Studio asintotico del moto di un punto su una linea

A NNALI
DELLA
S CUOLA N ORMALE S UPERIORE DI P ISA
Classe di Scienze
L UIGI A MERIO
Studio asintotico del moto di un punto su una linea chiusa,
per azione di forze indipendenti dal tempo
Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa, Classe di Scienze 3e série, tome 3, no 14 (1950), p. 19-57.
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STUDIO ASINTOTICO DEL MOTO
DI UN PUNTO SU UNA LINEA CHIUSA, PER AZIONE
DI FORZE INDIPENDENTI DAL TEMPO
LUIGI AMERIO
un
t
+
--
00,
recente lavoro
integraliÌ
C
(Nlilano)
studiato
(1)
dell’equazione
1
comportameuto asititotico.
per
B costanti
positive), nell’incognita y (t).
al Bottani (2) nello studio teorico
sincroni e(1 è anche l’equazione del Jl1oto di un punto che descriva
circonferenza, in iiii piano verticale e iii un iiiezzo che opponga resiB,
La
dei
una
(1) si è presentata
stenza viscosa, sotto Fazione (lellil gravita e di una forza tangenziale costalte. La stessa equazione e stata oggetto di una ricerca del Tricomi (3),
allo scopo di determinarne una soluzione che sia somma di una funzione
lineare e di una funzione periodica del tempo t.
che ho chiamati
integralii della(1) si suddividono 111 tre
rispettivamente: integrali
(1)
L
AMERIO,
integrali
Determinazione
delle condizioni
Ann, di lB1at.
zione
l,a
(2)
integrali
di stabilità per
Vnl. dedicato
gli integrali
di
F. SEVKRI.
Rond del Sem. Mat.
matematica
un’equa-
n
Milano Vo1. IX, 1935, pp. 181-183.
e) F’. TRICOMI, Integrazione di un’equrtzione differenziale presentatasi
di Pisa, Serie II, Voi. ll,
della R. Norm. Sup
pp, 1 20.
in
e
di
Ann.
tali nei senso che a questa pai-ol.-.
instabili risultano effectivamente
di pochissimo dn quelle
n condizioni
iniziali
Meccania, prechè
che caratterizzano nn integrale instabie viene a corrispondere un integrale stabile o nn
stabili (o divergenti)
integrale divergente. Lo stesso non avviene invece per g.li
alterando di quantità abbastanza piccole 1P condizioni inizia i relative llo nno lli
(1)
Gli
si dà iu
tali
La,
integrali, alle nuove condizioni corrisponde
stabilità considerata è, naturalmente, stabilità
nel campo
lori del
tempo successivi all’istante ixiizilh.
integrale stabile (o
futtwa (ctr. G.
II, pp, 1 :1) perchè
iiii
divergente).
Equazioni
~~ r feriace ai 5~~-
20
priniii
tendono al1
corrispondente
,
,
di equilibrio statico stabile
punto sullU circonferenza ;i
=
al
n
secondi tendono
valore fl
a, corrispondente alla posizione di equi
librio statico instabile; gli ultimi (clie possono anche mancare) tendono a
+ oc, come la soluzione di Tricomi.
i vrrri tipi di integrali
Le condizioni iniziali che
inolindividuate una volta noti gli integrali
tre
Poichè questi sono due, caratterizzati da ben precise condizioni, si ricava che la conoscenza dei due soli integrali instabili permette (11 dedurre il
comportamento asintotico qnalitativo di tutti gli integrali della (1).
Scopo della presente Memoria è di estendere i risultati ottenuti per a
alla
posizione
(1),
studianrdo
con
,f ~y , y’) funzione
l’equazione,
assai
più generale,
/~(2/?~)?
((lle
di y’
(2) è Inequazione del
designi l’ascissa
qualunque (in cui y
funzione del posto P dcHa
Se poniamo j)»1
La
(2)
iit-
per
e
1l10to
pf1’
(li
di JI,
cornc
un punto Q
ogni y,
una linea r
l’azione (li una forza
sii
curvilinea) sotto
si scrive nella
forza che agisce sul mobile appare
F (y), funzioue del posto, e una
una
funzione del posto e della velocità,, nuna per y’ == 0
(3) si scrivono anche, per le (4) e (5),
modo, la
forzac 1notrice
e, in tal
come
la differenza tra
R
e
crescente
con
(y , y’),
y’,
Le
21
e
sono
largamente verificate se,
diventa infinita con y’.
Poiché risulta, per la (5),
sii 1’ corrispondono alle radici
come
avviene in molte
applicazioni,
R (y , 0) 1 0, le posizioni
dell’equazione
di
equilibrio
Il
(y, y’)
statico
Noi supporremo tali radici (se ve ne sono) tutte
Allora se, in
radice y , -isiiltt
(y)
U , y è, su F, itit(c posizione di equilibrio
tico stabile;
risultlt F’ (y) &#x3E; 0, y
nna posizione di
equilibrio
statico instabile.
Chiaineremo stabile
un integrale y (t) della (2) se, per t
+ 00, il punto
sii
una
di
statico
Q(y(t» tende,
posizione
equilibrio
r, a
stabile ; instabile
Se Q tende íL una posizione di equilibrio statico instabile; infine diremo diun integrale
oo (a seconda che F (y)
ce y (t) tende a 1-- 00 o a
abbia, in un perio(lo, valor medio u positivo o negativo.
Come risulterà dal segtuito, sono qneste le sole eventualità che si possono
presentare. Inoltre gli integrali instabili sono lll numero fiuito e la loro conoscenza permette, anche per la (6), di individuare le condizioni iniziali clie
caratterizzano gli integrali stal)ili e gli integrali divergenti.
Questi ultimi hanno poi, per t
-t- cxJ , un eoml)ortamellto che può
assai hen precisarsi. Si dimostra infatti sotto una larghissima condizioneche tGlt
di
integrale divergente è
funzioine lineare di t, di nna funzione
e di
per t
-j-- 00. Il termine infinitesimo manca 111 corrispondeaza della soluzione di Tricomi (che esiste anche per
la (2)).
lineare e il
Inoltre, zl
Ner’iocizco sono sostanzialmente i
tutti
si
iier
gli
poichè passa dai te - i i ti relativi a zcct integrale (t
(t
un
con nno spostamento dell’origine
dei
quelli relativi
-
-
--
1.
-
ill
quel che segue (senza pregiudizio della generalità)
che
(lii y,
2 ¡r.
(y ;y’)
eocaze ,
Osserviamo poi che, per le condizioni precedentemente indicate, esiste
ed è unico l’integrale y (t) della (2) soddisfacente alle condizioni iniziali
comunque siano scelti to,
Mostriamo che
Si l~a
per le
i valori di y e jy’) ~
dove
il massimo della
(4)
y(t) è prolungatbile
e (5) (osservando
,
funzione )I
.
in tutto l’intervallo
che
è y’ R (y, y’) &#x3E;
0 per tutti
22
La
tesi segue allora dall’osservazione che, tutti
gli
dell’equa-
zione
prolungabili nell’intervallo
Consideriamo ora l’intervallo
c&#x3E;J
2013t0
10 =
to, ld (2) xi trasforma nell’equazione
sono
-
e
osserviamo che.
posto z _= -- t9
--
funzione
con
della variabile u.
il massimo di
I J’ (y , u Ì ) per 0
un
y 2n nun
valore a &#x3E; 0~
y ~t)
è
/(//) I
(6)
--
CX)
se
W
to7 cioè
esiste
sit tutto l’asse t.
Importa però rilevare che,
prolungabile in t1ttto
se
Consideriamo
Prendiamo
infatti,
y’
ad
1«
non
,essere
oo
(9), l’integrale
y
(t) può
non
--
esempio, l’equazione
in modo che
sia i-’JyÌ
e
integriamo
tra i
Si ha
Se ora facciamo decresceret a partire dai valore to ,
lo sia anche il primo deve risultare
bro è negativo:prechè
(5) L. AMERIO,
6)
l’u
Rend R. Acc. d’Italia, Serie VII,
L. AMEuro, loc. ojt. in (5), l’..i19,
lo studio
di Analisi per
III, 1942,
p. 421.
il
secondo
mem-
quindi
moti
23
(essendo f (y’) funzione decrescente). Se
allora risulta
è necessariamente
finito,
cioè
l’integrale y (t) non è prolungabile per
Osserviamo infine che nella (6) si può
seguito) non negativo il vltlor
,u di F
lo faremo sempre in
nell’intervatllo 0 2 :
(e
(y)
Ammettiamo infatti che sia
e
operimno
sicché
la
l’equazione (2)
In
del
(z, z’)
per la
Si ha
poi,
2.
Se poniamo
ordine
-
primo
nelle
trasformazione y
_
-
z.
Si trova allora
si scrive
è funzione decrescente di z’
e
risulta,
per le
(3),
(11),
y’ ‘ p,
incognite (y (t) 1 p (t)~,
la
(6) equivale al sistema di due equazioni
24
Questo può
avere
come
costante
(a, b}
soltanto la soluzione
{y , 0} ,
essendo y una radice dell’equazione k8).
Le soluzioni cnstccrzti corrispondono perciò alle
tico del 1nobile sulla linea T. Esse vengono a
posizionii di
se F (y) non
sta-
si
’
’Le altre soluzioni (y (t), 11 (t)~ definiscono nel piano (y , p) delle linee regolari L (dotate cioè di tangente variabile con continuità), dette, secondo la
dèl sistema (12). Che tali linee siano regolari
consuetudine, le
segue immediatamente dall’osservazione che se, per un valore t, risulta
y’ (t) - p’ (t) 0 ~ è anche, per la prima delle (12), p (t) = 0 e quindi
(t) , p (t)) == o. Dalla seconda delle (12) segue allora F (y (t» ~ 0 ~ cioè
è
y (t) una radice della (8). Per il teorema di un cità si ha allora, per ogni
contro l’ipotesi che {y (t) , ia (t)} definisca una caratteristica.
Si noti inoltre che, in virtù di quanto si è detto nel § 1 e di un teoren1a di Bendixson (7), se la caratteristica L ha
parte L’, corrispondente
ai valori t c t’, la
si
in
limitato del
(y ; p),
oo + 00.
(y (t), h (t)~ è definito in
Osserviamo ora che le caratteristiche del sistema (12) corrispondono a
e sole le soluzioni, nel piano {y , y), dell’equazione differenziale del
primo ordine
R (y
-
Questa ha come p1tnti singolnri (nel senso di Poincaré) i punti (y, 0),
dove y è una radice della (8).
Si noti che, per la prima delle (12) e per la (13), un arco di caratteristica situato nel semipiano p ~ 0 è percorso, al crescere di t, da sinistra a
destra, un arco situato nel semipiano p C 0 è percorso da destra a sinistra.
Inoltre una caratteristica che incontri 1’asse y (in un punto non singolare)
incontra tale asse ad angolo retto.
Infine, nessuna caratteristica passa per un punto singolare in corrispondenza di un valore t’, firlito, di t perchè in tal caso coinciderebbe con
la soluzione costante
o~.
~y ,
3.
-
Per
quel
LEMMA I.
(7)
I.
BENDIxSON,
Vol. XXIV, 1901, p. 7.
che
seguirà
abbia.
conviene dimostrare alcuni lemmi.
del
ordine
nell’incognita
equations differentielles, Acta
q
(y) :
Math.,
25
cun
1jJ
il
W
(y , q) funzione continua nel dominio
e f3 (y) funzioni periodiche,
(y , q),
=
di y, sia
íit
punto di I)).
dii
q
(con (y, q)
Allori,
linea
lcc
.se
=
zione q - q (y) nel
Si
ha,
per
senso
2 n,
2 7r
e
e
continue. Inoltre
per ln (14) ualga
(y)
condizioni iniziali q
di
contenuta i t
+
oo
=
yo)
(oppure
anche,
-
in DI uit
è asintotica Lcc sol-tc-
D5
di pei-iodo 2 -,7, al
che 9-isiilt(t
ipotesi,
37r)-=-(y0) i integrale q (y) è periodico, di periodo
(yo + 2 n) &#x3E; q (yo). In tal caso è anche
Se è
Sia ora, ad
Infatti,
per
periodo
di
nell’intervallo yo 1-
(14)
integrale q q (y)
integrale periodico q = q* (.N,),
rcrrcL
ni
per la heriodicità di
anche la funzione q1
y~ (y , t~)
come
funzione
integrale della (14)
(y) = q (~ -~- 2 ~r)
unicità, la linea integrale l0 di
(y)
punti comuni con la linea1 di equazione q = q (y;.
Poichè risulta
sarà allora,
cioè varrà 1a (16).
2
71-
è un
e, per il teorema
di
non
per
di y,
può
avere
&#x3E; y« ,
Posto
le funzioni q,,
scente,
(y) (tutte integrali
della
(14)) costituiscono
risultando
Esiste perciò il limite
ed è
Inoltre si ha
cioè
q* (y)
è funzione
periodica
(li
periodo
2n,
una
successione
cre-
26
Si ha
poi
Se H è il
dalla
(14), integrando tra yo e y,
massimo,
iii
D,
di
i V (y, q) ,,
quindi per ili teorema di Arzelà-Lebesgue,
limite sotto iL segno di integrale.
Ne segue
e
/~ (y)
risulta infine,
è
lecito nella
Inoltre, dalla continuità,
q* (y)). Dalla (19), derivando,
8 funzione continua.
W (y ,q) segue la continuità di V (y ,
allora che q* (y) è un integrale della
(18)
passare al
in IJ, di
si ricava
(14).
Dalle (18) e (19) si deduce inoltre, che la successione ~q" (z)) converge
a q* (z) uniformemente nell’intervallo Jii
Perciò, preso ad
arbitrio E &#x3E; 0, si può determinare in corrispondenza un indice ne in modo
e qualunque sia z in J, risulti
che, per
Poniamo
Dalla
cioè la
ora
(20),
y = z + 2 n JT
per ,
e
osserviamo che è
~75 segue
(15).
in D,
Nelle stesse ipotesi del
11.
I, se la (14)
soluzione periodica q = q* (y), questa ha, recessariamente il periodo 2 n.
di q, tale soluzione peInoltre, se (y , q) è funzione crescente (o
è unica.
Supponiamo che esista una soluzione q -- q (y), periodica e di periodo
Y; Esiste allora, per il lemma I, anche una soluzione q = q* (y), periodica e
di periodo 2 ~75 cui è asintotica q (y).
zcna
27
Diimostrianmo clie
Infatti,
preso li
risulta, necessariameute,
&#x3E; 0, possiamo determinare 178
in modo
che,
risulti
periodicità e continuità di q* (y) si può poi determinare
modo che, per ogni coppia
Y2) soddisfacente alla limitazione
la
in
risulti
Per
sarà
alluia,
per le
(22)
e
(23),
Prendiamo ora, ad arbitrio, un valore y e determiniamo
bile) due interi positivi m,it in modo che sia
risulta
Posto
allora,
(come è possi-
per le
(23) e (24),
per l’arbitrarietà di y e di 8, si ricava la (21).
Il resto della tesi segue da una opportuna generalizzazione di una proposizione del Tricomi (8) (relativa alla (1)1.
Supponiamo infatti che y (y, q) sia funzione crescente di q e che esista,
oltre a q (y), un’altra soluzione, q (y), periodica (e necessariamente di periodo
2 ~~. Sarà, ad esempio, per il teorema di unicità,
e
quindi,
Poichè risulta
(~) F. TRICOMI, loc.
cit, in
(3),
y, 7.
28
integrando la (14) nell’intervallo O I -2 n
zioni q (y),q (z/), si ricava allora
ciò
Infatti
4.
-
della
()
Per le
~-I ~
due xolm.
risulta
funzione crescente di q
per t -·
dapprima il
(6) supponendo
in tutto
una
corrispondenza delle
Studiamo
gli í ute,grccli
ha
e8sendo
iu
+
oo? de-
n.
(3), l’equazione
unica solnzione
y - ()
funzione
continua. periodica e di
o
Inoltre, poicliè
risulta
si ha necessariamente
O (essendo
p)
funzione decrescente
29
La linea a, di
di
per l’equiazione
è
situata
delimitato
iipl
-r
il
dominio
detto
(13)) perciò
poi
r
da
U
e
è
che
e
osservando
inferiormente dall’asse y,
superiormente
si ricava
Siano 1Jl
il minimo
interni
nel
punti
nei
punti esterni
a
T
H T.
il
massimo, positivi, di (/) e sia
a, alla condizione
integrale dell’equazione (13), soddisfacente,
iniziale g(a):=:B con
e
un
2013
Dimostriamo clie la funzione
soddisfa ivi alla limitazione
g (y)
e definita nell’intervallo
(‘?G) segue dall’osservazione elle g (y) è funzione crescente nei punti
della striscia
interni a r, decrescente nei
punti esterni a z. Non può allora essere, nd esempio, iii iiii punto
con
per
perchè esisterebbe un
Allora q’(y) dovrebbe essere positiva in an punto E1 dell’intervallo ~ - y~ ciò che è assurdo perchèi
li oltre g (y) è definita nell’intervallo a- i- oo. Infatti, detto ii
mo snperiore dei valori di y
cui é definita lu funzione l/ (y), si
la
per y 71, integrando
(lls),
ed
è,
iii 1&#x3E;,
30
con K, costante
limite finito
positiva. Perciò,
è
finito., g (y) tende,
per
Se a.llora si pone
eguale a questo limite, si può prolungare la lia ea
=
n
integrale p g (y), partire dal punto (ii ,g (q)) ; i~~ un intorno destro di n ,
ciò che è assurdo. Deve perciò essere ii = + oo .
il
oi
Esiste tlloi-a,
2 ;7 ,
I ~5 una
(13) :
so
(y ,
Inoltre la,
che rzsulta
(v)
è
Proviamo ora che ngni
1» , allcr, caratteristica
pei. t abbastcrnza grande,
alla
+
L
di
1)* (y),
è
(y (t), p (t»
nel
p
p* (y) ,
cartesiana p = g
w
g
(y) , Inoltre,
e(1 L ha,
osservando che fuori di
z
piano
che l~
(y) e vcr,le lcc (28).
P (y,p) al di so-
Supponiamo infatti, dapprima, che L abbia un punto
_P &#x3E;_p* (y). Allora L è (per il teorema di unieità)
perciò
sen-
nel
pra di L* : sia cioè
a~I di sopra di L* : ri-sulta
nel
un’equazione
la
è
dy
sempre
carte-
negativa.
’
si ricava clie g (y) non potrà mai superare, per y &#x3E; y, il più grande, N ;
dei due numeri p ,M
sarà inoltre p &#x3E; m . La funzione g (y) risulta allora
definita nell’intervallo y 1- + oc e soddisfa alla limitazione
Per il lemma I la soluzione
g (y) è perei ) asintotica a una. soluzione
periodo
periodica,
2 c _-_ 1 (y), goddisfacente alla medesmia limitazione.
Ora posto, per q&#x3E; 0,p =q, Ri trova che q (y) soddisfa per la (13)
all’equazione
di
...
31
risulta funzione decrescente
di q, nel semipiano q ] O . Poiché
nella
striscia
questa equazione
può ammettere,
c q c ’2 , per il
lemma II, due soluzioni periodiche distinte, si conchiude che è h (y) _--- ~~ (y)
e vale la (28).
Supponiamo ora che L abbia un punto I’ (y , p) (le coordinate di P sono
indicate nella fig. 1 con (a,~) o con (y , Ö), nei due casi considerati) al di
sotto di L~ . Allora,se è
la tesi è già stata provata ; se è 0 p
1n ,
-I y1 di y : risulta
g (y) ha andamento crescente in un intorno
la caratteristica
il minore dei due numeri m e
p (yi) &#x3E; 0 e, detto
.~ risulta contenuta, per y,-,~ y, , nella striscia
e si conchiude
che è ancora asintotica alla p* (y) .
Supponiamo infine p ~ U . Scritta la (13) nella forma
dove y (y,q)
non
si trova che y è funzione
decrescente di
per
p --- 0 .
Si lia,
poi,
per
il minimo
nella striscia
Perciò .L interseca l’asse y 111 un punto ~ situato alla destra
dell’intersezione di tale asse con la retta i- spiccata dal punto P con coef-
ficiente
tale
angolare v °(rispetto
all’asse
P
si ricade nel
y). Prolungando poi L a partire
da,
caso precedente e si deduce la tesi.
intersezione,
Si noti inoltre
soluzione periodica della (13).
!
se
un’altra
esiste
soluzione 11 Vi (yl , periodica e di periodo 1-,
Intatta
e allora, per qnaoto si è detto nella
questa deve essere asintotica a
dimostrazione del lemma 1I~ coincide con p (y) .
Si riconosce iufine immediatamente che, per t -· + oo , t2c,lte le
della (2) soi o divergenti a + oo ,
Sia infatti L una caratteristica qualsiasi.
&#x3E; t abbastanza grande
L avrà un’equazione p = p (y), con
per la,
della
(12), è
32
si
e
ricava integrando
tra i limiti
5
quindi
ed y tendono
Risulta perciò
contemporaneamente
cioè la tesi.
Possiamo inoltre
totico,
per t
--.
+
in 1nodo assai
oo , della
y (t)
0,Sigi-
il
che,
ilei
punti
della,
ca-
L*,
per essere m c (y)
(32) è
soltanto per m
p- M .
pe1’ p &#x3E;
Consideriamo ora una caratteristica L #y (t) . ? (t)} e prendiamo t CORÌ
grande che, per 0
abbia, nel piano (y, p), an’equazione cartesiana
alla (29). Poniamo inoltre
oPe
soddisfa
p (y)
p ~ p (y),
Osserviamo,
innanzi
tntto, che,
Rp (y ; p) &#x3E; O
e, per"
Segtie
da cui si
allora dalla
(30) liquazione
risolvendo
rigpetto a y ,
33
Posto
si
poi
per le
(33)
e
(34),
Dimostriamo
finito,.
Si lia
p
quincli
risnltn
e y,
(28) e (29) è poi
lalla
(37)
è funzione
cioè
e
inoltre che la differenza
lo stesso avviene di
segno
funzione crescente di p.
a,
(32),
(13),
pPU
quindi integrando
Per le
e
infatti,
vale la
se
Annali dMt Scuola
Sup, -
integrabile iiell’iiitervallo .
sempre lo stesso
R (y, p) è
perchè
34
Ne segue che anche
l’integrale
."
’
esiste finito.
Osserviamo ora che
(y, p* (y)) è funzione periodica e continua di y.
Per la (32) si può allora determinare un numero c5 &#x3E; 0 in modo che la
funzione
(y, p) abbia un minimo o &#x3E; 0 nel dominio C(
Per la~ (28) esiste poi un valore
elhe, per y ~ ~~y risulti
-
Indicato
ha
per y
(y)
conveniente valore compreso tra p
un
&#x3E; y8 ,
Perciò anche,
Se supponiamo, coine é
e
è
possibile,
nell’intervallo
si hn poi, per ?i
integrabile
b
quindi risulta provata la (36).
Osserviamo ora che, posto
si ha
con
(y)
(9)
funzione continua
Da,lla (35) seyue poi
e
(9) F. TRICOMI, loc. cit.
(3),
z (~)
in
periodica di ~,
p. 15,
di
periodo
7B
e
p* (y)
si
35
posto
Risulta inoltre per le
Per le
(~8) e (39)
(31) r (36),
si ha allora
avendo posto
risulta
si
Infatti,
(li z
(E) ,
ae
&#x3E;
0 111 modo che
può detennijmre.
continuità
N
sia
i
Ìrl
(40)
si
6
dalla
Dalla (41)
quindi
t 111 modo che
jlNl’ t ra ts,
Il
risulti
allora
t &#x3E; 1,,
~
poi prendere te
(40) si ricava
perciò
una
la
(42).
rale ln
(32),
funzione lineare di t, tli
(t)
eri pe.
36
T e di una
due
infinitesirna per t + 00. liioltre i
termini di tale somma sono sostanzialnente indipendenti dall’inegtrale cona,
siderato
(i quelli relativi a
passcr d(ii
2cn altro integrale con uno
dei
dell’o1’igine
-
poiehè si
Indichiamo alcune proprietà delle caratteristiche, nell’ipotesi che
5.
abbia
tutti semplici.
degli zeri,
F(y)
Questi sono allora necessariamente in numero ,finito nell’intervallo
U 1--1
perchè, se fossero infiniti, esisterebbe uno zero E di accurnnlazione
e risulterebbe F’ (E) ‘ 0 , ciò che è assurdo. Il numero delle radici nell’intervallo O 1-- 2 n è poi pari. Infatti se è F (O) = O, poiché si ha F (2 r) _
= F (0) e gli zeri di F ~ y) sono tutti semplici, F (y) si annullerà necessarie.
mente in un numero pari, 2 s,5 di punti interni all’intervallo considerato. Se
poi è ~’ (0) = F (2 ~c) .- U e supponiamo, ad esempio, F (y) y 0 in un intorno
di 0 , sarà
in un intorno sinistro b ’-- 2 n
destro
ha
un
numero
perciò l’equazione F(y) = 0
dispari, 2 s - 1 , di radici nele
un
numero
l’intervallo a
quindi
pari, 2 s,9 nell’intervallo 0 w 2r .
semPer la periodicità, a qualunque intervallo y 1-2.s’,, di radici di
pre lo stesso
Indicherelno con
(k - - O, + 1 , + 2 , ...) la successione delle radici
oo
nell’intervallo
supporremo inoltre, per fissare le idee, che
+
e che nell’intervallo 0 1-- 2 7 cadano le rasia F
-
--
-
;.
Studiamo
ora
l’equazione (13) nell’intorno dei suoi punti singolari
,
Detto
(y)
p
il coefficiente angolare della tangente a
passante per il punto Ni, si ha, per la (13) ,
risulta Ry (y , 0) - O .
Si ottiene in tal modo l’equazione di secondo
una
perché
da cui segue
grado
in
linea
integrale
37
Poiché f"
(Ylk) &#x3E; 0 ,
Il punto Nlk è
Invece il punto
Per il punto
perciò
plessivamente quattro
tivamente,
come
risulta
un
è
colle.
nodo o un
due linee integrali della (13), formanti com.
caratteristiche del sistema (12), che indicheremo rispetitit
passano
nella
(10)
ngura 2,
con
-~2~ ? tJ2k, ~k~
Di queste caratteristiche, due
ed 85k sono percorse dal punto
P
(y ~t) , ~ (t)) =
t , nel
verso
l)
1)
-
(t),
al
crescere
di
ed
S~k ~y
nel verso opposto.
Da quanto è stato detto si deduce cbe le caratteristiche R~k ed
sono le
uniche caratteristiche instabili
sono i soli punti che
perchè i punti N2k
corrispondono a una posizione di equilibrio statico instabile sulla traiettoria
I’. Per llt periodicità, esse rzsultarzo individuate una volta, note quelle relative
ai
1, ... ,s di k.
ed
Quanto alle caratteristiche
possiamo rilevare che, per quel
che si è osservato nel § 2, esse sono definite per t variabile nell’intervallo
00 -- + C&#x3E;0 .
Dimostriamo
e
questo
tanto
se
ora che non csistorco, nel piano (y ,p), caratteristiche
,w considerano intervalli finiti quanto intervallz infiniti del
Per provare la tesi, procediamo nel modo
cati entrambi i membri per y’ (t), segue:
seguente.
Dalla
avendo posto
(") Cfr.
F.
differenziali, Eiandi, 1948,
p. 71.
(ti) , moltipli-
38
Dalla
è
non
(45)
segue che la funzione
decrescente. Più
(t) è
Iufatti dalle
e
t~
di
precisamente,
lj
{y (t) , p (t)
lfc
(45)
(47)
e
segue
a secondo
si annulla solo 8e è ’ (y , y’) = U in tutto
cioè per y’ (t) = í~ ~ -~ ~t) =~ cost.
y’ R (y , y’) ~ ~ per y’ =~= 0) :
in tal caso, per 11 teorema di unicità, è y (t)
cost., per tutti i valori
t, contro 1’ipotesi che L sia una caratteristica.
di equazioni
Consideriamo ora, nel piano ( y , p), la famiglia di linee
l’integrale
--
con
A contante arbitraria. Per ogn
P
linee
(yo - Po)
Dalla
~
(t),
funzione
dzi
allora
ora
t,
il
caratteristica
appartiene successivamente tr,
crescenti c~i ;~. 1,a tesi risulta con ciò provata.
3) il grafico della funzione
(nella fig
cc
dove It &#x3E; 0 è il valor
una
j4 )
linea,
una e
1«
l, ,
(Jonsideriamo
è
se
crescente: ’risulta cioè
periodica,
nell’intervallo tl 1--- 2 n ,9 di
di
periodo
(y)
e
39
Perciò (p (y) presenta
dei
dei minimii
relativi nei punti
y, _ 1 (F - U , F’ , 0). Inoltre, essendo
di minimo, conduciamo,
quello dell’asse y, una semiretta parallela
massimi relativi nei punti
ipotesi ~~ ~ 0, se dal punto
verso
a
opposto
tale asse,
a
questa incontra
la linea u
=
(P
(y)
in
un
punto
tale che iu tuttu il
e
per
nel
risulti OP
sia inoltre
La funzione
è allora. definita nell’intervallo
indicato nella fig. 4,5 costituente
ed
una
parte,
nel piano
della linea
ha,
(y, p)
L~ y2k).
il
grafico
Indichiamo con Tzk il dominio delimitato da
Può darsi che un dominio T2k
domini
dei
con
contenga
corrispondenti ai punti y2h
40
contenuti nell’intervallo Xlk
Uno a l ii e io de,i punti Yu (con
è
non
interno a
dominio 11’ûf. Basta infatti assumere, Yü in modo che
sia il minimo dei
rp
(y2) , .. , y (y2s). Si noti poi che se Tzk contiene T2k-2, alla linea
) appartiene,1 oltre a l~~_~z ~ una parte chiusa, lz~ ~9
--
la
è frontiera di un dominio
interno il solo punto singolare
contenuto in
quale
suo
(nella fig.
T2k
e
contenente nel
1§’ è tratteg-
4 la linea
giata).
Osserviamo inoltre che il punto
In un intorno sinistro di
la
quindi
angolari
e
le due semirette tangenti a
(51)
è un punto augoloso
si scrive infatti
l;k
nel
punto
per la linea
hanno coefficiebti
Il
comportamento asintotico; per t · + 00, di una caratteristica L la
quale, all’istante fo, abbia un punto 1)0 (yo, po) in uno dei domini T2k si stu.
dia facilmente. Infatti, pel
il massimo
(essendo
--y2k, la
di /’ (y) llell’intervallo
contiene uua parte
(cventualmente formata da più cicli distinti e da punti isolati) appartenente al
dominio T2k e di equazione
i
Inoltre, detta TA la parte di T2k. costituita da 1; e dai punti ad essa
ed evensi riduce al punto
interni, T), contiene
tualmente ad altri punti
Al crescere di t, il punto I&#x3E; (t) mobile sulla caratteristica L, appartiene
a linee
corrispondenti a valori di A crescenti con continuità. Non può
perciò uscire da
(nerchè l’2k corrisponde al valore minimo 1=9 9
l
"
Siccome non esistono caratteristiche chiuse, si conchiude, per un teorema di
di Bendixson (11) che il punto P (f) tende, per t
+ oo, a uno dei punti sininterni
al
dominio
non
se
golari
l’2k- Pertanto,
appartiene a una
PO
ristica instabile che
in
il punto P (t) tende a uno dei punti N 2i-L
interni a T2k cioè L è una caratteristica stabile.
Si noti che se T2k contiene nel suo
il solo
singolare N2k-19
la caratteristica considerata è necessarimente stabile. Se poi T2k contiene
-
(~!)
I.
BENDIXON,
loc. cit. in
(7),
p. 17.
41
stabile
avente
ogni
Si è ottenuto in tal modo un
nel piano
Consideriamo
(y,p)
molto
la linea
ro
un
nel do-
semplice di
o
di
stazionarietà,
avente
equazione
o~ in forma
Poichè
e
(J).
h~ lo stesso segno
risulta
di li,
quindi
Nei
punti
interni al dominio T,
tiera costituita, dalla linea
mento
crescente, risultando,
e
dy
a
tratteggiato nella tig.
5
e
le caratteristiche
e
per la
(13), ddpy &#x3E; O ;
nei
avente la t’ron
hanno alida-
punti esterni a -i è
le caratteristiche hanno andamento decrescente.
~
Consideriamo
un arco
di caratteristica di
equazione cartesiana
(con g (y) integrale della (13)) situato nel semipiano l &#x3E; 0, oppure nel semiil più ampio interva o aperto in cni è 9 (.V) &#x3E; 01
piano p0, e
oppure
g (y) 0.
42
Dimostriamo
LEMMA III.
e
i
seguenti lemmi.
jinit’i.
-
se
è
g(y)&#x3E;0,
risulta
inoltre
Xe è g (y)
e
ora
~,
inoltre
Supponiamo (y) &#x3E; O e osserviamo innanzi tutto, per provare la (54),
che può esistere un intorno sinistro
di n nel quale sia ,g (y) ~ ~ (y).
In t~l1 caso g (y) è non crescente e tende, per y
un limite 1 ~&#x3E; o.
--
Non
può poi
continua in tutto
essere
llll
p
intorno del punto (q , 1) e la linea integrale p - g (y) si potrebbe prolungare,
restando g (y) &#x3E; 0, in 1111 intorno destro di q, con la condizione iniziale
g (n) - 1, ciò el e è assurdo. Deve perciò essere1 = 0.
Non può poi risultare, in un intorno sinistro ex 1- ii di
g (y) (y).
In tal caso infatti g (y) risulta non decrescente e tende, per
-, a un
0
con
e
si
ricade
nel
caso
precedente.
limite l,
1 --- (ii)
Supponiamo iufine che in ogui intorno sinistro a 1- i di n esistano
punti y con q (y) &#x3E; ~ (y) e punti y con g (y) ~ (~). Sarà perciò ~ (y) &#x3E; 0 per
con a &#x3E; 0 e convenientemente piccolo. Dimostriamo che risulta
Preso
Sia
quali è
&#x3E; 0, si determini
poi yt*
la minima
e
con
ascissa dei
osserviaino clle g
O
a,5 in modo
che,
per
punti y soddisfacenti alla (59) per i
(y) è funzione monotona in ogni in-
43
tale che
tervallo
inoltre
si-,i,
oppure
per
Perciò,
e
risulta
y e ó
appartengono all’intervallo
(60),
quindi
e
Poiché la
Non può
La (54) è
di ~
(6i)
vale in tutto l’intervallo
poi
perciò
yi - ,
per quanto si è
la
già
(58) è dimostrata.
rilevato.
dimostrata.
Consideriamo ora il punto W. Osservinmo che se in un intorno destro
~2013’~ risulta cr (~~) &#x3E; ~ (y~ , ,r~ (y) è non crescente ed esiste il limite
--t oo ò è ~ 0 , Non può però essere positivo, se
finito, perchè l’integrale 9 (,y) sarebbe proluidgabile, resta,ndo positivo, a sinio 1’altra delle (55). Se si esastra di E . Vale perciò necessariamente l’una
minano poi gli altri dne casi, si trova
deve valere la priina delle (55).
In modo del tutto analogo, se è g (y)
O, si diniostrano le (56) e (57).
Si noti che, se -isiilta, g (E .-t-) ^ g (n -) = 0 ,
’ii - E dell’in.
Infatti
non
se
fosse
considerato
terrallo
può
t} - &#x3E; 2 n le
ciue linee integrali 1, (p
g (y),) ed L’ (p = ct (y
~,’ ~)), definite rispettiva.
mente negli intervalli $ q , (E + 2
(1) 2;r) avrebbero necessariamente almeno un punto (y, p), con p &#x3E; (), in comune; eiò clle è assurdo.
Tale limite
~
per la
se
o
-
LEMMA
IV,
g
-
(y) &#x3E; 0
== O , 1- 1,+ ~, . , .)~
h
0,
prolunga nel
funzione definita in un intorno
intervallo in cui è g (y)
0,
lcr
semipitiano
p
-- r1
0,
in
con
un arco
r
arco
un
di
di
(12) (h
è ~~
se
nel
in
ed 1]
l. cli cui
~fà
equazione
Detto poi
p
è 9’
p ~ g
(k ==
(y) si
=
cort
g (y)
g (y),
il pi c ampio
Allora,
se
O ,1:- 1, ’~- ~ , , , .) , L si
equazione p g1 (y),y con g1 (y)
Inoltre, se è
g1 (y) &#x3E; m, rt
~
di
0
=
è
neces-
sariamente
finito.
Infatti, è chiaro
8e
poi è
(12)
punto.
Y2h’-
Non
1
può
deve appartenere
yzg; il
punto (r¡, 0)
= y2h+1 perchè
g
(JI)
è
non
intervallo Y2k-J 1-1 Y2k .
è singolare e la caratteristica
a~
un
in
n11
intorno destro di tale
44
(come risulta dalia fig. 5) il
p (t),
L,9 si sposta, al crescere di
destra a sinistra, lungo un
(minimo di
risulta g (~~ c 0 e ai due puuti P,
Se poi è
I&#x3E; (E , g (E) corrispondono, per il parametro A (t) definito dalla (47) i due
punto
ciò che è assurdo
(t) è funzione crescente di t lungo
teristica.
In modo analogo, considerando la g1 (y) , si trova che non
in tutto l’intervallo
Supponiamo ora ~i
0 il massimo
Detto v
(y)
, (osservando che è
carat-
L
penetra nel semipiano p [
O : inoltre
descri vendo tale prolungamento di
-
-
_
-
..
-
t, da
( y)),
-
una
,
.
,
valori
può essere
.
nell’intervallo
si
Esisterebbe allora una caratteristica periodica negativa p --I)*
disfacente alla stessa limitazione. Scritta poi la (13) nella forma
iutegrando nell’intervallo O !1
si troverebbe
e
ciò che è assurdo
e, per la
ha,
(y)
pur
sod-
12 zi in corrispondenza della soluzione,
perchè, essendo p* (y) C U,5
risulta
(10),
Notiamo infine che, in virtù di quanto ora si è dimostrato,
esistere un integrale p = p. (y) periodico e rcegativo della (13).
non
può
45
1)i
fondamentale importanza, per caratterizzare le condizioni di
di divergenza, è lo studio delle caratteristiche instabili A’l, 2 ed
a) Consideriamo dapprima una caratteristica
Questa, in un intorno destro di
ha equazione
6.
stabilità
--
o
con
Intenderemo che tale intorno sia ilL
Dimostriamo che,
u7a
della
Sia dapprima~ per
nell’intervallo
un
più ampio possibile.
dz k (e quindi
a
per
0 il massimo
può essere, per ogni ,
Detto v
certo
non
(essendo, al solito, 1n il minimo
stica p = p* (y) periodica e negativa,
nella dimostrazione del lemma IV.
Esiste perciò un y tale che sia
decrescente ed esiste ili limite
di
herché esisterebbe nna caratteriassurdo, come si è constatato
ciò che è
-
-
Allora,
Questo non può essere finito perchè esisterebbe
(anzi costante) negativa. Resta perciò provata,, per
per
soluzione periodica
+ oo ? la (65).
Sia ora rJ2k finito per tutte le caratteristiche. Dimostriamo che non può
essere, per tutti i valori di k,
Infatti
se
vale la
(66),
si
per la
una
prima delle (57),
ed r2k appartiene necessariaine ite a un intervallo
=
la caratteristica
coincide
eon i ~ l~ . Se è
(vedasi
con
la
6)
46
Supponiamo ora
~~~~i. Questa in uu intorno
e
conduciamo dal punto
sinistro di Y’Ji ha equazione
caratteristica
sarà necessariamente
punti del’intervallo
Sia û
Yû il più ampio intervallo
co
(avendoRi sempre
E2i
in tutti i
--
sere
in
Non
pu )
eR-
-- 2013
esisterebbe una soluzione periodica negativa, Perciò ~2i è
fiuito ed appartiene necessariamente a nn intervalo
Se e
con
risulta
si conduca ln
Se è
la quale, per
caratteristica
la (66), incontrerà l’asse y in
un
punto
r~,~2
intervallo
appartenente
a~ un
con
Cos procedendo, siamo certi di trovare due caratteristiche
ed S2r". le
2 21
quali coincidono. Infatti i successivi intervalli ,
contengono ciascuno almeno due punti singolari in più del precedente. Se la
successione procedesse indefinitainente le corrispondenti ampiezze supere
rebbero, da un certo punto in poi, 2 c , ciò clie è assurdo.
Consideriamo ora tra le caratteristiche 8~, 15§ , ... , ~’,5 quelle analoghe
i s7v ,
alla
ora indicata. Tra tali caratteristiche prendiamono poi una,
t2013! Y2V contenga il massimo numero di punti
in modo che l’intervallo
intero. Dal punto
singolari. Tracciamo il grafico di tutte le
la
in caso con.
conduciamo
b~’v : questa coincide con una
poi
Y2v
trtlrio, la caratteristica ~5’;n, (prendendo te in modo che sia
passerebbe necessariamente al di sotto di 2 e si dedurrebbe l’esistenza,
caratteristica
cui intervallo di definizione
ciò che è assurdo.
dell’intervallo
conterrebbe più punti singolari
Tracciamo il grafico di tutte le
prosegaendo, si estrae dalla
una
successione
parziale
successione( X§k )
quale, nel suo complesso, si rappresenta con un’eqnazione
di
una
....
47
continua, periodica di periodo 2 negativa per
soddisfa all’equazione (62). Poichè la derivata ,
la
dove pure
esclusi i pnuti
continua in tutto l’intervallo
senta, discontinuità di prima specie, si ha allora, per la (62), comunque st
prendano y e y ,
(y)
quale,
con CU
funzione
In
==
cioè che è
Perciò la
caratteristica
y
+
2 J1, risulta
essendo
(66)
noi
può
tutti i valori di k.
valere
almeno tale che
risulti,
è Ì’tllÌZiolie
in
un
decrescente.
cioè la tesi.
b) Consideriamo ora le caratteristiche
è positiva in un intorno sinistro (e intenderemo il
del punto Y’2k, nel quale ha equazione
~9~.~k ~ ,,fiiiito
risulta
allora,
per le
(55),
1)1
cioè
una
punto y,
quii
sí deduce al1ol’~~
tlua di tali catteristiche
più ampio possibile)
48
Dimostriamo
che, se è .
y
(massimo di C (y)).
periodica e qi ha
Non può essere infatti per ogni
In tale ipotesi esiste infatti una
(osservando che è
Ora, integrando
la
(62)
denza delle due soluzioni
e
questo
è
p*
nell’intervallo
(y) si trova
(y) e
assurdo, avendosi,
-
per la
2 r)
?I,A, in
corrispon-
(71),
Allora
un y C y2~, con
(y) è decrescente.
oo
.
non
un
limite
a
tende
Questo
può essere finito
per y - per y y
perchè esisterebbe una caratteristica periodica (anzi costante) k (y) ciò
che è escluso dal ragionamento ora fatto. Resta perciò dimostrata la (70).
condizione
nna caratteristica soddisfacente
c) Sia
Esiste
perciò
e
e
consideriamo IcL corrispondente caratteristica
Può darsi che sia
R2j
1
49
e allora la linea r2k
Può darsi poi
indicato
In tal
e finito
incontra
tenentp necessariamente il un intervallo
Supponiamo dapprima y2h
0 lll nna linea (che f311’P111(l,
p
R§j
punto
h
d ,
j .
si
in un inintenderemo
con
torno destro
il
con
prolunga nel semipiano
avente equazione
maggior chiarezza R’2j
Allora
per
iiel
più ampio possibile) (~i ~~9~ ,
Non
in tutto
1111()
villo 99.,i --- 9",j
infatti v2j, P fillito per il lemma IV
In
il
Inoltre
1
-
un
punto y,
Annali delia Scuola
appartiene
j
per la,
e
allora
4.
punto
(7 ~),
con
Sùp, -
Pisa.
e
risulta
necessariamente a un intervallo
che è assnrrlo, peri il lemma IV.
il solito
ragionamento,
si
50
ricava
che,
In tal
nella
,se
caso
fig. 8),
Può
è
la linea
~31
punto
à
Non
dosi
può poi
semipimio
(indieato
Condotta
111 nn
perciò
P
Se fosse infatti
Z2j
di
dominio Z2i
i punti singolari
In tal caso risulta
che non può incontrare
suo
infine
essere
Ìél
poi
è
contenente nel
si
avrebbe per la (62) l’assurdo
lu caratttersticia s’2b
essere
nuovmente
0,
che è assurdo per ili lemma
&#x3E;
In questo caso la linea
9) contenente nel
(indicato nella
o) Dimostriamo
(perchè
-,
111
è la frontiera di 1111
suo interno i
punti
ae,
nt
,’?i
Consideriamo le caratteristiche
S2k ,
con
c , .
Se risulta
la tesi è provata.
In caso contrario, consideriamo, tra le caratteristiche successive
una, a~r~~ ~ per la quale
un
punto
dominio
aingolari
51
1
,
~a tesi è
Se
provata.
non
è verincata la
(79), consideriamo la caratteristica (li indice massia interna ai
a’;j? sarà allora
non
me segue dal e fig (8)
e
(9»
Inoltre sarà li ò&#x3E;,j
per
la linea,
avrebe punti intprni
allora
’’,l , Cosi procedendo
la qualp valgono le (76
punti
:..1
7. "
ipotesi,
n 7,1,’
la
non vale
(77) o,
«e
[j,
"
eii) è
contrario l’ipptiamo per S2k
dovremo tl’ovarp una
quanto abbiamo
R2q, S’2q
con
contrario,
Siamo ora in grando di
4~
rale
Sia infatti
L {y(t) ,p( t)}
lr~ ( i r)~ 1ct (‘’)
una
sin
I_, (y , p) un punto
di 1,
corrispon-
dente al
dii
una
Sia
catteristiche per citi valgono le
(76) e tali che P appartenga ul
dominio LI avente come frontiera,
a sinistra,lalinea
e.
+
a
+
destra, la lineaa
~- ~~~.,~ ~ essendo nn
niente intero positivo. Sia e un
maggiore
numero
m
l
e
sia
Uo
dei numeri p ,
la parte di U contenuta nella,
punto P(t), descrivendo ia,
uon
può uscire,
52
dal dominio Ue . Non può infatti uscirne lateralmente, perche incontrerebbe
una delle caratteristiche
Non può poi (riferendoci
in
un
il
alla fig. 10) attraversare,
segmento A B perche dovrebbe
istante f,
essere
,
attraversare il
mentre è
segmento C
Analogaimente
prechè dovrebbe
non
può
essere
~
Per il teorema di Rendixson già&#x3E; utilizzato nel § 5, poicliè L non è
uno (lel punti
instabile, il punto 1’ (t) tende allora, per t
contenuti in U, cioè la caratteristica 7~ è stabile.
la (75).
b) Supponiamo ora che per nessuna caratteristica
Allora, tutte le caratteristiche R2k incontrano l’asse y.
Consideriamo una caratteristica
per la quale risulti
-
,
e
il
corrispondente dominio
Sia
P
poi
L
iil Z2h Preso infatti
l~r
)io
L è stabile.
(Y , p)
un
numero
negativo ~,
con
detta Uò la parte di
contenuta iiel semipiano p &#x3E; d si dimostra, come
in a), che il punto P (y (t), ~(~)) tendp, per t
+ oo, a uno dei punti
La caratteristica L è pertanto stabile.
contenuti in
Consideriamo ora tutti i domini
(dove h descrive una successione di
di
uno
e
che
osserviamo
interi)
questi può risultare interno a un numero
di
domini
analoghi
possono essere interni a
.finito
(percbè, per la
at massimo 2 s - 1 punti singolari). Sia
un dato dominio
la successione forJnata dai domini che non sono interni n
nessun altro dominio della successione
e
-
Posto
il
contiene
o
sulla,
tutti i punti
di C appartengono solo
Ni. Anzi
N2k. Possono poi darsi due casi.
oc) Esistono punti del semipiano p -t~~ 0 esterni al dominio h (fig. 11).
fl) 0 contiene tutto il semipiano p -~~ 0.
Dimostriano che, nel e(i,,qo a) P,siste uu
(13), p .- lo (y),
_positivo, periodico e di periodo 2 n.
53
Per provare la te»i, conduciamo da
la caratteristica
dominio
nel
quale
Iza
un
punto i apparteueute
esiste
al solo
Y’2ki- +
C&#x3E;0
equazione
Infatti sia
Risulta
più ampio
intervallo
Infatti se supponiamo yz finito, si ha
necessarianente a un intervallo
N on
+
il punto Y2ki
dominio Z2,,,,. Si lia
perchè
perche
segmento
in
cui
vale
la
(81).
oo .
e
può
appartiene
essere
apparterrebbe anche 1
(come punto
tllltO di ascissa
minima.) alai
minima)
ascissa
e questo è assurdo perchè il
perciò ~i
è interno a Z2kr e quindi ]a caratteristica
ne
,
intersecherebbe la frontiera.
È perciò
soluzione
pella
Di
qui
si deduce
immediatamente 1’esistenza
periodica
ora il caso B). Il dominio C, contenente l’intero semipiano
O,5 ha la frontiera costituita dalla successione delle caiatteristiche
quali, nel loro complesso, formano una linea (li equazione
Consideriamo
le
(y) funzione continua nell’intervallo
riodo 2 n. Inoltre ’tp (y) è, ill ogui intervallo
drivata I ( presente
nel punto
con v’
periodici di peintegrale della
discontiuuità di prima
un
una
54
Per la
1,62), ?p (y)
comunque si
c(t
punto
perciò soluzione dell’equazione
prendano y
della (13).
Dimostriamo
P
è
ora
perciò
y.
che
(nel
senso
che
è
(t/)
soluzione
t
(J , L è
indicato
dapprima
t
soluzione
4&#x3E;
Allora
il
==
e
-
Consideriamo
una
~y (ti) ,P (t)}
1../
se
(tl
(y , p)
asintotica
e
se
è
-
1) &#x3E; P* (y)
la
tesi si di
mostra come nel § 4.
Sia ora
se è p&#x3E;0, il punto 1&#x3E; (t) descrive Lspostundosi da sinistra a destra, ai crescere di t e non ptiò mai incontrare l’asse y.
Infatti dovrebbe incontrario in un punto esterno a C (non potendo essere
1.J instabile), cioè in un punto di un segmento Y2h
its.
ciò che è
surdo perehè nel campo (y2hyy)
andamento crescente. Si deduce allora, come nel §
Sia infine p
0. Allora il punto I’ appartiene
mitato superiormente (la un segmento
Y2kj
le caratteristiche hanno
4, la tesi.
a
o,l. 1+1
ratteristiche
S,’ , R’21,.j+,
un
per
conveniente
1
valore
un dominio V delilateralmente dalle ca-
di «i .
Preso
ó,
con
il dominio formato da~ l’unti di V per cui
sia
é ò.
la
non
Poiché
esistono
caratteristica
L
Entro Vs
punti singolari
incontrare
e
né
ne
non
può
può attraversare, per t t
f) (t)
i
il segmento Il K formato dai punti di ordinata minima (=9) di Vó si ricava che, per t abbastanza grande, il punto
1&#x3E;(t) attraversa il segmento
1)
e
ò
~ ~7
non
~2~c ,_j
La tesi è
e
penetra
nel
semipiano p &#x3E;
O.
perciò provata.
Consideriamo infine il caso
Supponiamo (e1 è la sola ipotesi possila caratteristica L non può uscire dal dominio IV delimitato inferiormente dalla linea L (p = W (y)) e superiorinente dalla retta
e p. L ha perciò un’equap = e Q essendo il massimo dei due numeri M
zione cartesiana p = p (y). Inoltre p (y) è definita e positiva nelle’intervallo
Dimostriamo che risulta
55
Per
questo cominciamo
è li
col provare che in W la funzione ’
L.
Ul i tata. Infatti i soli punti di LV in cui
sia discontinua;
singolari
per
i
Condotta per N2k
quali risultano punti angllosi
la retta, cli equazione
rappresenterà
i
punti
Z.
angolare rispetto all’axse p), si ha
v; , in modo che le due caratteristiche
0L Supponiamo |v1
internamente
risultino
all’angolo di vertice
spiccate
9
R
Dalla
la
retta
avente
bisettiice
(85)
per
apertura 2 aretg. vi e
nei punti di TV appartenenti a tale angolo,
con
d
il coefficieute
sono
*
con bi
costante
positiva.
Di
qui (e
dalla
leriodicità
come
funzio-
r
11C
di
y)
si deduce l’esiste iza di
per
quazione (14)
e
converge, per !1
una
si è fatto nel- lemma 1
8i prova, che la sucessione
funzione periodica, di periodo
- X
l’equazione (13)
pusto
una
costante per cui risulti, iu
l’e-
come
(y),
con
Si ha poi
e
quindi potendosi applicare
si trova
il
teorema di
Arzelà-Lcbesgue per
la
(86),
56
Inultre,
come
nel lemma
1,
xi ottiene
Per provare la (84) occorre dimostrare che è X (y) ~ ’~P (y). Ora per la
(88) ;,Y, (y) è funzione continua per tiitti i valori (li y, dotata di derivata con
tinua per y #
e inoltre limitata, per la (86).
(y) soddisfa per
y =
all’equazione
e, comunque si
prendauo
In
per y
particolare
Dalla
cioè,
(83)
per la
=
y
e
per
si ha
+ z ~c ,
in cui si
(87)
risulta
/
essere
:=
y
R (y , p)
+ ~]1,
e
dalla
(UO)
poi
funzione crescente
(84) è perciò dimostrata.
Clie L sia poi divergente si dimostra osservando che y (t) è funzione
un limite l. Questo non può
crescente di t e tende perciò® per t
+
essere finito perchè, per t &#x3E; t convenientemente grande il punto 1&#x3E; (t) apparterrebbe al dominio limitato 1V fomato dai punti di W per i quali è
C ~, ciò che è assurdo perchè entro 1V non cadono punti singolari ed .L non è instabile.
Risulta perciò
La
-
57
che
Iu modo del tutto analogo a quullo seguito
esiste te7za soluzione pe1’iodica 1&#x3E; = p’‘ Ìy) (non
divergente
un
peiiodica
e
4,
si dimostra infine
88
y
(t)
e
di
è,,
di
se
una,
di
dii
per t
--~
-+-
oo.
‘
due
oi
ali
sono, a
per tutN
gli
i‘
alla Redazione il
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