Forze conservative

Università degli Studi di Torino – D.E.I.A.F.A.
Davide Ricauda A.
Forze conservative
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Davide Ricauda A.
Forze conservative (1)
Una forza si dice conservativa se il lavoro da essa compiuto su un
corpo che si muove tra due punti qualsiasi è indipendente dalla
traiettoria seguita dal corpo tra i due punti
Il lavoro eseguito da una forza conservativa dipende solo dalle
coordinate iniziali e finali del corpo.
Sono forze conservative di tipo meccanico:
¾ Forza di gravità (forza peso)
¾ Forza elastica
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Forze conservative (2) C
ESEMPIO: Forza di gravità
h-h0
P=mg
B
A
h
h0
Calcolare il lavoro della forza di gravità, compiuto sul corpo, percorrendo
due differenti percorsi: AÆC e AÆBÆC
C
¾ Traiettoria AÆC
La forza peso è parallela ed opposta
allo spostamento (h-h0).
h-h0
Lg = P ⋅ s = P ⋅ (h − h0 ) ⋅ cosπ
Lg = m ⋅ g ⋅ (h − h0 ) ⋅ cosπ = −m ⋅ g ⋅ (h − h0 )
P=mg
A
h
h0
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Forze conservative (3)
ESEMPIO: Forza di gravità
¾ Traiettoria AÆBÆC
Tratto AÆB: la forza peso è ortogonale allo spostamento Æ LgAB=0
Tratto BÆC: il lavoro compiuto dalla forza peso è uguale a quello
calcolato nell’esempio relativo al piano inclinato di pendenza θ, quindi
nuovamente:
C
Lg = LgBC = −m ⋅ g ⋅ (h − h0 )
Il lavoro eseguito dalla forza peso
NON
dipende
dal
cammino
eseguito dunque la forza di gravità
è una forza CONSERVATIVA
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h-h
h
h0
B
A
h0
P=mg
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Forze conservative ed En. Potenziale
Definendo l’energia potenziale meccanica si è visto che:
Lg = −ΔU = −(U f − U i ) = U i − U f
Siccome la forza di gravità è una forza conservativa, allora per qualunque
forza conservativa :
LFcons = −ΔU
Il lavoro eseguito da una forza CONSERVATIVA è pari alla
variazione dell’energia potenziale cambiata di segno.
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Forze NON conservative
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Forze non conservative
Una forza è detta NON CONSERVATIVA se dissipa energia
meccanica.
L’attrito è una forza NON CONSERVATIVA.
ESEMPIO
Oggetto che si muove orizzontalmente sul tavolo compiendo due diverse
traiettorie in presenza di forza d’attrito dinamico fa
⎛π d ⎞
L fa = − f a ⎜
⎟
⎝ 2 ⎠
B
L fa = − f a ⋅ d
d
A
Il lavoro di una forza NON
CONSERVATIVA dipende dal
percorso compiuto.
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Classificazione delle forze
In base a quanto visto sino ad ora le forze si possono classificare
come:
Forze esterne: forze applicate al sistema dall’esterno (Es. forza
che trascina in salita un oggetto su un piano inclinato).
Forze interne: forze che agiscono internamente al sistema in
quanto associate agli elementi. Si dividono in:
¾ Forze conservative (forza peso, forza elastica)
¾ Forze NON conservative (attriti)
SISTEMA ISOLATO: sistema in cui agiscono solo forze interne.
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Conservazione dell’energia
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Energia meccanica (1)
Si consideri un corpo di massa m, posto ad altezza h dal suolo, in caduta
libera senza attrito con l’aria, si possono fare le seguenti considerazioni:
ll’i i i l’energia
l’
i potenziale
t
i l vale
l mgh,
h mentre
t l’en.
l’
all’inizio
cinetica è nulla;
• durante il percorso l’en. potenziale diminuisce,
mentre aumenta in egual misura l’en. cinetica.
P = m⋅ g
• in prossimità del suolo l’en. potenziale è nulla
(h=0), mentre l’en. cinetica risulta pari al valore di
en. potenziale che si aveva all’inizio della caduta
h
Complessivamente si osserva che:
La somma dell’energia potenziale e dell’energia cinetica rimane
costante.
ENERGIA MECCANICA = EN. POTENZIALE + EN. CINETICA
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Conservazione dell’energia meccanica
L’energia meccanica totale di un sistema isolato di oggetti che
interagiscono solo mediate forze conservative è costante
Ossia nel sistema NON sono presenti forze esterne (sistema isolato)
e/o forze non conservative (attriti).
E =U + K
E f = Ei ⇒ U f + K f = U i + K i
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Energia meccanica in presenza
di forze esterne e forze non
conservative
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Dal Teorema dell’energia cinetica si ha che il lavoro compiuto dalle
forze che globalmente agiscono su un corpo è uguale alla
variazione di energia cinetica.
LFTOT = Δ
ΔK
K
Siccome
FTOT = Fcons + F NO cons + FEst
allora:
L FTOT = L Fcons + L FNO cons + L FEst = Δ K
LFcons = −ΔU
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− ΔU + LFNO cons + LFEst = ΔK
TEOREMA di CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA in
i senso lato
l t o
generale: in presenza di forze esterne e forze non
conservative…
LFEst = Δ K + Δ U − LFNO cons
CALORE
ATTENZIONE!!! Il lavoro delle forze non conservative è sempre
negativo
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Lavoro di forze variabili
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Si consideri un oggetto che si muove lungo l’asse x sotto l’azione di
una forza Fx variabile.
Il lavoro compiuto da tale forza NON si può calcolare come visto sino
ad ora.
Fx
xi
xf
x
Considerando spostamenti Δx molto piccoli, si può pensare che per tali
spostamenti
t
ti Fx sia
i praticamente
ti
t costante,
t t quindi
i di il lavoro
l
nell tratto
t tt Δx
Δ
vale:
LΔx = Fx ⋅ Δ x
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LΔx
Fx
x
x2
x1
Suddividendo la curva in tanti intervalli il lavoro complessivamente
n
compiuto vale:
L=
∑
i =1
FΔ x i ⋅ Δ x i
Riducendo sempre più
ù Δx si passa all’integrale:
n
lim
Δx → 0
∑
i =1
xf
xf
FΔxi ⋅ Δ xi =
∫F
x
L=
dx
xi
∫F
x
dx
xi
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Lavoro della forza elastica (1)
Fel = 0
x=0
x
r
Fel
x = xa
r
Fel
x = − xb
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r
r
Fel = − k x
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Lavoro della forza elastica (2)
Calcolare il lavoro eseguito da una molla compressa nella posizione x=-xb
per tornare alla posizione di riposo.
F ( x)
Lavoro
=
Area sotto la curva
Posizione
finale
x
− xb
Posizione
iniziale
xf
0
1
L = ∫ F x dx = ∫ − kx dx = − kx 2
2
xi
− xb
0
=
− xb
1
2
kx b
2
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Lavoro della forza elastica (3)
Lavoro compiuto dalla molla tra due generici spostamenti xi = -xc ed
xf = -xb
F ( x)
r
Fel
x =0
x = −xc
r
Fel
− xc
− xb
x
x = −xb
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Lavoro della forza elastica (4)
Lavoro compiuto dalla molla tra due generici spostamenti xi = -xc ed
xf = -xb
xf
L=
∫F
x
dx
F ( x)
xi
− xb
1 2 1 2
L = ∫ − kx dx = kxc − kxb
2
2
− xc
− xc
x
− xb
Il lavoro compiuto dalla molla è la differenza tra il lavoro che effettuato tra
-xc ed il punto di riposo, meno il lavoro tra –xb ed il punto di riposo.
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Energia potenziale elastica
Sulla base di quanto visto nell’esempio precedente il lavoro compiuto
dalla molla tra due generici spostamenti xi ed xf si può scrivere come:
L=
xf
xf
xi
xi
∫ F x dx = ∫ − kx dx =
Definendo:
L=
1
Ue = k x2
2
1 2 1
2
kxi − kx f
2
2
Energia potenziale elastica
1
1
2
2
k xi − k x f = U e i − U e f = − ΔU e
2
2
La forza elastica è conservativa poiché il lavoro dipende solo dalla
posizione finale ed iniziale.
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Rendimento (1)
Qualunque sistema reale è soggetto a forze non conservative, ossia a
forze di attrito, che contribuiscono a diminuire l’energia del sistema
stesso.
In particolare, qualunque dispositivo costruito dall’uomo, concepito per
effettuare specifiche operazioni (cioè compiere un qualche tipo di lavoro)
restituisce un’energia che è inferiore a quella fornita per il suo
funzionamento.
EIn
SISTEMA
EOut
η=
Eout Pout
=
Ein
Pin
Si definisce rendimento di un sistema il rapporto tra l’energia
(potenza) in uscita e l’energia (potenza) fornita al sistema
stesso.
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