Modelli stocastici ed equazioni di Kolmogorov-Fokker

Modelli stocastici ed equazioni di
Kolmogorov-Fokker-Planck
A. Barchielli
Dipartimento di Matematica, Politecnico di Milano,
Piazza Leonardo da Vinci 32, I-20133 Milano, Italy
Politecnico di Milano — Scuola estiva su:
Campi vettoriali di Hörmander, equazioni differenziali ipoellittiche e
applicazioni
12–16 luglio 2004
Sommario
Le equazioni di Langevin sono equazioni di moto, del tipo delle
equazioni di Hamilton, in cui appare una forza proporzionale ad un rumore bianco. La necessità di dare un significato matematico a queste
equazioni portò allo sviluppo del calcolo stocastico di Itô e alla nozione di equazione differenziale stocastica. La soluzione di una di queste
equazioni è un processo di Markov le cui probabilità di transizione
sono legate a oggetti che soddisfano l’equazione di Kolmogorov all’indietro. Quando esistono le densità di probabilità di transizione, sono
queste densità che soddisfano l’equazione di Kolmogorov in avanti, o
equazione di Fokker-Planck.
La presentazione matematica del calcolo stocastico e delle equazioni differenziali stocastiche richiederebbe troppo tempo per gli scopi di
questa Scuola. Queste lezioni intendono solamente dare qualche idea
euristica sul calcolo stocastico, per capire cosa sia un’equazione differenziale stocastica e come, a partire da questa, si ottenga l’equazione
di Kolmogorov-Fokker-Plank. Questi punti saranno illustrati introducendo esempi di equazioni di interesse per la fisica o, più in generale,
per le scienze applicate.
Questi appunti vogliono essere solo una traccia delle lezioni e avranno
uno stile estremamente schematico. Per una presentazione più articolata
segnalo qualche libro.
Un testo semplice che contiene tutti gli argomenti di cui abbiamo bisogno è:
Z. Schuss, Theory and Applications of Stochastic Differential Equations
(Wiley, New York, 1980).
Presentazioni matematicamente accurate sono date in:
1
P. Baldi, Equazioni Differenziali Stocastiche e Applicazioni, Quaderni UMI
28 (Pitagora, Bologna, 2000);
Xuerong Mao, Stochastic Differential Equations and Applications (Horwood Publishing, Chichester, 1997).
Libri completamente dedicati alle applicazioni sono:
H. Risken, The Fokker-Planck equation (Springer, Berlin, 1989);
N.G. van Kampen, Stochastic Processes in Physics and Chemistry (Elsevier, Amsterdam 1992);
C.W. Gardiner, Handbook of stochastic methods: for physics, chemistry
and the natural sciences (Springer, Berlin, 1990).
Indice
1 Introduzione
1.1 Le equazioni coinvolte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Un prototipo: le equazioni di Langevin . . . . . . . . . . . . .
3
3
4
2 L’integrale stocastico
2.1 Il processo di Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Il processo di Wiener standard unidimensionale . . . .
2.1.2 Il processo di Wiener d-dimensionale . . . . . . . . . .
2.2 Necessità di una definizione ad hoc per l’integrale rispetto al
processo di Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 L’integrale stocastico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Filtrazioni e processi adattati . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 L’integrale rispetto al tempo . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3 L’integrale di Itô per processi semplici . . . . . . . . .
2.3.4 L’isometria di Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.5 Altre proprietà dell’integrale stocastico . . . . . . . . .
2.3.6 Estensione della classe di integrandi . . . . . . . . . .
2.4 Il differenziale stocastico e la formula di Itô . . . . . . . . . .
2.5 L’integrale e il differenziale stocastici multidimensionali . . .
5
5
5
7
7
9
9
10
10
12
15
16
16
19
3 Equazioni differenziali stocastiche
3.1 Una classe di EDS . . . . . . . . .
3.2 Esistenza e unicità delle soluzioni .
3.3 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Equazione di Langevin . . .
3.3.2 Un mercato finanziario . . .
3.3.3 Modello di diffusione di fase
20
20
21
22
22
23
23
2
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
per un
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
laser
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
4 Le equazioni di Kolmogorov e di Fokker-Planck
4.1 Il generatore delle diffusioni . . . . . . . . . . . .
4.2 Probabilità di transizione e processi di Markov .
4.3 L’equazione di Kolmogorov all’indietro . . . . . .
4.4 L’equazione di Fokker-Planck o di Kolmogorov in
1
. . . .
. . . .
. . . .
avanti
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
23
23
24
25
26
Introduzione
Scopo di queste lezioni è di spiegare cosa sono le equazioni differenziali stocastiche (EDS), o almeno una sottoclasse di EDS, e mostrare come sono legate
alle equazioni di Fokker-Planck e ad altre equazioni alle derivate parziali.
Questo legame aiuta nelle applicazioni; spesso l’esame del problema “fisico” porta a costruire il modello stocastico e si passa poi alla PDE legata.
Aiuta anche nelle soluzioni numeriche: la rappresentazione stocastica di una
PDE può essere il punto di partenza per una simulazione di tipo MonteCarlo.
1.1
Le equazioni coinvolte
EDS “alla Itô”
(
¡
¢
¡
¢
dX(t) = b X(t), t dt + σ X(t), t dW (t)
X(t0 ) = x0
t ≥ t0 , x0 ∈ Rm , b vettore reale, σ matrice reale
dW (t) “=” Ẇ (t)dt
Ẇ (t): “rumore bianco” d-dimensionale
Equazione di Fokker-Planck associata:

∂


p(x, t|x0 , t0 )


∂t





2
X ∂
X
1
∂
= −
bi (x, t) +
aij (x, t) p(x, t|x0 , t0 )


∂x
2
∂x
∂x

i
i
j

i
ij



p(x, t0 |x0 , t0 ) = δ(x − x0 )
aij :=
d
X
σik σjk
o
a := σσ T
(1)
(2)
(3)
k=1
Primo problema. Che equazione è (1)? Che senso ha? Si scrive in forma
differenziale e non con le derivate per ricordare che non è un’ODE
dipendente da un qualche parametro casuale; Ẇ (t) potrebbe avere un
senso solo come distribuzione. Spesso viene scritta in forma integrale
Z t
Z t
¡
¢
¡
¢
X(t) = x0 +
b X(s), s ds +
σ X(s), s dW (s) .
(4)
t0
t0
3
Tuttavia l’ultimo “integrale” ha diritto a questo nome perché limite di
somme di tanti piccoli termini, ma non c’è nessuna misura rispetto a
cui si integri nel senso della teoria della misura e dell’integrazione.
Secondo problema. Come si passa da (1) a (2)? Dovremo dare il legame
matematico tra (1) e (2) e anche spiegare le affermazioni: “(1) dà una
descrizione ‘per traiettorie’ del processo stocastico di Markov X(t)”,
mentre “(2) fornisce le probabilità di transizione per questo processo”;
p(x, t|x0 , t0 ) sarà la densità della probabilità di passare da x0 al tempo
t0 a x al tempo t.
1.2
Un prototipo: le equazioni di Langevin
Consideriamo le equazioni di Hamilton per una particella in un campo di
forze F (q, p, t) e immersa in un fluido. Possiamo pensare di rappresentare
schematicamente il fluido con una ulteriore forza di natura stocastica σw(t)
e scriviamo
(
p
q̇ = m
ṗ = F (q, p, t) + σw(t)
(5)
σ è una costante che misura l’intensità del rumore e che introduciamo per
convenienza. Il rumore w(t) è casuale e vogliamo che sia il più semplice possibile e il più “caotico” possibile. Chiediamo che sia gaussiano (semplicità)
a media nulla (un’eventuale media può essere inglobata in F ). Dato che il
rumore rappresenta le interazioni della nostra particella con le molecole del
fluido, che si comportano in modo caotico e si “dimenticano in fretta” degli
urti subiti, possiamo chiedere che i tempi di correlazione del rumore siano
piccolissimi, al limite nulli, e chiediamo (nel caso unidimensionale)
Cov[w(t), w(s)] = δ(t − s) .
(6)
Cosı̀ facendo però abbiamo che w(t) non è una funzione “liscia” e sorge il
problema di dar senso all’equazione di Langevin (5). Finché σ è una costante
o, al più, dipende dal tempo, si può aggirare questa difficoltà in vari modi. Se
addirittura si suppone F al più lineare in q e p (particella libera o oscillatore
armonico con attrito) si può esibire esplicitamente la soluzione q(t), p(t) di
(5) come processo gaussiano. Come vedremo, i problemi sorgono quando si
assume che l’intensità del rumore possa dipendere dalla posizione e/o dalla
velocità: σ = σ(q, p, t). È in questo caso che si rende necessaria la teoria
degli integrali stocastici di Itô.
Si noti che, se identifichiamo w(t)dt con dW (t) e prendiamo per buona
la corrispondenza tra le equazioni (1) e (2), l’equazione di Fokker-Planck
associata a (5) risulta essere (indicando con p̃ la densità di probabilità di
4
transizione per non confonderla con le variabili di momento p)
h X ∂ p
X ∂
∂
i
p̃(q, p, t|q0 , p0 , t0 ) = −
−
Fi (q, p, t)
∂t
∂qi m
∂pi
i
i
i
1 X ∂2
+
(σσ T )ij p̃(q, p, t|q0 , p0 , t0 ) . (7)
2
∂pi ∂pj
ij
Vediamo cosı̀ che il precursore di tutte le EDS porta ad un’equazione parabolica degenere: le derivate seconde non toccano le variabili di tipo q.
2
L’integrale stocastico
2.1
Il processo di Wiener
Il primo passo per dar senso all’EDS (1) è di introdurre il processo W (t) di
cui Ẇ (T ) sarà la derivata formale.
Spazio di probabilità: (Ω, F, P ), uno spazio misurabile con una misura
di massa 1.
Variabile aleatoria (reale): X : Ω → R misurabile. Se R viene sostituito da uno spazio misurabile qualsiasi abbiamo la più generale variabile
aleatoria.
Variabili aleatorie indipendenti: le probabilità congiunte fattorizzano.
Processo stocastico: una collezione di variabili aleatorie, per noi sempre
indicizzate dai numeri positivi (il tempo) {X(t), t ≥ 0}. Per noi i processi
saranno sempre a valori in un qualche Rm
q.c. = quasi certamente = quasi ovunque rispetto a P
Modificazioni o versioni: il processo Y (t) è una modificazione o versione
di X(t) se sono entrambi definiti sullo stesso spazio di probabilità e per ogni
t si ha Y (t) = X(t) q.c., cioè P [Y (t) = X(t)] = 1, ∀t.
2.1.1
Il processo di Wiener standard unidimensionale
Un processo stocastico reale {W (t), t ≥ 0}, in uno spazio di probabilità
(Ω, F, P ), si chiama processo di Wiener (standard, unidimensionale) se
(i) W (0) = 0 q.c.,
(ii) è un processo a incrementi indipendenti, cioè per ogni scelta dell’intero
n e dei tempi 0 ≤ t1 < t2 < · · · < tn le variabili aleatorie W (t2 ) −
W (t1 ), W (t3 ) − W (t2 ), . . . , W (tn ) − W (tn−1 ) sono indipendenti,
(iii) per t > s, W (t) − W (s) è distribuita come una normale di media 0 e
varianza t − s.
5
Il termine ‘standard’ si riferisce alla scelta del coefficiente di t − s nella
varianza al punto (iii). Nella letteratura matematica questo processo è spesso chiamato moto Browniano, perché è il più semplice modello del fenomeno
fisico del moto Browniano; tuttavia per distinguere il fenomeno da questo
primo modello è meglio usare il nome di processo di Wiener.
Le proprietà (i)-(iii) individuano univocamente tutte le probabilità finitodimensionali del processo; si può verificare che si ha
Z
P [W (t1 ) ∈ F1 , W (t2 ) ∈ F2 , . . . , W (tn ) ∈ Fn ] =
F1 ×F2 ×···×Fn
p(tn − tn−1 ; xn |xn−1 ) · · · p(t2 − t1 ; x2 |x1 )p(t1 ; x1 |0) dx1 dx2 · · · dxn , (8)
dove le densità di probabilità di transizione sono date da
·
¸
1
(x − y)2
p(t; x|y) = √
exp −
,
2t
2πt
t>0
(9)
Le proprietà caratterizzanti il processo di Wiener non fissano lo spazio
di probabilità dove è realizzato; esiste tuttavia una relizzazione canonica.
Prendiamo come Ω lo spazio di tutte le funzioni continue da R+ a R uscenti
da zero e poniamo
W (t; ω) := ω(t) .
(10)
Sia F la più piccola σ-algebra
che rende
¡
¢ misurabile tutte le proiezioni canoniche ω 7→ ω(t): F := σ W (t), t ≥ 0 . Si dimostra poi che esiste un’unica
misura di probabilità P (la misura di Wiener) rispetto a cui il processo W (t)
(10) ha le (8) come distribuzioni finito dimensionali.
Il rumore bianco. Vediamo adesso perché il processo di Wiener ha a che
fare con il non ben definito rumore bianco, che è l’oggetto che ci interessa.
Calcoliamo la funzione di covarianza del processo; scegliamo t > s e
usiamo l’indipendenza degli incrementi:
Cov[W (t), W (s)] = Cov[W (t) − W (s) + W (s), W (s)]
= Cov[W (t) − W (s), W (s)] + Cov[W (s), W (s)] = Var[W (s)] = s .
In generale si ha dunque
Cov[W (t), W (s)] = min{t, s}
(11)
Dato che le trasformazioni lineari mandano gaussiane in gaussiane, l’ipotetico processo Ẇ (t) sarà gaussiano e, per la relazione precedente, δ-correlato,
proprio le proprietà che volevamo dal rumore bianco.
6
2.1.2
Il processo di Wiener d-dimensionale
Con processo di Wiener d-dimensionale intendiamo semplicemente d processi di Wiener unidimensionali indipendenti. Dunque ciascuna componente di
W (t) è un processo di Wiener e vale Cov[Wi (t), Wj (s)] = δij min{t, s}. Assumiamo inoltre di prendere sempre una realizzazione a traiettorie continue:
t 7→ W (t; ω) ∈ Rd continua per ogni ω ∈ Ω.
Densità di probabilità di transizione: x, y ∈ Rd , t > 0,
·
¸
1
|x − y|2
p(t; x|y) =
exp −
.
(12)
2t
(2πt)d/2
d
Versione
canonica:
¡
¢ Ω = {ω : ω ∈ C(R+ , R ), ω(0) = 0}, W (t; ω) = ω(t),
F := σ W (t), t ≥ 0 , la misura di Wiener P è di nuovo univocamente
determinata dalle distribuzioni finito-dimensionali.
2.2
Necessità di una definizione ad hoc per l’integrale rispetto al processo di Wiener
Visto che il rumore bianco è un oggetto molto singolare si cerca di dare
senso ad un’equazione in forma integrale del tipo (4) e siamo perciò indotti
a cercare di dare senso ad integrali rispetto al processo di Wiener. Si può
però dimostrare che “le traiettorie t 7→ W (t; ω) del processo di Wiener non
sono q.c. a variazione finita suRalcun intervallo”; dunque non si può certo
t
definire un integrale di Stieltjes 0 f (t; ω)dW (t; ω), ω per ω. La definizione di
questo integrale non potrà essere fatta ‘per traiettorie’, ma dovrà contenere
anche la probabilità come ingrediente essenziale.
In questa sezione W (t) è unidimensionale.
Fissiamo un intervallo [0, T ] e una sua partizione 0 = t0 < t1 < · · · <
tn−1 < tn = T . Siano ∆tj = tj+1 − tj e ∆Wj = W (tj+1 ) − W (tj ); quando
considereremo un limite sarà per maxj ∆tj ↓ 0.
RT
Incominciamo col tentativo di definire 0 f (t) dW (t) con f funzione
deterministica (non è aleatoria, non dipende da ω). Possiamo pensare di
definire l’integrale come un qualche limite delle somme integrali
X
Sn =
f (t∗j )∆Wj ,
(13)
j
dove t∗j è un qualche punto intermedio fra tj e tj+1 .
Sn è lineare negli incrementi del Wiener, f è deterministica ⇒ Sn è
gaussiana e questa proprietà si mantiene anche nei passaggi al limite.
Basta dunque trovare media e varianza per avere la legge di Sn . Banalmente E[Sn ] = 0 perché gli incrementi del Wiener hanno media nulla; resta
da trovare la varianza. Per l’indipendenza degli incrementi
E[∆Wj ∆Wi ] = δij Var[∆Wj ] = δij ∆tj
7
(14)
e poi
Var[Sn ] = E[Sn2 ] =
X
f (t∗j )f (t∗i ) E[∆Wj ∆Wi ]
ij
=
X
Z
f (t∗j )2 ∆tj
j
→
T
f (t)2 dt . (15)
0
Dunque, se f è quadrato
integrabile, è ragionevole e matematicamente
RT
consistente dire che 0 f (t)dW (t) segue una legge normale di media 0 e
RT
varianza 0 f (t)2 dt. Si può perfezionare questa definizione e si ottiene cosı̀
l’“integrale di Wiener”; però i possibili integrandi sono solo le funzioni deterministiche. Si noti che nella definizione entra il fatto che W sia un processo
gaussiano, dunque viene coinvolta la probabilità e non solo le traiettorie.
Per dare senso all’equazione (4) abbiamo però bisogno di integrare anche processi stocastici e qui Ri problemi aumentano come mostra il seguent
te esempio. Consideriamo 0 W (t)dW (t); comunque lo si possa definire,
consideriamo due diverse discretizzazioni:
• integrando nel tempo iniziale
I1 =
X
W (tj )∆Wj ;
(16)
j
• integrando nel tempo a metà intervallo
X
tj + tj+1
I2 =
W (t∗j )∆Wj ,
t∗j :=
.
2
(17)
j
Ancora prima di fare ogni tipo di limite abbiamo
X
E[I1 ] =
E[W (tj )(W (tj+1 ) − W (tj ))]
j
=
X
E[W (tj )] E[W (tj+1 − W (tj )] = 0 , (18)
j
E[I2 ] =
X
E[W (t∗j )(W (tj+1 ) − W (tj ))] =
j
=
X
j
X
E[W (t∗j )(W (t∗j ) − W (tj ))]
j
¶
X µ tj + tj+1
1X
T
∗
2
E[(W (tj ) − W (tj )) ] =
− tj =
∆tj = .
2
2
2
j
j
Questo semplice calcolo mostra già che ci saranno più possibili definizioni,
dipendenti dal tipo di discretizzazione; questo è un riflesso del fatto che
le traiettorie non sono a variazione finita. La discretizzazione in I1 porterà all’integrale di Itô e la discretizzazione in I2 porterà all’integrale di
Stratonovich (che non vedremo).
8
2.3
L’integrale stocastico
L’idea diPintegrale stocastico è di partire da un processo Rcostante a tratti
T
X(t) = n−1
j=0 ej 1[tj ,tj+1 ) (t) e di definire l’integrale come 0 X(t)dW (t) =
P
j ej ∆Wj . Poi si studia a quale classe di integrandi si può estendere questa
definizione usando opportuni limiti.
Una prima osservazione è che si parte da partizioni di [0, T ] in sottointervalli, come per l’integrale alla Riemann; non si usano partizioni più generali,
come nell’integrale alla Lebesgue.
Una seconda osservazione è che la proprietà che rendeva semplice l’integrale di tipo I1 è il fatto che in ciascun termine l’integrando e l’incremento
del Wiener fossero indipendenti. Questo può essere mantenuto anche nel
caso generale se chiediamo che X(t) dipenda dal Wiener fino al tempo t e
non dagli incrementi W (t + s) − W (t), s > 0. Si dice che l’integrando deve
essere adattato o non anticipativo. Vediamo di formalizzare queste idee.
2.3.1
Filtrazioni e processi adattati
Sia W (t) un processo di Wiener d-dimensionale nello spazio di probabilità
completo (Ω, F, P ). Sia Ft la σ-algebra generata da {W (s), 0 ≤ s ≤ t} e
da tutti gli insiemi di probabilità nulla di F; Ft è l’insieme degli eventi di
cui sappiamo se si sono avverati o no se abbiamo osservato il processo di
Wiener fino a t.
• Per l’indipendenza degli incrementi del Wiener, W (t+s)−W (t), s > 0,
è indipendente da Ft , cioè W (t + s) − W (t) è indipendente da ogni
variabile aleatoria Ft -misurabile.
• La famiglia {Ft , t ≥ 0} è una filtrazione, cioè una famiglia crescente
di sotto-σ-algebre: Fs ⊂ Ft ⊂ F per s ≤ t.
W
• T
Si dimostra che tale filtrazione è continua nel senso che Ft = 0≤s<t Fs =
u>t Fu .
¦ Un processo {X(t), t ≥ 0} si dice adattato o non anticipativo se X(t)
è Ft -misurabile per ogni t.
Oltre agli integrali stocastici, noi avremo da fare anche integrali sul tempo, valori attesi (cioè integrali su ω), scambiare questi integrali utilizzando
Fubini... Avremo perciò bisogno della misurabilità congiunta in t e ω.
¦ Un processo {X(t), t ≥ 0} si dice misurabile se (t, ω) 7→ X(t; ω) è
BR+ ⊗ F-misurabile su R+ × Ω.
¦ Un processo {X(t), t ≥ 0} si dice progressivamente misurabile o progressivo se, ∀T > 0, (t, ω) 7→ X(t; ω) è B(0,T ) ⊗ FT -misurabile su
[0, T ] × Ω. Un processo progressivo è misurabile e adattato.
9
• Per le proprietà della nostra filtrazione, si dimostra che un processo
continuo a destra e adattato è progressivamente misurabile.
2.3.2
L’integrale rispetto al tempo
Se X è un processo misurabile, posso considerare gli integrali fatti traiettoria
per traiettoria (ω fissato)
µZ b
¶
Z b
X(t)dt (ω) :=
X(t; ω)dt ;
(19)
a
a
l’integrale può esistere o non esistere, si chiede la misurabilità congiunta di
X(t; ω) in t e ω per garantire che l’integrale sia una variabile aleatoria. Se
Z b
E [|X(t)|] dt < +∞ ,
(20)
a
si ha allora per il teorema di Fubini
·Z b
¸
Z b
E [X(t)] dt = E
X(t)dt .
a
(21)
a
Sia X(t), 0 ≤ t ≤ T un processo reale progressivamente misurabile con
Z T
|X(t; ω)| dt < +∞ q.c.
0
• Si modifica (su insiemi di probabilità nulla) il processo in modo che
l’integrale esista certamente; la versione di X può essere presa ancora
progressiva.
Rt
• Per costruzione 0 X(s)ds, t ∈ [0, T ], è un processo continuo e adattato, dunque è anche progressivo.
2.3.3
L’integrale di Itô per processi semplici
Incominciamo a costruire l’integrale stocastico su (0, T ) rispetto ad una
componente del processo di Wiener. Fissiamo dunque un tempo finale T > 0
e una componente del nostro processo di Wiener, diciamo la prima; poniamo
B(t) := W1 (t).
• Un processo reale X(t), t ∈ [0, T ) è detto semplice se può essere
rappresentato come
X(t) =
n−1
X
ej 1[tj ,tj+1 ) (t)
(22)
j=0
dove 0 = t0 < t1 < t2 < · · · < tn = T e le ej sono variabili aleatorie
Ftj -misurabili e quadrato integrabili, E[|ej |2 ] < +∞. Indichiamo con
S(T ) l’insieme dei processi semplici con t ∈ [0, T ).
10
• È immediato vedere che un processo semplice è adattato, misurabile,
continuo da destra e dunque anche progressivo.
• Definiamo l’integrale stocastico di un processo semplice con rappresentazione (22) come
Z
T
X(t)dB(t) :=
0
n−1
X
ej ∆Bj ,
∆Bj := B(tj+1 ) − B(tj ) .
(23)
j=0
Nel seguente Lemma raccogliamo le proprietà cruciali dell’integrale stocastico, proprietà che in particolare permetteranno di dare una prima estensione della definizione.
Lemma 1. Siano X e Y due processi semplici ed a e b due numeri reali; si
ha allora
Z T
(i)
X(t)dB(t) ∈ L2 (Ω, FT , P ),
0
·Z
¸
X(t)dB(t) = 0,
T
(ii) E
0
"¯Z
¯
(iii) E ¯¯
T
0
Z
(iv)
¯2 #
·Z
¯
¯
X(t)dB(t)¯ = E
¸
T
2
|X(t)| dt ,
0
Z
T
(aX(t) + bY (t)) dB(t) = a
0
Z
T
X(t)dB(t) + b
0
T
Y (t)dB(t).
0
Dimostrazione. Dato che ej è Ftj -misurabile e ∆Bj è indipendente da Ftj ,
ej e ∆Bj sono indipendenti; dato che entrambi sono integrabili, per l’indipendenza è integrabile anche il prodotto e la media del prodotto è il prodotto
delle medie. Per la linearità del valore atteso si ha dunque
·Z
T
E
0
¸ n−1
n−1
X
X
X(t)dB(t) =
E [ej ∆Bj ] =
E[ej ] E[∆Bj ] = 0
j=0
j=0
e questo dimostra (ii).
RT
0 X(t)dB(t) è banalmente FT -misurabile.
¯Z
¯
¯
¯
0
T
¯2 X
X
¯
ei2 (∆Bi )2 + 2
(ei ∆Bi )(ej ∆Bj )
X(t)dB(t)¯¯ =
i
i,j:i<j
ei è quadrato integrabile e cosı̀ ∆Bi ; ei2 e (∆Bi )2 sono integrabili e indipendenti: dunque il prodotto è integrabile ed ei ∆Bi è quadrato integrabile. Infine ei ∆Bi ej ∆Bj è integrabile essendo un prodotto di due variabili aleatorie
quadrato integrabili. Questo dimostra (i).
11
Per i < j, ei ej ∆Bi e ∆Bj sono indipendenti; cosı̀ si ha
"¯Z
¯
E ¯¯
T
0
¯2 #
X £
X
¯
¤
X(t)dB(t)¯¯ =
E ei2 (∆Bi )2 + 2
E [(ei ∆Bi )(ej ∆Bj )]
i
i,j:i<j
X
X £ ¤ £
¤
E [ei ej ∆Bi ] E [∆Bj ]
E ei2 E (∆Bi )2 + 2
=
i,j:i<j
i
=
·Z
X £ ¤
E ei2 (ti+1 − ti ) = E
T
¸
|X(t)|2 dt
0
i
e questo dimostra (iii). Infine (iv) è banale.
¤
Se pensiamo all’integrale stocastico come a una qualche operazione su
uno spazio di processi, la (iv) ci dice che quest’operazione è lineare, la (i) ci
dice che il risultato finale vive in uno spazio di Hilbert e il lato sinistro di
(iii) ne rappresenta la norma al quadrato. Se strutturiamo lo spazio degli
integrandi come spazio di Hilbert con norma quadra il lato destro di (iii),
abbiamo subito che l’integrale stocastico si estende come isometria.
2.3.4
L’isometria di Itô
L’intervallo [0, T ] è fissato.
Consideriamo equivalenti due processi se
i
hR
T
P 0 |X(t) − X 0 (t)| dt = 0 = 1 .
(24)
• Indichiamo con M 2 (T ) lo spazio delle classi di equivalenza di processi
reali, progressivamente misurabili e tali che
·Z T
¸
E
|X(t)|2 dt < +∞ .
(25)
0
• Si poteva sostituire “progressivo” con “misurabile e adattato” e far
vedere che in ogni classe di equivalenza c’era almeno un rappresentativo progressivo. È usuale passare dalla classe di equivalenza al
rappresentativo e viceversa senza dichiararlo ogni volta.
• Si ha S(T ) ⊂ M 2 (T ).
¡
2
2
• Evidentemente
¢ M (T ) è un sottospazio lineare di L 2(0, T )×Ω, B(0,T ) ⊗
FT , Leb ⊗ P ; si dimostra che è chiuso. Dunque M (T ) è uno spazio
di Hilbert reale con norma
·Z T
¸ Z T h
i
2
2
kXk 2 = E
|X(t)| dt ≡
E |X(t)|2 dt .
(26)
M (T )
0
0
12
Lemma 2. Per ogni X ∈ M 2 (T ) esiste una successione {Xn } di processi
semplici e limitati (in ω oltre che in t) tale che
·Z T
¸
2
lim E
|X(t) − Xn (t)| dt = 0 .
(27)
n→∞
0
Diamo solo una vaga idea dei tre passi della dimostrazione.
1. Un processo in M 2 (T ) può essere approssimato da una successione di
processi limitati in M 2 (T ).
2. Un processo limitato in M 2 (T ) può essere approssimato da una successione di processi limitati continui in M 2 (T ).
3. Un processo limitato continuo in M 2 (T ) può essere approssimato da
una successione di processi semplici limitati.
Questo Lemma ci dice in particolare che S(T ) è denso in M 2 (T ).
RT
Poniamo IT (X) := 0 X(t)dB(t) per X ∈ S(T ); per la proprietà (iv) IT
è lineare. La proprietà (iii) diviene
kIT (X)k
L2 (Ω,FT ,P )
= kXk
M 2 (T )
.
(28)
Dunque
IT : S(T ) → L2 (Ω, FT , P )
(29)
è un operatore lineare tra spazi di Hilbert, densamente definito, limitato:
per continuità può essere univocamente esteso ad un operatore lineare limitato definito su tutto M 2 (T ). L’isometria di Itô (28) continua a valere per
RT
l’estensione; dunque IT (·) = 0 · dB(t) è un operatore lineare isometrico da
M 2 (T ) a L2 (Ω, FT , P ); questo estende le proprietà (i), (iii) e (iv) del Lemma
1. Per continuità vale anche la proprietà (ii): il valore atteso di un integrale
stocastico con integrando di tipo M 2 è nullo.
Implicitamente abbiamo definito l’integrale stocastico come limite in media quadratica di successioni di integrali di processi semplici, ma abbiamo
ributtato sulla teoria degli operatori lineari limitati tra spazi di Hilbert l’onere di garantire l’indipendenza dalla successione approssimante e del fatto
che le proprietà essenziali sopravvivono al passaggio al limite.
Se X ∈ M 2 (T ) ed è continuo si può prendere come processo semplice
approssimante una sua discretizzazione. Dunque prendiamo una partizione
0 = t0 < t1 << · · · < tn = T e indichiamo con “lim” il limite, in L2 o M 2 a
seconda dei casi, quando il passo della discretizzazione va a zero. Poniamo
X
X(tj )1[tj ,tj +1) (t) ;
(30)
Xd (t) =
j
si ha in M 2
lim Xd (t) = X(t) .
13
(31)
Dunque per processi continui vale la definizione “elementare” di integrale
stocastico
Z T
X
X(t)dB(t) = lim
X(tj ) [B(tj+1 ) − B(tj )] .
(32)
0
j
Due esempi fondamentali.
Z T
T
1
B(t)dB(t) = B(T )2 − ,
2
2
0
Z T
Z T
tdB(t) = T B(T ) −
B(t)dt .
0
(33)
(34)
0
Dobbiamo dimostrare queste relazioni a partire dalla definizione; usiamo
l’abbreviazione ∆Yi = Y (ti+1 ) − Y (ti ). Iniziamo dalla seconda relazione.
Abbiamo
Z T
X
tdB(t) = lim
ti ∆Bi ,
0
Z
i
T
B(t)dt = lim
X
0
B(ti+1 )∆ti ;
i
nell’ultimo integrale abbiamo inserito B(ti+1 ) per convenienza: in un integrale di Riemann di una funzione continua non conta il punto intermedio
scelto. Sommando le due relazioni abbiamo
Z T
Z T
X
tdB(t) +
B(t) = lim
[B(ti+1 )ti+1 − B(ti+1 )ti
0
0
i
+ ti B(ti+1 ) − ti B(ti+1 )] = lim
X
[B(ti+1 )ti+1 − ti B(ti+1 )] = T B(T ) .
i
Per quanto riguarda il primo integrale
Z
T
B(t)dB(t) = lim
0
X
B(ti )∆Bi
i
o
X n£
¤
1
lim
B(ti+1 )2 − B(ti )2 − [B(ti+1 ) − B(ti )]2
2
i
X
X
1
1
1
T
1
= B(T )2 − lim
[B(ti+1 ) − B(ti )]2 = B(T )2 − − lim
Yi ,
2
2
2
2
2
=
i
i
dove abbiamo posto Yi := [B(ti+1 ) − B(ti )]2 − (ti+1 − ti ). Le Yi sono indipendenti a media nulla e varianza
Var[Yi ] = (ti+1 − ti )2 E[(Zi2 − 1)2 ] ,
14
∆Bi
Zi := √
.
∆ti
Ma Zi è normale standard; dunque E[(Zi2 − 1)2 ] = c, una costante indipendente da i e
"
#
X
X
lim Var
Yi = lim
(ti+1 − ti )2 c = 0 ,
i
i
che dimostra la convergenza in media quadratica.
2.3.5
Altre proprietà dell’integrale stocastico
Se abbiamo X ∈ M 2 (T ) e 0 ≤ a < b ≤ T , si può facilmente definiRb
re a X(t)dB(t); non ripetiamo tutta la procedura. Valgono le seguenti
proprietà.
• Formula del punto intermedio: se a < u < b
Z
Z
b
X(t)dB(t) =
a
Z
u
b
X(t)dB(t) +
a
X(t)dB(t) .
(35)
u
• Se Z è una variabile aleatoria limitata Fa -misurabile, allora
Z
Z
Z
b
X(t)dB(t) =
a
b
ZX(t)dB(t) .
(36)
a
La dimostrazione è banale: le due proprietà valgono per processi semplici e
restano vere al limite. Si noti il significato Rdella seconda: se Z è limitata
b
e FT -misurabile, ma non Fa -misurabile, Z a X(t)dB(t) ha perfettamente
R
b
senso e sta in L2 (Ω, FT , P ), mentre a ZX(t)dB(t) non è definito perché
ZX(t) non è adattato.
È utile considerare l’integrale stocastico come un processo:
Z
t
X(s)dB(s) ,
0≤t≤T.
0
• Si dimostra che esiste una versione continua di questo processo e si
assume di aver sempre scelto questa versione continua.
• Per costruzione questo processo è anche adattato; essendo continuo e
adattato è anche progressivo.
La dimostrazione della continuità non è banale; coinvolge i concetti di attesa
condizionale e di martingala e la disuguaglianza di martingala di Doob. I
concetti di attesa condizionale e di martingala sono strumenti di grande
importanza nel calcolo stocastico e nello studio dei processi; il doverli saltare
per mancanza di tempo è certo molto limitativo.
15
2.3.6
Estensione della classe di integrandi
Si può estendere l’integrale di Itô alla classe di processi Λ2 (T ): i processi
progressivi su [0, T ] tali che
·Z
P
T
¸
2
|X(t)| dt < +∞ = 1 .
(37)
0
Ovviamente M 2 ⊂ Λ2 . Per ottenere questa estensione si può lavorare con
i ‘tempi di arresto’, come su [Mao], o con limiti in probabilità, come su
[Baldi]. Dò un cenno a questo secondo approccio.
• Si dice che una successione di variabili aleatorie Yn tende in proP
babilità a una variabile aleatoria Y ,
Yn −→ Y ,
se ∀η > 0,
limn→∞ P [|Yn − Y | > η] = 0.
Questa definizione va bene per variabili aleatorie a valori in spazi metrici
mettendo la distanza al posto del modulo della differenza.
1. I processi semplici in Λ2 (T ) sono del tipo
variabile aleatoria Ftj -misurabile.
P
j ej 1[tj ,tj+1 ) (t),
con ej
2. Per ogni X ∈ Λ2 (T ) esiste una successione Xn di processi semplici in
RT
Λ2 (T ) tale che P - limn→∞ 0 |Xn (t) − X(t)|2 dt = 0.
RT
P (n)
3. Si definisce 0 Xn (t)dB(t) = j ej ∆Bj e si dimostra che la successione di variabili aleatorie ottenute tende in probabilità ad una variabile aleatoria che dipende da X e non dalla successione approssimante.
Tale limite è la definizione di integrale stocastico:
Z
Z
T
X(t)dB(t) = P - lim
n→∞ 0
0
T
Xn (t)dB(t) .
(38)
4. Su M 2 (T ) le due definizioni di integrale stocastico coincidono.
5. Valgono tutte le proprietà dell’integrale stocastico già viste, tranne
quelle dove sono coinvolti i valori attesi.
Rt
6. Esiste una versione continua e con 0 X(s)dB(s) si indica la versione
continua.
2.4
Il differenziale stocastico e la formula di Itô
Introduciamo un’ultima classe di processi, quelli che integriamo rispetto al
tempo.
16
• Indichiamo con Λ1 (T ) l’insieme dei processi F (t) su [0, T ] progressivi,
tali che
·Z T
¸
P
|F (t)| dt < +∞ = 1 .
(39)
0
• Si noti che Λ1 (T ) ⊃ Λ2 (T ) ⊃ M 2 (T ).
Rt
• Se F ∈ Λ1 (T ), allora 0 F (s)ds è un processo continuo e adattato,
dunque anche progressivo.
Le traiettorie, essendo continue, sono anche
R•
integrabili; dunque 0 F (s)ds ∈ Λ1 (T ).
Definizione 1. Sia X un processo reale tale che ∀t ∈ [0, T ] si abbia
Z t
Z t
X(t) = X0 +
F (u)du +
G(u)dB(u)
0
(40)
0
con X0 F0 -misurabile, F ∈ Λ1 (T ), G ∈ Λ2 (T ); allora si dice che X è un
processo di Itô o che ammette differenziale stocastico (unidimensionale) e si
scrive
dX(t) = F (t)dt + G(t)dB(t) .
(41)
Si noti che per noi F0 è banale e dunque X0 è quasi certamente una
costante; tuttavia si può generalizzare la costruzione anche a situazioni con
F0 non banale, ma indipendente dal processo di Wiener.
Vogliamo arrivare ora a introdurre un attrezzo fondamentale nel calcolo
stocastico: la formula di Itô; per i differenziali stocastici, questa formula è
l’analogo della derivata di funzione di funzione.
Il differenziale del prodotto. Sia
dXi (t) = Fi (t)dt + Gi (t)dB(t) ,
i = 1, 2 ;
(42)
vogliamo trovare il differenziale di X1 (t)X2 (t). Consideriamo degli incrementi finiti
∆Xi (t) := Xi (t + ∆t) − Xi (t) ;
(43)
con questa definizione si ha banalmente
¡
¢
¡
¢¡
¢
∆ X1 (t)X2 (t) = X1 (t)∆X2 (t) + X2 (t)∆X1 (t) + ∆X1 (t) ∆X2 (t) . (44)
Vogliamo mostrare che per “incrementi infinitesimi” si ha
¡
¢
¡
¢¡
¢
d X1 (t)X2 (t) = X1 (t)dX2 (t) + X2 (t)dX1 (t) + dX1 (t) dX2 (t) .
(45)
dove i dXi (t) vengono presi dalla (42) e la “correzione di Itô” va calcolata
con le regole
¡
¢2
dB(t) = dt ,
dt dB(t) = 0 ,
(dt)2 = 0 .
(46)
17
Si ricordi che la deviazione standard di dB(t) è
√
dt. Più esplicitamente
¡
¢
d X1 (t)X2 (t) = [X1 (t)F2 (t) + F1 (t)X2 (t) + G1 (t)G2 (t)] dt
+ [X1 (t)G2 (t) + G1 (t)X2 (t)] dB(t) . (47)
Si noti che il lato destro ha senso; infatti G1 , G2 ∈ Λ2 (T ) ⇒ G1 G2 ∈ Λ1 (T ),
F1 ∈ Λ1 (T ) e X2 continuo adattato ⇒ F1 X2 ∈ Λ1 (T ), eccetera.
Teorema 3. Se X1 e X2 hanno differenziale stocastico (42), Fi ∈ Λ1 (T ),
Gi ∈ Λ2 (T ), allora X1 X2 ammette differenziale stocastico, che risulta dato
dalla (47).
Dimostrazione. Se F1 , F2 , G1 , G2 sono costanti nel tempo la tesi segue dalla
proprietà (36), dai due esempi (33), (34) e da d(t2 ) = 2tdt. Se F1 , F2 , G1 , G2
sono processi semplici ci si restringe agli intervalli su cui sono costanti e poi
si somma. Al caso generale si arriva per approssimazione con integrandi
semplici.
¤
Vediamo ora la formula di Itô per una funzione di un solo processo; il
caso generale lo lasciamo alla prossima sezione dove anche il processo di
Wiener sarà multidimensionale. Si noti che la formula (49) corrisponde a
uno sviluppo di Taylor arrestato al secondo ordine e all’uso delle regole di
moltiplicazione (46).
Teorema 4 (Formula di Itô). Sia X un processo che ammette differenziale stocastico
dX(t) = F (t)dt + G(t)dB(t)
(48)
e sia f (x, t), f : R ⊗ R+ → R, una funzione continua e derivabile
con¢
¡
continuità una volta in t e due volte in x. Allora il processo f X(t), t
ammette il differenziale stocastico
¡
¢
¡
¢
¡
¢ ∂f X(t), t
∂f X(t), t
dt +
dX(t)
df X(t), t =
∂t
∂x
¡
¢
1 ∂ 2 f X(t), t
+
G(t)2 dt . (49)
2
∂x2
Dimostrazione.
Passo 1. Supponiamo f (x, t) = xn ; per ricorrenza, usando il Teorema 3 si
dimostra
¡
¢
1
d X(t)n = nX(t)n−1 dX(t) + n(n − 1)X(t)n−2 G(t)2 dt .
2
(50)
Per linearità la formula di Itô è vera anche se f (x, t) = P (x) (un
polinomio).
18
Passo 2. Supponiamo ora f (x, t) = P (x)g(t). Si ha
¡
¢
¡
¢
¢
1 ¡
dP X(t) = P 0 X(t) dX(t) + P 00 X(t) G(t)2 dt ,
2
0
dg(t) = g dt .
(51)
(52)
Anche in questo caso la formula di Itô segue dal Teorema
3. Per
Pl
linearità la formula di Itô è vera anche per f (x, t) = r=1 Pr (x)gr (t).
Passo 3. Per approssimazioni si dimostra il caso generale.
¤
2.5
L’integrale e il differenziale stocastici multidimensionali
Gli integrali stocastici multidimensionali sono solo somme di integrali unidimensionali fatti rispetto alle varie componenti del processo di Wiener. Solo
la formula di Itô necessita di una piccola generalizzazione. Ricordiamo che
abbiamo un processo di Wiener W (t) d-dimensionale come descritto nella
Sezione 2.1.2 con la sua filtrazione Ft descritta nella Sezione 2.3.1.
Lasciando perdere la specificazione del tempo finale T , diremo che un
processo F (t) a valori in Rm appartiene a Λ1m se ogni sua componente Fi
appartiene a Λ1 . Diremo che un processo G(t) a valori in Rm×d appartiene
2 .
a Λ2m,d se ogni sua componente Gij appartiene a Λ2 ; lo stesso per Mm,d
Rt
Rt
Sono poi definiti gli integrali 0 F (s)ds, vettore di componenti 0 Fi (s)ds, e
Rt
Pd R t
j=1 0 Gij (s)dWj (s).
0 G(s)dW (s), vettore di componenti
Diremo che un processo X(t) a valori in Rm ammette differenziale stocastico
dX(t) = F (t)dt + G(t)dW (t) ,
F ∈ Λ1m ,
G ∈ Λ2m,d ,
se esiste X0 , F0 -misurabile, per cui si possa scrivere ∀t
Z t
Z t
X(t) = X0 +
F (s)ds +
G(s)dW (s) .
0
(53)
(54)
0
Proposizione 5. Con le notazioni precedenti si ha
d
X
¡
¢
d Xi (t)Xj (t) = Xi (t)dXj (t) + Xj (t)dXi (t) +
Gih (t)Gjh (t)dt .
(55)
h=1
La dimostrazione è analoga a quella del¡ caso unidimensionale,
una volta
¢
che si sia mostrato che per h 6= h si ha d Wh (t)Wk (t) = Wh (t)dWk (t) +
Wk (t)dWh (t), che a sua volta si dimostra con le solite discretizzazioni e
l’indipendenza delle componenti del processo di Wiener. Le regole di calcolo
sono ora riassunte da
dWh (t) dWk (t) = δhk dt ,
dt dWh (t) = 0 ,
19
(dt)2 = 0 .
(56)
Passando a polinomi e poi usando approssimazioni si può dimostrare la
formula di Itô multidimensionale.
Teorema 6 (Formula di Itô). Sia f : Rm ×R+ → R una funzione continua
in (x, t) con le sue derivate ft , fxi , ¡fxi xj . Sia
¢ X un processo di differenziale
stocastico (53). Allora il processo f X(t), t ammette differenziale stocastico
m
X
¡
¢
¡
¢
¡
¢
df X(t), t = ft X(t), t dt +
fxi X(t), t dXi (t)
+
1
2
i=1
m
X
d
¡
¢X
fxi xj X(t), t
Gih (t)Gjh (t)dt . (57)
i,j=1
h=1
Per un vettore o una matrice A indichiamo con |A|2 la somma dei
moduli
quadri ¯ di tutte le componenti e applichiamo la formula di Itô a
¯R
¯ t
¯2
¯ 0 G(s)dW (s)¯ ; otteniamo
¯Z t
¯2
¶
m X
d µZ t
X
¯
¯
d ¯¯ G(s)dW (s)¯¯ = 2
Gih (s)dWh (s) Gik (t)dWk (t)
0
i=1 h,k=1
0
+
m X
d
X
|Gih (t)|2 dt . (58)
i=1 h=1
2 , il primo differenziale (integrale) sul lato destro ha media nulla
Se G ∈ Mm,d
e cosı̀ abbiamo la generalizzazione dell’isometria di Itô
"¯Z
¯2 # Z t h
i
¯ t
¯
E ¯¯ G(s)dW (s)¯¯ =
E |G(s)|2 ds .
(59)
0
3
3.1
0
Equazioni differenziali stocastiche
Una classe di EDS
Finalmente abbiamo dato senso all’EDS da cui siamo partiti
(
¡
¢
¡
¢
dX(t) = b X(t), t dt + σ X(t), t dW (t)
X(0) = x0
dove x0 ∈ Rm e b e σ sono funzioni deterministiche e misurabili
b : Rm × [0, T ] → Rm ,
σ : Rm × [0, T ] → Rm×d .
20
(60)
Tale equazione va intesa come una condizione sul differenziale stocastico di
X e dunque è un’equazione integrale
Z
X(t) = x0 +
t
¡
¢
b X(s), s ds +
0
Z
t
¡
¢
σ X(s), s dW (s)
(61)
0
coinvolgente integrali ordinari e stocastici. Una soluzione di questa equazione è un processo continuo, definito nello spazio di probabilità dove vive il
processo di Wiener d-dimensionale; tale processo deve essere adattato alla
filtrazione descritta nella Sezione 2.3.1, deve essere tale per cui gli integrali
coinvolti abbiano senso e deve rendere vera la (61). In realtà nella teoria più
avanzata delle EDS si possono dare concetti di soluzione un po’ più articolati
(soluzioni deboli e forti), ma noi tralasciamo questa parte.
Il termine in dt si chiama termine di drift e b coefficiente di drift, il
termine in dW (t) si chiama termine di diffusione e σ coefficiente di diffusione.
Questa sezione è intitolata “una classe” di EDS non solo perché si possono considerare rumori più generali del processo di Wiener, ma soprattutto
perché si potrebbero considerare dei coefficienti b e σ casuali, o dipendenti
da X per tutti i tempi antecedenti t...
3.2
Esistenza e unicità delle soluzioni
Ipotesi (I). Diremo che b e σ soddisfano le ipotesi (I) se sono misurabili
in (x, t) e se
(i) sono a crescita sublineare, cioè esiste una costante M > 0 tale che
per ogni x ∈ Rm , t ∈ [0, T ]
|b(x, t)| + |σ(x, t)| ≤ M (1 + |x|)
(62)
(ii) sono localmente lipschitziani in x, cioè per ogni N > 0 esiste
LN > 0 tale che se x, y ∈ Rm , |x| ≤ N , |y| ≤ N , t ∈ [0, T ], si
abbia
|b(x, t) − b(y, t)| + |σ(x, t) − σ(y, t)| ≤ LN |x − y| .
(63)
Teorema 7. Nelle ipotesi (I) esiste un processo X che soddisfa (61) in
[0, T ]. Inoltre Xi ∈ M 2 (T ), i = 1, . . . , m, ed esiste una costante C(M, T )
tale che
"
#
³
´
E sup |X(t)|2 ≤ C(M, T ) 1 + |x0 |2 .
(64)
0≤t≤T
Infine vale l’unicità della soluzione nel senso che se X 0 è un’altra soluzione
allora
£
¤
P X(t) = X 0 (t), ∀t ∈ [0, T ] = 1 .
(65)
21
La dimostrazione usa tecniche del tipo di quelle impiegate per le ODE
come il lemma di Gronwall e il metodo iterativo di Picard; intervengono
però anche ingredienti di tipo più probabilistico come le disuguaglianze di
Doob per martingale, il lemma di Borel-Cantelli,...
Abbiamo già osservato che le EDS non possono essere intese traiettoria
per traiettoria per via dell’integrale stocastico che coinvolge la probabilità
e perciò tutti i valori del processo. Questo però non impedisce che tali
equazioni abbiano un carattere locale.
Tempo d’arresto. Un tempo d’arresto è una variabile aletoria τ non negativa estesa (può prendere il valore +∞) tale che {ω ∈ ω : τ (ω) ≤
t} ∈ Ft , ∀t ≥ 0.
Tempo d’uscita. Sia X(t) un processo continuo m-dimensionale e D un
aperto in Rm . Poniamo
τ (ω) = inf{t ≥ 0 : X(t; ω) 6∈ D}.
(66)
Si dimostra che τ è un tempo d’arresto che chiamiamo tempo d’uscita
di X da D.
Teorema 8 (di localizzazione). Supponiamo che b(i) , σ (i) , i = 1, 2, siano
misurabili su Rm × [0, T ] e siano X (i) , i = 1, 2, soluzioni delle EDS
(
¡
¢
¡
¢
dX (i) (t) = b(i) X(t), t dt + σ (i) X(t), t dW (t)
(67)
X (i) (0) = x0
Sia D un aperto in Rm tale che su D × [0, T ] sia b(1) = b(1) , σ (1) = σ (2) e si
abbia, per ogni x, y ∈ D, 0 ≤ t ≤ T ,
¯
¯ ¯
¯
¯ (i)
¯ ¯
¯
(68)
¯b (x, t) − b(i) (y, t)¯ + ¯σ (i) (x, t) − σ (i) (y, t)¯ ≤ LN |x − y| .
Allora, se τi indica il tempo d’uscita di X (i) da D,
τ1 = τ2
q.c.
h
i
P X (1) (t) = X (2) (t), ∀t ∈ [0, τ1 ] = 1 .
3.3
3.3.1
(69)
(70)
Esempi
Equazione di Langevin
Una particella in un mezzo viscoso, omogeneo, isotropo:
(
d~x = ~v dt
q
~
~ (t)
d~v = −γ~v dt − ∇Φ(~x)dt + 2γkT dW
(71)
m
A seconda della scelta del potenziale Φ, questa equazione può rappresentare il moto browniano, un modello di diffusione per reazioni chimiche,
migrazione di atomi in cristalli...
22
3.3.2
Un mercato finanziario
m
X
¡
¢
¡
¢
dSi (t)
= bi S(t), t dt +
σij S(t), t dWj (t) ,
i = 1, . . . , m ; (72)
Si (t)
i,j
¡
¢
S(t) = S1 (t), . . . , Sm (t) e gli Si (t) rappresentano prezzi di titoli. Se i valori
iniziali sono positivi, le soluzione ha componenti positive.
3.3.3
Modello di diffusione di fase per un laser
(
£¡
¢
¤
dX(t) = X(t) iν − 12 b2 dt + ibdW (t)
X(0) = λ ∈ C
(73)
ν > 0, b > 0. Soluzione (provare a verificare usando la formula di Itô):
X(t) = λ exp {iνt + ibW (t)} .
(74)
X(s) X(t) = |λ|2 exp {iν(t − s) + ib[W (t) − W (s)]}
(75)
W (t) − W (s) è normale di media zero e varianza |t − s|; dalla funzione
caratteristica delle leggi normali:
½
¾
i
h
1 2
2
(76)
E X(s) X(t) = |λ| exp iν(t − s) − b |t − s|
2
dipende solo dalla differenza dei tempi.
|X(t)|2 = |λ|2 : intensità costante
Z
+∞
h
i
E X(0) X(τ ) e−iκτ dτ =
−∞
|λ|2 b2
:
(κ − ν)2 + b2 /4
(77)
lo spettro è lorentziano.
4
Le equazioni di Kolmogorov e di Fokker-Planck
4.1
Il generatore delle diffusioni
Passiamo ora al problema delle PDE associate alle EDS; si possono ottenere
rappresentazioni stocastiche per soluzioni di varie PDE, noi vediamo solo le
equazioni di Kolmogorov.
• Cb2 : funzioni su Rm continue e limitate insieme alle loro derivate prime
e seconde.
2 : funzioni su Rm continue a supporto compatto insieme alle loro
• CK
derivate prime e seconde.
23
• Assumiamo la validità delle ipotesi (I) e poniamo per f ∈ Cb2
(Lt f )(x) :=
m
X
bi (x, t)
m
∂f (x) 1 X
∂ 2 f (x)
+
aij (x, t)
,
∂xi
2
∂xi ∂xj
(78)
i,j=1
i=1
aij (x, t) :=
d
X
σih (x, t)σjh (x, t) .
(79)
h=1
• Per x ∈ Rm , 0 ≤ s ≤ t ≤ T indichiamo con X x,s (t) la soluzione della
nostra EDS con condizione iniziale x al tempo s:
(
¡
¢
¡
¢
dX x,s (t) = b X x,s (t), t dt + σ X x,s (t), t dW (t)
(80)
X x,s (s) = x
¡
¢
Con f ∈ Cb2 possiamo applicare la formula di Itô a f X x,s (t) ; raggruppando i termini si ottiene immediatamente
Z t
¡ x,s ¢
¡
¢¡
¢
f X (t) = f (x) +
Lu f X x,s (u) du
+
s
d Z t
m
XX
i=1 j=1
s
¡
¢
¡
¢
∂f X x,s (u)
σij X x,s (u), u dWj (u) . (81)
∂xi
∂f
è limitaL’integrando nell’integrale stocastico è di classe M 2 (T ); infatti ∂x
i
x,s
2
ta, σij è a crescita sublineare e X ∈ M (T ). Dunque l’integrale stocastico
ha valore atteso nullo. In modo analogo si vede che l’integrale sul tempo ammette media e per Fubini si possono scambiare integrale temporale e valore
atteso. Posto
¡
¢
£ ¡
¢¤
Ts,t f (x) = E f X x,s (t) ,
(82)
si ha allora
¡
¢
Ts,t f (x) = f (x) +
Z
t¡
s
¢
Ts,u ◦ Lu f (x) du .
(83)
L’operatore Lt è chiamato il generatore infinitesimale della diffusione
associata alla nostra EDS. Si noti che questa equazione vale per ogni f ∈
Cb2 nelle ipotesi (I); non è necessaria nessuna ipotesi aggiuntiva su a e b.
Dunque, sappiamo che per costruzione (83) ammette almeno una soluzione
T.
4.2
Probabilità di transizione e processi di Markov
Per proseguire abbiamo bisogno di qualche nozione sui processi di Markov,
che diamo in modo molto schematico.
Sia D un aperto di Rm con i suoi borelliani BD ; una probabilità di
transizione su D è una funzione p(A, t|x, s), dove 0 ≤ s ≤ t, x ∈ D, A ∈ BD ,
tale che
24
(i) per s, t, A fissati, x 7→ p(A, t|x, s) è BD -misurabile;
(ii) per s, t, x fissati, p(·, t|x, s) è una misura di probabilità;
(iii) p soddisfa l’equazione di Chapman-Kolmogorov: ∀s < u < t
Z
p(A, t|x, s) =
p(A, t|y, u)p(dy, u|x, s) .
(84)
D
Data una probabilità di transizione e x0 ∈ D esiste un processo X con
leggi finito-dimensionali
Z
P [X(t1 ) ∈ F1 , . . . , X(tn ) ∈ Fn ] =
p(Fn , tn |xn−1 , tn−1 )
F1 ×···×Fn−1
× p(dxn−1 , tn−1 |xn−2 , tn−2 ) · · · p(dx1 , t1 |x0 , 0) . (85)
Chiamiamo markoviano un processo con questa struttura.
L’analisi della nostra EDS porta a stabilire che la sua soluzione è un
processo di Markov su Rm ; la caratteristica essenziale è che i coefficienti di
drift e di diffusione dipendono dalla soluzione all’ultimo istante, il presente,
e non dalla soluzione calcolata nei tempi precedenti, il passato. Con qualche
precisazione si riesce ad ottenere che per t0 < s < t si ha
X x0 ,t0 (t; ω) = X X
x0 ,t0 (s;ω),s
(t; ω) ;
(86)
per ottenere questo risultato si devono dimostrare delle proprietà di regolarità della soluzione nei dati iniziali e la “proprità di Markov forte”. Le
probabilità di transizione sono poi date da
£ ¡
¢¤
p(A, t|x, s) = P [X x,s (t) ∈ A] ≡ E 1A X x,s (t) .
(87)
Inoltre si ha
¡
¢
Ts,t f (x) =
Z
f (y)p(dy, t|x, s)
(88)
Rm
e l’equazione di Chapman-Kolmogorov, tradotta in termini degli operatori
Ts,t , dà
Tr,s ◦ Ts,t = Tr,t ,
r ≤ s ≤ t.
(89)
4.3
L’equazione di Kolmogorov all’indietro
Poniamo
£ ¡
¢¤ ¡
¢
u(x, t) := E f X x,t (T ) ≡ Tt,T f (x) .
(90)
Si ha allora
¡
¢
¡
¢
u(x, t − h) = Tt−h,T f (x) = Tt−h,t Tt,T f (x)
Z t
¡
¢
= u(x, t) +
dr Tt−h,r Lr u(·, t) (x) ,
t−h
25
lim
h↓0
1
1
[u(x, t) − u(x, t − h)] = − lim
h↓0 h
h
Z
t
¡
¢
dr Tt−h,r Lr u(·, t) (x)
t−h
¡
¢
= − Lt u(·, t) (x) =: −Lt u(x, t) .
Per rendere rigorosi questi passaggi bisogna mostrare che u(t) sta nel dominio di Lt . Per questo bisogna utilizzare risultati di regolarità delle soluzioni delle EDS rispetto ai dati iniziali e la “proprietà di Markov forte”; è
necessaria una qualche ulteriore ipotesi sui coefficienti dell’EDS.
Mettendo insieme quanto abbiamo ottenuto, abbiamo l’equazione di
Kolmogorov all’indietro:

 ∂ u(x, t) + L u(x, t) = 0
t
(91)
∂t
u(x, T ) = f (x)
4.4
L’equazione di Fokker-Planck o di Kolmogorov in avanti
Dalle equazioni (83) e (88) ottengo
Z
Z
¡
¢
∂
f (y)p(dy, t|x, s) =
Lt f (y)p(dy, t|x, s) ,
∂t Rm
Rm
(92)
che è la forma debole dell’equazione di Fokker-Planck per la densità di
probabilità p(dy, t|x, s) = p(y, t|x, s)dy:

 ∂ p(x, t|y, s) = L∗ p(x, t|y, s) ,
t
(93)
∂t
p(x, s|y, s) = δ(x − y)
L∗t g(x, t) := −
m
m
X
¢ 1 X
¢
∂ ¡
∂2 ¡
bi (x, t)g(x, t) +
aij (x, t)g(x, t) .
∂xi
2
∂xi ∂xj
i=1
i,j=1
(94)
Per dimostrare l’esistenza delle densità basta dimostrare che l’equazione di
Fokker-Planck (93) ha una soluzione fondamentale regolare.
26