L`EQUAZIONE DI FOKKER-PLANCK Seminario bAd del 01/12/2009

L’EQUAZIONE DI FOKKER-PLANCK
DAVIDE BARBIERI
Seminario bAd del 01/12/2009
Abstract. Lo scopo di questo seminario é una introduzione non tecnica ad alcuni fatti di base che vengono descritti da equazioni di tipo
Kolmogorov/Fokker-Planck (KFP). Verranno presentate in forma schematica le equazioni stocastiche, per le quali l’evoluzione della densitá
di probabilitá é appunto descritta dall’equazione KFP, si discuteranno
alcune sue proprietá come legge di conservazione, si accennerá al significato del problema spettrale e si faranno alcune osservazioni sul principale
tipo di degenerazione, quello relativo a sistemi meccanici in un bagno
termico.
1. Introduzione
Nel 1828 il botanico Robert Brown riportó i risultati di osservazioni di
particelle di polline in sospensione nell’acqua. Le particelle si muovevano di
un moto irregolare con ripetuti bruschi cambiamenti di direzione, in seguito
chiamato moto browniano. L’interpretazione di Brown fu che ci fosse una
intenzionalitá dietro a quei movimenti: ipotizzó per spiegarli che il polline
fosse vivo. La spiegazione corretta ha dovuto attendere fino al 1905, quando
Einstein nella sua tesi di dottorato ha descritto il fenomeno in termini di
diffusione.
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Figure 1. Moto Browniano
1
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2
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Un elemento chiave che ha permesso di comprendere le proprietá di questo
moto é stato il passaggio da una descrizione della dinamica in termini di
traiettorie ad una in termini di densitá. Invece di cercare una formulazione
meccanica attraverso ODEs, che descrivono l’evoluzione della posizione della
particella, la spiegazione diffusiva fa uso di PDEs che descrivono l’evoluzione
della (densitá di) probabilitá che la particella si trovi in una data posizione.
Nel caso del moto browniano, la PDE in questione é la stessa che descrive
la conduzione del calore (Fourier, 1822) e i fenomeni detti di diffusione
∂ 2 u(x, t)
∂u(x, t)
=D
.
∂t
∂x2
Una derivazione costruttiva dell’equazione della diffusione, che ne evidenzia
alcune caratteristiche qualitative, si puó ottenere a partire dall’evoluzione
della concentrazione di una determinata sostanza in un fluido. Consideriamo
ad esempio la densitá s(x, t) di sale nell’acqua contenuta in un recipiente di
volume V . La quantitá di sale totale sará data da
Z
s(x, t)dx
S=
(1)
V
e, se il recipiente é isolato, una condizione che necessariamente l’evoluzione
dS
di s deve soddisfare é la conservazione di S, ovvero
= 0. Ció equivale a
dt
Z
∂s
richiedere che
dx = 0, che significa
V ∂t
∂s(x, t)
= ξ(x, t)
∂t
dove il termine non omogeneo ξ(x, t) ha media nulla su V . Per l’evoluzione
di un fluido, i termini non omogenei possono essere di due tipi: termini di
sorgente/pozzo o termini di flusso. Mentre i primi sono nulli nel caso di sistemi isolati, i secondi possono non esserlo. I termini di flusso rappresentano
in generale dei trasporti interni al fluido, come ad esempio un eventuale moto
del fluido nel recipiente, e sono determinati dalla divergenza di un campo
vettoriale, detto campo di flusso o campo di trasporto, che indichiamo con
χ
~ (x, t). L’equazione risultante ha cosı́ la forma
∂s(x, t) ~
+∇·χ
~ (x, t) = 0
∂t
e la condizione di conservazione di S é rispettata se il flusso del campo vettoriale χ
~ é nullo attraverso il bordo del recipiente. A questo punto occorre aggiungere una proprietá della dinamica, espressa dalla legge di Fick (1855): in
fluidi statici, la distribuzione di una sostanza dal carattere diffusivo risente
di un flusso che la trasporta da zone di maggiore concentrazione a zone di
minore concentrazione, in modo proporzionale al gradiente di essa. Questa
legge é anche detta legge della diffusione, e definisce il campo di trasporto
~
diffusivo come χ
~ (x, t) = −D ∇s(x,
t), che riporta all’equazione (1).
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2. Processi stocastici
Consideriamo un problema di evoluzione ordinario descritto dalla ODE
ẏ(t) = f (y) .
Dalla teoria sul problema di Cauchy le sue soluzioni, sotto opportune condizioni di regolaritá della f , sono funzioni ben definite e una traiettoria si
puó ottenere a partire dal dato iniziale. Nella pratica, quando si osserva una
traiettoria, si compiono misure ripetute ad una scala finita di risoluzione, e
il risultato puó apparire irregolare. Un esempio é dato da f (y) = 3y(1 − y)
osservato a tempi discreti: la mappa
(2)
yi+1 = 3yi (1 − yi )
produce i risultati in Figura 2: in alto é riportata la traiettoria y(i), apparentemente molto irregolare nonostante la semplicitá e regolaritá della
f . Di fronte all’ispezione visiva dei segni lasciati da questa traiettoria si
potrebbe reagire come un botanico del 1800, oppure osservare il plot bidimensionale dei punti (x, y) = (yi , yi+1 ) riportato basso. Abbandonare la
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Figure 2. Mappa logistica α = 3
teoria ODE per descrivere un sistema dinamico non é immediato, se si ritiene che le leggi fisiche che lo regolano sono proprio ODE. Il meccanicismo
forte é espresso dalle parole di Laplace nel 1829, un anno dopo le osservazioni di Brown: “Per un intelletto che ad un determinato istante dovesse
conoscere tutte le forze che mettono in moto la natura, e tutte le posizioni
di tutti gli oggetti di cui la natura é composta nulla sarebbe incerto ed il
futuro proprio come il passato sarebbe evidente davanti ai suoi occhi”. Ma
lo stesso Laplace precisa anche “se questo intelletto fosse sufficientemente
ampio da sottoporre questi dati ad analisi, esso racchiuderebbe in un’unica
formula i movimenti dei corpi piú grandi dell’universo e quelli degli atomi
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piú piccoli”. É su queste ultime parole che si gioca un cambio di paradigma:
l’accettazione dell’ipotesi di caos molecolare, adottata da Boltzmann negli
anni 70 dell’800 (e per molti anni rifiutata dalla comunitá scientifica, che
ancora dibatteva sulla struttura atomistica della materia). Essenzialmente
la nascita della meccanica statistica (un ossimoro per Laplace) si puó far
risalire al riconoscimento che di fronte a molti gradi di libertá accoppiati, la
nosra efficacia nell’analizzare una evoluzione ODE si riduce drasticamente.
Se inoltre i tempi di interazione fra tali gradi di libertá sono piccoli rispetto
ai tempi caratteristici della nostra osservazione, puó risultare impossibile
ricostruire il moto sulla base di un procedimento meccanico. Questi ragionamenti euristici sono stati tradotti concretamente nella scelta di descrivere
statisticamente alcuni fenomeni, sostituendo traiettorie con densitá di probabilitá e introducendo il concetto di “rumore”.
2.1. Traiettorie e probabilitá. La teoria dei processi stocastici permette
di descrivere evoluzioni in cui ad ogni istante la traiettoria puó scegliere una
direzione piuttosto che un’altra a seconda della legge di probabilitá che la descrive. Il problema del moto, in questi termini, é mal posto, poiché una sola
traiettoria non rende necessariamente conto della legge che l’ha generata:
é piú corretto quindi intendere un processo stocastico come una collezione
di traiettorie, a ciascuna delle quali corrisponde una data probabilitá di
realizzazione. Una singola traiettoria risulta quindi essere una particolare
realizzazione di un dato processo stocastico, le cui leggi si possono conoscere
solo osservandone piú realizzazioni.
Per introdurre qualche notazione senza entrare in questioni tecniche, possiamo definire un processo stocastico {Xt }t∈T come una collezione di variabili random associata alle corrispondenti densitá di probabilitá congiunte
{p1 (x, t), p2 (x1 , t1 ; x2 , t2 ), . . . ), ti ∈ T .
La funzione p1 (x, t) descrive la densitá di probabilitá della variabile random
Xt , cioé la densitá di probabilitá che la traiettoria passi per il punto x al
tempo t. Questa probabilitá puó dipendere da dove si trovava la traiettoria
all’istante precedente, attraverso la densitá di probabilitá condizionata
. p2 (x, t; x′ , t′ )
p(x, t|x′ , t′ ) =
p1 (x′ , t′ )
anche detta probabilitá di transizione, poiché per ogni istante t′ < t vale
Z
p1 (x, t) = p(x, t|x′ , t′ )p1 (x′ , t′ )dx′ .
Per descrivere completamente un processo generico possono essere necessarie
tutte le probabilitá congiunte. Una situazione piú semplice, che costituisce
anche l’ipotesi piú comune per la modellizzazione statistica, é data dai processi di Markov. Un processo di Markov é descritto completamente dalle sole
densitá di probabilitá p1 e p2 , e per questo intuitivamente si intende come
un processo nel quale la probabilitá di una traiettoria di trovarsi in un dato
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punto ad un dato istante dipende solo dal punto in cui si trovava all’istante
precedente e da una scelta casuale fatta sul momento. Piú precisamente per
i processi di Markov vale l’equazione di Chapman-Kolmogorov
Z
′ ′
p(x, t|x , t ) = p(x, t|x′′ , t′′ )p(x′′ , t′′ |x′ , t′ )dx′′ .
2.2. Moti rumorosi. Il processo stocastico piú semplice che si possa costruire é dato da una collezione di variabili random indipendenti. Per realizzarlo
occorre solo la funzione p1 , e tale processo rappresenta emblematicamente
ció che si intende per “rumore”: un susseguirsi totalmente casuale
di eventi.
R
Consideriamo ora una p1 che abbia valor medio nullo, cioé xp1 (x)dx = 0
e definiamo il processo stocastico Γ(t) attraverso variabili random descritte
da questa p1 . Consideriamo quindi il problema
(
ẏ(t) = Γ(t)
(3)
y(0) = 0
La soluzione a (3) viene normalmente detta processo di Wiener, o moto
browniano. Si tratta ancora di un processo stocastico, in praticolare di un
processo di Markov, e una sua realizzazione é mostrata in figura 3.
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Figure 3. Rumore e moto browniano
Il processo (3), in quanto processo di Markov, puó essere descritto completamente a partire dalla sua probabilitá di transizione. Questa é data
proprio dalla soluzione fondamentale all’equazione della diffusione

2
 ∂p(x, t|0, 0) = ∂ p(x, t|0, 0)
(4)
∂t
∂x2

p(x, 0|0, 0) = δ0
ovvero
1 −x2 /4t
e
.
p(x, t|0, 0) = √
4πt
6
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Il significato di questa soluzione puó essere meglio compreso osservando un
insieme di traiettorie, come rappresentato in figura 4: la distribuzione
√ degli
stati al tempo t é una gaussiana con varianza che aumenta come t.
80
60
40
20
0
−20
−40
−60
−80
0
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400
500
600
700
Figure 4. Traiettorie browniane
2.3. Master Equation.
3. L’equazione di Fokker Planck
3.1. Correnti.
3.2. Soluzione stazionaria. bilancio dettagliato
3.3. Spettro.
4. Equazioni degeneri e regolaritá
4.1. Sistemi meccanici.
4.2. Condizione di Hörmander.
800
900
1000