Questione di Aree….. Poligoni isoperimetrici con lo stesso numero

Questione di Aree…..
Poligoni isoperimetrici con lo stesso numero di lati
In figura 1 è disegnato un esagono regolare ABCDEF . Uniamo con una diagonale due vertici, come
A ed E, che “lasciano fuori” un vertice, nel nostro caso F.
Figura 1
Costruiamo come in figura 2 l’ellisse di fuochi A ed E che ha come asse maggiore il segmento
somma dei lati AF e EF. Preso un punto H sull’ellisse, consideriamo il triangolo HAE: ha lo stesso
perimetro del triangolo AEF ma area diversa. Il triangolo isoscele AEF ha area maggiore perché la
sua altezza AI relativa alla base AE è maggiore dell’altezza HL del triangolo HAE.
Figura 2
Risulta allora che l’area dell’esagono regolare, somma dell’area di un pentagono e del triangolo
isoscele è maggiore dell’area dell’esagono irregolare, somma dello stesso pentagono e di un
triangolo non isoscele.
Un ragionamento analogo, può farsi in relazione ad un qualsiasi poligono regolare con un numero
qualsiasi di lati. Si ha pertanto che in generale un poligono regolare ha area maggiore di
qualunque poligono isoperimetrico con lo stesso numero di lati.
Poligoni regolari isoperimetrici
Consideriamo ora dei poligoni regolari che abbiano un diverso numero di lati .
Dato il quadrato ABCD della figura 3, costruiamo un pentagono irregolare che abbia lo stesso
perimetro. Indicato con M il punto medio del lato CD disegniamo, come in figura 4, l’ellisse di
fuochi A e M che abbia come asse maggiore la somma dei segmenti AD e DM .
Tracciamo l’asse del segmento AM e indichiamo con E la sua intersezione esterna con l’ellisse. Il
triangolo EAM ha lo stesso perimetro del triangolo ADM., ma area maggiore. Pertanto il pentagono
di vertici EABFM, ove F è il simmetrico rispetto all’asse mediano del quadrato passante per M,
risulta avere lo stesso perimetro, ma area maggiore del quadrato ABCD (fig 5)
Figura 3
Figura 4
Figura 6
Figura 5
Siccome un pentagono irregolare ha un’area minore di un pentagono regolare con lo stesso
perimetro, si deduce che il quadrato ha area minore del pentagono regolare isoperimetrico (fig 6).
Un ragionamento di questo tipo si può ripetere nel passaggio dal pentagono all’esagono e, in
generale, da un poligono regolare di n lati ad un poligono regolare di n + 1 lati, sempre
isoperimetrico.
Si conclude che all’aumentare del numero di lati, sempre restando fisso il perimetro, aumenta
l’area del poligono regolare.
Il cerchio come poligono regolare con infiniti lati
Se consideriamo il cerchio come un poligono regolare con infiniti lati, arriviamo alla conclusione
che l’area del cerchio è maggiore dell’area di un qualunque poligono regolare con lo stesso
perimetro; e quindi a maggior ragione dell’area di un qualunque poligono anche irregolare ma con
lo stesso perimetro.
Poiché il contorno di una figura curvilinea si può approssimare con un poligono qualunque (fig 7 ),
si arriva così alla seguente proprietà: il cerchio ha area maggiore fra tutte le figure di uguale
perimetro.
La formula di Pick
La formula di Pick permette di calcolare l’area di qualsiasi poligono disegnati su una griglia
quadrettata.
Per utilizzare questa formula è necessario infatti che i poligoni di cui si vuole calcolare l’area siano
inseriti su di un reticolato.
Chiamiamo punti-griglia le intersezioni fra le rette del reticolato, indicate nelle figure con bollini
gialli.
Consideriamo inoltre i poligoni i cui vertici sono soltanto punti-griglia
.
Indichiamo con:
i il numero dei punti-griglia che stanno dentro il poligono (In giallo)
c il numero di punti-griglia che stanno sul perimetro del poligono (in blu)
La formula di Pick per calcolare l’Area (A) vale per tutti i poligoni ed è la seguente:
A= i + C/2 -1
Quindi nel caso della figura: A= 4+14/2 -1= 4+7-1=10 u2
Il teorema di Pick risulta particolarmente utile nel caso di poligoni reticolari irregolari, come
questo:
Area=9+10/2-1=13 unità quadrate.
Metodo Montecarlo, per valutare l’area di zone curviline
Si tratta di un metodo ideato da un gruppo di fisici verso la metà degli anni quaranta. Il nome
ricorda la famosa città del casinò.
Ecco come è nata l’idea di calcolare l’area di una figura curvilinea servendosi del caso. Si disegna
in un quadrato Q la superficie chiusa S a contorno curvilineo di cui si vuole calcolare l’area .
Si faccia cadere da una certa altezza sul quadrato una manciata di riso, si contino quanti chicchi
sono caduti dentro la superficie S di cui si vuole calcolare l’area e quanti sono caduti in tutto il
quadrato Q.
Il rapporto tra il numero dei chicchi caduti dentro S e quelli caduti dentro tutto Q si assume come
rapporto tra le aree delle figure S e Q.
E’ possibile simulare con l’elaboratore elettronico il lancio dei chicchi di riso. Si pensi il quadrato Q
di lato l e la figura S inseriti nel primo quadrante di un piano cartesiano in modo che i vertici del
quadrato abbiano rispettivamente coordinate A(0 ; 0), B(l ; 0), C(l ; l) e D(0 ; l) e si generino con la
funzione RANDOM n coppie ordinate di numeri casuali compresi tra 0 e l.
Intendendo ogni coppia rispettivamente come ascissa e ordinata di un punto, otteniamo n punti
casuali ognuno dei quali simula la caduta di un chicco di riso.
I punti casuali ottenuti potranno cadere dentro o fuori la figura S , cadranno comunque dentro il
quadrato Q.
Il rapporto tra il numero dei punti dentro S e quelli dentro tutto Q si assume come rapporto tra le
aree delle figure S e Q.
Area massima di un quadrilatero
Si prova con geogebra
Formula di Brahmagupta
L’interpretazione del risultato precedente è che