Anche Diofanto di Alessandria conosceva il

ANCHE DIOFANTO DI ALESSANDRIA CONOSCEVA IL DIAGRAMMA DI ARGILLA
QUADRATICO COME MACCHINA ALGEBRICA RISOLUTIVA?
Aldo Bonet
A beneficio dei sostenitori del diagramma di argilla.
Diofanto di Alessandria ( Egitto, III sec d.C. circa) nella sua Aritmetica espone anche, alcuni
sistemi di 2° grado affini a quelli visti e risolti dalle civiltà mesopotamiche.
Propongo per esemplificare, quello del tipo standard: somma – prodotto ( x + y = s; x·y = b).
L’enunciato di Diofanto recita così: “ trovare due numeri quando la loro somma e il loro prodotto
siano uguali a numeri assegnati “
Il sistema è risolto abilmente da Diofanto e traspare nel suo procedimento di risoluzione
l’applicazione inequivocabile dell’arcaico principio mesopotamico:
quello della semisomma [ u= (x + y)/2 ] e della semidifferenza [ v= (x - y)/2 ].
Diofanto, risolve il sistema di 2° grado scomponendo i due numeri (o le due incognite) in
questo modo: x= u + v ; y= u – v . Ovvero, in due sub-radici, dove, se era nota, l’una (u)
bisognava trovare l’altra (v) o viceversa.
A questo generico enunciato, Diofanto, pone un limite o condizione volto a ottenere soluzioni
razionali positive, il quale, recita: ”E’ necessario tuttavia che il quadrato della semisomma dei
numeri, superi il loro prodotto di un numero quadrato, cosa che è d’altronde figurativa “
Tradotto algebricamente, l’enunciato si presenta come segue:
u2 = [(x + y)/2] 2 = x y + v2
Che cosa volesse dire Diofanto con l’ultima frase della condizione posta: “cosa che è d’altronde
figurativa” - ἒστι δὲ καὶ τοῦτο πλασµατικόν (1) - ha scatenato una ridda di ipotesi e interpretazioni:
chi sostiene che Diofanto abbia voluto fare riferimento ad una costruzione di tipo babilonese e chi
invece sostiene che fosse di tipo euclideo, come la proposizione II,6. Noi invece, dopo aver letto
l’articolo, sappiamo che Diofanto faceva riferimento alla quarta parte del diagramma di argilla:
Diofanto aveva sviluppato un‘algebra “sincopata – simbolica” mascherando così nel calcolo il
diagramma di argilla cui faceva comunque riferimento.
Oggi, per noi la cosa è chiara! E sappiamo anche cosa intendesse dire Diofanto con quell’ultima
parte della condizione posta. E, detta alla Diofanto: “ ἔστι δὲ καὶ τοῦτο πλασµατικόν “ .
Secondo il Professor Giovanni Ceschi, insegnate di greco presso l’Istituto Liceo Prati di Trento,
che ho interpellato e che ringrazio moltissimo per la sua preziosa disponibilità nonostante i suoi
numerosi impegni scolastici, la frase diofantea, meglio se scritta:
“ ἔστι δὲ καὶ τοῦτο πλασµατικόν “
la si può tradurre e inquadrare più correttamente come:
“ Cosa che peraltro è anch’essa figurativa ”.(2)
Questa interpretazione del Prof. Giovanni Ceschi, che mi è stata subito fornita grazie alla
competenza nel proprio ambito, pur con la riserva (a dimostrazione della sua serietà professionale)
di essere direttamente verificata nell’Opera originale ( all’interno quindi, di un contesto più ampio
in cui è stata scritta da Diofanto nella sua Aritmetica), già di per se non è assolutamente da
trascurare sul piano di un’analisi linguistica oggettiva.
Questa migliore traduzione, che reputo affidabile e adeguata, mi porta a pensare che Diofanto, con
la sua ultima frase, stesse semplicemente facendo riferimento a qualcosa di analogo che aveva
visualizzato e che era da ricollegare a qualcosa di precedente. In altre parole, a mio parere,
Diofanto, stava affermando che la condizione da Lui posta era correttamente visualizzabile sullo
stesso diagramma di argilla esattamente come il principio della semisomma e della semidifferenza,
preventivamente visualizzato (o raffigurato) proprio come nella figura sopraindicata.
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1
. Maracchia S. (2005/2008). Storia dell’Algebra. Napoli: Liguori, pag 123.
2
. Secondo Jöran Friberg. (2007). Amazing Traces of a Babylonian Origin in Greek Mathematics. Londra: World
Scientific, pag. 328- 329-330, la frase in questione si può inquadrarla come: “ And this can be shown in a diagram “
ovvero: “E anch’essa può essere visualizzata in un diagramma” . Jöran Friberg propone quindi, tre tipi di
diagrammi in Fig.13.1.1 a pag 330 del suo libro e, ognuno, rispettivamente assegnato ad ogni problema contenuto
nell’Aritmetica di Diofanto: I.27- I.28- I.30. Ebbene, tutti i tre diagrammi proposti, se osservati attentamente, sono tutti
riconducibili e pertanto contenuti nell’unico diagramma di argilla, dal quale discendono e che io propongo.
Jöran Friberg. (2007). Amazing Traces of a Babylonian Origin in Greek Mathematics. pag. 330:
Notare che, l’abbreviazione “sq. “ deriva dalla parola inglese “square” che significa: “quadrato”
Pertanto, quando vediamo per esempio l’espressione: sq.(a – b) /2, dobbiamo leggerla come: “ il quadrato della
semidifferenza”, che tradotto algebricamente : [(a – b) /2] 2
Per comodità di comprensione terrò le espressioni con le dovute abbreviazioni usate da Jöran Friberg, il quale, peraltro,
usa per le incognite (o numeri incogniti) le lettere “ a, b “ e per i termini noti: “ m, n, k “
Jöran Friberg, propone tre diagrammi in Fig.13.1.1 a pag 330 del suo libro: Il primo a sinistra, interpreta
geometricamente la condizione posta ( diorismo ) da Diofanto nel problema I ,27 della sua Aritmetica. Il diagramma in
mezzo (o al centro), per il problema Ar. I,28 e l’ultimo a destra, per il problema Ar. I.30.
Fig. 1. Jöran Friberg. (2007). Amazing Traces of a Babylonian Origin in Greek Mathematics, pag. 330
(Figura inserita su gentile concessione dell’autore)
Desidero far vedere, qui di seguito, come gli stessi diagrammi proposti da Jöran Friberg appartengano tutti e tre
all’arcaico e unico Diagramma di argilla mesopotamico a cui Diofanto faceva verosimilmente riferimento.
DIAGRAMMI DI JÖRAN FRIBERG RICOSTRUITI CON IL DIAGRAMMA DI ARGILLA QUADRATICO.
( Jöran Friberg’s Diagrams reconstructed with the clay square diagram.)
Riprendiamo quello a sinistra della Fig 13.1.1- Ar. I,27 e lo interpretiamo col Diagramma di argilla:
Fig. 2. Diagramma di argilla che visualizza la relazione: sq. (a+b) /2 = sq. (a-b) /2 + a.b
Riprendiamo quello in mezzo della Fig 13.1.1- Ar. I,28 e lo interpretiamo col Diagramma di argilla:
Fig. 3. Diagramma di argilla che visualizza la relazione: 2(sq.a+ sq.b) = sq. (a+b) + sq. (a-b)
Riprendiamo quello a destra della Fig 13.1.1- Ar. I,30 e lo interpretiamo col Diagramma di argilla:
Fig. 4. Diagramma di argilla che visualizza la relazione: 4.a.b + sq. (a-b) = sq. (a+b)