Appendice - b - Fabrizio Paolacci

CEMENTO ARMATO PRECOMPRESSO – perdite e cadute di tensione
verifiche dello stato tensionale allo stato limite di esercizio e verifica allo SLU.
Andamento e fuso del cavo
Con riferimento alla trave in cemento armato precompresso a cavi post-tesi indicata in figura si valutino nel
rispetto del D.M. 14.01.09:
1.
2.
3.
4.
5.
le perdite di tensione in fase iniziale
le cadute di tensione lente in fase esercizio
si effettui la verifica delle tensioni allo stato limite di esercizio
Si effettui la verifica allo stato limite ultimo della trave
Si costruisca il fuso del cavo risultante e il fuso di Guyon corrispondente
N.B. il cavo ha una andamento parabolico
A
h
b
f
B
dp
12.5
C
D
x
12.5
5.00
L
y
L
Dati trave
Altezza sezione
h := 150  cm
base sezione
b := 40 cm
Armatura di precompressione
Ap := 25 cm
lunghezza trave
L := 30 m
Freccia del cavo
f := 1.0 m
Distanza minima del cavo dal
lembo inferiore
eccentricità del cavo in mezzeria
dp := 8  cm
h
ec :=
− dp
2
Tiro e tensione iniziale del cavo
N0 := 3500 kN
tiro a 15 gg
2
σspi :=
N0
Ap
(Armatura in trefoli stabilizzati)
ec = 67 cm
σspi = 1.4  10  MPa
3
Carichi esterni
Sovraccarichi caratteristici permamenti:
pk := 4.5
Sovraccarichi caratteristici accidentali
qk := 5.
kN
m
kN
m
cond. carico quasi permanente
Fasi di costruzione
Fase I: condizioni a vuoto (carico id precompressione + P.Proprio Trave)
Fase II: condizioni di esercizio (carico di precomp.+P.P.trave+ Sovraccarichi perm. e acc.)
SOLUZIONE
Calcolo Caratteristiche Meccaniche dei Materiali
Calcestruzzo
Resistenza a compressione
cubica a 28gg
Rck := 40 MPa
Resistenza Cilindrica a 28gg
fck := 0.83 Rck
Resistenza cilindrica media
Resistenza a trazione media del cls
fck = 33.2 MPa
fcm := fck + 8  MPa
fcm = 41.2 MPa
1
2
3
3

28 

15 
fctm := 0.3 MPa  Rck
0.25 1−
Resistenza a compressione del cls al tiro
(Model Code 90)
Tensione massima di compressione
ammissibile nel cls in condizioni
iniziali
fckj := fck e
σcci := 0.7 fckj

σcti :=
Tensione massima di compressione
ammissibile nel cls in condizioni
di esercizio
σcce := 0.45 fck
Tensione massima di trazione
ammissibile nel cls in condizioni
di esercizio
σcte :=
Modulo elastico cls
Ec := 22000MPa
fctm e
fckj = 30.295 MPa

28 

15 
0.25 1−
Tensione massima di trazione
ammissibile nel cls in condizioni
iniziali
fctm = 3.509 MPa
σcci = 21.207 MPa

1.2
σcti = 2.668 MPa
σcce = 14.94 MPa
fctm
σcte = 2.924 MPa
1.2
 
0.7

fcm 
10
0.3


4
Ec = 3.364  10  MPa
Acciaio
Modulo elastico acciaio da
Precompressione
Ep := 205000 MPa
Tensioni caratteristicche di rottura e snervamento
fptk := 1900 MPa
dell'armatura di precompressione (in trefoli)
Tensione massima ammissibile
nell'armatura al tiro
fp1k := 1700MPa
σpi := min( 0.75fptk , 0.85fp1k)
σpi = 1.425  10  MPa
3
Tensione massima ammissibile
nell'armatura in esercizio
σpe := 0.8fp1k
σpe = 1.36  10  MPa
3
Coefficiente di omegenizzazione al tiro
n :=
Ep
Ec
= 6.093
Calcolo caratteristice geometriche della sezione nelle varie fasi
si valutano le caratteristiche geometriche della sezione nelle due fasi previste nella fase di
costruzione e di esercizio della trave
Fase I (Condizioni a Vuoto: precompressione + peso proprio della trave)
In questa fase i cavi non sono solidali col calcestruzzo per cui occorre depurare la sezione di
calcestruzzo dell'area dei cavi di precompressione.
Area
AidI := b  h − Ap
AidI = 5.975  10  cm
Momento Statico
h
SidI := b  h  − Ap ( h − dp)
2
SidI = 4.465  10  cm
3
2
5
3
Posizione asse neutro rispetto al lembo superiore della trave
yGI :=
SidI
yGI = 74.72 cm
AidI
Momento d'inerzia
JidI :=
b h
3
+ b  h  
h
2
12
2
− yGI − Ap ( h − dp − yGI)
2
7
JidI = 1.114  10  cm

4
Moduli di resitenza a flessione superiore e inferiore
WidsI := −
JidI
WidiI :=
JidI
yGI
h − yGI
5
WidsI = −1.491  10  cm
5
WidiI = 1.479  10  cm
3
3
Nel caso specifico l'area dei cavi d'acciaio risulta essere piccola per cui l'area ideale della
sezione si potrebbe approssimare con l'area della sezione immaginata di solo calcestruzzo
senza eccessivo errore. Infatti l'area e il momento d'inerzia approssimati risulterebbero
3
AI := b  h
WsI := −
AI = 6  10  cm
JI
yGI
2
JI :=
5
WsI = −1.506  10  cm
3
b h
3
7
JI = 1.125  10  cm
12
WiI :=
JI
h − yGI
4
5
WiI = 1.494  10  cm
3
Fase II (Condizioni di esercizio ( precompressione + peso proprio della trave+
sovraccarichi permanenti e accidentali)
In questa fase i cavi di precompressione sono sigillati nelle guaine con la malta e pertanto
risultano solidali col calcestruzzo. Le grandezze geometriche ideali sono quindi le seguent i:
Area
3
AidII := b  h − Ap + n  Ap
AidII = 6.127  10  cm
2
Momento Statico
h
SidII := b  h 
5
− Ap ( h − dp) + n  Ap ( h − dp)
2
SidII = 4.681  10  cm
3
Posizione asse neutro rispetto al lembo superiore della trave
yGII :=
SidII
yGII = 76.392 cm
AidII
Momento d'inerzia
JidII :=
b h
3
+ b  h  
h
7
4
2
12
JidI = 1.114  10  cm
2
− yGII − Ap ( h − dp − yGII) + n  Ap ( h − dp − yGII)
2
2

Moduli di resitenza a flessione superiore e inferiore
WidsII := −
JidII
WidiII :=
JidII
5
WidsII = −1.546  10  cm
yGII
5
WidiII = 1.604  10  cm
h − yGII
3
3
Calcolo Sollecitazioni
Peso proprio trave
pp := b  h  25
kN
pp = 15
3
m
kN
m
Momento massimo in mezzeria al tiro
Mmax1 :=
1
8
 pp L
2
3
Mmax1 = 1.688  10  kN m
Momenti massimi in mezzeria in esercizio
Mmax2 :=
1
Mmax3 :=
1
8
8
 ( pp + pk)  L
( qk)  L
2
2
3
(Permanenti)
Mmax2 = 2.194  10  kN m
(Variabili cond. rara)
Mmax3 = 562.5 kN m
Calcolo Perdite e Cadute di Tensione
Perdite per attrito
In travi in c.a.p. a cavi post-tesi, nella fase di tesatura del cavo, nascono
inevitabilmente tensioni tangenziali sulla superficie del cavo dovute all’attrito tra
cavo e guaina. La variazione di tensione (trazione) nel cavo si può valutare con la
nota relazione :




N0
1  e f c
Ai
dove fc = 0.3 1/rad nel caso si utilizzino guaine metalliche
 = angolo che la tangente al cavo nel punto iniziale forma con l’asse
orizzontale
 attr   spi 1  e f c 
Per la valutazione di  si può determinare l’equazione della parabola che descrive la
forma del cavo con origine nel punto B e poi valutare il valore della derivata prima
nel punto A:
2
y := ax + bx + c
con le seguenti condizioni al contorno
y(0)=0
dy/dx(0)=0
y(15)=1
porte ai seguenti coefficienti
b=c=0
a :=
4f
L
2
−3 1
= 4.444  10
m
−3 2
y( x) := 4.444 10
 x (Equazione del cavo)
Calcolando a questo punto la derivata di y(x) in testa alla trave si può valutare l'angolo che la
tangente al cavo forma con l'asse della trave
x := 15
D :=
 d y( x)  = 0.133


 dx 
tanα := D = 0.133
Poichè l'arco tangente è circa pari alla tangente si assume che
α := 0.1322 rad
A questo punto è possibile valutare la perdita di tensione nel cavo dovuta all'attrito
fc := 0.3
Δσatt :=
N0
1 − e− fc ( α)
Ap
Δσatt = 54.437 MPa
(Perdita di tensione per
attrito)
La perdita di carico nel cavo vale di conseguenza
ΔNatt := Ap Δσatt
ΔNatt = 136.093  kN
(Perdita di sforzo nel cavo
per attrito)
Tiro nel cavo a perdite di attrito avvenute
Nel cavo dopo il tiro dello stesso lo sforzo normale in esso vale
Ni := N0 − ΔNatt
3
Ni = 3.364  10  kN
N0 − Ni
 100 = 3.888
con una perdita percentuale pari
N0
Caduta di tensione dovute alla viscosità del cls
Il D.M. 14.01.2008 al punto 11.2.10.7 precisa che il calcolo delle cadute di tensione a tempo
infinito (in esercizio) dovute alla viscosità è da calcolarsi come segue:
 v   t 0 ,   E p  c ,el   t 0 ,   n c ,el
dove
 t 0 ,  
è la funzione di viscosità a tempo infinito funzione del tempo di carico t 0
La tensione sc,el è la tensione nel cls all'altezza del cavo dovuta ai sovraccarichi permanenti e
accidentali, quest'ultimi solo se di natura quasi permanente:
Ni
Ni ec
Mmax2
σcel :=
+
 ec −
 ec
AidII
JidII
JidII
σcel = 5.831 MPa
La funzione Φ può essere desunta dalla tabella 11.2.VII delle NTC08 valida per un dato valore
d'umidità relativa. Nel caso specifico l'umidità prescelta è pari al 75%
Il coefficiente h0 si calcola come rapporto tra il doppio dell'area della sezione e il perimetro
della sezione stessa
h0 :=
2  ( 1500 400 )
2  ( 1500 + 400 )
h0 = 315.789
Ipotizzando un tempo di carico iniziale to=15gg, interpolando tra i valori relativi ad ho=300 ed
ho=600 indicati nella tabella, il valore della funzione di viscosità vale:
Φ := 2.2
La caduta di tensione nel cavo dovuta al fenomeno della viscoità risulta di conseguenza
Δσv := Φ  n  σcel
Δσv = 78.165 MPa
La variazione di tiro nel cavo vale infine
ΔNv := Δσv Ap
con una perdita percentuale pari
ΔNv = 195.412  kN
Δ Nv
N0
 100 = 5.583
Caduta di tensione dovute al ritiro del cls
Il D.M. 14.01.2008 al punto 11.2.10.6 precisa che il calcolo delle cadute di tensione a tempo
infinito (in esercizio) dovute alla ritiro è da calcolarsi come segue:
Nel caso specifico εc0 e k h non coincidendo con nessuno dei valori tabellati devono essere
ricavati per interpolazione lineare. Scegliendo un valore dell'Umidità più vicino a quello
prescelto (in questo caso il 75%) e ricordando che fck=33.2 Mpa, la deformazione εc0
espressa il °/ °° si calcola come segue:
ε c0 :=
−0.38 + 0.49
ε c0 :=
−0.24 + 0.30
εc0 :=
−0.26 + 0.417
40 − 20
40 − 20
80 − 60
 ( 33.2 − 20) − 0.49
ε c0 = −0.417 °/ °°
UR = 60%
 ( 33.2 − 20) − 0.30
ε c0 = −0.26
UR = 80%
 ( 75 − 60) − 0.417 = −0.299
°/ °°
valore interpolato tra UR=60% e UR=80%
0.75 − 0.70
kh := 0.75 −
( h0 − 300 )
500 − 300
kh = 0.746
εcd := εc0  kh
εcd = −0.223°/ °°
Il ritiro autogeno a tempo infinito vale
−6
−5
εca := −2.5 ( 33.2 − 10)  10
εca = −5.8  10
°/ °°
La deformazione totale per ritiro vale dunque
εcs := ε cd + εca
εcs = 0.223 °/ °°
La conseguente perdita di tensione nel cavo vale quindi
Δσrit :=
εcs
1000
 Ep
Δσrit = 45.779 MPa
Infine la variazione di tiro nel cavo vale
ΔNrit := Δσ rit Ap
ΔNrit = 114.449  kN
con una perdita percentuale pari a
ΔNrit
N0
 100 = 3.27
Caduta di tensione dovute al rilassamento dell'acciaio
Il D.M. 11.09.2009 al punto 11.3.3.3 precisa che il calcolo delle cadute di tensione a tempo
infinito (in esercizio) dovute al rilassamento riferite ad una temperatura di 20 °C
Nel caso specifico adottando trefoli stabilizzati si ha:
ρ1000 := 2.5
μ :=
σspi
fp1k
σspi = 1.4  10  MPa
3
= 0.824
t := 500000
la perdita per rilassamento a tempo infinito vale dunque
Δσpr := σspi  0.66 ρ1000 e
9.1 μ 

1000



t
0.75 ( 1− μ)
−5
 10
= 94.511 MPa
ΔNrit := Δσrit Ap = 114.449  kN
Δσpr Ap
N0
 100 = 6.751
La perdita per rilassamento deve secondo quanto indicato dall'EC2 al punto 5.46 tener conto
della interdipendenza con le cadute di tensione dovute alla viscosità e al ritiro. La perdita totale,
comprensiva cioè di tutti i genomeni lenti può ricavarsi dalla segente relazione:
Δσtot :=
Δσv + Δσrit + 0.8 Δσpr
Δσtot = 161.21 MPa
Ep Ap 
AI 2
1+

1 +
 ec   ( 1 + 0.8 Φ )
Ec AI 
JI

Δσv + Δσrit + Δσpr = 218.455  MPa
Ia conseguente variazione di tiro nel cavo varrà
ΔNtot := Δσtot Ap
ΔNtot = 403.026  kN
con una perdita percentuale totale pari a
ΔNtot
N0
 100 = 11.515
Tiro nel cavo a perdite e cadute avvenute
In esercizio a perdite e cadute di tensione scontate il tiro nel cavo assume il seguente valore
Nes := N0 − ΔNatt − ΔNtot
3
Nes = 2.961  10  kN
La percentuale di perdita totale rispetto al tiro iniziale risulta quindi pari a:
N0 − Nes
N0
 100 = 15.403
Verifiche allo stato limite di esercizio: verifica alle tensioni normali
Verifica delle Tensioni nel cls in condizioni iniziali
In condizioni iniziali le tensioni massima e minima nel cls si calcolano con riferimento alle
caratteristiche geometriche della fase a vuoto
Tensione massima (al lembo inferiore) nel cls a vuoto
σciv :=
Ni
AidI
+
Ni ec
WidiI
Mmax1
−
σciv = 9.458 MPa
WidiI
Tensione minima (al lembo superiore) nel csl a vuoto
σcsv :=
Ni
AidI
Ni ec
+
WidsI
−
Mmax1
σcsv = 1.831 MPa
WidsI
Entrambi i valori risultano al di sotto dei limiti della normativa e dunque la verifica a vuoto nel cls
è soddisfatta
Verifica delle Tensioni nell'acciaio in condizioni iniziali
In condizioni iniziali le tensioni massima nell'acciaio si calcola come segue
σsv :=
Ni
σsv = 1.346  10  MPa
3
Ap
Tale valore è al di sotto del limite massimo consentito per la tensione di trazione nell'acciaio in
condizioni iniziali. La verifica è dunque soddisfatta
Verifica delle Tensioni nel cls in condizioni di esercizio
In condizioni di esercizio le tensioni massima e minima nel cls si calcolano con riferimento alle
caratteristiche geometriche della fase di esercizio
Tensione massima (al lembo inferiore) nel cls in esercizio
σcie :=
Nes
AidII
Nes ec
+
−
WidiII
Mmax2 + Mmax3
σcie = 0.018 MPa
WidiII
Tensione minima (al lembo superiore) nel csl in esercizio
σcse :=
Nes
AidII
−
Ni ec
WidsII
+
Mmax2 + Mmax3
σcse = 1.582 MPa
WidsII
La sezione risulta interamente compressa ed entrambi i valori risultano al di sotto dei limiti della
normativa. Dunque la verifica in esercizio nel cls è soddisfatta
Verifica delle Tensioni nell'acciaio in condizioni di esercizio
In condizioni di esercizio le tensioni massima nell'acciaio si calcola come segue
σsv :=
Nes
Ap
+ n
Mmax2 + Mmax3
JidII
 ec
σsv = 1.28  10  MPa
3
Tale valore è al di sotto del limite massimo consentito per la tensione di trazione nell'acciaio in
condizioni di esercizio. La verifica è dunque soddisfatta
Verifica allo stato limite ultimo della sezione di mezzeria
In una trave in c.a.p raggiunto lo stato limite ultimo, le armature di precompressione raggiungono
il loro limite di snervamento oltre il quale si perde l'effetto della precompressione in quanto la
tensione non cambia più al variare della deformazione. In tal caso la sezione della trave si
comporta come una sezione in c.a. ordinario con l'armatura di precompressione che si comporta
come armatura ordinaria. Occorre solamente tener conto del fatto che l'armatura di
precompressione all'atto del tiro subisce una deformazione iniziale che va aggiunta alla
deformazione provocata dai carichi esterni.
Nel caso specifico la deformazione iniziale dell'armatura di precompressione vale
εp0 :=
−3
Nes
εp0 = 5.777  10
Ep Ap
La deformazione allo snervamento dell'armatura di precompressione vale
fp1k
εpy :=
−3
εpy = 7.211  10
1.15
Ep
La resistenza del cls allo stato limite ultimo vale come noto
fcd :=
fck
fcd = 22.133 MPa
1.5
Sotto ipotesi che la sezione collassi in zona 2, l'asse neutro si valuta facilmente come la nota
relazione
yc :=
Ap fp1k
yc = 60.006 cm
0.8 b  fcd
La deformazione dell'acciaio vale di conseguenza
εp := 0.0035
h − yc − dp
−3
εp = 4.783  10
yc
Alla precedente va aggiunta però la deformazione già presente in fase di tiro (si è trascurata
quella dovuta alla trazione imposta dalla precompressione in fase di esercizio)
εpt := εp +
Nes
εpt = 0.011
Ap Ep
La deformazione così valutata dimostra come la sezione collassi effettivamente in campo 2
Il momento ultimo della sezione vale quindi
3
Mu := Ap fp1k 0.9 ( h − dp)
Mu = 5.431  10  kN m
Il momento agente sulla trave vale
Md :=
1
8
2
( pp + pk)  1.4 L +
1
8
qk 1.5 L
2
3
Md = 3.915  10  kN m
La verifica allo SLU è dunque ampiamente soddisfatta
DETERMINAZIONE DEL FUSO DEL CAVO RISULTANTE
Per la determinazione del fuso del cavo risultante occorre conoscere i punti di nocciolo la legge
di variazione del momento dovuto al peso proprio e quello dovuto ai sovraccarichi permanenti e
accidentali
Punti di nocciolo
di := −
Inferiore
ds := −
Superiore
pp L
Mg( x) :=
WidsII
2
Mes( x) :=
di = 0.252 m
AidII
WidiII
y
2
 x − pp
x
2
Andamento del Momento dovuto al peso prorio
2
( pp + pk + qk)  L
Mes( x)
Nes
x
ds = −0.262 m
AidII
2
 x − ( pp + pk + qk) 
Limite superiore del cavo risultante
es( x) :=
ds
di
x
Momento in esercizio
2
Limite Inferiore del cavo risultante
+ ds
ei( x) :=
Mg( x)
Ni
+ di
x := 0 .. 30
2
CR( x) := 0.004555 x − 0.135 x + 1 − 0.68
FUSO DEL CAVO RISULTANTE
− ei( x m)
− es( x m)
0.5
0
CR( x)
− 0.5
0
10
20
x m
30
DETERMINAZIONE DEL FUSO DI GUYON
Per la determinazione del fuso di Guyon occorre determinare le eccentricità del cavo in fase
iniziale e di esercizio che producano il raggiungimento della tensione ammissibile nel lembo
superiore o inferiore della trave. A tale scopo basta esprimere l'eccentricità del cavo con la
formula di Navier fissando la tensione al valore ammissibile per la trazione e la compressione.
Il fuso viene quindi individuato come segue:
 − −σcti AidI + 1  + Mg( x) e1s( x) := WidsII  − σcce  AidII + 1  + Mes( x)




AidI 
Ni
Ni
AidII 
Nes
Nes


e1i( x) :=
WidsI
e2i( x) :=
WidiI
 σcci AidI − 1  + Mg( x)
 Ni

AidI 
Ni

e2s( x) :=
 −σcte AidII − 1  + Mes( x)
 Nes

AidII 
Nes

WidiII
e1( x) := min( e1i( x) , e2i( x) ) Limite inferiore del fuso di Guyon
e2( x) := max( e1s( x) , e2s( x) ) Limite superiore del fuso di Guyon
− e1( x m) 0.5
− e2( x m)
− es( x m)
− ei( x m)
0
CR( x)
− 0.5
0
10
20
x m
30
x
y
richi permanenti e
ativi ad ho=300 ed
essione raggiungono
ione in quanto la
della trave si
one che si comporta
tura di
ggiunta alla
vale
(si è trascurata
o)
x
y
30