DIMENSIONE APPARENTE, DISTANZA E DIMENSIONI REALI DI

DIMENSIONE APPARENTE, DISTANZA E DIMENSIONI REALI DI UN OGGETTO
ASTRONOMICO: UN DIFFERENTE APPROCCIO METRICO.
In astronomia il diametro angolare (o dimensione angolare) di un oggetto è la misura del suo diametro
rispetto alla distanza dall’osservatore. Esso corrisponde all’angolo che ha per tangente il rapporto:
DIAMETRO/DISTANZA, ovvero
arctan
diametro
. La formula si basa su uno dei teoremi dei triangoli
dis tan za
rettangoli che dice: in un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto dell'altro cateto per la
tangente dell'angolo opposto al primo. In questo enunciato compare la nozione trigonometrica di
tangente di un angolo (PQ nel disegno sotto riportato) intesa come rapporto tra seno e coseno
(diametro e distanza nel nostro caso). Si osservi infatti che i due triangoli OPQ e OHM sono in
PQ HM (1). Inoltre HM = senγ, OM = cosγ, OQ = raggio circonferenza
proporzione ovvero:
OQ OM
2
2
goniometrica (x + y = 1) e quindi = 1.
Pertanto la (1) diventa:
tan g
1
sen
, ovvero tan g
cos
sen
cos
Fig. 1
La dimensione angolare di un corpo celeste è facilmente conoscibile empiricamente tramite la misura del
diametro apparente del corpo. Di nuovo ci vengono in aiuto i triangoli rettangoli e la circonferenza
goniometrica. Infatti se PQ rappresenta il diametro apparente dell’oggetto astronomico osservato (Fig. 1)
OQ rappresenta la distanza del diametro apparente (ovvero della superficie su cui si misura il diametro
apparente) dal vertice ottico dell’osservatore (es. occhio). In buona sostanza è possibile misurare il
diametro apparente di un oggetto astronomico anche senza strumentazione da astrofili (se si tratta di Sole
e Luna) utilizzando un piano di riferimento (es. un vetrino annerito)per la misura del diametro apparente
che deve essere posto ad una distanza specifica dalla superficie oculare. Sempre dalla Fig. 1 si capisce che
se OA rappresentasse la distanza del corpo celeste dalla Terra, BA indica la misura del diametro reale dello
stesso (triangoli simili OPQ e OAB). Quindi AB = OA tang γ (per analoga similitudine tra i triangoli: OHM e
OAB).Per determinare quindi il diametro di un qualsiasi corpo celeste una volta conosciuta la distanza e la
dimensione angolare è sufficiente moltiplicare la distanza medesima per la tangente del diametro angolare.
Nel caso del Sole (vedi tab. 1) avremo: dimensione angolare media = 1930” = 0,5361111° (1930/3600),
distanza =149597887,5 Km. Quindi Diametro = 149597887,5 Km * tang 0,5361111 =1399813,9 Km. Cioè un
raggio di circa 700000 Km, come è noto.
Tab. 1
UN APPROCCIO DIVERSO PER MISURARE IL DIAMETRO
E’ per tutti facile verificare che se si osserva un oggetto qualsiasi da due punti diversi posti il secondo a
distanza doppia rispetto al primo le dimensioni dell’oggetto osservato si riducono a metà ovvero la
superficie apparente si riduce di quattro volte. Viceversa, se la distanza si dimezza avvicinandoci all’oggetto,
la superficie apparente diventa quattro volte maggiore. Possiamo anche esprimere matematicamente
questa relazione con la seguente uguaglianza:
In questa uguaglianza la costante K assume il valore di 8 come facilmente verificabile se ad r ed a D1 si dà
il valore 1. Dalla (2) si può ricavare poi il valore del raggio apparente quando l’osservatore O raddoppia o
dimezza la sua distanza dall’oggetto utilizzando la seguente formula inversa.
In definitiva, reiterando il procedimento un determinato numero di volte è possibile approssimare il valore
del diametro di un oggetto astronomico man mano che la distanza presa in considerazione e in progressivo
raddoppiamento si avvicina a quella che l’oggetto medesimo ha dalla Terra. Il numero di reiterazioni è
possibile calcolarlo facilmente perché sarà 2n volte. Possiamo applicare la seguente formula che ci permette
di ricavare il valore di n:
Dr
2n
Da
(4) (con Dr = diametro reale e Da = diametro apparente).
Se prendiamo come valore di Dr il raggio solare espresso in chilometri e per quello del Da il valore di
5,81377*10-7 Km (valore calcolato utilizzando la dimensione angolare solare. Vedi oltre.)avremo:
log1,19692108* 1012
695450
7
n
12
12
;
2
=
1,1962108*10
;
log
1,1962108*10
=
n;
5
,
81377
*
10
2
log 2
2n
n = 40,12160886. E’ adesso possibile calcolare la distanza minima reiterata:
149597887,5
2 40,12160886
n;
0,000125059
cioè circa 12,5 cm. Questa distanza corrisponde esattamente a quella compresa tra superficie oculare e la
superficie di osservazione (vetro annerito) su cui è stato misurato il diametro apparente del Sole in alcune
prove sperimentali realizzate. A tale distanza corrisponde una superficie apparente il cui raggio è
5,81377*10-7 Km.
Fig. 3
Quindi dopo 40,12160886 reiterazioni in cui si raddoppia progressivamente la distanza minima di 12,5 cm
raggiungendo i 149597887,5 Km il raggio apparente di 0,581377 mm del Sole diventa 695450 Km cioè il
valore reale. Si può osservare il predetto andamento dalla seguente tabella basata sull’applicazione della
(2) e della (3):
Colonna1
Colonna2
Colonna3
Colonna4 Colonna5
Colonna6
R(in metri)
Пr^2
metri^2)
K
D1 (in metri)
D2
metri)
0,000581377
1,06132E-06
2,65329E-07
8
0,125
0,25
0,001162754
4,24527E-06
1,06132E-06
8
0,25
0,5
0,25
0,002325508
1,69811E-05
4,24527E-06
8
0,5
1
0,5
0,004651016
6,79243E-05
1,69811E-05
8
1
2
1
(in П(r/2)^2
metri^2)
(in
Colonna7
(in DISTANZA PERCORSA IN
AVVICINAMENTO
0,009302032
0,000271697
6,79243E-05
8
2
4
2
0,018604064
0,001086789
0,000271697
8
4
8
4
0,037208128
0,004347157
0,001086789
8
8
16
8
0,074416256
0,017388627
0,004347157
8
16
32
16
0,148832512
0,069554506
0,017388627
8
32
64
32
0,297665024
0,278218025
0,069554506
8
64
128
64
0,595330048
1,112872099
0,278218025
8
128
256
128
1,190660096
4,451488398
1,112872099
8
256
512
256
2,381320192
17,80595359
4,451488398
8
512
1024
512
4,762640384
71,22381436
17,80595359
8
1024
2048
1024
9,525280768
284,8952574
71,22381436
8
2048
4096
2048
19,05056154
1139,58103
284,8952574
8
4096
8192
4096
38,10112307
4558,324119
1139,58103
8
8192
16384
8192
76,20224614
18233,29648
4558,324119
8
16384
32768
16384
152,4044923
72933,18591
18233,29648
8
32768
65536
32768
304,8089846
291732,7436
72933,18591
8
65536
131072
65536
609,6179692
1166930,975
291732,7436
8
131072
262144
131072
1219,235938
4667723,898
1166930,975
8
262144
524288
262144
2438,471877
18670895,59
4667723,898
8
524288
1048576
524288
4876,943753
74683582,37
18670895,59
8
1048576
2097152
1048576
9753,887506
298734329,5
74683582,37
8
2097152
4194304
2097152
19507,77501
1194937318
298734329,5
8
4194304
8388608
4194304
39015,55003
4779749272
1194937318
8
8388608
16777216
8388608
78031,10005
19118997086 4779749272
8
16777216
33554432
16777216
156062,2001
76475988345 19118997086
8
33554432
67108864
33554432
312124,4002
3,05904E+11
76475988345
8
67108864
134217728
67108864
624248,8004
1,22362E+12
3,05904E+11
8
134217728
268435456
134217728
1248497,601
4,89446E+12
1,22362E+12
8
268435456
536870912
268435456
2496995,202
1,95779E+13
4,89446E+12
8
536870912
1073741824 536870912
4993990,403
7,83114E+13
1,95779E+13
8
1073741824
2147483648 1073741824
9987980,807
3,13246E+14
7,83114E+13
8
2147483648
4294967296 2147483648
19975961,61
1,25298E+15
3,13246E+14
8
4294967296
8589934592 4294967296
39951923,23
5,01193E+15
1,25298E+15
8
8589934592
1,718E+10
8589934592
79903846,45
2,00477E+16
5,01193E+15
8
17179869184
3,436E+10
17179869184
159807692,9
8,01909E+16
2,00477E+16
8
34359738368
6,8719E+10
34359738368
319615385,8
3,20764E+17
8,01909E+16
8
68719476736
1,3744E+11
68719476736
1,28305E+18
3,20764E+17
8
1,37439E+11
2,7488E+11
137.438.953.472,00
1.278.461.543,24 5,13222E+18
1,28305E+18
8
2,74878E+11
5,4976E+11
274.877.906.944,00
5,13222E+18
8
5,49756E+11
#N/D
5,49756E+11
639.230.771,62
#N/D
#N/D
Tab. 2
Come è possibile osservare dalla precedente tabella tra la 40° e 41° reiterazione (escludendo il valore di
partenza) si raggiunge il valore del raggio solare e della distanza Terra-Sole (valori in rosso).
Consideriamo adesso la seguente tabella ricordando che un anno luce corrisponde a:
Colonna1 Colonna2
Colonna3
Colonna5
Colonna6
Colonna7
PERIGEO/PERIELIO APOGEO/AFELIO
Colonna4
DISTANZA
MEDIA
(Km)
DIAMETRO
MEDIO
DIAMETRO
ANGOLARE IN °
DIAMETRO
ANGOLARE (IN ")
SOLE
147098074
152097701
149597888
1390900
0,532967577
1918,683277
LUNA
363104
405696
384400
3476
0,518355139
1866,078502
1,84379E-06
0,006637638
ANNI LUCE
SIRIO
8,6
8,1365E+13 2.617.000
Tab. 3
Con i dati riportati in tabella 3 determiniamo adesso il diametro apparente dei tre astri considerando una
circonferenza apparente di raggio 12,5 cm (distanza compresa tra superficie oculare e la superficie di
osservazione, come già sopra specificato). Per far questo è sufficiente calcolare la frazione di angolo giro
rappresentata dal diametro angolare dei singoli astri (es. 0,532967577°/360° = 0,001480465). Quindi
moltiplicare tale valore per quello della circonferenza apparente. I risultati sono presentati nella tabella 4:
Colonna1
Colonna2
FRAZIONE
ANGOLO
(MEDIA)
SOLE
LUNA
SIRIO
Colonna5
FRAZIONE
DI
CIRCONFERENZA
APPARENTE OVVERO
DIAMETRO APPARENTE
(Da) CERCATO DEL
DI RAGGIO
DELLA CIRCONFERENZA
CORPO CELESTE (valore
GIRO CIRCONFERENZA
APPARENTE (2πR) col.2 X valore col.4)
APPARENTE (Km)
(Km)
(Km)
0,001480465
0,001439875
5,12163E-09
Colonna3
0,000125
0,000125
0,000125
Colonna4
0,000785398
0,000785398
0,000785398
1,16275E-06
1,13088E-06
4,02252E-12
Colonna6
RAGGIO
APPARENTE (Ra)
DEL
CORPO
CELESTE (valore
col.5 : 2) (Km)
5,81377E-07
5,65438E-07
2,01126E-12
Tab. 4
Osserviamo adesso che è possibile calcolare il raggio reale (Rr) dei precedenti corpi celesti applicando la
seguente relazione:
Distanza * Ra * K = Rr (5) dove K assume il noto valore 8.
Questa equazione pone in relazione il raggio reale con quello apparente e con la distanza. La costante K
assume il carattere di fattore amplificatore. A verifica della (5) e del valore assunto da K si propone la
seguente tabella 5:
Colonna1
Colonna2
DISTANZA (m)
Colonna3
Ra (m)
Colonna4
Rr (m)
Colonna5
K (m-1)
SOLE
1,49598E+11
0,000581377
695450000
7,996174739
LUNA
384400000
0,000565438
1738000
7,996162278
SIRIO
8,13646E+16
2,01E-09
1308500000
7,995949026
In essa il valore di K è stato determinato dalla formula inversa della (5).
SIGNIFICATO FISICO DI K E VALENZA DEL METODO
Come abbiamo visto K assume il valore 8, cioè 23, che confrontato con la distanza che diventa 2 volte più
grande ad ogni reiterazione rappresenta l’incremento del volume di spazio interessato dal fenomeno ottico
osservato. In ultima analisi stiamo parlando di fenomeni ottici in cui entra in gioco il propagarsi della
radiazione elettromagnetica nello spazio. Quest’ultima si propaga in tutte le direzioni e in tutto il volume a
disposizione. L’effetto di ingrandimento o rimpicciolimento di un oggetto luminoso con il variare della
distanza di osservazione riguarda in qualche modo il moto di propagazione della luce nello spazio. Nello
spazio il volume è sempre legato alla distanza da una relazione cubica pertanto non sorprende che la luce
occupando tutto lo spazio disponibile causi ai nostri sensi il noto effetto di ingrandimento e
rimpicciolimento a tutti noto quando varia la distanza dall’oggetto luminoso osservato. Quindi potremmo
affermare che il significato fisico della costante K va ricercato nel fatto che al raddoppio della distanza il
volume in cui si propaga la radiazione luminosa diventa otto volte (2 3) e quindi l’effetto dell’ingrandimento
o della riduzione delle dimensioni apparenti sembra essere in correlazione con la progressione cubica con cui
varia lo spazio al variare della distanza. In definitiva poi l’ingrandimento o il rimpicciolimento di uno stesso
oggetto posto a diversa distanza dall’osservatore è un effetto fisiologico legato all’elaborazione delle
informazioni elettromagnetiche effettuata dal nostro sistema nervoso centrale. In qualche modo l’intensità
(o densità) della radiazione elettromagnetica che i nostri occhi riescono a raccogliere viene dal nostro
cervello associata alla distanza dell’oggetto così percepita. Del resto anche un oggetto molto distante che
non riusciamo a vedere e che si trova in linea visuale con i nostri occhi riflette (o emette) luce. Tuttavia
questa informazione luminosa non supera una certa soglia analizzabile da parte del nostro sistema nervoso
centrale e pertanto esso rimane a noi invisibile.
Il metodo di determinazione del raggio reale di un corpo celeste tramite la (5) non presenta particolari
vantaggi operativi rispetto ad altri metodi. Tuttavia esso offre una opportunità per un controllo incrociato
per quanto riguarda distanza e diametro di un corpo celeste. Infatti dato il carattere costante di K è
possibile fare una verifica incrociata per determinare in maniera più precisa la distanza di un corpo celeste
o il suo raggio o diametro. Nel caso infatti di corpi molto lontani (ad esempio galassie) è sempre possibile
determinare il loro diametro apparente e ipotizzando un loro diametro reale, stabilito in base al tipo di
corpo celeste (utilizzando differenti tecniche astronomiche(1)) è possibile correggere la distanza già
approssimata con altri metodi. E viceversa, conoscendo la distanza in maniera più certa è possibile meglio
approssimare il loro diametro. In tal modo si è in grado di operare una serie di operazioni di affinamento
1
Google Scholar - il Premio nobel Per la Fisica 2011 - http://prometeo.sif.it/papers/online/sag/027/05-06/pdf/10news.pdf
dei dati in possesso relativamente a queste due grandezze. Questo approccio metodologico per la
determinazione del diametro apparente di un corpo celeste presenta tuttavia una certa valenza didattica.
Potrebbe rappresentare infatti un modo per creare un interessante collegamento tra matematica e realtà
nell’ambito delle conoscenze astronomiche di base di studenti liceali.
Bibliografia
E. Lupia Palmieri, M. Parotto; Il Globo Terrestre e la sua Evoluzione; Edizione Zanichelli
ASTROLAB: calcolo delle dimensioni angolari; http://astrolab.altervista.org/articoli/angolo.html
Diametro Angolare – Wikipedia; https://it.wikipedia.org/wiki/Diametro_angolare
Sole – Wikipedia; http://it.wikipedia.org/wiki/Sole
Luna – Wikipedia; http://it.wikipedia.org/wiki/Luna