gauge - Infn

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gauge - Infn

Università degli Studi di Napoli
“Federico II”
Facoltà di Scienze MM. FF. NN.
Tesi di Laurea in Fisica
Quantizzazione manifestamente covariante
e gauge fixing
Relatori:
Dr. Giampiero Esposito
Candidato:
Diego Nicola Pelliccia
Prof. Francesco Zaccaria
Matricola
Anno Accademico 2002/2003
Ai miei Genitori
Indice
Introduzione
v
1 Storie dei campi e gruppi di invarianza
1
1.1
1.2
Riassunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Topologia dello spaziotempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
1.3
1.4
Lo spazio delle storie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Notazioni e convenzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
4
1.5
Equazioni dinamiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.6
1.7
Trasformazioni di invarianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Osservabili fisici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
9
1.8
Commutatore delle trasformazioni di invarianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.9 Orbite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.10 Lo spazio delle orbite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
16
1.11 Identità di Ward classiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
1.12 Teorie di gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.13 Teorie di Yang–Mills e gravitazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
24
1.14 Misura invariante sullo spazio delle storie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
2 Sistemi dinamici classici
29
2.1
Riassunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
2.2
2.3
Equazione dei piccoli disturbi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
L’operatore dei campi di Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
32
2.4
Funzioni di Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
2.5
2.6
Il procedimento di misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Condizioni supplementari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
44
2.7
L’operatore dinamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
2.8
Parentesi di Peierls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
i
INDICE
2.9
Problema di Cauchy per i campi di Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
2.10 Disturbi finiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
2.11 Campi asintotici in e out . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
2.12 Leggi di conservazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
2.13 Campi esterni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
3 Teoria quantistica dei campi manifestamente covariante
69
3.1
Riassunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
3.2
Il principio variazionale di Schwinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
3.3
Sorgenti esterne e prodotti cronologici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
3.4
Equazioni dinamiche quantistiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
3.5
Integrale funzionale alla Feynman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
3.6
Rinormalizzabilità perturbativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
3.7
Ampiezze in-out in teorie di gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
3.8
Funzionale di misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
3.9
Campi di ghost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
3.10 Regioni in e out e matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
3.11 Propagatore di Feynman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
3.12 Quantità geometriche ausiliarie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
3.13 Nucleo del calore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4 Quantizzazione BRST
103
4.1
Riassunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.2
Formalismo BRST . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.3
Teorie di Yang–Mills quantistiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.4
Trasformazioni BRST . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.5
Quantizzazione BRST . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.6
Funzioni di correlazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.7
Analisi non perturbativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.8
Analisi diagrammatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.9
Azione effettiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.10 Identità di Slavnov–Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4.11 Formalismo di Batalin–Vilkovisky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4.12 Equazione di Zinn–Justin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.13 Azione effettiva ridotta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
ii
INDICE
5 Proprietà globali delle teorie di gauge
131
5.1
5.2
Riassunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
Topologia e analisi globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
5.3
5.4
5.5
Settori topologici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
Anomalia globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
Istantoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
5.6
5.7
Condizioni asintotiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
Fenomeno di Gribov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
5.8 Equazione di Gribov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
5.9 Flusso spettrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
5.10 Ambiguità di Gribov nelle teorie di gauge su reticolo . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
5.11 Gauge covariante non lineare per il campo elettromagnetico . . . . . . . . . . . . . . 153
Conclusioni
159
A Teoria degli spazi fibrati
163
A.1 Spazi fibrati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
A.2 Fibrati principali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
A.3 Connessioni sugli spazi fibrati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
B Applicazioni del formalismo manifestamente covariante
173
B.1 Simmetrie per un campo gravitazionale esterno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
B.2 Campo di Yang–Mills . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
B.3 Campo gravitazionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
C Rappresentazione aggiunta
185
D Gruppi di omotopia
187
E Rinormalizzabilità perturbativa nel caso abeliano
189
Bibliografia
191
iii
Introduzione
Alla fine del primo ventennio del secolo scorso, la mirabile costruzione teorica della fisica moderna
si basava su due pilastri: la teoria dell’elettromagnetismo, di cui già si avevano i prodromi della
versione quantistica, e la teoria della gravitazione di Einstein. L’enorme messe di dati sperimentali
ottenuti a partire da quel momento, conseguiti grazie a una capacità di scandagliare la natura a livelli
di profondità prima impensabili, portò alla scoperta di un enorme numero di particelle.
La sintesi teorica, necessaria a spiegare l’esistenza e il comportamento di tanti costituenti diversi, poteva avvalersi dell’interpretazione dell’elettromagnetismo come teoria di gauge. La visione
geometrica di Weyl ben si sposava con la meccanica quantistica, giungendo a sviluppare una teoria
quantistica del campo elettromagnetico, sperimentalmente verificata con un’estrema precisione (cf.
Weinberg 1996).
La ricerca di una generalizzazione non lineare delle equazioni di Maxwell per spiegare le particelle
elementari, dovrebbe basarsi (Atiyah 1979) su alcune proprietà di simmetria:
1. simmetrie esterne sotto i gruppi di Lorentz e di Poincaré e sotto i gruppi conformi, se si vuole
che la massa a riposo delle particelle sia nulla,
2. simmetrie interne sotto gruppi come SU(2) o SU(3) per tener conto delle proprietà note delle
particelle elementari,
3. covarianza o la possibilità di accoppiamento con la gravitazione considerando uno spaziotempo
curvo.
Le teorie di gauge soddisfano queste richieste basilari in virtù del loro carattere geometrico. Infatti, da
un punto di vista matematico, la teoria di gauge è una branca della geometria differenziale ben fondata, nota come teoria degli spazi fibrati con connessioni. Essa ha molto in comune con la geometria
riemanniana, che fornì ad Einstein le basi per la relatività generale.
La quantizzazione delle teorie di gauge ha portato alla formulazione di teorie quantistiche dei
campi, con cui descrivere i fenomeni dovuti all’interazione elettromagnetica, all’interazione debole e
a quella nucleare forte. La gravitazione, invece, pur passando dalla descrizione newtoniana a quella
v
Introduzione
relativistica, è rimasta una teoria classica. Le prime, inoltre, non riescono a tener conto degli effetti
gravitazionali nella dinamica delle particelle elementari, utilizzando come sfondo uno spaziotempo
minkowskiano.
Si avverte, dunque, la necessità di sviluppare una teoria fisica capace di comprendere questi diversi
aspetti della natura. Questo spirito di unificazione, che è stato una delle linee guida della fisica teorica
della fine del secolo scorso, ha condotto a interessanti quadri concettuali, alcuni ancora in fase di
sviluppo, quali le teorie di stringa (cf. Polchinsky 1998).
Un tentativo di avvicinare le teorie di gauge e la relatività generale è la costruzione di una
teoria quantistica della gravitazione, portata avanti sin dal 1938 da Rosenfeld (Rosenfeld 1938),
che però subito si imbattè in gravi difficoltà legate al trattamento delle divergenze nel processo di
rinormalizzazione.
Un successivo sforzo di Bergmann, (cf. Bergmann 1956) fondato su basi diverse, incontrò da
subito problemi anche maggiori; il più interessante di essi è il problema dei vincoli. Esso consiste
nel fatto che alcune variabili di campo non possiedono momenti coniugati, che i momenti coniugati
alle restanti variabili non sono tutti dinamicamente indipendenti, che le stesse equazioni di campo
non sono linearmente indipendenti, e che alcune di esse non comprendono derivate seconde rispetto
al tempo, complicando il problema di Cauchy. Tutte queste difficoltà sono correlate ed emergono
dall’esistenza del gruppo generale di trasformazioni di coordinate come gruppo di invarianza della
teoria.
Nel 1950 Dirac (Dirac 1950) pubblicò le basi di una teoria hamiltoniana generale, applicabile in
principio ad ogni sistema descrivibile da un funzionale d’azione. I metodi di Dirac furono subito
utilizzati da Pirani e Schild (Pirani e Schild 1950) per le applicazioni al campo gravitazionale. Sfortunatamente questi autori scelsero di applicare la teoria nel quadro di un formalismo parametrico, nella
speranza di conservare la manifesta covarianza che i metodi di Dirac, invece, non consentono, e che
è il fondamento della teoria di Einstein. La complessità dell’algebra risultante non consentì loro di
calcolare alcun vincolo, lasciando la teoria incompleta per diversi anni.
Soltanto negli anni Sessanta, dopo gli sforzi di Higgs (Higgs 1958) e Dirac stesso (Dirac 1958,
Dirac 1959), tale metodo pervenne a una chiara interpretazione classica, grazie al lavoro di Arnowitt,
Deser e Misner (Arnowitt et al. 1962). L’interpretazione del formalismo dei vincoli, in teoria quantistica, restava oscura; i contributi in tal senso di Wheeler (Wheeler 1964), portarono DeWitt (DeWitt
1967a) al formalismo manifestamente covariante. In esso, i problemi riconosciuti da Bergmann, risolti da Dirac nell’imposizione di vincoli alla dinamica della teoria, vengono affrontati con spirito
analogo nell’imposizione, che avviene già a livello classico, di opportune condizioni supplementari
alle variabili dinamiche.
Tale formalismo ha il pregio di trattare fin dal principio la teoria classica dei campi in un linguagvi
Introduzione
gio di disturbi infinitesimi, controparte delle fluttuazioni quantistiche, rendendo naturale la successiva
quantizzazione. Ancor più apprezzabile è la caratteristica che esso, in tutto il suo sviluppo, mantiene un punto di vista manifestamente covariante, costruendo una teoria quantistica dei campi su un
generico spaziotempo curvo.
È bene chiarire che cosa si intende per manifesta covarianza. Nella teoria convenzionale della
matrice , basata o meno su una teoria dei campi convenzionale, manifesta covarianza significa
manifesta Lorentz covarianza. Nel contesto di una teoria della gravitazione, poiché la teoria classica
di partenza ha una manifesta covarianza generale, nasce l’interrogativo se il senso dell’espressione
debba essere più ampio che nel caso precedente.
Vi è un’importante differenza tra covarianza generale e ordinaria Lorentz covarianza, e nessuna
delle due implica l’altra. La seconda è l’espressione di una simmetria geometrica posseduta da un
sistema, in teoria della gravitazione ha al più rilevanza per lo stato asintotico dei campi. Come enfatizzato da Fock (Fock 1959), la parola relatività nel nome relatività generale ha connotazioni di
simmetria fuorvianti.
La tecnica per distinguere tra il gruppo di Poincaré e il gruppo generale di trasformazione di
coordinate è confinare le operazioni del secondo a una regione finita arbitraria dello spaziotempo.
Le coordinate asintotiche, allora, sono lasciate indisturbate dal gruppo generale di trasformazioni di
coordinate; soltanto le operazioni del gruppo di Poincaré hanno l’effetto di variarle.
Il gruppo generale di trasformazioni di coordinate, così, diventa un gruppo di gauge che, sebbene
storicamente sia nato dal gruppo di Poincaré e dal principio di equivalenza, gioca il ruolo (tecnicamente piuttosto oscuro) di fornire il mezzo analitico attraverso cui ottenere le equazioni di Einstein
da un principio variazionale, mettendo in evidenza la loro essenziale località.
Lo scopo dei primi tre capitoli di questo lavoro di tesi è sviluppare un formalismo che renda manifesto il livello a cui la covarianza generale permea la teoria quantistica dei campi, realizzando la
procedura di quantizzazione con l’integrazione funzionale alla Feynman. Il raggiungimento di questo
obiettivo, per semplicità, viene conseguito soltanto per teorie dei campi bosoniche, pur estendendosi agevolmente a teorie supersimmetriche. La trattazione si basa sull’approccio globale alla teoria
quantistica dei campi di DeWitt; sebbene il formalismo utilizzato sia elaborato e si discosti dall’esposizione usuale, esso consente di mantenere un punto di vista che comprende i risultati della relatività
generale. La quantizzazione, portata avanti nel terzo capitolo, viene espressa più agevolmente grazie
alle trattazioni svolte nei due capitoli precedenti: nel primo vengono fornite le nozioni basilari di
invarianza, di teorie di gauge e di topologia degli spazi astratti che verranno utilizzati; nel secondo
viene costruita una teoria classica dei campi manifestamente covariante. Ulteriori dettagli si possono
trovare nei riassunti presentati al principio di ogni capitolo.
vii
Introduzione
Questo obiettivo sarà perseguito con l’utilizzo del metodo del campo di background, introducendo
una metrica di background aggiustabile, invece di un background piatto. L’impiego di tale metrica ha
i seguenti vantaggi tecnici (DeWitt 1967b):
1. facilita l’introduzione di propagatori di particelle che sono generalmente covarianti, piuttosto
che semplicemente Lorentz covarianti.
2. Riduce lo studio delle correzioni radiative allo studio del vuoto.
3. Rende possibile isolare in modo generalmente covariante le divergenze, il che è essenziale per
qualsiasi programma di rinormalizzazione.
4. Rende teoremi analoghi alle identità di Ward quasi banali.
5. Rende possibile, in principio, l’estensione della teoria delle correzioni radiative a universi in
cui lo spaziotempo non è asintoticamente piatto e che possono addirittura essere chiusi e finiti.
Questi vantaggi sono tipici di ciò che si intenderà con la frase manifesta covarianza, il cui uso,
comunque, non va inteso nel senso che il mero introdurre una metrica di background variabile rende
tutto ovvio. I propagatori generalmente covarianti non sono unici, ma selezionabili in diversi modi,
analogamente alle scelte di gauge dell’elettrodinamica quantistica; occorre uno studio a parte per
dimostrare che la scelta è irrilevante.
Non vi è un chiaro collegamento matematico tra le teorie canoniche e quelle covarianti; nel caso
di universi infiniti, si ritiene che le due teorie siano semplicemente due versioni della stessa teoria,
espresse in linguaggi differenti, ma non ve ne è la certezza. I diversi caratteri di rinormalizzabilità di
una teoria quantistica della gravitazionie nei due approcci, inoltre, rendono questo aspetto più oscuro.
Per favorire un’analisi della rinormalizzazione delle teorie quantistiche di Yang–Mills, d’altra parte, può essere conveniente far uso del metodo di Batalin–Vilkovisky, che utilizza campi ausiliari di
ghost e di antighost e ha il vantaggio di sviluppare un formalismo estremamente conciso. Tale metodo
va combinato con la procedura di quantizzazione BRST, che è basata sulle trasformazioni scoperte da
Becchi, Rouet, Stora e Tyutin nel 1975; esso ha i propri prodromi nel metodo di quantizzazione di
DeWitt–Faddeev–Popov, ma è assurto al rango di alternativa. La quantizzazione BRST, descritta nel
quarto capitolo, infatti, si applica a teorie anche più generali di quella sviluppata nei primi tre capitoli,
e consente di completare il quadro delle proprietà locali delle teorie di gauge quantistiche.
Dagli anni Settanta, però, si è fatta strada la consapevolezza che anche le proprietà globali delle
teorie di gauge hanno una certa importanza. Un fenomeno di particolare rilievo è l’ambiguità di
Gribov, ossia la non univocità di un potenziale di gauge soddisfacente le equazioni dinamiche con
viii
Introduzione
un gauge fissato. Esso è legato a ostruzioni topologiche dipendenti dalla geometria dello spazio
fibrato della teoria di gauge considerata e dalla superficie determinata dalle condizioni di gauge fixing,
procedura necessaria alla quantizzazione utilizzata. Con le usuali scelte di gauge fixing, tale problema
non si presenta nel caso abeliano, mentre in quello non abeliano viene imputato alla natura curva del
fibrato. Sebbene sia ignorato a livello locale, dunque nella teoria perturbativa, non è ancora del tutto
chiaro quanta incidenza abbia il fenomeno di Gribov nelle teorie di gauge, in ragione degli effetti
misurabili che analisi di teorie su reticolo sembrano attribuirgli (cf. Giusti et al 2001).
Per ottenere maggiore chiarezza sulla natura di questo problema, generalmente imputato al carattere non abeliano delle teorie di Yang–Mills, questo lavoro di tesi si conclude con un’analisi della
possibile simulazione dinamica delle copie di Gribov anche in elettrodinamica quantistica. Ciò viene
svolto grazie all’introduzione di un particolare gauge covariante non lineare nel caso abeliano; esso
garantisce la manifesta covarianza e presenta lo stesso carattere non lineare, imputato di solito alla
natura non abeliana delle altre teorie quali la cromodinamica quantistica, nelle equazioni che hanno
come soluzioni le copie di Gribov.
Le motivazioni della scelta di tale gauge risiedono nella possibiltà che essa offre di rendere esplicito che la massa del fotone vada posta a zero su base osservativa. La particolare procedura utilizzata
porta a un propagatore fotonico con il corretto andamento asintotico nei momenti che assicura la
rinormalizzabilità perturbativa. Essa, inoltre, fin dal principio pone l’enfasi sullo spazio delle matrici , naturalmente presenti nell’elettrodinamica quantistica, i cui campi di materia hanno carattere
spinoriale.
I calcoli espliciti svolti a conclusione della tesi mostrano che anche nel caso considerato si hanno
più configurazioni soddisfacenti le equazioni dinamiche, sebbene sia stato fissato un gauge. Ciò suggerisce che i due oggetti geometrici coinvolti nella topologia dell’ambiguità (il fibrato e la superficie
di gauge fixing) abbiano “pari peso” nell’evenienza di quest’ultima, evenienza dovuta a intersezioni
multiple tra le orbite sul fibrato, generate dal gruppo di gauge, e la superficie di gauge fixing. Dunque,
sembra essere la non linearità delle suddette equazioni la causa principale del problema, piuttosto che
la sola non abelianità delle teorie di Yang–Mills.
ix
Capitolo 1
Storie dei campi e gruppi di invarianza
1.1 Riassunto
Questo capitolo introduce al formalismo covariante alla DeWitt in teoria dei campi. Attraverso una
notazione condensata e un taglio molto generale sviluppa un linguaggio con cui trattare sia le usuali
teorie di gauge sia la gravitazione in termini di teorie con gruppi di invarianza infinito-dimensionali,
le cui dinamiche sono determinate dal principio di azione stazionaria. I commutatori dei generatori
infinitesimi dei gruppi di invarianza soddisfano certe identità che permettono di classificare le varie
teorie possibili. Quelle menzionate rientrano entrambe nella prima classe.
Al fine di descrivere appropriatamente le proprietà fisiche dei sistemi considerati, l’intero capitolo
è dedicato alla costruzione di un linguaggio matematico che consenta di delineare le assunzioni e
le proprietà basilari delle varietà che stanno a fondamento della teoria: lo spaziotempo, lo spazio
delle storie dei campi e lo spazio delle orbite. In particolare, fin dal principio, si pone l’accento sulla
descrizione geometrica.
Nella parte conclusiva, per mostrare le analogie e le differenze nel trattare le teorie alla Yang–
Mills e la relatività generale come teorie di gauge, dopo un’introduzione storica alle teorie di gauge
ne viene riassunto il formalismo geometrico facendo uso della teoria degli spazi fibrati, descritta più
dettagliatamente nell’Appendice A.
1.2 Topologia dello spaziotempo
Il primo obiettivo che si pone questo lavoro di tesi è di sviluppare un formalismo adeguato per quantizzare campi che hanno gruppi di invarianza infinito-dimensionali in modo manifestamente covariante.
La richiesta di manifesta covarianza comporta l’adozione di un punto di vista spaziotemporale; ci
1
Capitolo 1. Storie dei campi e gruppi di invarianza
si baserà sul lavoro di B.S. DeWitt (DeWitt 2003) e si ignorerà la formulazione canonica. Sebbene
essa, infatti, garantisca l’unitarietà, è legata ai vincoli e alla gravosa struttura (3 + 1) dimensionale
dei momenti coniugati, più grande degli spazi di Hilbert fisici, rendendo i fondamenti della teoria dei
campi più complicati del necessario. Ciò non significa che sarà abbandonato del tutto il linguaggio (3
+ 1) dimensionale, in quanto il sistema dinamico può trovarsi in uno stato in cui esso è appropriato,
ad esempio quando esiste un campo vettoriale globale di Killing di tipo tempo.
In effetti, grazie alla libertà lasciata dalla teoria della relatività generale sulla scelta della topologia
della varietà spaziotemporale , si considererà, salvo esplicite controindicazioni, che essa abbia la
struttura topologica
dove è la retta reale e è una certa varietà tridimensionale, non necessariamente compatta; più
precisamente si assumerà che lo spaziotempo sia globalmente iperbolico (Leray 1952). Nel discutere
la causalità dello spaziotempo è fondamentale il concetto di ipersuperficie di Cauchy: essa è tale
che ogni curva di tipo tempo o luce la interseca una ed una volta soltanto. L’ultima assunzione su
comporta (Geroch 1970) che esso ammette una foliazione in sezioni di tipo spazio, ognuna delle
quali è una ipersuperficie di Cauchy completa e topologicamente identica a .
È più opportuno considerare in luogo di un intervallo aperto dell’asse dei tempi, piuttosto
che l’intero asse, ponendo metricamente incompleto nella direzione dei tempi. In tal modo il
funzionale d’azione definito in seguito può assumere valori ben definiti, con le variabili dinamiche
che soddisfano specifiche condizioni al contorno ai limiti temporali e all’infinito spaziale quando è
non compatta.
Un’ulteriore ragione per la scelta della finitezza dell’intervallo temporale è che la completezza
metrica (Hawking e Ellis 1973) implica la completezza geodetica, cioè la possibilità di estendere ogni
geodetica a valori arbitrari del suo parametro affine. La completezza di geodetiche di tipo tempo o
luce è assunta come condizione minima per l’assenza di singolarità dello spaziotempo. I noti teoremi
sulle singolarità di Hawking e Penrose dimostrano che, senza imporre severe restrizioni su teoria classica sovente si incontrano tali ostruzioni topologiche.
, nella
Fin dal principio, dunque, si avverte l’esigenza di pervenire a una teoria che superi i problemi
riscontrati in ambito classico. Un tentativo in tal senso è la fondazione di una teoria quantistica
dei campi, che è essenzialmente una teoria dei piccoli disturbi. A tal fine si userà tale linguaggio
dal principio, giá nello strutturare una teoria classica dei campi, il che è un passo fondamentale che
agevolerà la trattazione successiva e rispecchia inoltre lo sviluppo storico.
2
1.3. Lo spazio delle storie
1.3 Lo spazio delle storie
Sebbene i campi fisici si distinguano in bosonici e fermionici, a seconda del tipo di statistica che
soddisfano 1 , per ragioni di chiarezza espositiva e di spazio a disposizione saranno trattati soltanto i
campi bosonici.
Si assumerà che la metrica abbia segnatura e per campo di riferimenti locali
di Lorentz si intenderà una collezione di n (piú genericamente la dimensione di uguale a n) campi vettoriali su un intorno di che 2 soddisfano
"!#$"%#$
o equivalentemente &'#$)(
(
$
%'#$)*+
-,
*+
$
puó essere posta
dove %'#$ è la metrica di Minkowski n-dimensionale e il prodotto interno è definito rispetto alla metrica
su . Sia ./102 una carta della varietá spaziotemporale e 34576 un campo di riferimenti locali
di Lorentz definito su . Si denoti con 3098:;+<16 la collezione di componenti, al punto + , nella carta
./102 e relative al campo di riferimenti 34=76 , dei campi bosonici in oggetto.
L’insieme di tutte le 0>8:?+< per tutti gli + in tutte le carte definisce una storia di campo. Si indichi
con @ l’insieme, o lo spazio, di tutte le possibili storie di campo classiche, sia quelle che soddisfano le
equazioni dinamiche sia quelle che non le soddisfano. @ è una varietà infinito-dimensionale. Piuttosto
che provare l’ultima asserzione, sono utili le seguenti considerazioni, che farebbero parte di una
dimostrazione.
In primo luogo, introducendo una metrica riemanniana arbitraria, ossia definita positiva (e dunque
non fisica), su , si può facilmente definire in termini di integrali su una distanza, indipendente
dall’atlante considerato, tra storie di campo vicine. Una volta posto il concetto di distanza si può caratterizzare topologicamente lo spazio e definire in esso insiemi aperti (e.g. Pontryagin 1966). Se
non è compatta può essere conveniente restringere la trattazione a campi 0 8 a quadrato integrabile.
In secondo luogo, attraverso il concetto di derivata funzionale (e.g. Nash 1978), si può introdurre
quello di differenziazione in @ , che è a sua volta la base del concetto di spazi tangenti nei punti 0 di
@ . Sia
ACB
@EDF
A
una mappa da @ a , dunque un funzionale; il suo valore in un punto 0 di @ è indicato da GAN
02 M . Sia
H
H
H
0 una variazione infinitesima
APM di classe
A
IKJ in 0 , definita da funzioni ILJ
0 8 su e sia
0>O la
variazione corrispondente in 0>O . è chiamato un funzionale differenziabile su @ se, per tutti i 0 in
1
Una discussione completa richiederebbe una notazione supersimmetrica e l’introduzione dell’algebra di Grassman
(e.g. DeWitt 1992).
2
Con Q e R qui si denotano indici gruppali che contano le componenti di un vettore nello spazio astratto del gruppo,
piuttosto che indicare una particolare componente.
3
ANM
H
H
@ e per tutte le variazioni ILJ
0 ,
0>O può essere scritta nella forma (assumendo la convenzione di
ANM
somma sugli indici ripetuti)
ANM
T7U H
H
0>O H
H
0>OS
0 8 ?+<*VW+
(1.1)
0 8 ?+<
ANM
H
H
dove i coefficienti
sia i valori
0>O 0 8 ?+< nell’integrando sono sia i valori in + di funzioni su H
formali in + di distribuzioni su che sono indipendenti da 0 8 .
con un’approE’ inteso che l’integrale nella (1.1) è esteso a tutte le carte di un atlante di H
priata
di 0 8 ;+< nella (1.1), ossia
A
ANM partizione dell’unità come peso. Per ogni + in , i coefficienti
H
H
0XO 0 8 ?+< , sono usualmente chiamati derivate funzionali di rispetto a 0 8 nel punto +Z
A Y A .
Questi coefficienti possono essere anche considerati come “componenti del differenziale” d di A
nel punto 0 di @ ; nel seguito si adotterà quest’ultimo punto di vista.A In tale ottica il differenziale d
stesso è chiamato la derivata variazionale o derivata funzionale di
.
1.4 Notazioni e convenzioni
Spesso è necessario considerare diversi punti dello spaziotempo in un’unica formula. Punti differenti
saranno distinti ponendo un apice sul simbolo + . Le utili identità
H
H
H
0<[;+]\^
0 8 ?+<
H
[ ; +X_+ \ 8
H
dove ; +X_+ \ è la distribuzione delta di Dirac su H
(1.2a)
H
e [ è la delta di Kronecker, prenderanno la forma
8
H
0`[:a
0 8
H
[a
8
(1.2b)
b
A volte, quando la natura tensoriale dell’oggetto in considerazione è ovvia, si ricorrerà a una notazione
più astratta, utilizzando simboli senza alcun indice. In tali casi gli apici saranno posti sui simboli stessi
H
H
0 \
0
H
?+X_+ \ b
(1.2c)
Indicheremo inoltre derivazione rispetto a una coordinata +<c di una certa carta con una virgola seguita
da uno o più indici greci; analogamente la derivazione funzionale sarà indicata con una virgola seguita
4
1.4. Notazioni e convenzioni
da uno o più indici latini:
0>8
c"dfe + c
e
0`[
0 [ a g
g
]
e
k
d
i
a
j
h
a
+H \ +
A
e
e
H
H
8 [ a^lmlml n_a apoqa a a d
0 ora a a
0 8
(1.3a)
a
\H h
H
H
(1.3b)
A
H
H
0 n_a a b#b#b 0 [ a 0 8
b
(1.3c)
Spesso, inoltre, sarà conveniente mettere insieme il simbolo + con l’indice generico s e intendere
quest’ultimo sia come un’etichetta discreta per le componenti di campo sia come un’etichetta continua
per i punti dello spaziotempo. Ciò porta ad una notazione condensata del tipo
H
A
H
H
0 8
0 [
H
H
8 [ lmlml nto d
Infine l’equazione (1.1) prende la forma
APM
H
0>O<
8
[
H
H
H
A
H
H
H
0 o 0 n b#b#b 0 [ 0 8
(1.4a)
A
b
(1.4b)
M
H
>
0 O 0 8
8
(1.4c)
dove la convenzione di somma su indici ripetuti include anche un’integrazione su .
L’uso della notazione condensata mostra che la varietà spaziotemporale , indipendentemente da
qualsiasi campo fisico che può essere considerato su di essa, è un insieme di indici. I suoi punti sono
etichette che possono essere messe insieme agli indici delle componenti dei campi. Tale concezione
relazionale (e.g. Lusanna e Pauri 2003) dello spaziotempo fa sì che la nozione di topologie alternative
per lo spaziotempo come possibilità dinamiche alternative per un dato universo non abbia senso.
Variare la topologia di corrisponde a cambiare l’insieme degli indici, ma un diverso insieme di
indici significa una diversa teoria.
Non esiste un concetto analogo a quello di omotopia che permetterebbe, senza immergere in una varietà con un numero di dimensioni maggiore, di seguire una transizione da una topologia a un’altra o di sovrapporre ampiezze relative a diverse topologie. Dunque, nel seguito non sarà
considerata tale eventualità. Posta inoltre la foliazione
u
v
e applicando questo ragionamento alle formulazioni canoniche della teoria dei campi si può conclu5
dere che anche la topologia delle sezioni spaziali dello spaziotempo deve restare invariata.
Infine, quando non sia indicata con simboli più espliciti, in notazione condensata la trasposta di
un simbolo qualsiasi sarà indicata con l’apice w .
1.5 Equazioni dinamiche
Adottando il principio d’azione stazionaria (Hamilton 1834), la natura e le proprietà dinamiche di
un sistema dinamico classico sono completamente determinate specificando per esso un funzionale
d’azione x .
B
Un funzionale d’azione è un campo
scalare differenziabile a valori reali sullo spazio delle storie
@ , cioè una mappa differenziabile x @yDz
. La scelta del funzionale d’azione e persino di @ per un
dato sistema non è unica, ma dipende dalla scelta delle variabili dinamiche 0 8 usate per descrivere il
sistema e dal tipo di condizioni al contorno imposte ai limiti temporali e all’infinito spaziale se non
è compatta.
Tutti i possibili funzionali d’azione per un dato sistema, comunque, devono rendere famiglie equivalenti di storie dinamiche. Ognuna di queste famiglie è definita come l’insieme dei punti 0 di @ che
M
soddisfano
x{ >
0 O<
8
(1.5)
con una certa scelta, peraltro arbitraria, dei parametri di bordo. Tale insieme nel seguito sarà chiamato
sottospazio dinamico o shell dinamico e indicato con @{| ; si dirà che tutte le storie che soddisfano la
(1.5) sono on shell. Non si userà l’espressione mass shell in quanto, sebbene abbia senso nello spazio dei momenti per campi soddisfacenti equazioni lineari in uno spaziotempo piatto semplicemente
connesso e metricamente completo, in qualsiasi altro contesto è inappropriata.
Le equazioni (1.5) sono chiamato le equazioni dinamiche del sistema e si assumerà che siano
locali nel tempo, cioè che comprendano un numero finito di derivate temporali. In una teoria di
campo relativistica ciò implica anche la località nello spazio, il che limita grandemente le possibili
scelte per x . In tale lavoro si utilizzerà per x la forma generale
T}~
x
~
d
G0 8 10 8 * V +
c
modulo termini di bordo.
(1.6)
L’integrando , noto come funzione di Lagrange, è una densità scalare di peso unitario.
La condizione di località, imposta
in gran parte per avere un facile controllo sulla causalità, non è
~
l’unica condizione imposta su . Ulteriori criteri di natura fisica sono ad esempio
~
1. deve soddisfare i vincoli imposti dall’invarianza relativistica speciale o generale;
6
1.6. Trasformazioni di invarianza
~
2.
dovrebbe condurre a un’energia limitata inferiormente;
3. i punti stazionari dell’azione dovrebbero essere non banali ( 0
);
~
4.
dovrebbe condurre a una teoria quantistica unitaria consistente.
Poiché i termini di bordo non contribuiscono alle derivate funzionali, in quanto si richiede che
le 0 8 si annullino sui bordi del dominio di integrazione, le equazioni dinamiche per il funzionale
H
d’azione (1.6) si calcolano facilmente :
~
~
M
x{ >
0 O
8
e

e 0 8
e
e0 8 c c
`
b
(1.7)
1.6 Trasformazioni di invarianza
locale (e.g. Marathe
e Martucci 1992)
Sia ?@ l’insieme di tutti i campi vettoriali su @ . Un
A flusso
B

B] intorno aperto
di un campo vettoriale in Y@ è una mappa
FD @ , dove A2èun
A>B

Y
A e è un intorno aperto di 0 , tale che, <Yy , la mappa
D @ definita
attorno
allo
D
t{ è una curva integrale di attraverso . L’indice di gruppo non indica
da
una componente del vettore nello spazio astratto del gruppo ma, in una notazione astratta, serve
piuttosto a contare le componenti, rende cioè conto della dimensioneA
diB#questo
spazio di simmetria.

Si può dimostrare
A>¡
cheA>¡ YZA?@
e <Y @ esiste un flusso locale
D @ di in e la
/
mappa ¡ definita da ?¢
t{ <Yv è un diffeomorfismo di in un certo sottoinsieme
aperto di @ (l’orbita per dovuta all’azione di ).
Per i sistemi di interesse primario in questo lavoro esiste sullo spazio delle storie @ un insieme
infinito di flussi che lasciano invariato il funzionale d’azione. Più precisamente, esiste un insieme
infinito di campi vettoriali ovunque non nulli £N su @ tali che
x¤£¥K
(1.8)
avendo scritto i campi vettoriali come operatori che agiscono da destra su x ; in termini delle componenti £ 8 di questi campi, l’equazione (1.8) in notazione condensata diventa
x £ 8 8
7
b
(1.9)
L’indice che etichetta i flussi, come l’indice s , include un punto dello spaziotempo nella notazione
condensata e, dunque, spazia su un’infinità continua di valori.
In una notazione più esplicita l’equazione (1.9) ha la forma
T }
x £ 8 a *V4+ \ 8a
(1.10)
b
A causa di tale identità il funzionale d’azione resta invariato sotto variazioni infinitesime delle variabili dinamiche della forma
T }
H
H4¦ H4¦ a *VW+ \
0 8 £ 8 £ 8
(1.11)
b
a
I parametri infinitesimi
H§¦ di queste trasformazioni sono funzioni sullo spaziotempo a valori reali
e devono soddisfare ai bordi temporali e all’infinito spaziale le condizioni necessarie a garantire lo
scambio dell’ordine di integrazione in
H
T }
x¨
T }
*V4+ \ £ 8 *VW+
a
H§¦ *VW+ \
a
(1.12)
b
Una teoria con una lagrangiana invariante rispetto a certe trasformazioni locali, ovvero dipendenti
dallo spaziotempo, quali quelle considerate, è una teoria di gauge (cf. Veltman 1976). Nel seguito
di questo capitolo si vedrà che il formalismo utilizzato per trattare i gruppi d’invarianza infinitodimensionali della teoria è così generale da permettere di descrivere oltre alle teorie di gauge propriamente dette anche la relatività generale.
Le £ 8 saranno componenti di distribuzioni bitensoriali, bispinoriali o tensoriali e spinoriali, ossia
combinazioni lineari di delta di Dirac e di loro derivate. Nel caso del campo elettromagnetico, ad
esempio, dove il gruppo di Lie locale di invarianza è ©Kª4 e l’indice diventa soltanto un indice
spaziotemporale, in quanto il valore come indice di gruppo è sempre e solo 1, si ha:
H
0
c
£
c
H4¦
T }
£
c
;+X_+ \ H4¦
\ *VW+ \
£
c

H
? +X_+ \ c
b
(1.13)
È infatti noto che le variabili dinamiche da considerare in questo caso si riducono al potenziale
vettore «
c
?+< , e che le equazioni di Maxwell sono invarianti per trasformazioni
«
c
;+<¤DF«
c
?+<¬
8
e
c
;+<
(1.14)
1.7. Osservabili fisici
con

;+< paramentro arbitrario. Usando la (1.13) si ottiene
H
«
T }
c
H
? +X_+ \ c
T }
H§¦
H
;+ \ 2*V+ \ ovvero
«
c
?+<)DF«
c
H4¦
?+X+ \ ?+<¬
e
equivalente alla (1.14) purché si identifichi il parametro
H4¦
c

? + \ 2*VW+ \ c
?+<
H4¦
? +<
c
(1.15)
(1.16)
;+< con il parametro
H§¦
;+< .
1.7 Osservabili fisici
Una variazione delle variabili dinamiche della forma (1.11), lasciando invariato il funzionale d’azione,
non ha alcun ruolo nel determinare il sottospazio dinamico @{| . Tali variazioni, inoltre, mappano @|
in se stesso e sono quindi non fisiche. Ciò si vede variando le equazioni dinamiche
H
:x ¤
x{
8
8[
H
0 [ x{
8[
£ 8
H§¦ integrando per parti, e ricordando che per definizione x
8]¯ °§±
spazio dinamico si ha :
H
H§¦ ³x{ ´x{ £ [
[
8
8
b
®
(1.17)
0>|¥Y²@)| ; all’interno del sotto-
(1.18)
Nessun funzionale delle variabili dinamiche modificato da queste variazioni può essere una quantità
fisica. Viceversa, ogni funzionale che è invariante sotto le (1.11) sarà chiamato un osservabile fisico.
È utile distinguere due tipi di invarianti sotto le (1.11): invarianti assoluti e invarianti condizionati.
Un invariante assoluto « è un funzionale delle 0 che è invariante sotto le (1.11) in tutti i punti di @ .
Esso soddisfa
«L £ 8 µ0EY @
(1.19)
8
b
Il funzionale d’azione è sempre un invariante assoluto.
Un invariante condizionato ¶ è un funzionale delle 0 che è invariante nel sottospazio dinamico
@)| . Esso soddisfa un’identità della forma
¶P £ 8 x{ 8 8
8W·
µ0EY @
(1.20)
dove le sono certi coefficienti dipendenti dalle 0 .
·
Un osservabile fisico può essere sia un invariante assoluto che uno condizionato. In una situazione
fisica, infatti, ossia quando 0 giace in @| , non c’è distinzione tra i due.
9
1.8 Commutatore delle trasformazioni di invarianza
Prendendo il commutatore di due trasformazioni infinitesime di invarianza, corrispondenti rispettiHW¸:¦ H ¦ $
vamente ai parametri
e
indipendenti dalle 0 , si ottiene una trasformazione di invarianza
infinitesima del secondo ordinek :
H
M
M
0 8 £/7j£¥$O 8
H§¸³¦ $ H ¦ (1.21)
k
dove £]j£¥$O è il commutatore, o parentesi di Lie, dei campi vettoriali £N e £¥$ :
M
£/]¹£K$O<£¥=£¥$²£¥$£/
(1.22)
b
L’equazione (1.17) assicura che la (1.21) sia una trasformazione di invarianza; ciò si palesa nell’equazione
M
(1.23)
x £/7¹£K$O<
b
È da osservare che, pur considerando gruppi continui infinito-dimensionali, chiamati in matematica pseudo-gruppi, si sta sviluppando un quadro atto a evidenziarne le similitudini con i gruppi di
Lie ordinari. Data la generalità del formalismo impiegato, per avere un controllo delle proprietà dei
£/ , in modo da assicurarsi della validità di alcune caratteristiche che si vuole associare ai gruppi di
invarianza trattati, occorre imporre due condizioni sui campi vettoriali £º (DeWitt 1965).
La prima è dettata dalla richiesta che sia il sistema fisico stesso a definire il gruppo, il che comporta
che la rappresentazione fornita dalle 0 8 sia per definizione fedele. Il criterio di fedeltà in forma
infinitesima si traduce nell’assunzione che i campi vettoriali £P in ogni punto 0 di @ costituiscano
un insieme di vettori linearmente indipendenti nello spazio tangente » in :
°
£/
H4¦ H4¦ se e solo se
per tutti gli
b
(1.24)
La seconda imposizione è la condizione di completezza. Essa consiste nel richiedere che soltanto
il gruppo di invarianza sia responsabile di tutte le identità del tipo (1.9), ovvero che i £º generino tutti
i flussi che lasciano x invariato, ossia ancora che siano un sistema completo quando sono riguardati
come operatori.
Va precisato che per ogni sistema dinamico esistono campi vettoriali nello spazio delle storie @
che, come i £ , agendo sul funzionale d’azione danno risultato nullo, ovvero campi vettoriali ¼ della
forma
¼ [ x{ 8 [ (1.25)
8
10
1.8. Commutatore delle trasformazioni di invarianza
dove è un qualsiasi campo tensoriale antisimmetrico. Tali campi vettoriali, comunque, si annullano
sul sottospazio dinamico e non sono veri flussi; essi sono chiamati campi obliqui. In una notazione
più esplicita i campi ½ vanno indicati con ½ 8 [ #$ , dove gli indici latini esprimono (meglio contano) le
componenti rispetto a un riferimento nello spaziotempo e gli indici gruppali greci quelle nello spazio
atratto.
La condizione di completezza, allora, va intesa nel senso che tutti i veri flussi possono essere
espressi, in ogni punto di @ , come combinazioni lineari dei £ e dei in quel punto, ovvero che i £
formano un insieme completo puntuale di flussi modulo i campi obliqui.
Tale completezza implica che il commutatore nella (1.23) deve avere la struttura generale
M
(1.26)
£¥]¹£¥$WO<¿¾ÁÀ #$ £
x{ 8 #$
8
À
dove le ¾ À #$ sono campi scalari antisimmetrici negli indici e Â e i `#$ sono campi tensoriali su @
antisimmetrici nello scambio sia degli indici interni (in alto) che di quelli gruppali (in basso):
8 [ #$ [ 8 #$
[
[
(1.27)
b
I campi ¾ À #$ e S#$ devono inoltre soddisfare condizioni, ottenute con derivazione funzionale,
imposte dall’identità di Jacobi
M
M
M
M
M
M
(1.28)
£/] £¥$=¹£ O.O= ¥
£ $= £ ¹£/O.O £ £¥7¹£¥$WO.O<
b
À
À
À
L’analisi della (1.26) può essere portata avanti distinguendo tre casi, a seconda del carattere dei campi
in questione.
1. Commutatore del tipo I
S#$
`¤tÂ
¾ À #$ indipendenti dalle 0 .
e
M
La (1.26) si riduce a
£¥7¹£¥$O¾ À #$ £
À
(1.29)
l’identità di Jacobi soddisfatta dai £N implica un’identità di Jacobi sui campi ¾ À #$ :
Å
¾ÄÃ §Å ¾ $
À
¾ÄÃ $ÆÅ ¾
Å
Å
¾ÄÃ Å ¾ # $ À
À
b
(1.30)
I ¾ À #$ sono le costanti di struttura di un gruppo di Lie infinito-dimensionale (e.g. Omori 1979)
11
e determinano la rappresentazione del gruppo, di cui i £P sono detti funzionali ausiliari. Si
può ottenere la (1.30) dalla (1.29) sfruttando la (1.24); a tal fine occorre esprimere la (1.29)
in componenti £/8 , derivarla rispetto a 0 n , moltiplicare a sinistra per £ n e permutare ciclicaÀ
mente gli indici , Â e . Trascurando dapprima i termini nelle derivate funzionali seconde dei
£/ , conviene raccogliere gli altri termini in modo da sostituire tre volte al membro di sinistra
la (1.29). Portando tutto a sinistra e raccogliendo ancora per utilizzare altre tre volte la (1.29) si
ottiene
Ç
¾ÄÃ #$ ´
$ ¾ÄÃ ¾
Ã
Ã
ÃÀ
À
À
Sfruttando la (1.24) e l’antisimmetria dei ¾ À #$ si giunge alla (1.30).
£ 8ÈÇ ¹¾
Ç
¾ Ã$
Ä
¾
Ç
b
(1.31)
Per quanto riguarda i termini con le derivate funzionali seconde dei £º , sfruttando la commutazione delle derivate funzionali seconde, proprietà garantita dalla restrizione a teorie bosoniche,
e rinominando gli indici di campo muti nei termini preceduti dal segno meno invertendo le
etichette
£ n $ £ 8 £ [ £ n $ £ 8 £ [ £ [ $ £ 8 £ n
[n
[n
n[
À
À
À
si ottiene, dopo aver raggruppato i termini
(1.32)
£ 8 É £ n £ [ $ ²£ n £ [ $ ¬Ê£ 8 $ ³£ n £ [ ²£ n £ [ ¬£ 8 ³£ n $ £ [ £ n $ £ [ ´
[n
[n
b
À
À
À [n
À
À
(1.33)
Essendo ogni singolo termine nullo, si nota che quelli con le derivate funzionali seconde di £
non influiscono sulle equazioni dinamiche; sembra allora lecito porre
£ 8 [n
(1.34)
rendendo la rappresentazione del gruppo di trasformazione lineare.
Come si vedrà, nonostante le equazioni dinamiche dei sistemi considerati siano spesso (Yang–
Mills, relatività generale) non lineari, la linearità della rappresentazione è un importante strumento per la manifesta covarianza.
2. Commutatore del tipo II
S#$"
`¤tÂ
e
¾ À #$ dipendenti dalle 0 .
I campi ¾ À #$ non possono essere resi indipendenti dalle globalmente tramite una ridefini$
zione dei vettori di flusso della forma £ Ë£¥$ , dove gli sono indipendenti dalle 0 .
Come nel caso precedente, la proprietà di chiusura dell’algebra dei £º (1.29) vale ancora; essa
12
1.9. Orbite
implica che i vettori di flusso £N decompongono lo spazio delle storie @ in orbite, che in questo
caso, però, non sono varietà gruppali. La condizione
(1.24), comunque, implica che le orbite
M
sono parallelizzabili (e.g. Marmo et al. 1985). Una varietà m-dimensionale si dice parallelizzabile se esiste un insieme di m campi vettoriali indipendenti su di essa. Dalla definizione
segue che è parallelizzabile se il fibrato tangente3 è un fibrato vettoriale banale.O
3. Commutatore del tipo III
S#$
e
¾ À #$ dipendenti dalle 0 .
I vettori di flusso £ non formano un sistema chiuso eccetto che nel sottospazio dinamico @| ; soltanto esso è decomposto in orbite.
Teorie che rientrano negli ultimi due casi sono ad esempio quelle che descrivono la supergravità in
quattro o più dimensioni (e.g. Van Nieuwenhuizen 1984) con o senza campi ausiliari. Un formalismo potente che permette di trattare anche le algebre di gauge aperte è quello di Batalin–Vilkovisky
(Batalin e Vilkovisky 1981, Batalin e Vilkovisky 1984, Batalin e Vilkovisky 1985).
1.9 Orbite
L’unico caso discusso nel seguito è il primo; soltanto esso, infatti, ha le proprietà di regolarità necessarie, cioè ha una struttura geometrica semplice, atte a garantire l’esistenza di oggetti fondamentali
per lo sviluppo futuro quale un adeguato funzionale di misura. Si è notato che in questo caso vale la
(1.29) e i campi scalari ¾ À #$ , indipendenti dalle variabili dinamiche 0 , ossia dal punto nella varietà
Ì
, sono costanti di struttura di un gruppo di Lie infinito-dimensionale, noto come gruppo di gauge Í .
I vettori di flusso £ formano un’algebra di Lie chiusa Î , perciò decompongono lo spazio delle
storie @ in orbite, cioè nelle curve su @ che connettono ogni punto 0 a tutti gli altri punti ottenibili
applicando in 0 l’azione del gruppo Í di cui i £N sono i generatori infinitesimi.
A>¡ (e.g. Marathe e Martucci 1992) ogni elemento £P genera un gruppo globale
A ad un paraInfatti,
metro dei diffeomorfismi del gruppoA9¡di invarianza, determinato dal flusso globale 102 di £º ;
viceversa ogni gruppo a un parametro
di @ determina un unico elemento £ dell’algebra
dei geBA
neratori. La mappa definita da tale isomorfismo è nota come mappa esponenziale exp
da
B
A>¡
exp £/KD
Ï0|1
Ð0| origine di @
D
b
Il fibrato tangente Ñ¤Ò su una varietà Ò
è lo spazio fibrato (cf. Appendice A) avente come spazio base Ò
spazio totale l’unione degli spazi tangenti in tutti i punti di Ò .
3
13
@ , data
(1.35)
e come
Le orbite di @ dovute all’azione del gruppo di invarianza sono le curve integrali dei campi vettoriali
£/ .
La condizione di indipendenza lineare (1.24) fa sì che i £P siano una base nello spazio tangente
a @ in un certo punto 0 . Poiché i campi ¾ À #$ sono indipendenti dal punto 0 , in ogni punto 0 si avrà
nello spazio tangente sempre la stessa base (e.g. Carmeli 1982), dunque ogni orbita su @ è una copia
della varietà del gruppo di invarianza.
B di una misura su @ , viene
Quest’ultima caratteristica, essendo fondamentale per la costruzione
ÓÕ0E0¤6 di Í è noto come
riespressa in linguaggio gruppale. Il sottogruppo chiuso Í W3 ÓYÔÍ
°
gruppo di isotropia di 0Y@ . Se, µ0Y@ , Í Ö3W('6 , indicando con ( l’elemento identità di Í , si
°
dice che il gruppo Í agisce liberamente su @ . Se l’azione di Í è libera, allora (e.g. Trautman 1984) le
orbite di Í in @ , cioè gli elementi (punti) dello spazio quoziente ×Øu@ Í , sono diffeomorfe a Í .
Le trasformazioni (1.11) costituiscono le azioni infinitesime del gruppo di gauge del sistema; in
ogni caso di interesse queste azioni possono essere integrate per rendere una realizzazione globale
dell’intero gruppo. Campi connessi da trasformazioni del tipo (1.11) sono fisicamente identici, essendo uno il trasformato di gauge dell’altro; tutti i punti lungo un’orbita generata da un vettore di flusso
£/ sono diverse rappresentazioni matematiche delle stesse informazioni fisiche che caratterizzano un
certo stato del sistema.
È allora naturale introdurre patches di coordinate, o carte, sullo spazio delle storie @ che riflettano
la decomposizione in orbite: soltanto le coordinate che variano al variare dell’orbita contengono
informazioni sulla fisica del sistema dinamico. Più precisamente, si introducono, in regioni aperte di
@ , le variabili ÙÚ e Û
in luogo delle variabili di campo 0 8 . Le nuove variabili sono tali che Ù=Ú , che
sono invarianti assoluti, etichettano le orbite; le Û
individuano il punto sull’orbita.
Le Ù Ú sono in molti casi necessariamente funzionali non locali delle 0 8 . La loro esistenza, comunque, basta in principio per caratterizzare la teoria e non se ne richiede, in genere, una costruzione
esplicita.
Sia Ü
un campo scalare qualsiasi in @ . Nella carta avente le Ù Ú e le Û
come coordinate si
useranno le notazioni abbreviate
H
Ü Úd
H
Ü
Ù Ú
H
Ü q
H
d
Ü
Û b
(1.36)
Le nuove coordinate verificano le seguenti identità:
Ù Ú 0 [ Û
Ú
8
0 [ q
8
14
H
8
[
(1.37)
1.9. Orbite
Ý
H
Ú Þ
Ù Ú 0 8 iÞ Ù Ú 0 8 r$
8
8
H
Û 0 8 iÞ Û 0 8 q$ $
8
8
b
H H definiscono in questa carta flussi che giacciono sulle orbite; essi,
Û
I campi vettoriali ß
d
dunque, devono essere esprimibili come combinazioni lineari dei vettori di flusso £ :
$
ß¥£¥$à
(1.38)
b
Una forma alternativa di questa equazione è
$
0 8 p{£ 8 $ à
(1.39)
da cui si ricavano le seguenti identità
H $ Û
$ Û
0 8 r$¤Û
8
Invertendo la (1.38) si ha
£/¥ß¨$S;à
$
tá
£ 8 à À$
8
À
(1.40)
b
¸
b
¸
(1.41)
$
$
Dalla arbitrarietà dei coefficienti à , si ha che la matrice di passaggio ;à á tra i due sistemi di
vettori £ e ß¨ è ambigua; ovvero, nonostante le Û
siano ben definite, i vettori di flusso ßÔ non
sono univocamente determinati. Tale ambiguità si riflette nella costruzione di un opportuno funzionale
di misura.
La (1.38) mostra che le variabili Ù=Ú e Û
non possono generalmente costituire un sistema globale
di coordinate, valido sull’intera varietà @ . La richiesta di globalità può essere soddisfatta soltanto nel
primo caso dei commutatori dei flussi; essa, infatti, equivale a
M
ß]1ß¨$WO<
b
(1.42)
I vettori di flusso ßâ generano un gruppo abeliano di trasformazioni soltanto quando le costanti di
struttura ¾ À #$ sono nulle.
oltre la carta
In generale, tentando di estendere le Û
¸ in cui sono definite, si incontrano singolarità
$
nel sistema di coordinate risultante e, quindi, ?à á può diventare singolare. Lo stesso accade con
le Ù Ú ; tale complicazione, però, non si presenta quando la varietà delle orbite stessa × può essere
coperta da una singola carta globale. Nel seguito si assumerà di poter sempre soddisfare quest’ultima
richiesta.
15
1.10 Lo spazio delle orbite
Il gruppo di Lie infinito-dimensionale Í di cui ¾ À #$ sono le costanti di struttura, noto come gruppo di
gauge, o più correttamente come gruppo proprio di gauge, è definito esponenziando le trasformazioni
H§¦ (1.11) (con
indipendenti dalle 0 ) e prendendo i prodotti delle risultanti mappe esponenziali. Il
gruppo proprio di gauge è visto come agente su @ e la sua azione lascia il funzionale d’azione x
invariato.
Il gruppo di gauge pieno (o completo) è ottenuto aggiungendo al gruppo proprio di gauge tutte
le altre trasformazioni di @ in se stesso, indipendenti dalle 0 , che lasciano x invariato e che non
emergono da simmetrie globali. Gli elementi del gruppo proprio di gauge sono chiamati talvolta
piccole trasformazioni di gauge, mentre gli elementi del gruppo di gauge pieno che non fanno parte
del gruppo proprio sono chiamati grandi trasformazioni di gauge. Quando queste ultime esistono il
gruppo di gauge ha componenti disconnesse; in tal caso ciò vale anche per @ .
Lo spazio delle storie @ può essere visto come un fibrato principale (cf. Appendice A) le cui fibre
sono le orbite. Lo spazio base di questo spazio fibrato è una varietà che ha le orbite come suoi punti,
chiamata spazio delle orbite × . Il funzionale d’azione x è un campo scalare su questo spazio. Dal
paragrafo precedente sembrerebbe evincersi che la vera fisica del sistema abbia luogo in tale spazio;
possono, comunque, esistere osservabili fisici che restano invariati sotto piccole trasformazioni di
gauge ma non sotto quelle grandi. In principio, dunque, dovrebbe essere assegnato uno spazio base
fisico separato ad ogni componente di @ .
In quanto varietà gruppale Í ammette una metrica invariante riemanniana o pseudo-riemanniana;
essa può essere estesa in una infinità di modi a una metrica invariante su @ . Una richiesta che semplifica fortemente l’analisi di qualsiasi formalismo in cui è impiegata è che la metrica estesa sia ultralocale, ovvero proporzionale a una delta di Dirac non derivata, con coefficiente che non comprende
derivate dei campi rispetto alle coordinate spaziotemporali. Quando questa richiesta è soddisfatta, la
metrica estesa è unica, a meno di un fattore di scala, nel caso di campi di Yang–Mills e appartiene a
una famiglia a un parametro nel caso gravitazionale.
Si denoti questo tensore metrico con e con le sue componenti nella carta specificata dalle
8[
variabili dinamiche 0 8 . L’invarianza gruppale per equivale ad avere la relazione
ãåäµæ
£ n y £ n E £ n (1.43)
[
8[ n
8n
n
[
8
ã
per la cui comprensione è bene precisare che indica la derivata di Lie e con la notazione degli indici
8[

astratti equivale a . Una connessione su uno spazio fibrato permette di separare i campi come
8[
appartenenti a uno spazio verticale e a uno orizzontale (cf. Appendice A). I £º sono vettori di Killing
16
1.10. Lo spazio delle orbite
per la metrica e campi vettoriali verticali per il fibrato principale @ . Inoltre, la scelta di una metrica
invariante su @ porta immediatamente a una famiglia naturale di 1-forme di connessione ç su @ :
ç
dove £
8
¥
8[
8
£
8
$#
${è
(1.44)
$#
£ [ eè
è la funzione di Green di un certo operatore introdotto nel paragrafo 2.6.
Un vettore orizzontale può essere ottenuto da un qualsiasi altro vettore con l’applicazione dell’operatore
é
di proiezione orizzontale:
8 [
si noti che
ç
é
8 ²
£ 8 ç
[
®
[
(1.45)
é
8 [
8
H
8 £ [ [
(1.46)
b
Nel senso del paragrafo precedente sono i campi orizzontali che hanno contenuto fisico, quelli verticali non influiscono sulla dinamica del sistema.
Poiché la metrica su @ è un invariante del gruppo, le sue componenti orizzontali possono essere
proiettate sullo spazio base per avere una metrica & su × :
ì
êëë
ëëí
&
Þ-0 8 0 [ pÞ
Ú 8[
é
é
é
n o u
n u Ê£ 2ç
8n
8[
8
8[
[
[
8 n_o [
Ú
(1.47)
b
Usando queste identità, la (1.37), la (1.9) e la (1.39) si verifica facilmente che
ì
êëë
ëëí
Þ
&
inversa di &
Ú
Þ K
Ú
Þ . Affinché &
& Ú
Þ
Ú
Þ
Ù Ú 8 [ Ù
8
Þ
Þ sia una metrica su ×
p{
[
(1.48)
& Ú
con &Ú
Þ
Ù Ú & Þ¬Ù
8 Ú
8[
[
essa deve essere indipendente dalle Û :
o equivalentemente
ãÕäµæ
& Ú
Þ
(1.49)
Þ
dove & Ú , come pure le Ù Ú , vanno intese come scalari sotto l’operazione di derivazione di Lie.
ãÁäµæ
ãåäµæ
8 [î
Ù Ú ïÙ Ú¬£/ L’ultima identità segue dalla (1.48) usando le proprietà
e
.
8
8
17
1.11 Identità di Ward classiche
La validità della posizione (1.34) non è ben chiara, non è noto, infatti, se si possa sempre rendere la
realizzazione lineare; certi risultati nella teoria dei gruppi di Lie compatti finito-dimensionali indirizzano in tal senso. Palais e Mostow (Palais 1957, Mostow 1957) hanno mostrato che gli spazi di
realizzazione transitivi 4 possono sempre essere immersi in spazi vettoriali euclidei su cui il gruppo
agisce linearmente e in modo omogeneo e ortogonale. In altre parole le realizzazioni possono essere
immerse in rappresentazioni matriciali reali. Inoltre, risultati di questo tipo possono di solito essere
estesi a realizzazioni e a rappresentazioni finito-dimensionali di gruppi di Lie semi-semplici, compati
o meno.
Se risultati simili potessero essere estesi a realizzazioni dei gruppi di gauge, allora si potrebbe
semplicemente aggiungere abbastanza campi in più a sistemi del caso I da rendere la realizzazione
lineare. I campi aggiuntivi potrebbero essere resi dinamicamente innocui con l’inclusione nell’azione
di campi appropriati con funzione di moltiplicatori di Lagrange.
C’è un’unica differenza tra il caso finito-dimensionale e quello della teoria dei campi che non può
apparentemente essere eliminata: nell’ultimo caso le variabili 0 8 non possono essere sempre scelte
in modo tale da avere una realizzazione che sia simultaneamente lineare e omogenea. Nel caso del
campo di Yang–Mills la legge di trasformazione infinitesima di gauge include un termine inomogeneo
che non può essere rimosso da alcuna scelta delle variabili. Nel caso del campo elettromagnetico c’è
soltanto il termine inomogeneo.
È già stato notato che scegliere una realizzazione lineare (1.34) rende la covarianza manifesta. Infatti,
derivando funzionalmente le identità (1.9) ripetutamente, si ottiene, integrando per parti, la catena di
identità
H
H
´
x 1
x2j
8 d
8 [åd
x{
x{
8[
8[ n
£ [
£ n
H§¦ H4¦ H§¦ x{ £ [
[
8 §H ¦
x{ £ n
8n
[
(1.50a)
(1.50b)
b#b#b
Tali identità mettono in relazione derivate funzionali di x di ordine adiacente; quelle di ordine tre o
superiore sono note come funzioni di vertice nude e le (1.50) sono le identità di Ward nude o classiche.
Le leggi di trasformazione dei vari simboli possono essere dedotte subito dalla posizione e dalla
natura dei loro indici.
Questi spazi sono le varietà ottenute considerando le ðñ come coordinate di punti in una certa varietà. Una rappresentazione fornita dalle ð]ñ è transitiva se, per ogni coppia di punti nello spazio di realizzazione, esiste una trasformazione
del gruppo che li connette.
4
18
1.12. Teorie di gauge
Derivando funzionalmente la (1.29), stante la (1.34), si ottiene
£ 8 £ n $ ²£ 8 $ £ n ¿¾ À #$ £ 8
[
[
n
n
À [
(1.51)
che implica che le matrici ³£/8 generano una rappresentazione del gruppo di gauge. È da speci[
ficare che in questo ambito il concetto di rappresentazione non è quello usuale matriciale di rappresentazione lineare omogenea, bensì una sua generalizzazione (DeWitt 1965). La rappresentazione
generata da É£ 8 è chiamata definitoria e la rappresentazione controgradiente codefinitoria. Una
[
rappresentazione controgradiente rispetto a un’altra è tale che , moltiplicando un suo elemento per
un corrispondente elemento dell’altra, si ottiene uno scalare sotto trasformazioni generate dal gruppo di cui esse sono rappresentazioni, ovvero il prodotto scalare di due elementi che trasformano
controgradientemente è un invariante del gruppo.
Le (1.50) mostrano che le derivate funzionali degli invarianti assoluti si trasformano secondo il
prodotto diretto di rappresentazioni codefinitorie. L’unica altra rappresentazione qui introdotta, data la
sua importanza e l’esteso utilizzo nelle teorie di gauge, è quella aggiunta (e.g. Sudarshan e Mukunda
1974), basata sull’operazione di coniugazione, che fornisce una realizzazione lineare naturale del
gruppo sulla sua algebra di Lie (cf. Appendice C).
I generatori infinitesimi della rappresentazione aggiunta, detta anche regolare, sono dati dalle
matrici (cf. Weinberg 1998)
£ Ú
d
$
b
À
La stessa equazione (1.29) può considerarsi una legge di trasformazione :
H
£ 8 £ 8 £ 8 $
[
H§¦ $
¹¾
£ 8 $ £ [ [
H§¦ $
¾ÁÀ $Æ £ 8
À
H§¦ $
(1.52)
(1.53)
da cui si deduce che le componenti ³£ 8 si trasformano secondo il prodotto diretto della rappresentazione definitoria e della rappresentazione coaggiunta.
Più in generale, gli indici di campo (latini) e gli indici di gruppo (greci) segnalano rispettivamente
la rappresentazione definitoria e quella aggiunta quando sono in alto, quando sono in basso indicano
le rappresentazioni controgradienti.
1.12 Teorie di gauge
Prima di passare alla descrizione della teoria dinamica classica e quantistica dei campi, è bene chiarire
ulteriormente il concetto di invarianza di gauge e in che modo esso comprenda sia le usuali teorie di
19
gauge sia la relatività generale. Una breve digressione storica, il formalismo degli spazi fibrati e
l’analisi delle differenze dei gruppi di invarianza nei due casi, sono gli ingredienti adatti allo scopo.
L’invarianza di gauge è il principio fisico che governa le forze fondamentali tra particelle elementari. L’idea di invarianza di gauge fu proposta da Weyl già nel 1919 (Weyl 1919), quando le sole
particelle elementari note erano l’elettrone e il protone e le sole interazioni fondamentali della natura
erano ritenute l’elettromagnetismo e la gravitazione, nella forma, quest’ultima, della relatività generale. Poiché la teoria di Einstein descrive gli effetti gravitazionali attraverso una connessione che dà
l’orientazione relativa tra riferimenti locali nello spaziotempo, Weyl si chiese come fosse possibile
associare altre forze, come l’elettromagnetismo, a una connessione simile. Generalizzando il concetto che tutte le misurazioni fisiche sono relative, Weyl propose che anche la magnitudine assoluta, o
norma, di un vettore fisico dovrebbe dipendere dalla sua localizzazione nello spaziotempo. Sarebbe
allora necessaria una nuova connessione per mettere in relazione le lunghezze di vettori in posizioni
differenti.
Questa idea divenne nota come invarianza di scala (eich) o di gauge. Il vero significato della
proposta di Weyl risiede nella proprietà locale di simmetria di gauge e non nella particolare scelta
della norma o gauge come variabile fisica. L’assunzione di località è una condizione così potente che
determina non soltanto la struttura generale delle teorie di gauge, ma anche molte loro caratteristiche.
Poco dopo questa proposta Einstein e altri (cf. Bergmann 1979) mostrarono che l’idea dell’invarianza di scala era in conflitto con fatti fisici noti; alcuni anni dopo Bergmann notò che l’interpretazione originaria di Weyl si scontrava anche con la teoria quantistica. La descrizione ondulatoria
della materia definisce una scala naturale per una particella attraverso la sua lunghezza d’onda Compôõ
ô
õ
, con
massa della particella, velocità della luce e ó costante di Planck. Poiché
ton òfó
la ò è determinata dalla massa della particella, non può dipendere dalla posizione; ciò contraddice
l’assunzione di Weyl.
Con lo sviluppo della meccanica quantistica Weyl e altri (Weyl 1929, Fock 1927, London 1927)
diedero un nuovo senso all’idea originale: invece di un cambiamento di scala, una trasformazione di gauge andava reinterpretata come una variazione nella fase della funzione d’onda, resa una
variabile locale. Poiché la fase non è direttamente coinvolta nella misurazione di una quantità spaziotemporale come la lunghezza di un vettore, le obiezioni precedenti decadono. L’interpretazione
dell’elettromagnetismo come una teoria locale di gauge trovò una conferma sperimentale nell’effetto
Aharonov–Bohm (Aharonov e Bohm 1959) verificato ad opera di Chambers (Chambers 1960), che
mostra la stretta relazione tra il potenziale e la variazione della fase.
Le moderne teorie di gauge prendono il via dalla proposta di Yang e Mills (Yang e Mills 1954)
di descrivere anche l’interazione nucleare forte come una teoria locale di gauge, postulando che il
gruppo locale di gauge in tal caso fosse il gruppo ©KGö di spin isotopico. Il risultato più importante
20
della teoria di Yang–Mills è l’idea che la connessione di spin isotopico, e dunque il potenziale, agisce
come il gruppo di simmetria ©KGö . L’estensione di tale concetto ad altri gruppi di Lie, quale il
gruppo di simmetria di colore ©KÏ÷ è il nucleo delle teorie locali di gauge.
L’idea di Weyl nacque dal tentativo di associare strutture geometriche simili a quelle della relatività generale ad altre interazioni. Per chiarire ulteriormente questa similitudine si consideri il gruppo
di simmetria di gauge {©KÏö ; esso descrive rotazioni in uno spazio interno tridimensionale. I valori
dei tre angoli che specificano la rotazione possono essere considerati come le coordinate di un punto
in uno spazio astratto tridimensionale. Ogni punto corrisponde a una distinta rotazione a partire da
un valore iniziale arbitrario fissato dell’isospin; gli stati di isospin possono così essere identificati con
i punti in questo spazio angolare. Lo spazio di simmetria interna del gruppo {©KÏö appare come
l’interno di una sfera tridimensionale; esso fornisce il sistema di coordinate locali non inerziale per i
gradi interni di libertà.
L’interazione tra una particella e un campo di gauge esterno apparirebbe, a un immaginario osservatore nello spazio interno, come una semplice rotazione delle coordinate locali. L’ammontare della
rotazione è determinato dall’intensità del potenziale esterno e la variazione relativa nelle coordinate
interne tra due punti dello spaziotempo è data proprio dalla connessione (cf. Moriyasu 1983). Si vede, allora, la forte somiglianza tra la descrizione geometrica della relatività generale e questa visione
degli spazi interni delle teorie di gauge.
In generale per descrivere una teoria di gauge correttamente conviene usare il formalismo degli
spazi fibrati e la teoria delle connessioni su di essi, sviluppata da Ehresmann nel 1950 (Ehresmann
1950). Usando la teoria classica delle connessioni e della curvatura impiegate da Einstein nella relatività generale, infatti, Ikeda e Miyachi (Ikeda e Miyachi 1956, Ikeda e Miyachi 1962) collegarono
la teoria di Yang–Mills a quella delle connessioni. Nei primi anni settanta del ventesimo secolo
l’acquisizione di questi concetti in termini del lavoro di Ehresman condusse alle moderne teorie di
gauge.
Sia ïF_&5 una varietà pseudo-riemanniana e un gruppo di Lie Í , con relativa algebra di Lie Î ,
sia il gruppo di gauge in esame. Sia øP?FÐÍ) un fibrato principale (cf. Appendice A) avente come
gruppo di struttura il gruppo di gauge Í ; ø in letteratura è talvolta chiamato spazio dei fattori di fase.
Una connessione in ø è chiamata una connessione di gauge, la 1-forma di connessione ç è chiamata
la forma di connessione di gauge o semplicemente la connessione di gauge.
Un gauge globale o semplicemente un gauge è definito come una sezione ù-YZú¤Ïø" , lo spazio
delle sezioni di ø . Il potenziale di gauge « su nel gauge ù è ottenuto con il pull-back della
connessione di gauge ç su ø in tramite ù , ossia «ûFùü§ýç{ . Più esplicitamente, usando una
notazione più familiare e indicando le componenti di tale connessione con « , i potenziali di gauge
«þ
c
si possono scrivere come 1-forme «º«þ
c
*+]c . Un gauge globale, e dunque il potenziale di
21
gauge su , esiste se e solo se il fibrato è banale.
Un gauge locale è definito come una sezione del fibrato øP?FÐÍ) ristretta a un certo sottoinsieme
aperto
¿ÿ . Gauge locali definiti per le rappresentazioni

¸ locali ^ 8 _ 8 8 di ø esistono sempre.
Sia Yú¤. Ðø" un
di gauge
gauge locale; allora
¡ la 1-forma ü Y
. tÎµ 5 è chiamata il potenziale
¡

8
8
nel gauge locale ed è indicata con « . Se il gauge locale é dato, spesso si indica « con « e lo si
chiama un potenziale di gauge locale.
Sia Ó
d ç la 2-forma di curvatura di ç con valori Anell’algebra di Lie Î del gruppo Í ; Ó è
A
chiamata il campo di gauge su ø . Esiste un’unica 2-forma su , con valori
nel fibrato associato
A
delle
algebre di Lie *{ø , associata alla 2-forma di curvatura Ó tale che ù . La 2-forma
Y
ïF *øLA è chiamata il campo di gauge su corrispondente alla connessione di gauge ç .

Il campok di gauge è globalmente definito su sebbene, in generale, non vi sia un corrispondente
potenziale di gauge globalmente definito su .
In letteratura talvolta i potenziali di gauge qui introdotti sono chiamati campi di gauge e i campi
di gauge sono chiamati tensori dell’intensità del campo.
I potenziali di gauge e i campi di gauge acquisiscono significato fisico solo dopo aver postulato le equazioni di campo da essi soddisfatte. In nessun caso vi è un metodo matematico naturale
per assegnare equazioni di campo a campi di gauge. La curvatura riemanniana di una varietà spaziotemporale , ad esempio, è il campo di gauge corrispondente al potenziale di gauge dato dalla
connessione di Levi-Civita sul fibrato dei riferimenti ortonormali di ; essa, però, non descrive il
campo gravitazionale finché non è soggetta alle equazioni di campo di Einstein.
Il gruppo ÜNs
ïøL dei diffeomorfismi di ø
è troppo ampio per essere usato come gruppo di
trasformazioni di gauge, poiché esso mischia le fibre. La richiesta che le fibre vengano mappate in
fibre può essere espressa dalla condizione che il seguente diagramma commuti:
ø
W
ÆD
ossia
ø
W
ÆD
}
b
(1.54)
}
Quest’ultima condizione non dipende dalla struttura di fibrato principale di ø e può essere, quindi,
soddisfacente la (1.54) è un automorfismo
imposta su qualsiasi spazio fibrato. La coppia dello spazio fibrato; in tal caso è chiamato un diffeomorfismo proiettabile o trasformazione di P. I
5 é lo spazio delle k-forme su a valore in .
22
}
diffeomorfismi proiettabili formano un gruppo ÜPs
}
ÜPs
Ïø"
3
d
YÜPs
Ïø" , definito da
B
La condizione (1.54) è soddisfatta anche nel caso in cui
"!]&5´
"!<:&

Ïø"
è proiettabile 6
YÜNs
(1.55)
b
ïøL è Í -equivariante, ossia
:#! Yøå&PYÍ
(1.56)
b
Si giunge così alla definizione dell’insieme «$! ïøL attraverso

B
« ! Ïø"
%
3 Y-ÜPs
Ïø"
è Í equivariante 6
(1.57)
d
b

L’insieme %
« ! Ïø" è un gruppo chiamato il gruppo delle trasformazioni di gauge generalizzate. Dal
« ! Ïø" è proprio il gruppo degli automorfismi
punto di vista della geometria differenziale, il gruppo $
}
(biezioni continue lineari) del fibrato principale ø . La proprietà di preservazione delle fibre della
trasformazione di gauge generalizzata
determina completamente il diffeomorfismo
.

&Ïø" come il sottogruppo %
« ! |4ïøL del gruppo
Si definisce gruppo delle trasformazioni di gauge

delle trasformazioni di gauge generalizzate «%! ïøL in tal modo
}
}

B
(1.58)
&ïøL
« ! |§Ïø"´3 Y-«%! ('S
$
sÉ* 6
d
b

&Ïø" è un sottogruppo normale di %
« ! ïøL . Dalla definizione è chiaro che Y)&Ïø" se e solo se è
una mappa regolare, che preserva le fibre, di ø in se stesso e che commuta con l’azione del gruppo di
gauge Í su ø , ovvero
soddisfa le condizioni
Ý
('!Æ&5´
*'9!Æ&
+'îYøå&ºY-Í
Un’interpretazione fisica di una trasformazione di gauge
(1.59)
b
Y,&ïøL è che
è un cambiamento
locale (puntuale) di gauge su . Per tale ragione Í è chiamato anche un gruppo locale di simmetria
e &Ïø" è chiamato il gruppo di gauge locale. Quest’ultima è la terminologia utilizzata nell’analisi
dei gruppi di invarianza infinito-dimensionali basata sul lavoro di DeWitt ed è questa che sarà adottata
nel seguito.
Una trattazione matematicamente più dettagliata delle teorie di gauge e della loro dinamica ottenuta con il pricipio di azione stazionaria si può trovare in Bleecker (1981).
23
1.13 Teorie di Yang–Mills e gravitazione
Un esempio importante di teoria di gauge è rappresentato da una teoria di Yang–Mills. Si indichi con
Ïø" lo spazio dei potenziali di gauge o connessioni su ø definito da
B
¸
(1.60)
Ïø"
3#çY
ïøÕ_Î¬ ç è una connessione su P 6
d

esso è in questo caso lo spazio delle configurazioni.
Se ç è una connessione di gauge su ø , allora in un gauge locale Y-ú^tøL si ha il corrispondente
potenziale locale di gauge
¡

¸
« ü çY
^. *Ïø"_
(1.61)

b
¡
Localmente¡ una trasformazione di gauge &ºY/&
azione su «
si riduce a una funzione &
è data da (cf. Appendice C)
¡
¡
¡
& !§« C *¤& ¡
«
¡0
& ü
y
su a valori in Í e la sua
(1.62)
0
è la 1-forma canonica su Í . Di solito si indica la trasformazione di gauge come
¸
¸
« 1
&L!§«&«Á&]á ²*& &]á
d

sottintendendo la sezione .
dove
(1.63)
Potenziali correlati da una trasformazione di gauge sono fisicamente equivalenti, essi giacciono
- & .
nella stessa orbita; lo spazio base del fibrato principale di questa teoria è allora
La teoria della relatività generale di Einstein ha una visione geometrica della gravità classica come
di un campo metrico. Sono stati proposti diversi modi di esprimerla come teoria di gauge, ad esempio
considerando la varietà spaziotemporale come lo spazio base di un fibrato vettoriale complesso avente
come gruppo di struttura 32ÁÏö=ÐI" (Carmeli 1982). Una alternativa considera il fibrato principale di
tutti i riferimenti ortonormali (tetradi o Vierbein) su avente come gruppo di struttura il gruppo di
Lorentz 4º:ªÐ÷ (cf. Trautman 1984) e, oltre alla curvatura, l’ulteriore struttura di torsione, che nelle
teorie di gauge delle altre interazioni fondamentali non esiste. Si può anche considerare la gravitazione come un campo di Higgs–Goldstone corrispondente a una rottura spontanea delle simmetrie
dell’universo (cf. Sardanashvily e Zakharov 1992).
Il gruppo di simmetria dello spaziotempo è un gruppo più vasto (Bergmann e Komar 1972) di
quello usualmente considerato. Esso comprende trasformazioni della forma
+
?+
$
_& g ?+
c
24
_
(1.64)
1.13. Teorie di Yang–Mills e gravitazione
con + considerati funzionali dell’intero campo metrico & g ?+ . Le trasformazioni della forma + c
?+]c formano evidentemente un sottogruppo, sebbene non normale.
La teoria della relatività generale viene riguardata avente come simmetrie le trasformazioni del
tensore metrico & g a seguito di trasformazioni generali di coordinate, ovvero viene privilegiato il
c
65
punto di vista passivo ïÜPs
? _ rispetto a quello attivo ÏÜPs
ï del gruppo ÜNs
? .
Ú
In generale si considera qui una teoria di gauge della gravitazione utilizzando un fibrato principale
avente come spazio base l’unione delle classi di equivalenza di tutti i tensori metrici, soluzioni delle
equazioni di Einstein, generate da diffeomorfismi passivi (Lusanna e Pauri 2003). Ciò basta a caratterizzare la teoria perché, nonostante le considerazioni precedenti sulle simmetrie più ampie esistenti,
si ha
7
7
7
:5
ô
ô9 8
ô
(1.65)
sG(
ÜPs
ï )
sG(
sG(
ÜPs
? Ú
b
Ciò che differenzia le teorie di Yang–Mills dalla gravitazione è la natura dei rispettivi gruppi
di gauge (Milnor 1984). Nel primo caso, infatti, si ha a che fare con gruppi di Campbell–Baker–
Hausdorff, ovvero con gruppi di Lie infinito-dimensionali analitici aventi un sistema di coordinate locali canonico dato dalla mappa esponenziale, con l’operazione di prodotto in un intorno dell’elemento
identità ; data dalla formula di Campbell–Baker–Hausdorff
M
M M
ª
ª
(Æ<
+ '>" ==(Æ<
+ '>" >Ä¤(Æ<
+ '>" =Ä?
>¬
=S
>ÁO
=S =S >ÁO^O7
ö
ª4ö
M
M
" S
= >¢O.Oýµ
>
b#b#b
b
(1.66)
Ciò può essere provato come nel caso finito-dimensionale (e.g. Hausner e Schwartz 1968); in particolare la struttura locale del gruppo nell’intorno di ; è completamente determinata dall’algebra di
Lie.
Nel secondo caso, invece, il gruppo di invarianza ÜPs
ï
è un gruppo di Lie infinito-dimensionale
non analitico e che non ha una carta di coordinate canonica nell’intorno di ; , ossia non è vero che ogni
ï appartiene a un sottogruppo a un parametro gediffeomorfismo prossimo all’identità di ÜPs
nerato da un generatore infinitesimale dell’algebra di Lie di ÜPs
proprietà di regolarità presenti nel caso di Yang–Mills.
ï
. Non vi sono, dunque, le
Nonostante la stretta similitudine tra le due teorie e la possibilità di descriverle con un unico formalismo, al livello quantistico le teorie di Yang–Mills e la gravitazione sono profondamente diverse,
essendo le prime perturbativamente rinormalizzabili, mentre la seconda non lo è.
25
1.14 Misura invariante sullo spazio delle storie
Poiché in capitoli successivi, nel trattare la teoria quantistica utilizzando la somma sui cammini alla
Feynman, occorrerà integrare sullo spazio @ , è opportuno terminare la discussione sulla struttura
geometrico-differenziale
dello spazio delle storie con la costruzione di un adeguato funzionale di
M
misura @ 0>O su di esso. Sebbene una formulazione matematica precisa di una misura su una varietà
infinito-dimensionale non sia ottenibile, si cercherà di esporre le richieste minime di regolarità e di
sfruttare l’analogia con i gruppi di Lie ordinari fornita dalla (1.29).
Innanzitutto si ricordi che le grandezze fisiche devono esssere invarianti per trasformazioni generate dai vettori di flusso £ , ciò equivale a imporre che siano costanti lungo le curve integrali di £ 8 ,
ovvero che la derivata di Lie lungo i vettori di Killing £ 8 sia nulla :
ãä¬æ
-A@2 £ 8 ?@£ 8 8
8
@
b
(1.67)
Il rigore matematico, quindi, porterebbe a scegliere @ tale che i flussi £º abbiano divergenza nulla.
Quando ciò non accade, infatti, la contrazione £ 8 , data la natura dei £ di combinazioni lineari di
8
delta di Dirac o di loro derivate, è una somma di tali distribuzioni con argomenti coincidenti, il che
non ha un senso matematico ben definito.
Seppur formalmente, le (1.67) sono integrabili solo nel caso Ù dei commutatori dei flussi. In primo
luogo, una volta introdotta una metrica invariante , trattando campi bosonici reali, si può ottenere
8[
una misura ponendo
M
@
0>O<CBEDGFW?
8[
b
(1.68)
Frequentemente è la matrice che compare nel termine con le derivate funzionali rispetto alle 0
di ordine più elevato in x , che si vedrà contribuire fortemente alla determinazione della dinamica
8[
delle 0 . Nuovamente, essendo tale termine proporzionale a una delta con argomenti coincidenti, ossia
essendo la un funzionale ultralocale, ricompaiono divergenze.
La condizione che deve essere soddisfatta da una metrica invariante è la (1.43). La ragione della
risolubilità della (1.43) è nella decomposizione di @ ad opera dei £P in orbite diffeomorfe alla varietà del gruppo Í : per varietà di gruppo è sempre possibile trovare una metrica invariante, come
discusso nel paragrafo 1.10. L’estensione di tale metrica a @ , lì esplicitata, grazie alla (1.68) porta a
un funzionale di misura su tutto lo spazio delle storie.
Nelle teorie di gauge, con l’eccezione della gravitazione, si ha a che fare con gruppi di Lie compatti; una condizione sufficiente per l’esistenza di una misura invariante è che il gruppo sia localmente
compatto (Weyl 1953), nel qual caso la misura è chiamata misura di Haar (e.g. O’ Raifeartaigh 1986)
ed è unica a meno di una costante. In tali casi la (1.29) è di conforto.
26
1.14. Misura invariante sullo spazio delle storie
Per un arbitrario gruppo di Lie Í si può definire una metrica invariante, nota come metrica di
Cartan, che per gruppi semi-semplici è non degenere (e.g. Trautman 1984) e si esprime
=#$"¿¾ À Ä
¾ Ã$
Ã
À
(1.69)
b
Nel secondo caso dei commutatori si mostra che esiste una famiglia di misure naturali che soddisfa
$
H@£ 8 1 C
@å¾
8
$
e richiede dunque di porre nulle le contrazioni ¾
delta con argomenti coincidenti.
#$
(1.70)
#$ , che comprendono peraltro il prodotto di due
$
$
Si può, inoltre, mostrare che se i flussi £N sono rimpiazzati da £ £¥$Wà , dove gli à sono
$
funzionali arbitrari delle 0 8 con * ( ?à , i funzionali ¾ À #$ sono rimpiazzati da espressioni più
$
complicate comprendenti
i ¾ÄÀ #$ stessi, gli à e i £ ; le soluzioni della (1.70) sono rimpiazzate

$
da @I
@*( ;à . Questa ambiguità in @ sarà risolta nella teoria degli integrali funzionali alla
Feynman usata per la quantizzazione.
Pur considerando soltanto il primo tipo di commutatori, nel discutere la teoria quantizzata in
presenza di gruppi di invarianza per avere un funzionale di misura adeguato (che si postula poter
esser posto uguale all’identità con una conveniente regolarizzazione dimensionale), occorre imporre
entrambe le richieste di regolarità incontrate:
£ 8 8
¾
$
#$ Esse garantiscono l’invarianza del funzionale di misura @ .
27
b
(1.71)
Capitolo 2
Sistemi dinamici classici
2.1 Riassunto
Questo capitolo illustra lo sviluppo di una teoria classica dei campi da un punto di vista manifestamente covariante. L’intera teoria dinamica è basata sui piccoli disturbi prodotti sui sistemi classici da
agenti esterni; una formulazione in termini di essi e delle parentesi di Peierls consente un’analisi della
teoria della misura e favorisce un successivo passaggio alla teoria quantistica. Le proprietà di invarianza delle parentesi di Peierls, che svolgono il ruolo di parentesi di Poisson, permettono di trattare
anche sistemi con gruppi di invarianza descritti nel primo capitolo.
Di fondamentale importanza è l’imposizione di una condizione supplementare per ovviare alla non invertibilità dell’operatore dei campi di Jacobi, che presiede alla dinamica; tale condizione
conduce all’introduzione dell’operatore di ghost classico e di un opportuno operatore dinamico non
singolare. Grazie allo studio delle proprietà delle funzioni di Green di tali operatori si giunge a una
teoria dinamica classica ben posta.
La risoluzione delle equazioni dinamiche utilizza il metodo del campo di background; applicando
questa procedura perturbativa ai disturbi finiti si giunge alle funzioni ad albero e ai teoremi relativi
alle ampiezze ad albero. Il metodo del background porta anche alla definizione dei campi in e out,
essenziali per gli sviluppi quantistici.
Il capitolo si conclude con una breve discussione sulle leggi di conservazione: l’introduzione dei
campi di Killing e delle relative correnti e cariche e delle sorgenti interne e l’assunzione del lemma
fondamentale sono le tappe principali di una descrizione generale. La loro applicazione al campo
gravitazionale è rimandata all’Appendice B
29
Capitolo 2. Sistemi dinamici classici
2.2 Equazione dei piccoli disturbi
H
Siano 0 8 e 0 8 0 8 due soluzioni infinitesimamente prossime delle equazioni dinamiche (1.5)
M
(2.1a)
x M 0>O
M
M
8
H
H
(2.1b)
x 0 0>O<x 0>O ux 0>O 0 [ 8
8
8[
b#b#b b
H
Al primo ordine infinitesimo in 0 si ricava
M
H
x 0>O 0 [ (2.2)
8[
nota come equazione omogenea dei piccoli disturbi; le sue soluzioni sono chiamate campi di Jacobi e
l’operatore 9 è noto come operatore dei campi di Jacobi. Per maggiore chiarezza su tale appellativo
8[
si ricordi che gli oggetti di interesse fisico in questa descrizione classica sono le storie dei campi
bosoniche introdotte nel capitolo precedente.
In relatività generale un segnale luminoso o una particella materiale, gli enti che trasportano informazioni fisiche, nella loro evoluzione descrivono geodetiche sulla varietà spaziotemporale ,
rispettivamente dette di tipo luce o di tipo tempo, chiamate le loro storie (di universo). Le componenti di un vettore che rappresenta la separazione tra una curva 9Gù4 e una curva vicina (ossia tra storie
contigue), in una congruenza di geodetiche di tipo tempo, soddisfano l’equazione di Jacobi
*
* ùk
=
dove
7
J
c
c | g |
J
g
7
H@2LKªÐö=Ð÷
k
indica la coordinata temporale nello spaziotempo e
c gNM
con
J
c
h
tensore di Riemann
b
è un vettore ortogonale ai vettori
tangenti alle geodetiche (cf. Hawking e Ellis 1973). Questa equazione dà l’accelerazione relativa,
ovvero la derivata temporale seconda della separazione, di due geodetiche infinitesimamente vicine;
una sua soluzione è chiamata un campo di Jacobi lungo 9ÏùW . La trasposizione di questo concetto
H
J
dallo spaziotempo allo spazio delle storie @ chiarisce l’analogia tra c e 0 8 .
H
Un piccolo disturbo 0 soddisfa le (2.1); esso è prodotto da un debole agente esterno, che può
essere descritto da una piccola variazione nella forma funzionale dell’azione x . Un campo di Jacobi, invece, è definito dalla (2.2), che è una relazione al primo ordine infinitesimo; esso rappresenta
la risposta lineare del sistema dinamico classico alla perturbazione rappresentata dalla variazione
nell’azione.
Sia
O
un campo scalare a valori reali su @ e sia P un numero reale infinitesimo, allora in presenza
30
2.2. Equazione dei piccoli disturbi
di un piccolo disturbo il funzionale d’azione x subisce la variazione
M
M
M
x 0>OX<D x 0>O?PQO 0>O
b
(2.3)
Piuttosto che la (2.3), è più interessante studiare l’equazione inomogenea
x
8[
H
0 [ %PQO
8
(2.4)
detta appunto equazione inomogenea dei piccoli disturbi.
H
Si vede facilmente che 0Ä 0 soddisfa le equazioni dinamiche del sistema xRP.O al primo ordine
infinitesimo se 0 soddisfa quelle del sistema x .
La soluzione generale della (2.4) si ottiene aggiungendo una soluzione arbitraria della (2.2) a una
soluzione particolare della (2.4), che può essere determinata da particolari condizioni al contorno.
Sia nella teoria classica che in quella quantistica, ci sono due condizioni al contorno di speciale importanza : quella avanzata e quella ritardata. Le corrispondenti soluzioni saranno indicate
H6S
H
rispettivamente con 0 8 e á 0 8 . Tali condizioni al contorno sono espresse da
H
TUWV
XGY[Z
dove ]\
e %\
J
Z
0 8 (2.5)
indicano rispettivamente il remoto futuro e il remoto passato.
Queste condizioni sono di solito sufficienti a determinare unicamente soluzioni fisiche della (2.4),
purchè PO descriva variazioni fisiche nella struttura del sistema limitate a regioni finite dello spaziotempo.
Quando le equazioni dinamiche (1.5) sono soddisfatte, la derivata funzionale seconda x{ soddisfa
8[
l’equazione
®
x{ £ 8 :x (2.6)
8[
8
applicandola alla (2.4), in virtù dell’arbitrarietà di P , si ha
£ 8 8
O
:x 8
b
(2.7)
Si vede allora che, affinchè la (2.4) sia consistente, O dev’essere un invariante condizionato, ossia un
osservabile fisico. Piccole variazioni nel funzionale d’azione x produrranno variazioni continue nelle
variabili dinamiche solo se lasciano intatta l’invarianza della teoria.
31
2.3 L’operatore dei campi di Jacobi
Si è già notato che una teoria quantistica è essenzialmente una teoria di piccoli disturbi. È, dunque, di
particolare interesse esaminare la struttura di x , che determina le proprietà delle soluzioni dell’e8[
quazione dei piccoli disturbi. In una teoria locale x è una combinazione lineare di delta di Dirac e
8[
di loro derivate, aventi come coefficienti funzioni delle 0 e delle loro derivate. Avendo utilizzato per
x la forma (1.6), x
x
8[
8[
«
ha la struttura
H
H
g H
;+X_+ \ X²¶ c ;+X_+ \ ¬²I c g ?+X_+ \ 8[
8[ c
8[ c
g
I c
8[
I
g
8[
c
b
(2.8)
Infatti, sottintendendo che le integrazioni che portano a questo risultato sono estese su con l’ap~
~
propriato *+ ,
T
H
H
H
(2.9)
x
*+
0 8 0 8
e 0 8
e0 8 c
~
c

e
e
dove, essendo una funzione reale, le derivate funzionali su di essa sono semplicemente derivate
ordinarie. Da ciò
~
~
~
~
T
^
H
H H
H H
H
H
H
H
8 0 [ 8 0 [ 8 0 [ 8 0 [ g`_
x
*+
0
0
0
0
c
c
c
0 e]8 k 0 [
0 e]8 k 0 [ 0 8e] k 0 [
0 8 e]k 0 [ g
k
c
c
c
e
e
e
e
e
e
e
e
~
~
T
T
T
^
H
H
H
H
H
H
*+
0 8
*+ \ ?+X+ \ [ a 0 8
*+ \ ?+X+ \ 0 [ a c a
0 e]8 k 0 [
0 e]8 k 0 [ c
e
e
e
e
~
~
T
T
H
H
H
H
H
H
0 8
*+ \ ;+X_+ \ 0 [ a 0 8
*+ \ ?+X_+ \ 0 [ a g _
c
c
a
0 8e k 0 [
0 8 e k 0 [ g
c
c
e
e
e
e
~
~
T
T
^
H
H H
H
H H
\ 0 8 0 [ \ 0 8 0 [a
*+
*+ \
?
X
+
_
+
;
X
+
_
+
0 e]8 k 0 [
0 e]8 k 0 [ c a
c
e
e
e
e
~
~
H
H
H
H
H H
;+X_+ \ 0 8 0 [ a 0 8 0 [a_
c
0 8e] k 0 [
0 e]8 k 0 [ c a
c
c
e
e
e
e
(2.10)
avendo usato la definizione di derivata di una distribuzione
T
T
H
H
*+ \ ;+X_+ \ ?+<
*+ \ ;+X_+ \ ?+<
c
d
c
32
b
(2.11)
2.3. L’operatore dei campi di Jacobi
Integrando per parti il terzo e il quarto termine nella (2.10) si ha
~
~
T
T
^
H
H
H H
H
H H
x¨
*+
*+ \
;+X_+ \ 0 8 0 [ a ?+X_+ \ 0 8 0 [ a
0 e]8 k 0 [
0 e]8 k 0 [ c a
k
c
e
e
e
e
~
~
H
H H
H
H H
\ 0 8 0 [ (a c e
\ 0 8 0 [ a
a
b
;
X
+
_
+
d
;
X
+
_
+
0 8e k 0 [
0 8e k 0 +
[ f c
c
c
c
e
e
e
e
~
~
H
H H
H
H H
?+X_+ \ 0 8 0 [a ?+X+ \ 0 8 0 [:a c
0 8e] k 0 [ c
0 8e] k 0 [
c
c
e
e
e
e
~
~
H
H H
H
H H
a
g ;+X_+ \ 0 8 0 [ (a c d
g ?+X_+ \ 0 8 0 [ a
]
e
k
]
e
k
a
a
0 8 0 [ g
0 8 0 [ g f c
c
c
c
e
e
e
e
~
~
H
H H
H
H H
g ?+X_+ \ 0 8 0 [ a g ?+X_+ \ 0 8 0 [ a _
k
k
e
e
c
c
a
a
b
0 8 0 [ g
0 8 0 [ g
c
c
e
e
e
e
I termini sottolineati sono nulli, infatti vale l’identità
T
H
H
H
:
[
a
da cui
0
*+ ;+ \ _+< 0 [ H
T
0 [a
c
*+
H
T
*+
T
H
H
?+ \ _+< 0 [ c
*+
T
H
? + \ _+< 0 [ c
*+
H
(2.12)
H
H
; + \ _+< 0 [
c
H
? + \ _+< 0 [ c
b
Sfruttando la proprietà della delta di Dirac
H
g ; +X_+ \ ´
a
33
H
g ;+X_+ \ (2.13)
e rinominando gli indici muti KNDg@ e @îD
H
T
k
x
T
*+ \
*+
K
0 e8 k 0 [ c
e
e
~
si ha
~
^
d
a
e
H
d
0 e]8 k 0 [
e
e
~
~
ba
~
0 8e k
c
e
e
0 [
ed
g ?+X_+ \ c
H
0 8e] k
c
e
0 [
f
c
H
c
?+X+ \ ~
0 8 e g k 0 [ c
e
e
f
g
c
H
? +X_+ \ c
(2.14)
H
0 8 0 [a D.T.
0 8 e]k 0 [ g
f
c
e
e
avendo usato la commutazione delle derivate funzionali seconde per la distribuzione delta e con
~
~
H
H H
H
H H
D.T.
?+X_+ \ 0 8 0 [(a c a
g ?+X_+ \ 0 8 0 [(a c
a
S
e
k
]
e
k
d
0 8 0 [
0 8 0 [ g
c
c
c
c
e
e
e
e
H
derivata totale, quindi ininfluente sulle equazioni dinamiche, perché le 0 si annullano sui bordi del
_
dominio di integrazione e l’utilizzo del teorema di Stokes rende nullo ogni termine di questo tipo.
H H
Per definizione x{ è il coefficiente tra parentesi graffe di 0 8 0<[ a nella (2.14). Occorre, però,
8[
ricordare che in notazione condensata all’indice s è assegnato un certo punto dello spaziotempo + ,
all’indice h un altro punto +S\ , mentre nella dimostrazione si è dovuto esplicitare l’apice sul simbolo h
per maggior chiarezza. Si perviene alla (2.8) con le posizioni
~
~
êëë
ëë
ëë
«
d
e]8 k 0 [
8 [Õd
ëë
0
0 8e] k 0 [ f c
ëë
c
ëë
e
e
e
e
ë
~
~
~
ì
ëë ¶ c
d
i
ëë
8[ d
0 e]8 k 0 [ 0 8e] k 0 [
0 8 e]g k 0 [ f g
ëë
c
c
c
ëë
e
e
e
e
e
e
ëë
~
ëë
ëí
g
g
g
c ZI
c
I c
I
d
8[
8[
8[
0 8 e]k 0 [ g
c
e
e
g
dove la proprietà di simmetria del coefficiente della derivata funzionale seconda della delta, I c , si
8[
ha in virtù del teorema di Schwartz.
Considerando variabili 0 reali, si hanno le corrette proprietà di simmetria sui coefficienti nella
(2.3) che, insieme alla commutazione delle derivate funzionali seconde x Öx , garantiscono la
[8
8[
simmetria dell’operatore x{ , e da questa auspicabilmente l’autoaggiuntezza. Dalla (2.8) si vede
8[
34
2.4. Funzioni di Green
anche che x
è effettivamente un operatore
differenziale lineare.
A
8[
Associato ad ogni siffatto operatore , che sia autoaggiunto o meno, c’è il suo operatore Wron-
skiano
k
j
c , che soddisfa
T
ý
a #l
¸
A
A
9
Tnm
¸
_
l
*V4+
c
#l
¸
k
j
c
*
c
(2.15)
k
k
k
dove Ó è una qualsiasi regione compatta dello spaziotempo con bordo Ó regolare, *= è l’elemento
c
¸
di superficie di Ó orientato verso l’esterno, e sono due funzionie vettoriali complesse regolari
qualsiasi definitee su una regione aperta contenente Ó k e il simbolo o indica la coniugazione hermitiana.
L’operatore Wronskiano è utilizzato nella risoluzione del problema di Cauchy per i campi di Jacobi.
2.4 Funzioni di Green
La descrizione della propagazione dei disturbi infinitesimi richiede l’introduzione delle funzioni di
Green. Una loro trattazione richiederebbe per completezza la teoria delle distribuzioni per definirle
come soluzioni ausiliarie di problemi al contorno (e.g. Stakgold 1967); ne saranno qui delineate, però,
soltanto le proprietà essenziali alla risoluzione dell’equazione dei piccoli disturbi e alla comprensione
della teoria fisica in esame.
Nel caso in cui non sia presente un gruppo d’invarianza infinito-dimensionale, la (2.4) ha soluzione
H
0 8 pPrq 8 [ O [
(2.16)
dove q 8 [ è un’appropriata funzione di Green soddisfacente l’equazione
x
8n
q
n [
H
8
[
(2.17)
b
Si ottengono differenti soluzioni della (2.4) usando differenti funzioni di Green, determinate dalle
condizioni al contorno desiderate.
Considerando, ad esempio, le condizioni al contorno avanzate e ritardate, si avranno le corS
rispondenti funzioni di Green, denotate rispettivamente con q 8 [ e q á 8 [ ; in tal caso la (2.4) ha
soluzione
H6Z
Per teorie locali quale quella discussa, le q
¥á 8 [ q
se
sutvh
0 8 sPrq
Z
Z
8[
O [
(2.18)
b
8 [ soddisfano le condizioni
®
S
q
35
8[ se
suwxh
b
(2.19)
Qui i < j significa che il tempo associato con l’indice s giace nel passato rispetto al tempo associato
con l’indice h .
In teorie di campo relativistiche x{ è un operatore differenziale di tipo iperbolico e passato e
8[
futuro possono essere definiti rispetto a una qualsiasi foliazione dello spaziotempo in ipersuperfici di
Cauchy complete di tipo spazio. Di conseguenza le condizioni al contorno (2.19) implicano che q á 8 [
S
( q 8 [ ) è non nulla soltanto quando il punto dello spaziotempo associato con s giace sul cono di luce
futuro (passato) che ha origine nel punto dello spaziotempo associato con h o nel suo interno.
I prototipi delle funzioni di Green di interesse in teoria quantistica dei campi sono quelle del mesone
scalare neutro, che ha lagrangiana
~
ª

Per tale sistema si ha (indicando |
H
d
#$~}
&
H
H
özy
0
}
|Z
x
ô
ô
0 c 0
k
k.{
(2.20)
b
$ )
H
? +X_+ \ ô
|Z
0;+< k 0?+ \ così la (2.17) ha la forma
c
k
qP;+X_+ \ )
H
?+X_+ \ (2.21)
(2.22)
b
k
Tale equazione si risolve più facilmente nello spazio dei momenti, utilizzando la rappresentazione
integrale della delta di Dirac
H
;+X_+ \ )
Ïö
T
ª
X
X
ei á a *'

con
(2.23)
¸ ¸
| |
*'
*' c
*' *' *' *' '!#+
u' + ' + ' + 't+r
(2.24)
d
d
d
b
k
k
k
c
¸
|
L’integrale è inteso lungo contorni dei piani complessi ' ' ' ' che terminano a \ sugli assi
k contorni è preso l’integrale nella
reali di questi piani ma sono altrimenti arbitrari; lungo gli stessi
|
¸
soluzione della (2.22):
T
X
X
ei á a
(2.25)
qN?+X_+ \ ´
ô *'
b
Gö
'
¸
k
k
I contorni nei piani ' ' ' sono in pratica confinati agli assi reali e la scelta della funzione di
|
Green è determinata dallak selezione di un appropriato contorno
nel piano ' che eviti i poli presenti
¸
ô
nell’integrale della (2.25) in R ' , con '
( '
Z( ' Z* ' .
d
k
k
k
k k
k
k
La figura mostra le più importanti prescrizioni per evitare i poli; sono, inoltre, indicate le relazioni
ª
36
2.4. Funzioni di Green
|
Figura 2.1: Contorni nel piano complesso '
del mesone scalare neutro.
per le rappresentazioni integrali delle funzioni di Green
che collegano le corrispondenti funzioni di Green.

pq
q
S
q á
pqKáNq
q
S

á

(2.26a)
S
pq
q

S

(2.26b)
?+X_+ \ ¤ö97;+ \ _+< P
q ;+X_+ \ (2.26c)
Ká?+X_+ \ ¤ö97;+X_+ \ P
q ;+X_+ \ (2.26d)
q
q
N?+X_+ \ ´%5?+X_+ \ q

q
S

?+X_+ \ ¬?7;+ \ _+<q

á ; +X_+ \ (2.26e)
dove 7;+X_+]\^ è la funzione gradino
êëë
5?+X_+ \ )

ì
ë
ª
ëë ª ö
ëí
se
+w+S\
se
++S\
se
+t+S\
(2.27)
e sarà usata solo quando +E
+ \ , per evitare problemi di ambiguità nelle relazioni (2.26).
Più precisamente i contorni chiusi nella figura 2.1 non corrispondono a funzioni di Green propriamente dette, bensì a loro differenze. Tali distribuzioni, che con un abuso di linguaggio saranno
comunque chiamate funzioni di Green, soddisfano, in luogo della (2.17), un’equazione del tipo
A
q
(2.28)
37
A
avendo indicato con
un operatore generico invertito grazie all’azione delle funzioni di Green
propriamente dette.
Il contorno per la funzione q corrisponde a svolgere un’integrazione al valor principale lungo
l’asse reale. Poiché tutte le variabili di integrazione sono reali in tal caso e poiché il denominatore
dell’integrando nella (2.23) è simmetrico in ' , si può concludere che
simmetria
qN?+X_+ \ ´
qP;+ \ _+<
b
è reale e ha la proprietà di
q
(2.29)
Da questa, usando le (2.26), si ottengono le importanti relazioni di reciprocità
Z
q
Mandando 'ºD
?+X_+ \ ´pq´;+ \ _+<
(2.30)
b
u' , inoltre, si ricava anche
N?+X_+ \ ´pqP;+ \ _+<
q
(2.31)
b

Grazie alle relazioni (2.26), la realtà di q implica la realtà anche di /
q .q
S
eq á .
A
esse sono anche inversi sinistri; ciò
Nell’equazione (2.17) le q8 [ appaiono come inversi destri;
non soltanto per x{ ma anche per un arbitrario operatore
, a prescindere dalle sue simmetrie e
8[
8[
dalla sua autoaggiuntezza. Per provare tale asserzione si distinguano temporaneamente le funzioni
Z
di Green sinistre q dalle destre q . Nella prova saranno utilizzate le q 8 [ (2.19); le (2.26) ne
estendono la validità alle altre funzioni di Green. Siano Ä8 arbitrarie funzioni a supporto compatto
nello spaziotempo e sia

A
8 (2.32)
q á 8 [ vq á 8 [
n
[n
b
y
{
Poiché le n hanno supporto compatto, non importa se nella (2.32) si eseguono prima la somma e
l’integrazione
A in h o quella in ; ossia, le integrazioni per parti si possono eseguire liberamente e
l’operatore
può essere visto come agente da destra o da sinistra.
8[
È opportuno notare che, a parte questo caso, ciò non è sempre vero in quanto la proprietà associativa della moltiplicazione non è sempre valida per le matrici continue. Occorre di volta in volta
controllarne l’applicabilità nell’uso della notazione astratta; essa dipende non solo dalla compattezza dei supporti ma anche dall’andamento all’infinito e dalla coerenza delle condizioni al contorno.
38
2.5. Il procedimento di misura
L’equazione
A
q

á 8[

A

8[

[n
H
8 A
n
8 sq Aá 8 [
n 8
[n
[
?à [ Ôà [ )
8[

implica
(2.33a)
da cui
(2.33b)
(2.33c)
b
Le 8 si annullano quando sut supp n , dove supp n indica l’unione dei supporti di tutti gli n . Ciò

significa che i dati di Cauchy per l’ultima equazione sono nulli nel passato di supp n , dunque le 8
stesse devono annullarsi. Poiché gli þ8 sono arbitrari, ne segue che
A
A
H
q á 8 [
q á 8 [
q á 8 [
C
8
[n
[n
n
y
{
Questa è proprio la condizione affinché
S
S
e allo stesso modo q 8 [ sq 8 [ .
q

(2.34)
b
á 8 [ sia una funzione di Green sinistra, quindi q á 8 [ q á 8 [
2.5 Il procedimento di misura
H Z

Sia un arbitrario osservabile fisico, si denoti con
le variazioni nel valore di
disturbi (2.18) causate dalla variazione (2.3) nel funzionale d’azione x . Si ha
H
Z
/

8
H
Z
0 8 sP /
8
Z
q
8[
O C
PQO
[
[
q

8[ /
8

, dovute ai
(2.35)
avendo utilizzato le relazioni di reciprocità (2.30). Introducendo la notazione dovuta a Peierls (Peierls
1952)
Ü
Z

O
d
q¡
8
8[ /
[
(2.36)
la (2.35) può riscriversi nella forma
H
Z
Z
ZÜ Å CPtÜ

Ü á sarà chiamato effetto ritardato di O su e Ü
Ú
Ú
delle (2.30) si ha
Ü
Z
S
Z

b
(2.37)
effetto avanzato di O su . Come conseguenza

Ü¢£

O
(2.38)
ovvero l’effetto ritardato di O su è uguale all’effetto avanzato di su O e viceversa.
Si noti ancora che solo se supp O e supp ¥ sono compatti è indifferente l’ordine in cui si
[
[
eseguono le due integrazioni per parti nella (2.36). Occorre, inoltre, chiarire il senso delle espressioni
39
supp O . D’ora in poi, salvo esplicite controindicazioni, sarà assunto che le variabili dinamiche
8
giacciono nel sottospazio dinamico @{| . Sotto tali condizioni gli osservabili fisici sono definiti solo
modulo le equazioni
dinamiche e le espressioni come supp O sembrerebbero così ambigue.

8
Poiché le sono determinate ovunque dai dati di Cauchy su un’arbitraria ipersuperficie di tipo
spazio, sembrerebbe che supp O possa essere ristretto a un intorno arbitrariamente piccolo di tale
8
ipersuperficie. Una rappresentazione di un osservabile O in termini di dati di Cauchy su una ipersuperficie, oltre ad essere generalmente troppo complicata, dipenderebbe sensibilmente dalla forma
funzionale delle equazioni dinamiche e, quindi,
dalla forma del funzionale d’azione x . Ogni osserva
bile fisico ha un’espressione in termini delle 8 la cui forma funzionale è indipendente da quella di
x . È questa la forma intesa nelle espressioni supp O .
8
Una volta esplicitato il senso delle notazioni che saranno impiegate, si può tratteggiare una breve
discussione sull’importanza dei piccoli disturbi nel procedimento di misura e quindi nella fondatezza
del passaggio a una teoria quantistica.
La determinazione dello stato fisico di un sistema qualsiasi richiede la misurazione di uno o più
osservabili fisici del sistema. La misurazione di un osservabile fisico necessita un’interazione tra il
sistema e un opportuno apparato di misura. Il risultato di una buona misurazione deve essere o una
grandezza numerica definita o un membro definito di un insieme discreto di alternative, indipendente
dal modo particolare di descrizione impiegato nell’analisi teorica del sistema.
In particolare esso deve restare invariato sotto trasformazioni di invarianza del sistema; ciò implica che soluzioni qualsiasi delle equazioni dinamiche che sono connesse da una trasformazione del
gruppo di invarianza sono fisicamente identiche, e che un osservabile è necessariamente un invariante del gruppo. Valendo le considerazioni del paragrafo 2.2 sulle variazioni dell’azione, si ha che
l’introduzione dell’apparato deve lasciare intatte tutte le proprietà di invarianza.
Maggiore chiarezza su questo punto può aversi nel caso della relatività generale, dove il gruppo
di invarianza è il gruppo generale di trasformazioni di coordinate. Si potrebbe argomentare che,
poiché si possono usare oggetti materiali per fissare il sistema di coordinate, l’introduzione di certi
apparati congela il gruppo. La descrizione dello stesso apparato, invece, e della sua interazione con
il sistema deve essere ancora invariante rispetto al gruppo, ovvero il funzionale d’azione totale per il
sistema combinato continua a essere un invariante del gruppo. In termini delle variabili dinamiche che
appaiono nel funzionale d’azione la descrizione del comportamento dinamico del sistema totale in un
sistema di coordinate è identica a quella in un qualsiasi altro. È vero che si può usare un riferimento
fisico per introdurre un sistema di coordinate prescelto, ma le etichette delle coordinate dei punti fissi
in tale sistema sono invarianti, concettualmente distinti, questi, dalle etichette matematiche +µc .
L’accoppiamento tra il sistema e l’apparato produce disturbi in entrambi. Il disturbo nell’apparato
è ciò che rende possibile la misurazione. Il disturbo nel sistema, d’altra parte, tende a variare la quan40
tità fisica sotto osservazione e rendere, quindi, inaccurata la misurazione che si cerca di effettuare. Più
debole è l’accoppiamento, più piccola è questa variazione, più accurata è allora l’informazione ottenuta sullo stato del sistema originariamente indisturbato. In effetti ciò non è così stringente, perché
diventa contemporaneamente più difficile rilevare il disturbo nell’apparato.
L’accoppiamento più conveniente per analizzare la misura di un osservabile
funzionale d’azione totale della forma (DeWitt 1965)
(¡ ¤G¡
x
x ¥Py& +#O
dove x è il funzionale d’azione del sistema,
¥
O
è espresso da un
(2.39)
quello dell’apparato, + è un’opportuna variabile del-
l’apparato e & è una costante d’accoppiamento
aggiustabile. La misurazione dell’osservabile
effettua misurando una variabile dell’apparato che soddisfa le condizioni di stato finale
Ü
+
Ü

X
O
si
(2.40)
successivo al processo d’accoppiamento tale che, sebbene +
ossia descrive uno stato dinamico
abbia un effetto ritardato su , non ha
un effetto ritardato su + . Più precisamente, per misurare O si
determina la deviazione del valore di , come risultato dell’accoppiamento, dal valore che avrebbe in
assenza di accoppiamento (&/ ).
Si considerino le equazioni dinamiche del sistema x e dell’apparato ¥ . Espandendole in serie
8
di Taylor nei relativi disturbi prodotti dall’accoppiamento e prendendo il limite di accoppiamento
debole, corrispondente all’idea classica che una misurazione accurata dovrebbe impartire un disturbo
trascurabile al sistema in esame, conviene restare al primo ordine per x e al secondo per ¥ . Per ottenere dei risultati è opportuno scegliere l’apparato macroscopico rispetto al sistema, ossia ¥¦w]wx . In
altre parole si postula che l’inerzia dell’apparato sia grande rispetto a quella del sistema. Indicando
con q §á e q ¨á le funzioni di Green ritardate che risolvono in termini dei disturbi rispettivamente del
sistema e dell’apparato gli sviluppi di Taylor considerati, il postulato si esprime come
¥¨á
q
K§á
t]t,q
(2.41)
dove la disuguaglianza va intesa nel senso che i termini di un dato ordine in & contenenti qº¨á possono
sempre essere trascurati a paragone di termini dello stesso ordine contenenti qN§á . Le inerzie da comparare nella (2.41) possono avere diverse forme, quali massa, momento di inerzia, induttanza, densità
di massa, etc. a seconda della natura di x e di ¥ .
L’importanza del concetto di inerzia si evidenzia nella teoria quantistica della misura, ovvero
nella discussione di quali condizioni sperimentali vadano assicurate per avere una corretta trattazione
41
della decoerenza (Mott 1929). Essa descrive la transizione dalla natura quantistica dei sistemi al loro
comportamento classico (localizzazione), al fine di garantire la fondatezza della teoria della misura in
esame. La decoerenza può emergere in almeno due modi, uno in cui un sistema con piccola inerzia
si accoppia con un apparato con grande inerzia e un altro in cui un sistema con grande inerzia si
accoppia con apparati con piccola inerzia. Sebbene l’ultimo caso sia più frequente e possa mostrare
caratteristiche quantistiche, soltanto il primo è una situazione di misurazione.
La teoria quantistica della misurazione non sarà trattata e per essa si rimanda al lavoro di DeWitt
(DeWitt 2003); è interessante, però, il fatto che il suo formalismo sembra suggerire l’interpretazione
dei molti universi (Everett 1977). Si può chiarire il senso di tale interpretazione restando nell’ambito
di una teoria quantistica della misura. Si può giungere a descrivere quantisticamente il sistema totale
M
Ì
õ
©)«
ª¬ ¬ ®ù ©
ùÆ¯O © .
(apparato e sistema su cui si vuole effettuare una misura) con un vettore di stato `
¯
¯ ¯
Questa equazione esprime il fatto che, per ogni stato
ù © del sistema, l’apparato, come risultato dell’ac®
M
¯
Ì
coppiamento, va in un corrispondente stato
ùÆ°O © , noto come stato relativo. Tutti i possibili risultati
¯
di una misurazione sono contenuti nella sovrapposizione rappresentata dalla sommatoria. L’interpretazione dei molti universi consiste nell’adottare il punto di vista che il formalismo della meccanica
quantistica fornisca una rappresentazione della realtà esattamente nello stesso senso in cui si riteneva
che lo facesse quello della meccanica classica. In quest’ottica non soltanto il vettore `© fornisce
¯
una rappresentazione fedele del sistema totale, ma addirittura l’intero universo è rappresentabile in
principio con un vettore di stato. L’ovvia interpretazione dell’espressione precedente è, allora, che
la realtà descritta dal vettore ±
© consiste di universi simultanei, in ognuno dei quali l’osservabile in
¯
questione del sistema ha un certo valore ù e l’apparato ha osservato quel valore. L’universo, così, si
suddivide in molti universi; tale suddivisione non avviene istantaneamente, ma in maniera continua
durante l’intervallo di accoppiamento. Si può mostrare (cf. DeWitt 2003) che, considerando gli esseri umani come automati, e dunque pari agli ordinari apparati di misura, le leggi della meccanica
quantistica non permettono loro di avvertire queste suddivisioni.
Pur nell’ambito classico, è bene precisare che si stanno considerando soltanto misurazioni elementari, non complete, consistenti in semplici correlazioni tra sistema e apparato. Una discussione esauriente sull’argomento esula dagli scopi di questo lavoro di tesi; rimandando al lavoro di
DeWitt (DeWitt 1965, DeWitt 2003) per un’analisi accurata, si riportano di seguito soltanto i risultati
principali.
42
La considerevole semplificazione introdotta con il postulato (2.41) conduce a
êëë

ì
ëë
O
ëí
²
O
H
ë
²
á
&=Ü
f
²
ö
O
Ô&+Ü
X
²
¯
+
Ü
´
X
O
³
¯
¯
Ü
O
´
¯
³
(2.42)
è il valore minimo dell’incertezza, ottenuto in corrispondenza di
&
k
¯
Ü
X
²
ª
¯§¯
Ü
O
¯
²
+
(2.43)
ricavato con l’usuale analisi degli errori e con la ben nota condizione di minimo. La (2.42) esprime
O
in termini dei dati sperimentali; da essa si giunge alla precisione della misurazione in termini della
precisione con cui sono noti i parametri dell’apparato.
¡(¤G¡
¸
Introducendo un termine di compensazione in x
della forma & + Ü O (Bohr e Rosenfeld
k k
1933), che cancella esattamente l’effetto sull’apparato del disturbo in O k prodotto
dall’accoppiamento,
si giunge a
H
êëë
á O
ì
&5Ü X ëëí
²
(2.44)
²
O
b
& Ü X
¯
¯
Sembra ovvio che l’incertezza in O può essere resa arbitrariamente piccola aumentando l’intensità
dell’accoppiamento & ; scegliendo & troppo grande, però, l’approssimazione di accoppiamento debole,
che ha condotto alla (2.44), può non essere più valida.
Poiché le teorie di interesse fisico hanno un carattere non lineare, specie tenendo in conto le corre
zioni quantistiche, vi è sempre un limite superiore
sui valori utilizzabili di & . Ciò porta a considerare
²
Ü X
la possibilità di aggiustare il rapporto
invece di & . Tale rapporto può sempre essere reso
¯
¯
arbitrariamente piccolo scegliendo un apparato sufficientemente macroscopico.
L’ultima osservazione è soggetta a una limitazione concernente la grandezza del dominio dello
spaziotempo coinvolto nella definizione e nella misurazione dell’osservabile O . Se questo dominio è
molto piccolo, la traiettoria indisturbata dell’apparato deve essere definita con grande precisione. Per
tenere le fluttuazioni quantistiche sotto controllo, ciò significa che la massa delle sonde deve essere
molto grande. Si può raggiungere un limite quando gli effetti gravitazionali dell’apparato invalidano
l’approssimazione di accoppiamento debole. Questo è anche il limite in cui i disturbi gravitazionali
incontrollabili prodotti dagli strumenti, necessari a stabilire la traiettoria imperturbata (ossia a leggere
e a calibrare l’apparato), diventano così forti da distruggere in principio la quantità da misurare. Si
43
tratta, dunque, di un limite assoluto per ogni teoria di campo.
In elettrodinamica, usando fotoni¸ per leggere l’apparato, si raggiunge un limite simile già al livello
õ1ô
õjô
di produzione di coppie, a circa ª á
, laddove il limite gravitazionale si ha a ª á+
.
k
La presenza di tali limiti sembra suggerire un ripensamento dei fondamenti delle teorie di campo
e della definizione stessa di campo. Sulla base della (2.44), tralasciando tali complicazioni, si assumerà che un singolo osservabile possa sempre essere misurato, in principio, con precisione arbitraria.
Questa assunzione fornisce la base, nella teoria quantistica, per l’introduzione di un insieme completo
di osservabili che commutano.
2.6 Condizioni supplementari
H§¦ Un’importante conseguenza della (2.6) è che tutte le funzioni a multi-componenti della forma £ 8 ,
H4¦ hanno supporto compatto nello spaziotempo, sono autofunzioni con autovalore nullo deldove i
l’operatore dei campi di Jacobi. L’esistenza di tali funzioni significa che x , in presenza di un gruppo
8[
di invarianza, è un operatore singolare e non può essere invertito, ovvero non ha funzioni di Green.
H§¦ Se si aggiunge £ 8 a una soluzione della (2.4), il risultato è un’altra soluzione che, seppur matematicamente diversa, è fisicamente identica alla prima, in quanto le due differiscono soltanto per una
trasformazione di invarianza.
Per risolvere le equazioni dinamiche nei piccoli disturbi in presenza di un gruppo di invarianza
occorre rimuovere questa flessibilità, imponendo un’opportuna condizione supplementare sui piccoli
H
disturbi 0>8 della forma
H
(2.45)
ø> 0 8 8
b
Tipicamente i ø , o più precisamente ø9 , sono combinazioni lineari di distribuzioni delta e di loro
8
8a
derivate aventi come cofficienti funzionali locali dei campi 0 8 in + . La sola condizione essenziale
sulla loro scelta è che l’operatore differenziale
µ
#$
ø £ 8 $
8
d
sia un operatore non singolare avente funzioni di Green è
(2.46)
#$
. Considerando soltanto condizioni al
contorno avanzate o ritardate, esse soddisfano
µ
èá
#$
se vtÊÂ
À
è
Z
44
À
$
H $
S #$
è
(2.47a)
se vwÂ
®
(2.47b)
2.6. Condizioni supplementari
µ
µ
sono, inoltre, inversi destri e sinistri e, qualora
sia autoaggiunto, verificano una relazione di reci-
procità del tipo (2.30). Si può chiamare l’operatore #$ operatore di ghost classico.
Una scelta naturale per le condizioni supplementari è dettata dalla richiesta di manifesta covarianza. Quando lo spazio delle storie @ è dotato di una metrica invariante , conviene porre
ø
8
£ [ [8
(2.48)
dove £ 8 è il trasposto di £ 8 . Con tale scelta la condizione supplementare (2.45) costringe i piccoli
H
disturbi 0>8 a essere ortogonali alle orbite invarianti nel sottospazio dinamico @{| . In termini della
(1.44) ciò si esprime, grazie alla (2.47), come
£ 8 ç
µ
8
$
H $
(2.49)
b
µ
L’operatore #$ , inoltre, diviene autoaggiunto e l’indipendenza lineare dei vettori di flusso £º e la
la non singolarità di #$ :
non singolarità della metrica garantiscono
µ
#$"£ 8 £ [ $
8[
(2.50)
b
Quando le 0 forniscono una realizzazione lineare del gruppo d’invarianza, la scelta (2.48) conserva la manifesta covarianza, perché ø2 in tal caso si trasforma come le posizioni dei suoi indici
8
suggeriscono che dovrebbe essere:
H
ø
ø> £ [ $
8
8 [
H§¦ $
Zø
¾ À #$
À 8
H§¦ $
yø> £ [ $
[
8
H4¦ $
(2.51)
b
Ciò segue dalla legge di trasformazione (1.53) per i vettori £ 8 e dalla condizione di invarianza
(1.43), che può essere riguardata come una legge di trasformazione:
H
8[
£ n
8[ n
H§¦ Õ
£ n
8n
[
H§¦ â
£ n
[n
8
H§¦ Anche quando non si effettua la scelta (2.48) si possono scegliere i ø
funzionali locali delle 0 tali da far valere la legge di trasformazione (2.51).
Più generalmente si pone µ
M
M
M
M
#$ 0XO<s
¶7 0XO4Û À 0>O£ 8 $ 0>O 8
À
b
(2.52)
in maniera tale che siano
(2.53)
1
dove ]
¶ #$ è una matrice continua locale non singolare , ovvero una combinazione lineare di delta
1
Tranne che nelle teorie di supergravità, ·~¸L¹ è in genere un funzionale ultralocale, ossia comprende soltanto delta di
45
di Dirac e di loro derivate con coefficienti locali, che permette di alzare e di abbassare gli indici
gruppali;
le Û À sono le coordinate introdotte nel paragrafo 1.9. Tale posizione chiarisce sia il senso
µ
dell’imposizione di una condizione supplementare (2.45) sia quello dell’operatore di ghost classico
#$ .
Dalla definizione (2.53), in virtù della (1.40) e della (2.47), si ha anche
à
$ è
À
¶
$
À
(2.54)
che confrontata con la (1.39) fornisce
0 8 q£ 8 $ è
$
À
¶
À
b
(2.55)
µ
La scelta di opportune condizioni al contorno fissa le funzioni di Green di e rimuove, quindi,
l’ambiguità nei vettori di flusso ßâ della (1.38) giacenti
sulle orbite. In altre parole si può riscrivere
µ
la (1.41) come
$
µ
(2.56)
£¥¥Zßv$
$
da cui si arguisce che la matrice rappresenta il determinante della matrice jacobianaµ di trasforma
zione dalle coordinate Ù Ú ÐÛ
alle coordinate 0 8 .
Si può anche dare una caratterizzazione più geometrica della definizione (2.53) di #$ : sebbene
per gruppi di invarianza abeliani lo spazio delle configurazioni, ossia lo spazio delle orbite × , sia
essenzialmente un iperpiano piatto infinito-dimensionale che si estendeµ all’infinito, per teorie non
abeliane del tipo Yang–Mills esso ha una metrica non piatta (emergente dalla lagrangiana) con curvatura non negativa e ha un’estensione possibilmente finita. L’operatore #$ è la radice quadrata del
determinante di questa metrica
(cf. Babelon e Viallet 1981, Babelon et al. 1986).
µ
Per chiarire il significato della condizione supplementare (2.45) occorre comparare la (2.45) stessa, le due posizioni per #$ (2.44) e (2.53) e le variazioni infinitesime (1.11) dovute all’azione del
gruppo di invarianza. Si ottieneµ la seguente catena di identità
ø
8
H
0 8 Zø> £ 8 $
8
H4¦ $
#$
H4¦ $
s¶7 Û À £ 8 $
8
À
H4¦ $
H
H
¶7 Û À 0 8 p¶] Û À 8
À
À
b
(2.57)
È evidente che imporre una condizione supplementare equivale a richiedere che le coordinate Û À ,
che identificano il punto lungo l’orbita, non varino per trasformazioni generate dal gruppo di inva
rianza. Ciò implica che, fissato un determinato valore º per le coordinate Û , esso non varia durante
l’evoluzione del sistema. Imporre una condizione supplementare è, allora, l’analogo classico della
Dirac non derivate (DeWitt 1984).
46
procedura di gauge fixing, con la quale si intende, in ambito quantistico, il fissare un determinato
valore unico º per ogni coordinata Û , variabile con continuità al variare delle orbite.
Con un abuso di linguaggio anche in ambito classico l’imporre una condizione supplementare
viene chiamato una scelta di gauge. Usualmente tale scelta consiste nel porre il valore di un certo
õ
funzionale ø delle variabili dinamiche pari a quello di una funzione arbitraria dello spaziotempo, in
generale
õ
øNG09´
?+ c (2.58)
nella maggior parte dei casi si sceglie per convenienza come
õ
la funzione identicamente nulla. Si
richiede inoltre, per coerenza, che tale condizione vada in se stessa sotto trasformazioni dovute al
gruppo di invarianza
H
õ
0E<D 0 0¨Z0 \
ø G0 \ )
N
?+ c (2.59)
ovvero
øNG0 \ 9yøNG02´
(2.60)
b
È evidente, invece, che l’ulteriore richiesta (2.59) è automaticamente soddisfatta nel formalismo
(2.45). Infatti
M
M
M
M
H
H
H
H H
H
ª
ø 0 [ 0 [ O 0 8 ø 0 [ O²ø> 0 [ O 0 [ ø> 0 [ O 0 [ 0 n
0 8 (2.61)
[
8
8
8 [
8
n
b#bÆb
ö

Il primo termine del membro di destra è nullo, coincidendo con la (2.45). Si consideri il termine del
primo ordine in parentesi nelle variazioni infinitesime nello sviluppo, ovvero il secondo, riscrivendolo
H
H
invertendo 0µ[ e 0 8 grazie alla loro mutua indipendenza:
M
M
M
M
H H
H H
H
H
H H
ø 0 [ O 0 8 0 [ ¼
» ø> 0 [ O 0 8 0 .[ ½ yø 0 [ O 0 8 0 [ Eø> 0 [ O 0 8 0 [ [
[
8 [
8
8
8
[
M
M
M
M
H H
H H
H
H
H
(2.62)
þø> 0 [ O 8 0 [ yø> 0 [ O 0 8 [ þø> 0 [ O 0 8 [ ø> 0 [ O 0 8 8
8
8
8
[
[
[
Nuovamente la derivata funzionale totale del primo passaggio e i due termini dell’ultimo sono nulli
per la (2.45) stessa. L’annullarsi del termine del primo ordine si è ottenuto grazie all’integrazione per
parti; iterando la stessa procedura è facile verificare che tutti gli ordini successivi possono ricondursi
al primo e sono dunque nulli, da cui
M
ø>
8
0
H
H
0>O 0 8 b
(2.63)
Con il procedimento usato per giungere alla (2.63) si mostra banalmente che anche l’identità (2.61) è
47
contenuta nella (2.45).
Un esempio dell’imposizione della condizione supplementare in un caso semplice può portare
maggiore chiarezza e rendere ancor più palese l’equivalenza con l’usuale scelta di gauge (2.58). Si
consideri a tal fine come sistema il campo elettromagnetico; in questo caso il gruppo di invarianza è
abeliano, le variabili dinamiche 0 8 sono i tetrapotenziali vettori «þc7?+< e valgono le relazioni (1.13) e
(1.14). La scelta (2.48) porta al funzionale
ø
8
Zø
c
g
£
& g
H g
;+X_+ \ ³& g
c
c
H
? +X_+ \ c
(2.64)
b
Per imporre correttamente una condizione supplementare del tipo (2.45) occorre porre l’attenzione
su un concetto rimasto implicito fin dal principio del capitolo eppure essenziale, specialmente negli
sviluppi quantistici: il concetto di fondo o background. Nel paragrafo 2.2 sui piccoli disturbi, si è già
puntualizzato che essi rappresentano la variazione delle variabili del sistema dinamico dalle relative
traiettorie imperturbate 08 . Il campo 0 è chiamato campo di background.
H
Scegliendo ora un background nullo, nel caso abeliano il disturbo infinitesimo 0 8 è proprio il
potenziale vettore «þc . La (2.45) diventa
ø
c
« c (2.65)
b
Sfruttando la (2.64) si ha
ø
c
H
« c c ?+X_+ \ « c ?+ \ ´
H
?+X+ \ « c ; + \ ´¢« c ?+<
c
c
(2.66)
ricordando che in notazione condensata la somma su indici ripetuti include anche un’integrazione su
e avendo usato la (2.11). La (2.66) equivale alla scelta di gauge covariante di Lorenz 2 (Lorenz
1867)
« c (2.67)
c
b
e
Scegliendo, invece, un arbitrario potenziale «Äc come campo di background, il disturbo infinitesiH
H
mo 0>8 diventa « c . In questo caso la (2.45) prende la forma
ø
c
« c £
c
H
« c H
? +X+ \ c
H§¦
c ?+ \ ´
H
?+X+ \ H§¦
c a c
H§¦
c
c
(2.68)
b
H§¦
Nuovamente si ritrova un risultato familiare: ricordando che il parametro infinitesimo
con il potenziale scalare

e indicando l’operatore dalambertiano
e
2
c
e
c con il simbolo
|
coincide
, la (2.66)
Sebbene il lavoro di Lorenz sia precedente al concetto di gauge, egli per primo considerò potenziali con le
caratteristiche dei potenziali ritardati e avanzati, soddisfacenti la condizione poi chiamata gauge di Lorenz.
48
equivale a richiedere che

soddisfi la condizione
|

b
(2.69)
Data la maggiore generalità della (2.68), ovviamente la condizione (2.69) vale anche nel caso di fondo
nullo (2.65).
Continuando la discussione sul campo elettromagnetico, è semplice mostrare anche la singolarità
dell’operatore presente nelle equazioni che determinano la dinamica del sistema. Data la (densità di)
lagrangiana classica
A
A
A
~
ª
g
g c
g
¾
« g E« g
(2.70)
c
c d
c
c
A
con g noto come tensore del campo elettromagnetico o, più in generale, intensità del campo, le
c
~
~
equazioni dinamiche sono
A
g
c g
¿
À
(2.71)
e« c
b
?« e c g Á g

e
e
Esplicitando si ha
g
c g « (2.72)
Á% c g |Ê
b
y
{
e
e
g
Si noti ora che l’operatore che agisce su « non è invertibile: operando una trasformata di Fourier
g
esso va in %c g
~
c g , che ha autofunzioni con autovalore nullo
k
g
% cg ?
c g (2.73)
b
y
k
{
A causa dell’invarianza di gauge (1.15) del campo elettromagnetico, non si è in grado di trovare
quelle configurazioni del potenziale che soddisfano le equazioni dinamiche. L’operatore su «c diventa
invece invertibile dopo aver imposto una opportuna condizione supplementare.
L’esempio in esame fa anche luce sui rapporti tra il formalismo manifestamente covariante qui
impiegato e altre formulazioni. Nella trattazione canonica del caso abeliano i momenti coniugati
~
sono
(2.74)
|¹
c
e
|
+`c . Dalla definizione,
il
temporale delle coordinate spaziotemporali
A pedice indica la componente
A
|
|
g è antisimmetrico;
|³| comporta l’annullarsi identicamente di , valendo
c
A
~
A
A
H H
M
ª M
ª M H H
h g Mg h
h M
ÄöÄ! ¾
(2.75)
e « g
c h
h c
b
ï«e g ö

c
c
e
e
La condizione per l’esistenza di un formalismo canonico è che l’equazione (2.74) sia risolvibile
c"d
ï«e
49
per gli «
| in termini dei c e degli «Ác , ovvero
c
~

g
« c e q| k « q|
e
e
|³|
esprimibile ancora, usando la (2.3), come *( ÁI g L
c
palese l’inadeguatezza di tale formalismo nell’analisi del
(2.76)
. L’annullarsi identicamente di
|
rende
campo elettromagnetico. Si può mostrare che, qualora il formalismo canonico sia adeguato, esso è equivalente a quello sviluppato finora
(DeWitt 1965). Quando non è adatto, come in tal caso, si può passare a una trattazione in termini di
sistemi vincolati (Dirac 1964).
La generalità della condizione (2.45) si evince dal fatto che se un disturbo infinitesimo ritardato o
H Z
avanzato 0 8 non la soddisfa, si può fare in modo da avere un disturbo che soddisfi la (2.45) grazie
a una trasformazione di invarianza
H:Z
H:Z
0 8 <D
0 8 £ 8 H:Z<¦ H:Z<¦ #$
Z
è
øX$
8
H:Z
0 8
b
(2.77)
2.7 L’operatore dinamico
Si introduca l’operatore differenziale
A
8 [d
x{
8[
ø Â
¶
8
#$
øX$
[
(2.78)
#$
dove ø A è il trasposto di ø . Scegliendo correttamente le proprietà di realtà di ø e di ¶
si può
8
8
8
#$
rendere
autoaggiunto. Se si sceglie la matrice continua ¶
tale che si trasformi come suggerito
8[
dai suoi indici, ossia
H
A
¶
#$
¶
#$
£ 8
8
À
H4¦
À ¾
À Ã
7Ã
¶
$ H§¦
À ¾
$
À Ã
¶
§H ¦
Ã À
(2.79)
µ
si trasforma come indicano i suoi indici, ossia come x o .
8[
8[
8[
#$
Grazie alla non singolarità di #$ e di ¶ ,A sfruttando il criterio di fedeltà (1.24) e la condizione di
allora
completezza, si dimostra la non singolarità di . Le due ultime condizioni implicano che i flussi £P
8[
costituiscono un insieme completo linearmente indipendente di autovettori con autovalore nullo della
matrice x . Si può, quindi, aggiungere a essi un altro insieme di vettori linearmente indipendenti
8[
50
2.7. L’operatore dinamico
Ã
8 , tali che le matrici
Ú
Ã
y
£ 8
y
£ 8
8
x
(2.80a)
Ú
Ã
{
8[
[Þ
(2.80b)
{
siano non singolari. Questa operazione è lecita se le matrici continue in considerazione hanno le
stesse leggi che governano la completezza e la non singolarità delle matrici finite discrete. Ciò sarà
assunto nel seguito; per le matrici riguardanti i casi di interesse fisico può essere dimostrato (DeWitt
1965).
Ã
Con una scelta opportuna si può fare in modo che gli
8
singolari, ma siano anche ortogonali ai £ 8 :
Ã
ø>
8
8
Ú
non solo rendano le matrici (2.80) non
Ú
(2.81)
b
Se questa ortogonalità non è gia soddisfata, la si può ottenere con la trasformazione
Ã
Ã
8\ Ú
8
#$
£ 8 è
Ú
Ã
øX$
[
[
Ú
(2.82)
Ã
che non distrugge l’indipendenza lineare degli 8 , grazie alla non singolarità della (2.80) che comÚ
Ã
porta l’indipendenza lineare dei vettori combinati £ 8 8 . È da notare che, a causa della non loÚ
Ã
calità delle funzioni di Green tipiche, la (2.82) implica che gli 8 , al contrario dei £¥8 , non sono
Ú
generalmente funzionali locali delle 0 .
Quando la condizione (2.81) è soddisfatta si ha
Ä
£¥8 A
Ä
£ [$
Ã
[Þ
µ
µ
¶
Ã Ã
Å
Å$
(2.83)
Ã
b
[Þ
x 8 {
8[
ÚQÅ
Ú
Å
#$
La matrice nel membro destro è non singolare, non essendolo #$ , ¶
e la seconda
matrice della
A
Ã
8
d
8[
d
f
f
µ
Ã
(2.80). Poiché anche la prima matrice nella (2.80) è non singolare, tale è anche
.
8[
A
Le funzioni di Green dell’operatore dinamico
hanno proprietà analoghe a quelle delineate per
8[
x{ : sono inversi destri e sinistri, verificano relazioni di reciprocità del tipo (2.30) avendo definito
A
8[
analogamente le condizioni al contorno. D’ora innanzi qL8 [ denoteranno le funzioni di Green di
.
8[
Quando la condizione supplementare (2.45) è soddisfatta, l’equazione (2.4) può essere sostituita
da
A
8[
H
0 [ $PQO
51
8
(2.84)
che ha soluzioni
H:Z
Z
con ovvio significato per le q
Z
0 8 CPQq
8[ O [
(2.85)
8 [ avanzate o ritardate, che soddisfano
A
Z
H
n [ [
q
8n
b
8
(2.86)
µ
A
#$ e quelle di
C’è un’importante relazione tra le funzioni di Green (2.47) di
identità (2.6), (2.46) e (2.78) si ha
A
£ n $ x{ £ n $ ø ¶ À ø
£ n $ ø À
[n
[n
[
[
À n
8[
. Usando le
µ
$
À
(2.87)
b
Z
Z $#
Moltiplicando questa equazione da sinistra per q 8 [ e da destra per è
e notando che l’intersezione
dei supporti di questi fattori (con s e fissati) è compatta, così da poter eseguire le integrazioni in
qualsiasi ordine, si ottiene al membro di sinistra
A
Z
Z $Æ
H
8[
q
£ n$ è
8 £ n $ è
[n
n
al membro di destra
$#
Z
Z
8 [ øÀ
[
À
$#
Z
$è
£ 8$ è
Z
H 8 [ øÀ
%q
[ À
Z
%q
dunque
$#
Z
pq
8[ ø
[
Di ancora maggiore utilità è la trasposta della (2.87):
A
£ 8
£ 8 x{ ø ¶ Ã À ø
£ 8 ø
8[
8[
8Ã
8Ã
À[
y
Moltiplicando da sinistra per è
è
#$
Z
Z
#$
7Ã ø
Ã À À[
¶
(2.88)
e da destra per q
A
£ 8
8[
q
Z
#$
Z
[ n è
Z
q
Z
[ n H $
7Ã À ø
À[
Ã
¶
q
Z
8[ ø
[
(2.89)
(2.90)
µ
¶
ÃÀ ø
À[
Ã
ÃÀ ø
À[
¶
(2.91)
b
[ n si ha per il membro di sinistra
£ 8
H
Z
8
n è
#$

$Æ
£ n
(2.92)
; al membro di destra
$
[ n %¶ À ø
52
Z
b
{
#$
avendo sfruttato
anche le relazioni di reciprocità per le è
µ
Z
µ
q
è
$#
Z
£ 8 $ è
À[
q
Z
[ n Áø
$
[
q
Z
[n
b
(2.93)
2.8. Parentesi di Peierls
Da ciò si ottiene la relazione
$
ø
Z
[
q
$#
[ n èÆ
da cui
£ n
ø
Z
À[
q
[ n ¶5$
À
è
$#

£ n
(2.94)
(2.95)
b
Quest’ultima può essere utilizzata per mostrare la consistenza delle condizioni supplementari
usate al principio, ovvero che la soluzione (2.85) dell’equazione (2.84) soddisfa la (2.45):
ø>
8
H:Z
0 8 pPSø>
8
$
8[
O p
PQ¶5$#åèÇ À £ [ O [
[
À
Z
q
b
(2.96)
L’annullarsi dell’espressione deriva dalla proprietà di invarianza dell’osservabile O .
2.8 Parentesi di Peierls
A
Siano O e due osservabili fisici qualsiasi.
Si definisce, intendendo nella definizione degli effetti
ritardati (2.36) le funzioni di Green di
, la parentesi di Peierls di O e come
8[
OÈ"
d
Ü á Z

ÔÜ £ á
O
b
(2.97)
Usando la definizione (2.36) e la relazione di reciprocità (2.38) si può riesprimere la (2.97) nella
forma

S
OÈ"´ZÜá ZÔÜ sO q 8 [ /
(2.98)
[
8

dove q8 [ è la funzione commutatore di figura 2.1 del paragrafo 2.4, che soddisfa la (2.28) e la (2.26);
essa ha un ruolo rilevante nella teoria quantistica.
In linguaggio operatoriale, indicando gli operatori in grassetto, la (2.98) stabilisce che il commutatore di due invarianti qualsiasi può essere calcolato trattando le variabili dinamiche di cui sono
composti come se fossero operatori ben definiti soddisfacenti le relazioni di commutazione

»
0 8 :0 [
½
us
q
8[
b
(2.99)
In presenza di un gruppo di invarianza infinito-dimensionale le 028 non sono ben definite, essendo determinate, già classicamente, soltanto a meno di una trasformazione del gruppo. La (2.99) è rigorosa
solo in assenza di un tale gruppo; nel calcolo dei commutatori degli invarianti, comunque, non si
commettono errori quando la si utilizza.
Le parentesi di Peierls (2.98), inoltre, sono parentesi di Poisson, come mostrato dallo stesso Peierls
53
(Peierls 1952), e giocano un ruolo fondamentale nella teoria quantistica della misura, come si può
arguire dalla forma generale del principio di indeterminazione (DeWitt 1965)
²
O
²
ÊÉ
ª
ö ¯
OÈ"
¯
(2.100)
una cui discussione completa, però, non trova spazio in questo ambito.
Per studiare le proprietà della parentesi di Peierls conviene innanzitutto analizzare le proprietà dei suoi
costituenti Üî á . L’espressione (2.36) che definisce i Ü á comprende le funzioni di Green q [ 8 ;
esse dipendono da specifiche scelte per i funzionali ø´ che compaiono
nele condizioni supplementari
A
8
#$
(2.45) e per ¶
che appare nella definizione dell’operatore
. Poiché i Ü á rappresentazno gli
8[
effetti fisici delle variazioni fisiche nell’azione, essi devono essere indipendenti da ø e da ¶ .
A
H
A necessari due lemmi. In primo luogo sia
Per provare questa asserzione sono
una variazione
8[
H Z
infinitesima qualsiasi nell’operatore
. Si denotino con q 8 [ le corrispondenti variazioni nelle
8[
sue funzioni di Green avanzate e ritardate. Variazioni della (2.86), poiché le variazioni infinitesime
soddisfano la regola di Leibniz, danno l’espressione
A
A
H Z
H
Z
n [
n[ (2.101)
q
q
8n
8n
la cui soluzione con le corrette condizioni al contorno è
A
H Z
Z
H
8[ p
q
q 8n
nto
q
Z
o[
(2.102)
in cui le integrazioni per parti e lo scambio dell’ordine di integrazione, come per tutte le espresssioni
di questo genere, sono permessi dalla cinematica delle funzioni di Green soltanto quando i segni
corrispondono in entrambi i membri dell’equazione.
q
Z
A
La relazione (2.86)
ha un importante ruolo nella teoria quantistica dei campi. Funzioni di Green
di un operatore che soddisfano
A
H
H
qs
q
q
(2.103)
sono chiamate funzioni di Green coerenti; esse possono essere separate in classi di coerenza, ad
esempio q á e è á appartengono alla stessa classe.
A
H
Il secondo lemma si ottiene inserendo nel membro destro della (2.102) la forma esplicita che
n_o
H
H #$
assume sotto variazioni infinitesime ø2 in ø e ¶
in ¶ :
8
A
H
H
H #$
#$
#$ H
ø ±
¶
øX$ ²ø ¶ ø>$ ²ø ¶
øX$
(2.104)
n_o
n
o
n
o
n
o b
54
2.8. Parentesi di Peierls
Utilizzando la (2.90) e la (2.95) si ottiene
H
q
Z
8 [ sq
Z
H
8[ ø
è
n
#$
Z
#$ H
Z
£ [ $ Ê£ [ è
¶
$
À èÆ À Ã`£ [
£ 8 è
Ã
Z
#$ H
ø>$
n
q
Z
n[
b
(2.105)
H
H
Ricordando che O e in quanto invarianti sono tali che O¿
e Ö
, si inserisca questa
equazione nel membro destro della (2.98). Poiché ogni termine dell’espressione risultante ha un
vettore di flusso Ë´ contratto con una derivata funzionale dell’osservabile O o dell’osservabile o di
entrambi, in virtù dell’invarianza (1.19) si conclude che
H
Ü
Z

(2.106)
b
È opportuno chiarire che, per ogni 0 in @| , i valori dei Ü
Z
0 , invece, i Ü non sono osservabili fisici a meno che O e
Z
sono fisici; come funzionali delle
siano entrambi invarianti assoluti. Si

può, infatti, provare (DeWitt 1984) che valgono le espressioni
y
Ü
Ü
Z
§
á+ÍÎ Î
Z

{
Ïux
[ ·
8
£ 8 %O 8 Ì/ 8 8W·
8
[ 9yÜ
Z
O

8W·
8 Ì/
8
8 x 8 x
(2.107)
8[ ·
[
b
(2.108)
Inserendo questi due risultati nella (2.98) si ottiene subito, per le stesse proprietà che conducono alla (2.106) e per la (2.6), che la parentesi di Peierls è sempre un osservabile fisico ed è anche
invariante per variazioni in O e della forma OZ<D Oî¦ 8 x{ con 8 coefficienti dipendenti dalle 0 :
8
OG" £ 8 8
y
E 8 x È [
x [
8
·
OÈ"
O
{
b
(2.109)
(2.110)
Ciò significa che è ininfluente se le equazioni dinamiche siano usate prima o dopo il calcolo delle
parentesi di Peierls, ovvero l’uso delle parentesi di Peierls commuta con l’uso di qualsiasi condizione
o restrizione on shell.
Dalla linearità della (2.84), che permette l’applicazione del principio di sovrapposizione, e dalla
55
regola di Leibniz si ricavano le relazioni tra invarianti OÈ e ¾ :
Ü
Ï¾´Ü
Ü
Ü
S £
Ü
£
¾ÏÜ
¾Ü
¾CïÜ
²Ü

¾
"¾²ÐÏÜ

¾²Ü
£
¾
(2.111b)
¾.ÊO"ïÜ
(2.111a)
¾

(2.111c)
¾
£
(2.111d)
b
Grazie a queste equazioni si vede che le parentesi di Peierls soddisfano le relazioni note come identità
semplici
OG")LÏ/LO¢
(2.112a)
OG¾´COÈ"¬O¾
OG¾)OÈ¾ANO¾
(2.112b)
(2.112c)
b
Esse, inoltre3 , in quanto costituiscono le parentesi di Poisson della teoria in esame, soddisfano anche
l’identità di Poisson–Jacobi:
O§Ï/¾`Ï/4j¾KLO¢_µ¹¾K4OÈ_´
(2.113)
per tre invarianti qualsiasi OG e ¾ . Applicando la (2.98), il membro sinistro diventa

O
8
q

8 o #/
[
q

[ n ¾K
n
o

pO / ¾K
8o [
n
8[
q
q
q
[ o ´¾K
q

[o q
n
q

n8
O 8
o
¾K

O / K
¾
8 [o
n

O / ¾K
8 [
n
q

nto rO

[n
q

8oq [ n
q
n

[ oq n 8
q

n8
[

nto q

ÌO / ¾K
[
8
nto
,/

q
8
8[ ¥
q

8o
8oq [ n o
q

o

nto q 8 [
q
[

[ oq n 8 o

q

nto q 8 [ o
b

I primi tre termini si annullano per l’antisimmetria della funzione commutatore q 8 [þ qÁ[ 8 e per la
commutazione delle derivate funzionali. Grazie alla (2.102), usando la (2.78), la (2.90) e la (2.95), si
3
In effetti la (2.112c) coinvolge la struttura di prodotto, la cui introduzione non è richiesta nell’identità di Jacobi, che
sotto questo aspetto è considerata più semplice della (2.112c).
56
2.9. Problema di Cauchy per i campi di Jacobi
ha
q
Z
A
8 [ ÒÑ2pq
Z
pq
8Í
Z
Ñq
ÍÓ
8 Í§x
ÍÓ
ÑÔq
Z
Ó
Z
Z
[ pq
Z
[ ?q
Ó
8Í
y
8 Í¹ø
x 5
Ñ ø
Í
ÍÓ
Z
ÑSè
Í
#$
Ñ:ø
²ø
Ó
ø
Í
Ó
Z
£ $ [ £ 8 $ è
$

Z
q
Ñ
[
Ó
{
ø
Ó
Ñ
q
Z
Ó
[
b
Dividendo la funzione commutatore nelle sue parti avanzate e ritardate, come nella (2.26), inserendo
nell’ultima equazione la precedente si vede che, in virtù della proprietà di invarianza (1.19), restano
soltanto i termini con le derivate funzionali terze dell’azione. Permutando ciclicamente gli indici
S
õ
S
e e usando le relazioni di reciprocità q 8 [ Õq á [ 8 , si vede che questi termini si cancellano
·
vicendevolmente, potendo essere raggruppati nella forma
M
S
S
S
Ñ
Ñ
O ¥
¾K " q 8 Í
q á 8 Í ¬" q [ Ó q á n
q á [Ó q n [
8
n
S
q
S
[¬
Ó qKá [ ³
Ó ¬"q
q
S
Ñ
n
Ñ
S
Ñ
xq¥á n ¬q
S
Ñ
n ¥
q á 8 Í{q¥á n
8 ÍqKá [ X
Ó xqKá 8 Í
8 ÍÆ
q
S
[ :Ó :Oïx{
q
ÍÓ
Ñ
(2.114)
da cui segue che, poiché le q con tutti gli indici diversi commutano, il membro destro della (2.113),
ovvero la validità dell’identità di Poisson–Jacobi per le parentesi di Peierls, è dimostrata.
2.9 Problema di Cauchy per i campi di Jacobi
I campi di Jacobi, soluzioni della (2.2), quando soddisfano anche la condizione supplementare (2.45)
verificano l’identità
A
H
®
(2.115)
0v
La funzione commutatore e l’operatore Wronskiano risolvono il problema di Cauchy per questi campi.
Sia
una soluzione qualsiasi della (2.115) e sia T
definisca
×Ö>?+<
d

N?+X+ \ Ö
q
k
j
un’arbitraria ipersuperficie di tipo spazio. Si
c a Ä;+ \ 7*

la convergenza dell’integrale è garantita dalla cinematica di
determinata dai valori di
su q
c a
. Si vede che ØÖ
(2.116)
è completamente
insieme ai valori delle sue derivate, rispetto alle coordinate spazio57
temporali, su a .
indotte da
k
j
c . Usando la (2.15) e la (2.86) si può mostrare che Ö è in effetti uguale
Assumendo per il momento che + non giaccia su soddisfacenti
S
Ê+w
quando +w
w
si ha
ê
ì
í Ú
ØÖ>;+<Ô
Ú Ö
ëí
d:Ú ÖÂÛ
d:Ú Ö
ê
ì
í
ÖÂÛ
Ú Ö
Ê+Ùtu
c a þ?+ \ 7*=
j
cja þ?+ \ 7*
j
ì
í
ê
Ú Ö
H
ÖÂÛ
H
Ö
Ú ÖnÜ
k
á ?+X+]\ q
f
q
quando +Ùt
t
S
?+X_+]\ f
AY
A
\
AÝ
á ?+X_+ \ ¬ A Ì
Y
S
\
; +X_+ \ ¬
Ý
q
Ú Ö Ü
Ú Ö
Ú ÖEÜ
q
Ö
k
?+X_+ \ á
êë
ì
S
q
k
á ?+X_+ \ q
Ö
e
e introducendo ipersuperfici j
\
\
á
(2.117)
+t
c a þ?+]\È7*
c a
c a
û+w
Ë+t
5Ä;+ \ 7* V + \ +w
5þ?+ \ 7* V + \ +t
;+X_+]\ 5þ?+]\^7* V ]
+ \
+Ùwu
?+X_+]\È5Ä;+]\^7* V +]\<
+Ùtu
uÄ;+<
e +w
c a Ä;+]\^7*
j
k
c a
c a
S
(2.118)
b
La notazione usata dopo il terzo segno di uguale è soltanto un modo conciso di indicare una
Z
differenza tra integrazioni. La sostituzione di q con q
e l’inserimento degli integrali nulli Ú ÖÂÛ e
Z
sono permessi dalla cinematica di q .
Ú ÖnÜ
A
Sebbene la (2.118) valga soltanto quando + non giace su , l’arbitrarietà di q
permette di concludere che del tutto in generale vale

T
þ?+<)

P;+X_+ \ Ö
q
k
j
c a þ?+ \ 7*
c a
b
e il fatto che
(2.119)
Questa è la soluzione del problema di Cauchy per l’equazione (2.115); è evidente che gli appropriati
dati di Cauchy su sono selezionati dall’operatore Wronskiano.
58
2.10. Disturbi finiti
2.10 Disturbi finiti
Come già specificato nel paragrafo 1.2, la costruzione di una teoria classica dei campi è un ausilio alla
successiva descrizione della teoria quantistica. A tal fine dal principio si è adoperato il linguaggio dei
piccoli disturbi, di natura quantistica, pur delineando il caso classico. In questo paragrafo tale tendenza verrà ulteriormente esasperata, giungendo a vedere come con oggetti classici si possano trovare
relazioni che saranno ben poste nella teoria quantistica, in particolare nelle ampiezze di diffusione,
per oggetti che avranno le stesse proprietà formali delle loro controparti classiche.
Si consideri un sistema avente uno spazio vettoriale come spazio delle configurazioni Þ . Una data
storia 0 può essere vista come un vettore nello spazio delle sezioni del fibrato, a prescindere dalla sua
banalità. Sia 0yY @)| e sia 0Ê un’altra soluzione che differisce in maniera finita da 0 :
M
M
x 0>O<
x 0Ê]O<
8
8
b
(2.120)
Sottraendo la prima dalla seconda ed effettuando un’espansione in serie di Taylor intorno a 0 si ottiene
x
8[
ª
[ ö
x
8[ n
ª
[ #
÷nß
x{
8 [ nto
[ n o u!§!§! (2.121)
dove le funzioni di vertice x Æx{ , etc. (le derivate funzionali dell’azione con n pedici sono dette
8[
8[ n
funzioni di vertice di ordine (n-1)), sono valutate in 0 e i sono chiamati disturbi finiti. Se le funzioni
di vertice di ordine n, per n maggiore di un certo intero, sono nulle, la serie termina e il sistema è
chiamato polinomiale. Se ciò non accade il sistema si dice non polinomiale; per un tale sistema la
serie può non convergere, sebbene ci si aspetti che lo faccia per abbastanza piccolo, almeno per
certi sistemi.
La (2.121) si può riscrivere come
M
x{
8[
[
y
x
0 ²SO]x [
8
8[
(2.122)
{
in cui l’espressione tra parentesi nel membro destro è ciò che si intende per la sommaM dei termini
escluso il primo nella (2.121). In questo paragrafo si assumerà sempre 0yYî@å| , così x{ 0XO< .
8
Se il sistema non ha gruppi di invarianza, l’operatore dei campi di Jacobi non è singolare e la
(2.122) può essere rimpiazzata, almeno formalmente, dall’equazione integrale non lineare
M
n Z nà
q n 8 ³x{ 0²SO]x [ 8
8[
59
(2.123)
dove q n 8 è una funzione di Green di
x e nà è un campo di Jacobi finito che soddisfa
8[
x
8n
nà (2.124)
b
L’equazione (2.123) può avere una validità solo formale, perchè c’è un’integrazione implicita associata con la funzione di Green e l’integrale può non convergere. Si può fare in modo che esso converga
restringendo il suo dominio, limitandosi a una regione finita dello spaziotempo. In una dimensione
(meccanica classica ordinaria) il dominio deve essere sempre ristretto; in un numero maggiore di
dimensioni (teoria dei campi) esso deve essere ristretto se le sezioni spaziali di sono compatte.
Quando le sezioni spaziali sono non compatte e il campo ha la forma di uno o più pacchetti d’onda,
spesso l’integrale converge senza restrizioni; ciò sarà assunto nel seguito.
Pur in presenza di gruppi di invarianza una soluzione della (2.123) è ancora soluzione della
(2.122), purchè A
ratore dinamico
soddisfi la (2.124) e q sia una qualsiasi funzione di Green coerente dell’ope(cf. DeWitt 2003). L’equazione (2.123) si può risolvere formalmente per iteraà
zione: espandendo le parentesi in serie di Taylor e sostituendo ripetutamente le sulla destra con le
espressioni ottenute, si ha
ráZ
áà
?q¡á 8
ª
ö
½
nà oà 8 nto
ª
½
nà oà
÷nß 8 ntoÒâ
âà
b#bÆb

(2.125)
_½
dove i coefficienti ½
, etc., sono chiamati funzioni ad albero. Si dice che il coefficiente con
8 nto 8 ntoãâ
n pedici è di ordine n-1; ognuno di essi si può rappresentare come somma di grafici ad albero con
un tronco e ä rami esterni per äÉö , cui assegnare i valori seguenti. Ogni linea interna rappresenta
una funzione di Green q e ogni biforcazione (o vertice) con m rami rappresenta una funzione di
vertice di ordine m. Poiché le q non sono necessariamente simmetriche, ogni linea interna può avere
un’orientazione. Si richiede che le orientazioni siano le stesse lungo ogni percorso dal tronco a un
ramo esterno. Infine si somma su tutte le permutazioni distinte degli indici liberi associati ai rami
esterni, con un fattore -1 incluso per ogni scambio di coppie di indici. È da notare che, anche se
il sistema è polinomiale, avente solo un numero finito di funzioni di vertice non nulle, il numero di
funzioni ad albero è sempre infinito se le equazioni dinamiche sono non lineari.
Non vi è alcuna garanzia che la serie (2.125) converga; le funzioni ad albero, però, sono individualmente ben definite. Esse, inoltre, possono essere combinate tutte nell’espressione seguente:
å
J
Væ
ª
k
ä×ß
½
A
8 n¹lmlml oãâ
8 à nà
b#b#b
oà
âà
M
þ 8à
8n
Ï n y nà )
:x
0 ÊSO7x{ n 8à x{ 8à nà
8
8n
8n
60
(2.126)
2.10. Disturbi finiti
che è ben definita indipendentemente dalla convergenza della (2.125). Ogni funzione ad albero può
essere ottenuta derivando questa espressione rispetto ai
à
e ponendo nulli i
à
.
Nella (2.120) 0 è il campo di background; esso va tenuto fisso nel corso di una data analisi. Nel discutere le trasformazioni di invarianza si deve allora lasciar ricadere l’intero peso della trasformazione
su :
M
H
H4¦
££ 0î²SO
(2.127)
b
Nel primo caso dei commutatori delle trasformazioni di invarianza, quando la realizzazione del
gruppo fornita dalle variabili dinamiche 0 e è lineare, ossia
M
M
M
²
£/ £¥ 0ÐSO
£/ 0Ê]O]Ê£/ 0>O<£/ 8
[n
d
8
(2.128)
si può tentare di far ricadere il peso della trasformazione sia su 0 che su . In tal caso la (2.127) viene
rimpiazzata da
M
H
H§¦ H
H4¦ H
H§¦ 0 8 £ 8 8 £ 8 [
G0 8 Ê 8 ´£ 8 0Ê]O
(2.129)
[
b
Con le appropriate scelte su ø e ¶ descritte in precedenza, volte a far sì che si trasformino in modo
manifestamente covariante, tutte le equazioni di questo paragrafo hanno una manifesta covarianza.
Le funzioni di Green e i corrispondenti operatori si trasformano nella maniera attesa:
H
q
Z
8 [ ³£ 8 q n [
£
n
A
A
H
L
£ n
8[
8n
Il campo di Jacobi
à
[
n
[
Z
q
A
8n 8n
H4¦ £ n [
H4¦ H
Z
è
$ µ ¹¾
H
ÃÀ
è
$ j¾
Z
µ
À $ Êè
À $ µ
Z
ÃÀ
ha la stessa legge di trasformazione dei disturbi finiti:
H
8à £ 8 nà
n
H§¦ b
¾ À $ Ã
À
¾ À $ Ã
À
H§¦
H§¦
Ã
Ã
(2.130)
b
(2.131)
Questa manifesta covarianza è un valido ausilio nei calcoli; di maggior aiuto sono le seguenti
considerazioni. In teoria quantistica della diffusione (scattering), sia nell’approssimazione di ordine
più basso che agli ordini più elevati, si incontrano strutture con la stessa forma generale dei termini
nella somma del membro sinistro della (2.127). Questi termini, ossia ½
]8à nà{!§!§!t oà âà , sono
8 n¹lmlml oãâ
chiamati ampiezze ad albero. In teoria della diffusione divengono ampiezze fisiche che rappresentano
probabilità di transizione; essendo quantità fisiche, il loro valore non può dipendere da scelte arbitrarie
quali quelle su ø e ¶ , né può subire variazioni sotto traformazioni di invarianza. A conferma di queste
61
osservazioni ci sono tre importanti teoremi, noti come teoremi ad albero:
1. le ampiezze ad albero sono invarianti sotto la trasformazione (2.127),
2. le ampiezze ad albero sono invarianti sotto variazioni in ø e ¶ ,
3. le ampiezze ad albero sono invarianti sotto le trasformazioni di gauge (2.129) e (2.131). Sebbene siano semplici da dimostrare, questi teoremi sono altamente non banali.
L’assunzione iniziale di spazio vettoriale per
Þ
è stata usata soltanto nel richiedere che le sezioni
del fibrato possano essere sommate, come in 0u . Ciò suggerisce che la teoria delle ampiezze ad
albero e dei rispettivi teoremi dovrebbe essere applicabile anche nel caso più generale. Un modo
di sviluppare questa idea è di considerare il campo di background come un punto-base (punto dello
spazio base) in @ , introdurre una connessione su @ e rendere 8 le corrispondenti coordinate normali
geodetiche aventi 0 come punto base. I 8 costituiscono un insieme preferenziale di coordinate su @
e sono componenti di vettori nello spazio tangente a @ in 0 , e le funzioni di vertice diventano derivate
covarianti funzionali dell’azione. Ci sono due aspetti negativi di siffatte coordinate: la connessione
naturale può essere un funzionale non locale su @ e 0 può avere punti coniugati (cf. paragrafo 2.2),
ove le coordinate S8 diventano singolari. La serietà di tali impedimenti, soprattutto del primo, porta a
un’altra estensione della teoria delle ampiezze ad albero.
Restando vicini al punto base 0 , si può mantenere sempre la stessa carta in @ e considerare 0 8 8
come somma di una variabile coordinata e di un incremento della coordinata nella carta scelta. Questo
modo di vedere i disturbi finiti non è proprio rigoroso, poiché 0 8 º 8 non ha un significato geometrico
indipendente dalla carta; esso, però, ha la virtù di lasciare inalterato tutto ciò che è stato sviluppato in
questa sezione. Occorre soltanto verificare che le ampiezze ad albero stesse siano indipendenti dalle
carte: esse sono quantità fisiche, quindi non possono dipendere da un’arbitraria scelta delle variabili
dinamiche con cui descrivere il sistema. Un cambio di carta consiste nel rimpiazzare un insieme di
variabili dinamiche 0 8 con un insieme di variabili funzionalmente correlate
M
0 8 <D 0 8 0 8 0>O (2.132)
dove si richiede che la freccia indichi una mappa invertibile e funzionalmente differenziabile insieme
alla sua inversa. Sotto la (2.132) un disturbo finito subisce la variazione
M
M
ª
8 <D 8 0 8 0²SO] 0 8 0XO< 0 8 [ 0 8 [ n [
[n
ö
b#b#b
(2.133)
intendendo un’espansione in serie di Taylor nel membro destro. Il campo di Jacobi à , come i disturbi
H
infinitesimi 0 del paragrafo 2.2, è un elemento dello spazio tangente » a @ e si trasforma come
°
62
2.11. Campi asintotici in e out
farebbe nel limite D
:
8à <
D
8à 0 8 nà
n
(2.134)
b
L’invarianza delle ampiezze ad albero si ottiene (cf. DeWitt 2003) quando le 0 8 sono funzionali ultralocali delle 0>8 , ]8à e S8 hanno la forma di pacchetti d’onda e i prodotti à ` si annullano rapidamente
all’infinito; questo è proprio il caso di interesse in teoria della diffusione. Tale invarianza è un caso
particolare di invarianza di ampiezze di diffusione sotto cambiamenti nella scelta di campi di interpolazione; ovvero è visto come un campo che interpola tra campi di Jacobi asintotici all’infinito.
Seppur non si possa scegliere un campo di interpolazione arbitrario, sotto leggere restrizioni 4 si ha
un quarto teorema ad albero:
ç
le ampiezze ad albero sono invarianti sotto cambiamenti di carta e, quindi, indipendenti dalla
scelta dei campi di interpolazione.
2.11 Campi asintotici in e out
Si supponga che il campo di background 0 corrisponda a uno spaziotempo asintoticamente piatto e
vuoto in tutte le direzioni, sia di tipo spazio che di tipo tempo, e metricamente completo, ovvero privo
S
di singolarità. Sia la q in (2.123) q
o q á , si supponga che sia una data soluzione della seconda
delle (2.120) e che à sia definito riscrivendo la (2.123) come
M
H
oà Z o
q o 8 :x 0ÊSO7Êx{ n ´C o q o 8 x{ n
(2.135)
8
8n
8n
b
n
Conviene introdurre simboli speciali per i campi di Jacobi ottenuti usando le funzioni di Green
q
á :

S
Z
H
n C n ?
q
[
Z
n 8 x
8[
_ [
q
S
e
(2.136)
b
á sarà chiamato campo in e campo out, corrispondenti al background 0 e al disturbo finito .
Spesso si assume che abbia la forma di un pacchetto d’onda con un’ampiezza tendente asintoticaS
mente a zero nel remoto passato (usando q á ) o nel remoto futuro (usando q ); in tal caso coincide
S
con á e nel remoto passato o futuro rispettivamente.
Z
Poiché i campi in e out soddisfano l’equazione lineare x n , essi hanno proprietà semplici,
8n
particolarmente nelle regioni asintotiche dove il background diventa piatto e vuoto. in tali regioni è
4
Ad esempio ammettere accoppiamenti nell’azione tali che i quanti dei campi sono stabili e non decadono uno
nell’altro.
63
Z
generalmente facile costruire funzionali dei
H

Z
H4¦~Z
£
invarianti sotto le trasformazioni
H§¦<Z
Z
C:ª I è
²
ø
H4¦
£N
(2.137)
indotte dalla trasformazione (2.127) in . Questi invarianti, chiamati invarianti asintotici, sono
osservabili fisici.
M
M
M
ANM
APM
Z
Z
Z
Esiste un’importante relazione tra q
0îSO e q GÊq
0>Oý . Sia © 01]O
0îSOS
0>O ,
d
allora
A
M
A
M
M
Z
Z
Z
q
0Ê]OLª I ©%q
©Ä q
0Ê]Oª I o
0Ê]O; (2.138)
che ha l’unica soluzione
M
Z
Z
q
0²SO<p
q :ª I ©Æq
Z
M
0î²SOý
da cui
ª I q
Z
Z
©Äq
M
0ÊSO<Cq
Z
(2.139)
b
Prendendo la trasposta dell’ultima identità e usando le relazioni di reciprocità (2.30) si ha anche
M
Z
(2.140)
q
0Ê]O³:ª I Ê%
© q ´s
q
b
Queste relazioni sono utili nell’esprimere una parentesi di Peierls per gli osservabili fisici
termini dei campi in e out: grazie ad esse, infatti, le parentesi
M
M
M
M
M

O 0ÊSOÏÈ 0Ê]O;)pO 0Ê]O q 8 [ 0²SOH/ 0²SO
[
8
possono assumere la forma
M
M
O 0Ê]OGÈ 0²SOý¤
M
H
H

Z
8
O
0²SO q 8 [ H

e

in
(2.141)
M
H

O
Z
[

0²SO
(2.142)
ottenibile con un po’ di algebra, purché abbia la forma di pacchetto d’onda che si annulla asintoticamente.
2.12 Leggi di conservazione
Quando il campo di background soddisfa le equazioni dinamiche, ovvero le prime della (2.120),
le seconde della (2.120) soddisfatte da un disturbo finito possono essere derivate da un funzionale
64
2.12. Leggi di conservazione
d’azione alternativo
M
M
M
M
x 01]O
x 0Ê]O]x 0>O]²x{ 0XO; 8 d
8
ª
ö
x
8 [ 8[
Mantenendo il background fisso e variando si ha
M
M
M
H
H x 0ÐSOx 0Ê]O]Êx 0>O<x [ 8
8
8[
8
ª
x{
ö
8[ n
ª
÷nß
x{
[ n 8 [ n 8[ n
ª
÷nß
x{
8 [ n_o
(2.143)
bÆb#b
[ n o b#b#b
(2.144)
Passare da x a x è utile, perché nelle situazioni reali è sempre presente un background, anche se è
solo uno spaziotempo piatto vuoto. Nel metodo del campo di background tutta la dinamica è dovuta
al disturbo finito ; ci si può chiedere, però, che accade mantenendo fisso e variando 0 .
H
Ù
8 d
H
M
M
M
x
8[
[ ¢Ù
x 0ÐSOx{
0 ²SO]x 0>OS²x{ [ 8
8
8[
0 8
8
ª
ö
x
(2.145)
8[ n
[ n ª
÷nß
x
8 [ nto
[ n o bÆb#b
(2.146)
Ù contiene tutti i termini non lineari della (2.144); le sue componenti Ù sono chiamate sorgenti interne
8
per i campi 8 . A seconda della natura degli accoppiamenti tra i campi, alcuni accoppiamenti della
(2.145) possono avere la proprietà che tipi distinti di campi appaiono a sinistra e a destra. Quelli a
destra sono chiamati sorgenti per quelli a sinistra. Altre componenti della (2.145) avranno la proprietà
che gli stessi campi appaiono in entrambi i membri; in tal caso si dice che i campi servono parzialmente come proprie sorgenti. Esempi di quest’ultimo tipo sono i campi di Yang–Mills e i campi
gravitazionali.
Le sorgenti interne esistono sempre quando il sistema è non lineare, a prescindere dall’esistenza
di flussi di invarianza. Se questi ultimi esistono, in virtù della (1.9) e della (1.17) le sorgenti interne
soddisfano l’equazione
M
£ 8 Ù £ 8 x 0Ê]O
(2.147)
8
8
b
Quando le equazioni dinamiche (2.144) sono soddisfatte, essa si riduce a
£ 8 Ù
8
b
(2.148)
La (2.148) talvolta è chiamata legge di conservazione, ma impropriamente; solo quando il campo di
background è particolare essa è una vera legge di conservazione.
Si supponga l’esistenza di funzioni è , non tutte identicamente nulle, tali che
M
T }
£ 8 è
ossia
£ 8 0>O è a * V + \ (2.149)
b
a
65
Le è
sono chiamate componenti di un campo di Killing è . Si può esplicitare la natura dei vettori di
flusso nella forma
£ 8
dove le Ü
a
ÁÜ 8 c
sono funzioni delle 0 e le
condensata ( non include un +EYE
trova
h c c
e+ c
é 8 yÜ 8 c c
;+X_+ \ (2.150)

e
funzioni delle 0 e delle 0 , e non è stata usata la notazione
c
). In questo caso, moltiplicando la (2.148) a destra per è , si
é
h
c è chiamata la densità di corrente associata a
h
H
c
Ù Ü 8 c
8
d
è
b
(2.151)
; è essa che porta una quantità conservata, non
Ù . Soltanto quando è moltiplicata per un campo di Killing la (2.148) esprime una vera legge di
conservazione. La quantità conservata cui h c dà luogo è la carica ê associata a è :
è
T }
ê
d
h
c *=
c
(2.152)
dove è una qualsiasi ipersuperficie di Cauchy completa di tipo spazio. La (2.151) garantisce
l’indipendenza di ê da .
Quando 3:è
6 è una base nello spazio vettoriale dei campi di Killing posseduti da 0 , le cariÚ
H
che associate sono osservabili fisici ( ê ), ossia invarianti sotto le trasformazioni (2.127), che
Ú
soddisfano la seguente relazione in termini di parentesi di Peierls:
Hê
Ú
Nê#ÞX)Cêìë
ë
Ú
Þ
(2.153)
b
Ú r
Þ ë sono costanti di struttura di un’algebra di Lie, il cui gruppo di Lie corrispondente è chiamato
gruppo delle cariche (cf. DeWitt 2003). Quest’ultimo, che deve la sua esistenza a speciali simmetrie
possedute dal campo di background, è un vero gruppo anche quando non si è nel primo caso dei commutatori dei flussi, ovvero quando i flussi non generano un gruppo di gauge. Non bisogna confondere
il gruppo delle cariche con quello di gauge: il primo dipende dalla scelta del background, il secondo
no; il primo è finito-dimensionale, il secondo infinito-dimensionale. Il gruppo delle cariche non è
neppure un sottogruppo del gruppo di gauge: il primo coinvolge parametri di gauge ( i è ) che diH§¦ pendono da 0 e non hanno supporto compatto; i parametri
del secondo hanno proprietà opposte.
Spesso il gruppo delle cariche è chiamato un gruppo di invarianza globale e il gruppo di gauge un
gruppo di invarianza locale (cf. Appendice B).
Per calcolare le parentesi di Peierls nella (2.153) conviene far uso di uno speciale lemma. Si agH
giunge a un infinitesimo che può avere una dipendenza funzionale esplicita da 0 e e che si
annulla nel futuro di una certa ipersuperficie di Cauchy completa 66
SS
, così come nel passato di un’al-
2.13. Campi esterni
tra tale ipersuperficie t
SS . Ci si chiede come dovrebbe essere modificata la forma
á á
]
H
funzionale dell’azione x 01]O affinché
sia soluzione delle equazioni dinamiche modificate.
á]á
M , con La risposta è data dal lemma fondamentale:
ç
la variazione nella forma funzionale dell’azione che dà luogo a una data variazione infinitesima
H
in è uguale all’opposto della variazione nell’azione prodotta da tale
M
M
H
H
H
x 0Ê]O< H
x 01]O 8
(2.154)
b
8
H
Come corollario si ha che x è un invariante condizionato.
Oltre che spostandosi nelle regioni asintotiche, le cariche (e quindi la (2.153)) possono essere
calcolate anche all’infinito spaziale. Quest’ultimo è assente quando le ipersuperfici di Cauchy sono
compatte; ciò implica che la carica totale in un qualsiasi universo compatto è sempre nulla.
Sotto le trasformazioni di gauge (2.129), è facile verificare che le sorgenti interne si trasformano
come indicato dalla posizione dei loro indici:
H
Ù
8
¢Ù
£ [
[
8
H§¦ b
(2.155)
Tale proprietà permette di trattarle come se fossero oggetti covarianti, sebbene esse non siano osservabili fisici 5 . Ciò si vede semplicemente considerando che le (2.155) dipendono dalla suddivisione
del campo totale in un background e in un disturbo finito, suddivisione che non è univoca anche se
tutti gli osservabili fisici del background sono selezionati a priori. Il background, infatti, può ancora
essere scelto in una qualsiasi delle sue infinite rappresentazioni equivalenti sotto il gruppo di gauge.
Non essendo un oggetto covariante ben definito, si ha la (2.155) soltanto quando il background ha
H4¦ un campo di Killing è
e
è scelto proporzionalmente a quest’ultimo. Sotto tali trasformazioni
speciali, Ù è chiamato talvolta uno pseudo-covariante. Poiché Ù non è gauge invariante, non è generalmente possibile assegnare una definita posizione o distribuzione alla carica portata dal campo. Solo
la carica totale, data dalla (2.152), è ben definita, e ciò soltanto quando esiste un campo di Killing.
2.13 Campi esterni
In situazioni realistiche esistono di solito pochissimi background che possiedono campi di Killing e
soddisfano simultaneamente le equazioni dinamiche. È conveniente, perciò, assegnare valori fissati
selezionati di alcune variabili dinamiche e considerare fittiziamente che soltanto le altre possano va5
Alcune componenti í
ñ di í possono esserlo se il gruppo di gauge è abeliano.
67
riare. Le variabili fissate, spesso chiamate campi esterni, sono convenientemente indicate dai simboli
0 8î X , le altre con 0
, con indici presi dalla prima parte dell’alfabeto.
fossero entrambe dinamiche, la dinamica sarebbe descritta da un
M funzionale d’azioÍ
SeM 0>8î X e 0 Í
ne x 0 î X 10>O . Quando si fissano le 0 8î X , essa continua a essere descritta da x 0 î X 10>O , ma soltanto
M
attraverso le equazioni
x 0 î X 10XO
(2.156)
Í
b
M
M
L’equazione x{M 0 î X 10>O
in genere non è soddisfatta. Inoltre, x 0 î X 10>O di solito contiene un’ulte8
riore parte x î X 0 î X O dipendente solo dai campi esterni. Questa parte non contribuisce alla (2.156) e nel
seguito sarà ignorata. È interessante considerare il caso in cui i flussi invarianti posseduti dall’azione
riflettono la separazione di variabili nelle 0 î X e nelle 0 , così le identità nei flussi hanno la forma
M
M
M
M
(2.157)
x{ 0 î X 10>O?£ 8 0 î X Oux 0 î X 10XOïï
£ Í 0 î X 10>O<
8
Í
b
Definendo
Ù
in virtù della (2.157) si ha
Ù £ 8 8
8 d
x
8
(2.158)
M
³x{
Í
0
î X
10>O<
b
(2.159)
Le Ù , essendo derivate funzionali rispetto a campi esterni piuttosto che a un background, non sono
8
più sorgenti interne (ossia sorgenti per le variabili dinamiche). Esse, comunque, portano cariche
conservate in presenza di campi di Killing; un’analisi di tali cariche conserva lo stesso carattere del
caso precedente. Ci sono, però, importanti differenze. In primo luogo non vi è più la necessità che
le cariche siano nulle in universi compatti; in secondo luogo, oltre alle cariche, ora anche le correnti
Ù Ü 8 c è
e le Ù stesse sono osservabili fisici.
8
68
Capitolo 3
Teoria quantistica dei campi manifestamente
covariante
3.1 Riassunto
Questo capitolo sviluppa una teoria quantistica dei campi manifestamente covariante. Basandosi sui
risultati conseguiti in ambito classico, il passaggio alla teoria quantistica si basa sull’identificazione
euristica tra parentesi di Peierls di osservabili classici e commutatori dei corrispondenti operatori
quantistici.
Assumendo la validità del principio variazionale di Schwinger per le ampiezze di transizione, fatta discendere dall’identificazione suddetta, si giunge infine alla quantizzazione delle teorie di campo
tramite integrazione funzionale alla Feynman. Una costruzione completa di questo quadro manifestamente covariante richiede l’introduzione delle sorgenti esterne per i campi, dei prodotti cronologici e
della procedura di rinormalizzazione.
Particolare attenzione va dedicata alla definizione di un opportuno funzionale di misura; ciò è
ancora più importante nell’estensione del formalismo alla Feynman a teorie quantistiche dei campi
che ammettono gruppi di invarianza. La tecnica degli integrali alla Feynman applicata alle teorie di
gauge, a causa dei gradi di libertà non fisici che vengono propagati in queste ultime, porta all’introduzione dei campi di ghost, atta a bilanciare questo inconveniente. Il metodo adottato, anche noto
come metodo di Faddeev e Popov, lega l’operatore di ghost e il funzionale di misura in una teoria che
mostra le proprietà di regolarità richieste.
Una cura maggiore posta sulle regioni in e out consente la definizione della matrice ; permette
inoltre di calcolare la teoria generale sviluppata nel capitolo nel caso più semplice di campi lineari.
Ciò conduce all’espressione del propagatore di Feynman, per spaziotempi curvi generici, in termini
69
Capitolo 3. Teoria quantistica dei campi manifestamente covariante
del nucleo del calore e dei coefficienti della relativa espansione. Un raffronto con le proprietà del
propagatore nel caso classico pone maggiore luce sulle caratteristiche trovate nel caso generale.
3.2 Il principio variazionale di Schwinger
Invece di fare uso diretto di equazioni dinamiche operatoriali, si può esprimere il contenuto dinamico
della teoria quantistica in una forma più utile per le applicazioni. Un sistema quantistico è definito
assegnando una legge di corrispondenza tra gli osservabili del sistema (o le sue variabili dinamiche)
e gli elementi di un’algebra di operatori sullo spazio degli stati. Per i sistemi con un numero finito
di gradi di libertà questa corrispondenza è data stabilendo una relazione di proporzionalità tra i commutatori quantistici e le parentesi di Poisson classiche. Questa procedura (canonica) non si estende,
però, in modo automatico alla generalità dei sistemi con infiniti gradi di libertà; in particolare, nella
teoria dei campi in uno spazio tridimensionale, essa è sicuramente applicabile al solo caso libero, in
cui peraltro fornisce un metodo particolarmente diretto di costruzione e di analisi. Si ritiene oggi che
il metodo di Feynman della somma sui cammini abbia invece un dominio di applicabilità del tutto
generale. Il prezzo da pagare è però che l’interpretazione della dinamica in termini di processi tra
particelle risulta ora meno diretta che nella formulazione canonica.
Un utile ponte fra i due schemi, in un certo senso complementari,
è fornito dal cosiddetto principio
~
quantistica, stabilisce una
d’azione di Schwinger, che, introducendo la lagrangiana in meccanica
~
~
H
di e quella

un’arbitraria
B
variazione
relazione valida al primo ordine fra
della
~ corrispondente
¸
H
¸
H
¸
Âð
\ ©K \ý . Passando
©¥ )C i Ú * \ ©K \ matrice di evoluzione degli stati ©K a variazioni finite, si ottiene l’espressione
k di Feynman
k (coinvolgente appunto la somma sui
k cammini)
per la matrice © .
Siano « e ¶ due osservabili fisici qualsiasi di un dato sistema, soddisfacenti la condizione supp « "
8
w
supp ¶ N , ovvero « sia costruito attraverso variabili 0 prese da una regione dello spaziotempo che
8
giace nel futuro della regione da cui sono prese le 0 per ¶ . La richiesta sui supporti è sulle derivate
funzionali degli osservabili, e non sugli osservabili stessi, perchè sono le prime che entrano nelle
relazioni di invarianza e sono contratte con gli altri oggetti di interesse. Siano O© e © autovettori
¯
¯
fisici normalizzati rispettivamente di « e ¶ , corrispondenti ad autovalori fisici O e . Il prodotto
interno ñòO © è spesso chiamato ampiezza di transizione. Se il vettore di stato del sistema è © ,
¯
¯
allora ñO © è l’ampiezza di probabilità che il sistema sia trovato nello stato rappresentato da O© ,
¯
¯
ovvero che si ottenga il valore O , quando si misura « . La probabilità è ñòO © .
¯ ¯ ¯
H
k
Una variazione infinitesima del funzionale d’azione produce una variazione
nelle equazioni
dinamiche e, dunque, nelle loro soluzioni 0 8 . Si supponga che la forma di « e ¶ come funzionali
70
3.2. Il principio variazionale di Schwinger
delle 0 8 resti invariata; come operatori, cionondimeno, « e ¶ varieranno poiché le 0 8 variano. Si
H
H
H
H
indichino con « e ¶ tali variazioni e con O© e © quelle corrispondenti per gli autovettori O©
¯
¯
¯
e © . La natura precisa di queste variazioni dipende dalle condizioni al contorno. Sia
¯
supp « L
w
8
H
supp å
8
w
supp ¶ N
(3.1)
8
e si usino condizioni al contorno ritardate; ciò implica che nel passato della regione associata a
H
variabili dinamiche 0 8 restano invariate, ovvero si ha che ¶ . La variazione subita da « è Ü
H
Dalle relazioni cinematiche (3.1) si ha anche Ü á Ô , da cui
Ú
M
H
H
H
H
«ZÜá «yÜá âC {G«) i {É« ¢O
b
Ú
Ã
H
Ã
le
á « .
(3.2)
La relazione tra parentesi di Peierls e commutatore è euristica; essa non è valida per ordinamenti arbitrari degli operatori. La sua eleganza suggerisce di richiedere che la dinamica sia tale da garantirne
la validità.
H
È da notare che, se essa vale per « F 0 `[ , con hw supp å , allora vale per tutti gli « che
8
soddisfano la (3.1), perchè la (3.2) è semplicemente una trasformazione unitaria, ossia al primo ordine
si ha:
«
H
M
« pO 0 î
H
M
0 XO<²«
¸
¸
M
¸
µá 0 ! ]O! `á « 0 XO! º! `á « ±!
!
con
!
d
H
ªI i b
(3.3)
La (3.2) e (3.3) sono relazioni fondamentali per la dinamica quantistica e nel seguito sarà sempre
H
postulata la loro validità. Inoltre, si cercherà di costringere la struttura di in modo tale che ad ogni
teoria classica corrisponda un’unica teoria quantistica o al più un’unica famiglia di teorie quantistiche.
La variazione (3.2) induce una variazione nell’autovettore O$© data da
¯
¸
H
H
H
« ©>
Æ
« ©)
Ç
! `á Ç
« ©
« ©¤ i Ç
Ç
« ©
o
¯
¯
¯
¯
¯
modulo un infinitesimo fattore di fase i
implica
H
¯
¶ó©
H

¯
O©
H
trascurabile, con

(3.4)
numero reale. D’altra parte la (3.1)
modulo un simile fattore di fase.
(3.5)
Da ciò si ricava il principio variazionale di Schwinger (Schwinger 1951, Schwinger 1953):
H
ï«
ñ
¯
¶ô©¤
i ñÏ«
¯
H
ó
¶ ©
¯
(3.6)
che è il punto di partenza per molte tecniche atte a calcolare ampiezze di transizione. Sebbene sia
71
stato derivato imponendo condizioni al contorno ritardate, il principio di Schwinger ne è indipendente.
Imponendo condizioni al contorno avanzate, infatti, utilizzando le relazioni di reciprocità (2.30) si ha
M
S
H
H
H
H
H
H
« ¶ Ü ¶ ZÜÞ á âZÜÞ á ¨yÜá ¶ C ¶ P ´) i ¶ P O (3.7)
Ã
Ã
che implica ancora la (3.6), essendo
H
¯
«Ç©)
H
¯
¶ó©)
H
i ô
¶ ©
¯
b
(3.8)
Passare da condizioni al contorno ritardate ad avanzate corrisponde semplicemente a una trasformazione unitaria generata dall’operatore ! ! della (3.3), che lascia invariato il principio di Schwinger.
A prescindere da quali condizioni al contorno siano utilizzate, valgono sempre le seguenti asserzioni:
1. le equazioni dinamiche imperturbate continuano a valere nelle regioni nel passato e nel futuro
H
di supp ;
8
H
0 8 in queste regioni sono correlate alle 0 8 imperturbate attraverso trasformazioni
2. le 0 8 unitarie.
Poiché la (3.6) è una trasformazione unitaria, il principio di Schwinger garantisce la preservazione dell’interpretazione probabilistica della teoria quantistica e della normalizzazione unitaria della
probabilità totale.
In generale, data l’irrilevanza della scelta di O e , poiché di solito è necessario specificare gli
autovalori di più di un osservabile per determinare univocamente uno stato quantistico, la (3.6) si
riscrive come
H
ñ
H
out in ©¤ i ñ out in ©
¯
¯ ¯
(3.9)
dove in© e out © sono vettori di stato determinati da certe condizioni sulla dinamica nelle regioni
¯
¯
rispettiamente nel passato e nel futuro di quelle in cui si varia l’azione.
3.3 Sorgenti esterne e prodotti cronologici
Quando le storie dinamiche sono sezioni di fibrati vettoriali, con le 0X8 componenti di vettori, e quando
l’azione non possiede flussi invarianti, una scelta particolarmente conveniente per variare l’azione è di aggiungervi un termine della forma õ 0 8 . Le õ sono funzioni a valori reali sullo spaziotempo
8
8
H
(in una teoria bosonica) chiamate sorgenti esterne. Siano õ le variazioni delle sorgenti esterne, con
8
72
3.3. Sorgenti esterne e prodotti cronologici
supporti confinati alla regione dello spaziotempo giacente, nel tempo, tra le regioni associate con i
vettori di stato in © e out © , che d’ora innanzi saranno chiamate rispettivamente, per semplicità, regioni
¯
¯
in e out. In questo caso l’ampiezza di transizione ñ out in © subisce la variazione
¯
H
H
out in©¤ i ñ out õ 0 n in ©
che implica
(3.10)
¯
¯ n
¯
H
H
ñ out in ©¤Êñ out 0 n in ©
(3.11)
¯
¯ ¯
b
i õ
n
Sia 3 0Ø©16 un insieme completo di autovettori fisici normalizzati di 0 n , corrispondenti agli auto¯
valori 0 n ; tali autovettori esistono in quanto, in assenza di flussi di invarianza, i 0 n sono osservabili
fisici. La (3.11) si può riscrivere come
ñ
H
i
H
H
õ
n
ñ
å
out in ©¤
¯
out ×
0 ©t0 n ñG0 in ©
¯
¯
ñ
somma su tutti i Ø
0 ©.
¯
(3.12)
H
Sia õ una seconda variazione nelle sorgenti, con supp õ wÐ ; ciò implica che il fattore ñÉ0 in© nella
8
8
¯
(3.12) resta invariato e
H
å
H
H
H
H
i
(3.13)
ñ out in ©¤
ñ out õ
0 8 Ø
0 ©t0 n ñÉ0 in©) i ñ out õ 0 8 0 n in ©å da cui
¯
¯ 8 ¯
¯
¯ 8
¯
i õ
n
H
H
H
H
ñ out in ©)e
ñ out 0 8 0 n in ©
(3.14)
¯
¯
¯
b
i õ i õ
8
n
H
D’altra parte, se supp õ tA , si ha
8
H
å
H
H
H
H
i
(3.15)
ñ out in ©¤
ñ out Ø
0 ©_0 n ñÉ0 õ 0 8 in©) i ñ out 0 n õ 0 8 in ©å e
¯
¯
¯ 8 ¯
¯
8 ¯
i õ
n
H
H
H
H
ñ out in ©)e
ñ out 0 n 0 8 in ©
(3.16)
¯
¯
¯
b
i õ i õ
8
n
Continuando in tal modo, del tutto in generale si ottiene
H
i
H
õ
H
8
³
b#b#b i
H
õ
ñ
8*ö
³
0 8 ö in©
out in©)eñ out ½ "ý0 8
¯
¯
¯
bÆb#b
(3.17)
³
0 8 ö in modo che i
dove ½ è l’operatore di ordinamento cronologico: esso riarrangia i fattori 0 8
b#b#b
tempi associati con gli indici appaiano in sequenza cronologica crescente da destra a sinistra.
Nel ricavare la (3.17) si è supposto che i tempi associati con gli indici fossero in ordine cronolo³
0 8 ö per orientazioni
gico ben definito. Occorre dare un significato al prodotto cronologico ½ K 0 8
b#bÆb
relative arbitrarie dei punti spaziotemporali associati con gli indici. Quando i punti associati con la
73
³
sono separati da un intervallo di tipo spazio non vi è ambiguità in ½ Lý0 8
0 8*ö , perchè
b#b#b

8n
si annulla. Quando i due punti coincidono, invece, la (3.17) diventa
la funzione commutatore q
singolare e va rivista come distribuzione; si rimedia richiedendo che ½ commuti con l’integrazione e
la derivazione rispetto alle coordinate spaziotemporali. La conseguenza di queste richieste è che un’espressione come ñ out ½ L:x 0 n 0 o in © in genere non si annulla, nonostante x{ sia nullo quando gli
¯
8
¯
8
operatori che M lo compongono sono appropriatamente ordinati nelle equazioni dinamiche operatoriali.
coppia s e

Sia ora O 0>O un funzionale qualsiasi delle 0 classiche, con supp O che giace tra le regioni in e
8
con raggio di convergenza
out, avente un’espansione funzionale in serie di Taylor intorno a 0
M
non nullo:
O
M
0XO<O
M
OO
8
O;0 8 ª
öÔß
M
O
8n
Oý0 8 0 n Dalla (3.17) e dalle richieste precedenti segue che
M
M
M
H
H
H
ñ out ½ "
O 0Oý in ©)
O H ñ out in ©å÷
O H
O O=O
s
O H
¯
¯
¯
n
i õ
i õ
i õ
n
ª
(3.18)
b#b#b
öÔß
M

O
nto
H
M
O H
i
õ
H
n
i
H
õ
o
b#b#b
(3.19)
M equazione fornisce un modo di associare un operatore, ½ " O 0 Oý , ad ogni funzionale
Quest’ultima
classico O M 0>O con le appropriate proprietà.
M
Se O 0>O ha un raggio di convergenza finito, ½ K O 0 >Oý non è propriamente ben definito dalla (3.19);
gli si può, comunque, dare un significato,
per dati stati in e out, attraverso prolungamento analitico.
M
Lo stesso si può fare quando O 0XO è singolare in 0
, espandendo intorno a un punto diverso e
prolungando analiticamente.
3.4 Equazioni dinamiche quantistiche
M
L’associazione fornita dalla (3.19)
suggerisce che l’operatoreM ½ LO 0 >O; sia la controparte quantistiM
M quando ½LO 0>Oý è autoaggiunto; in generale, però,
ca diM un osservabile classico O 0>O . Ciò è valido
½ K O 0 >Oý non è autoaggiunto, anche quando O 0>O è reale. Questo perché l’operazione di coniugazione hermitiana inverte l’ordine di tutti i fattori, ponendoli in ordine anticronologico. La controparte
quantistica di un osservabile classico è determinata, di solito, attraverso considerazioni su simmetrie,
conservazioni e autoaggiuntezza.
M
M
Affinché ½ LO 0 XO; sia autoaggiunto, O 0>O deve di solito essere locale, ossia costruito con 0 e loro
derivate prese dallo stesso punto M dello spaziotempo. Ciò,
M comunque, non è sufficiente a garantire
M dinasempre l’autoaggiuntezza di ½ LO 0 XO; ; ad esempio, ½ ":x 0 >Oý non è autoaggiunto. Le equazioni
8
miche operatoriali della teoria quantistica,
M quindi, non dovrebbero essere della forma ½ L:x 0 XO;
8
õ .
o, in presenza di sorgenti esterne, ½ L:x 0 >Oý)]
8
8
74
3.4. Equazioni dinamiche quantistiche
Si assumerà, invece, la validità del seguente postulato:
M
M
ç
esiste un funzionale @ 0>O , determinato dall’azione classica x 0>O , tale che le equazioni dinamiche
operatoriali prendono la forma
M
H
M
½ H
3x 0¬OS i
Tø
M
0>Oï6
]õ
(3.20)
8

0 O noto come funzionale di misura. Per esso valgono le considerazioni del paragrafo 1.14;
>
0 8
@
con
M @
@
0XO svolge
M
un ruolo molto importante,
M
oltre a rappresentare una correzione per l’autoaggiuntezza di
½ K³x{ 0 >Oý . Una volta scelto @ 0>O , la teoria quantistica è completamente determinata a meno di una
8
famiglia a un numero finito di parametri. Si stabilisce una corrispondenza tra ogni teoria classica e
M teoriaM quantistica (o una famiglia di teorie quantistiche) scegliendo una dipendenza definita di
una
@
0XO da x 0>O .
Tale scelta presenta molte difficoltà ed è qui opportuno fornire una prima discussione che indichi
quale direzione prendere. Nella teoria quantistica, come nella classica, è spesso utile separare le
variabili dinamiche 0 >8 in un background 08 e un disturbo ]8 . Se il background è classico, allora i ]8
soddisfano le stesse relazioni di commutazione delle 0 8 :
M

8[
8 : [ O<s q
(3.21)
b
In termini dei 8 le equazioni dinamiche operatoriali prendono la forma
M
M
M
ª
ð
x
0>OÈ o n
4Pý 1X
4º )¡õ
x{ 0>Oux 0>O n 8 nto
8
8
8n
ö
k
b
(3.22)
I termini fino al primo ordine in ]8 non sono ambigui, quelli successivi lo sono in quanto occorre
ancora definire le regole per l’ordinamento dei fattori. IM coefficienti dei termini di ordine superiore
ð
0>O per termini di ordine , emergenti quangeneralmente differiscono dai coefficienti classici x
8 ntoÈlmlml
k il commutatore
do i ]8 sono ordinati come nella (3.22); in questa analisi saranno trascurati. Prendendo
della (3.22) con =[ si trova
M
x
8n

0>O q
n[
ö
ª
M
x{
8 nto

0>O q
o[
n ö
ª
M
x{
8 nto

0XO o
q
n[
u!§!§! b
(3.23)
Come nel caso classico, la funzione commutatore quantistica si può esprimere come differenza di una

S
8[
funzione di Green avanzata e di una ritardata, entrambe ora a valori operatoriali: q
q 8 [´
Ì
q á 8[ ,
valendo
M
M
M
Z
Z
Z
H
ª
ª
(3.24)
x{ 0>*O q n [ x
0>O q o [ n x
0>O o q n [ !§!§! [
8n
8 nto
8 n_o
b
8
ö
ö
75
Quest’ultima equazione può essere risolta per iterazione:
M
M
M
M
Z
Z
Z
ª Z
ª
8[ C
8 â 0>Ox
q
q 8 [ 0>O
q
0X°O q o [ 0>Oj n
â
t
n
o
M
M
ö
ö
Z
Z
q 8 [ 0>O
C
q 8 [ 0>O1 n n
b#b#b
M
Z
q
M
8 â 0XOx{
nto
â
0>OÈ o
q
Z
M
n [ 0>O
b#b#b
(3.25)
Nuovamente i coefficienti
dei termini di ordine superiore differiscono in generale dalle derivate funM
Z
zionali q 8 [ 0>O delle funzioni di Green classiche. Si introduca la generalizzazione spaziotempontoÈlmlml
rale della funzione gradino (2.27)
êëë
ì
7?s_Ïh \ )

ë
ª
|
Ê+ \
|
|
+ + \
|
|
+ tÊ+ \
+
se
ëë ª ö
ëí
se
se
|
w
(3.26)
|
|
dove + è una coordinata temporale globale e le sottovarietà +
costante sono ipersuperfici di
Cauchy complete di tipo spazio. Se i punti + e +\ non sono infinitesimamente vicini, allora
M
8 [:a -½ Lý 8 [a ´ 7?s_Ï h \ ¬?
7 h \ ts³³O 8 [a 5ïsÏh \ É 8 [a 5Wh \ _s³É [a 8
M
s5Wh \ tsÉ 8 : [ a O<
Z
i5Wh \ tsÉq
8[ a
(3.27)
b
Si assumerà la validità di questa equazione per tutti gli + e +<\ , almeno all’ordine necessario nelle
espansioni usate in questa analisi. Si può allora riscrivere la (3.22) nella forma
M
M
M
S
ª
õ x 0>Ox{ 0>O n ]
x{
0XOù»m½ o n iq oqn ½ 8
8
8n
8 nto
b#b#b
ö
y
{
M
½
y
M
x 0 >O ux
0 >Oq
8
8 n_o
S
M
oqn 0 >O
b#b#b
(3.28)
{
dove i punti sospensivi nell’ultimo¸ rigo indicano
non solo
termini
del primo, ma anche
M
M
M
¸ gli stessi
S
S
l’errore commesso nel rimpiazzare x
i x{
0 O.q oqn con ½
>
0 >O°q oqn 0 >O .
8 nto
8 nto
y
{
k
k
S
Ricordando che x{ è l’opposto dell’inverso di q nto e che per ogni matrice ß
8n
ú

¸
H Tø
H
si ha
(3.29)
det ß)
Gßá
ßZ x
S
8 n_o
q
oqn x{
S
nto
q
oqn C
8
76
TWø
¯
det q
S
¯ 8
da cui
(3.30)
3.5. Integrale funzionale alla Feynman
M
H
¡õ
8
y½
H
0 8uû
x 0 >O=
ª
i
ö
Confrontando la (3.31) con la (3.20) si ottiene
M
@
0>#
O ý costante Tø
¯
¯
det q
0 >O ¯
M
S
det q
M
S
b#b#b6ü
(3.31)
b

0 XO á
¯
¸þ
(3.32)
b
k
S
Dal momento che q 8 [ è generalmente una matrice continua non di tipo Fredholm1 , il determinante
nella (3.32) è formale. Invero, poichè si assume sempre che le equazioni dinamiche sono locali, l’eS
M
spressione x q opn è solitamente singolare, dipendendo
dalla funzione di Green e dalle sue derivate
8 nto
S
0>O formalmente ha valori
M
in e la radice quadrata
con punti coincidenti. Sebbene singolare, det q
va intesa con argomento positivo. Sebbene formale, l’espressione di @ 0>O è estremamente importante
e nel seguito si ritornerà sul ruolo del funzionale di misura.
3.5 Integrale funzionale alla Feynman
L’ampiezza di transizione ñ out in © è un funzionale delle sorgenti esterne; è conveniente tentare di
¯
riesprimerla come un integrale funzionale di Fourier:
M
M
M M
M
T
T
ià
ià
ñ out in ©¤
à 0>O e ° *0>O
* 0>O
*0 8
e ° à 0>O *0>O (3.33)
d
¯
b
8
Qui le 0 8 sono variabili di integrazione a valori numerici piuttosto che componenti di un campo
classico di background, e il prodotto è un prodotto continuo infinito, sì che esso e l’integrale stesso
sono espressioni formali. Assumendo la validità dell’integrazione per parti e usando la (3.19) e la
(3.20), si può scrivere
H
T
ñ
M
H
à
i 0 n
out in ©)
¯
M
0XO
ià
e ° *0>O<

M
T
H
ñ
n
H
x
8
M
out in©)ôñ out õ in ©)eñ out ½ H
3x 0>O7 i
¯
¯ n ¯
¯
0 n
Ý
¿
H
i@
0 Á
i [
¿
H
H
0 Á
i [
á
¸
H
2
@
8
¿
H
0 ÁØÿ
i [
M
T
0>O H
e ° *0>O
i 0 n
à
H
]õ
M
ià
H
T
ñ
out in ©¤
¯
Tø
H
0 n
0>O e ° *0>O
à
@
M
0>Oï6

¯
in ©
M
3x 0>O7 i
Un operatore limitato F in uno spazio di Hilbert H, per il quale le equazioni e
finito di soluzioni indipendenti è chiamato operatore di Fredholm.
1
77
M
ià
(3.34)
Tø
@
M
M
0>Oï6>à
M
0XO *0>O
b
hanno un numero
Poiché una rappresentazione integrale di Fourier è unica, il primo e l’ultimo integrando devono essere
uguali:
M
H
H
à
i 0 n
M
H
H
0>O<
3x 0>OS i
0 n
Una possibile soluzione della (3.35), indicando con M
M
§ i
à 0>O<
e ° @ 0>O
ñ
out in ©)
¯
T
e
i
S
§
°
M
Tø
M
0>Oï6à
@
0>O
(3.35)
b
una costante di integrazione, è
à
da cui
M
°
M
0>O *0>O
@
(3.36)
(3.37)
b
Sebbene questa sia l’unica forma di soluzione spesso considerata, la soluzione generale della (3.35)
M
corretta è
à
T
0>O<
T
*Â
*
M
Â)Ð>O
$ e °
i
M
§
@
0>O
(3.38)
dove indica un insieme di parametri associati
con la regione in dello spaziotempo e Â un insieme
M
®
di parametri associati con la regione out. x Â)Ð 0>O è, per ogni e Â , uno dei possibili funzionali
d’azione, appropriato alle condizioni al contorno specificate da e Â , e include i necessari termini
di bordo (cf. paragrafo 1.5). Finché le derivate funzionali sono prese in punti dello spaziotempo
M tutti questi funzionali d’azione conducono alle stesse equazioni
che giacciono M tra le regioni in e out,
H
® H
dinamiche x Â)Ð 0>O 0 8 x 0>O .
8
La rappresentazione di Fourier (3.33), allora, prende la forma
M M
M
T
T
T
§
$ S à
° (3.39)
ñ out in ©)
@
0XO *0>O
*
*
Â Â¤t>O ei °
¯
nota come integrale funzionale alla Feynman o somma sulle storie (Feynman 1948, Feynman 1949,
Feynman 1950). Per ogni e Â la somma è presa su storie di campo che soddisfano le condizioni
al contorno specificate da e Â (e ciò definisce il dominio di integrazione). Le stesse somme su
e Â possono essere integrali funzionali o ordinari, somme discrete o contenenti un unico termine. In
quest’ultimo caso la (3.39) si riduce alla (3.37).
MSono
M opportuni ulteriori commenti sulla (3.39). Il funzionale di misura, che più correttamente
0 O *=0XO , ha il ruolo di una densità di volume nello spazio delle storie dei campi @ . In principio
è M@ >
@
0XO , come l’azione, potrebbe dipendere da e Â , ma si assumerà che ciò non si verifichi, adducendo
M
M l’approssimazione (3.32). Tale assunzione equivale a una condizione di
a parziale giustificazione
¸
località, ossia @ 0XO á @2 0>O dovrebbe dipendere solo dalle proprietà della 0 nelle immediate vicinanze
8
del punto dello spaziotempo
associato a s .
M
Determinata @ 0>O , l’integrale alla Feynman (3.39) fornisce un passaggio diretto dalla teoria clas-
78
3.5. Integrale funzionale alla Feynman
sica di un dato sistema alla corrispondente unica teoria quantistica (o alla corrispondente famiglia).
Spesso la (3.39) è vista come la regola di quantizzazione; questa è la visione adottata nel seguito.
L’integrazione per parti assunta al principio della (3.39) può essere giustificata ex post facto.
Quando le 0 sono sezioni di un fibrato vettoriale (cf. Appendice A), un tipico punto del bordo @ di @
è un campo avente una componente con un valore infinito in un unico punto dello spaziotempo e e valori
finiti nei punti immediatamente adiacenti. Un tale campo è infinitamente irregolare in quel punto,
esso giace infinitamente
lontano dallo shell dinamico.
Poiché @ è infinitamente lontano dai punti
M
M
®
®
e
stazionari di x Â)Ð 0>O , l’esponenziale D> i x Â)Ð 0>Oý nella (3.39)
oscilla in modo infinitamente
rapido quando il punto sul bordo si muove lungo @ stesso, dunque il termine di bordo si annulla.
e
Sebbene la (3.39) sia stata derivata come un integrale di Fourier, con le 0 sezioni di un fibrato
vettoriale, si postula che essa rappresenti correttamente l’ampiezza di transizione anche quando lo
spazio delle configurazioni Þ non è uno spazio vettoriale. In questo caso un’accoppiamento con le
sorgenti esterne della forma õX0 è inappropriato e si dovrebbe scrivere semplicemente
M M
M
T
T
T
å
§
i $
°
e
(3.40)
ñ out in ©¤
@
>
0
O
=
*
X
0
O
*

*
Â
>
t
)
Â
Ð
>

O
¯
À
dove è un’etichetta discreta che distingue tra classi equivalenti di omotopia (cf. Appendice D) di storie, una distinzione che può essere necessaria quando Þ è topologicamente non banale. Invece di contenere termini di sorgente lineari, si può immaginare l’azione dipendente da un insieme di parametri
di tipo più generale. Quando Þ non è uno spazio vettoriale, esso può non avere una carta preferenziale di coordinate. Affinché l’ampiezza di transizione resti invariata sotto laM trasformazione 0âD 0)\ M da
H H
una carta ad un’altra, il funzionale di misura deve trasformarsi secondo @ \ 0 \ O< det 0>8 0 \^[ @ 0XO .
¯
H ¯H
Quando la trasformazione è ultralocale, come accade di solito, il funzionale jacobiano det 0 8 0 \^[ è esprimibile come un prodotto continuo infinito di jacobiani ordinari. Questo prodotto, come quello
nella (3.33), comprende unicamente punti dello spaziotempo giacenti tra le regioni in e out. Si noti
che la restrizione alla regione compresa tra quelle in e out, quando Þ è uno spazio vettoriale, emerge
dal fatto che supp õ stesso è confinato a tale regione. Si assume che questa restrizione continui a
8
valere anche nel caso generale.
L’espressione (3.39), quando combinata con la (3.19), rende immediatamente un integrale funzionale per gli elementi della matrice in-out dei prodotti cronologici:
M
M M
M
M
T
T
T
§
$ S à
°
ñ out ½ L
O 0 >O; in ©¤
@
0XO *0>O
*
*
Â Â¤t>:O O 0XO ei °
(3.41)
¯
¯
b
Si può usare un’ovvia generalizzazione di questa espressione per definire il prodotto cronologico
79
quando Þ
non è uno spazio vettoriale:
M
M M
T
T
å
ñ out ½ "
O 0 O; in ©)
@ 0>O *0>O
¯
¯
À
T
M
* Â
*
M
>tÂ)ÐXO:O
0>O ei
$ °
§
b
(3.42)
Si può usare quest’ultima equazione per ottenere un parziale controllo dell’integrale alla Feynman
H
con il principio di Schwinger, da cui inizialmente è stato derivato2 . Sotto una variazione x nella
H
forma funzionale dell’azione, tale che supp x{ giace nella regione tra quelle in e out, la (3.40) e la
8
(3.42) implicano
M M
M
M
M
T
T
T
å
§
H
H
H TWø
i $
°
i
e
ñ out in © i
@
>
0
O
*
>
0
O
*

*
Â
>
t
)
Â
Ð
X

O
x
>
0
=
O
@
>
0
;
O
¯
M
M
À
H
H TWø
(3.43)
i ñ out ½ " x 0 XO] i
@ 0 >O; in ©
¯
¯
b
La (3.32) implica
H
ñ
H
out in ©)
¯
Tø
M
@
0>O#ý
H
ö
ª
M
M
S
8 [ 0>O x{
tr "q
i ñ out ½L x 0¬O=
¯
ª
ö
M
H
i tr q
S
[8
M
0>Oý
H
[ n 0>O x{
n[
da cui
(3.44)
M
0>O in ©
b#b#b ¯
b
(3.45)
Arrangiando
i termini come nella (3.31) il prodotto cronologico è, almeno approssimativamente,
M
H
x 0 XO nella sua forma operatoriale autoaggiunta.
3.6 Rinormalizzabilità perturbativa
Nelle teorie quantistiche dei campi, come si è visto, si incontrano spesso funzioni di Green con punti
dello spaziotempo coincidenti; esse danno luogo a divergenze locali. È allora necessario includere
nell’azione controtermini infiniti3 per riottenere quantità finite; se tali controtermini sono a valori
reali si assicura la preservazione dell’unitarietà e di tutto lo schema dell’integrazione funzionale alla
Feynman (cf. DeWitt 2003). L’aggiunta di controtermini è una procedura chiamata rinormalizzazione
e si dice che il campo in esame è perturbativamente rinormalizzabile, dal carattere perturbativo della
teoria quantistica sviluppata.
Molto frequentemente l’ordine degli integrandi nei controtermini aumenta illimitatamente al crescere dell’ordine perturbativo; in tal caso l’aggiunta di controtermini è ancora chiamata rinormaliz2
Sebbene si sia fatto derivare il principio variazionale di Schwinger dalle parentesi di Peierls e l’integrale alla Feynman
dal principio di Schwinger, storicamente essi nacquero indipendentemente prima dell’invenzione delle parentesi di Peierls.
3
I controtermini possono includere anche parti finite per sintonizzare i valori di alcuni osservabili fisici quali masse e
costanti di accoppiamento.
80
3.7. Ampiezze in-out in teorie di gauge
zazione, ma il nome ora non implica che dovrebbero già esistere corrispondenti divergenze nella
lagrangiana originaria. L’ultima affermazione si chiarisce con due considerazioni: la prima è che i
coefficienti rinormalizzati di questi termini potrebbero essere determinati sperimentalmente soltanto da un’infinità di misurazioni, il che non ha un senso fisico. La seconda consiste nel fatto che
lagrangiane di ordine superiore (nelle derivate) rispetto a quello usuale generalmente conducono a
spettri energetici non limitati inferiormente o a teorie quantistiche non unitarie. Il contenuto
M fisico (ad
esempio particellare) della teoria va determinato dal solo funzionale d’azione originario x 0XO ; l’unico
ruolo dei controtermini è di cancellare le divergenze. In tal modo si conserva l’unitarietà, necessaria all’interpretazione probabilistica, seppur al costo di introdurre una certa arbitrarietà nella teoria
ad alte energie. Questa arbitrarietà può essere limitata a un solo parametro scegliendo di rappresentare le divergenze con il metodo della regolarizzazione dimensionale, adottando soltanto una massa
ausiliaria che regolarizzi l’intera teoria.
Le teorie che non sono perturbativamente rinormalizzabili sono considerate come teorie dei campi
effettive, emergenti da una certa teoria più fondamentale che vale alle alte energie.
I dettagli sui controtermini e sulla procedura di rinormalizzazione, pur essendo questa una componente importante delle teorie quantistiche dei campi, non trovano spazio in questo ambito. Si
distinguerà semplicemente tra l’azione finita classica di partenza e l’azione modificata con l’aggiunta di opportuni controtermini usando il simbolo x , seguendo la notazione di DeWitt, per indicare la
prima, e x per la seconda. Analogamente per gli altri simboli della teoria.
3.7 Ampiezze in-out in teorie di gauge
Poiché la fisica delle teorie di gauge ha luogo nello spazio ×
@
Í , è naturale cercare di scrivere
un integrale funzionale per le ampiezze in-out nella forma
M M
M
T
T
T
§
$ ñ out in ©)
@
ÙO *ÙO
*
*
Â Â)Ð>O ei
¯
(3.46)
che è semplicemente la (3.40) con x rimpiazzato da x e con le variabili 0 8 rimpiazzate dalle etichette
di coordinate ÙÚ nello spazio base. La somma sulle classi di equivalenza di omotopia è omessa per
semplicità: sebbene in generale sia vero il contrario, si assumerà per il momento che la topologia di ×
sia banale. Questa assunzione, pur essendo tutt’altro che irrilevante, non inficia gli sviluppi successivi
data la natura perturbativa della teoria sviluppata (ovvero tutte le considerazioni fatte vengono applicate in un intorno del punto-base scelto di volta in volta). Nel considerare proprietà globali, invece,
81
occorrerà tener presente la non banalità della topologia di × ; un importante esempio di tali casi è
rappresentato dagli argomenti dell’ultimo capitolo.
L’espressione (3.46) ha un carattere strettamente formale per le seguenti ragioni: in primo luogo
le etichette Ù Ú sono usate solo concettualemente e non scelte esplicitamente; in secondo luogo tutte
le scelte esplicite utili note dipendono non localmente dalle 0 . Ciò rende oscuro il senso da dare alle
funzioni
di Green di x{ Þ e, dunque, un’eventuale determinazione, anche solo formale, della misura
M
Ú
@
ÙO . Infine, è parimenti arduo sapere come assegnare le condizioni al contorno. Per poter utilizzare
le variabili locali 0 8 è prima necessario introdurre le restanti variabili Û
del sistema di coordinate
adattato alle fibre e poi passare dalle variabili ?Ù Ú ÐÛ alle 0>8 con una trasformazione di coordinate.
M
Sia Ó ÙtÛ O un funzionale reale scalare su @ tale che l’integrale
M
M
M
T
²
ÙO<
ÙSÐÛ O *Û O
ei @
(3.47)
si trasformi sotto variazioni
esista e sia non nullo per tutte le Ù , avendo assunto che la misura @
(generalmente indipendenti dalle Ù ) delle coordinate Û
secondo
M
M
H
ÏÛv
@
ÙtÛ \ O<C
@
ÙtÛ O H
(3.48)
a
b
ïÛ \ M
²
In tal caso ÙO è invariante sotto tali variazioni di coordinate e si può scrivere
M
M
M
T M
T M
T
T
¸
§
S ²
i ! $
ñ out in ©)
*ÙO
* Û O
*
*
Â Â)Ð>O e
ÙO á @ ÙSÐÛ O (3.49)
¯
M
M
M
@
ÙSÐÛ O
con
(3.50)
ÙSÐÛ O< @ Ù O @
b
Analogamente la (3.42) si può riscrivere come
M
M M
T
T
T
ñ out ½ L
O Ù Oý in ©)
@
ÙO *ÙO
*
¯
¯
T
M
T
*ÙO
M
T
* Û O
T
*
*Â
M
Sotto variazioni di coordinate la misura
@
implica la catena di identità a destra:
M
M H
M
\
?Ù5
@
Ù O @ ÙO H
@ Ù \ tÛ \ O
a
a a
ïÙ \ *Â
M
M
$
Â¤t>O:O ÙO ei M
§
$ S

Â)Ð>O®O ÙO ei "
§
²
M
ÙO á
¸
@
(3.51)
M
ÙSÐÛ O

b
@
deve ovviamente trasformarsi nel modo seguente, che

M
H
ï Ù=
ïÛv
H
ÙSÐÛ O H
?Ù \ Ï Û \ 82
H
@

M
H
ÙtÛ O H
ï ÙSÐÛv
(3.52)
?Ù \ ÐÛ \ 3.8. Funzionale di misura
e la misura totale @ si trasforma come dovrebbe.
Per operare la trasformazione dalle ?Ù=ÚÐÛ alle coordinate locali 0 8 occorre includere anche lo
jacobiano formale
Ä
M
H
Ù Ú ïÙSÐÛv
H
õ
0>O<
det
(3.53)
8
b
G02
Û 8Å
I funzionali (3.49) e (3.51) divengono così
M
M
M
M
T M
T
T
¸
§#
S ²
i $ °
° 0>O?á @ X
(3.54)
ñ out in ©)
*0>O
*
* Â Â)ÐXO e
0 O~õ 0>O ¯
M
ñ
M
T
out ½ LO 0 >Oý in©
¯
¯
T
*0>O
T
*Â
M
*
M
§ $ S ²
°
0>O e ! °
i
Â)ÐXO¯O
M
M
M
M
0>O?á
¸
M
@
M

M
0>O9õ 0>O
M
(3.55)
²
²
®
®
doveM con unM abuso di notazione
Ù O
0XOG x Â)Ð Ù O x Â¤t 0>OÏ @ ÙSÐÛ O{
M
M si è indicato
M
@
0>OÏPÓ ÙSÐÛ Oþ Ó 0XOGO ÙOþ O 0>O . L’ultima uguaglianza permette una generalizzazione del
formalismo: il funzionale O è un invariante, ossia un osservabile fisico;
M l’integrale (3.55) può essere
visto come una media generalizzata che può dar senso a ñ out ½ "O 0 Oý in© anche quando O non è
¯
¯
O
M
gauge invariante. Si noti che soltanto quando
è gauge invariante la media (3.55) è completamente
indipendente dalla scelta del funzionale Ó 0>O .
3.8 Funzionale di misura
Gli integrali (3.54) e (3.55) hanno carattere generale; ulteriori considerazioni sullo jacobiano e sulla
misura e sulle loro proprietà, unitamente a particolari scelte per il funzionale Ó , conducono a notevoli
risultati. Una trasformazione infinitesima delle coordinate Û
Û \
Û
H

?ÙtÛv
(3.56)
M
produrrà formalmente la seguente variazione nello jacobiano õ 0XO :
M
H
H
õ
0>O< õ"0 8 q Û 8
ove il fattore 0 8 q è specificato dalla (2.55) con è
priate. Si noti che
H
Tø
£ 8 $ è
õ
$
H
Û
e
(3.57)
coerenti con le condizioni al contorno approõ
µ

è
8
83
$
H
$
H
Tø
det è
(3.58)
avendo usato la (2.55), la (3.29) e la (2.47). Evidentemente il prodotto õ det è è indipendente dalla
Z
Z
Z
scelta delle Û ; lo stesso vale per õ det è , dove õ
sono i jacobiani ottenuti quando si usano
condizioni al contorno avanzate o ritardate. Ciò non significa automaticamente che questi prodotti
dipendono solo dalle Ù e sono, quindi, gauge invarianti. Infatti, notando che õ det è si trasforma
come una densità scalare di peso unitario sotto trasformazioni delle coordinate 0 8 , si ottiene
ãåäµæ
^
Ïõ det è´Cõ det èÔ£ 8 õ det è a;0 [ Ù
Ú
8
$
Û À É£ [ õ det è a þ0 [ Ù Ú £ 8 è
Ú
[
8
[
À
õ det è a 0 8 Ù Ú 0 8 Û À £ [ ¾
Ú
[
[
8
À
y
{
Ú [8
$
Kè
À
8
8 £ $ £
$
$Æ £ 8 Û À £ [ $ c £ 8 £ 8
[
8
8
8 ¾ Ã $Æ ¬£ 8 c
8
Ã
õ det èW¾
$
#$
_
b
(3.59)
Nella catena di uguaglianze si sono omessi i termini con derivate funzionali seconde delle Û
perché
8
c
det è non dipende dalle variazioni delle Û . Per giungere al secondo rigo si è fatto uso delle (1.37),
³£¥¤Ù Ú
,
(1.9) e (1.40); nel passare al terzo si è usata la proprietà di invarianza delle Ù]Ú
dopo averla derivata funzionalmente, e la (1.51); nell’ultimo rigo sono stati rinominati gli indici muti
õ
ïsD
e hLD s³ , si è nuovamente usata la (2.55) e la proprietà di simmetria delle costanti di struttura.
L’ultimo segno di uguaglianza segue ancora dalle (1.37) e (1.9). Dunque, applicare la derivata di Lie
$
rispetto a £/ a õ det è equivale a moltiplicarlo per ¾ #$ , che è una costante. Questa costante, che
essenzialmente descrive l’atto di riscalare õ det è nel muoversi lungo le fibre, non dipende in alcun
modo dalla scelta delle Û , ma soltanto dalla scelta della base nell’algebra di Lie del gruppo di gauge.
h
Per scopi pratici la costante può essere presa nulla e ciò per due ragioni: in primo luogo, nella
teoria di Yang–Mills il valore nullo deriva formalmente dalla compattezza del gruppo di Lie finitodimensionale ad essa associato; secondariamente sia nella teoria di Yang–Mills che nella gravitazione
$
¾ #$ è proporzionale a una delta di Dirac con argomenti coincidenti. D’ora innanzi, dunque, si
imporranno le identità (1.71). Si ha allora
Ïõ det è £ 8 8
il che significa che effettivamente
õ
det è
e
õ
Z
Ïõ
e
det è
Z
det è
Z
£ 8 8
(3.60)
non dipendono dalle Ù . Poiché, inoltre, la
dipendenza dalle Ù di questi prodotti non ha nulla a che vedere con le condizioni al contorno necessarie
per definire gli ß , formalmente si deve avere l’identità
õ det è´õ
Z
det è
Z
b
(3.61)
Quest’ultima ha un’importante applicazione nella teoria del funzionale di misura.
non possano essere considerate globali per gruppi di gauge non abeliani, perNonostante le Û
84
3.8. Funzionale di misura
turbativamente si assume che lo siano, ovvero che siano coordinate in uno spazio tangente. In tal caso
una scelta preferenziale per il funzionale Ó è
ª
ÓÊ
ö
Û
$
]#$´Û
¶
(3.62)
µ
dove ¶]#$ è una matrice continua simmetrica invertibile ultralocale reale che si può scegliere costante
o dipendente da un certo punto dello spazio base in un intorno in cui l’operatore $ è non singolare.
Le stesse Û possono essere scelte nulle in questo punto. Poiché si sta adoperando un’unica carta, la
scelta semplificatrice
M
riduce l’espressione per
²
ÙSÐÛ Oª
@
M
(3.63)
ÙO , grazie alle note identità degli integrali gaussiani, a

¸þ
²
costante EÏ* ( ¶Ðá
b
k
Le equazioni (3.54) e (3.55) prendono allora la forma
M M
M
T
T
T
§
$ ñ out in ©¤
@
0XO *0>O
*
* Â Â)ÐXO ei °
¯
M
ñ
T
out ½ "O 0 >O; in ©)
¯
¯
@
M
M
T
T
0XO *0>O
M
* Â
*
S
´
°
M
Â)ÐXO¯O
0XOý(
&
%$ !æ & æ
³
i
°
# $ S
°
§
æ
³
´
(3.64)
M
det è

0>O;tá
¸
&
%$ !æ & °
°
(3.65)
M
det è

0XO;Ðá
¸
(3.66)
dove, usando la (3.61), si è posto
M
@
0XO< costante costante @
@
M
M
¸þ
M
0 M O³ det è M 0XO;
M 0>OÉ det ¶S á ¸ þ õ >
k S
0>OÉ det ¶S á
õ >

0 Oõ á 0XO³ det è
k
S
M
M
0>Oïè á 0>Oý
¸þ
k
b
(3.67)
La (3.67) può essere vista come un nuovo funzionale di misura, da usare quando si integra su tutto @
e non solo su × . In virtù della (3.59), della costanza di ¶ e del fatto che @ dipende solo dalle Ù segue
che questa misura, valendo le (1.71), soddisfa
ãåä æ
@
¾
@
$
#$ (3.68)
b
Per ottenere una forma esplicita per @ , ne serve una per la misura originaria @
. È naturale cercare
un risultato simile alla (3.32), ovvero
@
ý
costante y det q
85
S
Ðá
¸þ
k
(3.69)
S
Ú
Þ
è la funzione di Green avanzata di x{ Þ in × . Poiché le ÙÚ sono non locali, però, x{ Þ è
Ú
Ú
S Þ
non locale, a differenza di x , e diventa difficile definire q Ú . Per ovviare a ciò si può introdurre
8[
in tutto @ un tensore covariante di rango 2 che, in un intorno dello shell dinamico e nella carta usata
dove q
per le definizioni di Ó e di @
(3.62) e (3.63), prende la forma
A
A
L’invertibilità di
q
S

Ä
x¤ Þ
Ú

7#$
¶
Å
(3.70)
b
si ha grazie a quella di x Þ e di ¶]#$ ; la sua funzione di Green avanzata è
Ú
Ä
S Þ
¸
S
S
q Ú
¸
con det q C det q Æ det ¶SÐá
(3.71)
#$
b
¶ á
%
Å
In un intorno dello shell dinamico la derivata funzionale seconda di x si trasforma approssimativamente come un tensore di rango 2, così nel riferimento definito dalle ´
0 8 , omettendo i pedici, si
ha
Ä Ä
A
Þ
x Þ

Ù $
Ú
[
(3.72)
d Ù Ú Û ý
{
x
Û ¶7# $)Û $
[
[
8[
8
8
8
8f
¶7#$
Û [ Å
Å
Ä
Ä
S Þ
S
q Ú
0`[4iÞ
¸
8[ q
(3.73)
#$
b
¶ á
%
0<[4r$
Å
I segni
Å
sulle matrici jacobiane esterne nella (3.73) ricordano che sono necessarie condizioni al
contorno speciali per dare senso a 0 8 p e 0 [ q$ . Si hanno condizioni al contorno coerenti scegliendo

0 8 p£ 8 è
À
det q
S
det q
S
S

0 [ r$¤£ [ è áÃ $
Ã
S S
á ¤ det q det ¶]õ
À õ
S
õ
õ
da cui
á b
A
(3.74)
(3.75)
Scegliendo le Û come funzionali locali delle 0 e assumendo la (3.72) come esatta,
è un operatore
8[
S
differenziale locale la cui funzione di Green avanzata q 8 [ è ben definita. In questo caso la (3.75) può
fungere da definizione di det q
S
; si ottiene così
¸þ
S
det ¶]õ õ á á
(3.76)
da cui
M
Mk
¸þ
M
S
0XO detM è á X
0 O
det è
S
@
0>OQý costante
(3.77)
k
b
det q
0>O

Per giungere a questo risultato sono state usate manipolazioni formali; è bene, quindi, verificare che
@
ý
costante E det q
S
86
3.9. Campi di ghost
la (3.77) soddisfi la (3.68) on shell. Ciò basta per la consistenza della (3.77), in quanto i contributi
importanti all’integrale funzionale (3.46) vengono dalle regioni vicine allo shell dinamico; nel seguito
di questa discussione il segno di uguaglianza indicherà uguaglianza nello shell dinamico. Ricordando
che x £ [ , dalle (2.53) e (3.72) si ha
µ
8[
A
$
£ [ Û ¶5$
(3.78)
À 8[
8
b
À
Moltiplicando questa equazione a sinistra per
#$
Z
£ 8 è
q
Z
q
e a destra per è
Z
8[ Û
¶5$
[
À
Z
si ottiene
(3.79)
simile alla (2.90). Usando la (3.72), la derivata funzionale seconda della (1.9), la (3.79) e le relazioni
di reciprocità (2.30), si trova
q
Z
8 [ x
Z
Z
8 [ x A £ n q 8 [ x £ n
[n
8n [
$
q¡ [ 8 Û ¶5$ Û À £
Ô
8n
8
n
À
$
ö £ 8 £ [ $ è
Û À £ n
n
[
8
À
£ n 8[ n
q
µ

8
n q
[
£ 8 $ è
Z
Z
A
8[ $
¶5$ Û À £ n
[n
[
n
8
À
$
Û À £ n
(3.80)
n
8
À
EÛ
Ciò, insieme alla (1.29),
A
conduce al risultato desiderato. Infatti, usando la (3.77), la (3.29), il fatto
che q è l’inverso di e è è l’inverso di , usando la (3.72), due volte la (2.53), la (3.80), le relazioni
(2.90) e (2.94), e la (1.51), si ha
M
Z A
S
Tø
ª
@¬ q 8[
uè
[ 8n
n M ö
S S
ª
q 8 [ x q 8 [ ÏÛ
[M 8 n
ö
S $
ª
£ 8 $ :è
£ 8 8
ö
À
S $
$
:è
uè á ÆïÛ À 8
À
À
S $
ª
£ 8 :è
è á
8
ö
À
µ
$
$
À
µ
$
À $ è á
n
À
¶7$
[
$
uè á
£ 8$
n
À $ O?£ n n
S $
$
Û À uè
ïÛ À £ 8 $ è á ÏÛ À £ 8 $ O?£ n 8 n
8
8
n
n
À
À
À
S $
$
$
Û À £ n Ê£ 8 $ ³è
è á Û À £ n
8n
n
8
À
À
À
£ n O
Û À ³£ n £ 8 $ Ê£ n $ £ 8 )£ 8 ¾
n
8
8
8
À
$
#$
(3.81)
il che conduce nuovamente alla (3.68).
3.9 Campi di ghost
Le principali differenze degli integrali funzionali (3.65) e (3.66) dalle espressioni
(3.40) e (3.42)
¸
(omettendo l’indice ) sono la presenza delle Û , di ¶ e del fattore det è á che ha origine nella
87
presenza dello jacobiano õ . Qualora si espandano l’esponenziale e il determinante nella (3.65) in
serie di Taylor negli incrementi delle variabili di integrazione e si adotti una rappresentazione del tipo
di quella discussa nel paragrafo 2.10, poiché gli indici delle funzioni di Green sono contratti si hanno
curve chiuse, meglio note come loop. In tale approssimazione, chiamata espansione in loop, l’ordine
è dato dal¸ numero massimo di loop indipendenti. Si può apprezzare appieno la necessità del fattore
det è á calcolando l’approssimazione a un loop della (3.65).
A
Si scelgano le Û dipendenti linearmente dalle 0 , allora l’operatore
dei campi di Jacobi per il fun
zionale (nell’esponente della (3.65)) è esattamente l’operatore della (3.72). Scegliendo, poi, conA
dizioni al contorno relative a stati coerenti4 , si possono omettere le somme
su e Â , l’integrazione
gaussiana nell’espansione
in loop dà il propagatore di Feynman q per (nel background soddisfaM
cente sia x 0>O2
che le condizioni al contorno date), e l’approssimazione a un loop della (3.65)
8
¸þ
¸þ
¸þ
è
S
§
det
det
det
q
è
è
á
ñ out in ©uý
costante ei
(3.82)
S
k
k è
k
¯
det q
det

dove sono stati omessi i punti su x e q perché nei grafici a un loop non sono necessari controtermini.
La presenza di det è serve a compensare i gradi di libertà aggiuntivi nel propagatore dovuti alla
presenza dell’invarianza.
¸
A ordini superiori nell’espansione il fattore det è á genera loop chiusi di nuovo tipo, i cui
segmenti rappresentano il propagatore
è . Ognuno di questi loop, inoltre, porta un fattore -1 che viene
¸
dall’esponente su det è á , come se fossero prodotti da campi anticommutanti, ossia fermionici. È
'X]5ç , cui sono assegnati rispettivamente i numeri di
conveniente introdurre i campi di ghost (
ghost 1, -1 e 0. L’origine del nome è dovuta al fatto che tali particelle fittizie compaiono soltanto
in loop chiusi interni, mai in linee esterne; dunque non si osservano, sono come fantasmi. Il fatto
che non soddisfino la corretta statistica prevista dal teorema di connessione spin-statistica non è una
violazione di quest’ultimo, proprio perché non si tratta di particelle osservabili. Questi campi sono un
ausilio matematico per ovviare ai gradi di libertà aggiuntivi delle teorie di gauge, essi non hanno lo
stesso carattere di realtà dei campi corrispondenti a particelle osservabili. L’assegnazione dei numeri
di ghost è tale che, considerando i campi 0 come aventi numero di ghost 0, introducendo per ogni
¦
¦)
campo di ghost con un numero di ghost & un anticampo di ghost (indicato con ) con numero di
ghost Õ&Cª (Batalin e Vilkovisky 1984), il numero totale di ghost in un prodotto (inteso come
somma dei numeri di ghost dei singoli campi) sia nullo. Si hanno, quindi, le seguenti assegnazioni:
0¨
)
0¨ª
ª'
)
þö=
'"ª'
4
)
'v
çE
)
çyª
b
(3.83)
il termine coerente è qui usato nel senso impiegato da DeWitt (cf. paragrafo 2.4), non è quello degli stati coerenti in
meccanica quantistica.
88
3.9. Campi di ghost
Utilizzando le note integrazioni gaussiane su campi bosonici e le corrispondenti integrazioni alla
Berezin (Berezin 1971) gaussiane su campi fermionici, si può riscrivere la (3.65) nella forma
&
æ
M M
M
T
T
T
æ
,
æ æ ³ æ $ Ü ³ !æ & &
&
§
S
S
$ °
° á ´
(3.84)
ñ out in ©¤
@
0>O * *=O
*
*
Â Â)Ð>O ei ° i +
µ
¯
M
M
M
M
M
¸
* '¬O *)O *'ç)O . Il termine con l’operatore $ viene proprio da det è á grazie
dove -* *5O indica *0>O quadratica da Û dell’esponente nelalle suddette integrazioni; l’integrazione su ç dà la dipendenza
¸þ
M
M ¶S
l’integrando della (3.65),
essa dà anche un fattore det
che può essere assorbito nel fattore di
normalizzazione Â¤t>O o in una ridefinizione di @ 0>O . Perk la (3.66) si ha un’espressione analoga.
L’espressione (3.84) corrisponde a una decomposizione in termini di Fourier che può essere valida
solo in un’espansione in loop, poiché le fibre non sono realmente spazi vettoriali.
È necessario fare ancora alcune precisazioni sui termini presenti nella (3.84). Poiché ç ha numero
di ghost nullo, non deve strettamente apparire in forma polinomiale nell’esponente. In un approccio
indipendente dall’espansione in loop e da una particolare carta adattata alle fibre, ç potrebbe essere,
ad esempio, un’etichetta per i componenti
di un insieme di funzionali ortonormali sulle fibre di @ ;
M
l’originale fattore
globale D.> i Ó ÙSÐÛ O; nella (3.49) potrebbe essere decomposto in termini di questi
µ
funzionali.
µ
L’operatore $ è anche chiamato operatore di ghost; esso è la controparte quantistica dell’ope
ratore classico $ definito dalla (2.46) e dalla (2.50). Una sua definizione geometrica è espressa
dalla (2.53) e ad esso si applicano le considerazioni sulla singolarità svolte alla fine del paragrafo 1.9.
Un formalismo più corretto avrebbe indicato ogni è di questo capitolo con è , al costo di introdurre
$
maggiori complicazioni inessenziali alla comprensione del discorso. La scelta ø) e
¶7#$)Û , data
8
8
la natura geometrica delle coordinate Û , ha senso anche in ambito classico; l’uso di queste coordinate
per l’integrazione alla Feynman ha un carattere quantistico.
Bisogna poi considerare che, affinché i segni meno nei loop fermionici dei campi di ghost com$
pensino le integrazioni sui campi gauge equivalenti, occorre che ci siano tanti campi di ghost
quante trasformazioni di gauge indipendenti. Questo è il caso delle trasformazioni di gauge in teorie
di Yang–Mills e delle trasformazioni generali di coordinate in relatività generale, ma non è sempre
così. Un esempio di una teoria con trasformazioni di gauge non indipendenti è la teoria avente come
potenziali di gauge p-forme, ossia tensori antisimmetrici di rango p, su cui si ha una trasformazione
di gauge «DF«y d/ , dove / è una (p-1)-forma e d/ è la sua derivata esterna. Poichè d è nilpotente,
per 'ÙÉö si può traslare / di un ammontare d P senza modificare la trasformazione di gauge; così vi è
una sorta di invarianza sotto trasformazioni di gauge delle trasformazioni di gauge, in cui i parametri
delle trasformazioni sono le (p-2)-forme P . In tali casi bisogna compensare l’aver introdotto troppi
campi di ghost, introducendo ghost dei ghost (Siegel 1980, Kimura 1980, Kimura 1981). Per '¦É÷
89
bisogna compensare ulteriormente introducendo ghost dei ghost dei ghost e così via.
La necessità di introdurre i campi di ghost per compensare i gradi di libertà non fisici fu scoperta, al primo ordine nei loop, da Feynman (Feynman 1963); le leggi soddisfatte dai ghost al secondo
ordine furono trovate da DeWitt (DeWitt 1964), successivamente furono trovate per ogni ordine da
DeWitt (DeWitt 1967) e indipendentemente da Faddeev e Popov (Faddeev e Popov 1967). In entrambe le trattazioni queste regole erano espresse in termini di un integrale funzionale essenzialemnte
equivalente alle (3.65) e (3.66). Per tale motivo la procedura di introdurre nell’ampiezza in-out per
teorie di gauge l’identità nella forma
M
M
M
¸ T
²
i
e @
(3.85)
ªþ
ÙOïá
ÙSÐÛ O * Û O
µ
è nota come metodo di Faddeev e Popov,
operatore di Faddeev e Popov.
²
M
ÙO á
¸
3.10 Regioni in e out e matrice
è chiamato determinante di Faddeev e Popov e
$
0
La soluzione di molti problemi in teoria quantistica dei campi fa uso di uno schema di approssimazione basato sulla comparazione del comportamento dinamico di un dato sistema con quello di un
sistema lineare. I sistemi lineari sono completamente risolvibili sia nelle teorie classiche che in quelle
quantistiche. La loro descrizione, però, richiede un apparato elaborato la cui costruzione è ben nota.
Si consideri per semplicità un campo scalare 0 a r-componenti in uno spaziotempo curvo su cui agisca
un campo esterno di Yang–Mills. In questo caso la lagrangiana per 0 è
7
~
¸þ M
¦
ª
ô

g
&
& c 0 0 g 00XO 0
0 %
0 0 &
det ?& g d
d
d
d ¯
c ¯
Mc
c
c
ö
¸
k
k

0 0 Ç
q)« 0y 0 21
0) ó
0 q¤«
)
% q)%Sá $
q q7. q$WO<¿¾ À #$ q
(3.86)
d
c
cd
c
c
c
À b
Gli «
c
sono potenziali esterni di Yang–Mills, i "
q sono generatori di una rappresentazione dell’al-
gebra di Lie r-dimensionale associata al gruppo di Yang–Mills, le ¾ sono le costanti di struttura di
questa algebra. Si può assumere che 0 abbia componenti reali e che l’algebra di Lie sia compatta, ciò

implica l’esistenza di una matrice reale % che connette i qL alla loro forma controgradiente
$q . Si
7
può scegliere % simmetrica, definita positiva e normalizzata dalla condizione det %/ª .
¦
ô
di curvatura, è una massa e è un numero reale adimensionale.
è lo scalare
Nel linguaggio dell’Appendice A si è assunto che il campo 0 è una sezione di un fibrato vettoriale
associato al fibrato principale di Yang–Mills, ma ogni sua componente vettoriale si trasforma come
90
3.10. Regioni in e out e matrice
õ
uno scalare sotto diffeomorfismi. I potenziali «
sono le componenti, 'r ó](4ù dello spazio fibrato,
c
del pull-back allo spaziotempo di una 1-forma esterna di connessione nel fibrato principale di Yang–
Mills.
Si assume l’assenza di flussi di invarianza e che i campi esterni di background siano stazionari.
La stazionarietà per il campo gravitazionale (ossia il campo metrico) significa che esiste un campo
vettoriale di Killing di tipo tempo globale; si può introdurre un sistema di coordinate + c tale che il
|
|
campo vettoriale di Killing sia
+ e le sezioni + costante siano di tipo spazio, avendo & g
c
|
e e consente una trattazione in termini di spazi di Fock e di funzioni
indipendente da + . La stazionarietà
modali, tecnica ampiamente nota. Si consideri il caso in cui lo stato fondamentale dell’energia é ,
chiamato nella teoria dei campi vuoto (vacuum), sia non degenere e normalizzabile ( éew ). Con una
procedura covariante che annulli lo stato fondamentale dell’energia in uno spaziotempo piatto vuoto
minkowskiano, si può fare in modo che i prodotti operatoriali l siano osservabili fisici, avendo
Ú Ú
indicato con particolari componenti dell’operatore di distruzione e con l particolari componenti
Ú
Ú
dell’operatore di creazione, ovvero si ha
Ú ¯
vac ©)
In questo caso indicando con
ñ
vac Âl ¯ Ú
«
ñ
vac vac ©)ª
¯
b
(3.87)
le funzioni modali corrispondenti e sottointendendo una somma
Ú
sull’indice « , si ottiene la scomposizione
!
0 8 C! 8
Ú
Ú
?! 8ü Âl
Ú Ú
(3.88)
b

Quando non ci sono poli nell’origine la funzione commutatore q può essere scomposta nei contributi
dei poli sull’asse reale positivo e in quelli dei poli sull’asse reale negativo (cf. figura 2.1)
ê
ì qpq
í

S
i !%!
q
?q

á
354

i !üE!
l
ì

687
ê
í
q
q

S
á

i !%!

354
i !üE!
l

6
b
(3.89)

Esprimendo
q
in termini di funzioni modali si è ottenuta l’espressione per la funzione a frequenza
S
positiva q o funzione di Wightman e quella per la funzione a frequenza negativa q á . Inserendo
la (3.88) nell’ampiezza ñ vac 0 8 0 <[ vac © e usando la (3.87) e la (3.89) si ottiene ñ vac 0 8 0 `[ vac ©
¯
¯
¯
¯
S
S

i q 8 [ , da cui, in virtù della simmetria q $q á , si ha la notevole relazione
q
8[ i ñ vac ½ Lý0 8 0 [ vac ©
¯
¯
91
b
(3.90)
La (3.90) mostra che il propagatore di Feynman
q
equivale all’ampiezza tra stati di vuoto del
prodotto cronologico dei campi.
Un’espressione alternativa per questa funzione di Green, così importante nella teoria quantistica,
si ha in termini del nucleo del calore; essa può essere generalizzata al caso di background non stazionario. Quest’ultima estensione, però, richiede maggiore considerazione. Un’idealizzazione molto
comune è assumere che il background sia stazionario per periodi di tempo limitati o che sia stazionario nel remoto passato e nel remoto futuro, ovvero nelle regioni in e out. Per ognuna di tali regioni
si possono costruire lo spazio dei vettori di stato e un insieme completo di funzioni modali. Una
volta costruite queste ultime, esse possono essere propagate con le equazioni di campo a regioni non
stazionarie. Le funzioni modali appropriate a una regione non coincidono, generalmente, con quelle
neppure a meno di una trasformazione unitaria. Infatti, una funzione avente
appropriate a un’altra,
l’andamento exp iç in una regione generalmente sarà una sovrapposizione di modi a frequenze po-
sitive e negative in un’altra. Può addirittura accadere che i vettori dello stato fondamentale nelle due
regioni abbiano prodotto interno nullo; in tal caso le corrispondenti basi vettoriali sono inequivalenti,
ossia non ottenibili l’una dall’altra con una traformazione unitaria.
Quando non vi è nessuna regione stazionaria, la definizione di uno spazio naturale di vettori di
stato diviene problematica. Talvolta viene proposto di congelare il background in un certo istante e
costruire un insieme di funzioni modali appropriato al background stazionario in quell’istante; così
ad ogni ipersuperficie di tipo spazio si può assegnare uno spazio di Fock. Questa proposta incontra
diverse difficoltà, tra cui l’impossibilità di scegliere tra i vari stati di vuoto, essendocene uno per ogni
; può inoltre accadere che due spazi di Fock associati a ipersuperfici vicine siano unitariamente
inequivalenti. Quest’ultimo inconveniente può essere superato, perché le funzioni modali assegnate a
una regione si propagano regolarmente in altre regioni e la funzione commutatore è data ovunque dalla
stessa espressione. La difficoltà maggiore, invece, risiede nell’uso del termine particella. Avendo due
spazi di Fock unitariamente inequivalenti, uno stato corrispondente alla presenza di un numero finito
di particelle, visto da un certo spazio di Fock, corrisponde alla presenza di un numero infinito di
particelle quando visto da un altro spazio di Fock. Evidentemente i due spazi di Fock conducono a
definizioni inequivalenti di particella, così come a vuoti inequivalenti.
Si possono anche introdurre regioni stazionarie limitate nello spazio, invece che nel tempo; ciò
accade, ad esempio, quando lo spaziotempo ammette un campo vettoriale di Killing che è di tipo
tempo solo in una regione metricamente incompleta ed è di tipo spazio oltre il bordo di questa regione.
Il bordo è una superficie di tipo luce nota come orizzonte rispetto a osservatori le cui linee di universo
sono parallele al campo vettoriale di Killing.
Anche quando esiste un campo vettoriale di Killing di tipo tempo, esso può non essere unico. Il
background che meglio esemplifica tale situazione è l’ordinario spaziotempo piatto con la topologia
92
3.10. Regioni in e out e matrice |
di V . Per ogni sistema di coordinate minkowskiano +<c in tale spaziotempo,
+ è un campo di
e e
Killing di tipo tempo globale e
globali. Si può
+ 8 sono campi vettoriali di Killing di tipo spazio
e
e
trasformare un insieme di tali campi in un altro con una trasformazione di Lorentz o, più generalmen-
te, con una trasformazione del gruppo di Poincaré (cf. Appendice B). Tutte le combinazioni lineari
di questi campi hanno parentesi di Lie nulle le une con le altre. Le trasformazioni generano un continuo a un parametro di campi vettoriali di Killing globali di tipo tempo; se una funzione modale è a
frequenza positiva rispetto a uno di questi campi, essa è a frequenza positiva rispetto a uno qualsiasi degli altri. Ciò significa che lo spazio di Fock, e in particolare lo stato di vuoto, rispetto ad uno
qualsiasi di questi campi, è identico a quello rispetto a un altro qualsiasi dei campi in questione. Si
ha, in tal caso, non semplicemente equivalenza unitaria tra spazi di Fock, ma identità. Questa identità
per gli stati di vuoto nello spaziotempo minkowskiano é una conseguenza della sua simmetria sotto
trasformazioni del gruppo di Poincaré. In effetti, questa simmetria può essere usata per definire lo
stato di vuoto quale l’unico stato in cui i valori di aspettazione di tutti gli osservabili, indipendenti da
parametri esterni, restano invariati sotto trasformazioni di Poincaré.
Nel seguito si assumerà che esistano due regioni nello spaziotempo, temporalmente separate l’una
dall’altra, in cui il background è stazionario: le regioni in e out. Sarà ancora assunta l’assenza di
modi bosonici di frequenza nulla, in modo tale da avere insiemi completi di funzioni modali di Fock,
indicati rispettivamente ! in e !(9 out 5 . Essendo definiti da condizioni differenti in differenti regioni
Ú
dello spaziotempo, gli insiemi ®3 ! in ! in 6 e ®3 ! in ! out 6 generalmente non coincidono. Ognuno di essi,
però, rappresenta un insieme completo di funzioni modali e può essere espanso in termini dell’altro
attraverso le relazioni di Bogoliubov
! out p! in
º
! in
Â
(3.91)
dove i coefficienti di Bogoliubov (Bogoliubov 1958) e Â , visti come matrici, hanno il loro primo
indice in alto e l’ultimo in basso: 29Ú NÂX9 Ú . Si noti che la (3.91) vale ovunque e che e Â sono
indipendenti dalla posizione nello spaziotempo.
Gli spazi di Fock associati alle regioni in e out sono costruiti nella maniera standard: innanzitutto
si introducono i vettori dello stato di vuoto in e out definiti, a meno di una fase, da
in
5
¯
in vac©
Il diverso pedice
regione in.
:
out
¯
out vac ©)
$ñ in vac in vac ©)eñ out vac out vac ©)ª
¯
¯
b
(3.92)
sta a indicare una possibile struttura completamente diversa dallo spazio di Fock relativo alla
93
Successivamente si costruiscono i vettori degli stati a più particelle
in ¯
t«
#b b#¸ b
in t« t« k ñ
¯
_à
_à
#b b#b¸
out _à _à k ñ
)
+l
©
l
´ Âin
b#b#b in Ú
eñ in vac ¯
b#b#b ¯
k
out ¸
t«
¸
¤
9
l
©
³
Ú
³ in
Ú
in
l
´ out
b#b#b out
Êñ out vac ¯
b#b#b ¯
in vac ©
¯
out
9
³
9
¯
´
Ú
(3.93a)
(3.93b)
b#b#b
out vac ©
³ out
9
´
(3.94a)
(3.94b)
b#b#b
k
Questi vettori soddisfano le relazioni di ortonormalità e completezza seguenti:
ñ
¸
in t«
ñ
J
å
â
ô
æ
|
å
â
o¯
_à
bÆb#b
ª
â
b#b#b
¸
Ð¶
o¯
ß
|
Ú ml lml Ú>
å
ª
ô
³
ß
9
³

out å
J
æ
bÆb#b
in Ð¶

¸
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t«
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lmlml 9 >
¯
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¸
_«
H
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©
©ñ
b#bÆb
å
oÒâ
H
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H
"
³
9 =³ <³
perm
¸
in _«
¸
Þ
³
Ú
perm
å
_à
H

©ñ
b#bÆb
t«
out à
¸
â
H
b#b#b Ú;
H
b#b#b
Þ
;
9 ;<;
(3.95)
(3.96)
¯
b#b#b
à
â
¯
ª
b
(3.97)
In termini di questi vettori si definisce la matrice , che ha elementi
ñ
out à
¸
bÆb#b
_à
â
¯
in «
â
b#b#b
t«
¸
©
(3.98)
da cui si possono ottenere le probabilità di transizione da stati in a stati out. Un’analisi accurata (cf.
DeWitt 2003) può mostrare che la matrice è formata da quattro blocchi principali, nella cui costruzione hanno un ruolo importante i coefficienti di Bogoliubov; questi blocchi sono chiamati ampiezza
di persistenza di vuoto ñ out vac in vac © , ampiezza di produzione di coppie, ampiezza di annichi¯
lazione di coppie e ampiezza di diffusione di singola particella, che rappresenta l’ampiezza per la
transizione da uno stato in a una particella a uno stato out a una particella. L’unitarietà della matrice deriva dalle condizioni (3.95), (3.96) e (3.97); essa fu introdotta da Wheeler (Wheeler 1937),
ma deve il suo nome a Heisenberg (Heisenberg 1943). Nonostante sia uno strumento potente, una
trattazione adeguata della teoria della matrice non trova spazio in questo ambito. È più opportuno,
invece, completare la discussione sul propagatore di Feynman.
94
3.11. Propagatore di Feynman
3.11 Propagatore di Feynman
Dall’ultima relazione nella (2.26) si vede che in uno spaziotempo piatto vuoto il propagatore di Feynman può essere definito come quella funzione di Green che propaga le frequenze positive nel futuro e
le frequenze negative nel passato. La stessa definizione si può usare quando lo spaziotempo è curvo,
purché esso diventi automaticamente piatto a grandi distanze di tipo spazio e di tipo tempo; in altre
parole purché le regioni in e out siano minkowskiane. In tali circostanze per q vale la (2.103), ossia
esso è coerente; ciò equivale, grazie alla (2.140), all’espansione
M
M
M
M
M
M
qs
q 0²SO?
q ¸ 0Ê]Oï
© q 0ÊSO
q ¸ 0Ê]Oï
© q 0Ê]Oï
© q 0î²SO
b#b#b
|
|
|
|
(3.99)
C:ª I
q ©Ä á q C
q :ª I Ê
© q á
M
M
|
q 0SO per semplicità. L’espansione di q intorno al
¼
dove si è indicato © © 0â]O e q
|
|
valore q dello spaziotempo piatto vuoto, dove il primo e l’ultimo fattore sono q , assicura di trovare
solo frequenze positive nel remoto futuro e negative nel remoto passato, grazie alla limitatezza del
dominio in cui © è non nullo.
Quando l’operatore dinamico è simmetrico, tale è anche q ; poiché è anche coerente, q è l’unica
funzione di Green che, vista come matrice continua, soddisfa tutte le regole della teoria delle matrici
finite. In uno spaziotempo piatto la sua proprietà speciale deriva
dal fatto che può essere ottenuto
A
come prolungamento analitico dell’unico inverso posseduto da in uno spazio euclideo. Quando lo
spaziotempo è curvo si possono usare queste proprietà stesse per definire il propagatore di Feynman,
anche quando lo spaziotempo non è asintoticamente piatto.
Dalla figura 2.1 è evidente che q è ottenuta, in uno spaziotempo curvo così come in uno piatto,
ô
semplicemente aggiungendo al parametro di massa
nella (2.25) una parte immaginaria negativa
infinitesima. Prima della forma generale di q , però, è utile ai fini di un confronto mostrare i risultati
ottenuti nel caso piatto. Intendendo integrazioni lungo l’asse reale, si ha
P;+X_+ \ ´
q
|
¸
|
dove *'PZ*' *' *' * ' e '/!j+u' +
¤
k
T
T
J
J
¬
ª
i A@ i

¦
eá á
*ùÄ
i i B'
|
á J
T
X
X
ei á a
(3.100)
*'
ô
Ïö
'
i?
¸ ¸
k
k
|
' + ' + ' + . Facendo uso delle identità integrali
k ¸þ
k
M
X ´
¾
i
e Í *+C
DC.
" ¹
iOXPY (3.101)
¯ ¯
¯ ¯
k
ª
95
e ricordando che le integrazioni sono quattro, si ottiene
N?+X_+ \ ´
q
T
Gö
Ï
¾
|
T
i
T
J
i
*=ù
J
*' e á
ª
ù
|
i
D
û
¤
i
´ S
´
á
â
ô
¿
i
ùÕ
k

¬

á
X
X
á a
?+Pâ+]\^
¾
ù k
*ù
ü
Á
(3.102)
k
k
dove la prima uguaglianza si ha in virtù della prima delle (3.101), la seconda si ha applicando la
seconda delle (3.101) dopo aver aggiunto e sottratto un termine opportuno per avere un quadrato
esatto nell’esponente. Nella forma finale si è tralasciato il termine i ? , intendendo che q può essere
ô
e ?+ºÔ+]\È analitica nel semipiano
visto come valore al bordo, sull’asse reale, di una funzione di
ô
k
inferiore
e in quello superiore per ?+â+\^ . La dipendenza
da + e k +S\ come quadrato della
k
differenza èk conseguenza dell’invarianza di Lorentz
e della omogeneità dello spaziotempo piatto.
Quando ;+ºâ+]\^ t
conviene introdurre nuove variabili:
k
ô
D ô ;+ºÔ+ \ w D w
!Äö i
Gù D e
(3.103)
k
k
k
k
in termini delle quali la (3.102) diventa
i
E
P;+X_+ \ ´
q
ô
k
D
ª
T
|
ª
D
C.
D
!
¿
ª
H!N
ö
!
Á
*<!
(3.104)
b
á J
k
k
In virtù della nota rappresentazione integrale della funzione di Hankel di seconda specie di primo
F
ordine
¸

D
)
õ
¸
D

2
k
la cui espansione in serie intorno a D ¸
i D
i
)
T
ª
ª
i
D
.
!
D
¿
ö
"!
ª
!
Á
*<!
(3.105)
k 1944), si ha
è nota (cf. Watson
N?+X_+ \ ´
ô
q
F
E
k
¸
kD

D b
(3.106)
Suddividendo q nella sua parte reale q e in quella immaginaria, si trova
ô
;+PÔ+]\^
;+PÔ+]\ (3.107)
?!
¾
¿
¾
¾
E
k
b#b#b Á
b
ö
ö !
!
k ö !
k
k
k
Si vede che q ha una singolarità del tipo delta di Dirac sul cono di luce ?+E+ \ e si annulla
k
; per uno spaziotempo piatto, inoltre, si annulla anche all’interno
fuori dal cono di luce _?+¢+\ w
k
qP;+X_+ \ )
ª H
?+>Á+ \ ¹ k
ô
5L?+>Á+ \ k
k
ª
96
3.11. Propagatore di Feynman
del cono quando
ô
, dando
N?+X_+ \ ¤
q
¾
ª H
_;+ºâ+ \ k
(3.108)
b
Dalla (3.108), grazie alle (2.26) e alla proprietà della delta di Dirac (3.109), si ha
M
H ¦
H ¦
ª H ¦

¤

¬

:O w
ö
9
k
k

ú
ú
ú
Z
ª ú ª ú H
q
;+X_+ \ ) ¾
\
\ _+ c ¯
\
¯
¯
(3.109)
(3.110)
risultato noto per il campo elettromagnetico nel caso minkowskiano.
Il metodo generale per determinare il propagatore di Feynman in uno spaziotempo curvo generico,
utilizzando il nucleo del calore, è dovuto a Schwinger (Schwinger 1951). L’idea base è di considerare
q
come l’elemento di matrice di un operatore q in uno spazio di Hilbert fittizio (non fisico):
q
Z
?+X+ \ ´eñï+
¯
q
¯
+ \©
(3.111)
b
I vettori di base +¦w sono autovettori di un insieme di operatori autoaggiunti + c che commutano tra
¯
loro:
H
(3.112)
+ c +#©¤u+ c +#©
ñï+ + \ ©¤
;+X_+ \ ¯
¯
¯
b
Data la lagrangiana (3.86), q soddisfa l’equazione differenziale
7
¸þ M
¦
H
ô
q c ;+X_+ \ 9u
&
qN?+X+ \ :O< ? +X_+ \ c
b
k A
k
Volendo esprimere q qª i PÐ , si ha
A
7
¸þ
¸þ
¦
ô
g
&
& c g -&
'
i q)«
c
cd
c
c
k
k
k
dove i
c
sono operatori autoaggiunti che soddisfano le relazioni di commutazione
M
M
H
®
+ c W ' g O< i c g
g O<
c
(3.113)
(3.114)
(3.115)
le matrici q , inoltre, sono scelte per semplicità antisimmetriche, il che comporta % matrice unitaria. Le quantità in grassetto sono ottenute dalle corrispondenti rimpiazzando + , da cui queste ultime
97
dipendono, con + , ovvero
g
& c
¯
g
+#©)& c ? +< #
+ ©
¯
+#©)« ?+< +#©
¯
c ¯
c
«
etc.
(3.116)
Si giunge così a un’espressione di qN?+X_+ \ come biscalare:
A

q
ª
i PÐ
È più conveniente avere la bidensità &
¸þ
&
¸þ
N?+X_+ \ =& \

q
P;+X_+ \ =& \

q
¸þ

ïñ +
A
N?+X_+ \ ´ôñï+
q
¯& á
¯
iP ¯
¸þ

ª
&

N?+X_+ \ =& \
q
T
¸þ

i
|
J
(3.117)
b
, ottenendo
¸þ A

ª ¸ þ
& \á
iP ¯

+ \©
La seconda idea chiave consiste nel notare che
T
¸þ A
¸þ
A
J
ª
¸
þ
¸
þ

i
DC.> i & ]á
& \ á 4ù *ù
& á & \ á 2 i P
|
¸þ
+ \©
Ûy;+X_+ \ 1ù4*ùÛy;+X_+ \ 1ù4
d
ï+
ñ
¯
¬ i & 7á
D
(3.118)
b
da cui
¸þ A

& \á
¸þ

ù + \©
¯
b
(3.119)
(3.120)
La bidensità Ûy;+X_+S\ 1ù4 soddisfa l’equazione differenziale
7
¸þ A
¸þ
¦
ô
i Ûy;+X_+ \ 1ù4´Õ&]á & \ á Ûy?+X_+ \ 1ù4´CÁÜ Ü c Ûy;+X_+ \ 1ù4 (3.121)
eù
c
k
e
con condizione al contorno
H
(3.122)
Ûy?+X_+ \ ´
?+X_+ \ b
Ü indica la derivata covariante che include un termine qK)« . L’espressione (3.121) può essere vista
c
c
sotto due aspetti. In primo luogo, la si può vedere come definizione dell’ampiezza di transizione da
un punto
di un sistema dinamico quantistico fittizio, governato dall’operatore hamiltoniano
¸þ A a un ¸altro
þ
¤
& á & \ á . In secondo luogo, la (3.121) può essere il prolungamento analitico di un’equazione
di diffusione con un punto sorgente. L’equazione di diffusione è ottenuta ruotando la variabile ù di G
nel piano complesso e ciò è spesso accompagnato da una rotazione simile della variabile temporale
|
+ . Storicamente, una delle prime quantità ad essere studiata come sostanza diffondente fu il calore,
da qui l’equazione di diffusione è spesso chiamata, sebbene impropriamente, equazione del calore e
µ?+X_+]\ý1ù4 è noto come nucleo del calore.
98
3.12. Quantità geometriche ausiliarie
3.12 Quantità geometriche ausiliarie
Dalla (3.120) si evince che per avere un’espressione esplicita del propagatore di Feynman occorre
calcolare il nucleo del calore. A tal fine esistono diversi modi (e.g. Avramidi 2000); di seguito se ne
adotterà uno valido per piccoli valori di ù e per punti + e +<\ prossimi. Tale metodo è utile nella teoria
della rinormalizzazione.
È necessario, innanzitutto, introdurre brevemente alcune quantità geometriche ausiliarie 6 . La prima è la funzione di universo ´?+X_+S\^ , che è una funzione a due punti introdotta per la prima volta
da Hadamard (Hadamard 1931), usata estensivamente da Ruse (Ruse 1931), e che deve il suo nome
attuale a Synge (Synge 1960). );+X_+\È è ben definita soltanto per punti dello spaziotempo + e +<\
abbastanza prossimi, ovvero tali da evitare la presenza di superfici caustiche 7 intersecate dall’unica
geodetica ammessa che connette + e + \ . );+X_+ \ è uguale a un mezzo della distanza geodetica al
quadrato tra + e + \ . Essa è un invariante a due punti, nel senso che il suo valore è invariato se si
trasformano indipendentemente due sistemi di coordinate definiti in due domini H e HP\ contenenti
Y H8JKH¥\ . In coordinate minkowskiane si vede che )?+X_+\^ è un
rispettivamente + e +S\ , tali che +X_+]\ I
mezzo del quadrato della distanza tra + e +\ , ciò comporta che essa rappresenta una generalizzazione
del concetto di distanza a uno spaziotempo curvo. )?+X+ \ è ovviamente simmetrica in + e + \ ; si vede
inoltre facilmente che essa soddisfa l’identità
L c ö
c
(3.123)
che è una versione alternativa dell’equazione di Hamilton–Jacobi.
L è un vettore di lunghezza pari a quella della geodetica da + a +<\ , è tangente alla geodetica in + e
c
punta nella direzione
che va da +\ a + , c a ha stessa lunghezza ma è applicato in +\ e ha verso opposto.
M
Indicando con `O il limite di coincidenza di , ovvero nel limite in cui +D
ogni altro invariante a due punti, si verifica facilmente che
M
M
M
M
M
L c O L c g O L c a g a O<& c g L c g a O<Õ& c g & c g a O<
+ \ e analogamente per
H g
c
b
(3.124)
Le prime tre identità sono le condizioni al contorno per l’equazione differenziale soddisfatta da ,
l’ultima è quella per l’equazione differenziale che definisce il bi-vettore di spostamento parallelo
g
g
geodetico & g , ossia per NM & a LMta & a .
c a
c M
c Ma
I limiti di coincidenza sono utili nella procedura di rinormalizzazione (cf. Fulling 1989); ciò a
6
Un quadro più esauriente si può trovare nei lavori di DeWitt (DeWitt 1965) e di Synge (Synge 1960).
Una superficie caustica è una superficie sulla quale si annulla un campo di Jacobi OQP ortogonale ai vettori tangenti
alle geodetiche appartenenti alla congruenza che connette R e RS (cf. paragrafo 2.2).
7
99
patto che siano indipendenti dal cammino con cui + tende a +`\ , condizione che si ottiene quando la
metrica sullo spaziotempo è regolare, ovvero analitica nei suoi argomenti. Supponendo la validità di
quest’ultima richiesta e che sia derivabile il numero di volte desiderato, derivando ulteriormente la
(3.123) e applicando la (3.124) si ottengono tutti i limiti di coincidenza cercati, tra cui
M
M
7
7
ª
L c g M O< L c g M M O< c g M M d Cc M Ng M c Mg M ÷
g M è il tensore di Riemann simmetrizzato.
c M
Si definisce, infine, il determinante di Van Vleck–Morette Ü
(3.125)
dove (Van Vleck 1928, Morette 1951)
M
come
Ü
d
det ÏÜ
g c a
Ü
ÁL g
c a
g
c a d
ÜNO<&
(3.126)
dove l’ultima identità è la condizione al contorno per l’equazione differenziale soddisfatta da Ü :
¸
¸
g
(3.127)
Üá ïÜ c " ZÜá ÏÜ a ! g p
ä
äî dim ï a
M c
M
b
²
Ü
è una bi-densità di peso unitario in + e +\ ; è più conveniente rimpiazzarla con il bi-scalare , che
pure soddisfa la (3.127) con condizione al contorno
M
¸þ
¸þ
²
²
(3.128)
O<ª
;+X_+ \ &]á
?+<7Ü;+X_+ \ =&]á
;+ \ d
b
k
k
²
diventa infinito, come funzione di + , su ogni superficie caustica formata dalle geodetiche con
origine in +S\ o, come funzione di +S\ , su ogni superficie caustica formata dalle geodetiche con origine
²
in + . La divergenza di è un altro modo equivalente per definire + e +`\ come punti coniugati.
Facendo uso delle proprietà
1. regola di interscambio: il valore di qualsiasi derivata covariante di invarianti a più punti è
invariato interscambiando i pedici primati e non, purché l’ordine dei primati e quello dei non
primati siano separatamente preservati,
M
2. N
M
M
lmlml a
O<
L O M lmlml
M
L
lmlml
M
OÏ
si determinano i seguenti limiti di coincidenza:
M
7
M
ET 7
g
g
g M O<
c c c g M M O<
c c Mµc
¾
ª
100
T
7
c
7
g
c
g
¾
ª
T
7
c
7
gM
M
c
gNM
M
(3.129)
3.13. Nucleo del calore
M
M
¸þ
²
c
¸þ
²
k
c c
g
O<
k
M
T
g O<
7
ª
¸þ
²
c
O g <
k
ª
c c ÷
M
7
ª
g c
7
ª
k
¸þ
²
7
÷
g
k
7
7
ª
O<
c
g
c
g
c
g
ª
c
7
÷
7
g
c
g
M
M
c
M
M
(3.130)
b
3.13 Nucleo del calore
L’equazione del calore (3.121) si può risolvere con uno sviluppo asintotico in ù grazie all’ansatz,
suggerito dalla nota soluzione nello spaziotempo piatto puoto (Schwinger 1951),
Ûy?+X_+ \ ÐùW´w
i
¸þ
þ
¾
i ùW á V
Ü
k
þ
e
k
¬
i

k
h á
i
´ ¬ å
â
U
U
UJ
æ
i ùW
|
M
|tO<ª I
(3.131)
b
La condizione al contorno finale serve a garantire la (3.122). Inserendo la (3.131) nella (3.121) e
utilizzando la (3.127) si hanno le relazioni di ricorrenza
U
U
U
ú
¸þ
¸þ
¸
¦
c V| c ZÜá
ïÜ
c c
c
á
c
k
k
U
7
ú
¸
á
ªÐö=Ð÷5
(3.132)
bÆb#b
Si evince che |ª I e che, in virtù dei limiti di coincidenza (3.125), (3.129) e (3.130),
M
¸
O<Ë
ª
U
7
¦
M
ªI

W
O<
k
ª

ª
7
¦
7
ª
E ª
T

7
c
gNM
c c
gM
c
M
ª

ö
U
MYX ª I
ª
7
¦

k
A
ª
q ÷q$
§ª ö
A
ª
$
g
c
7
ª
E c
7
c
g
g
c g
(3.133)
A
$
U
dove
« À g . È da notare che né le relazioni di ricorrenza né i limiti
g « M g «
g ¾ $ «
c
c
c
c
À
di coincidenza O hanno un’esplicita dipendenza dalla dimensionalità ä dello spaziotempo.
Inserendo, finalmente, l’ansatz (3.131) nell’integrale nella (3.120), si ottiene un’espressione per
il propagatore di Feynman in uno spaziotempo curvo generico in termini della funzione di Hankel di
secondo tipo:
¾
N?+X+ \ ´wK
q
²
ä
2
ö
L
9
²
ä
ö
L
¾
9
²
ä
ö
å
¸þ
k
U
:
|
á V
þ
i ùWtá V
UJ
æ
k
þ
J
|
k
¸þ
¾
¸þ T
þ
k
S
e
k
U
e
¸ åU J
æ
k
ô
e
|
¬
i
k
h á
U

i
T
â
U
e
101
e
ô
k
þö
i ù4 *=ù
|
i ù4Ðá V
|
UJ
æ
J
´ ¬ å
U
U
þ
þ
k
e
ô
¬
i
k

h á
i
F
þ

k
´ ¬
â
X VWá
k

*=ù
þ
Vk
(3.134)
þö

k
ô
k
X
¸þ
k
b
Quando äî
¾
questa diventa
U
U
¸þ
¸þ
Ý M
²
²
åU J
Tø
Tø
i ª
i ô
ô
qP;+X_+ \ )w
ªI
:
öWP
öÕ
N i PÐ³O
E k
E k
N i P
|
k
k
e
e
æ
ô
ô
kª
ö
Ïö k X
ô
¿
¾
¾
bÆb#b Á
ö !k
ö ! k ! k
k ö
ô
ô
k ªk
ª
ök
Ïö
X
ª
ª
ô
yö
¿ ¾N
¾µª{
¾
¾
µ

{
ª
b#bÆb Áïÿ
ö !k
ö ! k ! k
ö
k ¸ þ

¸þ M
²
²
k
k
k TWø
Tø
ª
i i ô
ªI
öÕ
N i PÐ:O
E k
E k ö4º
N i P
k
¸
¸
ª ôk
öW k ô
ô
ª I ö
ªIx
¿ ¬
²ö9 ¾ T
b#b#b Á
ö ¸þ k
ö !
k
²
k
¸
ª ô
ök i ô
ô

¿
ª
I
ª
I
E
ö
?
¾
¾
¾
¾
bÆb#b Á
ö
!
¸þ k
k
k
²
i k
k
ö k
Z ¿d ¾ ô
¾ ô ô d ô
(3.135)
¾
¾
ô
[
k
b#b#b f
b#bÆb f
b#bÆb Á b

ö
ö !
k
k
k
k
k
La prescrizione i P indica che qP;+X_+\ è il valore di bordo di una funzione analitica di , analitica
nel semipiano superiore di . Si noti che qP;+X_+\^ , per
, ha lo stesso tipo di singolarità, in
presenza di campi di Yang–Mills e gravitazionali, di quelle che esibisce in uno spaziotempo piatto
vuoto. La sua parte reale q ha una singolarità del tipo delta di Dirac sul cono luce e si annulla
ô
U accadeva
all’esterno di esso. Quando , però, non si annulla più nell’interno del cono luce, come
nel caso più semplice.
Si noti, infine, che l’espansione in termini dei coefficienti per la parte
¸
ô
immaginaria q di q , coinvolgendo termini con potenze inverse di ¸ , non può essere usata per
campi a massa nulla. Ciò può essere legato alla natura non locale di q ,k mentre lo sviluppo (3.131)
impiegato nella tecnica del nucleo del calore è ben posto solo per + e +`\ prossimi.
102
Capitolo 4
Quantizzazione BRST
4.1 Riassunto
Questo capitolo conclude la trattazione generale delle teorie quantistiche dei campi manifestamente
covarianti; esso si occupa della trattazione del formalismo BRST e di quello dell’azione effettiva.
Sebbene siano entrambi meno basilari per la fondazione della teoria quantistica degli argomenti sviluppati nel capitolo precedente, sono parimenti fondamentali alla completezza della teoria, trattando
adeguatamente le sue simmetrie più profonde e le proprietà di rinormalizzabilità.
Un breve compendio del metodo di DeWitt–Faddeev–Popov per la quantizzazione delle teorie di
Yang–Mills, consente un’adeguata inroduzione delle trasformazioni BRST, sotto cui l’azione totale
è invariante. La verifica della nilpotenza delle trasformazioni consente di mostrare questa proprietà
dell’azione, dovuta a una sua simmetria globale residua. Il formalismo BRST, poi, data la sua maggiore generalità, può essere utilizzato come metodo alternativo di quantizzazione, estendibile anche
ad altre teorie. Tale procedura si fonda sull’introduzione di un operatore di carica BRST, la cui azione
annulla gli stati fisici.
Dalle proprietà di simmetria delle funzioni di correlazione ú 8 [ della media secondo Schwinger
di un osservabile, si evince l’esistenza di un funzionale d’azione effettiva ú . ú 8 [ sono anche funzioni di Green generalizzate, esse invertono le ú) e rappresentano i propagatori completi della teoria
8[
quantistica. Il funzionale ú soddisfa le stesse equazioni del funzionale d’azione classica; esso agisce
sui campi medi che, pur avendo proprietà quantistiche, hanno un comportamento classico. L’azione
effettiva può essere introdotta, inoltre, sia non perturbativamente, come trasformata di Legendre del
k
funzionale generatore dei grafici connessi , sia perturbativamente, caso in cui un’espansione in loop
fornisce una descrizione diagrammatica simile all’analoga classica.
Il formalismo BRST e l’azione effettiva insieme consentono di giungere alle identità di Slavnov–
103
Capitolo 4. Quantizzazione BRST
Taylor e alla conseguente rinormalizzabilità della teoria quantistica. La definizione di azione effettiva
in presenza di gruppi di invarianza permette di giungere alla rinormalizzabilità anche delle teorie
di gauge, ottenibile con l’uso combinato del formalismo di Batalin–Vilkovisky e dell’equazione di
Zinn–Justin.
4.2 Formalismo BRST
Il formalismo di DeWitt ( e di Faddeev e Popov) rappresenta soltanto uno dei modi di generare una
classe di lagrangiane equivalenti che conducono alla stessa matrice unitaria. Il metodo di DeWitt,
nonostante conduca a risultati così apprezzabili, presenta ancora alcuni inconvenienti. La sua efficacia
nel trattare i sistemi considerati, ossia quelli nei quali i flussi generano un’algebra chiusa, non si presta
ad un’opportuna estensione a sistemi più generali.
Vi è, inoltre, un altro elemento di disturbo: tutta l’analisi condotta fin dal primo capitolo si è
basata sulle simmetrie e sull’invarianza dei sistemi in esame. Il metodo di DeWitt, invece, porta all’introduzione, nella lagrangiana completa per il sistema, di termini che rompono la gauge invarianza:
i termini successivi al primo nell’esponente della (3.84), infatti, non sono invarianti sotto le trasformazioni di gauge (1.63). In esso, inoltre, è fondamentale la scelta (3.62) sul funzionale Ó , che ha
portato all’identificazione dei funzionali ø9 , che vanno determinati nell’imposizione di condizioni
8
$
supplementari, con ¶]#$)Û . Come discusso nel paragrafo 2.6, la determinazione dei ø´ è stretta8
8
mente connessa con la procedura di gauge fixing. Da ciò si evince che nell’espressione (3.84) non si
ha più la libertà data dall’invarianza di gauge; questa è stata congelata al principio della procedura
che ha portato all’ampiezza (3.84).
La dipendenza del risultato da una particolare scelta è una caratteristica cui si vorrebbe ovviare,
mantenendo saldo lo spirito che ha pervaso l’intera trattazione. Il formalismo BRST fornisce proprio
gli strumenti atti allo scopo. Sebbene esso nasca da importanti considerazioni su simmetrie residue
del sistema trattato con il metodo di DeWitt, dovute a Becchi, Rouet e Stora (Becchi et. al 1975) e
indipendentemente da Tyutin1 (Tyutin 1975), la sua adozione può anche portare all’abbandono del
metodo precedentemente esposto.
il formalismo BRST si fonda sulle trasformazioni BRST, sotto le quali il sistema in esame è
ancora invariante. Sebbene le loro espressioni di solito vengano date per definizione, si può vedere la
motivazione della loro introduzione e della loro forma operando una scelta per il funzionale Ó della
(3.85) diversa dalla scelta (3.62), usata per giungere all’ampiezza (3.84).
1
Dalle iniziali di questi autori, che le hanno scoperte, deriva il nome delle trasformazioni BRST
104
4.3. Teorie di Yang–Mills quantistiche
4.3 Teorie di Yang–Mills quantistiche
Innanzitutto, conviene riassumere brevemente lo spirito del metodo di DeWitt, tralasciando tutti i
dettagli sul funzionale di misura e sui passaggi che portano a introdurre i campi di ghost. Poiché la
fisica di un sistema in esame ha luogo nello spazio delle orbite × , si dovrebbe avere un’ampiezza del
tipo
ñ
out in©
¯
T
M
e
@
Ù
i
§
O§* Ù
costante di integrazione
b
(4.1)
Per avere un’espressione più utile, in primo luogo si riesprime la (4.1) in termini delle variabili 0 8 ,
vincolando le variabili Û
in ogni orbita a un certo valore º :
M
M
T
T
§ H
(4.2)
ñ out in ©)
*Ù
* ei Û-. ºO @ ÙO ¯
H
è la delta di Dirac funzionale sull’orbita etichettata con la Ù e º è un punto dell’orbita. Si ha
M M
M
M M
T
§ H
i
e °
(4.3)
ñ out in ©
Û 0>OG º9O õ 0>O @
Ù 0>O^4O *0
¯
M
con õ 0>O dato dalla (3.53). La delta non è molto conveniente per i calcoli, essa è l’unico termine
nell’integrando che dipende dal punto º ; l’integrale stesso è indipendente dalla scelta di º . Senza
dove
così
M
cambiare il valore dell’integrale,
allora, si può effetturare una media su tutti i punti dell’orbita, con
un fattore di peso DC.> i Ó ºOý , avendo
M M
T
T
T
¸ M
§ S
\ H
\ i
\
\
ñ out in ©)
* º
+
*0 e °
Û 0>OÏ.ºO det èÐá @ 0XO ei
*Âº
d
¯
æ & &
M
T
]
æ
,
§ S
\ +
eá
\\
@
0>Oý*0¥
* 'K* ei °
\ \ d \ costante b (4.4)
Una scelta molto diffusa per il fattore di peso è una forma gaussiana in termini delle coordinate
esplicite. Ciò, a parte la non covarianza di tale scelta, è una procedura non rigorosa. L’uso delle
coordinate esplicite, infatti, può portare alla necessità di considerare altre carte, oltre a quella in cui
si sono definite propriamente le Û . Questa estensione comporta i problemi discussi
alla fine del
¸
#$
¶ á
s
ø>$ 8 , dove 8
paragrafo 1.9. La scelta gaussiana solitamente si accompagna alla scelta Û
8
è un disturbo finito dipendente dal background scelto; ciò porta la (4.4) alla forma

M
T
æ æ
æ(, æ & &
³
§
S ´
S
ª $
i+

ñ out in ©)
\\
@
0>O *0/
* 'L* ei ! °
ÓÊ
º
¶7#u
$ º
(4.5)
¯
ö
105
dove le ø> 8 sono chiamate funzioni di gauge fixing2 . La scelta di Ó nella (4.5) può essere
d
8
¦
¦ $
anche riespressa come Óª ö º ¶7#$uº , con parametro reale arbitrario3 .
Si è visto, dunque, che il metodo di DeWitt consiste nell’aggiungere l’identità nella forma (3.85)
all’ampiezza ñ out in © per giungere a un’espressione del tipo (4.5). La scelta più semplice delle fun¯ zioni di gauge fixing , che le renda Lorentz invarianti, ricalca quella che si ha in elettrodinamica:
c « . In teorie di Yang–Mills i potenziali non abeliani «
vivono nella rappresentazione
c
c
e per essi una trasformazione di gauge infinitesima con parametro di gauge ò ha la forma
aggiunta;
H
«
c d
e
c
ò
$
iò
³£ Ú $ µ
H « À À c
$
e
c
ò
$
¾
À
$ ò
$
$
« À Z
Ü $ ò
c
c
(4.6)
dove le uguaglianze si hanno in virtù della (1.52) e della definizione di derivata covariante Ü $
c
nella (3.86). La definizione (2.53) di $ , ricordando che i £ sono i generatori infinitesimi delle
trasformazioni
di invarianza per teorie di questo tipo, si può riesprimere come
µ
µ
$ Zµ Û
µ £ 8$ 8
µ
¸
µ
£ 8 $ C c « £ 8 $ 8
c 8
e
H
c « ;+<
c
e H ò $ _^5 ` Ç | `
``
æ
e
c Ü
c
$
b
(4.7)
Esprimendo , dove | è indipendente dai campi
|<
0v« ed è di ordine 0 nelle costanti di
µ
c
¸
accoppiamento, mentre dipende dagli « ed è proporzionale
¸ a una o più costanti di accoppiamento,
c
si ha µ che il propagatore dei campi di ghost
è proprio L |j á . In virtù della (4.7) si ha
µ
M
H
H H
¸
| ;+ºa
^5 $
« c À ?+< ?+Na
^7³O da cui
(4.8)
|¥$
$ P¾ $
À e+ c
T e
X
²
H
ei á b

#$S?+XV ^7´ #$¢Ïö Ðá
* '
(4.9)
'
iP
²
k Ó gaussiano e c« , si ha che
dove #$ è il propagatore dei ghost. In altri termini, scegliendo
c
e
i campi di ghost si comportano come fermioni a massa nulla e a spin nullo, che si trasformano
se-
condo la rappresentazione aggiunta; il che conferma i risultati dell’analisi generale svolta nel capitolo
precedente.
I funzionali c ¸ sono spesso chiamati funzionali di gauge fixing, sebbene nella teoria classica il nome non sia
ñ
propriamente corretto.
3
la scelta di d viene erroneamente chiamata scelta di gauge; ad esempio degf è nota come gauge generalizzata di
Feynman e dhi come gauge di Landau.
2
106
4.4. Trasformazioni BRST
4.4 Trasformazioni BRST
U
Sebbene
la lagrangiana per un puro campo di Yang–Mills nella (B.24), d’ora innanzi indicata con
~
< , sia invariante sotto le trasformazioni di gauge (4.6), non sembra esservi modo di estendere
le (4.6) stesse fino ad includere i campi di ghost. Il passo che porta alle trasformazioni BRST è
accorgersi che si può sostituire ò con 2 , dove è un fattore fermionico costante. Si definiscono,
=H j
allora, le trasformazioni BRST sui potenziali « come
c
YH j $
(4.10)
«
´Ü $
%
d
c
c
U
b
~
è ancora invariante, ma i campi ora si mischiano. La variazione del termine
Con questa modifica <
di gauge fixing (anche noto come termine di gauge breaking per ovvi motivi) è non nulla:
HYj
¬
ª
¦ c « c
ö
k
e

g
$
¦ c « Ü g #$´
c
e
e
(4.11)
b
Tale risultato ricorda il termine con i ghost, così suggerisce che lo si compensi definendo le trasformazione BRST per '> come
HCj

(4.12)
'X d ¦ c « c b
e
Una volta che la variazione di ' nel termine con i ghost cancella la variazione del termine di gauge
$
fixing, si possono scegliere le trasformazioni BRST su
in modo tale che annullino la restante
variazione del termine con i ghost:
HYj
ïÜ
c
#$´
$
)Ü
Ü
Si deduce che
H=j
ÏÜ
#$7
c
c
c
#$7
#$)
HCj
HCj
$
$

¬Z
$
HYj
Ü
#$
M c
9Ô&Ô Ü
c
$
À t
À
ZÜ
$
c
#$7
HYj
O<ZÜ
c

#$7
$
M
¬y&
HYj

$
HCj
«
9EÜ
H=j $
se si definisce come
M
YH j $

ª
$
$

& t À O
Ä¾
À
d ö
ö
À
´
$
7t
c
c
À

O
ö
ª
M
&Ô
t
$
O

b
b
(4.13)
(4.14)
Nel verificare l’invarianza dell’azione totale, ovvero dell’esponente nella (4.5), con x dato dalla
(B.24), è molto utile fare usoA della nilpotenza
A
A delle trasformazioni BRST. Il significato di questa
Hkj
$
, con funzionale qualsiasi di « "'X7
proprietà è che, definendo
Xù
_ (e di eventuali
d
c
campi di materia l ), allora
A
A
YH j
ýù )
o equivalentemente ù ýù ´
(4.15)
b
107
Le trasformazioni BRST definite dalle (4.10), (4.11) e (4.12), però, sono nilpotenti soltanto quan
$
do agiscono su funzioni di «
e , non di '> . Per ovviare si può operare una diversa scelta del
c
funzionale Ó , riscrivendolo come integrale di Fourier e introducendo i campi ó` , noti come campi di
Nakanishi–Lautrup (Nakanishi 1966, Lautrup 1967) (o come campi B) (cf. Kugo e Uehara 1981):
T
W
Ó
X
X CD .
*ó7S?+<
¦ T

* <
+ ó7ó
ö
T
.

* +

D
ó
(4.16)
b

I campi ó] svolgono il ruolo di moltiplicatori di Lagrange per le funzioni di gauge fixing; l’importanza
di ciò fu riconosciuta per la prima volta da Nakanishi in elettrodinamica quantistica. I campi di
Nakanishi–Lautrup altro non sono che i campi di ghost ç´ di DeWitt; la loro introduzione in questo
ambito motiva e chiarisce la loro comparsa nella (3.82).
Con la scelta (4.16) nell’esponente della (4.5) si ha la sostituzione
ª
ö
¦
<D
ó7
ª ¦
ó7ó
ö
(4.17)
b
Si ridefiniscono, allora, le trasformazioni BRST come4
HYj
«
c
C´Ü
c
$
$
HYj
'XK%¤ó7
HYj
$

ª

ö
$
þ¾

À
À
HCj
ó7K
b
(4.18)
Un’importante proprietà delle trasformazioni (4.18) è che esse sono definite prima di effettuare una
qualsiasi scelta particolare sulle funzioni di gauge fixing.
Innanzitutto è opportuno verificare la nilpotenza delle (4.18). In primo luogo si ha
HYj
ù X«
c
HYj
s
s
H HCj $
HYj $
$
I $ « : À ¾ $
$ $
c
c
c
À
À
e
ª $
$
¾ $
ï À ¬¾ $ : À
¾ $ ¾
ö
À e c
À e c
À
ª ª $
$
¾ $ À ¾ $ ¾
¾ $ À ö
ö
À e c
À e c
À
Ü
$ HCj
«
$
c
À
(4.19)
Å
« Ã
Å þ
c
Ã
Å
« Ã
À Å Á
c
Ã
I primi due termini nell’espressione finale si cancellano perché ¾

À $
ª
$
Å
¾ À Å «
Ã]
c
ö
Ã
À

ª $
Å
¾ $ ¾ À Å « ¤7
Ã
c
ö
Ã
À

¾
$
$ è antisimmetrico in Â e ; il
À
terzo ed il quarto termine si cancellano in virtù dell’identità di Jacobi (1.30). Si ha così
ù <ù >«
c
Si ha anche per i campi di materia m la trasformazione n!opmrq
campo m è semplice da verificare e non verrà trattata.
4
108
(4.20)
b
i sut.v(w
¸
m . La nilpotenza di nVo
agente su un singolo
b
4.4. Trasformazioni BRST
Dalle trasformazioni (4.18) si ha subito che
ù `ù x'>L
HCj
ù >
Å

¾

ö
$
¾
ö
ª
Il prodotto Ã
ª
HCj
$
$
À
$
ï
Å
¾ À Å Ã]
Ã
À
ª
À ´

]¾
¾]ôd
$
ù `ù >ó7K
$
$
¾
À
Å
Å ¤Ã7
Ã
(4.21)
b
À ¾
$
¾ À Å
Ã
À
$
¤Ã7
Å
f
(4.22)
b
è antisimmetrico, così in virtù dell’identità di Jacobi si ha anche
ù `ù X
(4.23)
b
¸
¸
Si consideri ora il prodotto di due campi * e * , dove sia * che * stanno per uno qualsiasi dei campi
« "')t o ó , non necessariamente presi nello stesso
punto dello spaziotempo.
Si ha
k
k
c
M
CH j ¸
¸
¸
¸
¸
(4.24)
Q * * )s
5ýù N* p * y
* 7ýù z* ´s
ýù x* p * {* ù x* O dove il segno è più se *
k
k
k
¸ k
¸ k
è bosonico, meno se * è fermionico; in altri termini
ù Q*
Poiché
HYj
¸
ýùx* ´
HYj
ýùx* )
k
HYj
¸
¸
´Cýù N* | *
*
¸
{* ùx*

k
k
k
¸
, l’effetto di una trasformazione BRST su ù }*
ù Q*
¸
*
¸
´C ù x* 5ýù x* destro introduce un fattore ~ :
ù }*
¸
*
*
è
k
¸
5ýù x* ¹ ýù N* Ì
k
k
ù x* ha sempre una statistica opposta a * , così muovere
HCj
(4.25)
b
(4.26)
b
k
a sinistra nel primo termine del membro

M
¸
¸
¤C N
~ ù z* Æ ýùz*
ýù x* ¹ýù x* ³O
b
(4.27)
k
k
k
Allo stesso modo si può vedere che le trasformazioni BRST sono nilpotenti quando agiscono su un
prodotto qualsiasi di campi presi in punti arbitrari dello spaziotempo:
HCj
ANM
Qualsiasi funzionale
ù }*
¸
* *
k

b#b#b
¤
b
(4.28)
*=O può essere scritto come somma di integrali multipli di tali prodotti con
109
coefficienti numerici, il che implica
APM
HYj
*5O<sXù <ù
ù
ANM
*5O<
(4.29)
b
Ciò completa la dimostrazione della nilpotenza delle trasformazioniM BRST.
* O , con µ
Si può verificare l’invarianza sotto le (4.18) dell’azione totale x =
M
x =
* O<
T
* + ¾
ª
& <á
¸þ A
&
k
k
A
c
g
g
c
Êó7
ª ¦
ö
ó7ó
i 'X
$
$

b
(4.30)
Ricordando che le (4.18) sono semplicemente trasformazioni di gauge per un’azione del tipo (B.24)
U
(comprendente anche eventuali campi di materia) con parametro
di gauge infinitesimo ò ?+<
~
2
;+< , si ha che il primo termine, d’ora in poi indicato come < , è automaticamente BRST inva=H j
=H j $
riante. Poiché e c commutano, si ha che
c'« 5 , ricordando che

cÜ #$´ per
c
c
YH j
YH j
e
e
'XL%
)ó7 e chee
ó7K
, si può scrivere
µ
ó]
ö
ª ¦
ó]ó
i 'X
$
$
ù
ª ¦
ö
'Xó
y'X

d
ù
b
(4.31)
La nilpotenza delle trasformazioni BRST conduce subito all’invarianza dell’azione totale (4.30) sotto
le trasformazioni BRST (4.18).
4.5 Quantizzazione BRST
U
L’equazione (4.31) mostra che il contenuto fisico di ogni teoria di gauge è racchiuso
nel nucleo
~
dell’operatore BRST ù , ossia in un termine generale BRST invariante ÚN* + <
Zù , modulo
termini nell’immagine della trasformazione BRST, ossia termini della forma ù . Si dice che la
differenza tra il nucleo e l’immagine di una qualsiasi trasformazione nilpotente forma la co-omologia
della trasformazione.
Vi è un altro senso in cui il contenuto fisico di una teoria di gauge può essere identificato con
la co-omologia dell’operatore BRST (Kugo e Ojima 1979). È una fondamentale richiesta fisica che
gli elementi di matrice tra stati fisici dovrebbero essere indipendenti dalla scelta delle funzioni di
gauge fixing
o, in altri termini, del funzionale definito nella (4.31). La variazione in un qualsiasi
H
elemento di matrice ñÏ Â © dovuta a un’arbitraria variazione in è
¯
H
5
In generale per
¸
Ï Â ´
© ¯
i ñG
¸
¸
ñ
qualsiasi vale nVo

iv
¹
w
H
Â ´
© ¯
¯
¹
i ñÏ ù
¯
H

(cf. Weinberg 1998).
110
¯
Â×©
(4.32)
4.5. Quantizzazione BRST
H
Hj
dove si è fatto uso del principio variazionale di Schwinger ( non è di una trasformazione BRST).
8
Si può introdurre una carica fermionica6 BRST , definita in modo tale che per ogni operatore
dei campi à si abbia
M
M
M
CH j
8
8
8
à f i Gà îO< i
Gà O
ossia
Gà îO< i ù ]à
(4.33)

dove il segno ~ è meno (ovvero le parentesi quadre indicano il commutatore) se à è bosonico e più
(anticommutatore) se à è fermionico. La nilpotenza della trasformazione BRST conduce a
M
M
M
8
8
8
åù `ù Sà Ë
Gà îO O Gà O
(4.34)

á
b
k
Affinché ciò sia soddisfatto per tutti gli operatori à , è necessario che
88
sia nullo o che sia proporzio-
ha un numero di ghost nonk nullo, esso si deve annullare:
nale all’operatore unitario. Poiché, però,
k
. Dalle (4.32) e (4.33) si ha
k
M
H
H
8
ñG
Â ©´Ê
ñG
þO Â © (4.35)
¯
¯
¯
88
8
affinché questo si annulli per ogni variazione
G
ñ
¯
8
H
in è necessario che
8
¯
Â )
© (4.36)
b
88
Dunque, gli stati fisici sono nel nucleo dell’operatore nilpotente
. Due stati fisici che differi-
88
8
© ,
scono soltanto per un vettore di stato che appartiene all’immagine di , ovvero della forma
¯ b#bÆb
hanno evidentemente gli stessi elementi di matrice con tutti gli altri stati fisici e sono, quindi, equiva-
lenti. Stati fisici indipendenti, allora, corrispondono a stati nel nucleo di
88
ossia corrispondono alla co-omologia di .
88
modulo l’immagine di
8
,
Il formalismo di Dewitt descritto nel capitolo precedente conduce necessariamente a un funzionale
$
d’azione bilineare nei campi di ghost '9 e . Ciò è adeguato per teorie di Yang–Mills rinormaliz c « , ma non lo è in casi più generali. Alcune teorie di
zabili con funzioni di gauge fixing
c
e
Yang–Mills rinormalizzabili, ad esempio, necessitano
di termini del tipo ''"P nella lagrangiana come controtermini per le divergenze ultraviolette nei grafici con loop con quattro linee di ghost esterne
(cf. Weinberg 1998).
V '¤_ e
c
ó (e dei campi di materia l ), con numero di ghost totale nullo, che sia invariante sotto le trasformaNel formalismo BRST l’azione deve essere il funzionale locale più generale dei campi «
zioni BRST (4.18) e sotto qualsiasi altra simmetria globale della teoria. Per teorie rinormalizzabili,
6
Si presti attenzione a non confondere i flussi di invarianza s
111
con l’operatore di carica BRST .
inoltre, vi é la ulteriore richiesta che la densità lagrangiana sia formata da operatori di dimensionalità
pari a quattro o minore. In un contesto più generale delle teorie di Yang–Mills, si può dimostrare
(cf. Weinberg 1998) che l’azione più generale di questo tipo è la somma di un funzionale dipendente
soltanto dai potenziali « e dai campi l , più un termine dato dall’azione dell’operatore ù su un funzioc
nale arbitrario di numero di ghost -1, come nell’azione (4.5); con ù , però, non necessariamente
bilineare nei campi di ghost e di antighost.
Con le stesse argomentazioni precedenti, gli elementi di matrice tra stati annichilati dal gene8
ratore BRST sono indipendenti dalla scelta di . Se esiste una scelta di per la quale i ghost si
disaccoppiano, allora essi lo fanno in generale. Nelle teorie di Yang–Mills un tale è fornito dalla
quantizzazione della teoria nel gauge assiale, così in tali teorie i ghost si disaccoppiano per scelte
arbitrarie di , non soltanto per le scelte, come la (4.31), generate dal formalismo di DeWitt. Dall’invarianza BRST dell’azione si può come prima derivare l’esistenza di un generatore BRST nilpotente
8
88
conservato . Trattando i campi di ghost e di antighost come autoaggiunti, anche lo è. Anche
88
in questo caso più generale si definiscono gli stati fisici come quelli annichilati da (cf. Marnelius
88
1991), considerando equivalenti due stati la cui differenza è pari all’azione di su un altro stato. È
stato dimostrato che per teorie di Yang–Mills lo spazio degli stati fisici è privo di ghost 7 e di antighost
e ha una norma definita positiva, e che la matrice in tale spazio è unitaria (Curci e Ferrari 1976,
Kugo e Ojima 1978, Kugo e Ojima 1979). Questa procedura è nota come quantizzazione BRST; essa
è stata estesa a teorie con altre simmetrie locali come la relatività generale e le teorie di stringa.
Sfortunatamente sembra necessario allo stato attuale provare nei singoli casi che la co-omologia
BRST sia priva di ghost e che la matrice agente su questo spazio sia unitaria. Il punto chiave in
queste dimostrazioni è che, per ogni grado di libertà con norma negativa, come le componenti temporali degli « nelle teorie di Yang–Mills, esiste un’unica simmetria locale che permette di eliminare
c
questo grado di libertà con una trasformazioine appropriata.
Nello spirito geometrico che ha pervaso l’analisi dell’invarianza delle teorie considerate, sembra
opportuno menzionare un’interpretazione geometrica dei ghost e della simmetria BRST (cf. Mangiarotti e Sardanashvily 2000). Si è già detto che i potenziali di gauge « possono essere scritti
c
«þ *+ c , dove *+ c sono un insieme di numeri reali anticommutanti. Ciò
come 1-forme «þ
d
c
«Á¥Z in uno spazio estepuò essere combinato con il ghost per comporre una 1-forma d
so. La derivata esterna ordinaria (cf. Appendice A), inoltre, può essere combinata con l’operatore
BRST ù per formare una derivata esterna H
d ù in questo spazio; essa è nilpotente in quanto
d
.
ù d ù d d ù þ
k Perk concludere questa breve discussione sul formalismo BRST, va anche notato che, sebbe7
Con lo stesso nome di ghost si intendono sia i campi
negativa, considerati in questo caso.
w
, introdotti nel paragrafo 3.9, sia vettori di stato a norma
112
4.6. Funzioni di correlazione
$
ne i campi di ghost >
' e
non siano l’uno l’hermitiano coniugato dell’altro8 , la scoperta del-
l’invarianza sotto una simmetria anti-BRST (Alvarez–Gaumé e Baulieu 1983), le cui trasformazio$
ni anticommutano con quelle BRST, mostra che vi è una similarità tra i ruoli di '2 e
tuttora
misteriosa.
4.6 Funzioni di correlazione
Si consideri un sistema composto da campi non lineari che non abbia flussi di invarianza. La quantizzazione tramite integrazione alla Feynman dei sistemi lineari ha condotto alle due importanti espressioni (3.39)M e (3.41). La seconda può
vista come
una sorta di media generalizzata della quantità
M
M essere
®
classica « 0>O , con peso DC.µ3 i x Â)Ð 0XOS
õ"02 @ 0>Oï6 , indicando ancora con il punto le quantità rinormalizzate, necessarie per campi non lineari. Normalizzando convenientemente questa media si
ritrovano le due espressioni seguenti:
M M
M
T
T
T
§
à $ S à
°
ñ out in © à @
0>O *0>O
*
*Â Â¤t>O ei " °
ei
(4.37)
d
¯
M
M
M
M
T
à T M M T
§
0>Oý in © à
ñ out ½ "?«
$ S à
i

¯
¯
° (4.38)
0>¯O © à
ñï«
eá
@
0 O *0>O
>
*
*Â Â)ÐXO « X
0 O ei °
d
ñ out in © à
¯
²
dove il pedice õ indica la dipendenza dalle sorgenti esterne. Siano õ variazioni finite in queste
8
ultime,U allora
å
UJ
ú
æ
|
s
²
e
8 b#b#b
õ
ß
²
S
i à

à
°
õ

8
³
;0 8
³
ñ
b#b#b
0
8 ©¤Êñ e
H
0 8
d
;0
© à
â
La ø

0
â
%ñ;0
â
0 n
© à
0
â
© à
exp i
T
@
²
õ
8
UJ
å
0 8 i
H
`O
ú 8 lmlml 8
õ
õ
M
T
d
T
0>O *0>O
ª
k H
H
³
e
M
²
ß
æ
õ
ú
M
k
8 ²
Scegliendo termini dello stesso ordine in
ñ
°
à eá
i
Ä
à S à à
á
ei
dove
à
i
*Â
*
õ
8 b#b#b
²
õ
H
bÆb#b
H
M
k
³
8
Â)Ð>O ei
ú 8 lmlml 8
³
â n %ñ;0
0 n iú 9
â
0 n 0 o©
à
0
â
³
0 n 0 o iø

õ
0
â
(4.39)
Å
M
<O
õ
b
8
8
in entrambi i membri della (4.39) si trova
õ
$ °
§
(4.40)
ú nto N i ú ânto b#b#b
k
(4.41)
indica somma su tutte le permutazioni distinte negli indici che appaiono nel termine che la
contiene (in tal caso sono tre). Dalle (4.41) si deduce che le ú 8 [ lmlml sono funzioni di correlazione per la
8
Come molte notazioni potrebbero indurre a credere.
113
media (4.38), infatti implicano che
;0 n 0 n
© à
ñ
%ñtý0 n 0 n Æý0 o 0 o N©
tý0 n 0 n ¹ý0 o 0 o Æý0
k ú nto
à
i ú _n oÒâ
e così via.
(4.42)
A k
A
õ , con . Prendendo
Quando il sistema è lineare, le equazioni dinamiche
sono 0 ² ¡
A
8[
la media normalizzataA di queste equazioni si ha 0²]õ , che ha soluzione 0Ê õÇq , dove q è la
ñ
0
â
N©
â
à
funzione di Green di appropriata alle condizioni al contorno. In questo caso la matrice jacobiana
H
H
0>8 õ q8 n è non singolare. Per sistemi non lineari ci si può aspettare che sia non singolare
n
anche la matrice jacobiana
M
H
H
H
H
k
H
H
H
õ<O<Zú n 8 Zú 8 n 0 8 H
0 n
(4.43)
b
õ
õ
õ
õ
8
8
n
n
almeno per certe condizioni al contorno e per un certo intervallo di valori dell õ . Quando ciò accade,
si può in principio risolvere nelle õ in termini delle 0 , considerando le funzioni di correlazione come
funzionali delle 0 . Nel seguito la derivazione funzionale delle ú rispetto alle 0 sarà indicata da una
virgola.
Si consideri ora l’identità
ç
n
0>O<]õ
T
M
*Â
H
Â)Ð>O H
M i 0 n
M
TWø
®
x Â)Ð 0 µOÐõÄ0 i @ 0 >O © à
d
0 n
T
*=0XO
H
Êñ H
M
M
T
à eá
i
*
^
§ $ S
e ! °
à
i
°
@
M
0>O
_
ovvero
(4.44)
f
M
n
ç
con
n
H
0>O
ñ
d
H
0 n
d
M
x Â)Ð
®
0 ¬O] i
TWø
@
M
0 XO
© à
f
b
(4.45)
Le ç
possono essere viste come le componenti di una 1-forma ç nello spazio delle storie @ o, piut8
ë
tosto, nella sua estensione complessa @ , perché le 08 , essendo elementi di matrici e non valori di
aspettazione, generalmente non sono reali. Derivando la (4.45) rispetto a
H
H
n 8
H
õ
H
õ
n
ç
8
H
õ
n
0 o

ç Zú nto ç
8 o
8 o
b
n
si trova
(4.46)
Nel caso lineare ú 8 [ è uguale a q 8 [ , nel caso non lineare ú 8 [ è una sorta di funzione di Green generalizzata. Dalla proprietà di simmetria nella (4.43) segue che anche l’opposto dell’inverso di ú 8 [ deve
avere la stessa simmetria, ossia
ç ç
[ 8
8 [
da cui
114
d çE
(4.47)
4.7. Analisi non perturbativa
ovvero ç è una 1-forma chiusa. Poiché @
ë
è uno spazio vettoriale, esso è topologicamente banale,
ë
proprietà vera anche quando il fibrato vettoriale, di cui i punti di @
sono sezioni, ha una topologia
non banale. Dunque, ç deve essere una 1-forma esatta, il che significa che deve esistere un campo
scalare ú su @
ë
tale che
çE
M
dú
(4.48)
b
ú 0>O è noto come azione effettiva per il sistema. Il suo concetto era già implicito in un lavoro di Sch-
winger del 1954 non pubblicato; fu definito come somma perturbativa da Goldstone, Salam e Weinberg (Goldstone et al. 1962) e non perturbativamente da DeWitt (DeWitt 1965) e, indipendentemente,
da Jona–Lasinio (Jona–Lasinio 1964).
4.7 Analisi non perturbativa
Le equazioni (4.45) e (4.46) si possono riscrivere nella forma
ú´
]õ
8
8
ú [ n ú´
n8

H
[
8
(4.49)
b
Evidentemente ú 8 [ è una funzione di Green di ú) , essa è chiamata il propagatore completo ( o pieno)
8[
del sistema, relativo al background 0 .
La proprietà di simmetria nella (4.47) si può riscrivere come
H
0 8 H
H
k
0>8
H
þú´
8[
0 [ H
H
õ
k
8
Ïú)Äú´ 0 [ [
0>8
H
ú 8 [ H
k
0`[
dunque
k
da cui
(4.50)
ú)Äú´ 0 8 costante úóõ 0 8 (4.51)
8
8
b
k
Senza perdere generalità, infatti, si può porre la costante pari a zero.
e ú , così, sono l’una la
trasformata di Legendre dell’altra e 0 8 e õ sono variabili coniugate per la trasformazione. La (4.49)
8
e la (4.51) implicano l’identità funzionale
M
M
M
M
k
ú 0XO
Áú) 0>O.O ²ú´ 0>O 0 8
(4.52)
d
8
8
b
Questa definizione non perturbativa, però, è appropriata soltanto quando lo spazio delle configurazioni
è uno spazio vettoriale, sì che la (4.48) segua dalla (4.47) e la (4.37) abbia un senso geometrico.
Þ
Purché la teoria quantistica sia definita attraverso un’espansione in loop, per ovviare si possono usare
gli stessi due metodi delineati nel paragrafo 2.10. Nella teoria classica si richiede che i disturbi finiti
siano sufficientemente piccoli da evitare punti coniugati o da restare nella carta di partenza; simili
115
restrizioni sono implicite nella teoria quantistica quando si usa l’espansione in loop. In essa, infatti, è
assunto che i contributi dominanti nell’integrale funzionale per l’ampiezza in-out vengano da regioni
vicine a .
Scrivendo le componenti di campo nella forma 098yS8 , dove le 08 sono le coordinate di un punto
base in una certa carta conveniente di @ e le 8 sono incrementi finiti delle coordinate, si possono
accoppiare i 8 direttamente alle sorgenti esterneM õ . A questo punto si può operare una trasformata
8
di Legendre, giungendo a un’azione effettiva ú 0 ]O dipendente dal background 0 e separatamente dall’incremento medio delle coordinate. Poiché tale metodo non ha un significato geometrico
indipendente dalla carta, non ci si può aspettare che ú possieda Muna qualsiasi proprietà semplice di
)
invarianza sotto trasformazioni generali di coordinate 0 8 `D 0 8 0>O , tranne possibilmente quando le
sorgenti sono nulle e 0 soddisfa
H
H
M
ú
0¤ SO<
8
(4.53)
b
)
Quando vale quest’ultima equazione, un’interpretazione geometrica condurrebbe a richiedere che
sia dato da
M
M
M
M
)
)
)
)
ª )
[
(4.54)
0 0 7OS 0 8 0>O< 0 8 0>O 0 8 0XO n [ [
[n
b#b#b
ö
ú , inoltre, dovrebbe ridursi a un semplice funzionale scalare della somma 0E
) M)
secondo
ú 0
, trasformandosi
M
)
0XO<ú 0 SO
b
Tali richieste, però, non possono essere soddisfatte, in quanto l’espressione corretta per
M
M
T
T
¸ T M
) § $ _ S )8
) ) ) )
0 e
ñ out in ©1á
@
0 ]O * ]O
*
*
Â Â¤t>O 8 ei °
¯
M
M
M
M
M
T
T
¸ T
§
)
$ ñ out in © á
e
@
0Ê]O *SO
*
*
Â Â¤t>OÉ 0 8 0Ê]O]0 8 0>Oý ei °
¯
M
M
M
M
M
M
)
)
)
)
)
)
i )
ñ 0 8 0 ]O] 0 8 0X¯O ©¤ 0 8 0 ]O] 0 8 0XOS
e
0 8 0>O§ú n [ 0 ]O
[n
bÆb#b
ö
(4.55)
)8
S
è

(4.56)
M
) )
dove si assume che
M x si trasformi come un campo scalare su @ , che @ si trasformi secondo @ 0XO
H
H )
det 0 8 0`[j @ 0>O e che si integri su campi soddisfacenti condizioni al contorno specificate.
¯
¯
La presenza delle fuzioni di correlazione nell’espressione (4.56) ha tre conseguenze: la prima è
)
che la (4.54) è sbagliata, la seconda è che e sono in una relazione non locale anche quando la
)
trasformazione 0>8<D 0>8 è ultralocale, la terza è che la (4.56) contiene divergenze, il che implica
)
che la (4.55) non può essere corretta se ú e ú devono essere entrambe finite. Queste contraddizioni
suggeriscono che occorre affrontare il problema di un’azione effettiva geometricamente ben posta
116
4.8. Analisi diagrammatica
da un’altra angolazione. Si può asserire che una teoria quantistica dei campi può essere sviluppata
consistentemente usando una qualsiasi carta nello spazio delle configurazioni che si desideri, purché
ci si accinga allo sviluppo con cautela. Se ciò non fosse vero, sarebbe un duro colpo alla sicurezza
riposta nella teoria quantistica. Più precisamente, l’uso di una carta fissata nello spazio delle configu)
razioni per tutti i punti dello spaziotempo richiede che la trasformazione 0 8 <D 0 8 sia ultralocale. È
stato dimostrato che l’uso di carte più generali in @ , ottenute ad esempio attraverso trasformazioni che
coinvolgano derivate spaziotemporali dei campi, è possibile in alcuni casi; non è mai stata elaborata,
però, una teoria di indipendenza dalla carta più generale in questo senso. La difficoltà risiede nel
dover tenere conto delle condizioni al contorno. Nella pratica occorre scegliere la carta che meglio
si adatti al sistema considerato, in quanto alcune carte sono meglio di altre. In alcune, infatti, si possono trovare incongruenze come avere una matrice banale a tutti gli ordini e contemporaneamente
un’azione effettiva con un’infinità di funzioni di vertice complete, tutte non locali e dipendenti da
un’arbitraria massa ausiliaria di regolarizzazione.
4.8 Analisi diagrammatica
ú 8 [ è una funzione di Green di ú´
che preserva condizioni al contorno, dunque è una funzione di
8[
Green coerente. Ciò implica che la derivata funzionale della (4.49) può essere risolta, dando
daU cui
(4.57)
ú [n ú [ â ú)
úµV n
o
âo V
U
H
ú 8 nto H
ú nto ú 8 â ú n_o ú 8 â ú n V´ú o ú´
(4.58)
â
V â
b
õ
8
L’equazione (4.58) e quelle che seguono da essa, derivando ripetutamente rispetto alle sorgenti, hanno tutte semplici rappresentazioni grafiche. Il propagatore completo si può rappresentare con linee
spesse e le derivate di ú con vertici aventi un numero di diramazioni pari al numero delle derivazioni
funzionali. Le funzioni di correlazione sono rappresentate, allora, da grafici in cui le linee sono unite
ai vertici nello stesso modo in cui i propagatori nell’espressione esplicita sono accoppiati alle derivate
di ú tramite contrazioni su indici ripetuti. È facile vedere che la derivazione rispetto a una sorgente
corrisponde all’inserimento in un dato grafico di una linea esterna in tuti i possibili modi, sia in vertici
preesistenti sia nel mezzo delle linee, creando nuovi vertici. La derivazione rispetto a una variabile 0 8 ,
parimenti, corrisponde all’inserimeno di un ramo in un vertice in tutti i possibili modi. Ogni funzione
di correlazione è esprimibile come somma dei valori di grafici ad albero (ossia di grafici che non
hanno parti disconnesse ma sono divisibili in due parti disconnesse interrompendo una linea qualsiasi) che hanno un numero fisso di linee esterne. Nella suddetta somma gli indici legati alle estremità
117
libere vanno permutati un numero di volte sufficiente ad avere l’appropriata simmetria. Somme come
quella discussa sono state chiamate funzioni ad albero nel paragrafo 2.10; nel caso classico le linee
rappresentavano funzioni di Green q8 [ e i vertici rappresentavano le funzioni di vertice nude x{
,
8 [ n¹lmlml
nella teoria quantistica le linee rappresentano ú 8 [ e i vertici le funzioni di vertice complete ú´
8 [ n¹lmlml
M
Un’ulteriore analisi diagrammatica della struttura di ú , mostra che ú 0>O è il funzionale generatore
dei grafici irriducibili a singola particella, ossia dei grafici che non possono essere separati in parti
disgiunte interrompendo una singola linea. M A tal fine si comincia con il considerare che, in virtù
della (3.19), si può esprimere la media ñÏ« 0 >O¯© à in termini delle derivate funzionali dell’ampiezza
out in© à rispetto alle sorgenti. Grazie alla (4.39), però, si può anche esprimere la media in termini
¯
0 8 . Si ottiene (cf. DeWitt 2003)
di derivazione
delle derivate funzionali rispetto alle
M
S M per iterazione
M
0>O e delle q 0>O soltanto. Poiché
funzionale un’espressione per ú´ 0>O in termini delle x{ ú , delle q
8
8[ n
in essa la somma, analoga a quella della (4.49), parte da Zö , si ha la caratteristica annunciata.
M
Vi è un altro modo più semplice per ottenere un’espansione grafica di ú 0XO , facente uso di una
diversa procedura di iterazione. Si osservi che la (4.37), la (4.38), la (4.49) e la (4.51) implicano
M M
M
T
T
T
§

$ S
ei ° @
0>O *=0XO
*
*
Â Â)Ð>O ei ° ° ° á ° (4.59)
ñ
M
Ï« 0XO¯©
ñ
à
eá °
i
T
@
M
M
T
0>O *=0XO
T
*
*Â
M
M
Â)Ð>O§«
0XO ei
$ S
°
° °
§
á °

(4.60)
H H
dove ú´
ú
0 [ . La teoria dell’azione effettiva si può interamente basare su questa coppia di
[µd
equazioni, nonostante le sorgenti non vi appaiano esplicitamente. Da esse, infatti, si possono ricavare
nuovamente tutte le identità scritte finora, compresa l’identificazione di 0 con il valore medio della
variabile dinamica operatoriale 0 .
M
Poiché ú 0>O appare in entrambi i membri della (4.59), una sua valutazione basata su
M tale equazione
M
®
richiede una procedura di iterazione. Il primo passo in tal senso consiste nel porre ú 0>O< x Â)Ð 0¬O ,
ovvero nel considerare l’azione classica come l’approssimazione di ordine zero dell’azione effettiva. Per ricavare l’approssimazione del primo ordine si pone ú) nel membro destro uguale alla sua
[
approssimazione all’ordine precedente, ossia x , e così via per gli ordini successivi.
8[
Solitamente il calcolo degli integrali funzionali discussi fa uso di un’espansione in loop simile a
quella descritta nel paragrafo 3.9. Essa si ottiene ponendo Ô¿0¨ 0 ed espandendo l’azione x in
potenze di . Un’importante differenza di questa espansione in loop, rispetto all’analoga della teoria
classica, è che essa non è effettuata attorno a una soluzione delle equazioni dinamiche classiche, ma
attorno a 0 , che può essere arbitrario.
118
4.9. Azione effettiva
4.9 Azione effettiva
Qualora si volesse usare come fondamento della teoria dell’azione effettiva la coppia di equazioni
(4.59) e (4.60), in luogo della trasformata di Legendre (4.52), la discussione di carattere geometrico
svolta alla fine del paragrafo 4.7 andrebbe sostituita con altre considerazioni, pure di natura geometrica. Sebbene la (4.59) (e un discorso analogo vale per la media (4.60)) sia definita in ogni punto
dello spazio delle configurazioni, il suo carattere perturbativo la relega all’interno di una certa carta.
Volendola estendere in altre carte, ci si imbatte nell’inconveniente che la differenza 00 non ha
un preciso significato geometrico. In altri termini l’azione effettiva definita attraverso la (4.59) non
è invariante per trasformazioni di coordinate, in quanto 0â0 non si trasforma come un vettore né
in alcun modo geometricamente ben definito. Sebbene non siano impiegati nell’eseguire calcoli, si
possono definire, non senza sforzi, funzionali d’azione effettiva invarianti per trasformazioni di coordinate. In una espressione dovuta a Vilkovisky (Vilkovisky 1984), ad esempio, nella (4.59) 0¨Ê0 è
rimpiazzata da un’espressione contenente la derivata della funzione di universo (cf. paragrafo 3.12)
definita sullo spazio delle configurazioni; i punti in cui essa è calcolata sono le coordinate di partenza
e quelle trasformate.
Un’altra proprietà rilevante di ú è che esso è ampiamente utilizzato nella teoria della diffusione.
Anche per campi non lineari, infatti, si possono produrre le costruzioni teoriche del paragrafo 3.10. Si
può vedere che gli elementi di matrice si possono ottenere applicando le funzioni modali classiche
direttamente alle funzioni ad albero quantistiche costruite tramite ú (cf. DeWitt 2003).
Come ultima caratterizzazione del funzionale ú si considera che esso può essere visto come il
generatore della dinamica quantistica. Si consideri il campo a valori reali
0 8à A! 8 5á ! 8 ü
Ú Ú
Ú
S
ü
Ú
(4.61)
S
dove i coefficienti 7á 9 e ü sono numeri complessi
M scelti in modo da dare a 0
Ú
Ú
pacchetto d’onda. 0 à è un campo di Jacobi per ú´
O:
8[
M
ú´
OW0 8à 8[
b
à
una struttura di
(4.62)
Sia 0 la soluzione della seguente equazione integrale non lineare:
M
0 8 0 8à ²ú 8 o
O
å
J
Væ
9
M
ª
-
ä×ß
³
oÏn lmlml n
ö
OW0 nà
³
b#b#b
k
I segni - e + hanno il senso definito nel paragrafo 2.11 sui campi asintotici.
119
0 nà
ö
b
(4.63)
Questa equazione è come l’equazione classica (2.123), con x rimpiazzato da ú , 0 da
e da 0 . La
soluzione ottenuta per iterazione prende una forma simile a quella della (2.125), ossia
M
0 8 0 8à ²ú 8 o
O
å
J
M
ª
-
³
oÏn lmlml n
ä×ß
Væ
ö
OW0 nà
³
b#b#b
0 nà
ö
(4.64)
k
³
sono le funzioni ad albero quantistiche costruite tramite ú .
ö
o
É
n
m
l
m
l
l
n

Questa soluzione soddisfa la seconda equazione nelle (4.49) con sorgenti nulle:
M
ú´ 0>O<
8
b
dove le
(4.65)
Gli stati in e out che conducono a questa 0 sono stati coerenti, rappresentati dai vettori in ©)
¯
S
ñ out e
ñÉK. ü , soddisfacenti
¯
¯
á . á )
© s á
. á
Ú ¯
Ú ¯
©
ÉK.
ñ
S
ü
S
¯ Ú
ü ÊñÉK.
Z
Z
Z
|
Ricordando, infatti, che 0 Dû0 per + D ¡\ e che 0
C!` ! ü
stati conducono a un campo 0 che ha il comportamento asintotico
ê
ì ¨
í 0 D
0¨D
É0 á )
© p!% á ! ü
ñ
É0
ñ
S
)p!%
©
S
! ü
ñ°
ñ°
©
per
+
ü
©
per
+
|
á ü
S
|
S
Z
D
%\
D
]\
ü
S
¯ Ú
ü
b
¯
. á © ,
(4.66)
ü , è facile vedere che questi
(4.67)
In altre parole, la parte a frequenza positiva di 0 nel remoto passato, ossia !% á , è uguale alla parte a
S
frequenza positiva di 0 à ; la parte a frequenza negativa di 0 nel remoto futuro, ossia !¬ür ü , è uguale
alla parte a frequenza negativa di 0 à . Questo è precisamente il campo
M 0 generato M dalla (4.63) o
dalla (4.64), in virtù del fatto che, come funzione di ciascun indice, ú8 [ O , come q8 [ O , ha soltanto
componenti a frequenza positiva nel remoto futuro e soltanto componenti a frequenza negativa nel
remoto passato.
Le equazioni (4.65) sono equazioni dinamiche per il campo medio 0 , proprio come x{ sono le
8
equazioni dinamiche per il campo classico 0 . Ogni soluzione della (4.65) con ú costruita (nell’espansione in loop) con funzioni di Green di Feynman corrisponde a un particolare insieme di condizioni
al contorno per stati coerenti. Ogni soluzione viene fissata dando la sua parte a frequenza positiva nel
remoto passato e la sua parte a frequenza negativa nel remoto futuro. Si possono aggiungere sorgenti
esterne, senza cambiare condizioni al contorno, semplicemente rimpiazzando la (4.63) con
M
M
M
0 8 0 8à E 8 n O³ïú´ 0>O=Ð
õ yú´
O 0 o
n
n
n_o
b
120
(4.68)
4.10. Identità di Slavnov–Taylor
4.10 Identità di Slavnov–Taylor
Si condideri il caso in cui l’azione classica che compare negli integrali funzionali (4.37) e (4.38) sia
come quella esposta nel paragrafo 2.13, in cui vi è un campo esterno 0 î X e un insieme di flussi di
invarianza comprendenti sia i campi esterni sia quelli dinamici 0 , come descritto dalla (2.157). Si
supponga, inoltre, che le sorgenti siano nulle. In tal caso gli elementi di matrice in-out di operatori
cronologicamente ordinati sono esprimibili nella forma
M
M
M
M
M
T
T
T
§
$ ñ out ½ "?«
0 î X 0 XO; in©
@
0 î X 10>O *=0XO
*
*
Â Â)Ð>O.« 0 î X :0 XO ei ° °
(4.69)
¯
¯
M
¸þ
S M
îX
dove
(4.70)
@
0 10X#
O ý costante y det q
0 î X 10>OýÐá
M
k
S
M
0 î X 10>O la funzione di Green avanzata dell’operatore dei campi di Jacobi x 0 î X 10XO .
intendendo con q
ÍÓ
Dalla (4.69) si possono facilmente derivare relazioni di commutazione che sono le versioni quantistiche delle relazioni in termini di parentesi di Peierls che si ottengono per la teoria classica in presenza
di campi esterni. Si operi sulle variabili con indici ripetuti nella (4.69) la trasformazione
M
H4¦ )
0 ÍÄ<D 0 Íå0 Í´ï
ù
£ Í 0 î X 10>O
(4.71)
H§¦ dove i supporti dei parametri infinitesimi
giacciono tra le regioni in e out. Lo jacobiano di questa
H4¦ trasformazione è ª£ Í
, e il funzionale di misura subisce la variazione
Í
H

@/ý
ª
@
q
S
ÍÓ
x{ ¢
Ñ £
Ó¯Í
ö
H§¦ ý @2
£ 8
@L£
8
Ñ
H§¦ Í

Í
b
H§¦ ö
ª
@
q
M
S
ÍÓ
x
Ó¯Í
8
£ 8 x ¢
Ñ £
Í
Ñ
Ó
x¤ Á
Ñ £
Ó
Ñ
O
Ó
H4¦ (4.72)
dove il simbolo b significa uguaglianza on shell. Il primo passaggio nella (4.72) si ottiene derivando
funzionalmente due volte la (2.157), rispetto a 0 Í e 0 Ó . Si ha, quindi,
M
M
H H§¦ H H§¦ H§¦ TWø
@ *0>Oý
ýL @¬ £ 8 @
*0>OÏ come pure
x¨ x{ £ïÍ x £ 8 (4.73)
8
8
Í
b
Poiché una variazione nelle variabili con indici ripetuti non può avere effetti sull’elemento di matrice
in-out (4.69), segue che
M
M
M
M
M
M
T
T
T
^
H§¦ îX
@
0 10XO *0>O
*
* Â Â)ÐXO « 0 î X ³0 >O «L 0 î X 10>O'£ Í 0 î X 10>O
Í
M
M
M
H
M
§
H§¦ Tø
®
i $
° °
_ e
i « 0 î X 10>O ¿ H
x Â¤t 0 î X Ð0>O] i
@
0 î X 10>Oý £ 8 0 î X O
(4.74)
0 8î X
Á
121
dove si è assunto che l’espressione esatta per @ soddisfa la (4.73) esattamente, ovunque in @ . Si scelga
ora
H§¦ pè
Ú
P
Ú
(4.75)
dove i è
sono le componenti di una base nello spazio vettoriale dei campi di Killing posseduti da
Ú
0 î X , e dove i supporti delle funzioni PtÚ , che fungono da coefficienti ai è , giacciono tra le regioni in
Ú
e out. Esprimendo, allora i £/8 nella forma (2.150), usando la (2.148) e la (2.151), in notazione non
condensata la (4.74) si può riscrivere nella forma
M
M
M
T
T
«L 0 î X :0 XOïï
£ Í a 0 î X 10>O è
*V+ \ i« 0
ñ out ½
¯
Í a
Ú
M
dove
h
Ú
c 0
H
î X
:0 ¬O<
H
0 8î
X
M
3 x Â¤t
®
0
î X
³0 >O] i
Tø
@
M
î X
³0 XO h
M
c 0
Ú c
î X
³0 >O
0
M
î X
:0 XOï6WÜ 8 c 0
O
î X è
¯
in ©rP Ú *V+" (4.76)

Ú
b
(4.77)
Poiché i coefficienti PtÚ , come pure gli stati in e out, sono arbitrari, e poiché l’operatore ½ commuta
con
+ c , la (4.77) implica la seguente identità operatoriale, nota come identità di Slavnov–Taylor:
e e
M
M
M
M
T
½ Lï« 0 î X :0 XO h c 0 î X :0 ¬O< i ½ pd§«L 0 î X ³0 >Oï£ Í a 0 î X :0 XO è
* V + \
(4.78)
e+ c
Í a
Ú
b
Ú
f
e
M
M
Quando si parla al plurale
di identità di Slavnov–Taylor,
ci si riferisce a tutte le identità ottenute con
scelte diverse per « 0 î X :0 >O . Scegliendo « 0 î X ³0 XO<ª , si ottiene la legge di conservazione
M
c c
dove
(4.79)
h
h
½ L h c 0 î X :0 ¬O; Ú c
Ú d
Ú
h
c è noto come l’operatore di corrente. Esso è l’analogo quantistico della
M densità di corrente classiÚ
ca, usualmente autoaggiunto grazie al funzionale di misura. Scegliendo « 0 î X :0 >OS0 Í ?+ \ , si ottiene
(cf. DeWitt 2003) un operatore di carica conservato ( definito in termini di x piuttosto che di x ), con
le proprietà analoghe a quelle del caso classico; in particolare esso soddisfa la stessa albegra di Lie.
Le simmetrie del campo esterno nella teoria quantistica, dunque, danno luogo allo stesso gruppo di
Lie di simmetrie dinamiche della teoria classica. Poiché la corrente h h c è un operatore composto loÚ
cale, ci si potrebbe aspettare che esso (e dunque le cariche) contenga divergenze ulteriori. Si vede che
queste divergenze sono cancellate esattamente dai controtermini in x . A tal fine basta semplicemente
derivare la (4.59) rispetto al campo esterno:
122
4.11. Formalismo di Batalin–Vilkovisky
M
ú´ 0
8
H
î X
i e ° ° e á i ° °
T
e á ° °
0XO H
0 8î X M
M
H
Tø
îX
® îX
x Â)Ð 0 1 0>O] i @ 0 1 0XO; ei
H
0 8î X
M
H
M
TWø
îX
® îX
x Â)Ð 0 : 0 XOS i @ 0 : 0 >OýN© à
ñ H
e
0 8î X
i
i
@
M
M
0
T
10>O *0>O
î X
T
*Â
*
S $ ° ° ° ° °
§
á °
Â¤t>O
2
(4.80)
b
Confrontandola con la (4.79) e la (4.77), si vede che
M
M
c © à Zú´ 0 î X 0>O§Ü 8 c 0
ñh
8
Ú
M
O
î X ®è
Ú
(4.81)
b
I controtermini in x sono scelti precisamente in modo da rendere ú finita; da ciò seguono la finitezza
di ñh c © à e, più generalmente, di h c stesso.
Ú
Ú
L’invarianza dell’azione effettiva rispetto a una trasformazione nilpotente è una condizione necessaria per l’esistenza di una matrice unitaria (cf. Frolov e Slavnov 1990).
4.11 Formalismo di Batalin–Vilkovisky
Per descrivere in maniera concisa l’estensione dell’azione effettiva a teorie di gauge, è opportuno introdurre precedentemente le basi del formalismo di Batalin–Vilkovisky. Stanti le assegnazioni (3.83),
si introduca la seguente serie funzionale di potenze:
M
M
M
M

) )
)
ª
$ )
$
0_Á 0) )O
0>O i 0 £ n 0XO i ª4 9"¾ $ 0>O§ À
n
ö
À
M
M
) $ )
ª
ª
$ )
S )
$ (4.82)
¾ :"ª4 0 ½ n_o #$ 0>O 0 ª4 À à Ã #$ n 0>O 0 À n
o
n
Ã
b#b#b
À
)
)
I termini di questa serie includono ogni possibile combinazione dei , dei 0 e degli avente numero

totale di ghost nullo; i campi à Ã #$ n sono analoghi ai campi obliqui. Il funzionale è automaticaÀ
mente a valori reali, grazie all’unità immaginaria in alcuni termini e alle proprietà di realtà standard
dei coefficienti £ n , ¾ $ , ½ nto #$ e à Ã #$ n . Tutti questi coefficienti sono le funzioni di struttura; le
À
À
relazioni tra di esse sono comprese nell’equazione differenziale funzionale, nota come equazione di
Batalin–Vilkovisky:

Ú

Ú o equivalentemente

8

8
q

(4.83)
avendo indicato per semplicità con `Ú uno dei campi 0 8 o e con una virgola seguita da un indice
)
)
)
in alto la derivazione rispetto a uno dei campi 0 o . È facile vedere che se i campi T sono
Ú
8
123
nulli la serie si arresta al terzo termine.
Introducendo le parentesi di Batalin–Vilkovisky, la (4.83) si riesprime come:

_9

_?à
à-
d
Ú

Ú þà- Ú
Ú
(4.84)
b

Vi è una stretta relazione tra
e l’esponente della (3.84). Si consideri l’estensione di
che
includa nel modo più semplice i campi ' e ç , ossia
M
M
M
)

) ) ) )
) )
)
(4.85)
0¤" ')tÁç¢ 0) '¤ Á ç2O
0t¢ 0) ´O=Eç '
> ]ÏO d
b
Introducendo, analogamente alla procedura BRST (4.31), il funzionale
M
M
¸
ª
#$
¶ á
ç>$ 0" ')t¢ç)OS
'XSïÛ
0XO]
ö
con numero di ghost -1 e, rimpiazzando
flussi si ottiene
)
con
Ú
H
H

(4.86)
Ú , per sistemi del tipo I nei commutatori dei

µ
M
X
H

H
M
]OSx 0>O= i 'X
M
$ 0>O§
$
Ôç9ÁïÛ
M
0>O7
ö
ª
`á
¸
¶
#$
ç>$
b
(4.87)
Tranne che per l’unità immaginaria, le etichette e Â , e x in luogo di x , la (4.87) è proprio l’esponente
della (3.84).
È possibile una generalizzazione ammettendo, al posto di , un qualsiasi funzionale con numero
di ghost -1, ottenendo un funzionale

che soddisfa ancoraM la (4.83) (cf. DeWitt
2003).
M
)

> O , con i
X SO , introducendo come
Rimpiazzando l’esponente nella (3.84), che è pari a i
parametri esterni i campi ')t e ç , i cui controtermini corrispondenti vanno inseriti in un funzionale
²
, si ottiene il passaggio alla teoria quantistica per questo formalismo. Affinchè quest’ultima
sia corretta, occorre integrare su tutti i campi presenti con un nuovo funzionale di misura opportuno,
facendo in modo che l’ampiezza di transizione , corrispondente alla (3.84), sia invariante sotto
trasformazioni di gauge:
T
M ) M

H
¢¡
¡
Ú
ß
> 7O *SO u
ß Ú ß
(4.88)
Ú
d
Ú
b

£
¤¦¥

£
Ponendo ß
ei , con
,
svolge il ruolo di nuovo funzionale di misura

per la teoria. La (4.88), o le equazioni ottenute sostituendo l’espressione di ß
in essa, si chiamano
²
equazioni quantistiche di Batalin–Vilkovisky (o quantum master equations).
124
4.12. Equazione di Zinn–Justin
Quando la (4.88) è soddisfatta, essa implica

²
´
da cui
_

²
_)_

²

_)
(4.89)
b
Alcuni sistemi classici hanno accoppiamenti tra i campi che conducono a controtermini non soddisfacenti le (4.89) sotto nessuno schema di regolarizzazione. In tal caso la (4.88) non può valere e non
esiste una teoria quantistica consistente; si dice che tali sistemi possiedono anomalie critiche.
M
L’operatore di Slavnov ù , definito nella (4.15), agisce su un arbitrario funzionale à

ù ¬àf?à-
. Espandendo in loop i controtermini
²

§
å
J
²
¸
æ
Tø
§
ù
si ha10
²
§
!
ª1öÐ÷5
b#bÆb
)
> ]O , come
(4.90)

£
Un’espansione analoga in
consente una analisi dettagliata della misura della teoria che, pur
non essendo univoca, resta BRST invariante (cf. DeWitt 2003). La seconda equazione nella (4.90) è
fondamentale per la rinormalizzabilità della teoria, in quanto è strettamente legata alla (4.89). Essa
afferma che i controtermini sono perturbativamente BRST invarianti, ovvero permette di controllare
che la teoria di gauge sia perturbativamente rinormalizzabile.
4.12 Equazione di Zinn–Justin
Il concetto di azione effettiva è stato introdotto per sistemi comprendenti campi che sono sezioni di
fibrati vettoriali. I potenziali di gauge non sono strettamente sezioni di fibrati vettoriali, ma i loro spazi
delle storie possono essere dotati di vari tipi di coordinate preferenziali. Si può ad esempio scegliere
i campi 0 tali che i £/ siano lineari sotto trasformazioni di gauge, ossia soddisfino la (1.34), come
si è fatto finora. Come per i campi di ghost, essi possono essere riguardati come sezioni di un fibrato
Ì
vettoriale. In tal caso si accoppiano i Ú alle sorgenti soddisfacenti condizioni usuali di realtà, e si
rimpiazza l’integrale (3.84) con l’espressione
M
M
M
M
M
T M
T
T
) i àª© © M
M
¨ T
£
) ) )
i à
e
ß > 7O e
*]O
*0>O * '¬O *¤O *'ç)O
* µ
*
Â Â)Ð>O
0" ')t¢ç¢ 0¤ '´ ¤O
d
M
M
M
M
¸
²
) ) )
ª
®
$
#$
exp i d x Â)Ð 0XO 0¤" ')tÁç¢ 0) '¤ )O= i'X
0>O]
çÂ
¶<á
ç>$
$ 0>O. EçÛ
M
ö
)
)
)
$
i 0 £ o 0>O. ' çþ i "¾ $ À A
õ 0 o ?
2 'XþÊß) «
ç (4.91)
o
o
À
f
10
La giustificazione sarà presentata nel paragrafo successivo.
125
,e
dove i simboli 2 , ß
sono le sorgenti rispettivamente di ' , e di ç .
Si introducono, poi, le medie formali
M
M
M ) i àª©
à T
i

eá
ñï«
]°O © à
« ]O ß
X S
Oe
d
M
©
H
*SO
H
k
õ
Ú
eñ; Ú
© à

d
Ú (4.92)
e si definisce l’azione effettiva attraverso una trasformata di Legendre:
M
M
)
)
k
ú X 7O<
õ= ]O],
õ Ú
Ú
b
(4.93)
In questa definizione si ha l’usuale assunzione che la seconda delle (4.92) possa essere risolta per
)
esprimere le sorgenti come funzionali dei campi medi così come degli anticampi . Si noti che
Ú
H
H
H k
H k
H
H k
Þ
ú
õ Þ
õ Þ
H ) H ) H )
(4.94)
H ) H ) H
õ Þ

Ú
Ú
Ú
Ú
Ú
in cui è inteso che ogni derivata funzionale è presa tenendo fisse le altre variabili da cui le quantità
)
derivate dipendono esplicitamente. Si noti anche che l’anticampo ' nella (4.91) semplicemente è
come se aumentasse la sorgente , da cui segue che
H
H
Ciò significa che
'
)
'
)
ú
H
H
k
'
H
)
H
k
ç¤
(4.95)
b
può apparire nell’azione effettiva soltanto nella combinazione finita '
)
ç¤ ; né i
controtermini né la misura dipendono da esso.
È ora facile ottenere una delle più importanti equazioni nella teoria della rinormalizzazione dei
campi di gauge:
M
M ) i àª¬ ¬
M ) i àV¬ ¬ M
T
T
i à
i à
eá
Ú > ]O e
*SO i e á
õ
ß
Ú X 7O e
*]O
d ß
Ú
f Ú
M
M
M
H
H
)
) H
)
¡
õ H ) > õ= SOS H
ú X SO H ) ú > ]O
(4.96)
Ú Ú
b
Ú
Ú
Il secondo segno di uguaglianza si ha in virtù della (4.88) e il terzo grazie alla (4.91); l’espressione
finale segue dalla (4.94) e dalla relazione standard
H
H

ú-]õ
Ú
b
(4.97)
La (4.96) è nota come equazione di Zinn–Justin (Zinn–Justin 1975); essa ha esattamente la stessa
forma dell’equazione classica di Batalin–Vilkovisky (4.84), con ú in luogo dell’azione classica
126
[
e
4.13. Azione effettiva ridotta
Ú in luogo dei campi classici Ú . Intendendo che le parentesi di Batalin–Vilkovisky vanno calcolate
rimpiazzando Ú con Ú , essa si può riscrivere come
Ïú´Ðú>_´
(4.98)
b
L’equazione di Zinn–Justin
è la chiave
M
M
)
) per provare la seconda delle (4.90), espandendo l’azione effettiva in serie ú > ]Oµ
ª §J | ú § X SO (cf. DeWitt 2003), e usando il principio di induzione per la
æ
(4.90) stessa.
La rigidità del gruppo di gauge, ossia l’impossibilità che il gruppo di Lie su cui esso si basa
sia deformato con continuità in un altro gruppo, per gruppi di Lie compatti, conduce alla semplice
struttura per
§
²

§
per tutti gli :µ
²

§
p
µ

xK
ª=
dove

i 'X
d

ª
J§
¸
æ

$
§ d i 'X
x
$
i0
)
§ e uª=
$
$
£ n
n
ª
J§
i
¸
æ
ö
§ .
£ n
n
)
ª

)
i 9¾

$
À
ª
ö
À
)
i 9"¾
$
À
À
'
çØd
f
differisce da
$
)
$
da cui
f
Û
M
0>O
ö
ª
(4.99)
<á
¶
¸
#$
ç>$
f
(4.100)
solo per la presenza delle costanti

e , che sono le costanti
di rinormalizzazione

della teoria. rinormalizza l’azione classica x ( e
µ
dunque le costanti di accoppiamento) e rinormalizza il termine nell’azione comprendente i ghost,
ovvero il termine i '
.
4.13 Azione effettiva ridotta
L’introduzione degli anticampi è stata utile nel delineare la rinormalizzazione della teoria e nel verificare le proprietà di invarianza dei controtermini. Nel seguito, poiché non svolgono alcun ruolo, essi
sono posti pari a zero. Si può, allora, definire un’azione effettiva per il solo campo medio 0 attraverso
la trasformata di Legendre
) M
k
ú 0>O<
Quando le Û
)
M
5 O7,õ 0 8
8
õ
H
con
0 8 H
õ
8
sono lineari nei 0 , non è difficile vedere che ç/¶7#$¤Û
ridotta ú è legata all’azione effettiva ú della (4.93) attraverso
M

) M
ú 0XO<
ú 0 '¤ Á çå O + |
æ |
y
æ
{
127
æ
M
k
$ °
= O
$
õ
M
b
(4.101)
b
0>O , e che l’azione effettiva
(4.102)
)
Nello sviluppo della teoria della diffusione per campi di gauge non abeliani viene usata ú , analogamente a quanto fatto nel paragrafo 4.9.
Anche nella costruzione dell’azione effettiva in teorie di gauge si può fare a meno della trasfor)
mata di Legendre e avere una definizione perturbativa di ú analoga alle (4.59) e (4.60).
Sia il campo M totale la somma di un background classico 028 più un disturbo s , e si compia la
ø
0XOW 8 . In conseguenza di tale scelta, quando õ scelta Û
, la scelta (3.64) per Ó comporta
8
8
M
immediatamente
ø
0>O 8 Ê
ñGÛ ©¤
(4.103)
8
che è un vincolo che i 8 necessariamente soddisfano in aggiunta a
H
H
)
8
M
ú 0 ]O<
(4.104)
b
Questo è il motivo per cui Ó è chiamato spesso termine di gauge fixing piuttosto che di gauge breaking
nell’esponente della (3.49) e della (3.51).
Si noti che la (4.103) è un’equazione indipendente, non un corollario della (4.104). Le due
equazioni insieme definiscono quello che può
M essere chiamato gauge fixed quantum shell.
)
Nel caso M di un’espansione in loop di ú 0 ]O , la sola presenza di nell’integrando è nella combinazione ø 0>O nell’esponente (oltre che nella combinazione 0 0v . Analogamente, la sola
presenza di 0 è nella dipendenza da esso di ø e ¶ . Poiché la separazione del
M campo medio totale 0
)
in 0 e è arbitraria, eccetto all’infinito dove si richiede che 0 soddisfi x 0>O>
, ú deve essere un
8
funzionale solo di 0 sul gauge fixed quantum shell. Off shell esso deve avere la forma
M
M
M
) M
ú 0 7O<Zú 0XO«Á 0 ]O4ø
0>O 8 (4.105)
8
)
dove gli «þ sono certi coefficienti dipendenti da solo nelle combinazioni 0 0¨ M . Poiché ú
è invariante sotto le trasformazioni (2.129), con sostituito da 0 , segue che anche ú 0>O deve essere
M
gauge invariante:
M
M
ú´ >
0 O'£ 8 0>O<
8
b
(4.106)
Per tale motivo il funzionale ú 0>O è chiamato azione effettiva gauge invariante. Esso è indipendente
dai ' e da ¶ ed è dunque univoco, almeno quando le Û sono scelte in modo da avere manifesta
covarianza e Ó è scelta quadratica nelle Û . Non è noto se un’azione effettiva gauge invariante univoca
possa essere trovata in un qualsiasi quadro composto da altre scelte.
M
M
È già stato notato che nel gauge fixed quantum shell, quando õ , ú 0>O soddisfa ú) 0>O)
.
8
8
Poiché la scelta dei ø è arbitraria (purché soggetta alle richieste di manifesta covarianza) e poiché
128
4.13. Azione effettiva ridotta
la (4.103) può sempre essere imposta su attraverso un’appropriata trsformazione di gauge finita
che abbia origine da un qualsiasi campo medio totale soddisfacente la (4.106), è evidente cheM si può
definire lo shell quantistico completo semplicemente come lo spazio di tutte le soluzioni di ú´ 0>O .
8
Soluzioni legate l’una all’altra da trasformazioni di gauge sono fisicamente equivalenti. L’azione
effettiva gauge invariante, così, svolge lo stesso ruolo nella teoria quantistica di quello dell’azione
classica x nella teoria classica.
129
Capitolo 5
Proprietà globali delle teorie di gauge
5.1 Riassunto
Questo capitolo, essendo volto alle proprietà topologiche globali delle teorie di gauge, descrive in
principio alcuni concetti necessari di topologia e di analisi globale. La loro introduzione consente
di giungere alla conclusione che gli spazi delle configurazioni vengono decomposti in componenti
connesse. Tale decomposizione influenza la teoria quantistica, ad esempio nell’introduzione di un
termine di anomalia globale nella lagrangiana completa della teoria di Yang–Mills.
Una breve analisi delle trasformazioni di gauge grandi, che connettono diversi settori topologici,
le cui proprietà sono ben evidenziate dallo studio degli istantoni, soluzioni classiche delle equazioni
di Yang–Mills, conduce a quali condizioni asintotiche occorre imporre su di esse per avere una teoria
fisicamente ben posta. Nel caso non abeliano, la richiesta che la condizione di gauge vada in se stessa,
in virtù dell’esistenza delle trasformazioni di gauge grandi e delle condizioni asintotiche imposte, si
traduce in un’equazione non lineare nei potenziali di gauge.
Le soluzioni di tale equazione, non essendo univoche, rappresentano diverse configurazioni gauge
equivalenti, note come copie di Gribov. All’ambiguità di Gribov, di cui è riportato un semplice
esempio per il gruppo SU(2) con potenziali a simmetria radiale, è dedicato uno studio topologico,
sia globale sia operatoriale attraverso il flusso spettrale, giungendo a dimostrare che essa è sempre
presente nelle teorie di Yang–Mills di interesse fisico.
Un’analisi della natura di tale problema viene sviluppata in un particolare gauge covariante non
lineare per il caso abeliano, la cui introduzione ha motivazioni che originano dalla rinormalizzazione
perturbativa e dal problema del termine di massa per il fotone in elettrodinamica quantistica, in modo
da avere ancora equazioni non lineari per le copie. Lo studio delle soluzioni di tali equazioni nei vari
casi possibili suggerisce considerazioni più generali sulla natura del fenomeno di Gribov.
131
Capitolo 5. Proprietà globali delle teorie di gauge
5.2 Topologia e analisi globale
Nel corso di questo capitolo converrà talvolta abbandonare la notazione covariante,
sfruttando la

foliazione della varietà spaziotemporale che esplicita le coordinate + c come +< .
La topologia è lo studio della continuità sia a livello di spazi topologici (Pontryagin 1966) sia a
livello di funzioni tra di essi. Nella discussione seguente si pensi ad uno spazio topologico come a un
sottoinsieme di uno spazio euclideo o di uno spazio funzionale. Lo scopo primario della topologia è
trovare invarianti numerici di spazi topologici sulla base della loro struttura continua.
L’analisi globale aggiunge una struttura differenziabile agli spazi topologici e ha come scopo
primario trovare formule integrali per gli invarianti topologici.
1. Uno spazio topologico è connesso per archi se due punti qualsiasi nello spazio possono essere
connessi da un arco continuo. Si hanno le seguenti definizioni e proposizioni:
2. una componente connessa per archi di uno spazio topologico à è un qualsiasi insieme di punti
IP;+< in à che sono tutti connessi da archi continui a un punto fissato +Y à ;

3. IN?+< e IP
si intersecano se e solo se sono uguali;
4. ogni spazio topologico è un’unione disgiunta delle sue componenti connesse per archi;
5. il numero di componenti di uno spazio topologico è un invariante topologico, ossia questo
numero non è variato da alcuna trasformazione continua e invertibile dello spazio;
6. sia una funzione differenziabile dall’intervallo unitario al piano complesso , soddisfacente
9 9ª4 . Sia Yy un punto non nell’immagine di , allora l’indice di avvolgimento di attorno ad è dato da
T
ª
* D
(5.1)
>K?>.
D
d ö i
b
À
L’indice di avvolgimento è un invariante topologico dipendente solo dalla continuità; la formula
analitica calcola questo indice topologico usando funzioni differenziabili. Il concetto di indice
di avvolgimento si generalizza a un numero maggiore di dimensioni. Ad esempio, una funzione
qualsiasi dalla sfera n-dimensionale ® V a se stessa può essere sempre deformata con continuità
in una che chiaramente si avvolge intorno alla sfera un certo numero di volte.
Il concetto naturale di deformazione di una funzione
in una funzione ó è rappresentato dalla
scelta di un arco da a ó nell’appropriato spazio funzionale. Una funzione, così, può essere
deformata in una qualsiasi altra funzione nella stessa componente connessa per archi dello
spazio funzionale in questione. Questa idea di deformazione conduce al teorema del grado di
132
5.2. Topologia e analisi globale
Hopf, che collega gli indici di avvolgimento e le componenti degli spazi funzionali nel modo
seguente:
M
7. sia Map Q® V V® V lo spazio delle funzioni continue da ® V a se stesso; sia ® V V ® V O l’insieme di
M
componenti connesse per archi di Map }® V ª® V . Allora l’indice di avvolgimento è costante
su
ogni componente connessa per archi di Map Q® V V® V e fornisce una mappa biettiva tra ® V V® V O
e gli interi ¯ .
Il teorema di Hopf (7) per le funzioni dalle sfere a se stesse si estende a funzioni dalla 3-sfera
ai gruppi semplici connessi per archi nel modo seguente:
8. sia Í un gruppo semplice
connesso per archi, sia Map Q®
M

ÐÍ) lo spazio delle funzioni continue
da ® a Í , e sia ® ÐÍ9O l’insieme delle componenti connesse per archi in Map Q® ÐÍ) . Allora
M
l’indice di avvolgimento è costante
su ogni componente connessa per archi di Map }® tÍ) e
fornisce una mappa biettiva tra ® ÐÍ9O e gli interi ¯ .
È infatti possibile deformare una mappa qualsiasi da
®

in un gruppo semplice connesso per
archi Í in una mappa da ® in un sottogruppo SU(2) o SO(3). Così l’indice di avvolgimento
del teorema precedente è in effetti l’indice di avvolgimento di una mappa da ® a se stessa. In
particolare, poiché SU(2) è naturalmente la sfera ® , le funzioni da ® a se stessa o a un qualsiasi gruppo semplice con un certo indice di avvolgimento possono essere cotruite dal semplice
fatto seguente:
9. per ogni intero , la mappa óPD
ó n da SU(2) a se stesso ha indice di avvolgimento .
Per gli scopi dell’analisi globale, è conveniente riguardare la sfera ® V come l’unione dello
spazio euclideo V e di un singolo punto all’infinito, usualmente identificato con il polo nord
della sfera. Invero, la proiezione stereografica dal polo nord N è una mappa coordinata da
® V °3 ¨6 a V . In queste coordinate una funzione continua sulla sfera diventa una funzione
continua su V che ha un limite indipendente dalla direzione in cui il raggio va all’infinito.
Usando come coordinate per ®

, l’analisi globale fornisce una notevole formula per l’indice
di avvolgimento del teorema (8):
10. sia & una funzione differenziabile da
®
a un gruppo semplice connesso per archi Í . Allora

l’indice di avvolgimento di & è dato da
K?&5´
>
ö
¾
T
ª
k
*<_+u? c
g
M tr ?«
c
« g «
133
M
dove
«
c
L
e
c
&5=&]á
¸
b
(5.2)
Per rendere precisa la nozione di indice di avvolgimento, evitando di usare troppa terminologia
topologica, si può considerare la (5.2) come la definizione di indice di avvolgimento.
Alcuni invarianti topologici sono più ardui da visualizzare dell’indice di avvolgimento
¸ e sono
meglio definiti attraverso l’analisi globale. A Sia « un potenziale di gauge su ® ²± 36\6
con valori nell’algebra di Lie di Í , e sia g l’intensità di campo di « . Allora il seguente
c
integrale definisce l’indice di Pontryagin '>ï«Ä associato ad « :
A
A
T
ª
g
* + tr g c '>?«
(5.3)
d
c
b
ª
k
L’integrando può essere chiamato la classe di Pontryagin. Poiché « è definito su ® , la forma
coordinata di « si annulla in maniera sufficientemente rapida all’infinito spaziotemporale per
far convergere l’integrale. La seguente proposizione chiarisce il significato di '>ï«Ä :

11. se «¥ è una funzione continua da ai potenziali di gauge su ® , allora l’indice di Pontryagin
'>ï«K è costante.
A
g e dalle identità di Bianchi, è semplice verificare che la classe di
Dalla definizione di
c
Pontryagin è una divergenza:
A
A
A
ö
g
M
? c h M tr M h « M « M « h « M
tr g c )
(5.4)
c
c
b
÷
e

L’operando di
è chiamato un termine di Chern–Simons. Valori non nulli di '>?« vengono
c
e
dagli integrali di superficie del termine di Chern–Simons che non necessariamente si annullano
all’infinito spaziotemporale.
5.3 Settori topologici
In tale trattazione conviene usare una definizione equivalente alla (1.58) per il gruppo di gauge
&
derivato da un gruppo di simmetria Í : esso è formato da quelle funzioni dallo spaziotempo
a Í che sono costanti all’infinito, ossia

¸
TUWV
(5.5)
&
3§& D Í ³ X ³ Y
&` +S esiste 6
d
¯
¯
b
J
Poiché la sfera ®

può essere riguardata come
esteso da un punto all’infinito, la condizione
sugli elementi del gruppo di gauge all’infinito permette di considerare questi elementi come
134
5.3. Settori topologici
funzioni su
®

dipendenti dal tempo, ossia come archi in Map }®

ÐÍ) . Poiché le superfici
di tipo spazio nello spaziotempo possono essere sfere, la condizione che le trasformazioni di
gauge siano costanti all’infinito può essere fisicamente naturale. Matematicamente, comunque,
questa condizione è essenziale se si vuole che le funzioni derivate dal gruppo di gauge e dalle
sue rappresentazioni abbiano integrali convergenti.
Ulteriori considerazioni di carattere fisico sulla condizione asintotica nella (5.5) saranno espresse nel seguito. Tale condizione è anche responsabile di certe strutture topologiche. Poiché un
elemento del gruppo di gauge & è un arco in Map }® tÍ) , l’immagine di & giace interamente in
una certa componente
connessa per archi di questo spazio. Dunque, l’indice di avvolgimento di

& al tempo è indipendente da . Questa osservazione suggerisce l’estensione della nozione di
indice di avvolgimento a elementi del gruppo di gauge e l’introduzione di una decomposizione
di & nel modo seguente:
> ;&7 di un elemento & di
12. l’indice di avvolgimento ¥
&
è il numero definito dalla valutazione
dell’integrale (5.2) su & a un qualsiasi tempo fissato;
13. si indichi con & il sottoinsieme di
n
mento .
&
di elementi del gruppo di gauge con indice di avvolgi-
Si può mostrare (cf. Ticciati 1999) che &
n
sono le componenti connesse per archi di & :
14. un elemento qualsiasi & del gruppo di gauge è connesso per archi all’elemento &| del gruppo di
gauge indipendente dal tempo definito da &|4;+<)u&` + .
Si può allora ottenere la decomposizione topologica del gruppo di gauge &
nenti connesse per archi &
n
´J
&C
&
n b
J
n æ<á
nelle sue compo-
(5.6)
Da un elemento & di & si può definire un potenziale di gauge, ossia una 1-forma di connessione
«¥;&7 (cf. Appendice A), attraverso
¸
« ;&7
L &5=&]á
(5.7)
c
d
c
b
e
Poiché «K?&5 può essere ridotto ad « da una trasformazione
di gauge, «K?&5 è chiamato
A
una 1-forma di connessione di puro gauge. La curvatura g di «¥;&7 è zero. Comunque,
c
poiché «K?&5 determina l’indice di avvolgimento >¥?&5 di & attraverso la (5.2), queste 1-forme di
connessione di puro gauge hanno un certo carattere individuale.
135
Per rendere finita l’energia totale associata con un potenziale di gauge si restringe lo spazio dei
potenziali di gauge con le seguenti condizioni al contorno:
15. lo spazio
-
delle 1-forme di connessione «
è il sottoinsieme delle funzioni sullo spazio di
Minkowski, a valori nell’algebra di Lie, che si annullano all’infinito spaziotemporale e che
tendono a configurazioni di puro gauge all’infinito temporale. Così, per ogni «CY
, si hanno
due elementi & Z del gruppo di gauge tali che
¡

ê
¸
ì TUWV Y
«
<
+
)

L
&
<
+

=
&
<
+
á
í
¡ á J
c
c á
á
¸
(5.8)
TUWV
e
S
S
Y S
« +<)L & +<=& +< á
J
c
c
e
Dalle condizioni al contorno (ossia asintotiche) è chiaro che un potenziale di gauge « nello
spazio determina indici di avvolgimento iniziale e finale:
ï«Ä e > S ï« come > Z ï«Ä
>¥?& Z .
d
á
Poiché una deformazione continua di « non può variare questi indici di avvolgimento, si trova
16. si definiscono >
che lo spazio dei potenziali di gauge è un’unione di sottospazi che non possono essere connessi
-
-
per archi. Si indichi con
il sottospazio di i cui elementi hanno indici di avvolgimento
â V
ô
iniziale e finale e ä rispettivamente. I potenziali di gauge formano generalmente spazi connessi per archi. Qui, comunque, le condizioni al contorno nella definizione (5.8) forzano gli
-
-
elementi di ad essere in uno solo dei sottospazi
; combinazioni lineari attraverso questi
â V
sottospazi non sono contenute in . La decomposizione
-
´J
â
è la decomposizione topologica di
-
<á J
æ
´J
Væ<á J
â
V
(5.9)
in componenti connesse per archi.
Il gruppo di gauge agisce sui potenziali di gauge nel modo usuale (1.63). Quando si considera la
decomposizione attraverso gli indici di avvolgimento, ricordando che l’indice di avvolgimento
di &D & n su SU(2) è , si trova che un elemento del gruppo di gauge in & trasforma un
n
S
S
potenziale di gauge in
in
uno
in
.
Dunque,
una
teoria
quantistica
dei campi
â V
â
n V n
potrebbe essere invariante sotto &2| se si integrasse solo su
; dovendo essere invariante
â V
S
S
sotto & , occorre integrare su µ
.
â
n V n
n
La struttura dello spazio dei potenziali di gauge, quindi, è semplice: è proprio un’unione
di componenti connesse per archi etichettate dagli indici di avvolgimento iniziale e finale.
L’azione del gruppo di gauge può essere considerata su due livelli:
136
5.4. Anomalia globale
ç
il livello locale consistente in trasformazioni di gauge infinitesime e, attraverso l’esponenziazione, in &9| ;
ç
il livello globale, consistente in ciò che rimane una volta che queste trasformazioni di
primo livello sono ignorate, ovvero l’insieme di componenti connesse per archi di & .
Nella terminologia del paragrafo 1.10, esistono trasformazioni di gauge piccole e grandi.
5.4 Anomalia globale
ô
evolvono da un indice di avvolgimento iniziale a un indice
Poiché i potenziali di gauge in
â V
di avvolgimento finale ä , e poiché le fluttuazioni quantistiche sono piccole perturbazioni attorno ad
una configurazione classica, le fluttuazioni quantistiche sono presumibilmente modellate da un’inô
ä , lo stato iniziale e quello finale dell’universo
tegrazione su
stesso. Comunque, se

â V
saranno differenti anche a livello classico. Dunque, una configurazione di puro gauge con indice di
avvolgimento ä viene interpretata come un aspetto di uno stato di vuoto ä
¯
quantistica.
©
per una teoria di gauge
Dall’azione delle componenti del gruppo di gauge sulle componenti dello spazio dei potenziali di
gauge si ha che
&
)
ä
©
n ¯
¯
E©
ä
(5.10)
b
Si noti che tutti gli elementi di &9| agiscono banalmente, sì che le trasformazioni infinitesime vengono
ignorate e si sta considerando propriamente il livello globale dell’azione del gruppo di gauge.
Quindi, nessuno stato di vuoto è invariante sotto l’intero gruppo di gauge; il meglio che si possa
fare è costruire vuoti che siano autostati di ogni trasformazione di gauge:
J
å
¯
&
Poiché i

n ¯
¤
~©
å
~©
d
ei V
ei V
Væ<á J
j
&
n ¯
ä
¤
j
ä©
¯
å
ei V
©
da cui
b
j
¯
E©¤
ä
eá i V
(5.11)
j
¯
9©
b
(5.12)
vuoti sono i migliori candidati per i vuoti fisici, si usa uno di questi per definire un
137
funzionale generatore pienamente gauge invariante:
¡
¡
j
¡
¡
å
j
TUWV
TUWV
ô
i¶
e á i VWá â Y ñä e á i ¶

V
T
Ï*
â
V exp i x´
(5.13)
è l’espressione non covariante per l’opportuna azione x considerata.
-
all’infinito, si possono usare la (5.2), la
Infine, in virtù della condizione al contorno nulla su
â V
(5.4) e la (5.46) per esprimere > S x>
come un integrale sullo spaziotempo:
á
T
T
ª
g
> S 9x
> ¤
* |
* _(
<
+ ? c M tr ?« « g « (5.14)
¾

c
M
â V
â
á
V
Tö
A
A
A
e
T
T
ª
ö
ª
k
M
g
tr M « *
* _(
<
+ ? c h M
« M « « ´
* + tr g c c
M
M
c
h
h
b
ª
÷
ª
e
k
k
Così l’effetto di quest’analisi è che la (densità) lagrangiana, impiegata nel metodo di DeWitt per
quantizzare teorie di Yang–Mills, va modificata includendo una anomalia globale dipendente da :
A
A
~
~
j

g
tr g c (5.15)
d
c
b
ª
~
k
è così indicata perchè in tale ambito è più conosciuta come lagrangiana di Faddeev e Popov;
essa comprende anche il termine di ghost. È evidente, allora, che le proprietà topologiche globali
giocano un ruolo non secondario nelle teorie di gauge; nel seguito si incontreranno altri esempi di tali
evenienze.
5.5 Istantoni
U
Con
la restrizione delle teorie di Yang–Mills a uno spazio euclideo quadridimensionale, in modo che
~
< sia positiva, è naturale considerare potenziali per i quali l’azione sia finita; si A garantisce così
la convergenza dell’integrale su . Per ottenere questo, si assume che il campo
tenda a 7 zero
all’infinito in modo sufficientemente rapido. Si consideri la restrizione di &`?+< a una sfera
di
A + ¯ ¯
grande raggio e si consideri ancora come
A
gruppo Í SU(2). L’andamento assunto di , in un dato
gauge, significa semplicemente che g ?+<)D
quando + D \ .
c
¯ ¯
In prima analisi potrebbe sembrare che si richiede che i potenziali di gauge « ?+< abbiano, insiec
me alle loro derivate prime, un simile andamento asintotico. A causa della libertà di gauge, comunque,
è necessario soltanto trovare, per grandi + , una trasformazione di gauge &`?+< tale che il potenziale
138
5.5. Istantoni
trasformato abbia l’andamento richiesto. In altre parole si sta richiedendo la validità della (5.7). Il
punto importante è che la trasformazione di gauge &µ;+< necessita di essere definita solo per grandi
+ . Infatti, può essere impossibile estendere la definizione di &µ;+< con continuità all’intero spazio
¯ ¯
quadridimensionale.
Grazie alla proiezione stereografica descritta prima della (5.2), ®
viene mappato conformemente

su . Si dice che un potenziale su si annulla all’infinito se si estende a un potenziale su ® , essendo ® la compattificazione conforme di ottenuta aggiungendo un punto all’infinito. Se l’intero
è non nullo, ciò significa che non 7 si può descrivere il potenziale usando un singolo 7 gauge, occorre
un gauge nella regione 7 finita +
e un altro gauge attorno a \ , ovvero per + É
. I due gauge
¯ .
¯ ·
¯ ¯
sono correlati su + dalla trasformazione di gauge &`?+< di grado .
¯ ¯
In altri termini, il fibrato principale su ® non è il prodotto topologico ® EÍ ; infatti la teoria
topologica degli spazi fibrati su spazi del tipo ® , che non sono contraibili, afferma che in questo

caso essi sono classificati precisamente dallo stesso intero . , quindi, che appare nella descrizione
asintotica di , è codificato direttamente nella topologia del fibrato ø nel senso precedentemente
U
descritto.
A
~
U
Chiaramente la lagrangiana <
, calcolata relativamente alla metrica curva di ~® , è
¯.¯ ¯ ¯
necessariamente finita perchè ® è compatto1k . Inoltre, in virtù dell’invarianza conforme di < ,
quest’ultima ha lo stesso valore quando calcolata su ®

e su .

Le equazioni di campo nelle teorie di Yang–Mills sono:
A
A
}¹¸
}º¸¼»
(5.16)
dove le prime sono le identità di Bianchi e le seconde le equazioni di Yang–Mills. L’asterisco indica
l’operatore di Hodge, che mappa k-forme in (n-k)-forme, in dimensione n, grazie al quale si definisce
un prodotto interno nello spazio delle 1-forme (cf. Appendice
A
A). Già a livello classico si nota che la
seconda equazione nella (5.16) deriva dalla prima se soddisfa una delle equazioni
A
A
A
A
A
A
» »
»
autodualità {

anti-autodualità
i con metrica ÊÊ
s
b
(5.17)
A
A
S
Si decomponga A sotto l’azione dell’operatore di Hodge nella sua parte autoduale
e nella sua
parte anti-autoduale á :
A
A
A
S¾½
á
da cui
1
»
A
S
A
S
e
»
Si assume una differenziabilità locale sufficiente ad avere ¿
139
A
A
á
á
almeno continuo.
»
k
ª I nel caso euclideo b
(5.18)
Allora si ha che
U
A
A
~
S
< ¯¯
á
¯.¯ ¯ ¯
¯.¯
k
k
A
A
S
U
~
< Éª

da cui
(5.19)
¯ ¯ b
k
k
k
k
A
A
»
C sign 7 . Così le soluzioni speciali (5.17)
Nell’ultima relazione l’uguaglianza si ha se e solo se
delle equazioni di Yang–Mills corrispondono al minimo assoluto della lagrangiana. In questo ambito
si può anche dimostrare (Belavin et al. 1975) che per
¥ª il minimo è raggiunto; gli autori citati
ª
N

¯¯
¯¯
¯.¯
á
¯¯
coniarono per tali soluzioni di pseudoparticella delle equazioni di Yang–Mills il termine istantoni.
In seguito, altre soluzioni di questo tipo, per tutti i , furono scoperte e chiamate multi-istantoni
(Corrigan e Fairlie 1977).
Nel caso euclideo gli istantoni rappresentano combinazioni di configurazioni di campo che sono
effettivamente localizzate nello spazio e nel tempo, da qui il loro nome. Forse la più importante proprietà degli istantoni è che essi possono interpolare con continuità tra le patches del fibrato. Ciò significa che l’integrale funzionale, per le teorie di Yang–Mills, può essere posto in precisa corrispondenza
con il path-integral della meccanica quantistica ordinaria.
L’integrazione va effettuata soltanto su configurazioni di campo continue; le configurazioni omotopicamente equivalenti sono raggiunte da un tunnelling nel dominio complesso degli istantoni. In
altri termini, in una visione semiclassica, gli istantoni rappresentano un effetto tunnel tra i vari stati
¯
~©
di vuoto (cf. Jackiw 1984 e Callan et al. 1976).
5.6 Condizioni asintotiche
H§¦ La richiesta che i parametri
delle trasformazioni di gauge infinitesime abbiano supporto compatto,
o almeno che si annullino in modo sufficientemente rapido all’infinito, oltre ad avere un forte uso
H§¦ nelle integrazioni per parti, consente di distinguere
dagli eventuali campi di Killing. Nel caso
di trasformazioni di gauge piccole finite, ossia ottenute per esponenziazione, per teorie di Yang–
Mills, esse possono essere rappresentate nella forma (1.63), dove le & assumono la forma matriciale
¦ ¦ Ü , avente la struttura Ü exp q"
, con
funzioni finite sullo spaziotempo che si annullano
all’infinito. Quest’ultima condizione implica che Ü tenda all’infinito all’identità. Le matrici Ü sono
matrici di rappresentazione per il gruppo Í generato da qL .
Le trasformazioni di gauge grandi, parimenti, possono essere rappresentate nella forma (1.63)
con matrici Ü aventi la suddetta struttura. Ciò che le distingue dalle trasformazioni di gauge piccole
¦ è che le funzioni non si annullano all’infinito; si richiede semplicemente che siano tali che:
Ü-?+<´D
ªI
per
+D
\
Ü;+<¤D
o
140
ª I
per
+D
\
(5.20)
5.6. Condizioni asintotiche
che generalizzano la condizione asintotica precedente. In questo caso sono necessari sia ª I sia ª I,
perché la legge di trasformazione (1.63) non varia rimpiazzando Ü con ÁÜ .
Si noti che entrambe le trasformazioni di gauge, grandi e piccole, lasciano le variabili dinamiche
invariate all’infinito. Ciò porta ad esaminare la natura dei vincoli al bordo che bisognerebbe imporre
sulle variabili dinamiche stesse. Se le sezioni spaziali dello spaziotempo sono compatte, non vi è un
bordo spaziale su cui imporre condizioni e la struttura del fibrato di Yang–Mills può essere non banale
nelle direzioni spaziali. Poiché le eventuali implicazioni fisiche di tale non banalità non sono ancora
state studiate, si assume qui che lo spaziotempo sia asintoticamente minkowskiano e che ogni non
banalità, nella struttura del fibrato, sia confinata nella direzione temporale.
Restringendo l’attenzione a uno spaziotempo quadridimensionale, si richiede che le componenti
del potenziale di Yang–Mills abbiano il seguente andamento asintotico:
« | w
ú
¸þ ª
Å
S
«
8
ú
w
¸ª
S
Å
(5.21)
k
dove P è un certo numero positivo arbitrariamente piccolo. Si richiede, inoltre, che le derivate
temporali di « soddisfino
8
A
A
ú
ú
ú ª
þª
þª
e
(5.22)
« | w
da cui
w
S Å
S Å
S Å
| w
8
b
8
8 [

k
k
k
Ciò ha tre conseguenze:
ç
ç
tutte le soluzioni fisiche permesse delle equazioni di campo sono incluse in @ ; in particolare,
per quelle aventi carica totale non nulla, emergente dalle correnti dovute alle sorgenti interne
ç
corrispondenti ai termini non lineari delle equazioni di campo, l’integrale di carica converge.
A
|³|
L’integrale spaziale della densità di energia ½
è finito a prescindere dal fatto che gli
g
c
g
nell’espressione di ½¢c soddisfino o meno le equazioni di
U campo.
~
L’integrale spaziale della funzione della lagrangiana <
è finito.
Le condizioni suddette sono compatibili con la (5.20), ma aggiungono ulteriore precisione: occorre richiedere
ÜÀ~fª I w
ú
ª
Å
e
Ü p|þw
ú
¸þ ª
S
Å
b
(5.23)
k dei campi « ? +< soddisfacenti
Lo spazio @ , così, consiste di tutte le strutture del fibrato delle storie
c
le condizioni asintotiche (5.22) in ogni patch del fibrato. Il gruppo di gauge Í (la fibra tipica di @ ) può
¦ e
essere identificato con l’insieme di tutte le funzioni matriciali, aventi la struttura ÜÖ exp " q¥
soddisfacenti le condizioni asintotiche (5.20) e (5.23). Le funzioni di transizione tra le patches del
141
fibrato sono funzioni matriciali della stessa forma, ristrette alle regioni di sovrapposizione. Si noti,
infine, che la proprietà di traccia nulla dei qL implica che det Ü;+<)ª per tutti gli
+ .
µ
Nel formalismo canonico hamiltoniano, un gauge molto usato è il gauge assiale, corrispondente
¸
alla scelta Û
. L’operatore di ghost associato, con gli indici soppressi, è ª I
«
+ o o
¸
e
e
, che ha la seguente funzione di Green:
)«
M
¸
è¥?+X_+ )
¸
¸ ¸
H |
H
| H
_+ \ ¬
Z""ª47?+ \ + :O ; + _ + \ ? + _+ \ ; à#_+ \ j T X ³
k
¸
¸ k
¸ |
\
\
\
\
c
exp a]
)«
;+ _+
_ + + *+
X ³
k
a
7;+
Â
8Á
¸
dove è un qualsiasi numero reale e Á
(5.24)
significa patch ordered.
Una delle caratteristiche apparentemente attrattiva di queste funzioni di Green è che esse sono
locali nel tempo, ossia i campi di ghost non si propagano, come discusso nel paragrafo 4.5. Esse,
inoltre, sono non singolari, il che contraddice la citata impossibilità delle coordinate Û
di essere
definite globalmente (cf. paragrafo 1.9). La conclusione qui trovata è, in realtà, inapplicabile perchè l’uso del gauge assiale è incompatibile con le condizioni asintotiche (5.21), (5.22) e (5.23) che
servono a definire @ e & con un certo controllo.
Per vedere questo si consideri la condizione standard di gauge fixing Û
. Si può supporre
che, per garantire questa condizione,
si¸ debba solo effettuare una trasformazione di gauge (1.63) tale
¸
¸
¸
¸
¸
¸
che «Á\ ¿ÁÜ Ü á Ü« Ü á o Ü Ü« . Questa equazione è¸ risolvibile in ogni patch
del fibrato, semplicemente integrando con
%\ . Generalmente,
¸ la condizione che Üû ª I in à
però, Ü non si avvolge intorno a ª I in + i\ ugualmente per tutti gli +|§_+ e + , neppure quando

gli «
soddisfano le condizioni asintotiche (5.21). Lo stesso accade quando lek Û
sono poste uguali
c
ad altre funzioni qualsiasi delle +c che si annullano all’infinito spaziale. Affinché una condizione di
gauge sia compatibile con le condizioni asintotiche (5.21), (5.22) e (5.23), le funzioni di Green dei
campi di ghost devono essere non locali nel tempo. La condizione di gauge temporale « | , ad
esempio, è compatibile.
5.7 Fenomeno di Gribov
La cura posta nell’assegnazione delle condizioni asintotiche per gli elementi dello spazio delle configurazioni Þ , ossia i potenziali di gauge, è giustificata dall’analisi delle proprietà globali di questi
ultimi. Nelle teorie di gauge non abeliane, ossia nelle teorie di Yang–Mills, a livello globale si
presenta un fenomeno nuovo, rispetto ai risultati noti dell’elettrodinamica quantistica.
Con la scoperta degli istantoni (cf. Belavin et al. 1977), l’interesse sulle proprietà globali della
142
5.7. Fenomeno di Gribov
teoria si indirizzò anche in tentativi di imputare a questi nuovi effetti la proprietà di confinamento
dei quark (Polyakov 1976, Callan et al. 1978). Il metodo di DeWitt–Faddeev–Popov descritto nei
capitoli precedenti, infatti, ha un carattere perturbativo; a questo si poteva imputare la sua carenza
nello spiegare ogni aspetto della teoria in esame.
Da ciò, alla fine degli anni Settanta, vi fu un fiorire di lavori volti ad analizzare tali nuovi aspetti,
anche contrastanti tra di loro nei risultati (e.g. Ademollo et al. 1978). Uno dei fenomeni a carattere
globale più rilevante, nelle teorie non abeliane, è l’ambiguità di Gribov. Esso è generato da una
procedura centrale del metodo di DeWitt, ovvero il gauge fixing. La richiesta di coerenza (2.59) che
la condizione di gauge vada in se stessa sotto trasformazioni di gauge, nel caso non abeliano equivale a
un’equazione non lineare nei potenziali di gauge. Ciò si verifica per ogni scelta di gauge compatibile
con le condizioni asintotiche del paragrafo 5.6. Ricordando l’espressione (1.63) di trasformazione
di gauge finita, e considerando che i campi 0 che svolgono il ruolo di variabili dinamiche sono i
potenziali di gauge «
, la (2.59) diventa
c
¸
¸
(5.25)
øNï« \ 9yøNï«
)øP;&«
& á ZÏ*&5:& á 9yøP?«
c
c
c
c
b
La considerazione essenziale, ora, è che nello spazio delle orbite
-
f
&
× , la scelta di gauge
fixing sui potenziali descrive una certa superficie che interseca le orbite (cf. Williams 2002). Nella
definizione stessa di gauge fixing, data in ambito perturbativo, si richiede che ogni orbita venga intersecata una sola volta, in modo da avere, dopo che si sia fissato il gauge, l’univocità dei potenziali che
soddisfano le equazioni dinamiche. Qualora si voglia estendere tale procedura globalmente in × , si
incontra la difficoltà che, data la topologia non banale dello spazio fibrato nel caso non abeliano (cf.
Singer 1981), la superficie di gauge fixing interseca alcune orbite più di una volta. In altri termini,
nelle regioni di sovrapposizione tra le varie patches del fibrato, le funzioni di transizione non sono
monodrome. Più precisamente, esse lo sono nei singoli settori topologici, il che giustifica a livello
perturbativo tutta la tecnica del metodo di DeWitt. A livello globale, invece, esse possono avere valori
diversi in diversi settori topologici, grazie a trasformazioni di gauge, simili in natura agli istantoni (cf.
Smilga 2001) che li connettono. A causa della presenza di queste trasformazioni di gauge grandi, due
potenziali vicini, nella metrica di , in una certa patch, possono risultare molto distanti in un’altra,
ove uno dei due può trovarsi in un settore topologico diverso dal precedente.
Il fenomeno di Gribov, in effetti, altro non è che un’ostruzione topologica alla continuità nella
scelta dei valori º sulle orbite. In termini geometrici, esso è l’impossibilità di trovare una sezione
globale per il fibrato; un risultato fondamentale in tal senso è la dimostrazione di Singer (Singer 1978),
che, per gruppi SU(N), con w ª , su ® e su ® , per nessun gauge soddisfacente le condizioni
asintotiche del paragrafo 5.6, esiste una sezione globale. Poiché i gruppi di simmetria locale più
143
complessi ammettono SU(2) come sottogruppo, tale conclusione ha una portata che abbraccia tutta la
teoria di gauge. È da notare che in due particolari scelte di gauge, per la cromodinamica quantistica,
sembra non presentarsi l’ambiguità di Gribov: il gauge assiale e quello temporale. Il primo non
soddisfa le condizioni asintotiche richieste, come mostrato nel paragrafo 5.6; nel secondo caso non
si ha automaticamente la validità della legge di Gauss. Qualora quest’ultima venga imposta, si ha
nuovamente la presenza delle copie di Gribov (cf. Haller 2002).
In realtà, poiché la natura del fenomeno di Gribov risiede nell’intersezione plurima della superficie di gauge fixing con le orbite del fibrato (cf. Williams 2003), il problema riscontrato nel caso
non abeliano non rappresenta l’unica evenienza possibile di tale inconveniente. Può accadere, infatti,
che pur trattando uno spazio delle configurazioni con una simmetria di gauge che dia vita a un fibrato principale banale, quale è il caso della teoria di gauge abeliana del campo elettromagnetico, si
incontri comunque un’ostruzione topologica. Essa può essere dovuta all’andamento non banale della
superficie di gauge fixing, che può essere così complicato da intersecare certe orbite più di una volta.
Quest’ultimo caso sarà oggetto di successiva analisi; qui di seguito è opportuno introdurre matematicamente il fenomeno di Gribov, seguendo la linea di Gribov stesso (Gribov 1977, Gribov
1978).
Si consideri una teoria non abeliana, con trasformazioni di gauge aventi la forma infinitesima
(4.6); si consideri, inoltre, una condizione di gauge covariante, ossia c)«
per potenziali di
c
e
gauge soddisfacenti le condizioni asintotiche del paragrafo 5.6. La condizione
(5.25), allora, diventa
l’equazione di Gribov:
c ï«
e
e
c Ü
c
c
$ ò
$
H
«
µ
c
9
$ ò
$e
c ï«
c
)
b
e
c ?«
c
Ü
c
$ ò
$
9
e
c ï«
c
(5.26)
Si incontra, allora, un problema emerso più volte nella trattazione condotta sinora, ossia che il metodo
di DeWitt
di quantizzazione delle teorie di gauge, a prescindere dalla manifesta covarianza, è ben
µ
fondato soltanto a livello perturbativo, ossia finché non ci si µ imbatte in singolarità dell’operatore di
ghost $ , ovvero
delle coordinate Û .
µ
La (5.26) è un’equazione agli autovalori dell’operatore $ : si è in presenza del problema di
Gribov quando $ ha autofunzioni non banali con autovalore nullo, ossia è singolare. In termini
analoghi alla meccanica quantistica ordinaria, si può anche interpretare la (5.26) come una sorta di
equazione di Schrödinger. In tal caso si può dire che si ha l’esistenza di più potenziali di gauge, legati
l’uno all’altro da una trasformazione
di gauge, soddisfacenti le equazioni dinamiche in un determiµ
$
nato gauge, quando i campi di ghost hanno stati legati a massa nulla. Quest’ultima interpreta
zione è dovuta al fatto che $ è presente nell’azione della teoria considerata soltanto nell’esponente
144
5.7. Fenomeno di Gribov
µ
dell’integrando della (3.84),
µ nel termine i '9
M
$
$
P]
$ « c O§ s
perché ò
$
M
$
$ « c O§
. La (5.26), dunque, equivale ad avere

con
P
è semplicemente un parametro.
Prendendo, per semplicità, come potenziale di partenza «
valore P dell’autovalore dei ghost,
e
c
e
c
H $ H |

$
$
sP]
c
$
(5.27)
b
, la (5.27) diventa, per un generico
(5.28)
(cf. Smirnov 1985). Considerando via via ampiezQuesta equazione è risolvibile soltanto per PÆÉ
ze dei potenziali sempre maggiori in modulo, ovvero allontanandosi dall’usuale regione attorno ad
in cui si eseguono i calcoli perturbativi per teorie di Yang–Mills, si giunge a un’ampiezza suf«
c
ficientemente elevata e a un segno particolare del campo per i quali si trova una soluzione della (5.28)
, ovvero si cade nella (5.26). Aumentando ancora l’ampiezza di « , si hanno autovalori
con P/
c
negativi, finché per un certo valore ancora maggiore di «
si ritrova una soluzione con P{ .
¯ c ¯
Si noti che la (5.25) è un’equazione iperbolica avente soluzioni non nulle anche nel caso abeliano;
un modo
per eliminare la non univocità è operare una rotazione di Wick e considerare uno spazio
µ
euclideo. In tale spazio una comprensione dell’andamento della soluzione della (5.28), ricordando
$
che $ agisce sui campi fermionici , si può ottenere, grazie alle nozioni di indice di un operatore
e di flusso spettrale, delineate nel paragrafo 5.9.
Si può, allora, immaginare che i potenziali che sono soluzioni della (5.26) dividano lo spazio
-
funzionale in regioni, in ognuna delle quali la (5.28) ha un certo numero di autovalori, ossia esiste
$
un certo numero di stati legati del campo di ghost . In corrispondenza delle superfici definite dai
potenziali soddisfacenti la (5.26), note come orizzonti di Gribov, che separano le varie regioni di
Gribov, si hanno stati di ghost a massa nulla. La prima regione di Gribov IÁ| non ha alcuno stato
¸
$
$
legato di , la seconda regione di Gribov I ha uno stato legato di , e così via.
Poiché i potenziali presenti nelle regioni di Gribov, I ä ª'1ö=Ð÷5
, sono copie di Gribov
V
b#b#b
delle configurazioni presenti in IÕ| , come Gribov stesso ha dimostrato nel suo lavoro originale, l’integrazione funzionale nel metodo di DeWitt delineata nel paragrafo 4.3 va ristretta a Iþ| . Si trovano
due tipi di copie di Gribov, quelle connesse ai potenziali in I¢| da trasformazioni di gauge grandi,
dovute agli effetti topologici descritti in precedenza, e copie equivalenti dei potenziali di Iþ| presenti
in I| stessa. Queste ultime rappresentano un problema maggiore, perchè le prime semplicemente si
possono ignorare negli sviluppi perturbativi; le copie speculari presenti in IÁ| , necessitano invece di
maggiore cura. Per evitare di contare più di una copia nell’integrazione funzionale, occorre restrin145
gere ulteriormente l’integrazione a un dominio noto come regione modulare fondamentale (Van Baal
e Cutcosky 1992), il cui bordo non è ancora ben specificato (cf. Zwanziger 1982, Dell’Antonio e
Zwanziger 1989), all’interno della quale non si ha più l’ambiguità (cf. Zwanziger 1989).
Va qui soltanto aggiunto che, nella trattazione originale di Gribov, la limitazione della regione di
integrazione nello spazio delle configurazioni ha l’effetto di cancellare la singolarità infrarossa della
teoria perturbativa e risulta in un aumento lineare dell’interazione delle cariche non abeliane a grandi
distanze, ossia in una possibile causa del confinamento dei quark.
5.8 Equazione di Gribov
Prima di considerare le motivazioni dell’analisi di Gribov, è opportuno presentare un semplice esempio, utilizzato da Gribov stesso, dell’occorrenza di tale fenomeno. Una soluzione esplicita dell’equazione (5.25) può essere trovata per il gruppo SU(2), facile da parametrizzare in quanto la mappa
esponenziale sulla sua algebra di Lie è uno a uno con l’interno del cerchio unitario. Ogni elemento g,
tranne che l’opposto dell’identità, ha una rappresentazione unica U:
©
)
dove äâ
expi V h ª I
ÂYÃ-Ä
)
¯ ¯
Uø
i ä! ÅÄ
ä
ä
¯ ¯
(5.29)
e ä ! ät
. Per ottenere un elemento ©K +µ del gruppo di gauge, occore sempliceä
¯ ¯
mente rendere ä una funzione di + . Si assuma (per avere simmetria radiale e il corretto andamento
ä
ú
asintotico) che
_^_+X D çþú
ä
(5.30)
(lo scambio di + e di ^ è intenzionale), si passi poi a coordinate polari sferiche, ottenendo
ú
©K .1`´
Ä
õ
i
eá
i
j
õ
j
ù
ù
j
ù
ei ù ù õ
õ j
i ù
(5.31)
Å
Uø
õ
dove le notazioni ù§ e indicano rispettivamente Ä e Â=Ã-ÄS . Per ottenere la (5.31) bisogna consi)
derare la matrice jacobiana del passaggio di coordinate e che nel prodotto scalare ä!W , poichè dalla
)
posizione (5.30) si evince che ä ha soltanto componente radiale, va utilizzato l’usuale prodotto tra
matrici righe per colonne tra il vettoreú avente come componenti le matrici di Pauli e quello avente
come unica componente non nulla ä´ . Utilizzando le noteú espressioni
di
divergenza e di gradien
ú
te in coordinate polari, e con il cambiamento di coordiante
146
D
TWø
, l’equazione (5.26) nelle
5.8. Equazione di Gribov
trasformazioni di gauge infinitesime aventi © come generatori porta a
¡È¡
¡
¡ ¡
j
jpj õ j
j j
ª
ª
C

k
k
dove i pedici indicano derivata rispetto alla variabile espressa e i prodotti tra matrici corrispondenti
alla (5.26) che non compaiono nella (5.32) sono nulli, come si può agevolmente calcolare. Anche
l’espressione delle varie matrici, data la (5.31), si calcola facilmente; la (5.32), allora, equivale ad
avere l’equazione
Ä
j
õ j
Uø
i
ei ù

i j
ç- çÔyöÆÄ çgÂYÃ-Ä5ç{´
(5.33)
õ j
i
eá ù
Å
dove il punto indica derivata rispetto a . Cambiando variabile da ç a çû ö4ç , tralasciando la
matrice che non dipende da queste variabili, grazie alle formule di bisezione si trova un’equazione
ú
che descrive un pendolo smorzato in un campo gravitazionale
costante, con ç angolo dal punto di
deve essere pari a 2 , dove è un certo
equilibrio instabile. Poiché © ª I nell’origine, çþ intero. Poiché, inoltre, ç è determinato soltanto a meno di un multiplo di 2 , non vi è perdita di
generalità nel prendere N . Si ha, così, quella che è chiamata equazione del pendolo di Gribov con
la seguente condizione al contorno:

¡ TUWV

ç
ç Êö çy
çÁ )
(5.34)
Y
b
á J
Chiaramente vi sono tre soluzioni con questa condizione iniziale: il pendolo non cade mai, esso cade
in senso antiorario, o in senso orario. Dalle note proprietà delle equazioni differenziali, infatti, si ha
che una soluzione della (5.34) deve essere del tipo
¡
¡

$
çÁ ¤« e á
¶ e
tÂ w
con «
(5.35)
la condizione su « si ha in virtù della condizione al contorno assegnata. Tale soluzione, però, ha i tre
possibili andamenti suddetti a seconda che ¶ sia maggiore, minore o uguale a zero.
Una trattazione analoga dell’equazione del pendolo di Gribov, che non fa uso della rappresentazione matriciale, si può trovare in Smilga (2001).
È da notare che si trova più di una soluzione perchè si sta considerando tutto lo spazio delle
configurazioni; restringendo l’analisi a una regione limitata, come è d’uso nella teoria perturbativa, le
copie di Gribov vengono ignorate.
147
5.9 Flusso spettrale
Una motivazione matematica del problema descritto da Gribov si può basare su considerazioni di
natura topologica, di analisi globale e di teoria spettrale; essa ha origine nel fondamentale risultato del teorema dell’indice di Atiyah–Singer (Atiyah 1968) che connette così svariate branche della
matematica. Attribuire nuovamente una natura topologica al fenomeno di Gribov, considerato dalla
diversa ottica che soggiace all’analisi di Gribov stesso, è un’ulteriore conferma dell’esistenza di tale
problema nelle teorie di gauge.
La trattazione matematica seguente necessita nuovamente di considerare uno spazio euclideo;
in tal caso l’operatore che compare nell’equazione (5.26), che agisce sui campi di ghost che sono
di natura fermionica, comprende un termine di natura analoga a quella dell’operatore di Dirac 2 Ü
dell’elettrodinamica quantistica.
Il teorema dell’indice è applicabile ad ogni operatore differenziale ellittico, ma per le applicazioni
fisiche occorre soltanto il caso speciale dell’operatore di Dirac Ü . Quest’ultimo è globalmente definito su una qualsiasi varietà riemanniana Ç , purchè Ç sia orientata e abbia una struttura di spin
(questi sono i vincoli topologici essenziali). Si assuma Ç compatta, allora Ü è ellittico e autoaggiunto; esso in particolare ha uno spettro discreto di autovalori. L’attenzione va posta sul nucleo di
quest’operatore.
Ü
agisce su campi spinoriali e c’è una differenza algebrica basilare tra spinori in un numero di
dimensioni pari e dispari. In dimensioni dispari, gli spinori appartengono a una rappresentazione
irriducibile del gruppo di spin, laddove in dimensioni pari gli spinori si suddividono in due parti
S
irriducibili, denotate
B
con ®
e con ® á . Ü intercambia
B
queste due, così consiste essenzialmente di un
S
S
operatore Ü
® ú DÈ® á e il suo aggiunto è Ü ü ® á DÉ® . Ricordando che il nucleo di un operatore
lineare ½ , Û( ?½þ , è l’insieme degli elementi del suo dominio che esso annichila, si indichino le
S
dimensioni dei nuclei di Ü e di Üü con ä e ä á rispettivamente; l’indice / di Ü si può allora definire
attraverso
/ïÜ´pä
S
xäXá
b
(5.36)
Sebbene ci sia una simmetria formale tra spinori positivi e negativi, e in effetti siano interscambiati
S
invertendo l’orientamento di Ç , non è necessario che i numeri ä e ä á siano uguali, a causa di effetti
topologici globali. Questa è l’origine dell’anomalia chirale.
2
Non vi è possibilità di confondere in questo ambito l’operatore di Dirac con le matrici rappresentative del paragrafo
5.6, perciò li si indicherà comunque con il simbolo Ê .
148
5.9. Flusso spettrale
Quando dim ¾
, si ottiene
/ÏÜº¤
A
A
T]Ë
G
tr Ó k
tr E
k
(5.37)
k
k
sono le curvature rispettivamente spaziotemporale e di gauge.
dove Ó e
Nelle teorie quantistiche bosoniche gli operatori del tipo Laplace (in uno spazio tridimensionale)
svolgono un ruolo fondamentale. La loro proprietà principale è che i loro livelli di energia sono
positivi o, almeno, limitati inferiormente; così lo spettro è contenuto in una semiretta. Per fermioni,
invece, si ha a che fare con operatori del tipo Dirac che hanno livelli di energia sia positivi che negativi;
così lo spettro giace sull’intero asse reale, essendo non limitato in entrambe le direzioni.
L’origine degli effetti topologici associati con i fermioni giace precisamente nella differenza topologica tra la semiretta e la retta. Il primo caso è topologicamente non interessante, poiché si può
dispiegare la semiretta all’infinito; invece nel secondo caso ciò non è possibile perché si ha più o meno
infinito. Essenzialmente una linea con due estremità infinite ha l’aspetto topologico di un cerchio.
Per illustrare questi¡ effetti topologici si consideri una famiglia periodica a un parametro di operatori del tipo Dirac Ü . Per ogni valore del parametro , i livelli di energia

é
(assunti discreti
V

prendendo lo spazio compatto)
giacciono sull’asse reale e sono funzioni di . Al muovere di lungo il
periodo (ad esempio
· · ª ) i livelli di energia si muovono, ma, alla fine del periodo, essi devono
riprodurre l’insieme originale. In ogni caso non occorre che sia é ª§å é ; si può invece avere
V
V
é
ª4 é S per un certo intero . Questo intero rappresenta una traslazione nello spettro, al
V
V n
variare di sul suo periodo, e può essere visto come il numero di livelli di energia negativi divenuti
positivi. Esso è chiamato il flusso
¡
spettrale della famiglia; non ¡ è difficile vedere che è un invariante topologico
deformando Ü con continuità in un’altra famiglia
¡ della famiglia Ü . In altri¡ termini,
¡
periodica ÜN\ dello stesso tipo, allora Ü e ÜN\ hanno lo stesso flusso spettrale.
Si noti inoltre che, se i livelli di energia fossero limitati inferiormente, allora si potrebbe cominciare a contarli dall’alto e il flusso spettrale dovrebbe essere zero. Ciò mostra perchè il flusso spettrale
si ha solo per fermioni.
¡
Assumendo
per semplicità che l’indice di questi operatori di Dirac sia nullo, allora l’operatore di
Dirac
Ü in questa famiglia sarà genericamente invertibile tranne che per un numero finito di valori
di . Questo numero finito (contato con appropriati segni e molteplicità) è l’invariante topologico di
questa famiglia. Se è non nullo, allora la famiglia non può essere deformata in un’altra che sia ovunque invertibile. Questa è essenzialmente l’anomalia che impedisce una definizione di un determinante
complesso gauge invariante dell’operatore di Dirac su ® in un potenziale di gauge di background.
La proprietà topologica rilevante in questa discussione è che il quarto gruppo di omotopia di
SU(2) è
Ì . Ciò significa che in uno spazio euclideo quadridimensionale vi è una trasformazione
k
149
D \ , che si avvolge intorno al gruppo di simmetria
ª I per à
¯ ¯
in modo tale da non poter essere deformata con continuità nell’identità. Il fatto che il gruppo di
di gauge &`?+< , tale che &`?+<D
omotopia sia
Ì
significa che può essere deformata nell’identità una &µ;+< che si avvolga due volte
intorno a SU(2).k L’esistenza di una mappa topologicamente non banale significa che nell’integrazione
funzionale euclidea ogni configurazione viene contata due volte. Non vi è modo di eliminare questo
conteggio doppio perché le coppie di potenziali correlati giacciono nello stesso settore dello spazio
delle configurazioni (cf. Witten 1982).
Le regole di Berezin per l’integrazione fermionica, quando applicate al caso di un singolo doppietto di Weyl, portano a un’ambiguità:
T M
¸þ
** ´O Weyl exp i Ü´ det i Ü
(5.38)
k
dove si ricordi che l’operatore di Dirac è stato indicato con Ü , sebbene solitamente il simbolo sia
barrato. La radice quadrata ha due segni.
¸þ Scegliendo un particolare potenziale, si è liberi di definire arbitrariamente
il segno di det i Ü ; in tal caso non vi è ulteriore libertà e si deve definire
¸þ
k di « , per soddisfare l’equazione di Schwinger–Dyson.
det i Ü
variabile con continuità
al variare
¸þ
c
Definito ink tal modo, det i Ü
è certamente invariante sotto trasformazioni ¸ infinitesime
di gauge,
þ
k
perché il segno non cambia brutalmente. Niente, però, garantisce che det i Ü
sia invariante sotto
¸þ
k
la traformazione topologicamente non banale &`?+< prima discussa. Infatti, si vede che det i Ü
k
cambia segno sotto l’azione di &`;+< , ossia per ogni potenziale « si ha
c
M
M
¸þ
¸þ
det i Ü?$
« 1 :O
det i Ü?« :O
(5.39)
c
c
b
k
k
Prima di dimostrare questa equazione utilizzando gli strumenti descritti in questo paragrafo, va considerato perché ciò porti all’inconsistenza della teoria di SU(2) con un singolo doppietto. La funzione
di partizione sarebbe
T
u

*«
c
det i Üº
¸þ
k
exp µ
ö4&
A
T
ª
k
* + tr
c
A
g

c
g

b
(5.40)
Essa si annulla identicamente, perché il contributo di un certo potenziale è cancellato esattamente dal
contributo uguale e opposto di quello ad esso correlato tramite & . Allo stesso modo è identicamente
nullo il valore dell’integrale con l’inserzione di ogni operatore gauge invariante. Così, i valori di
aspettazione di tali operatori sono indeterminati, essendo rapporti tra due quantità nulle. Ci si imbatte,
quindi, nello stesso problema descritto dal teorema di Neuberger (cf. Testa 1998).
¸þ
Non si può evitare questo problema prendendo il valore assoluto di det i Ü , perchè la teoria
k
150
5.10. Ambiguità di Gribov nelle teorie di gauge su reticolo
risultante non obbedirebbe all’equazione di Schwinger–Dyson. Neppure si può integrare soltanto su
metà dello spazio delle configurazioni, poichè le copie correlate sono connesse con continuità.
Resta da mostrare la (5.39), con l’intento di chiarire i risultati ottenuti da Gribov. Si assuma, per
convenienza, che lo spaziotempo sia una sfera di grande volume, in modo che lo spettro di i Ü sia
discreto. Si può anche assumere che non vi siano autovalori nulli, altrimenti la (5.39) è banalmente
verificata; gli autovalori sono reali e per ogni autovalore ò ve ne è uno þò . Prendere la radice
quadrata del determinante di i Ü significa che si vuole il prodotto di soltanto la metà degli autovalori,
non di tutti. Si può supporre che per ogni coppia di autovalori ÏòXÆÄò si
¸þ prenda l’uno o l’altro,
ma non entrambi. Per un particolare potenziale « si può definire det i Ü
come il prodotto degli
c
¡
k continuo che connetta
autovalori positivi. Si immagini, ora, di variare il potenziale lungo un cammino

«
ª «
« 1 , con

a « 1 . Ad esempio, si può considerare il potenziale «
variato con
c
c
c
c
c
continuità da 0 a 1. Si ponga l’attenzione

sul flusso degli autovalori come funzione di . Lo spettro di
i Ü è esattamente
lo stesso in ª e in ; comunque, i singoli autovalori possono riarrangiarsi

al variare di da 0 a 1, come descritto dal teorema dell’indice. Il riarrangiamento più semplice

permesso dal teorema consiste nel mutuo scambio di una singola coppia di autovalori 3ò j#þ ò> 16

che attraversano
lo 0 ¸ al
variare di . In particolare, l’autovalore positivo a è negativo a ª .
þ
det i Ü
Se a era definito come il prodotto
¸þ degli autovalori positivi, allora, seguendo gli
k
autovalori con continuità,
quando ª , det i Üº
è il prodotto di tanti autovalori positivi
e di

k
uno negativo, ciò significa che esso ha a ª il segno opposto rispetto a quello a . La
radice quadrata si annulla quando la coppia di autovalori passa attraverso lo zero. Appare evidente
l’andamento analogo a quello descritto per le soluzioni dell’equazione di Gribov al variare del modulo
dell’ampiezza del potenziale.
5.10 Ambiguità di Gribov nelle teorie di gauge su reticolo
Nelle teorie di gauge su reticolo (Wilson 1974) la procedura di gauge fixing e la generazione di
copie di Gribov, ottenute attraverso simulazioni Monte Carlo e in particolare attraverso rotazioni di
gauge casuali (cf. Paciello et al. 1992), sono ormai tecniche standard, sebbene esse siano state
inizialmente ignorate in quanto non è necessario fissare un gauge in tali teorie. Il gauge fixing, però, è
particolarmente conveniente in alcuni casi, e da ciò sono nati studi che hanno infine dovuto affrontare
il problema di Gribov anche in tale ambito (cf. Giusti et al. 2001).
Un’analisi molto interessante in tal senso viene fornita dalla determinazione della costante di rinormalizzazione della corrente assiale (Paciello et al. 1994). Ciò per due ragioni: in primo luogo
Ú

può essere ottenuta da identità di Ward chirali in due modi distinti, ossia uno gauge indipendente,
Ú
151
consistente nel prendere elementi di matrice tra stati adronici, e uno gauge dipendente, consistente
nel prendere elementi di matrice tra stati di quark. Da ciò vi è una stima esplicita gauge invariante di
che è libera dal rumore di Gribov (nel senso che le copie di Gribov consistono di fluttuazioni che

Ú
formano un rumore di fondo), e che può essere comparata direttamente alla stima gauge dipendente
affetta dalle copie. Il secondo vantaggio è che è ottenuta risolvendo un’equazione algebrica di priÚ
mo grado per ogni sezione temporale del reticolo, evitando così gli errori sistematici usuali emergenti
dal fittare esponenzialmente i segnali di decadimento nel tempo.
Dall’analisi emerge che la presenza delle copie di Gribov ha effetti visibili, riscontrabili, ad esempio, nel profilo leggermente diverso delle distinte stime di
come funzione di un parametro. Le
Ú
fluttuazioni di Gribov, però, ossia quelle indotte dalla scelta di una particolare copia di Gribov, sono
piccole e non predominano sull’incertezza statistica. In altri termini, gli effetti numerici delle copie
di Gribov su reticolo possono essere divisi in due categorie: la distorsione di una misurazione e il
rumore di Gribov su reticolo. L’esempio tipico di distorsione dovuta all’esistenza di copie di Gribov
è la misura del propagatore fotonico con U(1) compatto nella fase di Coulomb, che in tal caso è affetta
da un comportamento irregolare (Nakamura e Plewnia 1991, Hetrick et al. 1991, Bornyakov et al.
1993).
Gli studi del problema di Gribov su reticolo hanno dimostrato l’esistenza di ambiguità legate al
gauge fixing sia per teorie abeliane sia per teorie non abeliane (e.g. Nakamura e Sinclair 1990) nel
caso del gauge di Coulomb e in quello di Landau. In alcuni casi, inoltre, si trovano copie (Frocrand
et al. 1991) che non sembrano essere correlate da un cambiamento nell’indice di avvolgimento o da
una trasformazione di gauge locale singolare, chiamate copie di Gribov non topologiche.
Il numero delle copie sembra aumentare con il volume del reticolo; d’altra parte i dati suggeriscono che, per un volume fissato, all’aumentare di Â alcune copie vengano perse. Poiché il limite
del continuo della teoria è ottenuto lasciando andare entrambi questi parametri all’infinito, è altamente plausibile che il fenomeno delle copie di Gribov descritto dalle teorie su reticolo sopravviva nel
continuo (Marinari et al. 1991).
Anche nelle teorie su reticolo, comunque, non vi sono ancora risultati validi inconfutabilmente.
Ad esempio, se da una parte vi è l’evidenza dell’esistenza delle copie di Gribov nel gauge di Landau
in SU(3) (cf. Marinari et al. 1991), dall’altra la misura del propogatore gluonico in SU(3), ottenuta
con simulazioni numeriche eseguite nel gauge di Landau, non dà segni dell’ambiguità di Gribov
(Cucchieri 1997).
152
5.11. Gauge covariante non lineare per il campo elettromagnetico
5.11 Gauge covariante non lineare per il campo elettromagnetico
Si è visto che la presenza delle copie di Gribov è imputata al carattere non abeliano delle teorie di
Yang–Mills; ciò perchè, nelle scelte usuali di gauge, nel caso abeliano, esse non sono presenti. La
superficie di gauge fixing legata a tali scelte, infatti, è topologicamente banale, come per il fibrato
considerato nell’elettrodinamica quantistica. La natura generalmente curva di quello associato alla
cromodinamica quantistica e le altre teorie non abeliane, invece, fa sì che le curve dall’andamento
complicato descritto dalle orbite intersechino più di una volta la superficie di gauge fixing.
Da un punto di vista della dinamica dei potenziali di gauge, l’ambiguità di Gribov risiede nella
presenza di singolarità del determinante di Faddeev–Popov, ovvero di modi nulli del propagatore dei
ghost. Questa evenienza è dovuta all’autointerazione dei potenziali nelle teorie che comprendono
gruppi di simmetria locale non abeliani. Poiché il problema di Gribov è una questione ancora aperta,
si potrebbe analizzarlo cercando di semplificare le equazioni coinvolte.
Si può allora simulare dinamicamente l’occorrenza del fenomeno di Gribov in una teoria più
semplice, quale l’elettrodinamica quantistica, che ha carattere abeliano e che, inoltre, è una teoria
di gauge ben fondata. Nel caso abeliano la topologia del fibrato che soggiace alla teoria è banale;
scegliendo un funzionale di gauge fixing abbastanza complesso si può fare in modo che si abbiano
ancora intersezioni multiple tra le orbite giacenti sul fibrato topologicamente banale e la superficie di
gauge fixing generalmente curva, corrispondente al funzionale adoperato.
In altri termini, sebbene la teoria sia indipendente dalla particolare scelta di gauge, dunque risulti
che in elettrodinamica quantistica non si ha a che fare con la presenza di copie di Gribov, si può
scegliere un certo gauge nel caso abeliano che renda comunque non lineari le equazioni che nelle
teorie di Yang–Mills hanno per soluzioni le copie di Gribov, ossia le (5.25). In tal modo si introduce
nella teoria quantistica del campo elettromagnetico una patologia, di cui risente il propagatore dei
ghost, che in tal caso non si comporta come accade con le scelte usuali di gauge, ove semplicemente
si disaccoppia. Esso viene ad avere, così, delle singolarità, proprio come avviene nel fenomeno di
Gribov; si riesce così a simulare la presenza delle copie di Gribov ottenendo più configurazioni che
soddisfano le equazioni dinamiche, sebbene sia stato fissato un certo gauge.
In questo lavoro si è utilizzato un particolare gauge covariante non lineare (Esposito 2002). La covarianza della scelta segue lo spirito che ha pervaso l’intera trattazione; la non linearità, necessaria per
il suddetto motivo, non è una scelta particolarmente non conveniente, in quanto la rinormalizzazione
di teorie di gauge in gauge non lineari è già stata studiata (cf. Zinn–Justin 1984).
Questa scelta nacque dal tentativo di comprendere come quantizzare le teorie di gauge delle interazioni fondamentali nel caso in cui non si raggiungesse un evidenza sperimentale dell’esistenza del
bosone di Higgs (Higgs 1964, Higgs 1966). Sebbene venga dimostrato che l’intento originario non è
153
ottenibile, questo gauge ha motivazioni e caratteristiche interessanti.
Innanzitutto, essendo utilizzato nell’elettrodinamica quantistica, ove i campi di materia hanno
natura spinoriale, esso ha il pregio di riguardare come spazio fondamentale quello delle matrici ,
¾
¾
ossia lo spazio dei quadrivettori con componenti le matrici , naturalmente agenti sugli spinori di
Dirac.
Un’altra utile proprietà di questa scelta è che essa fornisce un modo gauge indipendente di assegnare una massa al fotone, massa da porre alla fine dei calcoli pari a zero su base osservativa. Gli
inconvenienti delle altre tecniche di inserire a mano un termine di massa nella lagrangiana completa
della teoria, infatti, sono che ogni tale aggiunta conduce a un propagatore fotonico irregolare nel limite di massa nulla, dal momento che la parte puramente di Maxwell della lagrangiana conduce a un
operatore non invertibile su « , dando origine ai ben noti problemi nella quantizzazione del campo
c
elettromagnetico. Inoltre, con le suddette aggiunte si ottiene in tal modo un propagatore fotonico
nello spazio dei momenti che è asintoticamente costante. In altri termini, a grandi momenti si ha una
teoria non rinormalizzabile, in cui le divergenze di un diagramma di Feynman crescono con il numero
di linee fotoniche interne. Il metodo di riottenere un modello rinormalizzabile porta ad avere funzioni
di Green dipendenti da un parametro e che descrivono uno spazio di Hilbert con una metrica indefinita e con particelle di ghost (Lowenstein e Schroer 1972, Itzykson e Zuber 1985). Il propagatore
fotonico ottenuto operando questa scelta di gauge, invece, a grandi momenti ha un andamento pari ad
avere un momento al quadrato al denominatore, come nel modello di Stueckelberg, che è l’andamento
necessario ad assicurare la rinormalizzabilità perturbativa (cf. Appendice E).
Questa caratteristica, unitamente a quella di ottenere un potenziale a corto range, nelle correzioni
radiative alla legge di Coulomb, gauge indipendente, fornisce un’evidenza di una rilevanza fisica del
gauge adoperato.
Un termine di massa nella lagrangiana dell’elettrodinamica quantistica dovrebbe essere proporzionale a « «Ác , compatibile con l’invariaza di Lorentz e di coniugazione di carica. Esso non è
c
compatibile, invece, con la gauge invarianza, che porta a pesarlo con un coefficiente nullo, in accordo
a quanto detto sulla massa del fotone.
Il primo passo da compiere per giungere all’espressione del gauge scelto è la considerazione che
«
c
« c u& c
g
«
c
« g ¾
ª
tr ; c g
:«
c
« g
b
(5.41)
La ricerca di un gauge che combini l’effetto del gauge di Lorenz e delle matrici deve tener conto
del fatto che non si può aggiungere semplicemente un termine con le matrici , perché esse sono
quadrivettori con matrici
¾
¾
come componenti. La sola operazione ben definita su tali oggetti è
154
quella che dà vita alla matrice
H
ø [ ï«Ä
d
8
y
8
[
c yÂ? c [
8
e
«
;+<
c
{
(5.42)
dove il parametro Â è introdotto per assicurare che tutti i termini in ø [ abbiano la stessa dimensione
8
(ossia Â ha le dimensione dell’inverso di una lunghezza). Il suddetto parametro di massa, invece, viene
ô
¦
definito da
. Vi è un solo coefficiente, Â , perchè soltanto un potenziale «
è disponibile
Â
c
Àk d
k <c nel caso abeliano. Il termine di gauge fixing nella lagrangiana, allora, deve
per la contrazione con
~
essere
1 ø
F kö
?«
¦
F
ª
F
¦ ø [ ?«
8
ö
[
n ø
n
8 ?«
[
n
d
¾
ª H
[
n
(5.43)
dove la matrice simmetrica è definita con quel particolare fattore numerico per assicurare la ridu
. Poichè nello spazio euclideo
zione al termine
di gauge fixing nel gauge di Lorenz quando ÂZ
¸
g
g
&c tr~ ?Sc2 e ÂyD i Â , in un tale spazio quadridimensionale si ha la seguente espressione

esplicita di
¦
~
1 :
F
ª
g
g
g
c « ¹ « g ¬Â c « Æ; 8 « g yÂ{; c 8 «
« g
c
c
1 [
8
8 c
n
e
e
e
g
ge
(5.44)
Â ? c [ ; 8 « « g c c « Æ « g ¬
yÂ « « c
c
c
[ c
8
k
k
e
e
H
dove per giungere alla (5.44) diversi termini si sono annullati in quanto contrazione di e di matrici
ö
ø [ ?«
8
n ø
8 ï«)
¾
a
¾
, che sono a traccia nulla.
Va notato che le matrici ø [ sono uno strumento per esprimere concisamente il termine di gau8
ge fixing nella lagrangiana completa; il funzionale di gauge fixing che si ottiene per tale gauge
dell’elettrodinamica quantistica, invece, non è una matrice, ed è pari a
¸þ
F
øP?«
4ø [ ï«
8
d
d
n ø
[
n
8 ï«Ä
(5.45)
b
k
f
Non si può riguardare ø [ stessa come un funzionale di gauge fixing, perchè altrimenti si avrebbero
8
sedici condizioni supplementari, il che è totalmente estraneo alla teoria elettromagnetica quantistica,
come pure a quella classica. Si può dire, in virtù della (5.45), che la matrice ø [ funge da “potenziale”
8
per il funzionale ø .
La richiesta di covarianza e l’inserimento delle matrici portano alla seguente espressione complicata per l’operatore di
ghost:
µ
H
øP?«
H
«
c
e
e+ c

Â
« c
c køP?«e 155
g
« g c
c
e øNï«e e
b
(5.46)
Si noti che per Ây
esso si riduce all’usuale operatore di ghost nel gauge di Lorenz dell’elettrodi-
namica quantistica.
Considerando una trasformazione di gauge infinitesima di parametro
P
sul potenziale «
che
ÏøNï«
Å
c « ¹ c
k
e
e
_
g
c
, si ha
« g 3= c « jL|)Pj6>E|)Pt Â « « c Â 34« 4 c ÐP Ð6> Â PÐ¹ c PÐ c
c
c
c
k
k
k
k e
e
e
e (5.47)
dove le parentesi graffe indicano l’anticommutatore. Da ciò, in virtù della (5.44) e della (5.45), per
l’equazione (5.25) si ottiene in tal caso l’espressione
| ÐP k
Â
Ð¹ c tP > c « |)P>Z| PÐÆ c « ¬Â a.« c ÐP XZ c ÐP «
c
c
c
c
c
k e
k
e
e
e
e
e
P
c
b
(5.48)
Eventuali soluzioni multiple di tale equazione sono equivalenti a copie di Gribov per il caso considerato.
Per studiare queste soluzioni, conviene suddividere l’analisi in quattro casi, a seconda che il
potenziale e Â siano nulli o meno.
1. «
c
Â-
|)PÐ
b
(5.49)
k
Questa equazione in V , e dunque nello spazio considerato, ha come unica soluzione la soluzione banalmente nulla (cf. Rubinstein e Rubinstein 1993). In tal caso, quindi, non vi sono
si ricade nel gauge di
copie di Gribov, come ci si poteva attendere dal momento che per Â¨
Lorenz.
2. «
c
ÂÊ
Ð¹ c Pt¤
da cui
(5.50)
c M
¸
þ
k
k e
e
|
P{ i Â
PÐ¹ c PÐ³O
(5.51)
c
b
k
e
e
La soluzione di questa equazione (cf. Stroffolini 2001), indicando con Pj| la soluzione dell’o|)PÐ
Â
P
mogenea associata, ovvero della (5.49), che per le condizioni al contorno date viene ad essere
la soluzione banalmente nulla, e indicando con qÍ la funzione di Green dell’operatore | , è
M
T
¸þ
c PÐ³O ?+ \ 7*+ \
P{p
P_|2 i Â
qÎÍ´?+X+ \ PÐÆ
(5.52)
c
b
k
e
e
156
Nuovamente, poichè su base osservativa il parametro di massa del fotone e dunque, in questo
modello, il parametro Â , vanno posti pari a zero, si ritrova la sola soluzione banale.
Si conlude, quindi, che nel caso in cui si consideri un potenziale nullo, come di solito accade nei
calcoli perturbativi nei gauge usuali in elettrodinamica quantistica, non si incontra l’ambiguità
di Gribov.
3. «
c

Â-
(5.53)
²ö7 c « N|)P
c
b
k
e
Ricordando, però, che per Â-
si ricade nel gauge di Lorenz, ove vale la condizione 'c « c
, la (5.53) si riduce a sua volta alla (5.49). Si ritrova, così, soltanto la soluzione nulla. e
|)PÐ
Se si utilizzasse come riferimento, in maniera più corretta, la condizione di Lorenz generalizzata
c'«
pº , l’equazione da risolvere diventa
c
e
|)Pt Ê9ö º÷|)P
equivalente ad avere
(5.54)
k
ê
ì |¡P í
(5.55)
|¡Pþ9
ö º
b
La prima ha ancora soltanto la soluzione banalmente nulla, la seconda, invece, ha soluzione
T
sP_|¤ö
P
Í2?+X_+
q
\ Eº;+ \ 7*+ \
(5.56)
b
Per potenziali non nulli, allora, possono esistere soluzioni diverse dalla nulla, il che genera
ambiguità. Il fatto che le soluzioni siano due, può essere legato alla presenza della radice
quadrata nel funzionale di gauge fixing, con un’analogia alla discussione svolta nel paragrafo
5.9.
4. «
c

ÂÊ
M
| ÐP Æ|)P9²ö7 c « _)¢Â Wö « c PÐX c PÐ¹ PÐ³O
c
c
c
M k
e
e
e
e
ö« cuPt¬Z cuPtÆ
Pt:O
c
c
|)PÊö7 c « _´ÁÂ
e
e
e
c
|)Pt
k
e
157
da cui
quindi
(5.57)
(5.58)
¸
¸
M
öW« cuPÐX cuPÐ¹ PÐ³O
c
c
þö~|Lá c « 9âÂ L
| á

e
e
c
|)PÐe
k ¸
e

dove per semplicità si è indicato con | á l’inverso di | .
P
(5.59)
Si vede, allora, che si ottiene nuovamente un’altra soluzione oltre a quella banale, il che conduce
alle stesse considerazioni fatte nel caso precedente.
Per potenziali non nulli, quindi, per il gauge considerato nell’elettrodinamica quantistica, si è
trovata la presenza di più configurazioni soddisfacenti le equazioni dinamiche anche dopo che si sia
fissato un gauge, analogamente a quanto accade nelle teorie di Yang–Mills con le copie di Gribov.
Ciò sembra suggerire, come già accennato, che la natura del fenomeno di Gribov risieda nelle
intersezioni multiple tra fibrato della teoria e superficie di gauge fixing, a prescindere da come si
verifichino tali intersezioni, e non unicamente nella natura non abeliana delle teorie di Yang–Mills.
I risultati conseguiti supportano l’idea che una soluzione dell’ambiguità di Gribov, che rappresenta ancora un problema aperto in cromodinamica quantistica e nelle altre teorie non abeliane, possa
avvalersi di tecniche sviluppate in un ambito possibilmente più trattabile, quale quello considerato. Si
è visto, infatti, che la simulazione dinamica delle patologie da cui è affetto il propagatore dei ghost,
che sono l’origine della presenza delle copie di Gribov, è ben realizzata . Uno studio dettagliato di
un modo per venire a capo di questi inconvenienti, svolto nel terreno più agevole dell’elettrodinamica
quantistica, potrebbe portare giovamento alla quantizzazione delle teorie di Yang–Mills.
158
Conclusioni
La prima parte di questo lavoro di tesi concerne lo sviluppo della quantizzazione delle teorie di gauge
in ambito perturbativo; questo aspetto a carattere locale della teoria è matematicamente e fisicamente
ben fondato. La seconda parte tratta le proprietà globali della stessa teoria, per le quali la situazione
è diversa. La teoria matematica che soggiace a tali aspetti, infatti, è composta di branche consolidate
della matematica e di collegamenti ben noti tra di esse; differente è il caso della fisica che ne fa uso.
Le implicazioni fisiche di alcune proprietà globali dello spazio in cui ha luogo la fisica delle
teorie di gauge non sono ancora del tutto chiare, ovvero non si è ancora raggiunta un’interpretazione
definitiva univoca dei possibili effetti cui esse danno vita. Ciò si vede particolarmente nello studio
dell’ambiguità di Gribov, sia nelle teorie di gauge quali quelle delineate sia in quelle su reticolo.
Dalla scoperta della simmetria BRST dell’azione del metodo di DeWitt, si è creduto che l’integrazione alla Feynman, per teorie con simmetrie locali, potesse essere definita come integrazione
per una teoria effettiva con la simmetria BRST. Ciò si deve principalmente al successo della teoria
di Yang–Mills in regime perturbativo. È stato però dimostrato da Neuberger (Neuberger 1987) che
questa equivalenza viene meno, al di fuori della teoria perturbativa. Nel suo lavoro, infatti, Neuberger
giunge alla conclusione che l’azione impiegata nella quantizzazione BRST può dar vita a funzioni di
partizione nulle, a causa delle copie speculari di Gribov che si cancellano vicendevolmente, come
pure a valori di aspettazione nulli di operatori fisici.
In altri termini, il problema di Gribov sembra contrastare il formalismo BRST (Scholtz e Shabanov
1998), con il quale si giunge alla rinormalizzabilità perturbativa delle teorie di gauge. La questione
è più sottile: considerando la cromodinamica quantistica, ad esempio, l’effetto è meno drammatico
(cf. Williams 2002). Facendo uso di gauge fixing standard, che trascurano la presenza delle copie di
Gribov, a grandi momenti l’integrale funzionale dell’ampiezza è dominato da configurazioni, giacenti sulle superfici di gauge fixing, vicino ad ogni copia. Poiché per piccole fluttuazioni dei campi le
copie non si influenzano vicendevolmente, in tal caso semplicemente si sovrastima il contributo di un
fattore uguale al numero di copie sull’orbita banale. Questa sovrastima viene eliminata tramite normalizzazione, in quanto il valore di aspettazione di un osservabile è un rapporto tra due integrazioni
funzionali; essa, dunque, diviene irrilevante. Così è possibile capire perchè le copie di Gribov possa159
Conclusioni
no essere trascurate a grandi momenti e perchè sia sufficiente usare schemi di gauge fixing standard
come base per i calcoli nella cromodinamica quantistica perturbativa. Poiché la rinormalizzabilità è
una caratteristica ultravioletta, non vi è problema riguardo la rinormalizzabilità in tale teoria.
Mentre lo sviluppo della teoria quantistica topologica dei campi può portare nuova luce sul fenomeno di Gribov (cf. Zucchini 1997), vi sono stati diversi tentativi di ovviare alla presenza delle
copie (Scholtz e Tupper 1993, Friedberg et al. 1996, Fujikawa 1996). È stato proposto, ad esempio,
di modificare la procedura di gauge fixing (Zwanziger 1990), di modificare l’integrazione funzionale
(Shabanov e Klauder 1999), di utilizzare variabili non locali in modo da non dover ricorrere al gauge
fixing (Shabanov 1999).
Ad ogni modo, finché si resti nella teoria perturbativa, un’analisi topologica dimostra che l’ambiguità di Gribov è irrilevante (Daniel e Viallet 1978).
Tutti i suddetti risultati riguardano le teorie di Yang–Mills, a carattere non abeliano. Non vi è di
solito interesse, invece, nello studio di questo fenomeno nel caso abeliano del campo elettromagnetico. Ciò è dovuto al fatto che la natura della presenza delle copie di Gribov, da un punto di vista
topologico, si ha nelle intersezioni multiple tra le orbite generate dal gruppo di invarianza nello spazio delle configurazioni. Dal momento che le scelte di gauge usuali corrispondono a una superficie
di gauge fixing topologicamente banale, l’occorrenza di queste intersezioni viene imputata alla natura
del fibrato delle teorie di gauge non abeliane, topologicamente non banale.
Invertendo i ruoli e considerando lo spazio banale dell’elettrodinamica quantistica, intersecato
però da superfici di gauge fixing non banali, l’evenienza delle intersezioni multiple tra tali superfici e
le orbite si ripresenta. Questa considerazione porta a simulare dinamicamente il fenomeno di Gribov
anche in ambito abeliano, con l’intento di ottenere maggiore chiarezza sull’argomento.
Da un punto di vista della dinamica delle configurazioni, infatti, la presenza delle copie di Gribov
risiede nell’evenienza dei modi nulli del propagatore dei ghost o, equivalentemente, nel riscontrare
singolarità nel determinante di Faddeev–Popov. L’esistenza dei suddetti modi nulli è da imputarsi
all’autointerazione dei potenziali di gauge nelle teorie di Yang–Mills, dovuta alla non abelianità dei
gruppi coinvolti in tali teorie.
Il gauge covariante non lineare impiegato nell’ultimo paragrafo soddisfa le condizioni richieste,
conservando per di più lo spirito di manifesta covarianza che ha guidato l’intera trattazione. Dall’analisi svolta nel suddetto paragrafo si evince che, sebbene in un intorno del potenziale elettromagnetico
nullo «
non si trovino più configurazioni soddisfacenti le equazioni dinamiche nonostante il
c
gauge sia fissato, per potenziali con ampiezze maggiori l’equazione di Gribov ha più di una soluzione.
Il fatto che intorno ad «
si riottengano gli usuali risultati conseguiti nel gauge di Lorenz
c
dalla teoria perturbativa, conferma ulteriormente la fondatezza dell’elettrodinamica quantistica come
160
Conclusioni
teoria di gauge. È da considerare, inoltre, che il tipo di copie trovate sembra non dare adito al gravoso
problema generato dalla copie speculari, descritto dal teorema di Neuberger.
Questo risultato sembra suggerire che la natura non abeliana delle teorie di Yang–Mills non
sia l’unica responsabile dell’ambiguità di Gribov, bensì che essa risieda nelle intersezioni multiple
tra il fibrato della teoria e la superficie di gauge fixing, a prescindere dalle relative caratteristiche
topologiche.
La concomitanza di risultati favorevoli alla presenza nel caso abeliano di configurazioni multiple,
soddisfacenti le equazioni dinamiche con un gauge fissato, ottenuti nelle teorie di gauge su reticolo
(e.g. Nakamura e Sinclair 1990), unitamente all’evenienza qui riscontrata, suggerisce che si possa
raggiungere maggiore chiarezza nello studio del fenomeno di Gribov lavorando anche in elettrodinamica quantistica. Appare interessante, allora, un ulteriore studio di questa proprietà globale in ambito
abeliano, dove si potrebbe avere a che fare con equazioni più semplici da risolvere delle corrispondenti
nel caso non abeliano.
In altri termini, un’analisi della dinamica di queste configurazioni potrebbe essere un valido ausilio
nella comprensione dei possibili metodi da utilizzare per affrontare l’ambiguità di Gribov. Uno studio
della dinamica dei potenziali nel gauge scelto, allora, a cominciare dall’analisi del soddisfacimento
delle condizioni asintotiche richieste ai potenziali di gauge, potrebbe chiarire nelle teorie di Yang–
Mills, ove non è possibile evitare che il fenomeno di Gribov si presenti (come in cromodinamica
quantistica), come trattare globalmente la quantizzazione dei campi.
La determinazione numerica dell’andamento delle soluzioni, di cui qui si è trovata analiticamente
l’esistenza, potrebbe portare maggior luce in proposito; lo stesso effetto potrebbe avere uno studio
svolto in uno spazio minkowskiano. Si potrebbe, inoltre, traslare lo studio delle configurazioni presenti nel caso considerato nella teoria di gauge su reticolo, ove è di grande aiuto l’utilizzo delle
simulazioni al calcolatore.
161
Appendice A
Teoria degli spazi fibrati
L’analisi delle teorie di gauge sviluppata nel primo capitolo richiede l’introduzione del formalismo
degli spazi fibrati e della teoria delle connessioni su di essi. Una trattazione completa richiederebbe
troppo spazio (e.g. Steenrod 1951); assumendo diverse nozioni di base di geometria differenziale
quali quelle di varietà, spazi tangenti e gruppi di Lie (e.g. Kobayashi e Nomizu 1963), qui di seguito
saranno riportate soltanto le definizioni principali e i risultati essenziali in un linguaggio orientato
verso la fisica (cf. Marathe e Martucci 1992).
A.1 Spazi fibrati
Uno spazio fibrato è, in termini intuitivi, uno spazio topologico (e.g. Pontryagin 1966) che è localmente, ma non necessariamente globalmente, un prodotto di due spazi; nel caso questa proprietà valga
anche globalmente lo spazio fibrato è detto banale.
A
A
Uno spazio fibrato differenziabile é
suB ¶ è una quadrupla ºÊ "éNÐ¶P , dove éNt¶ e
1
sono varietà differenziabili e la mappa
éÖ<D
¶ è una mappa suriettiva aperta differenziabile
soddisfacente la proprietà locale di banalità seguente:
B
A
ç
`D
Esiste
¸ un ricoprimento aperto 3j 8 6 8 di ¶ e una famiglia 8 di diffeomorfismi 8 8 á ^ 8 9<sY Ù , soddisfacenti le condizioni
A
(A.1)
¹?+X_&5´u+
=2;+X_&5{Y 8
8
b
La famiglia 3=^
8
t 1 6
8 8W
è chiamata una rappresentazione locale di coordinate o una banalizza-
1
Più in generale si può non richiedere la proprietà di differenziabilità; in tal senso è sufficiente che
spazi topologici (cf. Nash e Sen 1983).
163
[
e
¿
siano
zione locale dello spazio
A fibrato º .
è chiamato lo spazio totale,
¶
¸
é
del fibrato di é su ¶
lo spazio base,
la proiezione
e A la fibra
é X
á ?+< è chiamato la fibra di é su + Y¶ .
A tipica o standard.
d
Il fibrato *ÔfÏ¶ A Ð¶N , dove è la proiezione sul primoA fattore, è chiamato il fibrato
A
banale su ¶ con fibra . Lo spazio totale del fibrato banale * è ¶ ; per tale ragione uno spazio
fibrato generale è talvolta chiamato unA prodotto intrecciato della base ¶ e della fibra standard .
Uno spazio fibrato ºLCéÐ¶P
è indicato a volte da un diagramma del tipo
A
Ïþ]
é
¶
BSA
Si può verificare che, +EY <sÁYÔÙ , la mappa
8
un diffeomorfismo. Se JN
si pone Ê JP
[
8
8[
8
B
A

<D ÜPs
con
8[
8[
Le funzioni
la condizione
8[
8[
[
é
X
definita da &-<D
e si definisce
¸
;+<)åá X X
[
8[
8

8
;+X_&5 è
(A.2)
b
sono chiamate funzioni di transizione per la rappresentazione locale; esse soddisfano

`D
X
8
;+<

[n
;+<

n8
;+<)CïsG*=|Ð
+Y
8[ n
8[ n
²
8
JN
[
JP
n
(A.3)
A
nota come condizione
di cociclo per le funzioni di transizione. Si può dimostrare che, data la base ¶ ,
la fibra tipica e una famiglia di funzioni di transizione 34 6 soddisfacenti la condizione di cociclo
8[
(A.3), è possibile costruire lo spazio
totale
é .
A
A
Dati i fibrati ºf" éNÐB ¶N , º \ f" é \ Ð¶ \ \ \ , un morfismo del fibrato da º a º \ è una
é
<D é\ tale che mappa le fibreA di é nelle fibre di é"\ con regolarità
mappa differenziabile
e induce, quindi, una mappa regolare di ¶
commutativo
in ¶¥\ indicata con | . Si ha così il seguente diagramma
W]
#D
é
¶
\
é
W]
#± D
a
¶"\
Se ¶¶ \ , è iniettiva
A e |sÉ* Þ , in tal caso si dice che º è un sottospazio fibrato
diA º \ . Lo spazio
fibrato ºKéÐ¶P A spesso si indica per semplicità con é , sottintendendo ¶P e .
º
Se "éNÐ¶N
di tutte le funzioni da è uno spazio fibrato e ó¿YÒÑ-ïFt¶¥ , dove Ñ ?FÐ¶¥ indica l’insieme
a¶
e
º
è una varietà, allora si può definire uno spazio fibrato ó ü y
164
A.2. Fibrati principali
A
Gó ü N
é _F1ó ü
, chiamato indotto o il pull-back del fibrato
é
il sottoinsieme di vé consistente delle coppie ( '¬=yY
dimostrare che è una
x
é . Così ó<üé
¸ sottovarietà chiusa di su , nel modo seguente.
ó ü é è
vé tali che óX( 'S
e si può
è ottenuto incollando in ogni punto
la fibra á ÏóX(' su óX(' . La mappa ó ü è la restrizione aB ó ü é della proiezione naturale di
)
é su . La mappa ó si eleva all’unica mappa del fibrato ó ó ü éØ`D é tale che il seguente
diagramma commuta
vYâ
'
ó ü
ÓYÔ Ó
']ÆD
A
é
é
Ó
']ÆD
¶
B
R
Sia ºP"éNÐ¶P uno spazio fibrato. Una mappa regolare ù ¶Ø<D é tale che
ùKsG*5Þ
è chiamata una sezione (regolare) del fibrato é su ¶ . Si denota con ú¤Ï¶PéK o semplicemente con
su ¶ . Se Ëÿ ¶ è aperto, si indica con ú"é ³ Õ l’insieme delle
ristretto a . Se '¨Y- e ùYâú"é ³ Õ , allora si dice che ù è una sezione locale
ú"éK lo spazio delle sezioni di
sezioni del fibrato
di é
é
é
in ' .
A.2 Fibrati principali
A
Sia º
éÐ¶P
uno spazio fibrato. Se un gruppo di Lie Í
è un sottogruppo di ÜPs
A
tale
che, per ogni funzione di transizione
di º , ;+<YEÍ +ÔYv
e
è una mappa regolare di
8[
8[
8[
8[
in Í , allora si dice che º è uno spazio fibrato con gruppo di struttura Í .
8[
Un esempio
A importante di spazio fibrato con gruppo di struttura è il seguente. Uno spazioA fibrato
A
º¥C
éÐ¶P con gruppo di struttura Í è chiamato un fibrato vettoriale con
A tipo di fibra se
è uno spazio di Banach e Í è il gruppo di Lie degli automorfismi lineari di . Nei fibrati vettoriali
le fibre sono isomorfe a spazi vettoriali e lo spazio delle sezioni ha la struttura di spazio vettoriale;
questi spazi sono importanti in quanto le teorie di gauge possono essere formulate in termini di fibrati
vettoriali (cf. Ward e Wells 1990).
A
Uno spazio fibrato ºPØÏøåtF A con gruppo di struttura Í è chiamato un fibrato principale
su A con gruppo di struttura Í se è un gruppo di Lie e Í è il gruppo di Lie dei diffeomorfismi ó
di
tali che
La mappa óy<D
su ¸
¸
óX?& & ´
Zó>;& :&
b
A
k
k
ó>ï(4 , dove ( è l’identità di , è un isomorfismo tra Í
con gruppo di struttura Í
A
e
(A.4)
. Un fibrato principale
è indicato con øNïFÐÍ) ; esso può essere definito equivalentemente
165
come uno spazio fibrato ïøåtF
ÐÍ) con un’azione libera destra (cf. paragrafo 1.9)
Ö di Í su ø tale
che
uB
1. le orbite di Ö sono le fibre di
canonica ø<D ø Í ;
B
2. <
Ö"!
X
Í²<D
&7 , si ha
ø
<D
, ossia
può essere identificato con la proiezione
¸
á . " tale che è una banalizzazione locale di ø , scrivendo !
¸
¸
åX á "! X 7
& ´ÕX á H!
X
:&
#!
X
Y-ø
X
2&ºYÍ
X
& in luogo di
(A.5)
b
Si prova facilmente che le due definizioni sono equivalenti (cf. Marathe e Martucci 1992).
Poiché le fibre di questo fibrato sono le orbite di
Ö su ø , in generale non sono omeomorfe l’una
all’altra; è la libertà di Ö ad implicare che ogni orbita sia omeomorfa a Í , rendendo Í la fibra standard.
Il passaggio da uno spazio fibrato a un fibrato principale, indicando in entrambi i casi lo spazio totale
con é , può essere visualizzato con il seguente diagramma:
é
WSÆD
é
×
WSØ ÆD
é
Í
Un esempio
classico di spazio fibrato, avente come fibre segmenti di retta e come spazio base il
¸
cerchio , è il nastro di Möbius. Considerando come gruppo di struttura il gruppo ciclico Ì
3W(. 76 , con ( , che agisce sul cerchio scambiando i punti agli antipodi, ?+(+_+QâËÕk +< ,
k principale. Si indichi per semplicità il nastro di Möbius con é e il fibrato principale
si ha un fibrato
corrispondente
con øP" éK . øNéL è un fibrato principale non banale: se è una coordinata
¸
¸ locale su
, si deve avere ù"
ù " ö 2 , ma poiché øP"éK è un ricoprimento doppio di non si può
avere ù 'ÁCù "Äö a meno che ù faccia un salto, ovvero sia discontinua. È importante rendersi
conto che, sebbene øP"éK non ammetta una sezione, niente impedisce che é stesso ne ammetta una
(cf. Nash e Sen 1983).
Un esempio di fibrato principale che è associato naturalmente ad ogni varietà è il seguente. Sia
¸
! in un punto +Y
una varietà m-dimensionale. Un riferimento !² " ! è una base
b#b#b â
}
2 X B ?
C®3 ! ! è un riferimento in +Y 6 e 2¢ï {
ordinata dello spazio tangente ½ X . Sia Ô
¯
± X 2 X ? . Si definisce la proiezione 2¢? Õ<D attraverso !`D + , dove !Y 2 X ï åÿ
2
in realtà non si dovrebbe permettere che le coordinate locali su
questo dettaglio.
166
ÙxÚ
superino il valore
Û!Ü
, ma nell’esempio si ignora
A.3. Connessioni sugli spazi fibrati
Á?
. Il gruppo lineare generale
2
¢
q¡2
ô
_
{ agisce liberamente da destra su 2¢?
attraverso
ô
¸
S&KC9! & 8 N ! & 8 ! & 8 &/?& 8 åYq2¢

(A.6)
8
8
[
#b b#b 8 â
b
k
Si può dimostrare che si può assegnare a 2¢ï la struttura di una varietà tale che questa azione di
ô
ô
q2¢

è regolare. 2¢? ¬ïF. q¡2¢ _
è, dunque, un fibrato principale su con gruppo di
ô
struttura q2¢
; esso è chiamato il fibrato dei riferimenti di .
"!X_&5D
!
Un importante teorema sui fibrati principali (cf. Isham 1989) afferma che un fibrato principale
øP?FÐÍ) con gruppo di struttura Í è banale, ossia isomorfo, nel senso di isomorfismo tra fibrati
¸
ÍtF' ÐÍ) se e solo se esso possiede una sezione regolare globale.
principali (cf. (??) ), a ï
La banalità di un fibrato è legata alle strutture topologiche delle fibre e dello spazio base e può essere
investigato con l’utilizzo dei gruppi di omotopia e di co-omologia (e.g. Nash e Sen 1983). Un risultato
ben noto è che ogni fibrato principale definito su uno spazio base contraibile è necessariamente banale.
A.3 Connessioni sugli spazi fibrati
Sia øNïFÐÍ) un fibrato principale con gruppo di struttura Í
e proiezione canonica
su una va-
F B
F
rietà m-dimensionale.
Una
connessione ú in øP?FÐÍ) è definita come una distribuzione mdimensionale
!<D
1Wø su ø tale da soddisfare le seguenti condizioni per tutti gli !¿Y
ø :
1. ½Ý1Wø
ÈÞ1Wø
F
½
ú
tangente ½Ý1Wø ;
1Wø
F
2.
× 1

Ïø"´C|Ö Í
ü
F
1Wø
dove
Þ(1Wø
zÛ( P
YÍ
, dove
Ö
Í
ü
1' è il sottospazio verticale dello spazio
è l’azione destra di Í
La seconda condizione si può riesprimere dicendo che la distribuzione
F
su ø
determinata da .
è invariante sotto l’azione
F su ø .
F
1 ïøL , o più semplicemente 1 , è chiamato il sottospazio
=
F
orizzontale dovuto a ú o semplicemente il sottospazio orizzontale di ½L1'ø . L’unione ø dei sottospazi orizzontali è una varietà,
chiamata il fibrato orizzontale di ø . L’unione L
Þ ø dei sottospazi verticali è una varietà chiamata il
su ø , è chiafibrato verticale di ø . Un campo vettoriale FY«
' Ïø" , l’insieme dei campi vettoriali
F
mato verticale se ¨"!<ÁYßÞ]=
1 ïøL #!âYø . Si noti che, mentre la definizione di ø dipende dalla
connessione scelta su ø , la definizione di fibrato verticale L
Þ ø non dipende da essa.
La condizione (1) permette di decomporre
ogni Y½NW1 ø nella sua parte verticale =<ïâY
F
Þ(1 e nella sua parte orizzontale óXïY
1 . Se à Yá
' Ïø" è un campo vettoriale su ' , allora
di Í
167
appartengono a 'ïøL anche
B

`}àv B øCDF½-ø
definito da
ø<Dz½-ø
definito da
=
Si osservi che
ü
1
BF
ó>}àv
1L`Dz½

1

< W1 î`D
!
=
óX 1 <D
!
è un isomorfismo.
Si Fdice che il campo vettoriale à Yâ'{ïøL è ú´ orizzontale, o semplicemente orizzontale, se
à[1ºY 1 #!âYyø . L’insieme dei campi vettoriali orizzontali è un sottospazio vettoriale ma non
una sottoalgebra di Lie di 'Ïø" . Per YI'? la ú) elevazione (lift) orizzontale,
o semplicemente
Ó
Ó
Yã'Ïø" tale che
Ë . Si noti che
elevazione, di a ø è l’unico campo orizzontale
ü
Ó

Y 'ïøL è invariante sotto l’azione di Í su ø e che ogni campo vettoriale orizzontale à I
I
Y 'ïøL
Ó
invariante sotto l’azione di Í è l’elevazione di un certo 8
Y 'ï , ossia à
per un certo
ÖI
Y '? .
Le elevazioni orizzontali dei campi vettoriali hanno importanti proprietà: se Và
YäÑ?
e
, allora si ha
Ó
1.
Y'ï
Ó
yà
Ó
C?Caàv
Ó
Ó
2. ü

M
M
Ó Ó
Ó
Và O
3. óX Và ;O ) õ
b
õ
F regolare

Una curva regolare in ø , ovvero una mappa
da un certo intervallo aperto ÙâÿC
in
¡
õ
ø , è chiamata una curva F orizzontale se PY
YÙ . Una sezione ùvYú¤Ïø" è chiamata
Ñ

õ
õ
¬ X
+Y , ossia se ù
parallela se ù ;½ X ÿ
è una curva orizzontale per tutte le curve

ü
in .
B/M
e >Õ|yY ø tale che " >å |1F + M , esiste un’unica curva
Data una curva
+
#ªÆOP<D
B¬M
orizzontale >
ÆªÆO´<D ø tale che >¥ >Õ| e " >¥ _å+ Y
#ªÆO . La curva > in ø
è chiamata l’elevazione orizzontale della curva + a ø a partire da >Á|LYyø . Se ø| indica la fibra di
¸
ø su + , allora l’elevazione orizzontale di + in ø induce un diffeomorfismo tra ø)| e ø chiamato
lo spostamento parallelo lungo + .
Esistono due importanti caratterizzazioni di una connessione che sono spesso usate come definizione
di connessione. Una k-forma fY
ÏøåÞ" , lo spazio delle k-forme su ø
n
vettoriale Þ , può essere identificata con la mappa
B
! <D
x 1 !îYø
1 åÝ
½ 1WøÔ!§æ=¤ !§ç ¡!7 ½¦1Wø è <D
dove z
nVé o
168
î
Þ
a valori nello spazio
p¸ ê ê
è una mappa multilineare antisimmetrica. Data una base 3®= 6
in Þ , si può esprimere come
8
8 V
¸
una somma formale vª V 8 = ¸ , dove 8 Y
ïøL{ s .
n
8
8æ
Si definisce una 1-forma çÊY
ïøÕ_Î¬ su ø a valori nell’algebra di Lie Î attraverso la connessione

¸
ú come

(A.7)
ç1=?à 1´ Ö 1 á H=<?à 1_{ #!-Yø <ë1KY ½¦1Wø
B

dove Ö 1
Î<D
Q ì ø"| 1 è l’isomorfismo indotto dall’azione di Í su ø . Usualmente la (A.7) si
¸
scrive nella forma

(A.8)
çþï´ Ö á "=<?_
b
La 1-forma ç è chiamata la 1-forma di connessione della connessione ú ; si può mostrare che essa
soddisfa le seguenti condizioni 3
í
çþ
í
¤
í
¸
YÎ
(A.9)
|Ö ü çyp*"7á ³çÊ P
YÍ
Quest’ultima condizione significa che ç
(A.10)
b
Í
è Í -equivariante, ossia che il seguente diagramma commuta
½¦1Wø
ð
']îkÆï D
½¦1 ø
ð
ñ
Í
Ü ³
Íª]ò SÍ §D

ñ
La stessa condizione può anche essere espressa come
¸
çþ" !QÆ?½ × ï¨" !<_´p
* 5á ¹;çþ" !<:¨"!<_)
<
Yó'{ïøL
(A.11)
dove si è indicato [1 con ¨"!< e così via.
Grazie alle condizioni (A.9)
¸ si può dare una definizione alternativa di connessione in øNïFtÍ)
come di una 1-forma ç Y
ÏøåÐÍ) che soddisfaF leB (A.9). F Si noti che, data una 1-forma ç che

soddisfa le (A.9), si può definire una distribuzione
!-D
1 su ø attraverso
F
1
d
F
3à
Y ½¦1Wø
¯
ç1Qà´
6
b
Si può verificare che la distribuzione
è m-dimensionale e definisce una connessione ú
alla definizione di inizio sezione e che la 1-forma di connessione associata a ú è ç .
3
õ
Il campo vettoriale fondamentale ô
equivale al vettor di flusso s
169
del primo capitolo.
(A.12)
in accordo
Si può, infine, dare un’ulteriore caratterizzazione di una connessione in termini di una rappresentazione locale del fibrato principale øP?FÐÍ) . Sia ç una connessione su øP?FB ÐÍ) e siano 3=. t Ð6 8 8 8
una rappresentazione locale di øP?FÐÍ) con funzioni
di transizione
<D
Í . Sia ancoBëö
8[
8
ra (CY Í l’elemento identità di Í e sia ù
locale definita attraverso
<D
ø una sezione
¸
8
8
ù ?+<Ä ?+XÐ(4 . Si definisca la famiglia
3#ç 6 ¸ di 1-forme ç Y
. _Î¬ attraverso ç ù ü ýç{ ,
0

8
8
8 W8
8
8
8
8
Y
ÏÍtÎµ 0 la 1-forma canonica sinistra invariante su Í
connessione su ø . Sia
dove ç è una
0

í
í
í

Y Î . Alternativamente può essere definita attraverso
definita da ´
B
0
³
Ü
(A.13)
;&5
½ 2
%
½ Í²<Dz½ î Í
Î &PYvÍ
d
d
1
1
b
0
Scrivendo, allora,
0
ç
8[
[
ü
8[
?+<)p
, si ottengono le seguenti relazioni:
0
¸
*ï ;+<Ðá Éç ?+<¬
;+<å +-Y
8[
8
8[
8[
<s_ÏhPY Ù
(A.14)
b
Data una connessione ç su ø , si ha così una famiglia 3=^ t ç 16 , dove 3=^ t 16 è una
8 8 8 8W
8 8 8
rappresentazione locale di øNïFtÍ) e 3#ç 6 è una famiglia di 1-forme che soddisfano la condizio8 8
ne (A.14). Si può mostrare (cf. Marathe e Martucci 1992) che, data una famiglia 3=. t ç Ð6 8 8 8 8
che soddisfa la (A.14), si ottiene una connessione ç in accordo con la definizione (A.8). Quindi,
equivalentemente alle due definizioni date in precedenza, si può definire una connessione nel fibrato
principale øNïFÐÍ) come una famiglia¸ di triple 3=. t ç 16 , dove 3=. t 16 è una rappresen8 8 8 8
8 8 8
tazione locale di øP?FÐÍ) e 3#ç 6LY
. tÎ¬ è una famiglia di 1-forme che soddisfano la condizione

8
8
(A.14). Quest’ultima definizione locale è usata frequentemente per costruire una connessione usando
un’opportuna rappresentazione locale di ø .
Data una 1-forma di connessione ç su ø si definisce il differenziale esterno covariante
B
¸
S
n ÏøåtÎµ{<D
n ïøÕ_Î¬
d
(A.15)

sulle k-forme su ø
a valori in Î attraverso
d ?|Æ#!§!§!¬_
n
´Z* {GóXï|tj#!§!§!µÐó>?
Si definisce la 2-forma di curvatura ÓY
Ó

n

`EY

n ÏøåtÎµ
b
(A.16)
ÏøåtÎµ della 1-forma di connessione ç attraverso
k
d
d ç
170
b
(A.17)
Si verifica facilmente che Ó
è una 2-forma tensoriale di tipo *]tÎµ soddisfacente la condizione
M
dçþïª àv9ÓïV à çþ?jçþ}àv³O (A.18)
nota come equazione di struttura e spesso scritta nella forma
¸
dçyÓ²âç
ç
b
(A.19)
Usando la definizione (A.17) si ottiene l’identità di Bianchi su ø :
d Ó
b
(A.20)
La corrispondenza D ù definita in precedenza si estende a una corrispondenza uno a uno tra
forme tensoriali e forme a valori su fibrati vettoriali; considerando quest’ultima per una forma di tipo
A *]tÎ¬ a valori nel fibrato vettoriale *Ïø" , si associa alla forma di curvatura Ó un’unica 2-forma
Y

k
?F. *<ïøL sì che
A
A
Zù
b
(A.21)
La 2-forma è chiamata la 2-forma di curvatura su corrispondente alla connessione ç su ø .
Le connessioni sul fibrato dei riferimenti sono chiamate connessioni lineari; esse forniscono
un quadro geometrico adeguato con cui analizzare la teoria della relatività generale (cf. Marathe
e Martucci 1992).
171
Appendice B
Applicazioni del formalismo manifestamente
covariante
Come esempi di campi di gauge è utile descrivere un puro campo di Yang–Mills e un puro campo
gravitazionale in ä dimensioni, considerando specificamente le loro trasformazioni e la loro dinamica
in termini degli operatori introdotti nel secondo capitolo. A tal fine occorre precedentemente analizzare in dettaglio il caso di teorie di campo dinamiche bosoniche con fondo gravitazionale fissato,
discutendo delle simmetrie locali e di quelle globali presenti.
B.1 Simmetrie per un campo gravitazionale esterno
Si consideri innanzitutto un campo gravitazionale esterno, ovvero un insieme di componenti metriche
& g . L’azione infinitesima del gruppo dei diffeomorfismi su questo campo è semplicemente
c
H
dove
H§¦
& g c
ã
@
áÃ
& g
c
(B.1)
è un campo vettoriale infinitesimo.
La (B.1) non esprime altro che l’azione del gruppo dei diffeomorfismi da un punto di vista pas65
sivo, ovvero è l’azione di ÜPs
ï . Da un punto di vista attivo essa diventa la trasformazione
H4¦
infinitesima di coordinate + c u+]cÁ
c .
Trattando soltanto campi bosonici ed essendo questi campi tensoriali, riguardando 0 come un
vettore colonna formato dalle componenti 0 Í , l’azione infinitesima del gruppo dei diffeomorfismi su
un campo bosonico 0 è
H
0 Õ
Í ã
áÃ @
0ùÍ
esplicitamente
173
H
0¨þ0
c
H§¦
c ?q c g 0
H4¦ g
c
(B.2)
Applicazioni del formalismo manifestamente covariante
dove
H§¦
c sono le componenti rispetto alle coordinate spaziotemporali del vettore
matrici che soddisfano
c g .q h
» q
H
½
M
c
M
H
h g q
hg
c
q
M
e le L
q c g sono
(B.3)
b
Le q c g sono i generatori della rappresentazione dell’algebra di Lie di
campo tensoriale 0 .
H
H§¦
¢"ä_
{ associata con il
q2
0 stesso è un campo tensoriale dello stesso tipo di 0 e si può dare alla (B.2) un aspetto più
covariante riscrivendola nella forma
H
®
0Ä0
H4¦
c
H§¦ g ®
c ?q c g 0
c
(B.4)
dove il simbolo ; indica le derivate covarianti basate su una connessione priva di torsione con coefficienti ú c g :
h
g
®
0
Z0 Çq
ú h g 0
ú c g ú c g
(B.5)
c
c
c
b
h
h
h
Se si sceglie la connessione come una connessione riemanniana per la metrica & g , allora la (B.4),
c
applicata a & g stesso, dà
c
H
H§¦
& g
c
c
g
H4¦
c
g
H§¦
& g
c
c
H§¦ g
b
(B.6)
Si noti che la (B.2) può essere riespressa, nel formalismo del primo capitolo, come
£
c a
¿
Ä0 WÍ c
y
g
q
c
0
Í
Ó
{
H
e+ g
Ó
?+X_+ \ Á
(B.7)
e
dando la forma dei generatori infinitesimi del gruppo di gauge generato dal gruppo dei diffeomorfismi,
che grazie alla linearità del’espressione (B.7) ha costanti di struttura (DeWitt 2003)
õ
c g
aih1a a
H
cg
a M
H
M
H
h aa
c
h1a a M
H
Mg
a
b
(B.8)
Quando il campo esterno è quello gravitazionale le Ù della (2.158) sono chiamate le componenti della
g
densità energia-sforzo; ad esse si assegna il simbolo ½þc . Si è soliti introdurre un fattore 2 e definire
½ c
½¢c
g
g
H
ö H
x
& g
c
b
(B.9)
è un densità tensoriale simmetrica controvariante di peso unitario. L’equazione (2.159), valida
174
B.1. Simmetrie per un campo gravitazionale esterno
quando le 0 soddisfano le equazioni dinamiche, prende la forma
T }
ª
½
ö
dove i £ g
ah ac
g
ah a £ g
* V + \ ah ac
(B.10)
sono i flussi appropriati per l’equazione (B.6):
T }
H
& g c
g
£
c h a
H
M
cCM h1a g
¢&
c h a
H§¦
g
£
h a *VW+ \
Ô& g
(B.11)
H
M M hja c
(B.12)
b
Inserendo la (B.12) nella (B.10) con gli indici appropriatamente cambiati e integrando per parti si
trova che l’equazione (B.10) diventa
½
c
g
g
½
c
g
&
c h
½ h
g
b
(B.13)
Poiché la derivata covariante è basata sulla connessione di Levi–Civita per & g e quindi commuta con
c
le operazioni di sollevamento e abbassamento degli indici, si può anche scrivere
g
½ c g b
(B.14)
Per un dato funzionale d’azione x è sempre possibile calcolare la derivata funzionale; talvolta è
però conveniente avere un’espressione generale per la derivata del funzionale d’azione che richiede
di calcolare soltanto derivate ordinarie. Una tale espressione generale può essere trovata facendo uso
del principio di equivalenza di Einstein (applicato ai campi) per determinare come i campi dinamici
0 devono essere accoppiati ai campi gravitazionali. Il principio di equivalenza afferma che per avere
la funzione di Lagrange per i campi dinamici 0 Í in presenza di un campo gravitazionale, bisogna
prendere la lagrangiana Lorentz-invariante per i 0 Í in coordinate minkowskiane in uno spaziotempo
piatto e
1. rimpiazzare la metrica di Minkowski % g con & g ,
c
c
2. rimpiazzare le derivate ordinarie rispetto alle coordinate spaziotemporali con le derivate covarianti,
¸þ
3. moltiplicare la lagrangiana per &
, dove &¥ det ?& g .
c ¯
¯
k
L’insieme di queste regole è noto come accoppiamento minimale con il campo gravitazionale.
Talvolta si aggiungono anche termini con il tensore di curvatura, che si annullano in uno spaziotempo piatto; ci si restringe qui al caso in cui tali termini non minimali coinvolgano soltanto lo scalare
175
7
di curvatura
. Il funzionale d’azione ha, allora, la struttura generale
T }
~
7
?& g c
xv
®
1010
e le equazioni dinamiche diventano
7* V +K termini di bordo,
c
~
~
¿
e 0
~
(B.15)
e ~
e
e 0
c
c`
(B.16)
b
®
0
è una densità scalare di peso unitario,
è una densità vettoriale controvariante di peso
c
e
e
unitario e l’ulimo termine è una divergenza ordinaria.
Le regole dell’accoppiamento minimale implicano che la lagrangiana sia invariante sotto trasformazioni di Lorentz locali, le cui forme infinitesime sono
H
g
0vsq
c
ª
0óP c g H
ö
dove Pc
g
P
c
g
g
q
0
c
Ï0 ´
c
ö
ª g
P
h
g 0 c
h
q
3 ëë
ë
ë4
c g CP c h & g
h
P
0 g
g
P
ëë
6
c
ëë
è un tensore infinitesimo antisimmetrico arbitrario e
q
g
c
u& g
h
q
h
Ô&
c
h g
q
c h
(B.17)
dove per seguire la fonte si è omessi un fattore 1/2
~ e invertito i segni usualmente associati con la
notazione di antisimmetrizzazione. L’invarianza di sotto queste trasformazioni implica
~
~
H
H
(B.18)

0
Ï
0
´
e 0
e÷
c
b
0 c
e
e
Ricordando la definizione del tensore di curvatura
7
c g
h
M
Zú c g Eú c g ²ú c
M h
h M
h
si può agevolmente ottenere la forma esplicita di ½ c
g
M
M
ú g
M
yú c
M
M
M
ú g
h
(B.19)
(DeWitt 2003).
I campi di Killing che esistono sotto il gruppo dei diffeomorfismi, quando la geometria dello spaziotempo possiede simmetrie, sono noti come campi vettoriali di Killing. Se è
176
è un campo vettoriale
B.1. Simmetrie per un campo gravitazionale esterno
di Killing esso soddisfa
T }
g
c h a
£
h a * V + \ $è
è
g
c
vè g
c
(B.20)
b
¸
ä "äþ
Quando lo spaziotempo è metricamente completo, semplicemente connesso e piatto, esistono 2
ª4 campi vettoriali di Killing linearmente indipendenti, che possono essere denotati con è
e è g Ï
c k c
%è g 1 @2.KP
#ª'1ö=
Näª . In un sistema di coordinate minkowskiano, con & g % g , dove
c
c
c
b#bÆb
si ha
H
H
H
M % g h M e ?+X+ \ £ g Lï%
(B.21)
c h a
c h g
c
+ M
i campi di Killing sono più semplicemente espressi come e
è
c
g
H g
c
è
g h C
c
H
c
h % g
M
H
M
g h % cCM :+
(B.22)
b
Ognuno di questi campi soddisfa l’equazione (B.20) con virgole al posto dei punti e virgola. Il gruppo
delle cariche definito dai è
e è g è chiamato il gruppo di Poincaré; le corrispondenti cariche
c
c
conservate sono chiamate il vettore energia-momento ø e il tensore momento angolare õ g :
c
c
T
T
g
g ø ½
* g
õ
;+ ½ g h â+ g ½ h 7*
(B.23)
c
c
c
h
c
c
b
Ö
Ö
Prendendo le parentesi di Lie di ognuno dei è con gli altri, si trovano le costanti di struttura del
gruppo di Poincaré; grazie ad esse si calcolano agevolmente le parentesi di Peierls delle ø e delle õ :
Ïø
c
tø g )
õ g ì õ )u%
c
c h
h M
õ
ïø
g
M
y% g
ìõ g )
Lï% g ø E%
ø g c
c
c h
h
h
M
õ
c h
Ô%
cYM
õ
g % g
h h
õ
cCM
b
3rëë4
6
ëë
Dall’analisi condotta finora si evince che queste ultime relazioni valgono sia che ø e õ g si
c
c
riferiscano solo al vettore energia-momento e al tensore momento angolare di un insieme di campi in
un campo gravitazionale esterno piatto, sia che essi includano anche il vettore energia-momento e il
tensore momento angolare di un campo gravitazionale dinamico relativo a un fondo piatto.
Quando esistono campi di Killing, sono presenti simmetrie globali. L’esistenza di queste ultime
dipende in ogni caso dall’esistenza di simmetrie locali, da non confondere con le prime. Ad esempio,
l’invarianza di Poincaré è diversa dall’invarianza per diffeomorfismi e il gruppo di Poincaré non può
mai generare il gruppo dei diffeomorfismi. Data la priorità delle simmetrie locali, l’enfasi è stata posta quasi esclusivamente su di esse, aggiungendo i campi di Killing come un semplice supplemento.
177
Ciò rende la derivazione delle leggi di conservazione del paragrafo 2.12 molto più semplice che negli approcci tradizionali (Noether 1918). D’altra parte la derivazione attraverso metodi globali delle
parentesi di Peierls per le quantità conservate è più complicata e richiede un uso delicato della cinematica delle funzioni di Green avanzate e ritardate (DeWitt 1984). I metodi globali, cionondimeno,
hanno il grande vantaggio di consentire un trattamento uniforme delle leggi di conservazione emergenti dalle simmetrie imposte esternamente e da quelle soddisfatte dalle sorgenti interne su un fondo
simmetrico.
È bene, inoltre, porre l’attenzione sull’impronta che le quantità conservate associate a sorgenti interne lasciano sempre sul campo all’infinito spaziale, implicando che le simmetrie locali sono
invariabilmente associate con campi privi di massa.
B.2 Campo di Yang–Mills
Si consideri un puro campo di Yang–Mills in un fondo gravitazionale fissato con tensore metrico & g .
c
Il funzionale d’azione classico in quattro dimensioni è
A
T }
¸þ A
ª
g
c * +
x ¾ & < á
&
g
(B.24)
c
k
k
dove &
< è la costante
di accoppiamento
di Yang–Mills, & è definito come il determinante del tensore

A
$
« g «

¾
«
« À g . Gli indici presi dalla prima parte
metrico &² *( ;& g g
g
$
c ¯
¯
c d
c
c
c
À
dell’alfabeto greco sono abbassati e alzati attraverso 7#$ , la metrica di Cartan–Killing, e il suo inverso;
gli indiciA presi dalla parte centrale dell’alfabeto greco sono alzati e abbassati attraverso & g e il suo
c
inverso.
g ha le dimensioni di una massa al quadrato e & c g _& e & < sono adimensionali.
c
Includendo i controtermini e usando la regolarizzazione dimensionale delle divergenze, il funzionale d’azione quantistico prende la forma
A
T }
¸þ A

ª
g
c *V+
x ¾ &]< á |
&
g
(B.25)
c
k
k
A
dove
,
ä è approssimativamente uguale a 4 e & < | è la costante di accoppiamento nuda. Quando ä
¸ c g continua ad avere dimensioni di una massa al quadrato, ma & < | ha le dimensioni di una massa a
¾
x
ä¬ .
k
¾
Entrambi i funzionali d’azione considerati sono invarianti sotto il gruppo generato dalle trasfor178
B.2. Campo di Yang–Mills
mazioni infinitesime di gauge della forma
H
«
c
H H§¦ ]®
a c
c
T }
£
H $
c a
H
H§¦ $
a *V+ \
dove
(B.26)
H
;+X_+ \ (B.27)
c
b
À
Nel seguito, a seconda del contesto, il segno ; denoterà la derivata covariante di Yang–Mills o la
£
$
c a

$

$
; +X_+ \ 2¾
c
$ « À
derivata covariante riemanniana o entrambe. È conveniente adottare una notazione abbreviata in cui
la (B.26) si scrive
H H4¦ $
«
£
con
(B.28)
$
c
c
H (B.29)
£
$ $ Ü c
c
dove ora la derivata covariante è indicata con Ü
c
.
I due funzionali d’azioneA considerati sono invarianti anche sotto il gruppo dei diffeomorfismi,
purché sia inteso che «
e
g si trasformano rispettivamente come una 1-forma e una 2-forma e
c
c
che & g si trasformi come nella (B.1).
c
Sebbene i diffeomorfismi non siano trasformazioni di gauge per un puro campo di Yang–Mills,
essi lo diventerebbero permettendo che il campo gravitazionale sia dinamico con un suo funzionale
d’azione proprio.
A
g si trasforma secondo la rappresentazione aggiunta;
ciò, insieme alla sua natura di 2-forma, implica che la sua derivata covariante sia
A
A
A
A
A
$
(B.30)
¾ $ « À
g g yú M
g yú M g
g
c h
c h
M
Yc M
c
h c
h
h
À
Sotto l’azione del gruppo di Yang–Mills
c
A
dove úµc g sono le componenti del pull-back allo spaziotempo
della connessione riemanniana sul
h
fibrato dei riferimenti sullo spaziotempo (cf. Appendice A). I
g stessi sono le componenti del pullc
back della 2-forma di curvatura sul fibrato di Yang–Mills sullo spaziotempo. Come le componenti del
tensore di curvatura riemanniana, essi soddisfano un’identità di Bianchi:
A
A
A
(B.31)
g g g c h
b
h c
h c
Per un puro campo di Yang–Mills l’equazione classica di campo è
H
¸þ A
x
g ®
H ¢& < á &
c g
d
«
k
k
c
179
(B.32)
l’identità generale (1.9) in tal caso prende la forma
H
T }
H
$
«
x
a
£ c a
¸þ A
$
a * V + \ ¢& < á &
c a
k
k
g ®
c
g
c
(B.33)
b
L’operatore dei campi di Jacobi per i piccoli disturbi è ottenuto variando le equazioni di campo.
A
Facendo uso dell’identità
H H H « g «
(B.34)
g g c
c
c
si trova facilmente
H
H
g
x # $ c
u& < á
k
&
H
x #$ c
« M
¸þ
x
c
g
=#$Õ?& c Ü
k
h
g H
$
«
g
dove
7
g
Ü h yÜ c Ü
(B.35)
A
g
c ¬
Êö`¾µ $
À
g
À c O
b
(B.36)
L’operatore ø della condizione supplementare (2.45) per convenienza viene scelto come
ø
$c d
H ¸þ
$ &
k
Ü c

H e + g ¾
$
¸þ
À
e
Ciò conduce alla seguente formaµ dell’operatore di ghost:
$ ø
À
c £LÀ $
c
H $ &
¸þ
k
Ü
c
$ « À g
Ü c
&

k
g
& c
(B.37)
b
(B.38)
b
Scegliendo per la metrica ¶ della (2.53) l’espressione
7#$
¶
A
a d
Õ&S< á =
#$
k
H
;+X_+ \ ³& \ á
si trova per l’operatore dinamico
A
¸þ M
g
g
=#$å?& c Ü Ü h #$ c &]< á &
h
k
k
7
g
¸þ
k
c ¬Êö`¾µ $
À
(B.39)
A
À c
g
O
b
(B.40)
Un vantaggio dell’avere questa forma per F è che il coefficiente dell’operatore laplaciano Ü Ü h ,
h
H
sullo
quando moltiplicato per ?+X_+S\^ , diventa l’unica (a meno di un fattore) metrica ultralocale 8[ a
spazio delle storie @ che è stata discussa in termini generali nella sezione 1.10:
¸þ
g
g H
#$ c a
& <á &
#$2& c
?+X+ \ (B.41)
d
b
a
k
k
180
B.3. Campo gravitazionale
Si può moltiplicare l’espressione (B.40) a sinistra per la matrice inversa
¸þ
H
#$
#
$
a g u& < & g ?+X+ \ :& \ á
c
c a
k
k
A
(B.42)
per ottenere l’operatore in una forma che può essere esponenziata e usata per definire il nucleo del
calore
A
7
A
H H g
g
g
g
(B.43)
Ü Ü h ²ö`¾ $ À $
$ $
h
c
c
b
c
y c
À
{
Un altro vantaggio dello scegliere gli operatori ø e ¶ nelle forme (B.37) e (B.39) è che questa
scelta rende esplicito
il tipo di manifesta covarianza che conduce all’unica azione effettiva gauge
µ
invariante descritta nel capitolo 4.
$
L’operatore $ agisce su un campo di ghost che si trasforma come uno scalare sotto diffeomorfismi e secondo la rappresentazione aggiunta sotto trasformazioni di gauge. Ciò determina la
seguente relazione di commutazione per gli operatori di derivata covariante che appaiono nella (B.38):
M
A
Ü ÐÜ g O<£ Ú (B.44)
g c
c
A £ Ú sono i generatori infinitesimi della rappresentazione aggiunta definiti nella (1.52).
dove le matrici
L’operatore , d’altra parte, agisce su un campo di Jacobi
che si trasforma come una 1-forma
c
sotto diffeomorfismi e secondo la rappresentazione aggiunta sotto trasformazioni di gauge. In tal caso
l’operatore di derivata covariante soddisfa la relazione di commutazione
M
A
7
ª ,
,
Ü ÐÜ g O<
q
ª I h M g ª I
£ Ú g
c
o
h M
V
c
c
ö
(B.45)
dove ø è la dimensionalità del gruppo di Lie di Yang–Mills. Le £PÚ e le q g soddisfano le relazioni
c
di traccia
tr É£ Ú £ Ú $ )Õ#$
Le matrici q
tr
y
q
gq c
h M
{
Äö5?&
c h
& g
M
Ô&
cCM
& g h
b
(B.46)
g , legate alle trasformazioni infinitesime di Lorentz, sono quelle definite nella (B.17).
c
B.3 Campo gravitazionale
Il funzionale d’azione classica per un puro campo gravitazionale in ä dimensioni è convenientemente
scelto come
T }
¸þ 7
x¨ö6@ Vá
&
* V +
(B.47)
k
k
181
7
dove
è lo scalare di curvatura e
è la massa di Planck, definita per avere maggiore semplicità
@
possibile nella normalizzazione delle funzioni modali del campo gravitazionale come
¸þ
_¸ ù
E
Z
@ Ï÷ö
q"Ðá
ö ª Ôª á &¥ª öö¥âª
q"
( Þ
b
b
b
k
(B.48)
I controtermini nella teoria perturbativa quantistica sono tutti di ordine quarto o maggiore quando è
usata la regolarizzazione dimensionale, dunque la massa di Planck non viene rinormalizzata. Essa
non è l’inverso di una costante di accoppiamento running, bensì è data una volta per tutte.
Il funzionale d’azione (B.47) è manifestamente invariante sotto diffeomorfismi; esso è, dunque,
invariante sotto trasformazioni di gauge infinitesime della forma
H
ã
& g c
áÃ @
H§¦
& g £ g
c
c h
h
g ¢& g Ü g Ô& g Ü
c h
c
h c
£
con
b
(B.49)
Le costanti di struttura del gruppo dei diffeomorfismi sono quelle della (B.1).
L’equazione classica di campo è
H
H
x
& g
£ g
h
¸þ
þöØ@`Vá &
k
h c
7
c
k
g
ª
7
ö
& c
g
(B.50)
e l’identità (1.9) prende la forma
H
H
x
& g
£ g
h

¾
h c
¸þ
`VWá &
k
@
7
k
c
g
7
ª H g
ö c
" g
(B.51)
che si può riconoscere come l’identità di Bianchi contratta.
L’operatore dei campi di Jacobi per i piccoli disturbi si ottiene variando le equazioni di campo.
Utilizzando le seguenti variazioni
H
H
si trova facilmente
7
7
c
g
H
ú c g
h
g
& c
H
ª
ö
y& c
H
H
x
& g
c
H
& cCM & g
g H
M h
7
c
H
7
c
g
g
x c h
M
H
&
h
M
182
&
g H
M h g
& g c
H
H
& g
h
M
& g c
c
g
dove
H
(B.52)
& c g
c
g
(B.53)
(B.54)
B.3. Campo gravitazionale
g
x c h
M
ö
ª
`VWá
@
k
&
¸þ M
g
& c h &
M
g
g
y& cCM & h öW& c & h
M
7Ü
M
Ü
M
g
y& c Ï Ü h Ü
M
Ü
M
Ü h (B.55)
7
k g
g
g
g
g
g
g
M
y& h M Ï 7 Ü c Ü
Ü 7 Ü c 9Ô& c 7 h Ü M Ü

7 & cCM Ü h Ü 7 â
â
& h Ü M Ü c â
& M Ü h Ü c ²
ö7Õ& c
7 h
g
g
g
g
g
g
g
g
M y
h E
â& h M c y& c h
& cCM
& h cCM E& M c h 9u
& c h & M E& cCM & h Ô
& c & h M O
Nel caso del campo gravitazionale conviene scegliere l’operatore ø
(2.45) come
¸þ
ª
g
ø c h
&
ö
della condizione supplementare
g
g
g
& c Ü h E& c h Ü
â& h Ü c k
b
(B.56)
b
(B.57)
il che conduce all’operatore
di ghost
µ
M
c g Zø c h
£
h
M
¸þ
g &
H
k
7
cg Ü Ü h h
Scegliendo per la matrice ¶ introdotta nella (2.53) l’espressione
¸þ
g
g H
a
c
c
\
\
¶
þ6ö @ VWá &
?+X_+ =&
k
k
A
c g (B.58)
si trova per l’operatore dinamico
A
7
7
7
¸þ M
ª
g
g
g
g
M
g
c h M Æ
c h M Cc M g h
@`VWá &
?& c h & M E& Cc M & h Ô& c & h M ¹ÏÜ M Ü
¬
ö
7
7
7
7
7
k 7 k
ª
g
g
g
g
g
g
M E& cCM h E
h M Ô& h M c ? & c h
& h Cc M y
& M c h ³ O
Ô& c
b
ö
(B.59)
M
Come nel caso del campo di Yang–Mills, il coefficiente dell’operatore Ü M Ü , moltiplicato per
H
;+X_+]\^ , può essere visto come la metrica invariante ultralocale discussa nella sezione 1.13:
g
c h aM a ö
ª
`Vá
@
k
&
¸þ
k
& c h &
g
M
g
g
y& cCM & h Ô& c & h
M
H
? +X+ \ b
(B.60)
In tal caso, però, la metrica, pur avendo le proprieà desiderate, non è unica, ma appartiene a una
famiglia a un parametro, a meno di un fattore. Il coefficiente "ª del terzo termine potrebbe essere
rimpiazzato da un qualsiasi numero reale diverso da þö ä .
Al contrario della metrica (B.41) per lo spazio delle storie di Yang–Mills, la metrica (B.60) non è
piatta. La sua curvatura diventa infinita quando & g possiede punti singolari, ovvero dove det ?& g si
c
c
annulla. Si noti che quest’ultima condizione di singolarità è indipendente dal sistema di coordinate:
dire che det ?& g si annulla equivale a dire che si annulla in ogni carta possibile, ossia ogni carta che
c
183
non abbia essa stessa punti singolari. Inoltre, indipendentemente da quale scelta sia operata per il
parametro aggiustabile e per il punto di base in @ , non tutti i punti di @ possono essere raggiunti dal
punto di base tramite geodetiche.
L’inverso della metrica (B.60) è
g
c h1a M a
ö
ª
@
k
¸þ
á V9&Sá
k
Õ&
c h
& g
y&
M
cYM
& g
ö
& g &
c h
äö
h
M
H
?+X_+ \
(B.61)
b
Usando questo inverso, senzaA la delta di Dirac, per abbassare la prima coppia di indici nell’espressione
(B.3), si ottiene l’operatore in una forma che può essere esponenziata per avere il corrispondente
nucleo del calore:
A
H
H
H
ª H
M g h Ü
h g M g h M c
c
c
ö
7
ö
& g h M Ô& M h
c
äyö
M
Ü
M
ª
7
7
g c
ö

H
c
hg
M
c
h
H
M
g
H
c
7
Mg
c
h µ
7
H
M
ª
g h ö
7
H
c
h
ö
& g & h M
c
äyö
7

H
H
M gh gh
g M c
(B.62)
7
c
M
H
g
7
M
c
h Il campo di ghost c corrispondente all’operatore c g è un campo vettoriale controvariante; ciò
determina la relazione di commutazione per gli operatori di derivata covariante che appaiono nella
(B.57)
M
7

(B.63)
Ü ÐÜ g O<
g
c
c
dove i punti al posto degli indici nel tensore di Riemann indicano che
A
deve essere trattato come un
insieme di matrici äâä etichettate dagli indici @ e K . L’operatore , d’altra parte, agisce su campi
di Jacobi che sono tensori covarianti simmetrici, così la relazione di commutazione diventa
M
7

Ü ÐÜ g O
g

c
c
(B.64)
dove i doppi punti indicano che le righe e le colonne
¸ delle matrici
¸ in questione sono etichettate da
coppie simmetrizzate di indici. Queste matrici sono ä2"äþâª4> ä´HäÄâª§ e hanno la forma esplicita
7
Ç
M cg h Ê
M
ö
ª H
7
h
M
H Ç
Ç
g M c
<
h
7
M
M
g
k
c
184
H
M
7
M
Ç k
g h c
H Ç
M
7
M
h c
g b
(B.65)
b
Appendice C
Rappresentazione aggiunta
Si consideri l’algebra di Lie Î in entrambi i suoi aspetti, sia come algebra di Lie sia come spazio
vettoriale e la si identifichi con il suo spazio tangente in ogni punto. Allora la rappresentazione
aggiunta * di Î è definita da
B
Per ogni YÎ , la mappa *
Í
*
B
ÎvîÎ`D
Î
M
]
D
·
] O
·
b
manda Î in se stesso linearmente, secondo
B
B
M
*
Î<DFÎ
<D
S O
·
·
Í
b
(C.1)
(C.2)
M
Si dice che nella rappresentazione aggiunta l’elemento di Î è rappresentato dall’operatore
lineare,
agente sullo spazio vettoriale Î , definito dalla (C.2), o che è rappresentato da ]´O . In una data base
$
$
¾ À #$ , avendo indicato con e
di Î , con le costanti di struttura ¾ À #$ , * ha componenti ·
·
Í ·
le componenti rispettivamente di e di . Dunque, in questa base la matrice di * ha componenti
·
Í
¾ À #$ ; da ciò si ha la (1.52).
Un’altra rappresentazione basata sulla natura di spazio vettoriale di Î non è costruita su Î stesso,
ma sul suo spazio duale Î ü ; essa è chiamata la rappresentazione coaggiunta ed è definita da
B
B
* ü
Îv-Î ü D Î ü ]" /<D M
dove è definita da
Ï< ©«ñ%/] ] O¯©
·
·
ñ
e
ñ
©
(C.3)

·
YÎ
(C.4)
è il prodotto interno degli elementi di Î ü con quelli di Î .
Un’azione di un gruppo di Lie Í su una varietà 185
può essere definita attraverso una combinazione
Rappresentazione aggiunta
di traslazioni destra e sinistra (cf. Marmo et al. 1985), ovvero attraverso l’operazione di coniugazione;
B
essa è specificata da
Ù
B
ÍÍ²D
¸
;&<Ðó{<Dz&5ó7& á
B
Í
(C.5)
b
Questa azione lascia invariato l’elemento identico ( di Í
Ù<?&Ð(4þ ("þ&YÊÍ . Così Ù Ï (4þ ( , in
1
modo che ½ î Ù mappa ½ î Í in ½ î Í . Poiché ½ î Í può essere identificato con l’algebra di Lie
B Î di Í ,
1
questo definisce una mappa, chiamata la mappa aggiunta di Î in Î , attraverso «þ* u½ î Ù
Î `DFÎ .
1
1
In modo quasi ovvio ciò dà luogo a un’altra azione, questa volta di Í su Î , chiamata l’azione aggiunta:
B
B
«þ* ÍÊîÎ¨D Î ?&. {D «þ* (C.6)
1
b
L’azione aggiunta ha diverse proprietà utili ed interessanti. Poiché è un’azione di Í , e dunque è un
omomorfismo di un gruppo di Lie, si ottiene
«Ä*
1
Ó
"=)«þ*
1
«Ä*
Ó
Ó
"=)«þ* ï«Ä*
1
"_
(C.7)
b
È semplice dimostrare che essa fornisce anche un omomorfismo dell’algebra di Lie, ovvero
M
M
«Ä* ] Oý «þ* " jt«þ* :O
·
1
1
1 ·
b
(C.8)
Sia l’agebra di Lie Î sia il suo spazio duale Î ü sono spazi vettoriali, è inoltre facile dimostrare che
l’azione aggiunta e quella coaggiunta di Í sono lineari; esse, dunque, sono rappresentazioni.
L’azione di Í su è trasportata nell’azione associata di Î su attraverso la mappa
esponenziale. I generatori infinitesimi di sono definiti da
¡
¡
*
ô
ô
)
exp Í ¯ æ |2]
YÎ
Í
*
Il campo vettoriale
attraverso
Í
ô

Y
<D
così definito è completo, e la mappa
B
B
ô
ô

Î--
Dz½Á
<
] <DF (C.9)
b
fornisce l’azione associata
Í
Í
(C.10)
b
Applicando la (C.9) all’azione «Ä* definita dalla (C.6), si ottiene l’azione dell’algebra di Lie indicata
con * ; si può dimostrare che questa è la stessa azione della rappresentazione aggiunta precedentemente chiamata * nella (C.1). Allora
B
B
*
Îv Îv<Dz½ÁÎ "] åD
·
Í
·
con
186

Í
)
CÏ*
·

* «þ*
¡
exp
¡
Í
· ¯
æ
|
b
(C.11)
Appendice D
Gruppi di omotopia
La parola omotopia si riferisce a una deformazione continua da un oggetto topologico ad un altro;
la parola omologia si riferisce a una teoria in cui gli oggetti che sono omologhi sono considerati
equivalenti. Nel contesto geometrico, due curve chiuse in un certo spazio sono omologhe se insieme
formano un bordo comune di una regione bidimensionale nello stesso spazio. I gruppi di omotopia
consistono di classi omotopicamente equivalenti di curve chiuse e di oggetti a dimensione più elevata;
i gruppi di omologia consistono di classi omologicamente equivalenti di curve chiuse e oggetti a
dimensione più elevata. Una trattazione completa dei gruppi di omotopia e di omologia richiederebbe
troppo spazio (cf. Nash e Sen 1983); di seguito sono riportati soltanto i concetti utilizzati nel corpo
del lavoro di tesi.
Una definizione precisa dei gruppi di omotopia viene resa innanzitutto in uno spazio connesso per
archi
B9M (cf. Ward e Wells 1990). Si fissi un punto su e si consideri l’insieme di tutti i cammini
}
#ªÆO<D tali che 9 ÁC9:ª4Ás
' , ossia cammini chiusi passanti per il punto ' . Ogni tale
cammino è un loop in ' , e si denota con Ó
lo spazio di tutti questi loop in ' .
La composizione di due tali loop dà ancora un loop dello stesso tipo, dopo una riparametrizzazione. Si dice che due loop sono omotopicamente
equivalenti se le mappe che li definiscono sono
¸
omotopiche l’una con l’altra, e si indica con ïF 'S il gruppo di classi omotopicamente equivalenti
di loop in ' .
L’operazione di gruppo è indotta dalla suddetta composizione dei loop, e questo gruppo è noto
come il gruppo fondamentale di o come primo gruppo di omotopia di (sottintendendo il punto
' ). Il punto '
è chiamato punto base, e gruppi fondamentali con differenti punti base sono l’uno
coniugato all’altro.
Il gruppo fondamentale di uno spazio, in generale, è un gruppo non abeliano. Uno spazio è
semplicemente connesso se il suo gruppo fondamentale è banale.
187
Gruppi di omotopia
I gruppi di omotopia maggiori sono definiti in modo induttivo usando lo spazio dei loop in ' .
}
Quest’ultimo può anche essere reso uno spazio topologico introducendo
un’opportuna
topologia su
¸
}
di esso (cf. Greenberg e Harper 1981), che permette di
ï F '
ÏÓ
definire
ÐI" , dove I è
d
¸
il loop costante. Si può allora definire induttivamente ïF ' k
ïÓ
ÐI" .
d
V
Vá
I gruppi di omotopia maggiori risultano abeliani; qualora essi non siano nulli, ossia non coincidano
con l’insieme vuoto, lo spazio cui si riferiscono è topologicamente non banale.
Lo stesso vale per i gruppi di omologia. La loro teoria è la teoria duale della co-omologia, già
introdotta nel quarto capitolo in merito all’operatore di Slavnov.
188
Appendice E
Rinormalizzabilità perturbativa nel caso
abeliano
Seguendo la pratica usuale nel programma di rinormalizzabilità perturbativa, si distinguano le quantità nude dalle corrispondenti quantità fisiche affiggendo un pedice B (bare) alle prime. Ciò viene
espletato per tutti i campi, i parametri fisici e i parametri di gauge.
Per mostrare che anche per il gauge covariante non lineare adoperato nel paragrafo 5.11 si ha la
rinormalizzabilità perturbativa, si assuma che anche in tale gauge valga la rinormalizzabilità moltiplicativa. In tal modo si possono avere le seguenti relazioni:
A

D ô
ô
g
g
g
D
D
cÞ c « Þ ï« Þ8
ú
«
« cÞ
9Þ- ú

Þ D â
Ú c 7
c
eD
e
D î
¦
¦
Ú
(§Þ D
(
Þ- D
ÂSÞ-û
/Â
(E.1)
ú DÚ
@
A
ô
g
dove « è il potenziale elettromagnetico, c è il campo elettromagnetico, è la massa dell’eletc
¦
trone, ( è la sua carica, è il campo di materia in questione, ovvero l’elettrone, è il parametro di
gauge, Â è il parametro introdotto nel funzionale di gauge fixing e / è un coefficiente che sarà fissato nel seguito. Gli altri coefficienti zeta, ovviamente, sono i coefficienti di rinormalizzazione degli
oggetti indicati dai rispettivi pedici loro assegnati.
~
~
Indicando, inoltre,
con la lagrangiana completa, con~ ¡ Ó il termine nei campi di ghost della
~
lagrangiana, con

Ó la parte fisica della lagrangiana e con
~
~
1
Ó
~

Ó
189
1
quella con i controtermini, si trova
Ñ
~ ¡
Ñ
b
(E.2)
Rinormalizzabilità perturbativa nel caso abeliano
Le relative espressioni esplicite sono
~

Ó

~ ¡

Ñ
ö
ª
¾
¦
ª
¾
A
ª
D
D @
A
c
g
g
c
i c
Ú
A
Êª4
c
A
g
c
g
ª4¹ c « c
k
e
e
c
ÔE( ¤ c «
Z D
Â
¦
ö k
â
c
ô
Ô

ª4 i c
_/ D @
k
con
ª4:«
e
c
Â
¦
c
Ô
D
¦ c « c
ö
k
e
ª47( N c «
î
« c k d
ª
c
Â
¦ « « c ö k c
â
D
â
ª§
ô
(E.3)
{
(E.4)
ô
Àk
(E.5)
ô
intendendo con
la massa del fotone. Si noti che, seguendo il principio guida della richiesta di
À
gauge invarianza, che porta ad avere nella lagrangiana totale un termine proporzionale ad « « c
c
pesato con coefficiente nullo, ponendo
ª
(E.6)
/K
D@ ú
¡
~
si riduce alla forma familiare che ha nel gauge di Lorenz. In accordo con la (E.5), inoltre, la
Ñ
¦
rinormalizzazione di Â non è indipendente da quella di . Si ha a che fare, quindi, con un parametro
¦
ô
di gauge liberamente specificabile, ossia , e con un parametro di massa fisica
.
À
Con la posizione (E.6), allora, si ottengono le proprietà di rinormalizzabilità perturbativa richieste
a una corretta teoria di gauge dell’elettromagnetismo.
190
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Ringraziamenti
Desidero ringraziare il Dr. Esposito, per aver cambiato il mio modo di vivere la fisica, il Prof. Zaccaria
per la sua pazienza nel corso di tanti seminari, il Prof. Abud, per aver colmato alcune inevitabili inesperienze, e la Dr. Masullo, per la sua gentilezza. Per la loro disponibilità, inoltre, vorrei ringraziare
il Dr. Stornaiolo e il Dr. Avramidi.
Questa tesi, poi, non esisterebbe senza il prezioso aiuto di Alessandro, Stefano e Massimo; né
senza l’inestimabile vicinanza della mia compagna Sabrina.
Non ci sono parole adatte per ringraziare i miei genitori, per il loro appoggio incondizionato, i
miei fratelli, per il loro aiuto e la loro sopportazione, i miei nonni, per tutto.
Sento di ringraziare per questo traguardo le persone che mi sono state di stimolo, Ivania, Renato,
Donatella; quelle che hanno ampliato i miei orizzonti, Paolo e Anna, Davide e Alessio; quelle che
sono state sempre un punto fisso, Andrea, Gianluigi, Barbara, Gaetano, Alessandro; quelle che mi
sono state vicine nei momenti difficili, Antonio e Luca; quelle che mi hanno accompagnato negli
studi, Gennaro e Luca, Alessia e Marina; e quelle che hanno reso vivibile l’ultimo anno di lavoro,
Caterina e Marianna, Emilia e Raffaele, Fabrizio.
Ognuna di queste persone, e ogni altra che l’emozione cela alla memoria, è stata parte del lungo
cammino che ho percorso per giungere sin qui; non avrebbero potuto renderlo migliore.
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