Parte I 4.5 - Forze conservative 1 Indipendendenza dal percorso per

Nicola GigliettoA.A. 1
2013/14
INDIPENDENDENZA DAL PERCORSO PER FORZE CONSERVATIVE
Parte I
4.5 - Forze conservative
4.5 - Forze conservative
Rf
~ dipende dal percorso effettuato. Basta
~ · ds
In generale il lavoro L = i F
considerare ilR lavoro compiuto da una forza di attrito radente: Fatt =
Rinfatti
B
B
µ
N
ds = µd N A ds = µd N LAB con LAB la lunghezza effettiva del
d
A
percorso compiuto. Quando il lavoro non dipende dal percorso effettuato
ovvero
Z B
Z B
~ II
~ I=
~ · ds)
~ · ds)
(F
(F
(1)
A
A
qualunque siano i percorsi I e II allora si dice che
R B la forza F è conser~ = f (B) − f (A)
~ · ds)
vativa. Se questo è verificato allora l’integrale A (F
si può esprimere come differenza dei valori di una funzione f (x) (una primitiva) nelle coordinate dei punti A e B (il lavoro allora dipenderà dalle
coordinate dei punti ma non dallo specifico percorso fatto) Conseguenza di
ciò è che se il percorso è chiuso, ovvero i punti iniziali e finale coincidono, il
lavoro sarà nullo:
I
~ =0
~ · ds
L=0⇔ F
(2)
L=0 per qualunque percorso chiuso equivale a dire che la forza è conservativa.
La funzione primitiva f (x) cambiata di segno è detta Energia
potenziale: LAB = UA − UB = −∆U = −∆Ep
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Indipendendenza dal percorso per forze conservative
Indipendendenza dal percorso per forze conservative
(1) ⇒ (2) è ovvia in quanto se B ≡ A certamente l’integrale è nullo. Verifichiamo anche che (2) ⇒ (1) per completare l’equivalenza: infatti considerando un generico percorso chiuso e individuando i tratti (1) e (2) si deve
avere LTOT = L1 + L2 = 0 per la (2)
Energia potenziale, forze conservative
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B
1
2
A
Per cui (LAB )1 = −(LBA )2 . Se consideriamo un
altro percorso chiuso che ad esempio va da A a B sul solo percorso (2) con
una andata e ritorno sempre dalla (2) abbiamo che (LAB )2 + (LBA )2 = 0 ⇒
(LAB )2 = −(LHBA )2 da cui Rsostituendo (LRAB )1 = −(LBA )2 = (LAB )2 . In
~ ⇒
~ · ds)
~ ~
~ ~
definitiva 0 = (F
(1) (F · ds) = (2) (F · ds) Il lavoro nullo su un
percorso chiuso qualunque implica il lavoro non dipende dal percorso ma
solo dagli estremi.
Parte II
energie potenziali di alcune forze
energie potenziali di alcune forze
Calcolare l’energia potenziale significa effettuare il seguente integrale ∆U = −
Energia potenziale forza peso
Es. 1: Forza costante (es. Forza peso): F=-mg cheR in genere è diretta lungo
y
l’asse y per cui integriamo di fatto su dy: ∆U = − yif (−mg)dy = +mg(yf −
yi ) ∆U = mg∆y ovvero Uf − Ui = mgyf − mgyi ⇒ U = mgy + cost.
Normalmente si calcolano sempre delle differenze in quanto di fatto calcoliamo dei lavori. Possiamo comunque volere l’energia potenziale in un
preciso punto (ad es. yf ). Per fare questo dobbiamo considerare un punto
di riferimento per l’energia potenziale al quale attribuiamo arbitrariamente energia potenziale nulla. Questa nostra scelta non avrà alcuna
conseguenza nel calcolo delle variazioni di energia potenziale. Nell’esempio considerato ad esempio si attibuisce energia potenziale nulla al livello
del suolo yi = 0, U (yi ) = 0. Fatta questa scelta abbiamo che U = mgy è
l’energia potenziale in un generico punto alla quota y e ∆U = mg(yf − yi ).
L’energia potenziale gravitazionale dipende solo dall’altezza rispetto al suolo
(che è scelta come posizione di riferimento U(0)=0).
Energia potenziale, forze conservative
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R xf
xi
F(x)dx
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Energia potenziale delle Forze elastiche R
x
Le forze elastiche hanno F=-kx per cui ∆U = − xif (−kx)dx = +[ 12 kx2 ]xxfi =
1
1
2
2
2
2 k(xf − xi ) ⇒ U = 2 kx + cost. La costante è definita scegliendo un riferimento opportuno: U=0 quando xi = 0, avendo indicato con xi = 0
la posizione a riposo della molla e quindi l’energia potenziale elastica della
molla ha espressione
U = 21 kx2
4.6 - Conservazione dell’energia meccanica
4.6 - Conservazione dell’energia meccanica
Definiamo Energia meccanica E di un sistema la somma della sua energia
cinetica con l’energia potenziale eventualmente posseduta da tutti i suoi
componenti. E = Ep + Ek oppure E = U + K Vediamo cosa accade ad
un punto materiale soggetto solo a forze conservative: dal teorema del laven.cinetica abbiamo che L = ∆Ek e dalla definizione di forze conservative
abbiamo che L = −∆U per cui −∆U = ∆Ek ⇒ ∆(U + Ek ) = 0 ovvero
−(Uf − Ui ) = Ek f − Ek i ⇒ Uf + Ek f = Ui + Ek i ⇒ Ef = Ei L’energia
meccanica si conserva in presenza di forze conservative
Principio di conservazione dell’energia meccanica
Principio di conservazione dell’energia meccanica
Se in un sistema isolato agiscono solo forze conservative allora l’energia
meccanica del sistema non cambia. Potranno cambiare separatamente U
e K in modo da dare una somma costante. Il vantaggio (quando possibile)
dell’applicazione del principio è quello di poter considerare solo gli stati
iniziali e finale del punto senza dover considerare gli stati intermedi.
Esercizio 8.3
Un oggetto di massa m scivola su un piano privo di attrito da una altezza h=8.5m. Calcolare la velocità alla fine dello scivolo. (confrontate la
soluzione con quella trovata con lo svolgimento tramite il secondo principio)
√
mgh = 21 mv2 ⇒ v = 2gh
Esercizio 8.4
Energia potenziale, forze conservative
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Un oggetto di massa M=61 Kg è legato ad una corda elastica
di lunghezza L=25m e di costante elastica k=160N/m. Se tale
oggetto è lanciato da un ponte alto h’=45 m sopra un fiume, a
quale altezza h dal fiume arriverà ?
Le forze agenti sono la fune elastica e la forza peso tutte conservative
inoltre sia all’inizio che alla fine l’oggetto è fermo All’inizio: Ug = mgh′
(riferita al suolo) e Uel = 0 Alla fine si avra’ Ug = mgh e Uel = 21 k(h′ −
h − 25)2 Per cui si avrà mgh′ = mgh + 21 k(h′ − h)2 ⇒ mg(h′ − h) =
2mg
1
1
′
′
2
′
2 k(h −h) ⇒ mg = 2 k(h −h) h = h − k = 36, 5 − 25 m (verificare!)
4.6-Estensione del principio di conservazione dell’energia
4.6-Estensione del principio di conservazione dell’energia
Lavoro svolto da una forza esterna: avendo definito il lavoro come l’energia
trasferibile ad un corpo (teor.lavoro-en.cinetica) allora possiamo vedere il
lavoro esterno come un trasferimento di energia al sistema (W> 0) o dal
sistema (W< 0) Quindi in generale per un sistema qualunque possiamo
W ≥0 ⇒
W<0⇐
P
dire che il lavoro complessivo è Ltot = (lavori di tutte le forze agenti)=
Lcons + Lnoncons Inoltre Ltot = Lcons + Lnc = ∆Ek ⇒ quindi ricavando il
lavoro delle forze non conservative si ha: Lnc = ∆Ek − Lcons = ∆Ek −
(−∆U ) = ∆(Ek + U ) = ∆E. Il lavoro delle forze non conservative è
pari alla variazione di energia meccanica
Tra le forze non conservative vi sono gli attriti per i quali ∆Emecc < 0 e
per qusto motivo sono dette dissipative in questo caso l’energia meccanica
viene parzialmente convertita in calore dovuto ad esempio allo strofinamento
con la superficie di contatto.
4.6 - Conservazione dell’energia
Energia potenziale, forze conservative
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RICERCA ANALITICA DI UNA FORZA
4.6 - Conservazione dell’energia
Se consideriamo tutte le forme di energia possibili e consideriamo l’energia
totale E di un sistema, essa può variare solo se viene trasferita da o verso
l’esterno. In sostanza dato un sistema il lavoro compiuto da una forza esterna
è L = ∆Emecc + ∆Eint + ∆Ecal
e se il sistema è isolato l’energia totale del sistema si conserva:
∆Emecc + ∆Eint + ∆Ecal = 0 avendo chiamato con ∆Eint L’energia dovuta
alle forze interne al sistema ∆Ecal l’energia termica prodotta dagli attriti
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Ricerca analitica di una forza
Ricerca analitica di una forza
Dal momento che per le forze conservative si ha ∆U (x) = −L = −Fx ∆x ⇒
dU
allora Fx (x) = − ∆U
∆x e portando agli infinitesimi Fx (x) = − dx ovvero la
forza lungo la direzione x è data dalla derivata della funzione energia potenziale rispetto a x e cambiata di segno. Graficamente rappresenta la
pendenza della curva. La relazione indicata scritta nello spazio diventerebtg α=-dU
dx
U
U(x)
α
x
~ = − ∂U uˆx − ∂U uˆy − ∂U uˆz che si definisce come operazione gradiente
be: F
dx
dy
dz
della funzione scalare U(x,y,z)
4.7 Momento angolare -Appendice C
4.7 Momento angolare -Appendice C
Appendice C- Momento di un vettore rispetto ad un punto
Se ~
v è un vettore applicato in un punto P si definisce momento del
~ o = OP
~ ×~
v
vettore rispetto ad un punto O (detto polo) il vettore M
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RICERCA ANALITICA DI UNA FORZA
~ e~
~ o| =
ed è ortogonale al piano definito dai vettori OP
v e ha modulo |M
|OP |v sin θ = |OH|v con la distanza |OH| = h che viene detta braccio di ~
v
MO
v
θ
P
O
H
rispetto ad O
Comunque si muovi il vettore
~ o non cambia ma se si cambia
v lungo la retta d’azione HP il vettore M
polo in genere cambia anche il momento Infatti se introduciamo un nuovo
~o′ = O~′ P × ~
~ )×~
~o
punto O’ si avrà M
v = (O~′ O + OP
v = O~′ O × ~
v+M
4.7 Momento angolare e momento della Forza
4.7 Momento angolare e momento della Forza
Momento angolare
~ =~
Definiamo come momento angolare il vettore L
r×p
~=~
r × m~
v
che è calcolato rispetto al polo O, se si cambia polo per quanto detto
~ O = O~′ O × m~
~O
prima si avrà L
v+L
Momento della Forza
~O=~
~
r×F
Analogamente il il momento della Forza è definito come M
ovviamente
la somma dei
P momenti risulta pari al momento della risultante:
P
~
~i = ~
~ =
~
r
×
F
r
×
M
i Fi
i
Teorema del momento angolare
~
r
v
Deriviamo rispetto al tempo il momento angolare: ddtL = d~
v +~
r ×m d~
dt ×m~
dt Se
d~
r
il polo è fermo nel sistema di riferimento in cui il moto avviene allora dt = ~
v
~
v
r × m d~
per cui il primo prodotto vettoriale si annulla e risulta ddtL = ~
dt =
~o
~ o = dL
~ o ovvero il teorema del Momento angolare: M
~
r × m~
a=~
r×F = M
dt
La derivata del momento angolare rispetto al tempo è pari al momento della
forza se entrambi sono calcolati rispetto al medesimo polo fisso in un
sistema di riferimento inerziale
~ =0⇒L
~ = costante Inoltre
Se il momento delle forze è nullo allora M
Rt
~ dt =
quando la forza è applicata per tempi brevi si può scrivere: 0 M
Energia potenziale, forze conservative
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Rt
~
=~
r×
dell’impulso
r × F )dt
0 (~
Rt
0
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RICERCA ANALITICA DI UNA FORZA
~ =~
~ che è detto teorema del momento
F
r × J~ = ∆L
Lavoro in un moto circolare
InfineR possiamo esprimere
il lavoro
Rθ
R θ in termini di uno spostamento angolare:
B
L = A FT ds = θAB FT rdθ = θAB M dθ
Unità di misura dei momenti: Momento della forza:Nm Momento
angolare: kg · ms−1 = Nms
Energia potenziale, forze conservative
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