male posing

DAI PROBLEMI “REALI”
ALLE EQUAZIONI LINEARI:
UN APPROCCIO STORICO-MULTIDISCIPLINARE PER LA
MATEMATICA NEL BIENNIO.
Indice
1. Premessa:Enriques-Polya-Pellerey
2. Introduzione
3. Problem solving-Pisano, Ragone, Rossi, Russo
4. Storia della matematica in classe- Bagni
5. Esempio
6. Conclusioni
7. Bibliografia
Premessa
“…un apprendimento scolastico valido implica tre aggettivi cioè esso deve essere: significativo, stabile, fruibile.
Alla significatività concorrono la comprensione e la strutturazione delle conoscenze; alla stabilità un’adeguata fissazione e
ricordo in maniera da garantire la disponibilità di un patrimonio permanente e non solo occasionale; alla fruibilità, lo
sviluppo di competenze nell’utilizzare il patrimonio conoscitivo posseduto stabilmente al fine di interpretare nuove
situazioni e conoscenze e di risolvere problemi applicativi…fare matematica diventa quindi un’esperienza emozionale
ottimale (concetto di flusso, flow, di Csikszentmihalyi) quando si realizzano alcune condizioni. Il soggetto in primo luogo
la percepisce come interessante, stimolante, sfidante, suggestiva, sulla base di guadagni e significati internamente vissuti. In
secondo luogo egli si rende conto del senso o della ragione di questa sollecitazione, cioè ha un ritorno riflessivo che permette
una più o meno pronunciata concettualizzazione dell’esperienza stessa: perché egli né è stato stimolato; che cosa gli ha fatto
intravedere o verso che cosa gli ha fatto aprire gli occhi; da che cosa si è sentito attirato; quale guadagno personale ha
acquisito; che cosa ciò può prospettare per la sua esistenza. E’ questa la base che può condurre nel tempo non solo ad
avvertire il valore applicato in quella attività ma a interiorizzarlo come riferimento anche per iniziative proprie e non solo
quando ne sia sollecitato dagli altri. In breve, un’esperienza ottimale nel fare matematica agisce sul soggetto in due
direzioni:
• Promuove una crescita personale nelle abilità, conoscenze e competenze connesse con quell’attività
• Favorisce una progressiva percezione del valore personale attribuito ad essa.
Pellerey M. , “Emozioni, motivazioni e comprensione nel fare matematica”, Matematica e didattica:
tra sperimentazione e ricerca, Pitagora, Bologna, 2000.
“…In primo luogo voglio essere preciso su quale sia il primo e principale obiettivo dell’insegnamento della matematica,
soprattutto nella scuola secondaria: insegnare a pensare. Ciò significa che l’insegnante non deve solo fornire
informazioni, ma anche fare in modo che gli allievi sviluppino l’abilità di utilizzare le informazioni ricevute, insistendo sul
saper fare, su atteggiamenti favorevoli, su ambiti mentali desiderabili. Ma devo precisare due punti:
• Il pensiero di cui parlo non è un sognare ad occhi aperti, ma un pensare diretto ad uno scopo o un
pensare volontario (W. James), un pensare produttivo (M. Wertheimer). Questo pensiero in prima
approssimazione può essere identificato con la soluzione di problemi. Comunque l’abilità nel risolvere problemi la
considero la principale delle finalità scolastiche.
• Il pensiero matematico non è puramente formale, non è preoccupato solo d’assiomi, definizioni, prove rigorose;
molte altre cose gli appartengono: generalizzare a partire da casi osservati, argomenti induttivi, argomenti per
analogie, riconoscere un concetto matematico a partire da una situazione concreta o saperlo estrarre da essa.
L’insegnante ha molte opportunità per abituare i suoi alunni a questi processi informali di gran valore:
insegniamo a provare con ogni mezzo, ma anche a congetturare…Il saper fare in matematica è l’abilità a
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risolvere problemi, trovare prove, a criticare argomenti a favore, ad usare un linguaggio matematico con una certa
fluidità, a riconoscere concetti matematici in situazioni pratiche.”
-Polya G. , La scoperta matematica, Feltrinelli, Milano, 1971, vol. II.“...Se le matematiche vengono cosi spesso riguardate come inutile peso dagli allievi, dipende, almeno in parte, dal carattere
troppo formale che tende a prendere quell’insegnamento, da un falso concetto del rigore tutto intento a soddisfare certe
minime esigenze di parole, da una critica analitica eccessiva e fuori posto della quale invero basterebbe ritenere il risultato
sintetico che pone nell’esperimento la base della geometria. Ma queste tendenze si riattaccano ad una causa più generale,
cioè al fatto che le matematiche siano state studiate come un organismo a sé, riguardandone piuttosto la sistemazione
astratta conseguita dopo uno sviluppo secolare, che non l’intima ragione storica. Si dimenticano per tal modo i problemi
concreti che conferiscano interesse alla teoria, e sotto la formula o lo sviluppo del ragionamento non si vedono più i fatti
ormai da lungo tempo acquisiti, ma soltanto la concatenazione in cui noi li abbiamo artificialmente stretti…”
- Enriques F., sulla preparazione degli insegnanti di scienze, relazione tenuta al V congresso degli
insegnanti di scuole medie, 1906.-
Introduzione
Dal linguaggio naturale al linguaggio rigoroso ovvero dal ragionamento naturale al
ragionamento rigoroso.
Quindi, possiamo assumere come principale obiettivo dell’insegnamento della matematica quello
dell’insegnamento al “pensiero, al ragionamento, inteso come un pensare volontario, diretto ad uno
scopo, produttivo. Lo strumento ideale per conseguire questo obiettivo è l’attività di risoluzione dei
problemi; questi problemi, però, devono essere problemi che nascono dalla realtà degli studenti e
quindi anche dalla storia dell’uomo, del suo pensiero, di cui fa parte anche quello matematico, se
vogliamo che questo apprendimento sia significativo, stabile e fruibile. Inoltre, per gli studenti del
primo biennio delle superiori, questo processo si deve collegare con continuità con il metodo
precedentemente appreso, un metodo sostanzialmente “intuitivo”, “naturale”. Questo metodo non è
più “debole” di quello cartesiano, anzi talvolta costituisce una preziosa fonte di ispirazione per quest’
ultimo. Gli studenti devono appunto maturare la consapevolezza della “mano destra” (razionalità), per
imparare ad usarla, insieme alla “mano sinistra”(istintività,cretività), nelle loro attività; “Accettare a questo
fine i contributi della <mano sinistra> significa tener presente tutto ciò che è impulso, irrazionalità, soggettività,
eccezionalità individuale, tutto ciò che la luminosa traduzione o trasposizione della conoscenza della <mano destra> non
riesce ad esaurire.”( Tratto da IL CONOSCERE Saggi per la mano sinistra-J.S.Bruner).
Prima di descrivere come ho cercato di realizzare queste idee nelle mie classi vorrei approfondire, per
mezzo di due articoli, alcune questioni:
Introduzione al problem solving nell’insegnamento della
matematica.
Pisano R., Ragone G., Rossi M., Russo A.
Gruppo S.I.C.S.I, Indirizzo F.I.M., DM2, Università degli studi di Napoli Federico II
L’attivita’ di problem posing ( L’attività di problem posing consiste nel concettualizzare un problema,
mediante una riflessione sulla situazione problematica nella quale l’allievo s’imbatte.) e di problem solving
non devono essere identificate con quella di risoluzione di esercizi applicativi; esse sono attività più
complesse. Gli esercizi applicativi possono essere risolti utilizzando concetti e regole già apprese,
mentre la soluzione di un problema nuovo richiede capacità decisionali e l’utilizzazione di procedure e
di strategie da scoprire. La strategia di risoluzione di un problema comporta l’esplorazione di regole
(esperienze, procedure, leggi,...), l’analisi della situazione da più punti di vista, l’utilizzazione di regole
anche nuove e la capacità di valutare la risolubilità del problema stesso. Il problem solving potrebbe
essere definito come un approccio didattico teso a sviluppare, sul piano psicologico, comportamentale
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ed operativo, l'abilità di soluzione di problemi. Generalmente il problem solving è associato allo
sviluppo delle abilità logico-matematiche di risoluzione di problemi. Tuttavia questi non si rivela l'unica
area didattica che può giovarsi di dette abilità: problem solving, in un’ottica interdisciplinare, può dirsi
uso corretto dell'abilità di classificazione di situazioni problematiche e capacità, quindi, di risolvere
problemi-tipo analoghi, siano essi pertinenti all'area logico-matematica o meno. Quindi, alla fine esso è
un metodo di ricerca e di scoperta, che può comunemente essere applicato nelle diverse aree didattiche.
Inoltre il metodo di soluzioni dei problemi, del quale il problem solving è una sfaccettatura, pone, come
nucleo operativo, la scoperta ed il dominio di situazioni problematiche in generale, che possono
sviluppare le potenzialità euristiche dell'allievo, e le sue abilità di valutazione e di giudizio obiettivo.
“ll problem solving strategico è come un esperto marinaio che, in mezzo all'oceano, cerca di prevedere e programmare le
proprie azioni sulla base delle condizioni del mare in quel momento. Deve prevedere l'insorgere di imprevisti e prepararsi
ad affrontarli confidando soltanto sulla sua "consapevolezza operativa", non sul controllo assoluto degli eventi. Non solo,
ma egli non conosce e non può conoscere né la profonda verità del mare né tantomeno il perché dei suoi mutamenti. Eppure
con questa sua conoscenza limitata al "come fare" attraversa gli oceani e fronteggia le tempeste adattando sempre il suo
agire all'evolversi degli eventi”.
Il metodo della didattica per problemi consente agli allievi di apprendere a risolvere, con gradualità,
problemi sempre più complessi che permettono allo studente di acquisire abilità cognitive di livello
elevato. Un problema può essere una domanda che richiede una risposta precisa ed esauriente, oppure,
un quesito che richiede l’individuazione o la costruzione di regole e di procedure che soddisfino
condizioni predefinite e consentano di risolvere il quesito stesso.
Riteniamo che la didattica per problemi abbia una cruciale valenza educativa-formativa e consenta di far acquisire ad ogni
allievo gli obiettivi didattici pre-fissati (a livello disciplinare o pluridisciplinare. L’attività di insegnamento-apprendimento
per problemi deve consentire a ciascun allievo di:
Ricercare dati ed informazioni;
Fare stime e calcoli ...;
Formulare ipotesi risolutive;
Proporre soluzioni;
Prendere decisioni.
La didattica per problemi deve essere intenzionale e funzionale rispetto agli obiettivi educativi e
didattici da conseguire, in termini di conoscenze, competenze e capacità. Durante la soluzione di un
problema l’allievo deve essere messo (dal docente) in condizione di scoprire (e ri-scoprire) ed acquisire,
autonomamente, conoscenze nuove. E’ importante sottolineare che, in questo tipo di didattica, devono
essere rispettate alcune regole fondamentali di relazione:
I problemi non devono essere imposti, in modo direttivo, ma essere discussi e condivisi dal
gruppo classe e/o nei piccoli gruppi;
I docenti assumono la funzione di guida metodologica, di assistenza e di consulenza per ciascun
allievo o per il gruppo di alunni impegnato nella soluzione del problema.
Il docente svolge le funzioni di tutor;
Inoltre la didattica per problemi consente il conseguimento dei seguenti obiettivi per ciascun allievo:
a) Apprendere ad organizzare in modo significativo le proprie conoscenze;
b) Apprendere a valutare l’utilità delle conoscenze acquisite, rispetto agli obiettivi prefissati in termini
di conoscenze, competenze e capacità;
c) Sviluppare l’attitudine ad affrontare problemi nuovi ed imprevisti e a trasferire le conoscenze
acquisite in contesti diversi (transfer);
d) Decidere in condizioni d’incertezza oltre che di certezza;
e) Sviluppare la capacità di dominare situazioni anche complesse;
f) Apprendere ad utilizzare appropriati metodi di comunicazione oltre che di documentazione;
g) Apprendere ad apprendere.
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Quando un allievo s’imbatte in un problema, inizialmente ne sa molto poco, ma potrà diventare
esperto di quel particolare problema, formulando ipotesi risolutive, seppure inadeguate ed
insoddisfacenti, criticando, rivedendo ed affinando le ipotesi stesse, dopo averle messe alla prova.
Comprendere un problema, quindi, significa capirne le difficoltà, tentare di risolverlo con un’applicazione tenace e
responsabile, con perseveranza e gratificazione intellettiva, legata alla soluzione del problema stesso. Con tale metodo si
possono sviluppare alcuni aspetti fondamentali della personalità quali:
1) La responsabilità,
2) L’autonomia,
3) La fiducia in sé,
4) La stima di sé,
5) La cooperazione con gli altri,
6) La solidarietà,
7) Le capacità decisionali.
L’attività didattica deve essere progettata e programmata collegialmente facendo in modo che gli allievi
risolvano i problemi in piccoli gruppi, costituiti ad es. da cinque studenti. I problemi possono essere
scomposti in sottoproblemi, più semplici da risolvere. I gruppi scelgono un loro referente che illustra ai
componenti degli altri gruppi le procedure che hanno consentito la soluzione del problema. In tale fase,
la funzione del docente consiste nell’insegnare agli allievi del gruppo classe a trovare la soluzione o le
soluzioni (anche quelle non ottimizzate) del problema. Generalmente un problema ne genera un altro:
la soluzione di un problema può essere, infatti, il presupposto per la posizione di un altro. Il filosofo ed
epistemologo K. Popper sostiene che
“[…] la ricerca scientifica consiste nel risolvere problemi”, […] la vita è costituita da problemi da risolvere” e, quindi,
che“ apprendere a risolvere problemi significa apprendere a vivere […]’’ (Popper K.).
2. Cenni sul problem solving di tipo metacognitivo
Recenti studi (Web) sono proiettati all’applicazioni di risoluzioni di problemi mediante un approccio
definito come problem solving di tipo metacognitivo; esso tende ad essere, rispetto al metodo classico
di cui sopra, un'espansione applicativa. Di seguito riportiamo un digramma che sintetizza tale approccio
(Web):
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La routine del problem solving prevede diversi momenti, durante i quali possono essere sviluppati
diversi processi di controllo propri delle abilità metacognitive. Di seguito, sintetizziamo le principali
relazioni che sussistono tra la tecnica del problem solving e le attività metacognitive che accompagnano
l’uso di tale tecnica.
Tab. 1 relazione tra il problem solving e le attività metacognitive di controllo
PROBLEM SOLVING
ATTIVITA' METACOGNITIVE DI CONTROLLO
Prima di lavorare rifletti:
Comprensione
Quello che vai ad affrontare è proprio un problema?
Cosa sai su come si fa?
Hai incontrato problemi simili?
Prima di lavorare prevedi:
Previsione
Cosa ti può aiutare?
Quanto tempo hai?
Di quali/quanti strumenti hai bisogno?
Qual è l'ambiente in cui svolgerai il compito?
Organizzati:
Pianificazione
Identifica il problema.
Vuoi/puoi lavorare da solo o in gruppo?
Reperisci materiali e strumenti.
Scegli i metodi di rappresentazione dei dati.
Stabilisci i tempi di lavoro.
Mentre svolgi il compito risolutivo controlla:
Monitoraggio
Sei sulla strada giusta?
Cosa va eliminato o invece salvato?
Il compito ti sembra facile o difficile?
Se non riesci ad andare avanti, cosa fai?
Quella che hai trovato e' la soluzione?
Quando hai risolto il problema, guarda indietro:
Valutazione
Le tue previsioni e la tua pianificazione ti sono stati utili?
Hai lavorato bene?
Si sarebbe potuto fare in un altro modo?
Questa procedura di risoluzione può esserti utile in altri compiti?
C'è stato qualche problema insuperabile?
Il problem solving metacognitivo diviene quindi un palestra per l'abilità di autoregolazione poiché, in
modo sempre più puntuale, i ragazzi saranno in grado di monitorare i processi e di valutare i gradi di
utilità, necessità ed appropriatezza dei diversi processi risolutivi, nonché di classificare le
rappresentazioni personali di procedure, ed attiveranno positivi transfer degli apprendimenti .
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2. Il metodo della didattica per problemi si fonda sulla motivazione ad apprendere.
L’intuizione intesa come conoscenza diretta ed immediata della realtà, di un fenomeno, di una situazione, può giocare un
ruolo importante nella soluzione di un problema. Le difficoltà, per l’alunno, possono presentarsi in una delle seguenti fasi:
a) Lettura del problema,
b) Comprensione del problema,
c) Applicazione di procedure risolutive,
d) Codifica della risposta.
Le fasi di risoluzione di un problema, invece, possono essere le seguenti:
1) Presentazione del problema,
2) Riflessione sul problema,
3) Soluzione del problema,
4) Discussione in gruppo (brain storming).
Nella soluzione di problemi intervengono anche processi metacognitivi quali:
a) l’analisi delle proprie conoscenze,
b) la loro utilizzazione pratica.
Durante la tecnica del PS può essere adottato il metodo del brain storming. Esso può essere utilizzato dal
docente per animare i lavori di gruppo, soprattutto nella fase in cui si discute la soluzione di un
problema. Per semplificare la risoluzione di un problema si ricorre ad una sua modellizzazione ossia ad
una sua rappresentazione euristica, che ne riproduce le caratteristiche essenziali. Il modello interviene
in due fasi relative alla soluzione di un problema:
Quando dal modello si passa a ciò che il solutore deve fare per risolvere il problema,
Quando dalla situazione problematica reale si arriva alla costruzione di un modello
risolutivo.
Il modello preliminare alla soluzione di un problema può essere un modello già strutturato, oppure un
modello formato solo in parte e, quindi, in via di formazione completa. Il modello può essere adeguato
per risolvere il problema oppure non è adeguato del tutto o solo in parte, per giungere alla soluzione del
problema. Esiste una varietà di modelli, articolati in fasi, per il problem solving. Secondo alcuni
studiosi per il modello tipo classico si possono articolare quattro fasi:
Fase iniziale: il solutore tenta di comprendere di che cosa tratta il problema che ha di fronte e
che cosa deve fare;
Fase di attacco: il solutore saggia una prima ipotesi di soluzione, che può condurlo in porto o
no; in quest’ultimo caso deve riformulare le ipotesi;
Fase di controllo: il solutore confronta la propria soluzione con lo stimolo posto dal problema,
per valutarne l’efficacia;
Fase di estensione: la soluzione di un problema dovrebbe portare alla formulazione di un altro
problema.
Inoltre in tale modello l’attività di problem solving è influenzata da condizioni esterne e da condizioni
interne. Le condizioni esterne sono costituite da:
a) Stimoli verbali e non,
b) Indicazioni, direttive finalizzate a favorire la concettualizzazione del problema,
c) Istruzioni che hanno la funzione di agevolare la soluzione del problema.
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Le condizioni interne sono legate alle differenze individuali e dipendono dalla:
Quantità di informazioni immagazzinate,
Facilità di richiamare alla memoria le informazioni stesse,
Capacità di selezionare i concetti,
Flessibilità nel formulare ipotesi,
Capacità di saper confrontare il caso specifico con il caso generale.
3. Modellizzazione della tecnica del Probem solving
Contributi al problem solving vengono dalle teorie psicologiche come la gestalt, il comportamentismo,
il cognitivismo (Polmonari, 245-261) e dalle scienze dell’informazione (metodo top down e bottom up
(Booch; Cantor; Pisano R.). A questo punto per una rapida e globale visione dell’approccio
metacognitivo riportiamo i seguenti digramma B. e C. che specificano solo passi operativi (tralasciando
quelli cognitivi).
Analisi
qualitativa
a
Analisi
quantitativa
Prototipo di
soluzione
Applicazione
del la soluzione
Estensione
Controllo
Soluzione del
problema
- Diagramma C. il modello a cascata OOT adattato per l’applicazione del problem solving metacognitivo -
Legenda:
Il modello a cascata, con un approccio Object Oriented theory (OOT) è utilizzato in teorie di modellizzazione e
progettazione informatica (Cantor).
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4. Il problem solving nell’insegnamento della matematica. Piccola sintesi dell’interpretazione
di Poyla
L’attività’ di problem solving ha una sua specifica applicazione in matematica. Secondo il matematico
George Polya la risoluzione di un problema si sviluppa in quattro fasi:
Comprendere il problema,
Ideare un piano per trovare la soluzione,
Eseguire il piano,
Verificare e valutare il procedimento e controllare il risultato.
Si possono distinguere tre aspetti relativi alla strategia di risoluzione dei problemi:
a) Come si presenta il problema,
b) Come interagiscono le caratteristiche del contesto problematico con le conoscenze ed i modelli di
ciascun solutore,
c) Come sono analizzati i problemi e come il solutore stesso analizza la propria struttura o matrice
cognitiva.
Risolvere un problema matematico implica la trasformazione della struttura conoscitiva del solutore da
uno stato iniziale “i” ad uno stato finale “f”, come avviene per il processo d’apprendimento in generale.
Nell’attività’ di problem solving il docente valuta:
1. Il tempo impiegato nella soluzione del problema,
2. La precisione, in altre parole, la qualità e la quantità di errori commessi (analisi dell’errore).
Nell’attività di risoluzione di problemi l’allievo deve acquisire le seguenti competenze intese come esiti
in uscita:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
Comprendere il testo di un problema,
Individuare i dati essenziali,
Individuare quelli mancanti,
Individuare relazioni e corrispondenze,
Costruire relazioni e corrispondenze,
Utilizzare in modo consapevole tecniche e procedure di calcolo,
Sviluppare algoritmi risolutivi,
Controllare la validità degli algoritmi risolutivi individuati o costruiti,
Matematizzare il problema da risolvere, attraverso processi di generalizzazione e di
simbolizzazione, questa operazione riduce l’effetto della complessità,
j. Padroneggiare modelli risolutivi in condizioni di certezza e in condizioni d’incertezza,
k. Utilizzare gli strumenti informatici a disposizione,
l. Allenarsi al rigore e alla precisione mentale,
m. Comprendere e utilizzare i codici formali.
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In particolare: in merito alla concettualizzazione di un problema matematico (mathematical problem
posing) può essere utile servirsi delle tabelle seguenti:
Dato il testo di un
problema
Individuare i dati utili alla sua risoluzione.
Dato il testo di un
problema
Individuare gli eventuali dati che lo rendono ambiguo
Data una situazione
problematica
Individuare il problema che la rappresenta e gli elementi utili per la sua
risoluzione.
Dato un enunciato
Individuare ipotesi, conclusioni e l’ambito di applicabilità del problema.
Relazioni tra dati:
Dato il testo di un
problema
Organizzare i dati in una tabella
Dato il testo di un problema Organizzare i dati in un diagramma
Data una situazione
problematica
Organizzare le relazioni dirette e inverse tra i dati
Organizzare relazioni astratte di tipo simbolico tra dati.
Dato un enunciato
Metodi risolutivi. Determinare un algoritmo che permetta d’individuare un risultato controllandone i limiti
di validità o di pertinenza:
Dato il testo di un
problema
Risolvere il problema con un metodo intuitivo
“
Risolvere il problema per analogia.
Data una situazione
problematica
Risolvere il problema con il metodo delle approssimazioni successive.
Dato l’enunciato di un
problema
Risolvere il problema con metodi grafici (compreso il metodo
geometrico.
“
Risolvere il problema con metodi algebrici
“
Risolvere il problema con metodi informatici
“
Risolvere il problema con metodi misti.
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5. Conclusioni e riflessioni
È noto che la scuola costituisce un ambito importante di socializzazione, un ambito nel quale si
apprendono e perfezionano competenze culturali e sociali. È indubbio che parlando di scuola si debba
prendere in considerazione, fra gli altri aspetti, anche la qualità sociale dell'educazione, elemento da cui
può dipendere in varia misura l'insuccesso scolastico. Il tema del "buon insegnante" o anche
dell'insegnante "ideale" è stato ampiamente studiato in psicologia dell'educazione, soprattutto in
rapporto alla fascia adolescenziale, poiché è proprio l'allievo adolescente, quello che da un lato, mostra
le aspettative più precise ed articolate nei confronti dei propri insegnanti, dall'altro, è anche l'allievo
tendenzialmente più difficile poiché più incline a demotivazione scolastica, più capace di abbassare la
credibilità dell'insegnante attraverso propri comportamenti. Gli insegnanti giocano un ruolo importante
nel rendimento scolastico. Questo fatto è piuttosto comprensibile: se l'insegnante si centra di
preferenza sugli individui rischia di perdere il controllo del gruppo. Questa è la situazione in cui
facilmente incorrono gli insegnanti meno esperti, che mostrano difficoltà ad interagire per tempi
prolungati con la classe intera. D'altra parte, saper interagire produttivamente con un gruppo di
adolescenti prevede che siano attivati i loro livelli di partecipazione e di motivazione. Insomma,
producono risultati migliori in termini di riuscita scolastica quelle scuole in cui è incoraggiata la
partecipazione attiva degli allievi, in cui è messo in pratica l'ascolto reciproco fra insegnanti ed alunni, in
cui gli insegnanti possono effettivamente programmare collegialmente le attività e contare sulla
supervisione di insegnanti esperti (più anziani). In conclusione riteniamo che acquisire,
progressivamente, capacità di problem posing e di problem solving serve ad agevolare le potenzialità
d’apprendimento di un allievo, che manifesterà desiderio di coinvolgimento nelle attività di formazione,
all’interno dell’organizzazione. Tutte le discipline sono potenzialmente portatrici e generatrici di
problemi, la matematica in particolare è una disciplina costituita da procedure o algoritmi basati sulle
capacità di analisi, di sintesi e di capacità di concettualizzare e risolvere problemi.
6.I compiti di sviluppo
Il successo e l’insuccesso scolastico si collocano entro una matrice interattiva che contestualizza il
percorso scolastico dello studente attraverso la descrizione delle dinamiche e dei processi sociopsicologici che si verificano in classe, nonché attraverso la comprensione di rappresentazioni, valori e
significati condivisi dagli insegnanti e dagli studenti che interagiscono all’interno dello stesso spazio. La
natura sociale della conoscenza è considerata come il risultato delle interazioni di gruppi di persone che
costruiscono insieme modi comuni di esprimersi usando linguaggi appropriati, di mettere a punto
procedure e metodi più efficaci per raggiungere gli obiettivi comuni. Le relazioni fra insegnanti e
studenti sono caratterizzate da un processo basato sulla possibilità degli insegnanti di interagire con gli
allievi sulla base delle rappresentazioni sociali più diffuse a livello di senso comune, riguardo quello che
caratterizza uno studente di successo o di insuccesso. Secondo alcuni studi, sono definiti i compiti di
sviluppo, il lavoro che l’adolescente compie per superare ostacoli socio-culturali connessi al passaggio fra
cicli di studio e la scelta del ciclo scolastico successivo all’istruzione obbligatoria. Entrambi questi
passaggi possono indurre nell’adolescente (ad es.) situazioni di stress e ansia: sia per l’inserimento nella
scuola superiore o nei centri di formazione professionali, sia per coloro che lasciano la scuola per
accedere al mondo del lavoro. La situazione disagiata che l’adolescente vive costituisce l’occasione per
verificare le proprie capacità. In più tali situazioni, non solo devono essere oggetto di oculato studio da
parte del docente (attento), ma occorre che essi siano il punto di partenza per una didattica per
problemi. Il superamento positivo di tale fase genera (o incrementa) la fiducia di se stessi di essere in
grado di affrontare ulteriori compiti; quindi scatena un processo molto positivo di autostima. Al
contrario, il non superamento del compito produrrà inevitabilmente la perdita di fiducia nelle proprie
capacità di far fronte a situazioni e problematiche in modo soddisfacente. Allora, qual è il ruolo
dell’insegnante in questo caso?
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7.Perché l’alunno “va male” a scuola?
Gli adolescenti che affrontano i diversi compiti di sviluppo sono oggetto di valutazione da parte degli
adulti: insegnanti e genitori; e di confronto con gli altri coetanei. Questo è un aspetto molto delicato
nella crescita dell’adolescente. Infatti, il riconoscimento che gli è fornito ed impegnato nel superamento
di un compito di sviluppo, incide notevolmente sul processo di costruzione della identità del ragazzo/a.
Da qui, l’adolescente tenderà a costruire un’immagine positiva (o negativa) di se stesso. Solo quando
ogni individuo percepisce di possedere qualità socialmente valorizzate in grado di relazionarsi bene con
gli altri, si può convincere di poter interagire costruttivamente con l’ambiente sociale in cui vive. Questo
processo è talvolta (positivamente o negativamente) accompagnato da una interazione prolungata con i
genitori o gli insegnanti. Oggetto della valutazione è qui il tipo di rapporti esistenti tra gli alunni e tra
alunni ed insegnante, e cioè il genere di relazioni che permettono di creare in classe un clima favorevole
all'acquisizione del sapere. La prospettiva causalistica che ha dominato e che spesso domina tuttora
all’interno dell’istituzione scolastica ha costruito un sistema di rappresentazioni che ha consentito di
giustificare la presenza dello studente “diverso” (deviante, in condizioni di handicap o solamente
l’alunno che “va male a scuola”) quale risultato delle differenze individuali tra gli alunni (differenze
nell’intelligenza, nelle attitudini, negli interessi, nelle predisposizioni, nelle motivazioni, nel contesto
socio-economico di provenienza) e legittimare quindi gli eventuali provvedimenti messi in atto
dall’istituzione stessa per mano degli insegnanti. In questo modo l’intero sistema e gli stessi insegnanti
sono stati deresponsabilizzati dal prendere criticamente in esame il proprio agire quotidiano. Ma la
diversità, la devianza del ragazzo, non è solo una proprietà dell'azione compiuta dal ragazzo o una
caratteristica della sua personalità o del suo carattere, come più frequentemente è chiamato in causa, ma
è anche una conseguenza del fatto che l'insegnante applica delle regole di valutazione dettategli dal
criterio di normalità/anormalità che il suo personale consenso all'istituzione gli impone. E questo,
secondo me, è errato! Il tema della comunicazione in classe si affronta partendo dall'osservazione
diretta del comportamento comunicativo dell'insegnante, caratterizzato dal porre domande o dal fornire
risposte, dal lodare, dal criticare o dall'ignorare dal trasmettere informazioni o dal riferire opinioni.
L'intento sembra essere quello di valutare la capacità professionale dell'adulto tramite la qualità delle
interazioni instaurate con gli alunni, tentando in alcuni casi di stabilire dei nessi tra lo stile comunicativo
dell'insegnante e il rendimento degli allievi. L'adolescente è impegnato, proprio negli anni della scuola
superiore, in una complessa e lunga operazione di passaggio da un'identità appartenente al mondo
infantile ad un'identità adulta e sociale. Questo processo implica per lui la necessità di separarsi da
oggetti, affetti e comportamenti infantili, e passare ad acquisire autonomia delle proprie capacità e delle
proprie relazioni sociali. La scuola, senza dubbio, si inserisce in questa vicenda di trasformazione e
passaggio. In effetti, essa rappresenta un campo di esperienza particolarmente significativo proprio in
rapporto a quei processi in cui occorre dare prova di sé, misurarsi con le difficoltà, esporsi al giudizio,
produrre risultati valutabili, ottenere una valutazione da un adulto competente ed autorevole. Insomma,
per l'allievo, la scuola è, in primo luogo, la sede dove cresce il bisogno di sperimentarsi, di realizzare e
produrre qualcosa in cui riconoscersi, qualcosa che possa essere valutato dagli altri e possibilmente
approvato e apprezzato all'esterno per rimandare un'immagine concreta e ricca di sé. Per comporre il
quadro della relazione tra adolescenti e scuola occorre anche riflettere sul senso dell'apprendimento
scolastico, in particolare sui significati concreti connessi alla funzione dell'imparare. In alcuni testi, si
legge che imparare con successo significa crescere, affermarsi, vincere, controllare: l'imparare è una
funzione importante e desiderabile perché sinonimo di passaggio a stadi più evoluti. Ma, l'adolescenza è
dominata anche da oscillazioni e contraddizioni tra la voglia di crescere e la paura di uscire dall'infanzia.
Pertanto, imparare potrebbe voler dire anche uscire dal gioco, dall'irresponsabilità e dalla dipendenza da
chi sa di più. Dunque, il processo dell'imparare implica anche esperienze di incertezza, confusione e
incomprensione, ed espone naturalmente a rischi di fallimento, di frustrazione e di fatica. Per i ragazzi è
spesso cosa difficile e fonte di ansia tollerare lo stato di non conoscenza, la sensazione di non
comprensione e controllo del nuovo da acquisire. L'apprendimento insomma, può essere per
l'adolescente un'esperienza che ripropone e condensa le emozioni, i conflitti, e le ansie più intense.
Tuttavia, il rapporto tra le richieste della scuola e la realtà della condizione adolescente è certamente
complesso e contraddittorio: se da un lato i caratteri del pensiero, della libertà dell'astrazione, e a
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formulare ipotesi, sembrano la migliore premessa per un forte impegno intellettuale, d'altro canto,
l'investimento massiccio sulla propria realtà emotiva pongono, all’allievo, un ostacolo sulla possibilità di
una convergenza tra compiti scolastici e compiti di sviluppo. Probabilmente la condizione necessaria
perché tale convergenza si verifichi fattivamente è che l'adolescente possa sentire la scuola come
un'occasione di sperimentazione positiva di sé, sede di riconoscimento e conferma di elementi necessari
alla graduale conquista di nuove identità; ma sicuramente la condizione appena suggerita segue da una
modifica (quasi) radicale del mondo-scuola. In definitiva, nella scuola, occorrerebbe almeno
recuperare i seguenti elementi:
La motivazione allo studio
Il significato dello studio
Il significato della funzione educativa
8.Recuperare la motivazione
Occorrerebbe far percepire la scuola come spazio esperienziale che contiene opportunità di prova di sé,
di affermazione, di scoperta, di evoluzione, di identificazione, di confronto, di gioco di idee, delle
opinioni e di responsabilità. Infine, occorrerebbe ri-centrare l'immagine e la realtà della scuola sugli
studenti, e non solo su talvolta impraticabili ed incomprensibili programmi e sull'istituzione, in modo
che lo studente senta di essere il protagonista e percepisca le opportunità che la scuola offre come
risposta ad un'esigenza formativa propria e non solo dettata da esterne burocrazie e pericolose politiche
valide solo per fini istituzionali.
9.Recuperare il significato dello studio
Occorrerebbe, fondare la didattica nel suo complesso, non più come trasmissione di saperi, ma come
ricostruzione di significati. Un sapere che sia sempre accompagnato da idee, motivi ed opinioni;
proposte di contenuti che prevedano anche i modi di pensare e di valutare quei contenuti, percorsi di
ragionamento che partano dalle precedenti conoscenze di vissuto dei ragazzi.
10.Il significato della funzione educativa
Dobbiamo uscire da ciò che è rigidamente curricolare e mettere (quando è possibile) da parte l'iter
scolastico per favorire "contenuti di relazione". Recuperare la relazione, in realtà, significa mettersi in
gioco con tutto il proprio carisma e tutta la propria autorevolezza di ruolo come punto di riferimento
adulto e colto, e come possibile modello di rapporto con il sapere e la conoscenza. Significa entrare in
una relazione produttiva con gli studenti per condividere progetti, comunicare aspettative e restituire
valori.
Storia della matematica in classe: scelte epistemologiche
e didattiche
Giorgio Bagni: dipartimento di Matematica, Universita di Roma “La Sapienza”
1. Storia della matematica e didattica: diversi quadri teorici
È sufficiente sfogliare le principali riviste di didattica della matematica e molti libri di testo attualmente
in uso per rendersi conto che l’introduzione di un concetto fa spesso riferimento alla storia della nostra
disciplina: spesso l’impiego di elementi storici nella pratica scolastica è considerato con favore da
ricercatori e da insegnanti e non raramente è apprezzato anche dagli allievi. Tuttavia, come vedremo, la
presentazione di un contenuto matematico attraverso la sua evoluzione storica richiede l’assunzione di
posizioni epistemologiche importanti e impegnative. Considerare la storia della matematica come una
specie di “laboratorio in cui esplorare lo sviluppo della conoscenza matematica” richiede infatti
l’accettazione di un punto di vista teorico che giustifichi il collegamento tra lo sviluppo concettuale nella
storia e quello moderno. Per realizzare una tale connessione è necessario affrontare questioni rilevanti
per la didattica disciplinare: i problemi più gravi sono connessi all’interpretazione dei dati storici,
12
inevitabilmente condotta alla luce dei nostri attuali paradigmi culturali. Il dilemma tra scoperta e invenzione
ha fatto discutere a lungo matematici, filosofi e storici della matematica; da un lato, la posizione
platonista tende ad assimilare il lavoro del matematico a quello di uno scopritore, di chi individua e
studia oggetti, fatti, proprietà in qualche modo già dotati di una propria esistenza; dall’altro, il
matematico sarebbe invece chi introduce, crea autonomamente la matematica, la inventa mantenendo
un significativo margine di libertà. Dal punto di vista storiografico, il dilemma è talvolta impostato
secondo una concezione che elude l’alternativa tra le posizioni ricordate. Un nuovo concetto sarebbe
inizialmente “incontrato” da un matematico in fasi operative, ad esempio nella risoluzione di un
problema o all’interno di una dimostrazione; per essere più tardi ripreso e rielaborato alla luce dei
mutati standard di rigore.( In una conferenza inaugurale tenuta al Corso di Perfezionamento in
Matematica e Fisica, A. Frajese sosteneva: “Come l’umanità, si dice, ha dovuto percorrere numerose
tappe per giungere al possesso di una dottrina scientifica, attraverso errori, deviazioni, scoperte, così
nella mente del discente tali tappe devono essere ripercorse, con analoghi errori, analoghe deviazioni,
analoghe scoperte”). Notiamo però, anticipando un’osservazione che riprenderemo, che l’accettazione
di tale struttura evolutiva può portare ad affrontare alcune non banali questioni epistemologiche: è
accettabile concepire la storia della matematica come un percorso che, attraverso tentativi, errori e
rivisitazioni critiche, conduca alla “corretta” sistemazione concettuale moderna? In altri termini,
possiamo riferire l’intera evoluzione storica alla nostra attuale concezione della matematica? Quale
ruolo va attribuito ai fattori culturali e sociali che hanno influenzato i singoli periodi storici? Non si può
dimenticare che le fasi che siamo tentati di considerare (oggi) come interlocutorie, come momenti di
passaggio verso la formazione della matematica “compiuta” (la nostra attuale matematica), costituivano
invece la matematica “compiuta” dell’epoca, elaborata in base a concezioni culturali e funzionale
rispetto a esigenze precise. A partire dagli anni Settanta, Guy Brousseau introdusse il concetto di ostacolo
epistemologico: si concepiva la conoscenza come soluzione ottimale per un problema caratterizzato da
esigenze e da vincoli; l’ostacolo epistemologico può interpretarsi alla stregua di una sistematica difficoltà
che gli individui incontrano (e a causa della quale compiono errori) nell’affrontare i problemi. Tale
impostazione porta ad uno studio storico il cui scopo fondamentale è l’evidenziazione di tali esigenze,
quindi l’interpretazione, attraverso la loro analisi, della conoscenza che a partire da esse si è sviluppata.
La nota suddivisione degli ostacoli in epistemologici, ontogenetici, didattici e culturali sottolinea la
separazione della sfera della conoscenza dalle altre sfere ad essa collegate. L’approccio ora descritto è
chiaramente caratterizzato da alcune importanti assunzioni epistemologiche: la prima riguarda la
ricomparsa nei processi attuali (nelle situazioni di apprendimento) di uno stesso ostacolo
epistemologico manifestatosi in un periodo storico; la seconda riguarda più specificamente la
trasmissione del sapere e prevede che il discente apprenda affrontando un problema significativo in
modo sostanzialmente isolato, senza influenze sociali o, più in generale, senza interagire con l’ambiente.
A quella di Brousseau si affiancano altre impostazioni teoriche, basate su differenti assunzioni
epistemologiche: secondo l’approccio socio-culturale di Luis Radford, la conoscenza si collega alle
attività nelle quali i soggetti si impegnano e ciò deve essere considerato in relazione con le istituzioni
culturali dell’ambiente sociale. La conoscenza non si produce nel rapporto esclusivo tra individuo e
problema da risolvere, ma è socialmente ottenuta: all’impostazione unidirezionale di una costruzione
della conoscenza scandita da successivi superamenti di ostacoli si sostituisce un progresso dialogico;
l’allievo apprende la matematica in collaborazione con altri allievi e con l’insegnante, in un ampio
contesto culturale. Chiaramente la storia deve essere interpretata con riferimento alle diverse culture e
fornisce dunque un’occasione per la ricostruzione critica dei contesti socio-culturali del passato. Molto
interessante dal punto di vista didattico è infine l’approccio “voci ed echi” di Paolo Boero; esso si basa
sulla considerazione di alcune espressioni verbali e non verbali (dette “voci”), riconducibili a momenti
storici, che, su esplicita proposta del docente, possono essere considerate ed interpretate dai discenti (e
produrre pertanto un “eco”.Ciò può avvenire attraverso un Gioco delle voci e degli echi, con domande quali: “Come X avrebbe
potuto interpretare il fatto Y? Attraverso quali esperienze Z avrebbe potuto sostenere la propria ipotesi? Quali analogie e differenze puoi trovare
tra quanto affermato da un tuo compagno di scuola e ciò che hai letto su W?”). La posizione epistemologica che sta alla base di
tale impostazione prevede che la conoscenza teorica sia organizzata secondo criteri metodologici di
coerenza e di sistematicità e fornisca specifici “modi di vedere” gli oggetti di una teoria; inoltre, che le
13
definizioni e le dimostrazioni siano basate su strategie di pensiero collegate allo specifico linguaggio
impiegato ed alle tradizioni culturali.
2. L’interpretazione degli elementi storici
Le precedenti riflessioni portano a considerare le difficoltà determinate dalle impegnative assunzioni
epistemologiche che si rendono di volta in volta necessarie, e dunque alla formulazione di un
interrogativo radicale: è lecito l’uso della componente storica nella trasmissione del sapere matematico?
Non è forse produttivo porre la questione in termini così netti e inquietanti. Preferiamo chiederci: quale
uso della storia è lecito, alla luce di alcune scelte epistemologiche di base che non possono essere eluse,
nei processi di trasmissione della conoscenza matematica? Secondo noi, infatti, è possibile delineare un
uso corretto della storia: se un livello aneddotico, pur potendo rinforzare la motivazione dei discenti,
rimane superficiale e dunque non molto significativo, un approccio che pretenda di far seguire allo
sviluppo cognitivo un percorso modellato sull’evoluzione storica (ci riferiamo alla celebre tesi espressa
in: Piaget) incontrerebbe difficoltà piuttosto rilevanti. La stessa impostazione teorica collegata agli
ostacoli epistemologici, come sopra notato, implica alcune assunzioni pesanti; ad esempio L. Radford
sottolinea: “Anche il più titanico sforzo di rinunciare alle nostre conoscenze attuali nel tentativo di
vedere l’evento storico nella sua purezza non avrebbe successo: siamo condannati a portarci dietro le
nostre moderne concezioni del passato. E ciò che è peggio, non basta riconoscere tale problema, come
spesso si fa, per risolverlo. Le principali questioni alle quali è opportuno dedicare attenzione sono
dunque le seguenti: possiamo confrontare direttamente due diversi periodi storici? Qual è il ruolo dei
fattori socio-culturali che hanno influenzato lo sviluppo del sapere matematico? Non è possibile
interpretare gli eventi storici senza l’influenza delle moderne concezioni; dunque dobbiamo accettare il
nostro “punto di vista” e tenere presente che, guardando al passato, poniamo in contatto due culture
che sono “diverse [ma] non sono incommensurabili”. Naturalmente anche questa scelta comporta
alcune difficoltà: non sarebbe infatti accettabile un ingenuo tentativo di imitare l’approccio mentale ai
problemi proprio dei matematici del passato; la ricostruzione dell’ambiente socio-culturale di un
periodo lontano non è un’operazione semplice e deve essere sorretta da un’adeguata preparazione
storica ed epistemologica. Concordiamo comunque con P. Pizzamiglio, il quale afferma:
“L’introduzione della dimensione storica non serve direttamente e precisamente a spiegare matematica,
ma (…) consente di conoscere la matematica ad un livello riflesso, studiandola cioè come oggetto di
indagine appunto storica”. La concezione della matematica come oggetto di indagine storica è molto
importante: l’ineliminabile presenza della “lente” determinata dalle concezioni moderne rende
opportuna l’adozione consapevole di un punto di vista; e la presa d’atto della presenza di una “indagine
storica” avente per suo oggetto la matematica evidenzia la possibilità di una corretta collocazione del
punto di vista moderno.
3. Usi della storia nella trasmissione del sapere matematico
L’introduzione storica di un concetto può essere organizzata secondo diverse modalità: potremmo ad
esempio ipotizzare una diretta illustrazione cronologica dei riferimenti storici collegati al concetto in
questione, realizzando una vera e propria “storia dell’argomento”. A ciò corrisponderebbero alcune
posizioni: gli elementi storici servirebbero per introdurre l’argomento ai quali si riferiscono e
dovrebbero essere quindi inseriti all’inizio della trattazione; potrebbero essere proposti, in ordine
cronologico, tutti i riferimenti storici disponibili (compatibili con il livello del discente). Tale modo di
operare, che possiamo indicare come uso a priori della storia nella trasmissione del sapere matematico, porrebbe
dunque l’accento su di una supposta valenza introduttiva degli elementi storici; e tale supposizione si
basa su di una posizione epistemologica tutt’altro che trascurabile. Ma essa non è l’unica possibile per
interpretare e caratterizzare il ruolo della storia nella trasmissione della conoscenza matematica. L’uso a
priori della storia nella trasmissione del sapere matematico si collega con una questione didatticamente non
banale: l’introduzione di un concetto deve sempre seguire l’evoluzione storica? Percorsi storici ordinati
non cronologicamente sono spesso adottati nella pratica tradizionale: ad esempio, l’analisi matematica
viene in generale presentata secondo una sequenza che non riflette l’evoluzione storica; anzi, per molti
versi, l’analisi viene proposta storicamente “a ritroso” ( Naturalmente neppure un’impostazione
cronologicamente “a ritroso” può essere considerata alla stregua di una regola fissa: in alcuni casi i riferimenti storici stessi
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Il problema epistemologico non riguarda solo l’ordine degli
elementi storici, ma la loro interpretazione: si tratta cioè di stabilire se l’accostamento alla storia debba
anticipare o seguire la presentazione di un concetto nella sistemazione moderna. Un uso a posteriori della
storia nella trasmissione del sapere matematico può prevedere che il ruolo degli elementi storici si colleghi
(anche) all’approfondimento e al chiarimento degli argomenti trattati. Una nota è essenziale: qualsiasi
siano le modalità dell’impiego della storia, è indispensabile mantenere un rigoroso atteggiamento su
alcune questioni metodologiche. In particolare, come in parte anticipato, ogni richiamo storico deve
essere adeguatamente contestualizzato, cioè presentato con riferimento al periodo in esame:
l’evoluzione del savoir savant non può essere concepita assolutamente, ma deve essere riferita
all’evoluzione delle. istituzioni culturali: usi acritici o strumentali della storia della matematica sarebbero
sostanzialmente scorrette.
possono infatti suggerire una ben precisa sequenza).
Esempio
Le equazioni lineari (1° parte, Classe prima)
Introduzione: Il gioco del Mago
“Pensa a un numero tra 1 e 10, moltiplica per tre e somma 5 al numero che hai ottenuto. Che numero hai ottenuto? Bene, il numero
che hai ottenuto è…! Come ho fatto ad indovinare? Sareste capaci di farlo anche voi?” ( equazioni e funzioni composte, soluzione come immagine
della funzione inversa )
Introduzione: Il problema del mattone
“Su di una bilancia a due piatti in equilibrio vediamo, su un piatto un mattone e un peso da mezzo chilo e sull’altro un peso da un
chilo e mezzo mattone. Quanto pesa un mattone? ( principi di equivalenza )
Breve excursus storico sulle equazioni di primo
grado
Sia nelle tavolette degli antichi babilonesi che nei
papiri dell’antico Egitto è possibile trovare degli
esempi di equazioni di primo grado che venivano
fuori dalla necessità di risolvere dei problemi legati
alla realtà. Proprio nel Papiro di Rhind, un papiro
che prende il nome dall’antiquario scozzese
Alexander Henry Rhind (1833 – 1863) che lo
acquistò nel 1858 nella città di Luxor sul Nilo e che si
trova oggi conservato presso il British Museum di
Londra, è possibile trovare metodi di risoluzione di equazioni di primo grado. In esso sono proposti
alcuni problemi come “una quantità sommata con la sua metà diventa 16” che non vengono risolti mediante il
classico formalismo che noi utilizzeremmo di fronte ad un tale problema, ma col metodo, allora noto,
della “falsa posizione”. In base a tale metodo, non si indica col simbolo x il valore incognito, ma si
parte da un valore particolare e, applicando delle opportune operazioni su di esso, si cerca di pervenire
al risultato richiesto. A titolo d’esempio si riporta la soluzione proposta sul Papiro di Rhind al problema
sopra citato:
 1
“Conta con 2. Allora 1 +  di 2 è 3. Quante volte 3 deve essere moltiplicato per dare 16, lo stesso numero di volte
 2
1
1
deve essere moltiplicato per dare il numero esatto. Allora dividi 16 con 3. Fa 5 + . Ora moltiplica 5 + per 2. Fa
3
3
2
2
1
10 + . Hai fatto come occorre: la quantità è 10 + , la sua metà è 5 + , la loro somma è 16”.
3
3
3
15
16
Dopo aver presentato i tre metodi risolutivi:
aritmetico, geometrico, algebrico, vengono
discussi i vantaggi e gli svantaggi di ciascuno.
Alla difficoltà di comprensione del “come” e
del “perché” del metodo aritmetico si
contrappone la chiarezza, su questi punti, degli
altri metodi. Ciò che differenzia il metodo
algebrico da quello geometrico è la facilità di
generalizzazione. In questo modo viene
introdotto il concetto cartesiano di un metodo
universale per risolvere problemi.
Anche i matematici greci si sono imbattuti nella risoluzione di equazioni
di primo grado affrontandole da un punto di vista geometrico. Infatti,
Euclide (365 – 300 a. C.) nei suoi Elementi risolve le equazioni ax=b
ricercando la misura del
secondo lato di un
rettangolo avente un lato
lungo a e area pari a b.
Sarà
Diofanto,
matematico greco vissuto
nel III secolo d.C., ad
introdurre per primo il
simbolo ξ per indicare
l’incognita dando ad esso
il nome di aritmos
(= numero incognito). In
questo modo si assiste al tramonto della fase retorica
dell’algebra, in cui si utilizzava solo il linguaggio naturale
e nessun simbolo.
Importante è stato il contributo apportato da Leonardo
Pisano (1170 – 1250), detto Fibonacci che s’inserisce
nel processo di passaggio dal linguaggio naturale alla
traduzione simbolica di un problema. Egli adopera il
metodo geometrico utilizzato da Euclide e, nel suo
Liber Abaci (1202), impiega le lettere per
indicare i dati e le incognite di un problema. In
questo modo si assiste alla nascita della fase
sincopata dell’algebra che si avvale sempre del
linguaggio naturale, ma adopera anche delle
abbreviazioni per le incognite.
Con il matematico francese François Viète
(1540 – 1603) si assiste al passaggio dalla fase
sincopata alla fase simbolica. Egli introdusse la
notazione simbolica nel suo In artem
analyticam isagogé, pubblicato nel 1591,
dimostrandone l’utilità.
16
Il papiro di Ahmes (pag. 516 L. 1)
L’algebra sincopata (pag.445 L. 1)
Definizione di identità e di equazione
Condizione di esistenza
Principi di equivalenza e le loro conseguenze
Risoluzione di equazioni lineari in una incognita numeriche intere
Problemi con le equazioni di primo grado: metodo risolutivo generale
L’obiettivo di questo punto è quello di presentare agli studenti una possibile “struttura” in grado di
guidarli nella risoluzione dei problemi.(Cartesio, Polya La struttura a cui mi riferisco all’inizio può essere
rappresentata come nella precedente figura. Il triangolo (la concezione di questo triangolo è dovuta a
Cartesio) rappresenta un percorso ideale che ha il suo inizio e la sua fine nel vertice sinistro della base.
Ciò che è associato ad ogni vertice è l’obiettivo di una ben determinata fase di ragionamento e il punto
di partenza di un altra:
1.
2.
3.
Fase 1: Analisi (cercare, tradurre, scegliere)
a. Leggere attentamente il testo
b. Individuare la richiesta
c. Fare un disegno che rappresenti il problema (non sempre necessario)
d. Redigere una legenda
e. Scrivere i dati (i dati sono valori attribuiti a grandezze)
f. Tradurre le condizioni esplicite (le condizioni sono relazioni fra grandezze)
g. Cercare e scrivere eventuali condizioni nascoste probabilmente utili
h. Scegliere l’incognita
i. Scegliere la condizione “sorgente”
j. Trasformare la condizione sorgente in una equazione numerica
Fase 2: Calcolo (applicare regole matematiche)
a. Risolvere l’equazione
Fase 3: Verifica (controllare, discutere, rispondere)
a. Utilizzare la soluzione dell’equazione per dare una risposta al problema (in alcuni casi è necessario fare ulteriori
calcoli)
b. Discutere eventuali incompatibilità
c. Ricontrollare i calcoli
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Non è casuale che la fase di analisi si trovi a sinistra che è la “parte” della creatività e “in salita”, perché
è più difficile della fase di calcolo che si trova appunto in “discesa”e nella parte destra che è la “parte”
raziocinante. e inoltre, a differenza della fase 1, la fase 2 è eseguibile da un computer. Ciò che bisogna
“fare” inizialmente nella fase 1 è “semplicemente osservare” il problema da ogni possibile punto di
vista in modo tale che la ricerca della risposta sia successivamente più semplice. E’ importante
presentare agli studenti vari tipi di problemi non standard che abbiamo una o più delle seguenti
caratteristiche:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
la richiesta non coincide con l’incognita
le condizioni esplicite non sono tutte necessarie
le condizioni esplicite non sono sufficienti
la richiesta non sia facilmente riconducibile a grandezze
non esiste risposta perché il valore proposto dal modello non è accettabile
non esiste risposta perché il modello non produce valori
Problemi di Fisica:
Il ciclista e la mosca
Problemi O.C.S.E.
Andatura
Triangoli
Fattorie
Problemi reali:
Il pastore
Multisala
Al cinema multisala vengono venduti ,di sabato, 1865 biglietti con un incasso di 13972,70euro. Sapendo
che il sabato il costo del biglietto è 5,90 euro per i ridotti e 8,50 euro per gli interi, calcolare il numero
dei biglietti ridotti venduti.
Soluzione:
(Fase di analisi)
Legenda:
I = incasso
N = numero di biglietti venduti
Pr = prezzo biglietto ridotto
Pi = prezzo biglietto intero
Nr = numero biglietti ridotti venduti
Ni = numero biglietti interi venduti
Dati:
1. I=13972,70euro
2. N=1865
3. Pr=5,90euro
4. Pi=8,50euro
Condizioni:
5. Nr+Ni=N
6. Pr Nr+Pi Ni=I
Richiesta:
7. Nr
Incognita:
8. Nr=x
Costruzione dell’equazione:
Pr Nr+Pi Ni=I (Condizione sorgente)
5,90 x+8,50 Ni=13972,70 (per 1,3,4,8)
5,90 x+8,50 (N-Nr)=13972,70 (per 5)
18
5,90 x+8,50 (1865-x)=13972,70 (per 2, 8)
(Fase di calcolo) X=723
(Fase di verifica,discussione,risposta) Il risultato è accettabile e quindi i biglietti ridotti venduti sono stati 723.
Il fruttivendolo
Problemi di geometria:
Pag. 552 n285
Pag. 551 n274
Pag. 553 n299 (con dimostrazione)
Matematica per il cittadino:
Laboratorio di informatica:
Le equazioni lineari con Excel (pag. 528 L. 1)
Compito
Conclusioni:
Non esiste un metodo generale ottimale per insegnare la Matematica. Occorrono delle scelte, che
siano ispirate da principi e fini chiari e definiti. Occorre stabilire delle priorità.
Che senso ha insegnare a risolvere problemi se gli studenti non sanno nemmeno sommare due
frazioni? A cosa serve insegnare le frazioni se gli studenti non sanno fare un qualsiasi elementare
ragionamento? In questo lavoro ho voluto presentare dei fini e dei principi diversi da quelli che
generalmente vengono perseguiti nelle nostre scuole ma in cui credo fermamente. Resta da
verificare l’efficacia del metodo, per altro, tutt’altro che vicino alla sua completa definizione.
Molte domande restano aperte: qual è il metodo “migliore” per usare la storia nella matematica?
Quali sono i fatti storici didatticamente interessanti? Quali sono i problemi “reali” che possono
essere proposti agli studenti? Quali sono i contenuti matematici minimi, veramente “necessari”, da
insegnare nel biennio? In quale ordine questi contenuti vanno organizzati?
19
Bibliografia
Bruner J.S.: Il conoscere. Saggi per la mano sinistra.
Bottazzini, U.; Freguglia, P. & Toti Rigatelli, L. (1992), Fonti per la storia della matematica.Sansoni, Firenze.
Bourbaki, N. (1963), Elementi di storia della matematica.- Feltrinelli,
D'Amore, B. (1999). Elementi di didattica della matematica.- Bologna: Pitagora.
D’Amore B.: Problemi. Pedagogia e psicologia della matematica nell’attività di problem solving – Franco Angeli,
D'Amore, B. & Frabboni, F. (1996). Didattica generale e didattiche disciplinari. Milano.- Angeli.
Frajese, A. (1950), Storia della matematica ed insegnamento medio, Bollettino dell’Unione Matematica Italiana, III, 337
342.
Furinghetti, F. & Somaglia, A. (1997), Storia della matematica in classe, L’educazione matematica, XVIII, V, 2, 1.
Furinghetti, F. (1993), Insegnare matematica in una prospettiva storica, L’educazione matematica, III, IV, 123-134.
Furinghetti, F. (1993), Insegnare matematica in una prospettiva storica, L’educazione matematica, III, IV, 123-134.
Gardner M.: Enigmi e giochi matematici, Sansoni, Firenze (1959/1976), e poi BUR, Milano , (2001).
Loria, G. (1929-1933), Storia delle matematiche dall’alba delle civiltà al tramonto del secolo.
Kline M.: Mathematical Thought from ancient to modern times, Oxford Univesity (ed.), New York, 1972, pp. 205-210; Trad.
ital.: Storia del pensiero matematico.- Vol. I, Einaudi editore, Torino, pp. 241-252
Kolmogorov A.N, Aleksandorv A.D., Lavrent’ev M.A.: Le matematiche.- Boringhieri editore, 1974, pp. 1-14
Manara F. C. e Lucchini G.: Momenti del pensiero matematica.- Mursia Editore, Milano, 1976, pp. 13-20, pp. 56-58
Meschkowski H.: Mutamenti nel pensiero matematico.- Boringhieri editori, 1973 Milano, 1993.
Pepe, L. (1990), Storia e didattica della matematica L’educazione matematica.- III, I-2, 23-33.
Polya G.: Come risolvere i problemi di matematica. Logica ed euristica – Feltrinelli, Milano.
Polya G.: La Scoperta matematica. Capire, imparare e insegnare a risolvere i problemi.- Feltrinelli, Milano.
Popper K.: Logica della scoperta scientifica.- Einaudi editore, 1970, pp. 5-31
Russell B.: I principi della matematica, Newton & Compton editori, 1989, pp. 353-397
Sarracino, Corbi E: Storia della scuola e delle istituzioni educative (1830-1999.-, Napoli, Liguori (Ed.), 2001, pp. 29-41, pp.
53-74
Sawyer.: Guida all’insegnamento della Matematica.- Boringhieri, Milano.
Scurati C., Veronesi G.: Psicologia e Pedagogia.- Edizioni Claire, Milano, 1984, pp. 129-195
Smullyan R.: Qual è il titolo di questo libro. L’enigma di Dracula ed altri indovinelli.- Zanichelli, Bologna, 1981
Speranza, F. (1997), Scritti di Epistemologia della Matematica.- Pitagora, Bologna.
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