Giorgio Morosi - seminari di analisi matematica

Il triangolo di Tartaglia a. a. 2007/2008
Morosi Giorgio
Laboratorio di combinatorica
Prof. Daniela Romagnoli
a. a. 2007 – 2008
Il triangolo di Tartaglia
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Il triangolo di Tartaglia a. a. 2007/2008
Indice:
1. Niccolò Fontana, detto il Tartaglia
2. Storia del triangolo
3. Coefficienti binomiali e potenza di un binomio
4. Formalismo matriciale
5. Altre proprietà
6. Dal triangolo di Tartaglia ai frattali
7. La piramide di Tartaglia
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Il triangolo di Tartaglia a. a. 2007/2008
1. Niccolò Fontana, detto il Tartaglia
Tartaglia fu il soprannome di Niccolò Fontana (Brescia 1500 - Venezia 1557),
eminente matematico italiano. Fu denominato così a causa della balbuzie che lo
contraddistingueva da quando, ancora ragazzo, venne colpito al volto da un soldato
francese durante l'assalto della sua città natale. Prima di stabilirsi a Firenze nel 1542
la sua carriera lavorativa fu caratterizzata dall’insegnamento della matematica in
varie università unitamente all’impegno in numerose altre professioni. Elaborò trattati
di balistica che gli fecero ottenere la fama di fondatore della disciplina, fu un
precursore degli studi sul moto dei gravi e tradusse gli Elementi di Euclide. Tartaglia
è conosciuto in modo particolare a causa della scoperta della soluzione delle
equazioni di terzo grado: sembra infatti che lo stesso avesse rivelato il procedimento
da lui elaborato a un altro eminente matematico rinascimentale, Gerolamo Cardano, il
quale lo rese noto, seppur con opportuni miglioramenti, nell'opera “Ars magna”
(1545). Fu per questo motivo che il metodo venne diffuso come “formula di
Cardano”, nonostante la scoperta spetti presumibilmente a un terzo matematico
italiano, Scipione Dal Ferro. Tartaglia è ricordato anche per aver formulato la regola
algebrica conosciuta come triangolo di Tartaglia o triangolo di Pascal.
2. Storia del Triangolo
Nonostante fosse già noto ai cinesi ed agli indiani, il
triangolo fu presentato da Niccolò Fontana nell’opera
“General Trattato dei numeri e misure”(1556)
diventando celebre come il “Triangolo di Tartaglia”.
La sua costruzione parte dall’uno, detto "numero
generatore", e va avanti ricavando tutti gli altri
numeri addizionando i due sovrastanti, come è facile
constatare in figura. Molto probabilmente il triangolo,
che come si vedrà in seguito è formato dai
coefficienti dello sviluppo della potenza di un
binomio, era già stato oggetto di ricerche più o meno
dettagliate prima della sua presentazione nell’opera di
Tartaglia. Precisamente esso apparve sulla copertina
del Rechnung nel 1527, un testo di aritmetica del
matematico tedesco Peter Apian (1495-1552), e sul
libro “Lo Specchio Prezioso”(1303), opera del
matematico cinese Chu Shih-Chieh, nel quale vi si
riferì nel 1303, chiamandolo “il vecchio metodo”. In
questo libro, con una raffigurazione ideografica dei
numeri, vengono espressi i coefficienti delle potenze
di un binomio fino all'ottava (potenza). Il triangolo
però risale quasi certamente al 1100 circa, quando il
persiano Omar Khayyam, poeta e matematico, lo
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riportò nella sua opera “Dimostrazione dei Problemi di Algebra”. In questa si
possono trovare evidenti tracce dell’utilizzo della costruzione di Tartaglia: siamo
sicuri infatti che Khayyam adoperò un criterio per trovare radici ennesime basato
sulla espansione binomiale e dunque sui coefficienti binomiali.
3. Coefficienti binomiali e potenza di un binomio
Come vedremo in seguito il triangolo ha numerose proprietà sorprendenti, ma la più
importante fu analizzata da Pascal nel corso dei suoi studi legati al calcolo
combinatorio. Egli, infatti, intuì che le diverse combinazioni possibili di un dato
insieme di oggetti sono in relazione ai numeri del triangolo. Al fine di render più
chiara la trattazione si riporta in seguito un esempio:
E1. Quattro colori arancione (A), bianco (B), rosso (R) e giallo (G), si possono
abbinare a due a due in sei modi diversi: AB, AR, AG, BR, BG, RG. Inoltre
all’incrocio della quarta riga con la seconda colonna del triangolo vi è proprio il
numero sei (ricordando che come riga zero s’intende quella dell'uno iniziale e come
colonna zero quella composta di tutti uno). Cinque oggetti si combinano a tre a tre in
dieci modi diversi e dunque dieci è il numero che troviamo all'intersezione della
quinta riga con la terza colonna.□
Si rappresenti in generale con n il numero degli oggetti presi in considerazione. Dato
un insieme di n elementi, si dicono “combinazioni semplici” degli n elementi presi a
k a k (o di classe k), con 0 ≤ k ≤ n, tutti i gruppi di k elementi, scelti fra gli n
dell’insieme dato, in modo che ciascun gruppo differisca dai restanti almeno per uno
degli elementi in esso contenuti (senza considerare, quindi, l’ordine degli elementi).
Per indicare il numero delle combinazioni semplici Cn,k (=C(n,k)) è frequente
l’utilizzo del simbolo seguente:
Che si legge « n su k » ed è denominato coefficiente binomiale, poiché viene
impiegato nello sviluppo della potenza di un binomio.
Per definizione vale dunque quest’uguaglianza:
.
Al fine di render solido il significato di combinazioni semplici si è stabilito che per
convenzione 0! = 1; diventa pertanto evidente il significato della scrittura
.
È dunque chiaro ed importante il significato combinatorico di C(n,k): esso è il
numero dei sottoinsiemi con k elementi che si possono estrarre da un insieme S con n
elementi. Si riprenda l’esempio di inizio paragrafo:
E2. Sia dato l'insieme I = {A, B, R, G}. Vi sono allora sei sottoinsiemi con due
elementi: {A, B}, {A, R}, {A, G}, {B, R}, {B, G}, {R, G}, (si osservi che,
trattandosi semplicemente di insiemi, l'ordine non è importante), quindi C(4,2) = 6. Si
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verifica rapidamente che C(n,n) = 1 (c'è un unico sottoinsieme con n elementi di I, I
medesimo); C(n,0) = 1 (ecco un valido motivo per fissare come convenzione 0!=1:
c'è infatti un solo sottoinsieme di I con nessun elemento, quello vuoto); C(n,1) = n (in
I ci sono n sottoinsiemi che contengono uno e uno solo degli elementi di I); C(n,n-1)
= n (il numero di sottoinsiemi con n-1 elementi è proprio il numero n degli elementi
di I: nell’esempio sarebbero {A, B, R}, {B, R, G}, {A, R, G}, {A, B, G}, ovvero
quattro come la cardinalità di I). Volendo ampliare quest’ultima valutazione si ottiene
che in generale C(n,k) = C(n,n-k). Dal momento che si verificherà nel prossimo
paragrafo essere il triangolo formato dai coefficienti binomiali , la considerazione
appena portata ci consentirà di affermare che il triangolo sia simmetrico rispetto alla
bisettrice dell'angolo superiore (come peraltro è facile notare in figura).□
Siano pertanto a e b due numeri reali qualunque. Sono noti i prodotti notevoli:
e così via. Tutti gli sviluppi delle potenze di binomio risultano esser polinomi
omogenei e completi, di grado uguale all’esponente della potenza. Approfondendo lo
studio del calcolo della generica potenza di un binomio, questo fatto può risultare
effettivamente più chiaro ed evidente. A questo punto è perciò facile notare che,
mettendo in ordine gli sviluppi secondo le potenze decrescenti di uno dei due
monomi (nel nostro caso a e b), i coefficienti di questi siano numeri della seguente
struttura che chiamiamo Triangolo di Tartaglia:
Allo scopo di rendere facilmente “edificabile” questo prospetto occorre osservare che
ogni riga ha origine e si conclude con uno e gli altri termini derivano dalla somma dei
due numeri posti esattamente al di sopra nella riga precedente. Nota la formula di
Newton (utile per calcolare lo sviluppo della potenza n-esima di un binomio e
dimostrata dallo stesso Newton attraverso le combinazioni), questo triangolo può
essere scritto nel modo seguente:
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È valido pertanto il teorema: qualunque siano i due numeri a e b e l’intero positivo n,
si ha:
Ovvero
ha come sviluppo un polinomio omogeneo di grado n nell’insieme
delle due variabili a e b il quale, ordinato secondo le potenze decrescenti di a (e
crescenti di b e viceversa) ha per coefficienti i numeri:
Con la formula di Newton, lo sviluppo della potenza n-esima di un binomio di
variabili a e b può esser riportato in forma più compatta attraverso questo
espressione:
sarà sufficiente sostituire nella (⌂)
Al fine di conoscere anche lo sviluppo di
al termine b il valore -b e prestare attenzione al fatto che
risulteranno positivi o
negativi al variare di k come numero pari o dispari, cioè si può scrivere la formula:
Risulta infine utile segnalare una importante relazione tra i coefficienti binomiali,
nota come formula di Stifel:
Questo porta ad una formula ricorrente per calcolare un numero del triangolo: se
voglio conoscere il numero alla riga n e al posto k, basta sommare i due numeri della
fila precedente (n - 1) nella stessa posizione (k) ed in quella prima (k - 1) in modo
tale che si ottenga proprio la formula di costruzione.
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Il triangolo di Tartaglia a. a. 2007/2008
4. Formalismo matriciale
Il triangolo può esser costruito introducendo la classica
notazione del formalismo matriciale: siano i e j gli indici
per denotare “coordinate” su righe e colonne. Si può
dunque scrivere:
Riga 1: x11 = 1 ;
Riga 2: x21 = 1 ; x22 = 1 ;
Riga 3: x31 = 1 ; x32 = 2 ; x33 = 1;
Riga 4: x41 = 1 ; x42 = 3 ; x43 = 3 ; x44 = 1;
In generale, xij è una funzione di Dirichlet, che ha valore xij = xi − 1,j − 1 + xi − 1,j con i =
1,...,n e j = 1,...,n sempre (per ogni i e j), ad eccezione di j = 1 oppure j = i, ossia agli
estremi destro e sinistro di ogni riga del triangolo, dove xij = 1.
Accade infatti che x21 = 1 , x31 = 1 ; x3,j = i = 3 = 1 , x44 = 1, e che x42 = xi − 1 = 4 − 1 = 3,j − 1 =
2 − 1 + x3,2 = 1 + 2 = 3.
Questa formulazione è per concludere assolutamente equivalente a quella presentata
in precedenza del coefficiente binomiale.
5. Altre proprietà
Le proprietà del triangolo sono molteplici: alcune di queste derivano dal
procedimento di costruzione della figura stessa, altre dipendono invece dalle
caratteristiche specifiche dei coefficienti binomiali. Allo scopo di render più chiara la
grande “praticità” della figura studiata da Tartaglia, si riporterà di seguito una
selezione significativa di alcune delle proprietà più rilevanti:
P1. Condizione al contorno: Poiché sussistono le uguaglianze
il bordo esterno è composto da tutti numeri uguali a uno.
P2. Simmetria del triangolo: Dal momento che vale la seguente uguaglianza
il triangolo risulta simmetrico rispetto alla bisettrice dell'angolo superiore (vedi prf.
3)
P3. Somma delle righe: Si può constatare che
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1
1 +
1 + 3
1 + 4 +
1
+
2
+
6
1
+ 1
3 + 1
+ 4 + 1
= 1
= 2
= 4
= 8
= 16
ovvero che 2n è la somma dei termini della n-esima riga. Questa osservazione è
facilmente dimostrabile notando che: la somma della prima riga è evidentemente uno;
data una riga, ogni numero della successiva si ottiene addizionando i due numeri
superiori; ogni numero superiore viene utilizzato due volte nella somma della linea
successiva. Indicando quindi con Sn la somma dei termini della riga n, Sn = 2 · Sn − 1.
Una interpretazione ancora più semplice di questa proprietà consiste nel ricordare che
i coefficienti dello sviluppo delle potenze di un binomio sono i termini di ogni riga:
prendendo per esempio il binomio 1 + 1, esso avrà come sviluppo i coefficienti stessi
del triangolo di Tartaglia. Quindi nel caso della potenza cubica di 1 + 1, si otterrà (1
+ 1)3 = 1 + 3 + 3 + 1 = 8, ed in generale (1 + 1)n = 2n.
P4. Differenza delle righe: Effettuando la somma dei numeri di ogni riga avendo
moltiplicato quelli di posto pari per (-1), fatta esclusione del termine della prima, il
risultato che raggiungiamo è zero per ogni serie. Questo risulta ovvio per le righe con
un numero pari di elementi, in quanto il triangolo è simmetrico (vedi P2).
1 - 1
1 - 2 + 1
1 - 3 + 3 - 1
1 - 4 + 6 - 4 + 1
=
=
=
=
0
0
0
0
Per una dimostrazione completa ci si basa invece sulla tecnica precedente:
considerando come binomio (1 - 1) si ottiene proprio che le somme tra i numeri dello
sviluppo delle potenze del binomio valgono effettivamente zero. Prendendo la
potenza cubica del binomio, ad esempio, si ha: (1 - 1)3 = 1 - 3 + 3 - 1 = 0.
P5. Potenze di undici: Come riassume molto efficacemente la figura seguente,
unendo le cifre di ogni riga del triangolo si ottengono, una ad una, le potenze di
undici in ordine crescente.
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1
1
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3
4
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3
6
1
4
1
=
1
=
11
=
121
= 1331
= 14641
Al fine di render anche questa proprietà più chiara si suggerisce di considerare il
polinomio (10 + 1): elevando lo stesso al quadrato si ottiene infatti (10 + 1)2 = 1 * 102
* 10 + 2 * 10 * 11 + 1 * 100 * 12 = 1 * 100 * 1 + 2 * 10 * 1 + 1 * 1 * 1 = 121.
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Il triangolo di Tartaglia a. a. 2007/2008
P6. Somma delle diagonali: Se si sommano k termini di una diagonale qualunque, il
risultato che si ottiene è il numero adiacente a destra al (k + 1)-esimo termine della
stessa diagonale. Prendendo, ad esempio, i cinque numeri (k = 5) della seconda
diagonale (1, 2, 3, 4, 5) e facendone la somma, il numero risultante è 15, ovvero
quello adiacente al (k + 1)-esimo numero (k + 1 = 6).
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2
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10
15
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1
4
10
20
1
5
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1
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P7. Multipli di numero fissato: Scelto all’interno del triangolo un qualsiasi numero n,
i multipli dello stesso che si trovano nella costruzione di Tartaglia danno forma a
nuovi triangoli con il vertice diretto verso il basso. Tali triangoli non si intersecano,
non sono adiacenti e, per concludere, possono esser formati da un unico punto di lato
unitario (vedi, per esempio, i sei sulla settima riga della figura seguente dove è stato
scelto n = 2).
Pari:
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3
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4/
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\10
10/
5
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\6/
15
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56
70
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8/
1
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84
126
126
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36/
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462
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220/ 495 \792
924
792/ 495 \220
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286/ 715
1287 \1716 1716/ 1287 715 \286
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\2/
\4
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P8. Numeri di Catalan: Partendo dal vertice e dividendo successivamente i termini
sottostanti per i numeri naturali (a partire da n0 = 1 e passando al successivo nk = nk - 1
+ 1 con il procedere delle divisioni), si trovano i famosi Numeri di Catalan. Ogni
divisione darà luogo ad un elemento della successione. I Numeri di Catalan risultano
perciò esser 1, 1, 2, 5, 14…ovvero i risultati dei rapporti 1/1, 2/2, 6/3, 20/4, 70/5
...dove, nel primo rapporto, l’uno a numeratore è il vertice del triangolo e l’uno a
denominatore corrisponde a n0 (vale a dire il primo numero naturale).
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P9. Numeri di Fibonacci: Se si addizionano i termini che compongono le diagonali
ottenuti muovendosi di una riga verso il basso e due numeri a sinistra, si ottengono i
celebri Numeri di Fibonacci. Se si considera infatti l’insieme di numeri (1, 6, 5, 1)
allora la loro somma: 1 + 6 + 5 + 1 = 13 = F7. Se invece si prende l’insieme (1, 15,
35, 28, 9, 1) la si ha: 1 + 15 + 35 + 28 + 9 + 1 = 89 = F11.
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P10. Numeri poligonali: Un numero poligonale è un numero figurato che può essere
disposto a raffigurare un poligono regolare. Ogni diagonale del triangolo rappresenta
una successione di numeri poligonali differenti. Nella figura successiva si può
facilmente notare che i cosiddetti numeri triangolari 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55,
66, 78...compongono la terza diagonale del triangolo.
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6. Dal triangolo di Tartaglia ai frattali
Un frattale è un oggetto geometrico contraddistinto dal ripetersi illimitato di uno
stesso motivo su scala sempre più ridotta. Questa caratteristica è frequentemente
denominata auto-similarità. Il termine frattale fu introdotto da Benoît Mandelbrot nel
1975: questo nome deriva dal latino fractus (rotto, spezzato), così come il termine
frazione; le figure frattali infatti sono considerate in ambito matematico come enti di
dimensione frazionaria.
Costruire un frattale in realtà non richiede particolari abilità e conoscenze
matematiche. Il metodo seguente infatti, che impiega il triangolo di cui si è discusso
al fine di ritrovare la tipica struttura del frattale dopo opportuni accorgimenti sulla
figura, dimostra proprio quanto sia facile giungere a configurazioni ricorrenti.
E' sufficiente prendere il triangolo di Tartaglia:
.
Sostituire tutti i numeri pari con lo zero e tutti i dispari con l’uno:
.
Infine sostituire ogni uno con una casella nera e ogni zero con una bianca:
.
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Il triangolo di Tartaglia a. a. 2007/2008
Per poter individuare questo genere di strutture occorre
utilizzare un triangolo sufficientemente ampio, in
modo che la disposizione ed il reiterarsi delle forme
risultino più facilmente visibili ed esaminabili. La
figura riportata mostra che il risultato è una
sorprendente serie di triangoli con una configurazione
a frattale. Si può osservare infatti parte di una
successione di triangoli autosimili (perché infinita)
secondo quella che è la tipica rappresentazione dei
frattali. Si fa notare inoltre che nella parte centrale del
triangolo di Tartaglia ci sono triangoli bianchi (quelli dei numeri pari) sempre più
grandi: se si prosegue con la scomposizione si vede che essi ritornano
sistematicamente, sempre più ampi. Queste figure geometriche si possono definire
"triangoli perfetti" grazie al fatto che hanno al vertice un numero perfetto. E' infine
possibile provare che il numero dei punti dell’n-esimo triangolo centrale chiaro sia
determinato proprio dalla formula dei numeri perfetti che si rammenta esser:
7. La piramide di Tartaglia
La piramide di Tartaglia è un tetraedro che ha al
vertice il numero uno come numero generatore. In
modo del tutto analogo a quanto accadeva nel
triangolo, ogni altro numero è la somma dei tre
posizionati al livello immediatamente superiore.
Dalla piramide è possibile ricavare i coefficienti
delle potenze di un trinomio. Al quarto livello, per
esempio, riconosciamo i coefficienti della quarta
potenza del trinomio:
Estendendo l'idea del triangolo oltre la terza dimensione ad uno spazio a n
dimensioni, si avrà la possibilità di ottenere i coefficienti delle potenze di un
qualsivoglia polinomio di n termini.
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Il triangolo di Tartaglia a. a. 2007/2008
Bibliografia:
[C] F. Cuccu, Sistemi dinamici, caos e frattali, slides, 2005
[R] D. Romagnoli, Laboratorio di combinatorica, dispensa, 2007
[T] M. Trombetta, “Calcolo combinatorio”, in Appunti del corso di analisi
matematica, dispensa, 2007
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