio
con la scomposizione di Sergio
Un secondo modo consiste nel ritagliare le figure ottenute da Giulia, Sergio e Saverio in quattro figure identiche:
Per esempio, per la figura di Sergio, fare apparire un rettangolo «mezzo-quadrato», poi da questo rettangolo due
triangoli rettangoli uguali utilizzando una diagonale.
E per le figure di Giulia e di Saverio si può procedere in due modi diversi:
cercando di trovare delle semplici relazioni tra le misure dei lati del triangolo o del parallelogramma e la misura del
lato del quadrato (metà e doppio)
osservando che le misure degli angoli del triangolo e di due degli angoli del parallelogramma sono la metà d’un
angolo retto, (cosa che permette di eliminare la figura errata di Saverio)
4 Il ritaglio del quadrato e la disposizione corrispondente dei pezzi per ognuna delle tre figure
Livello: 5, 6, 7
LA TORTA QUADRATA (Cat. 3, 4) (22, II, 1)
Quattro bambini si ritrovano per mangiare una torta quadrata.
- Ogni bambino vuole chiaramente avere la stessa quantità di torta degli altri;
- due bambini vogliono una fetta di torta di forma quadrata;
- gli altri due bambini vogliono una fetta di torta di forma triangolare.
Disegnate, su questo quadrato, una suddivisione che possa soddisfare ogni bambino:
ANALISI A PRIORI
Compito matematico
-
Dividere un quadrato in quattro parti di area uguale: 2 quadrati, 2 triangoli
Analisi del compito
-
Capire i vincoli del problema: dividere il quadrato in quattro parti, due quadrati e due triangoli, di area uguale.
Strategia per tentativi di quadrati ritagliati, poi di triangoli (probabilmente rettangoli).
Strategia deduttiva:
- dedurre dai dati che ogni parte quadrata rappresenta 1/4 del quadrato iniziale;
- capire che per dividere il quadrato iniziale in 4 parti quadrate identiche, bisogna dividere il lato del quadrato in 2
segmenti della stessa lunghezza; (figura 1)
- capire che bisogna tenere 2 di questi quadrati e trasformare lo spazio occupato dagli altri 2 quadrati in 2
triangoli;
- capire che 2 quadrati adiacenti possono essere divisi in 2 triangoli rettangoli identici (quindi della stessa area di
ogni quadrato): la spiegazione non è richiesta (ma un controllo tramite ritaglio e sovrapposizione è possibile), poi
fare i disegni corrispondenti (vedi esempio figura 2).
figura 1 figura 2
Capire che ogni bambino deve avere l’equivalente di un quadrato. Dividere un quadrato in due semi-quadrati e
cercare, come è possibile, di ottenere un triangolo mettendo insieme due semi-quadrati (assemblaggio lungo un
lato dell’angolo retto). Si ottiene un triangolo rettangolo isoscele che ha per lato dell’angolo retto una diagonale
di un quadrato.
Cercare in seguito, come è possibile, sistemare 2 di questi triangoli in un quadrato 2 x 2
4 Soluzione corretta con disegno preciso e completo
-
Livello: 3, 4
Origine: 1.F.8
PERCORSI SUI FIAMMIFERI (Cat. 3, 4, 5) (22, F, 3)
Tre bambini hanno fatto un disegno con i
fiammiferi.
Cercano i percorsi più corti che vadano da A a
B, immaginando di camminare sui fiammiferi.
Antonio dice: Ci sono 5 percorsi diversi;
Berta gli risponde: Io ne ho trovati 7, due più di
te, e non ce ne sono altri;
Zoe non è d’accordo: Vi sbagliate, ci sono 10
percorsi diversi
Tra questi tre bambini, ce n’è uno che ha ragione?
Spiegate perché e mostrate bene come avete fatto per rispondere.
ANALISI A PRIORI
Compito matematico
-
Trovare tutti i percorsi che possono essere tracciati su una porzione di quadrettatura, spostandosi unicamente verso
l’alto o verso destra.
Analisi del compito
Rendersi conto che, visti i pareri divergenti, la sfida del problema è di determinare il numero di percorsi diversi,
dopo aver constatato che i percorsi più corti sono costituiti da 5 fiammiferi: 3 # e 2 $.
- Capire i vincoli del problema e le loro conseguenze: un percorso di 5 fiammiferi può essere realizzato solo
spostandosi verso destra o verso l’alto.
- Strategia per tracciati effettivi dei percorsi, senza organizzazione all’inizio, poi con un’organizzazione progressiva,
cercando di ottenere dei percorsi diversi da quelli già ottenuti. Bisogna sottolineare che gli otto percorsi, di colore
diverso, su uno stesso disegno sono assolutamente illeggibili e che sta agli alunni pensare di tracciare i percorsi su
più disegni.
Oppure: scrivere su ogni estremità, a partire da A, il numero di percorsi che ci arrivano e, quando c’è un’intersezione, di
calcolare la somma dei due percorsi che ci arrivano.
2
5
8 (B)
1 2
3
3
0 (A)
1
1
Oppure:
Cambiare modalità utilizzando una codifica del tipo a (verso l’alto) e d (verso destra) e cercare di
riprodurre tutte le sequenze di 5 lettere compatibili con la porzione di quadrettatura rappresentata dai fiammiferi. La
ricerca di tutte le sequenze può essere organizzata o no. Si può prendere in considerazione una rappresentazione ad
albero (con due a e tre d) o semplicemente la ricerca delle permutazioni di 3d e 2a eliminando quelle che non
rispettano i vincoli legati al disegno, per esempio tre d di seguito o due a di seguito all’inizio:
ddada
ddaad dadda dadad daadd addda addad adadd
In tutti i casi, terminare contando i percorsi per poter affermare che nessuno dei tre bambini ha ragione.
4 Risposta corretta (i tre bambini hanno torto perché ci sono 8 percorsi), con tracciati che si distinguono bene o
rappresentazione con una serie di simboli
Livello: 3, 4, 5
Origine: 1.F.10
LA CORDICELLA (I) (Cat. 3, 4) (21, F, 1)
Tommaso ha trovato una cordicella annodata con la quale si diverte a formare delle figure:
Forma dapprima un triangolo con i tre lati che misurano ognuno 16 cm.
Poi forma un quadrato.
Quanto misura un lato del quadrato di Tommaso?
Infine forma un rettangolo con la lunghezza doppia della larghezza.
Quanto misurano il lati del rettangolo?
ANALISI A PRIORI
Ambito concettuale
- Aritmetica: operazioni in N (moltiplicazioni e divisioni), ripartizione di una lunghezza in quattro parti proporzionali
a quattro numeri
- Geometria: triangolo equilatero, quadrato, rettangolo e loro perimetro; isoperimetria
Analisi del compito
-
Capire che tutte le figure hanno lo stesso perimetro, che è la lunghezza della cordicella, data dal triplo del lato del
triangolo (16), cioè 48 cm.
- Calcolare poi la misura del lato del quadrato: 48 : 4 = 12 (in cm).
- Infine scomporre 48 cm in 4 lunghezze uguali due a due, le une doppie delle altre o scomporre 24 cm in due misure
di cui una doppia dell’altra procedendo:
- per tentativi e successivi aggiustamenti;
- considerando, aiutandosi eventualmente con un disegno, che il lato minore è contenuto 3 volte in 24 cm o 6 volte
in 48 cm, da cui le risposte 8 cm e 16 cm.
4 Risposte corrette (lato del quadrato 12 cm, lati del rettangolo 8 cm e 16 cm) con spiegazioni dettagliate
Livello: 3, 4
Origine: rc
LA CORDICELLA (II) (Cat. 5, 6, 7) (21, F, 8)
Tommaso ha trovato una cordicella annodata con la quale si diverte a formare delle figure:
Forma dapprima un triangolo equilatero, poi forma un quadrato.
Tommaso si accorge che il lato del triangolo misura 4 centimetri in più del lato del quadrato.
In seguito, sempre con la stessa cordicella, forma un rettangolo che ha un lato doppio dell’altro.
Quanto misurano il lati del rettangolo?
ANALISI A PRIORI
Ambito concettuale
- Aritmetica: moltiplicazione e divisione in N, ripartizione di un numero in quattro parti proporzionali a quattro
numeri dati
- Geometria: quadrato, triangolo equilatero, rettangolo e loro perimetro, isoperimetria
- Algebra: approccio alla nozione di equazione (trovare un numero il cui quadruplo sia uguale al triplo del numero
stesso aumentato di 4)
Analisi del compito
-
Comprendere che tutte le figure hanno lo stesso perimetro, cioè la lunghezza della cordicella: ciò permetterà di
stabilire le uguaglianze.
- Scegliendo come misura comune o «unità» il lato del quadrato, l’uguaglianza dei perimetri del triangolo e del
quadrato si traduce nell’uguaglianza tra tre «unità» aumentate di 4 da una parte e di quattro «unità» dall’altra parte.
Rendersi conto allora dell’equivalenza tra i tre «aumenti di 4», cioè 12, e una delle quattro «unità» e dedurne che il
lato del quadrato misura 3 × 4 = 12, in cm.
(Questo ragionamento traduce la risoluzione algebrica dell’adulto: 3(x + 4) = 4x o le equazioni equivalenti
3x + 12 = 4x da cui x = 12; o ancora il sistema: 3c = 4x e c = x + 4, …)
Oppure:
aiutandosi con un disegno rappresentare le relazioni tra il lato del triangolo e quello del quadrato:
e, osservando il disegno. dedurre che il lato del quadrato misura 4 + 4 + 4 = 12 in cm
Oppure:
organizzare una ricerca per tentativi: scegliere una lunghezza per il lato del quadrato (o del triangolo), dedurne la
lunghezza della cordicella, poi quella del lato dell’altra figura e verificare se lo scarto è proprio di 4 cm o dedurne la
lunghezza del lato dell’altra figura e verificare se si ottiene la stessa lunghezza della cordicella per entrambe le
figure.
- Dedurre, in un modo o nell’altro, che il lato del quadrato misura 12 cm e il lato del triangolo 16 e che la misura della
cordicella è 48 cm.
Oppure:
comprendere che la misura della cordicella deve essere un multiplo sia di 3 che di 4, quindi di 12. Considerare i
multipli di 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72 ... e per ciascuno di essi verificare se i quozienti delle divisioni per 3 per 4
differiscono di 4. Trovare che questo accade solo per 48.
La soluzione della seconda parte del problema dipende dal perimetro trovato precedentemente: (48 o un altro
numero in caso di errore)
- decomporre 48 in 4 parti uguali due a due, in modo che le une siano il doppio delle altre (o proporzionalmente a 1,
1, 2 e 2) o decomporre 24 cm in due parti di cui una doppia dell’altra (o proporzionalmente a 1 e 2), e ciò può essere
fatto:
- per tentativi e aggiustamenti;
- o considerando il più piccolo numero contenuto tre volte in 24, da cui le risposte 8 cm e 16 cm.
4 Risposte corrette (8 cm e 16 cm) con spiegazioni esaurienti (calcolo delle misure dei lati del quadrato, del triangolo
e del loro perimetro e ripartizione proporzionale)
Livello: 5, 6, 7
Origine: rc
IL RETTANGOLO DA COMPLETARE (Cat. 5, 6, 7) (21, F, 9)
Su un foglio quadrettato si vuole disegnare un rettangolo composto da cinque triangoli:
- tre triangoli piccoli, bianchi, della stessa area,
- due triangoli grigi, più grandi, di area uguale tra loro.
Si sono già disegnati tre dei cinque triangoli, disponendoli come nella figura qui sotto:
Disegnate altri due triangoli (uno bianco e uno grigio), per completare il rettangolo.
Se trovate più modi di completare il rettangolo, mostrateli nelle figure qui sotto.
Spiegate come avete trovato il vostro modo (o i vostri modi) di completare il rettangolo.
ANALISI A PRIORI
Ambito concettuale
- Geometria: rettangolo, triangolo
- Misura: equiestensione
Analisi del compito
- Verificare che i due triangoli bianchi hanno la stessa area (10, prendendo come unità un quadratino) e che l’area di
quello grigio è più grande (15 in quadratini), dunque mancano un triangolo bianco e uno grigio per completare il
rettangolo.
-
-
Osservare il trapezio dei tre triangoli, vedere che è rettangolo e che i due triangoli da aggiungere per formare un
rettangolo devono essere posti sulla destra e possono essere riprodotti per simmetria assiale (i due nuovi triangoli
sono simmetrici rispetto all’altezza del triangolo di destra).
Rendersi conto che i triangoli hanno tutti la stessa altezza e che quindi l’area dipende dalla lunghezza della base,
pertanto la base dei due triangoli da disegnare deve essere una di 4 lati-quadretto e l’altra di 6.
Dedurne che, per ottenere un rettangolo, occorre prolungare di 6 lati-quadretto il lato superiore e di 4 quello
inferiore.
Ricercare le due soluzioni possibili:
Oppure:
capire che per ottenere un rettangolo occorre aggiungere un trapezio rettangolo di area uguale a 10 + 15 = 25
quadrati. Se l’altezza è 5, la somma delle lunghezze delle basi deve essere uguale a 10. Dedurre che le sole
dimensioni possibili per le basi delle figure che rispettino l’area e la forma sono 4 e 6. Ciò porta a dividere il
trapezio in due triangoli, e per fare la divisione ci sono due possibilità: tracciare o l’una o l’altra delle due diagonali.
Assicurarsi che i triangoli così costruiti abbiano area rispettivamente 10 e 15 quadretti.
4 Le due soluzioni con spiegazione del ragionamento (che cita l’uguaglianza delle aree)
Livello: 5, 6, 7
Origine: Rozzano
LA GIUSTA DIVISIONE (Cat. 7, 8, 9, 10) (22, II, 13)
Luca e Caterina hanno ereditato un grande terreno che ha la forma di un trapezio isoscele. Essi
vogliono ripartire il terreno in due parti della stessa area mediante una barriera rettilinea, partendo
da un picchetto piantato su uno dei due lati paralleli del trapezio (indicato con P sulla figura).
P
Disegnate sulla figura il segmento PQ, che suddivide il trapezio isoscele in due parti della
stessa area.
Spiegate come avete determinato la posizione dell’altro estremo Q del segmento.
ANALISI A PRIORI
Compito matematico
-
Ripartire un trapezio isoscele in due parti della stessa area mediante un segmento avente un estremo in un punto dato
sulla base minore e l’altro estremo da determinare.
Analisi del compito
-
Comprendere che per une divisione equa, occorre che le parti di Luca e Caterina abbiano la stessa area.
Notare che il punto P è sulla base minore, ma non nel suo punto medio.
Comprendere che occorre tracciare un segmento PQ non perpendicolarmente alle basi, perchè in tal modo le due
parti non avrebbero la stessa area.
P M
- Chiamando A, B, C, D i vertici del trapezio, M il punto
A
D
medio della base minore AD e N il punto medio della base
maggiore BC, notare che MN, la mediana comune alle due
basi del trapezio, lo suddivide in due trapezi simmetrici
O
ABNM e MNCD.
- Con un compasso o mediante una misura precisa, riportare
la lunghezza di PM a partire da N, per trovare il punto Q su
BC, in modo che NQ = PM. I triangoli rettangoli PMO e
B
C
QNO così formati hanno la stessa area. Dedurne che le parti
N Q
F
E
ABQP e PQCD hanno la stessa area.
Notare che PM e NQ sono parallele e della stessa lunghezza e dedurne che PNQM è un parallelogramma. Il punto
Q su BC è dunque sulla parallela a PN condotta da M.
Oppure, le perpendicolari alle due basi AD e BC tracciate da A e da D determinano due triangoli ABE e DFC della
stessa area, in quanto simmetrici rispetto alla mediana MN. Capire che rimane da dividere il rettangolo AEFD in due
parti della stessa area mediante il segmento PQ.
- Riportare la lunghezza AP per posizionare il punto Q su BC in modo tale che QF = AP. Dedurne che i due trapezi
rettangoli AEQP e FDPQ hanno la stessa area, dato che hanno la stessa altezza e le basi della stessa lunghezza.
Concludere che le parti ABQP e PQCD hanno la stessa area perché composti da parti di uguale area.
Oppure, utilizzando solo la misurazione, partire dalla costruzione del rettangolo AEFD:
-
Misurare AD, BC e AP. Dedurne FC = (BC – AD)/2 e posizionare il punto Q su BC in modo che QC = AP + FC e
verificare come prima che le due parti ABQP e PQCD hanno la stessa area.
Oppure, realizzare una costruzione geometrica utilizzando solo
la riga, notando che Q deve essere simmetrico di P nella
P
A
D
simmetria di centro O, punto di intersezione delle diagonali
del rettangolo AEFD.
- Tracciare la retta PO fino a incontrare BC: il punto di
intersezione così ottenuto è Q. Dedurne che i due trapezi
O
AEQP e FDPQ essendo anch’essi simmetrici nella
simmetria centrale, hanno la stessa area.
Concludere che le parti ABQP e PQCD hanno la stessa
B
C
area.
F
E
Q
4 Il punto Q ben individuato, mediante riporto di lunghezze o geometricamente o con misurazione, con spiegazione
chiara della sua costruzione e del fatto che le aree delle parti ottenute sono uguali.
Livello: 7, 8, 9, 10
Origine: Franche-Comté
TAGLIA E RITAGLIA (Cat. 5, 6) (15°, I, 10)
Incollando dei pezzi ritagliati da cartoncino, Aldo ha realizzato un quadro che rappresenta due
personaggi: una bambina a sinistra e un bambino a destra.
Per preparare i pezzi del suo quadro, Aldo ha utilizzato più fogli
di cartoncino, quadrati e della stessa grandezza.
Ha piegato ciascun foglio una, due o tre volte e poi lo ha
ritagliato seguendo alcune delle pieghe ottenute.
Questa figura mostra un foglio di cartoncino quadrato e le
diverse piegature che Aldo ha potuto effettuare:
Secondo voi, nel quadro che ha realizzato, Aldo ha usato più cartoncino nella figura della
bambina o in quella del bambino?
ANALISI A PRIORI
Ambito concettuale
•
•
Geometria: superfici equiestese
Misure di aree
Analisi del compito
-
Analizzare il quadro e riconoscere i suoi diversi elementi (triangoli rettangoli isosceli di quattro diverse dimensioni,
quadrati e rettangoli), misurando o ritagliando e sovrapponendo.
- Stabilire delle relazioni fra i pezzi e constatare che essi possono essere decomposti o ricoperti utilizzandone uno solo
come unità: il triangolo piccolo (che si trova nel fiocco della bambina).
- Scomporre tutte le forme in triangoli più piccoli e determinare l’area per conteggio. Trovare che sono stati utilizzati
36 triangoli-unità per realizzare la figura della bambina e 40 per quella del bambino.
Oppure: utilizzare altre unità come il triangolo “doppio del piccolo” o il quadrato (equivalente a 4 triangoli piccoli o a
un triangolo quarta parte del foglio di cartoncino).
Oppure: per compensazione, accoppiare forme geometriche che formano la figura della bambina ad altre equiestese
nella figura del maschietto fino a trovare che quest’ultimo richiede più cartoncino.
4 Risposta giusta (è statoadoperato più cartoncino per il maschietto) con disegno in cui siano chiare le scomposizioni
fatte oppure con spiegazione chiara del procedimento seguito
3 Risposta giusta con spiegazione insufficiente, ma da cui sia possibile capire che non si è tirato ad indovinare
2 Risposta giusta con spiegazione del tipo “si vede”, oppure risposta sbagliata perché, ad esempio, non sono stati
compensati correttamente tutti i pezzi, ma si è tenuto conto delle superfici e del loro confronto
1 Risposta sbagliata: non si tiene conto della superficie ma si contano i numeri di pezzi che compongono i due
personaggi, 17 per la bambina, 9 per il maschietto.
Livello: 5, 6
Origine: Valle d’Aosta
LA ROSA DI GIULIA (I) (Cat. 3, 4) (15°, II, 4)
Giulia vuole ridipingere la cornice dello specchio della figura
in bianco e grigio. Si chiede se deve comperare più pittura
bianca o più pittura grigia.
Ovviamente lo specchio (il quadrato al centro della figura)
non deve essere dipinto e lo strato di pittura avrà ovunque lo
stesso spessore.
Ci vorrà più pittura bianca, più pittura grigia oppure
tanta pittura bianca quanto grigia?
Spiegate come avete trovato la risposta.
ANALISI A PRIORI
Ambito concettuale
- Geometria: scomposizione – composizione di forme
- Grandezze: unità di misura comune
Analisi del compito
-
Tener conto del fatto che il quadrato al centro non interviene nel confronto della aree.
Capire che la superficie da ricoprire con pittura bianca è composta da varie superfici e che queste superfici non
hanno la stessa «area».
- Capire che è possibile confrontare delle aree senza misurarle o calcolarle con unità convenzionali, ma che è
necessario trovare l’unità comune oppure confrontare pezzo per pezzo (ci sono triangoli piccoli e grandi, oppure
quadrati....).
- Determinare l’unità di misura comune (un quadrato o un triangolino: confrontare il numero di quadrati (16) o di
triangolini (32) in ciascuna delle due parti da pitturare: riconoscere che le aree da ricoprire sono uguali.
4 Soluzione corretta completa (uguaglianza delle aree, tanta pittura bianca quanto pittura grigia...) con spiegazione
corretta oppure pavimentazione con unità comune
3 Soluzione corretta completa, con spiegazione incompleta
2 Soluzione corretta completa, senza spiegazione
oppure soluzione con un errore di conteggio, ma con spiegazione corretta
oppure presa in conto dello specchio con risposta coerente “più pittura bianca” e spiegazione corretta
1 Inizio coerente di ricerca
0 Incomprensione del problema o conteggio errato 28 e 20 perché è fatto senza tener conto della grandezza dei pezzi
Livello: 3, 4
Origine: Belgique
RMT 2005 (Cat. 3, 4) (13°, I, 2)
Sul muro della scuola è stata pitturata la parte interna delle lettere R, M e T, preparate per la
prossima finale del Rally Matematico Transalpino. Rimane da dipingere la parte interna delle
quattro cifre del 2005.
Sofia dipinge il «2» e il primo «0». Mauro dipingerà l’altro «0» e il «5».
Chi userà più pittura?
ANALISI A PRIORI
Ambito concettuale
-
Geometria: approccio alla nozione di area: determinazione dell’area delle figure per ricoprimenti e conteggio di
unità
Analisi del compito
- Rendersi conto che la quantità di pittura dipende dalla grandezza delle superfici da ricoprire e che si deve trovare
una (o più) unità d’area per poter fare il confronto
- Scegliere, tra le unità, la più evidente: il “mattone” (rettangolo), il “mezzo mattone” (quadrato), il triangolo (o metà
quadrato) che permette di avere un numero intero di unità
- Scelta l’unità (o le unità) organizzare il conteggio dopo avere eventualmente disegnato l’intera pavimentazione (per
esempio con triangoli oppure con triangoli e quadrati)
- Rendersi conto che è inutile calcolare l’area delle cifre «0» e che è sufficiente confrontare quelle del «2» e del «5»
- Trovare le aree per conteggio e concludere che è Mauro quello che userà più pittura dando per esempio, il numero di
quadratini(se l’unità è il quadratino): area del «2» = 34 e area del «5» = 36
4 La risposta giusta (Mauro) con l’area delle lettere «2» e «5» e la spiegazione della maniera di ottenerle (se sono
indicate anche le aree delle cifre «0»: 42 quadretti, la risposta viene considerata buona)
3 La risposta giusta, con le aree ma senza indicazioni sulla maniera in cui sono state ottenute
oppure la risposta giusta e spiegata, con un errore nel calcolo dell’area della cifra «0»
2 Un solo errore nel conteggio delle unità d’area (del 2 o del 5), con spiegazioni e risposta coerente
1 La risposta (Mauro), senza spiegazioni sulla determinazione dell’area (“abbiamo visto che...”)
0 Incomprensione del problema o lavoro sui perimetri, stima visiva
Livello: 3 – 4; Origine : C.I.
FONTANELLE (Cat. 3) (11°, I, 1)
Il signor Bevilacqua ogni mattina passa a bere un po’ d’acqua da ciascuna delle 5 fontane del paese
di Fontanelle.
C
A
B
D
E
Egli segue le strade del disegno. Parte sempre dalla fontana A senza mai ritornare ad una fontana
già visitata.
Quanti percorsi diversi il signor Bevilacqua può fare per visitare tutte le fontane di
Fontanelle?
Descriveteli in modo chiaro e preciso.
ANALISI A PRIORI
Ambito concettuale
- Geometria: localizzazione, percorsi
- Combinatoria: capacità di procedere in modo sistematico
Analisi del compito
- Comprendere che il giro completo delle fontane consiste nel partire da A e passare una sola volta
da tutte le altre fontane, secondo le possibilità offerte dai collegamenti.
- Provare per tentativi a completare il giro e rendersi conto che ci possono essere più possibilità.
- Capire la necessità di un metodo sistematico per individuare tutti i possibili percorsi che
uniscono la fontana A alle altre fontane B, C, D, E.
- Usare un diagramma ad albero per indicare i possibili percorsi, o colorare i percorsi in modo
diverso in altrettante copie del disegno o indicare i percorsi con colori diversi sullo stesso
disegno.
- Rendersi conto che sono 6 i percorsi completi possibili: A-B-C-D-E, A-B-E-D-C, A-E-B-C-D,
A-E-B-D-C, A-E-D-B-C, A-E-D-C-B. Verificare anche che due itinerari, inizialmente possibili,
A-B-D-C e A-B-D-E, non permettono di completare il giro perché toccano solo quattro fontane.
ATTRIBUZIONE DEI PUNTEGGI
4 Risposta corretta, 6 percorsi, con descrizione precisa
3 Risposta 8 percorsi, comprensiva dei 2 incompleti, con descrizione dettagliata oppure risposta 6
percorsi, con descrizione poco chiara (ad esempio, tutti i colori sovrapposti poco distinguibili)
2 Indicati con precisione 4 o 5 percorsi corretti
1 Indicati con precisione 2 o 3 percorsi corretti oppure risposta 6 percorsi, senza alcuna descrizione
0 Incomprensione del problema o indicato solo un percorso
Livello: 3
Origine: Siena
IL RAGNETTO (Cat. 4, 5, 6) (11°, I, 7)
Un ragnetto cammina lungo i fili di una rete di recinzione. Parte da uno dei punti indicati in figura
con A,B,C…,U,V e raggiunge l’incrocio X, dove si ferma per costruire la sua ragnatela. Lungo il
suo cammino si comporta così:
− primo incrocio: prosegue dritto;
B C D E F
− secondo incrocio: va a sinistra;
− terzo incrocio: va a sinistra;
G
V
− quarto incrocio: va a destra;
U
H
− quinto incrocio: va a destra;
− sesto incrocio: prosegue dritto;
I
T
X
− settimo incrocio: va a destra;
L
S
− ottavo incrocio: si ferma.
Quali sono i punti da cui il ragnetto può esser partito?
R Q
Disegnate i possibili percorsi del ragnetto.
P
O
N M
ANALISI A PRIORI
Ambito concettuale
Geometria: percorsi, orientamento su una mappa, destra-sinistra, rotazioni.
Analisi del compito
Si può affrontare il problema secondo due ottiche diverse:
- eseguire i comandi partendo ogni volta da punti diversi della griglia, scartare i percorsi che non
portano all’incrocio X ed individuare i 2 percorsi possibili, cioè quelli in partenza da C ed H
come in figura:
C
H
X
X
- oppure: seguire i comandi a ritroso partendo dal punto X (si tratta d’invertire destra e sinistra) e
accorgersi che ci sono 2 possibili percorsi.
4 Risposta corretta e completa (i due punti C e H) e il disegno dei 2 possibili percorsi
3 Risposta corretta (C, H) e il disegno di uno solo dei 2 percorsi
2 Indicati 1 o 2 percorsi corretti, insieme ad altri non corretti oppure risposta “C, H” senza i
percorsi
1 Individuazione di 1 o più percorsi contenenti ciascuno un solo errore di direzione
Livello: 4 – 5 – 6
Origine: Siena
ROMEO E GIULIETTA (Cat. 4, 5) (16°, I, 6)
Romeo
rose
lillà
giunchiglie
Giulietta
margherite
Romeo cammina seguendo le strade disegnate su questa piantina.
Vuole raggiungere Giulietta e vuole anche, però, assolutamente portarle un mazzo di fiori.
Romeo può scegliere tra un mazzo di lillà o un mazzo di rose, o un mazzo di giunchiglie oppure un
mazzo di margherite.
Quale mazzo di fiori deve scegliere Romeo per percorrere la strada più corta possibile?
ANALISI A PRIORI
Ambito concettuale
- Geometria: spostamento su una griglia, determinazione di distanze, misura e confronto di lunghezze
Analisi del compito
-
-
-
-
Constatare che i percorsi che vanno da Romeo a Giulietta e che passano per un mazzo di fiori sono molti
Rendersi conto che, per confrontare la lunghezza di due percorsi, non è sufficiente contare il numero di “trattini”
dello schema ma che bisogna tener conto del tipo di trattini; ce ne sono due, che corrispondono a due unità di misura
non equivalenti: il lato e la diagonale di un quadrato della griglia.
Trovare i criteri di confronto di queste due unità: una diagonale è più lunga del lato di un quadrato, ma due lati sono
più lunghi di una diagonale (tramite una stima a occhio, o attraverso spostamenti reali o immaginari per confrontare
direttamente le lunghezze, o tramite la misura effettuata con una riga graduata o riportando le lunghezze, oppure
attraverso dei “teoremi adulti” del tipo « la strada più corta tra un punto ed un altro è la linea retta» ... ).
Trovare il percorso più corto per ogni fiore, tenendo conto dei criteri precedenti.
Paragonare i quattro percorsi minimali ottenuti: «percorso delle giunchiglie», « percorso delle margherite» ...
(tenendo sempre presente i criteri precedenti) aiutandosi eventualmente con una disposizione in tabella:
Fiori scelti Numero di “pezzi” del percorso
Numero di lati
Numero di diagonali
Giunchiglie
7
7
0
Margherite
6
3
3
Lillà
6
3
3
Rose
6
5
1
Notare che tra i tre percorsi di 6 pezzi, quelli corrispondenti alle margherite ed ai lillà hanno la stessa lunghezza,
mentre quello delle rose comprende una diagonale al posto delle tre degli altri due. Dedurne che la strada delle rose
è la più corta tra queste tre.
Paragonare infine il percorso delle rose e quello delle giunchiglie e constatare che quando si tolgono ad ognuno i 5
lati di quadrato, restano due lati per le giunchiglie contro una diagonale per le rose e che quindi la strada delle rose è
la più corta.
Oppure: misurare tutti i percorsi con una riga e confrontare le lunghezze
Oppure: riportare le differenti lunghezze di ogni percorso per ottenere un segmento della stessa lunghezza del percorso
totale: poi confrontare direttamente o indirettamente le lunghezze dei percorsi ottenuti.
4 Risposta corretta (rose) con argomentazione del ragionamento seguito o confronto dei tracciati nel dettaglio
3 Risposta corretta con spiegazione incompleta o poco chiara
oppure, per uno dei quattro percorsi non si individua la strada più corta (per es. si dice che il percorso delle rose è di
7 lati, ribaltando di conseguenza l’ordine dei tracciati), ma viene conservata la coerenza del ragionamento
1 Inizio di ricerca coerente (differenziazione tra lunghezza di una diagonale e lunghezza di un lato di un quadrato)
Livello: 4, 5
ATTRAVERSO LA QUADRETTATURA (Cat. 5, 6, 7) (8°, II, 8)
Andrea, Berta, Carlo, Denise, Emilio, Francesco e Giorgia hanno scelto ognuno un percorso per
attraversare la quadrettatura.
Andrea è partito da A per arrivare ad A', Berta da B a B', ecc.
Elencate questi percorsi dal più corto al più lungo.
Indicate come avete stabilito l’ordine dei percorsi e spiegate il vostro ragionamento.
ANALISI A PRIORI
Ambito concettuale
– Geometria
– Misure di lunghezza (confronti, distanze)
Analisi del compito
– Procedere misurando i percorsi o contando le unità (lati e/o diagonali dei quadrati della griglia)
– Distinguere le unità "lati" dalle unità "diagonali" e contarle separatamente
– Effettuare "scambi" o "compensazioni" di unità
– Trovare un metodo di confronto dei percorsi C, E e B (per accostamento, ingrandimento e misura, confronto linea
retta/linea poligonale, …)
Livello: 5 - 6 - 7
Origine : Suisse romande
I CINQUE QUADRATI (Cat. 3, 4) (14°, II, 2)
Con cinque quadrati di colori diversi, Clara ha
riempito interamente un grande rettangolo,
come si vede sul disegno.
I lati del quadrato grigio, in basso a destra,
misurano 16 cm.
Quali sono la lunghezza e la larghezza del
rettangolo grande?
Spiegate come avete trovato queste due
misure.
ANALISI A PRIORI
Ambito concettuale
- Aritmetica: operazioni
- Geometria: quadrato, rettangolo; confronto e somma di segmenti
Analisi del compito
- Osservare il disegno e i cinque quadrati e verificare gli allineamenti.
- Constatare che i due quadrati piccoli sono uguali, che due loro lati allineati corrispondono al lato del quadrato grigio
e che, di conseguenza, hanno ciascuno i lati di 8 cm (16:2).
- Notare poi che un lato del quadrato verde è la somma dei lati dei quadrati grigio e blu, e che quindi misura 24
(16+8) cm. Quindi, visto che la figura è un quadrato, concludere che tutti i suoi lati misurano 24 cm.
- Notare infine che un lato del quadrato arancione è la somma dei lati dei quadrati verde, blu e rosso, e che quindi
misura 40 cm (24 + 8 + 8) e, visto che la figura è un quadrato, concludere che tutti i suoi lati misurano 40 cm.
- Dedurre, sommando le misure, la lunghezza del rettangolo : 64 = 40 + 24 e la larghezza: 40 = 24 + 16, cioè il lato
del quadrato arancione
O procedere disegnando i quadrati su un foglio quadrettato (operando una riduzione dal momento che le dimensioni
reali sono troppo grandi perchè il disegno entri in un foglio): cominciare dal quadrato grigio, poi i due piccoli, poi il
verde, poi l’arancione.
Risposta corretta: lunghezza: 64 cm , larghezza : 40 cm, con spiegazioni (calcolo di tutte le misure dei lati dei
quadrati : 8, 24 = 8 + 16, 40 = 16 + 24, 64 = 40 + 24, o misure annotate sul disegno o disegno su quadrettatura)
Livello: 3, 4
Origine: Siena, C.I.
LA SFIDA (Cat. 3, 4, 5) (11°,F, 4)
Anna vuole sfidare Giorgio e gli dice:
«Vincerà quello fra noi due che riuscirà a sistemare in questo quadrato
... il maggior numero di pezzi di questo tipo:
senza metterli uno sull’altro»
E voi, quanti pezzi riuscite a sistemare nel quadrato?
Disegnate con precisione la vostra soluzione (indicando chiaramente i pezzi).
IL FOGLIO DI FRANCESCO (Cat. 3, 4) (23, F, 1)
Francesco ha trovato questo pezzo di foglio quadrettato.
Lo vuole tagliare in tre pezzi.
Francesco decide che:
- i tre pezzi saranno identici, cioè avranno tutti la stessa forma.
- ogni pezzo sarà formato solo da quadrati interi.
Disegnate i tre pezzi ritagliati da Francesco sul pezzo di foglio quadrettato e colorate ognuno
con un colore diverso.
ANALISI A PRIORI
Compito matematico:
Ripartire una figura quadrettata in tre figure isometriche formate da quadrati.
Analisi del compito
-
Comprendere che la totalità della superficie deve essere tagliata in tre pezzi, che il contorno di ogni pezzo deve
seguire le linee della quadrettatura e che i tre pezzi devono essere sovrapponibili, ma non orientati necessariamente
nello stesso modo.
- Procedere mediante tentativi non organizzati: disegnare un primo pezzo e cercare di disegnare sulla superficie
rimanente due pezzi identici; tale procedura ha poche probabilità di riuscita.
- Contare i quadretti contenuti nella superficie (15) e dedurne che ogni pezzo deve essere formato da 5 quadrati.
Procedere per tentativi successivi, cercando la forma dei pezzi: disegnare un primo pezzo formato da 5 quadrati
scelti a caso o ritagliare tre pezzi identici, e, nel caso non si riesca a pavimentare la superficie, adattare
progressivamente la sistemazione dei 5 quadrati tenendo conto dei vincoli geometrici. Tale procedura non porta la
sicurezza della riuscita.
- Cercare diversi modi di assemblare 5 quadrati e per ogni forma trovata tentare di pavimentare la
superficie con tre pezzi identici, ritagliati o disegnati sulla superficie.
Terminare la ricerca quando si è trovata una pavimentazione.
4 Risposta corretta (i tre pezzi disegnati e colorati) e una spiegazione del modo in cui la ricerca è stata
fatta (si sono provate delle forme, si è visto che ogni pezzo deve essere formato da 5 quadrati e si sono provate delle
forme fatte di 5 quadrati, disegni dei tentativi successivi, …) Non è richiesta la spiegazione dell’unicità della
risposta
2 Inizio di ragionamento corretto: ricoprimento con pezzi formati ciascuno da 5 quadrati, ma dei quali solo due sono
identici
1 Presentazione di una ricerca che mostri che ognuno dei tre pezzi deve essere formato da 5 quadrati
Livello: 3, 4
Origine: Dal Rallye Mathématique romand 02.2.09
QUADRATI COLORATI (Cat. 3) (20°,F, 1)
Un pittore è di fronte alla sua tela rettangolare. Decide di ricoprirla completamente con quadrati
della stessa grandezza, che colorerà di colori diversi.
Dopo aver scelto la grandezza dei quadrati in modo che tutta la tela sia ricoperta esattamente e che i
quadrati non si sovrappongano, il pittore comincia a disegnarli e a colorarli.
La figura qui sotto mostra l’inizio del suo lavoro:
Quanti quadrati deve ancora disegnare e colorare il pittore per terminare il suo lavoro?
ANALISI A PRIORI
Ambito concettuale
- Geometria: pavimentazioni e misura
- Aritmetica: addizione, sottrazione, moltiplicazione
Analisi del compito
-
Contare i quadrati già colorati, 15.
Trovare il numero di quadrati che bisogna ancora sistemare e colorare continuando la quadrettatura e contando i
quadrati necessari, 33. Oppure si può misurare il lato dei quadrati e calcolare i pezzi da riempire sulla lunghezza e
la larghezza per determinare le dimensioni della tela in lati dei quadrati: 6 e 8; ciò permetterà di calcolare il numero
totale di quadrati mediante una moltiplicazione e quindi il numero di quadrati mancanti per sottrazione: 48 −15 = 33.
Punteggio massimo 4 : Risposta corretta, 33 quadrati, con spiegazioni chiare sulla procedura (operazioni o
disegno chiaro)
Livello: 3
Origine: RMT (2° RMR e altre prove)
I CUSCINI DELLA PRINCIPESSA (Cat. 3, 4) (7°, F, 5)
La principessa Zubeida è costretta a letto. Ci sono sette cuscini quadrati identici sul suo
letto. Zubeida ha male qui e male là. Per trovare sollievo cambia di posto i suoi cuscini.
Quando questi sono uno accanto all'altro, ne occorrono cinque per occupare tutta la
lunghezza del letto. Ma sono sufficienti quattro cuscini per la larghezza.
La principessa vorrebbe ricoprire tutta la superficie del letto con dei cuscini, li chiede
perciò alla sua cameriera.
Quanti altri cuscini, delle stesse dimensioni, dovrà portare la cameriera perché la
principessa possa ricoprire tutta la superficie del letto?
Spiegate come avete trovato la vostra soluzione.
Campo concettuale:
- aritmetica: addizione, sottrazione, moltiplicazione
- geometria: area del rettangolo
Analisi del compito:
- rappresentare la superficie del letto (rettangolo) e un "ricoprimento" con cuscini;
- trovare il numero totale di cuscini necessari e dedurne il numero dei cuscini mancanti, con un disegno o
con delle operazioni aritmetiche: (4 x 5) - 7 = 13
Valutazione:
4 La soluzione (13) con spiegazione: dettaglio delle operazioni e/o disegno
3 La soluzione con spiegazione incompleta o non convincente, o errore di calcolo con ragionamento
corretto accertato
2 Risposta 20, con spiegazione
1 Inizio di risoluzione corretta
0 Nessuna soluzione o incomprensione del problema
Livello: 3 - 4
Origine: Praga

problemi area e perimetro

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