ESERCITAZIONE N° 4 CEMENTO ARMATO PRECOMPRESSO

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UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI ROMA TRE – FACOLTA’ DI INGEGNERIA
TECNICA DELLE COSTRUZIONI – MODULO I° - Ing. Fabrizio Paolacci - A/A 2007-08
ESERCITAZIONE N° 4
CEMENTO ARMATO PRECOMPRESSO – perdite e cadute di tensione
verifiche dello stato tensionale allo stato limite di esercizio e verifica allo SLU.
Andamento e fuso del cavo
Con riferimento alla trave in cemento armato precompresso a cavi post-tesi indicata in figura si valutino nel
rispetto del D.M. 14.09.05:
1. le perdite di tensione in fase iniziale
2. le cadute di tensione lente in fase esercizio
3. si effettui la verifica delle tensioni allo stato limite di esercizio
3.1. si calcoli la tensione minima e massima a vuoto
3.2. si calcoli la tensione minima e massima in esercizio
4. Si effettui infine la verifica allo stato limite ultimo della trave
5. Si costruisca il fuso del cavo risultante e il fuso di Guyon corrispondente
N.B. il cavo ha una andamento parabolico a partire dall’appoggio per una lunghezza pari a 12.5 m e prosegue
poi fino in mezzeria con un tratto orizzontale della lunghezza di 2.5 m.
A
h
b
f
B
dp
12.5
5.00
L
C
D
12.5
Dati trave
Altezza sezione h= 150 cm
Base sezione b = 40 cm
Armatura di precompressione Ap = 35 cm2
Lunghezza trave L = 30 m
Freccia del cavo f = 1.00 m
Distanza minima del cavo dal lembo inferiore dp = 10 cm
Tiro iniziale del cavo
N0 = 4000 kN, tiro dopo 14 gg
Proprietà dei materiali
Calcestruzzo Rck 40 Mpa
Armatura di Precompressione (in trefoli) : fptk = 1800 Mpa
Condizioni ambientali : ordinarie
Carichi esterni
sovraccarichi permanenti : Pk = 4.5 kN/m
sovraccarichi accidentali: Qk = 3.0 kN/m (Condizioni di carico: quasi permanente)
Fasi di costruzione
Fase I : condizioni a vuoto (precompressione + peso proprio trave)
Fase II : condizioni di servizio (precompressione + peso proprio trave + sovracc. Perm+Acc.)
SOLUZIONE
Calcolo Caratteristiche Meccaniche dei Materiali
Calcestruzzo
Resistenza a compressione
cubica a 28gg
Rck := 40⋅ MPa
Resistenza Cilindrica a 28gg
fck := 0.83⋅ Rck
Resistenza a trazione media del cls
fctm := 0.48⋅ MPa ⋅ Rck
fck = 33.2MPa
⎛
28 ⎞
⎝
14 ⎠
0.25⋅ ⎜ 1−
Resistenza a compressione del cls al tiro
(Model Code 90)
fckj := fck e
Tensione massima di compressione
ammissibile nel cls in condizioni
iniziali
σcci :=
Tensione massima di trazione
iniziali
σcti := 0.1⋅ fckj
Tensione massima di compressione
di esercizio
σcce :=
Tensione massima di trazione
di esercizio
σcte :=
Modulo elastico cls
(D.M. 09.01.96)
fctm = 3.036MPa
fckj
1.7
fck
1.5⋅ 1.8
0.7⋅ fctm
1.6
Ec := 5700 MPa ⋅ Rck
⎟
fckj = 29.934MPa
σcci = 17.608MPa
σcti = 2.993MPa
σcce = 12.296MPa
σcte = 1.328MPa
4
Ec = 3.605 × 10 MPa
Acciaio
Modulo elastico acciaio da
Precompressione
Ep := 205000MPa
⋅
Tensioni caratteristicche di rottura e snervamento
dell'armatura di precompressione (in trefoli)
fptk := 1800⋅ MPa
Tensione massima ammissibile
nell'armatura al tiro
σpi :=
fpyk
Tensione massima ammissibile
nell'armatura in esercizio
σpe :=
fptk
Coefficiente di omegenizzazione al tiro
n :=
Ep
Ec
n = 5.687
1.15
1.65
fpyk := 1600MPa
3
σpi = 1.391 × 10 MPa
3
σpe = 1.091 × 10 MPa
Calcolo caratteristice geometriche della sezione nelle varie fasi
si valutano le caratteristiche geometriche della sezione nelle due fasi previste nella fase di
costruzione e di esercizio della trave
Fase I (Condizioni a Vuoto: precompressione + peso proprio della trave)
In questa fase i cavi non sono solidali col calcestruzzo per cui occorre depurare la sezione di
calcestruzzo dell'area dei cavi di precompressione.
Area
AidI := b ⋅ h − Ap
3
2
5
3
AidI = 5.965 × 10 cm
Momento Statico
h
SidI := b ⋅ h ⋅ − Ap ⋅ ( h − dp )
2
SidI = 4.451 × 10 cm
Posizione asse neutro rispetto al lembo superiore della trave
yGI :=
SidI
yGI = 74.619cm
AidI
Momento d'inerzia
JidI :=
b⋅ h
3
+ b ⋅ h ⋅ ⎛⎜
h
⎝2
12
2
− yGI⎟⎞ − Ap ⋅ ( h − dp − yGI)
2
7
4
JidI = 1.11 × 10 cm
⎠
Moduli di resitenza a flessione superiore e inferiore
JidI
WidsI :=
yGI
JidI
WidiI :=
h − yGI
5
3
5
3
WidsI = 1.488 × 10 cm
WidiI = 1.473 × 10 cm
Nel caso specifico l'area dei cavi d'acciaio risulta essere piccola per cui l'area ideale della
sezione si potrebbe approssimare con l'area della sezione immaginata di solo calcestruzzo
senza eccessivo errore. Infatti l'area e il momento d'inerzia approssimati risulterebbero
AI := b ⋅ h
WsI :=
JI
yGI
3
2
AI = 6 × 10 cm
JI :=
5
3
WsI = 1.508 × 10 cm
b⋅ h
3
7
WiI :=
4
JI = 1.125 × 10 cm
12
JI
h − yGI
5
3
WiI = 1.492 × 10 cm
Fase II (Condizioni di esercizio ( precompressione + peso proprio della trave+
sovraccarichi permanenti e accidentali)
In questa fase i cavi di precompressione sono sigillati nelle guaine con la malta e pertanto
risultano solidali col calcestruzzo. Le grandezze geometriche ideali sono quindi le seguent i:
Area
3
AidII := b ⋅ h − Ap + n ⋅ Ap
2
AidII = 6.164 × 10 cm
Momento Statico
h
SidII := b ⋅ h ⋅
2
5
− Ap ⋅ ( h − dp ) + n ⋅ Ap ⋅ ( h − dp )
3
SidII = 4.73 × 10 cm
Posizione asse neutro rispetto al lembo superiore della trave
yGII :=
SidII
yGII = 76.73cm
AidII
Momento d'inerzia
JidII :=
b⋅ h
3
+ b ⋅ h ⋅ ⎛⎜
h
⎝2
12
7
2
− yGII⎟⎞ − Ap ⋅ ( h − dp − yGII) + n ⋅ Ap ⋅ ( h − dp − yGII)
2
2
⎠
4
JidI = 1.11 × 10 cm
Moduli di resitenza a flessione superiore e inferiore
WidsII :=
WidiII :=
JidII
5
3
5
3
WidsII = 1.554 × 10 cm
yGII
JidII
WidiII = 1.627 × 10 cm
h − yGII
Calcolo Sollecitazioni
Peso proprio trave
pp := b ⋅ h ⋅ 25
kN
pp = 15
kN
m
3
m
Momento massimo in mezzeria al tiro
Mmax1 :=
1
8
2
3
⋅ pp ⋅ L
Mmax1 = 1.688 × 10 kN⋅ m
Momento massimo in mezzeria in esercizio
Mmax2 :=
1
8
2
⋅ ( pp + pk) ⋅ L +
1
8
2
( qk) ⋅ L
3
Mmax2 = 2.531 × 10 kN⋅ m
Calcolo Perdite e Cadute di Tensione
Perdite per attrito
In travi in c.a.p. a cavi post-tesi, nella fase di tesatura del cavo, nascono inevitabilmente tensioni
tangenziali sulla superficie del cavo dovute all’attrito tra cavo e guaina. La variazione di tensione
(trazione) nel cavo si può valutare con la nota relazione :
(
)
dove
(
)
N0
1 − e f c ( α +κ L
Ai
fc = 0.3 1/rad nel caso si utilizzino guaine metalliche
k = 0.01 rad/m
α = angolo che la tangente al cavo nel punto iniziale forma con l’asse orizzontale
L = lunghezza del tratto rettilineo
Δσ attr = σ spi 1 − e f c ( α +κ L =
Per la valutazione di α si può determinare l’equazione della parabola che descrive la forma del cavo
con origine nel punto B e poi valutare il valore della derivata prima nel punto A:
y = ax 2 + bx + c
che con le seguenti condizioni al contorno
y( 0 ) = 0 , y' ( 0 ) = 0 , y( 12.5 ) = 1 m
porta ai seguenti valori dei coefficienti :
a = 1 / 156.25; b = 0 ; c = 0 ;
2
y ( x) := 0.0064x
⋅
(Equazione del cavo)
Calcolando a questo punto la derivata di y(x) in testa alla trave si può valutare l'angolo che la
tangente al cavo forma con l'asse della trave
d
y ( x) → .128e-1⋅ x
dx
tanα := 0.012812.5
⋅
tanα = 0.16
Poichè l'arco tangente è circa pari alla tangente si assume che
α := 0.16⋅ rad
A questo punto è possibile valutare la perdita di tensione nel cavo dovuta all'attrito
fc := 0.3
Δσatt :=
k := 0.01⋅
rad
m
Lr := 2.5⋅ m
N0
⎡⎣1 − e− fc⋅ ( α + k⋅ Lr)⎤⎦
Ap
Δσatt = 69.413MPa
(Perdita di tensione per
attrito)
La perdita di carico nel cavo vale di conseguenza
ΔNatt := Ap ⋅ Δσatt
ΔNatt = 242.946kN
(Perdita di sforzo nel cavo
per attrito)
Tiro nel cavo a perdite di attrito avvenute
Nel cavo dopo il tiro dello stesso lo sforzo normale in esso vale
Ni := N0 − ΔNatt
3
Ni = 4.257 × 10 kN
con una perdita percentuale pari al 5.4%
N0 − Ni
N0
⋅ 100 = 5.399
Caduta di tensione dovute al ritiro del cls
Il D.M. 14.09.2005 al punto 11.1.10.6 precisa che il calcolo delle cadute di tensione a tempo
infinito (in esercizio) dovute alla ritiro è da calcolarsi come segue:
Nel caso specifico εc0 e k h non coincidendo con nessuno dei valori tabellati devono essere
ricavati per interpolazione lineare. Scegliendo un valore dell'Umidità più vicino a quello
prescelto (in questo caso il 60%) e ricordando che fck=33.2 Mpa, la deformazione εco
espressa il °/ °° si calcola come segue:
εc0 :=
−0.47 + 0.59
40 − 20
⋅ ( 33.2 − 20) − 0.59
εc0 = −0.511 °/°°
0.75 − 0.70
( 325 − 300)
kh := 0.75 −
500 − 300
kh = 0.744
εcd := εc0⋅ kh
εcd = −0.38 °/°°
Il ritiro autogeno a tempo infinito vale
−6
−5
εca := −2.5⋅ ( 33.2 − 10) ⋅ 10
εca = −5.8 × 10
°/°°
La deformazione totale per ritiro vale dunque
εcs := εcd + εca
εcs = 0.38
°/°°
La conseguente perdita di tensione nel cavo vale quindi
Δσrit :=
εcs
⋅ Ep
1000
Δσrit = 77.893MPa
Infine la variazione di tiro nel cavo vale
ΔNrit := Δσrit⋅ Ap
ΔNrit = 272.625kN
ΔNrit
N0
⋅ 100 = 6.058
Caduta di tensione dovute al rilassamento dell'acciaio
Il D.M. 14.09.2005 al punto 11.2.3.4 precisa che il calcolo delle cadute di tensione a tempo
infinito (in esercizio) dovute al rilassamento riferite ad una tensione iniziale σspi=0.75 fptk valgono
Per valori diversi della tensione iniziale σspi si ammette che la variazione di tensione vari con la
seguente legge parabolica in funzione del rapporto fptk/σspi
Nel caso specifico l'armatura è in trefoli e la tensione iniziale è il rapporto σspi / f ptk è pari a
σspi
fptk
= 0.714
Δσrilinf :=
la perdita per rilassamento a tempo infintito sarà
0.18σspi
2
0.25
⋅ ( 0.714 − 0.50)
2
Δσrilinf = 169.576MPa
La perdita per rilassamento deve secondo quanto indicato dal D.M. 14.09.05 tener conto della
interdipendenza con le cadute di tensione dovute alla viscosità e al ritiro secondo la seguente
relazione
⎡
⎣
Δσril := Δσrilinf⋅ ⎢1 −
2.5⋅ ( Δσv + Δσrit)⎤
Δσril = 97.813MPa
⎥
σspi
⎦
Ia conseguente variazione di tiro nel cavo varrà
ΔNril := Δσril⋅ Ap
ΔNril = 342.344kN
ΔNril
N0
⋅ 100 = 7.608
Tiro nel cavo a perdite e cadute avvenute
In esercizio a perdite e cadute di tensione scontate il tiro nel cavo assume il seguente valore
Nes := N0 − ΔNatt − ΔNv − ΔNrit − ΔNril
3
Nes = 3.153 × 10 kN
La percentuale di perdita totale rispetto al tiro iniziale risulta quindi pari al 30%
N0 − Nes
N0
⋅ 100 = 29.934
Verifiche allo stato limite di esercizio: verifica alle tensioni normali
Verifica delle Tensioni nel cls in condizioni iniziali
In condizioni iniziali le tensioni massima e minima nel cls si calcolano con riferimento alle
caratteristiche geometriche della fase a vuoto
Tensione massima (al lembo inferiore) nel cls a vuoto
Ni
σciv :=
AidI
+
Ni⋅ ec
JidI
⋅ ( h − yGI) −
Mmax1
⋅ ( h − yGI)
JidI
σciv = 14.467MPa
Tensione minima (al lembo superiore) nel csl a vuoto
σcsv :=
Ni
AidI
−
Ni⋅ ec
JidI
⋅ yGI +
Mmax1
⋅ yGI
JidI
σcsv = −0.12MPa
Entrambi i valori risultano al di sotto dei limiti della normativa e dunque la verifica a vuoto nel cls
è soddisfatta
Verifica delle Tensioni nell'acciaio in condizioni iniziali
In condizioni iniziali le tensioni massima nell'acciaio si calcola come segue
σsv :=
Ni
Ap
3
σsv = 1.216 × 10 MPa
Tale valore è al di sotto del limite massimo consentito per la tensione di trazione nell'acciaio in
condizioni iniziali. La verifica è dunque soddisfatta
Verifica delle Tensioni nel cls in condizioni di esercizio
In condizioni di esercizio le tensioni massima e minima nel cls si calcolano con riferimento alle
caratteristiche geometriche della fase di esercizio
Tensione massima (al lembo inferiore) nel cls in esercizio
σcie :=
Nes
AidII
Nes ⋅ ec
+
JidII
⋅ ( h − yGII) −
Mmax2
⋅ ( h − yGII)
JidII
σcie = 2.155MPa
Tensione minima (al lembo superiore) nel csl in esercizio
σcse :=
Nes
AidII
−
Ni⋅ ec
JidII
⋅ yGII +
Mmax2
⋅ yGII
JidII
σcse = 3.598MPa
Entrambi i valori risultano al di sotto dei limiti della normativa e dunque la verifica in esercizio nel
cls è soddisfatta
Verifica delle Tensioni nell'acciaio in condizioni di esercizio
In condizioni iniziali le tensioni massima nell'acciaio si calcola come segue
σsv :=
Nes
Ap
+ n⋅
Mmax2
⋅ ec
JidII
σsv = 979.307MPa
Tale valore è al di sotto del limite massimo consentito per la tensione di trazione nell'acciaio in
condizioni di esercizio. La verifica è dunque soddisfatta
Verifica allo stato limite ultimo della sezione di mezzeria
In una trave in c.a.p raggiunto lo stato limite ultimo, le armature di precompressione raggiungono
il loro limite di snervamento oltre il quale si perde l'effetto della precompressione in quanto la
tensione non cambia più al variare della deformazione. In tal caso la sezione della trave si
comporta come una sezione in c.a. ordinario con l'armatura di precompressione che si comporta
come armatura ordinaria. Occorre solamente tener conto del fatto che l'armatura di
precompressione all'atto del tiro subisce una deformazione iniziale che va aggiunta alla
deformazione provocata dai carichi esterni.
Nel caso specifico la deformazione iniziale dell'armatura di precompressione vale
εp0 :=
N0
Ep⋅ Ap
−3
εp0 = 6.272 × 10
La deformazione allo snervamento dell'armatura di precompressione vale
εpy :=
fpyk
Ep
−3
εpy = 7.805 × 10
La resistenza del cls allo stato limite ultimo vale come noto
fcd :=
Rck
1.9
fcd = 21.053MPa
Nell'ipotesi di rottura in campo 2 e di snervamento dell'armatura di precompressione l'asse
neutro si valuta facilmente come segue
yc :=
Ap ⋅ fpyk
yc = 74.719cm
0.89⋅ b ⋅ fcd
La deformazione dell'acciaio vale di conseguenza
εp := 0.0035⋅
h − yc − dp
−3
εp = 3.058 × 10
yc
Alla precedente va aggiunta però la deformazione già presente in fase di tiro
εpt := εp +
N0
−3
εpt = 9.33 × 10
Ap ⋅ Ep
La deformazione così valutata dimostra come la sezione collassi effettivamente in campo 2
Il momento ultimo della sezione vale quindi
3
Mu := Ap ⋅ fpyk⋅ 0.89⋅ ( h − dp )
Mu = 6.978 × 10 kN⋅ m
Il momento agente sulla trave vale
Md :=
1
8
1
2
( pp + pk) ⋅ 1.4⋅ L +
8
2
3
qk⋅ 1.5⋅ L
Md = 3.578 × 10 kN⋅ m
La verifica allo SLU è dunque ampiamente soddisfatta
DETERMINAZIONE DEL FUSO DEL CAVO RISULTANTE
Per la determinazione del fuso del cavo risultante occorre conoscere i punti di nocciolo la legge
di variazione del momento dovuto al peso proprio e quello dovuto ai sovraccarichi permanenti e
accidentali
Punti di nocciolo
Inferiore
Superiore
Mg ( x) :=
Mes ( x) :=
pp ⋅ L
2
di :=
WidsII
ds :=
WidiII
AidII
AidII
x
2
Andamento del Momento dovuto al peso prorio
2
( pp + pk + qk) ⋅ L
Mes ( x)
Nes
ds = 0.264 m
2
⋅ x − pp ⋅
2
⋅ x − ( pp + pk + qk) ⋅
Limite superiore del cavo risultante
es ( x) :=
di = 0.252 m
− ds
x
Momento in esercizio
2
Limite Inferiore del cavo risultante
ei( x) :=
Mg ( x)
Ni
+ di
FUSO DEL CAVO RISULTANTE
− es( x)
− ei( x)
0
0
5
10
15
20
25
30
x
DETERMINAZIONE DEL FUSO DI GUYON
Per la determinazione del fuso di Guyon occorre determinare le eccentricità del cavo in fase
iniziale e di esercizio che producano il raggiungimento della tensione ammissibile nel lembo
superiore o inferiore della trave. A tale scopo basta esprimere l'eccentricità del cavo con la
formula di Navier fissando la tensione al valore ammissibile per la trazione e la compressione.
Il fuso viene quindi individuato come segue:
e1i( x) :=
e2i( x) :=
WidsI ⎛ −σcti⋅ AidI
⎞ Mg ( x)
+ 1⎟ +
⎜−
AidI ⎝
Ni
Ni
⎠
WidiI ⎛ σcci⋅ AidI
AidI
⎜
⎝
Ni
e1( x) := min( e1i( x) , e2i( x) )
⎞
⎠
− 1⎟ +
Mg ( x)
Ni
e1s ( x) :=
e2s ( x) :=
WidsII ⎛ σcce ⋅ AidII
⎞ Mes ( x)
+ 1⎟ +
⎜−
AidII ⎝
Nes
Nes
⎠
WidiII ⎛ −σcte ⋅ AidII
AidII
⎜
⎝
Nes
⎞
⎠
− 1⎟ +
Mes ( x)
Nes
Limite inferiore del fuso di Guyon
e2( x) := max( e1s ( x) , e2s ( x) ) Limite superiore del fuso di Guyon
− e1( x) 0.5
− e2( x)
− es( x)
0
− ei( x)
0.5
0
5
10
15
x
20
25
30

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