Universit`a degli Studi di - AURIGA

Università degli Studi di Padova
facoltà di scienze matematiche, fisiche e naturali
corso di laurea in fisica
Caratterizzazione di un amplificatore meccanico
per rivelatori
di onde gravitazionali
Relatore: Prof. Massimo Cerdonio Chiaromonte
Correlatore: Dott. Jean-Pierre Zendri
Laureando: Alessandro Venturini
Anno Accademico 2004/2005
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Indice
1 Onde gravitazionali e rivelatori
1.1 La radiazione gravitazionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Strumenti per la rivelazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
7
8
2 Dual e l’amplificatore meccanico
2.1 Il rivelatore Dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Amplificatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
10
11
3 Riscontro sperimentale
3.1 Apparato sperimentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Misure e analisi dei risultati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Discussione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
14
16
20
4 Conclusioni
22
Alle mie nonne
Riassunto
Questo testo rende conto del lavoro svolto nei mesi di maggio e giugno 2005 nell’ambito dell’esperimento Auriga presso i Laboratori Nazionali di Legnaro (Padova) dell’INFN. L’attività cui ho collaborato rientra in una linea di ricerca sviluppata dal gruppo
Auriga volta alla progettazione di un nuovo tipo di rivelatore massivo di onde gravitazionali, denominato Dual. Un passo preliminare nello studio di fattibilità di tale genere
di rivelatore consiste nella realizzazione di un amplificatore meccanico di spostamento:
tale macchina rappresenta infatti il primo anello della catena di trasduzione del segnale
nel progetto di rivelatore Dual. La misura della funzione di trasferimento diretta e inversa di questo amplificatore è l’oggetto di questa tesi.
Il primo capitolo introduce brevemente la teoria della radiazione gravitazionale e
i tentativi della sua verifica sperimentale, delineando i principi di funzionamento dei
rivelatori di tipo massivo —di cui Auriga fa parte— e interferometrico.
Nel capitolo secondo si espone l’idea alla base del rivelatore a due masse e la necessità
dell’amplificazione meccanica del segnale. Viene descritto l’amplificatore realizzato e
l’oscillatore di test necessario alla sua caratterizzazione; vengono presentate le funzioni
di trasferimento teoriche.
Il terzo capitolo descrive l’apparato sperimentale nei suoi dettagli e le operazioni di
misura eseguite; vengono analizzati i dati e confrontati con il modello, per trarre quindi
nella quarta e ultima parte le conclusioni dell’esperienza.
Io stimo più il trovar un vero
benché di cosa leggiera
che disputar lungamente
delle massime questioni
senza conseguir verità nissuna
Galileo
Capitolo 1
Onde gravitazionali e rivelatori
1.1
La radiazione gravitazionale
La teoria della gravitazione di Newton, il gioiello della fisica classica che descriveva masse
tra loro interagenti in modo istantaneo, e libere di muoversi in uno spazio euclideo dotato
di tempo assoluto ed uniforme, resistette per due secoli fino all’avvento di Einstein.
Con la formulazione della relatività generale (1916) il paesaggio newtoniano mutava
radicalmente: tempo e spazio assoluti perdevano le loro identità separate, per formare
un’unica varietà a quattro dimensioni, tutt’altro che omogenea e immutabile, bensı̀ curva
e mobile. Uno scenario in cui la massa informa lo spazio, il quale a sua volta detta alla
prima le regole del moto, secondo una catena di cause ed effetti altamente non-lineare.
Tale complessità si riduce tuttavia al semplice modello classico quando consideriamo un campo gravitazione debole e statico, nel quale le particelle si muovono a basse
velocità: al limite in cui il campo è nullo, lo spaziotempo è piatto ed è descritto dalla
metrica di Minkowski η = diag(−1, 1, 1, 1). Una buona approssimazione, meno esigente, dello spaziotempo vicino si può ottenere anche rinunciando alla staticità del campo
gravitazionale, introducendo una piccola perturbazione h alla metrica di Minkowski:
gµν = ηµν + hµν . In questo ambito (approssimazione di campo debole) le equazioni di
Einstein si linearizzano e ammettono come soluzioni una base di onde piane. Tali funzioni presentano le caratteristiche classiche delle onde: vige il principio di sovrapposizione,
trasportano energia e momento. Esse si manifestano geometricamente come una perturbazione della curvatura dello spaziotempo, ovvero —in un’interpretazione significativa
ai fini della rivelazione, come si spiega più sotto— come una variazione momentanea
delle distanze mutue tra le curve geodetiche di tale varietà.
Analogamente alla radiazione elettromagnetica, la radiazione gravitazionale è prodotta dall’accelerazione delle cariche (masse); tuttavia tale genere di emissione non presenta componenti mono– o dipolari, ma solo quadrupolari e successive. Questo significa
che solo sistemi di masse accelerate in modo non simmetrico emettono onde gravitazionali: tipico esempio è il caso di un sistema binario di stelle orbitanti intorno al loro
centro di massa. Il sistema PSR 1913+16 è in effetti la più importante prova indiretta
dell’esistenza della radiazione gravitazionale: Hulse e Taylor ne hanno misurato per anni
la diminuzione del periodo, mostrando con grande precisione come la perdita di energia
del sistema sia pari a quella prevista dalle equazioni di Einstein nel caso di emissione
gravitazionale. Tale prova è valsa a questi due ricercatori il premio Nobel per la Fisica
del 1993.
7
1.2
Strumenti per la rivelazione
I primi tentativi di rivelazione diretta delle onde gravitazionali risalgono ormai a più di
quaranta anni fa, da quando cioè Joseph Weber all’Università del Maryland, all’inizio
degli anni 1960, costruı̀ una barra risonante in alluminio della massa di 2 tonnellate.
Da allora sono stati fatti significativi passi in avanti, ripensando le tecnologie esistenti
e inventandone di nuove, sempre perseguendo l’obiettivo della massima sensibilità degli
strumenti: da Weber ad oggi essa è migliorata di cinque ordini di grandezza [2].
Si espongono qui i princı̀pi su cui sono basati i moderni rivelatori.
Rivelatori massivi
Auriga (Antenna Ultracriogenica Risonante per l’Indagine Gravitazionale Astronomica), cosı̀ come tutti gli altri rivelatori di tipo risonante, è nella sostanza un accelerometro
differenziale atto a misurare gli effetti prodotti sulla materia dal passaggio di un’onda
gravitazionale. Questa, come si è accennato sopra, è una perturbazione dello spaziotempo, varietà le cui geodetiche la materia tende naturalmente a seguire. La lega di
alluminio di cui è costituita la barra, tuttavia, è materia aggregata, i cui atomi sono
legati da mutue interazioni che si oppongono alle variazioni di distanza reciproca prodotte dal passaggio dell’onda: l’effetto che si produce è perciò una vibrazione d’insieme
di tutta l’antenna. La misura di tali vibrazioni, unita alla conoscenza della funzione di trasferimento del sistema, permette in linea di principio di ricostruire il segnale
gravitazionale in ingresso.
La barra è costruita in modo da risuonare meccanicamente vicino a 1 kHz, frequenza
intorno alla quale, si ipotizza, potrebbero trovarsi le emissioni gravitazionali di importanti eventi astronomici. Il fenomeno della risonanza permetterebbe in questo caso di
aumentare l’ampiezza dell’oscillazione e perciò renderla più facilmente misurabile. Il segnale meccanico, per essere registrato e analizzato, deve essere convertito in un segnale
elettrico. Non avendo tuttavia a disposizione apparati di trasduzione abbastanza efficaci
da convertire tale piccola oscillazione in un segnale distinguibile dal proprio stesso rumore elettronico, si è realizzato un trasduttore capacitivo risonante alla stessa frequenza
della barra, e ad esso accoppiato. In questo sistema di due oscillatori accoppiati, antenna
e capacitore, si osserva che entro un tempo di battimento τ tutta l’energia della barra
viene trasferita al più leggero trasduttore, fornendo cosı̀ un’amplificazione dell’ampiezza
dello spostamento proporzionale alla radice quadrata del rapporto delle due masse. Questa soluzione ha purtroppo il difetto di limitare notevolmente l’intervallo di frequenze
in cui il rivelatore è sensibile, restringendo la banda a ∆ν ∼ τ −1 . Per Auriga si trova
attualmente una zona sensibile di circa 50 Hz attorno alla risonanza a 920 Hz [3]; una
possibile realizzazione di rivelatore massivo wide-band è tracciata al capitolo seguente.
L’antenna dei Laboratori Nazionali di Legnaro collabora con altri quattro rivelatori
simili in un consorzio denominato IGEC (International Gravitational Event Collaboration) a cui partecipano, oltre ad Auriga , anche Allegro (Lousiana, USA), Explorer
(Ginevra, Svizzera), Nautilus (Laboratori Nazionali di Frascati, Roma) e Niobe (Perth, Australia). Scopo della collaborazione è quello di poter fare analisi di coincidenza
tra i cinque rivelatori; purtroppo difficoltà tecniche hanno permesso fino ad oggi di ottenere che al massimo tre antenne fossero in presa dati contemporaneamente, e solo per
brevi periodi di tempo (pochi mesi) [4]; la loro attività congiunta ha comunque permesso di porre dei limiti superiori all’intensità di emissione gravitazionale di alcuni eventi
astronomici.
8
Interferometri
Un secondo genere di rivelatori, su cui tuttavia non ci soffermeremo a lungo, è quello degli
interferometri laser. Sorti più recentemente rispetto alle barre risonanti, essi si basano
sul principio dell’esperimento di Michelson e Morley, con la differenza che in questo caso
lo sfasamento tra i due raggi luminosi dovrebbe essere prodotto dalla variazione relativa
della lunghezza dei due bracci ortogonali. Più precisamente, la lunghezza di un braccio
è definita dalla posizione di uno specchio riflettente, sospeso e libero di oscillare, cioè di
seguire le geodetiche dello spaziotempo; una perturbazione di queste si traduce in una
variazione del cammino ottico dei fotoni, che si ritrovano sfasati all’incrocio dei bracci,
producendo una figura di interferenza.
Rispetto ai rivelatori risonanti, gli interferometri hanno il vantaggio di essere sensibili
su una banda di frequenze ben più ampia (Hz ÷ kHz) e quindi hanno, in linea di
principio, la possibilità ad esempio di seguire l’evoluzione del chirp gravitazionale emesso
da un sistema binario coalescente; in valore assoluto, tuttavia, le sensibilità finora non
si discostano molto da quelle delle barre risonanti. Sono funzionanti i rivelatori Ligo
negli Stati Uniti, Tama in Giappone e Geo600 in Germania; mentre si completa la
costruzione di Virgo [5] nei pressi di Pisa, è in progetto la messa in orbita di un
interferometro ben più imponente, co-orbitante con la Terra in orbita eliocentrica: Lisa
[2, 6].
Rumore
Appare√evidente che in apparati che raggiungono sensibilità spettrali tra i 10−21 e i
10−22 / Hz —ancora troppo scarse tuttavia per rivelare la debole interazione della radiazione gravitazionale con la materia— le sorgenti di rumore pongono questioni tecniche
di grande importanza, la cui soluzione occupa buona parte della ricerca sui rivelatori,
tanto risonanti quanto ottici [7, 8]. Attualmente il lavoro in questo senso è concentrato
principalmente su tre fronti: rumore sismico a bassa frequenza, attenuato con isolamenti
e sospensioni meccaniche di vario genere, sia passive che attive; rumore termico degli
oggetti coinvolti nella rivelazione (barre, specchi, parti della catena di trasduzione) ridotto attraverso l’utilizzo di materiali a bassa dissipazione, a temperature estremamente
basse (0.1 ÷ 10 K); rumore quantistico elettronico limitato grazie all’uso di dispositivi
che operano vicini al limite quantistico di risoluzione (SQL).
c Eurelios
Figura 1.2. Veduta aerea di Virgo (
2000)
Figura 1.1. La barra di Auriga appena inserita
al centro del criostato
9
Capitolo 2
Dual e l’amplificatore meccanico
2.1
Il rivelatore Dual
Come si è detto i rivelatori acustici contengono, intrinseco nel principio di funzionamento
(la risonanza) del loro apparato di trasduzione, un limite alla banda di frequenze cui
sono sensibili. Questo difetto potrebbe essere superato con la realizzazione un sistema
in cui l’elemento elastico sensibile al segnale gravitazionale sia accoppiato ad un readout
non risonante.
Il rivelatore di tipo Dual, ancora in fase di progettazione, segue questo principio.
Esso è composto da due corpi elastici coassiali o concentrici —nel seguito viene trattato
il caso di un toro esterno e un cilindro interno [9], sebbene sia stato proposto anche
un apparato sferico [10, 11]— e liberi di vibrare, posti naturalmente a temperature
inferiori o dell’ordine del grado Kelvin. Le due masse sono costruite in modo che la più
esterna abbia bassa frequenza del modo fondamentale di quadrupolo (ωL ), alta invece
per la massa interna (ωH ). L’arrivo di un’onda gravitazionale (nel caso ideale, lungo
l’asse di simmetria del cilindro) di frequenza ω, con ωL < ω < ωH , eccita l’oscillazione
delle due parti; poiché tuttavia il corpo esterno oscilla sopra risonanza, mentre il corpo
interno oscilla sotto risonanza, lo spostamento delle due masse avviene in controfase.
L’opposizione di fase si traduce nel fatto che, nell’espressione della distanza relativa tra
le due superfici affacciate, gli spostamenti dei due singoli corpi relativamente al centro
di massa —non perturbato— si sommano in modulo: risulta perciò conveniente leggere
come risposta del rivelatore lo spostamento differenziale delle due masse. La banda
sensibile del rivelatore Dual risulterebbe in tal modo essere l’intervallo (ωL , ωH ) ovvero
approssimativamente da 2 a 6 kHz: un sostanziale miglioramento rispetto alle poche
decine di Hz della barra attuale.
I primi calcoli fatti su un ipotetico doppio toro in molibdeno con readout allo Stan√
dard Quantum Limit portano ad una sensibilità in spostamento di 3÷5×10−23 m/ Hz,
confrontabile con quella dei grandi interferometri nella loro versione avanzata. La realizzazione di un’amplificazione allo SQL non è verosimilmente cosı̀ distante nel tempo,
dato che Auriga monta attualmente uno SQUID a 200~, le cui prestazioni potrebbero
ulteriormente migliorare a temperature sotto il grado Kelvin (i primi test indicano 30~
a 100 mK). Per quanto riguarda l’apparato di trasduzione, la strada per raggiungere
la sensibilità richiesta passa attraverso diverse tappe. Innanzitutto una “buona” scelta
della geometria della zona di lettura del segnale porterebbe all’amplificazione dei modi
di oscillazione quadrupolari, cioè i soli che portano l’informazione gravitazionale, e ad
una corrispondente depressione dei modi ad alta frequenza nonché del rumore introdotto dall’apparato di trasduzione stesso (forza di back-action), in quanto esso agirebbe
in fase sulle due masse. Un risultato di questo tipo si potrebbe ottenere misurando
10
lo spostamento relativo delle due superfici cilindriche su quattro aree disposte a croce
come in figura. Una misura su una superficie ampia riesce intrinsecamente a mediare a
zero i contributi al rumore dei modi di oscillazione spurii ad alta frequenza; inoltre due
sistemi di lettura posti a 45◦ permetterebbero di risolvere le polarizzazioni ortogonali
+ e × dell’onda gravitazionale [12]. La realizzazione pratica della trasduzione si avvarrà di una delle due tecnologie sviluppate e continuamente raffinate nell’ambito della
ricerca sulla radiazione gravitazionale specialmente dal gruppo Auriga , ovvero la trasduzione opto-meccanica (interferometria laser) e quella di tipo capacitivo. Entrambe
richiederebbero tuttavia miglioramenti
√ in sensibilità di circa un ordine di grandezza per
−23
soddisfare la richiesta di 10
m/ Hz.
Nell’attesa che questi risultati vengano raggiunti un’altra via viene investigata. Una
pre-amplificazione meccanica (' 10×) dello spostamento differenziale da misurare, ottenuta attraverso la deformazione di un meccanismo elastico —compliant— che non sia
una sorgente significativa di rumore, potrebbe venire incontro agli sforzi per perfezionare
la trasduzione ottica o capacitiva. Queste le caratteristiche richieste all’oggetto studiato
in questa tesi, descritto in dettaglio nel paragrafo seguente.
Figura 2.1. Schema del rivelatore Dual. Sono evidenziate in nero le quattro aree di lettura
dello spostamento differenziale dei due tori, esagerato nella visione in pianta
2.2
Amplificatore
La progettazione di un amplificatore meccanico a leverismo per un rivelatore di tipo Dual
ha costituito il lavoro di tesi del dott. Michele Bignotto —riportata in bibliografia con il
riferimento [13]—, lavoro confluito nella costruzione presso la ditta CINEL dell’oggetto in
figura 2.3. La misura della funzione di trasferimento diretta e inversa di tale amplificatore
è precisamente il fine di questa tesi.
Figura 2.2. Profilo dell’amplificatore.
evidenziate le cerniere
Sono
Figura 2.3. L’amplificatore realizzato in lega
Al-Mg (360 g, 90 × 38 × 60 mm)
11
L’obiettivo con cui si è progettato l’amplificatore è stato quello di ottenere un leverismo capace di produrre una moltiplicazione in spostamento di un fattore 10 al di
sotto della prima frequenza di risonanza dell’oggetto (almeno 5 kHz), e i cui movimenti fossero localizzati prevalentemente in cerniere soffici (indicate nel disegno 2.2; C e
C 0 nello schema 2.4) piuttosto che nelle aste (L), in modo da non influire sul meccanismo di amplificazione. In altre parole, si è cercato di progettare un leverismo il cui
fattore di guadagno dipendesse esclusivamente dalle sue proprietà geometriche e non
di altro tipo, secondo il seguente modello a rombo: se le aste sono rigide, si avrà che
L2 = a2 + b2 in condizioni di equilibrio, mentre per un piccolo spostamento (∆x, ∆y)
sarà L2 = (a − ∆x)2 + (b + ∆y)2 . Confrontando le due espressioni e tralasciando gli
infinitesimi di second’ordine si ottiene facilmente 2a∆x = 2b∆y ovvero
∆y
a
1
1
= =
'
∆x
b
tan α
α
ove l’ultimo passaggio vale se α 1; nel nostro caso per avere G ' 10 sceglieremo
α = 0.1 rad ' 5.7◦ .
G=
∆y
L
x1
y1
C’
b
∆x
x2
α
C
C
C’
a
y2
Figura 2.4. Schema geometrico dell’amplificatore. La posizione di equilibrio è espressa dalle
coordinate x1 = x2 = y1 = y2 = 0
Una volta realizzato l’amplificatore, è stato progettato, al fine di caratterizzarlo, un
apparato che simulasse il rivelatore Dual. Si può mostrare che un oscillatore armonico
capace di ospitare l’amplificatore è il sistema che risponde allo scopo: perciò è stato
costruito un solido dello stesso materiale dell’amplificatore (lega alluminio-magnesio
Alumold 1-600; circa 11 kg; 280 × 150 × 150 mm) il cui comportamento —riprodotto
agli elementi finiti— dovrebbe essere assimilabile a quello di una coppia di masse uguali
che sollecitano l’amplificatore lungo l’asse x. La geometria di tale oscillatore è stata
studiata in modo da avere frequenza di risonanza longitudinale inferiore a quella propria
dell’amplificatore.
Figura 2.5. Schema di oscillatore (blu) e
amplificatore (giallo, all’interno)
Figura 2.6. L’oscillatore realizzato. All’interno
è visibile l’amplificatore meccanico
12
Un modello a elementi concentrati del sistema oscillatore+amplificatore più dettagliato di quello, elementare, tratteggiato in figura 2.5, si trova ben descritto e risolto
in [13]. Esso tuttavia non ha ragione di comparire qui, in quanto l’andamento teorico
del guadagno, cui ci si è riferiti in sede di analisi delle misure, non è ricavato da tale
complessa schematizzazione, bensı̀ dalla più realistica simulazione FEM. In particolare
il dott. Bignotto ci ha gentilmente fornito le previsioni per la funzione di trasferimento
diretta (spostamento sull’asse y dovuto a sollecitazione lungo x) e inversa (spostamento
lungo x con sollecitazione parallela a y).
Funzioni di trasferimento
200
simulazioni agli elementi finiti
Direct Gain
Inverse Gain
100
80
60
Gain
40
20
10
8
6
4
-200
0
200
400
600
800
1000
1200
frequenza (Hz)
1400
1600
1800
2000
2200
Figura 2.7. Predizioni del guadagno diretto e inverso del sistema oscillatore+amplificatore,
in funzione della frequenza
Si nota come nella previsione teorica il guadagno diretto sia circa costante attorno
a 10 fino a circa 1 kHz, per poi presentare una risonanza a 1580 Hz, indi diminuire
bruscamente. Regolare e monotono è invece l’andamento del guadagno inverso.
13
Capitolo 3
Riscontro sperimentale
3.1
Apparato sperimentale
Metodo di misura
In riferimento alla figura 2.4 si può vedere che, nelle approssimazioni fatte, per un’oscillazione del leverismo attorno alla sua posizione di equilibrio si può adottare il sistema
di assi (x1,2 , y1,2 ) e scrivere ∆x = −(x1 + x2 ) e ∆y = y1 + y2 . Se ora si definiscono le
quattro coordinate spostamenti comuni xc , yc e spostamenti differenziali xd , yd come
xc =
x1 − x2
2
yc =
y1 − y2
2
;
xd =
x1 + x2
2
yd =
y1 + y 2
2
si può esprimere il guadagno come G = −yd /xd . Lo strumento ideale per misurare gli
spostamenti relativi xd , yd sarebbe un sistema di lettura puramente differenziale riferito al centro di massa del sistema, quale ad esempio un trasduttore ottico basato su
cavità Fabry-Perot —il quale peraltro sia l’oscillatore che l’amplificatore sono predisposti ad alloggiare— tuttavia non ancora realizzato. L’alternativa che abbiamo seguito è
stata perciò quella di misurare il guadagno1 non come rapporto di spostamenti, ma di
accelerazioni:
ÿd
G=−
ẍd
Per produrre le accelerazioni sul sistema oscillatore+amplificatore ci siamo serviti
di attuatori piezoelettrici della Matrox, piccoli dispositivi ceramici la cui vibrazione
è proporzionale alla differenza di potenziale elettrico applicata sulle due facce. Tale
d.d.p., in forma di segnale sinusoidale, è fornita dal generatore di forme d’onda a due
canali indipendenti HP 3326A, talvolta amplificato 200 volte da un Piezoelectric Device
High Voltage Driver (PDHVD) costruito dal Dipartimento di Fisica dell’Università di
Padova. Per leggere le oscillazioni indotte dagli attuatori sulle parti del sistema abbiamo
utilizzato accelerometri piezoelettrici (PCB Piezotronics, modelli 351B11, 351B41,
353B33) la cui uscita, amplificata 10 o 100 volte da due amplificatori (PCB 482A16),
viene analizzata da una coppia di lock-in (EG&G 5210) riferiti al segnale prodotto dal
generatore di forme d’onda. Sia quest’ultimo che i lock-in sono controllati via PC da un
software che permette di acquisire una serie di misure in un intervallo di frequenze.
L’insieme di oscillatore, amplificatore, piezo-attuatori e accelerometri è stato sospeso,
con lo scopo di isolare meccanicamente il sistema, alla test facility esistente ai Laboratori,
la quale consiste in un sistema di sospensioni attenuanti circa 140 dB a 500 Hz inserite in
una camera da vuoto (10−3 ÷ 10−2 mbar). L’accorgimento di eliminare l’aria intorno al
1
Si chiama funzione di trasferimento il guadagno in funzione della frequenza.
14
sistema si è reso necessario per evitare scariche da parte di elementi scoperti, allorquando
il segnale era ad alta tensione (fino a 400 Vpp), e per ridurre il rumore acustico riversato
sull’apparato.
Dei quattro attuatori utilizzati, due (shaker pesanti ) erano caricati con un cilindretto
di circa 150 g di ottone ciascuno, fissati ad una vite e da questa isolati da 1 mm di macor; la seconda coppia, di dimensioni minori (shaker leggeri ) era caricata con massette
filettate di 2.63 e 2.65 grammi. Si può dimostrare [15] che, usando shaker piezoelettrici,
la forza indotta da questi è proporzionale alla tensione e alla quarta potenza della frequenza: nel nostro caso abbiamo ottenuto valori tipici di 10−4 ÷10−2 N con una tensione
in ingresso dell’ordine di 100 Vpp, nel range fra 300 e 800 Hz.
Setup I
In una prima configurazione dell’apparato, volta alla misura della funzione di trasferimento diretta, gli shaker pesanti SP vengono avvitati al centro delle facce esterne dell’oscillatore (asse x), alle quali sono attaccati anche due accelerometri f che serviranno alla
lettura di ẍ1 , ẍ2 . Sull’amplificatore, bloccato con quattro viti all’interno dell’oscillatore,
sono alloggiati altri due piccoli accelerometri a che misurano l’accelerazione lungo y.
oscillatore
a
f
SP
amplificatore
y
x
f
SP
a
Figura 3.1. Disposizione di shaker e accelerometri nel setup I
Figura 3.2. Particolare di uno shaker pesante (in alto, freccia rossa) e di un accelerometro f
(freccia blu)
L
oscillatore
s
a
f
amplificatore
y
x
a
f
s
Figura 3.3. Disposizione di shaker e accelerometri nel setup II
Figura 3.4. Particolare di uno shaker leggero applicato all’amplificatore
Setup II
Per la misura della funzione di trasferimento inversa si richiedeva che l’amplificatore
fosse sollecitato lungo l’asse y. Perciò la seconda configurazione sperimentale è stata
15
messa a punto avvitando gli shaker leggeri s sulle facce dell’amplificatore predisposte
per alloggiare gli specchi del sistema di lettura ottico (y1 , y2 ), e gli accelerometri a
sono stati posti invece sulle facce interne dell’amplificatore per la lettura di ÿ1 , ÿ2 . Un
accelerometro L è stato fissato sul lato dell’oscillatore per misurare il suo moto lungo y;
sono rimaste infine immutate le posizioni degli altri due accelerometri f, f .
3.2
Misure e analisi dei risultati
Operazioni di misura
Poiché, come si è visto, solo gli spostamenti (le accelerazioni) differenziali delle parti
dell’amplificatore sono significative ai fini della misura del guadagno, si è resa necessaria, preliminarmente ad ogni operazione di misura, una fase di bilanciamento delle
forze con lo scopo di ridurre al minimo gli spostamenti comuni, ossia le oscillazioni in
fase di tutte le componenti del sistema; tali moti, oltre che inutili, rischiano di avere
un’ampiezza confrontabile o maggiore dei moti differenziali, aumentando dunque l’incertezza sperimentale di questi ultimi. Nella pratica, tale calibrazione è stata eseguita
modificando leggermente i valori di tensione forniti dal generatore ai due shaker, i quali
idealmente dovrebbero essere identici, mentre invece rispondono in modo differente a
parità di sollecitazione. Con una serie di veloci misure preliminari abbiamo trovato che
uno sbilanciamento del 5% ÷ 10% tra le tensioni dei due canali riduceva al minimo le
accelerazioni comuni (tipicamente a 1/10 delle accelerazioni differenziali).
L’operazione di misura vera e propria consiste in questo processo:
• il generatore di forme d’onda produce due tensioni sinusoidali di ampiezza leggermente diversa, ma con la stessa frequenza e fase; la tensione viene eventualmente
amplificata 200 volte dal PDHVD;
• tali segnali vanno a sollecitare gli shaker sull’oscillatore (asse x, setup I) o sull’amplificatore (asse y, setup II), i quali vibrano con accelerazione proporzionale alla
tensione applicata;
• gli accelerometri disposti sul sistema leggono la vibrazione locale, producendo come
output una tensione proporzionale all’accelerazione subita; tale uscita è amplificata
10 o 100 volte dal PCB;
• i due lock-in analizzano il segnale di una coppia di accelerometri, dando l’ampiezza
della componente di Fourier alla frequenza del segnale d’ingresso;
• il PC legge l’output dei due lock-in.
Il software di controllo permette di eseguire automaticamente una serie di misure impostando gli estremi e il passo dell’intervallo di frequenze da esplorare, e il numero
di misure (“numero di medie”) da compiere su una stessa frequenza. Il file prodotto
contiene per ogni frequenza le ampiezze medie misurate e le corrispondenti deviazioni
standard.
Si è deciso di compiere le misure nella regione compresa tra 200 e 1200 Hz, in quanto
l’amplificatore è progettato per avere un guadagno significativo in questa banda; inoltre
le sospensioni della test facility sono ivi prive di risonanze. Nell’intorno della risonanza
(800 ÷ 1200 Hz) la tensione in ingresso agli shaker è stata ridotta per non avere un
segnale in uscita troppo ampio, che avrebbe portato i lock-in in overload e avrebbe
potuto instaurare comportamenti non-lineari. In fase di analisi i campioni cosı̀ raccolti
16
sono stati normalizzati alla tensione fornita durante le misure a frequenze minori di 800
Hz: si è pertanto implicitamente riscontrata una discreta linearità del sistema al variare
della tensione in ingresso.
Analisi
Ipotizziamo, in tutta generalità,
s(t) prodotto da un accelerometro si
R ∞ che il segnale
R∞
possa esprimere come s(t) = 0 sν dν = 0 [A(ν) sin(νt) + B(ν) cos(νt)]dν. Il lock-in
allora individua la componente di Fourier sω con ν = ω, frequenza in ingresso agli
shaker, e produce come output i valori, mediati su nmedie misure, A(ω), B(ω) e le rispettive deviazioni standard σA , σB . La grandezza importante
per l’analisi è l’ampiezza
√
di tale componente del segnale in tensione, |sω | = Ā2 + B̄ 2 , proporzionale all’ampiezza dell’accelerazione subita dall’accelerometro: ad esempio per quello posto in x1 ,
x1
|sx1
ω | = p |ẍ1 |, e analogamente per gli altri. Le costanti p, espresse in unità di mV/g,
sono fornite dal costruttore.
In queste ipotesi, e tenendo conto degli stadi di amplificazione della tensione tanto in
ingresso quanto in uscita, abbiamo ricostruito le ampiezze delle accelerazioni ẍ1 , ẍ2 , ÿ1 , ÿ2
e quelle degli accelerometri ausiliari2 . Ricaviamo quindi facilmente
ẍd =
ẍ1 + ẍ2
2
ẍc =
ẍ1 − ẍ2
2
;
ÿd =
ÿ1 + ÿ2
2
ÿc =
ÿ1 − ÿ2
2
in funzione della frequenza.
SETUP I
acc. diff. amp. 16 maggio
100
996 Hz
acc. diff. osc. 16 maggio
acc. diff. amp. 24 maggio
2
accelerazione (m/s )
acc. diff. osc. 24 maggio
1
0,01
1122 Hz
1E-4
1E-6
200
400
600
800
1000
1200
frequenza (Hz)
Figura 3.5. Sono riportate due diverse misure degli andamenti delle accelerazioni differenziali
di amplificatore e oscillatore, effettuate con il setup I. Non si riportano per chiarezza le accelerazioni comuni, comunque circa un ordine di grandezza inferiori alle rispettive accelerazioni
differenziali
2
D’ora in poi sarà omesso il simbolo | · |, sottintendendo che trattiamo sempre le ampiezze dei segnali
e mai il loro andamento in funzione del tempo.
17
SETUP II
956 Hz
acc. diff. osc.
acc. diff. amp.
acc. com. osc.
acc. com. amp.
acc. laterale
1086 Hz
2
accelerazione (m/s )
1
818 Hz
1E-3
1E-6
200
400
600
800
frequenza (Hz)
1000
1200
Figura 3.6. Sono rappresentate le accelerazioni differenziali e comuni di oscillatore e
amplificatore nel setup II. Sono visibili le due risonanze di moto comune
Otteniamo ora facilmente le funzioni di trasferimento che caratterizzano il sistema
—l’amplificatore alloggiato nell’oscillatore di test— preso in considerazione. Premettiamo però un’osservazione: ove prima si era trovato G = −ÿd /ẍd , il segno meno compariva
in conseguenza dell’aver tenuto conto del verso degli spostamenti in x e y; poiché tuttavia, a causa del metodo di misura utilizzato, trattiamo ora ampiezze di spostamenti
(e accelerazioni) sinusoidali, e non l’andamento di queste nel tempo, intendiamo qui il
guadagno come rapporto di tali ampiezze, positive, G = |ÿd |/| − ẍd |.
Definiamo quindi le grandezze guadagno diretto (Direct Gain) e guadagno inverso
(Inverse Gain), entrambe funzione della frequenza di sollecitazione:
ÿd
ÿd
DG(ω) =
IG(ω) =
ẍd I
ẍd II
ove gli indici I,II evidenziano che la misura del guadagno diretto è stata ottenuta sollecitando il sistema lungo l’asse x dell’oscillatore, e quindi dell’amplificatore (setup I),
mentre il guadagno inverso è stato misurato sollecitando l’amplificatore sull’asse y (setup
II).
Gli andamenti di queste grandezze sono riportate in grafico, sovrapposte all’andamento teorico dato al paragrafo 2.2.
18
Funzione di trasferimento
diretta (Setup I)
10000
misure 16 maggio
misure 24 maggio
simulazione agli elementi finiti
1000
Direct Gain
1122 Hz
1580 Hz
100
10
1
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
frequenza (Hz)
Figura 3.7. Misure della funzione di trasferimento diretta, a confronto con la predizione FEM
Funzione di trasferimento
inversa (Setup II)
80
misure
simulazione agli elementi finiti
70
Inverse Gain
60
50
40
30
200
400
600
800
1000
1200
frequenza (Hz)
Figura 3.8. Misura della funzione di trasferimento inversa, a confronto con la predizione FEM
19
3.3
Discussione
Accelerazioni
Nell’analisi delle accelerazioni differenziali e comuni, tanto nel setup I che nel setup II
la prima caratteristica evidente è una risonanza poco sotto i 1000 Hz, corrispondente
al primo modo di vibrazione longitudinale dell’oscillatore di test. La discrepanza (40
Hz) tra le due configurazioni è da imputarsi con buona probabilità all’aver cambiato gli
shaker pesanti con quelli leggeri, e ad una diversa disposizione degli accelerometri sull’amplificatore, con una conseguente modifica delle masse efficaci coinvolte. Nella prima
configurazione sperimentale, inoltre, si trova a 1122 Hz uno zero del moto differenziale
dell’oscillatore. Questa peculiarità è spiegabile considerando che la vibrazione del sistema può essere espressa come la somma di modi normali; i primi due, schematizzati
in figura 3.9, alla frequenza considerata diventano confrontabili e la loro combinazione
produce quindi il fenomeno osservato. Secondariamente è da sottolineare la presenza
di due risonanze di moto comune, riscontrate in entrambi i setup (riportiamo in grafico
solo i moti comuni del setup II per motivi di leggibilità) a circa 818 e 1086 Hz. Per avere
un riscontro di questo moto abbiamo applicato l’accelerometro laterale sull’oscillatore
(L nello schema 3.3), la cui risposta è rappresentata dal punto-linea blu nel grafico 3.6.
Essa certifica come moto comune il picco trovato a 1086 Hz, mentre resta non chiaro il
comportamento del sistema vicino a 800 Hz. La causa di questi fenomeni, indesiderati,
è da ricercarsi nell’imperfetto bilanciamento degli shaker, nonché nell’accoppiamento
dell’oscillatore con qualche parte delle sospensioni. Ricordiamo comunque che i modi di
vibrazione lungo l’asse y non erano stati modellati in fase FEM.
Figura 3.9. Simulazione agli elementi finiti: i primi due modi normali di vibrazione del sistema
analizzato, responsabili dell’andamento del grafico 3.5.
Funzioni di trasferimento
Osservando ora le misure della funzione di trasferimento diretta, si nota come i campioni
si distribuiscano lungo una curva più ripida della simulazione, di modo che il guadagno
varia molto (da 10 a 50 in 600 Hz), e inoltre la risonanza è a frequenza più bassa di quella
prevista. La presenza della risonanza è conseguenza dello zero nel moto dell’oscillatore,
il quale a sua volta è effetto della non-rigidità del sistema —al paragrafo 2.2 l’ipotesi di
aste rigide aveva condotto alla previsione di guadagno costante. Lo shift rispetto alla
previsione è un fenomeno da chiarire, le cui ragioni potrebbero essere tuttavia cercate
nelle tolleranze meccaniche tenute in fase di realizzazione dell’oggetto (ad esempio imprecisioni sul valore del raggio r o dell’angolo γ di figura 2.2) o in stress eccessivi subiti
20
dall’amplificatore, che l’abbiano incrudito modificandone il modulo di Young rispetto a
quello intrinseco del materiale utilizzato. Relativamente alla funzione di trasferimento
inversa, la curva sperimentale ha un andamento abbastanza simile a quella teorica, anche se le due non corrispondono quantitativamente, per le ragioni appena esposte; si ha
inoltre uno scostamento significativo tra 800 e 900 Hz, effetto di quel fenomeno osservato
precedentemente nel moto comune.
Errori
Per quanto riguarda le incertezze, segnaliamo che i dati raccolti a bassa frequenza (200
÷ 400 Hz) sono molto dispersi e affetti da un’alta deviazione standard, poiché in tale
regione il segnale in tensione (µV) prodotto dagli accelerometri si confondeva con il
rumore della catena elettronica di acquisizione. A frequenze maggiori invece la varianza
delle misure diventa trascurabile (tipicamente dell’ordine dello 0.1%): alla componente
statistica dell’errore va comunque aggiunto il contributo sistematico del lock-in, stimabile
tra l’1% e il 2%.
21
Capitolo 4
Conclusioni
I dati ottenuti dalle operazioni di misura e dalla loro analisi permettono di elaborare
una visione complessiva del sistema studiato e delle sue prospettive future.
• L’apparato di misura nella sua configurazione attuale ha permesso di ricavare
le curve di guadagno mostrato, le quali danno un’idea abbastanza precisa del comportamento dell’amplificatore, sollecitato dall’oscillatore di test. Alcune modifiche a tale
configurazione potrebbero tuttavia aumentare significativamente la qualità delle misure,
in particolare: un bilanciamento in forza più preciso, che eviti il comparire delle risonanze
di moto comune, oppure l’implementazione del citato sistema di lettura ottico.
• Dal lato teorico, le simulazioni agli elementi finiti potrebbero essere raffinate, analizzando i moti del sistema appeso alle sospensioni, alla ricerca di un modello di funzione
di trasferimento più somigliante a quella trovata sperimentalmente. A questo sforzo potrebbe essere coniugata una nuova realizzazione dell’amplificatore, più attenta ai dettagli
di elasticità, affinché l’oggetto reale non si discosti troppo da quello progettato.
• La presenza della risonanza nell’andamento del guadagno dell’amplificatore a
frequenza più bassa di quella prevista, dati i motivi indicati indica chiaramente che il
modello ad aste rigide è molto grezzo e che l’elasticità del leverismo —o un difetto di
essa— gioca un ruolo fondamentale nella sua risposta alle sollecitazioni. Si può dire
comunque che l’obiettivo di realizzare un amplificatore che guadagnasse almeno 10 su
una banda larga di frequenze è stato raggiunto.
• Per quanto riguarda il possibile utilizzo di questo leverismo come amplificatore
del segnale di Dual, si presentano ancora alcune questioni irrisolte. Innanzitutto, già
oggetto di studio, è il rumore termico prodotto dall’amplificatore, che verrebbe iniettato
come forza di back-action nel rivelatore, e che si vorrebbe fosse trascurabile rispetto
alle altre sorgenti di rumore; in secondo luogo, nella sua forma attuale, il leverismo non
risponde a quella richiesta di “lettura su grande area” che dovrebbe intrinsecamente
mediare a zero i modi di vibrazione ad alta frequenza del rivelatore. Infine resta da
indagare il comportamento dell’oggetto a basse temperature.
In conclusione possiamo dire che il lavoro svolto è servito a dare una prima, basilare
caratterizzazione dell’amplificatore. Nella prospettiva di un suo effettivo utilizzo in un
rivelatore di onde gravitazionali, questo studio si colloca come un punto di partenza,
lasciando aperte ampie possibilità per ulteriori indagini.
22
23
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Ringraziamenti
L’attività descritta in questa tesi è stata finanziata in parte da Ego (European Gravitational Observatory) nell’ambito del progetto di R&D “Wideband transducers for a
DUAL cylinder detector ”.
Sono grato a Luca, Antonello, Massimo, Francesco, Stefano, Antonella, Gabriele e a
tutto lo staff di Auriga per avermi supportato e guidato durante la mia esperienza; a
Jean-Pierre in particolare per la pazienza e la fiducia dimostratami e per ciò che mi ha
insegnato; a Tito per essermi stato compagno nell’entusiasmo con cui ci siamo lanciati
in questa che è iniziata come un’avventura. Infine un ringraziamento speciale a Michele,
il quale
• incalzato da Jean, ha smanettato a lungo per trovare un modello FEM della
funzione di trasferimento che si adattasse alle mie misure
• ha scritto [16]
• ha tenuto alto il morale con i racconti delle sue lezioni di tango e le profezie sugli
uomini e le donne giapponesi
ma soprattutto perché è il padre biologico di Bernarda e Fisarmonica, le malvage sorelle,
e in quanto tale è stato il destinatario delle mie incazzature e anatemi contro un sistema
dotato di beffarda ironia.
25