Appunti di Relatività

Patrizia Carnesecchi
Appunti di Relatività
classe 3SA - a.s.2005-2006
5 dicembre 2005, 16:51
Indice
Introduzione al corso di relatività
1
1 Riferimenti
1.1 Riferimenti - prima parte .
1.2 Riferimenti - seconda parte
1.2.1 Orologi . . . . . . .
1.2.2 Definizioni utili . .
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2
2
2
3
4
2 Moti relativi
2.1 Riferimenti in volo libero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
5
3 Un
3.1
3.2
3.3
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5
5
6
6
7
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7
7
8
9
9
9
10
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rompicapo di fine ottocento
Il “Trattato” di Maxwell . . . . . .
L’esperimento di Michelson-Morley
La soluzione . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Perché due postulati? . . . .
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4 Lo Spaziotempo
4.1 Dilatazione del tempo . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Invarianza della dimensione trasversale
4.2 La simultaneità è relativa . . . . . . . . . . .
4.3 La contrazione delle lunghezze . . . . . . . . .
4.4 Un invariante: l’intervallo spazio-temporale . .
4.4.1 Osservazione . . . . . . . . . . . . . . .
Bibliografia
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12
Appendici
A - “Riserratevi con qualche amico . . . ” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-1
B - Sull’elettrodinamica dei corpi in movimento . . . . . . . . . . . . . . . B-1
C - Maree lunisolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C-1
Introduzione
Introduzione al corso di relatività
Oggi la parola relatività ci fa pensare subito ad Einstein: la relatività di Einstein,
appunto1 . Il primo lavoro di Einstein sulla relatività è del 1905: Sull’ elettrodinamica dei corpi in movimento, articolo apparso su una rivista specialistica (Annalen
der Physik) il 30 giugno.
Ancora oggi si pensa che si tratti di una teoria difficilissima e di scarso interesse
pratico.
Falso:
1) non occorrono grandi conoscenze di fisica e di matematica per capire le idee e
i fatti fondamentali
2) la relatività è ormai entrata nella vita di tutti i giorni; i rivelatori satellitari
non sarebbero cosı̀ precisi senza la relatività.
Molti hanno sentito parlare di strani fenomeni, ad es. il cosiddetto Paradosso dei
Gemelli. Che razza di storia! Ci sono due gemelli: uno rimane sulla Terra, l’altro va
a fare un bel viaggetto nello spazio con un’astronave veloce; bene, il gemello viaggiatore al suo ritorno troverà il fratello molto più invecchiato di lui. Siamo disorientati,
ci appare assurdo.
Ma che cos’è la relatività?
In fisica si fanno misure: la relatività tratta della trasformazione delle misure (cioè
della traduzione della descrizione dei fenomeni) da un riferimento ad un altro in
moto relativo. Non sembra granché, ma se ce ne occupiamo, si fanno scoperte del
tutto inattese che ci costringono a rivedere i nostri concetti di spazio e di tempo.
Prima di cominciare, ecco gli argomenti che tratteremo in questo anno scolastico:
• sistemi di riferimento - riferimenti in volo libero (inerziali) - principio di equivalenza - maree
• il principio di relatività di Galileo e Einstein - i postulati della relatività
• metrologia dello spazio e del tempo
• intervallo - tempo proprio - relatività della simultaneità - contrazione delle
lunghezze
• diagrammi spazio-temporali - paradosso dei gemelli - regioni dello spaziotempo.
1
La relatività non è nata con Einstein: le idee fondanti si trovano già negli scritti di Galileo
1
Riferimenti
1
Riferimenti
1.1
Riferimenti - prima parte
E1. Pierino fa solitamente colazione nella sua cucina. Mangia delle fette tostate che
prepara con quegli strani tostapane che lanciano in alto le fette pronte. Versa il
latte fumante e il caff‘e nella tazza e insomma fa quello che noi tutti facciamo
a colazione. Ora supponi che Pierino faccia la colazione sopra descritta nei
riferimenti indicati di seguito:
a.
b.
c.
d.
e.
un treno che viaggia a velocità costante su un tratto di binario rettilineo;
un camper che viaggia su una strada di montagna;
un camper che viaggia in autostrada;
un aereo che improvvisamente fa una brusca virata;
un aereo al momento del decollo.
Cerca di immaginare cosa succede a Pierino, per esempio, quando versa latte nella tazza nei vari riferimenti o cosa succede quando il tostapane lancia
una fetta pronta. Sarai d’accordo che in alcuni riferimenti è più comodo fare
colazione: in quali?
E2. Le apparenze ingannano . . . . . . Hai davanti a te una foto che rappresenta una
nave sul mare. La nave ha, al centro, un albero su cui sventola una bandiera
verso sinistra. Da questa foto puoi trarre qualche conclusione sul moto della
nave, è ferma? si sta muovendo verso destra o verso sinistra? Puoi trarre
conclusioni diverse? Spiega la risposta e motiva, se vuoi, con disegni.
E3. La rondinella
Giorni fa dal mio balcone ho visto a pochi metri da me una rondine che per
una frazione di secondo se n’è stata ferma in aria, senza battere le ali2 .
Com’è possibile?
1.2
Riferimenti - seconda parte
Cos’è un riferimento? Per definire un riferimento abbiamo bisogno di un insieme
di corpi in quiete relativa rispetto ai quali poter determinare la posizione di tutti
gli altri, inoltre ci servono strumenti (tra cui orologi) per effettuare tutte le possibili
misure: dunque un riferimento è un laboratorio.
D’ora in poi identificheremo i due concetti: per noi i termini riferimento e laboratorio
sono sinonimi.
RIFERIMENTO ≡ LABORATORIO
Compito e ambizione della fisica è trovare le leggi che governano i fenomeni naturali. Si fanno misure e si cercano relazioni tra le grandezze coinvolte; si deve quindi
stabilire con chiarezza che cosa misuriamo ma anche dove e quando.
Il dove e il quando individuano un punto dello spaziotempo cioè un evento: il mo- def. di
evento
2
Questo problema è stato proposto dal prof. Elio Fabri sulla ml Sagredo.
2
Riferimenti
do più semplice d’indicare un evento sarà misurare le sue coordinate rispetto ad
un opportuno sistema (occorre quindi definire un sistema di coordinate spaziotemporali, § 38-3 a pag.859). La sincronizzazione degli orologi definisce il concetto di simultaneità
simultaneità: due eventi sono simultanei se hanno la stessa coordinata temporale.
1.2.1
Orologi
La nostra mente elabora un certo concetto di tempo: un ente esterno a noi, che
scorre per i fatti suoi, scandendo gli eventi. Per dirla con Newton, nei Principia:
in sé e per sua natura, senza relazione ad alcunché di esterno, scorre
uniformemente
Ma non è forse proprio il succedersi degli eventi in un verso ben preciso3 che fa
nascere il Tempo nella nostra mente?
Il tempo che si misura, quello quindi che interessa la fisica, però non è questo: è
piuttosto un confronto di durate, la durata del fenomeno in studio con la durata di
un fenomeno di riferimento. Se per esempio misuriamo il tempo di volo di una palla
lanciata in aria e troviamo 3 unità, vuol dire che abbiamo confrontato la durata
del volo della palla con quella di un certo fenomeno (ad esempio un’oscillazione
completa di un dato pendolo) e abbiamo trovato che questo avviene tre volte mentre
la nostra palla è in aria; se poi abbiamo chiamato secondo la durata di un’oscillazione
completa di quel pendolo, allora diciamo che la palla è rimasta in volo 3 s.
In pratica per effettuare misure di tempo, utilizziamo strumenti, gli orologi, che
fanno per noi il confronto. Un orologio si basa su un fenomeno che si ripete. Un
orologio ideale deve basarsi su un fenomeno perfettamente riproducibile e deve essere
stabile: più orologi identici dovrebbero restare in accordo per sempre. Orologi diversi
avranno periodi diversi ma potranno essere tarati utilizzando lo stesso campione: dal
1967 l’unità di tempo è definita mediante gli orologi atomici: 1 secondo è la durata di
9 192 631 770 periodi della radiazione corrispondente alla transizione tra i due livelli
iperfini dello stato fondamentale dell’atomo cesio 133 (133 Cs).
Osservazione importante. Il rapporto tra i periodi di due orologi diversi è
indipendente dal riferimento per il principio di relatività.
La storiella di Zanzibar. 4 Siamo nell’800, quando non c’era ancora la radio.
Le navi, come è noto, avevano bisogno di portarsi dietro degli orologi, per “fare il
punto”: la misura della longitudine in mare richiedeva l’osservazione delle stelle, ma
anche l’uso di un orologio. Quindi per una nave avere un orologio buono, affidabile,
era cosa vitale.
Ecco la storiella. Il capitano di una nave ha il suo bravo cronometro; però a un
certo punto gli si ferma, e sono guai. Per fortuna si trova vicino a Zanzibar, un’isola vicina alle coste dell’attuale Tanzania. Cosı̀ dirige la nave al porto, scende a
3
se un bicchiere cade, si rompe: non ci aspettiamo certo che i pezzi di vetro si riuniscano per
riformare il bicchiere e che questo ritorni nella mano della persona a cui è caduto!
4
tratto da: E. Fabri - Insegnare relatività nel XXI secolo - Lezioni alla Scuola Estiva A.I.F. Luglio 2000
3
Riferimenti
terra e si mette in cerca di qualcuno che gli dia l’ora esatta, che gli faccia rimettere
l’orologio. Chiede notizie, e gli dicono che giù, nella città vecchia, nei vicoli, c’è un
vecchio orologiaio, bravissimo. Lui va dall’orologiaio, ci parla, si convince che è una
persona seria, che di orologi se ne intende davvero. Poi, solo per scrupolo, gli chiede:
“Lei fa degli orologi, ed è molto accurato, lo vedo; ma anche i suoi orologi andranno
rimessi, di tanto in tanto: come fa?” E quello: “Ah, ma noi abbiamo qui la guardia
costiera, molto efficiente: tutti i giorni, a mezzogiorno esatto, spara il cannone; io i
miei orologi li rimetto sempre sul cannone della guardia”.
Bene, lı̀ per lı̀ il capitano accetta la cosa. Poi, uscito dal negozio ci ripensa e gli
viene il dubbio: e quello della guardia costiera come fa? Guarda caso, incontra il
comandante della guardia e glielo chiede: ”Voi avete un cannone che spara a mezzogiorno, ma siete sicuri? Avete un orologio . . . ?” “Il nostro orologio va benissimo”
“Andrà benissimo; ma per quanto possa andare benissimo, anche quello . . . come
fate a rimetterlo?” “Certo, ma sa, giù nella città vecchia c’è un orologiaio . . . ”
C’è dunque il pericolo di un giro vizioso. Per sapere se il mio orologio va bene, con
che cosa lo confronto? con un altro orologio? E questo, con che cosa lo confronto?
1.2.2
Definizioni utili
Una grandezza è:
invariante se assume lo stesso valore in ogni riferimento inerziale
costante se il suo valore non cambia nel tempo
uniforme se il suo valore non dipende dalla posizione
2
Moti relativi
In una dimensione si trova5 :
xPA = xPB + xBA ⇒ ∆xPA = ∆xP B + ∆xBA
da cui, dividendo ambo i membri per ∆t, otteniamo:
∆xPB
∆xBA
∆xPA
=
+
t da cui: vPA = vPB + vBA .
∆t
∆t
∆
Il risultato precedente si generalizza subito per i moti nel piano e nello spazio tenendo presente che tali moti possono essere trattati come la somma vettoriale dei loro
componenti secondo un’opportuno sistema di coordinate (x,y,z ).
Osservazioni:
1. ∆xPB viene dedotto da misure fatte in A. Siamo sicuri che coincida davvero
con lo spostamento del punto materiale misurato in B?
2. ∆t è l’intervallo di tempo misurato in A. Siamo sicuri che sia lo stesso misurato
in B?
5
Studiare i §§ 4-8 e 4-9 da pag. 63.
4
Un rompicapo
Viste le osservazioni precedenti siamo proprio sicuri che
vettoriale media misurata in B?
∆xPB
∆t
sia proprio la velocità
Un’altra osservazione:
Poiché l’accelerazione è la derivata della velocità, se il moto relativo è uniforme
(cioè se la velocità relativa non cambia) nei due riferimenti si misurerà la stessa
accelerazione per l’oggetto in movimento. Ma allora le forze sono le stesse e quindi
le leggi della fisica. Inoltre: non sarà possibile distinguere un riferimento da un altro
in moto relativo uniforme mediante esperimenti.
È il Principio di Relatività6 .
2.1
Riferimenti in volo libero
Come si fa a riconoscere un riferimento inerziale? Semplice: basta che in esso
valga la prima legge della dinamica (il principio d’inerzia, appunto). Siamo condotti
a osservare “particelle di prova”. E qui la sorpresa: il peso ha le stesse caratteristiche
di una forza apparente (è proporzionale alla massa e dunque può essere fatto sparire
scegliendo opportunamente il riferimento). E visto che il peso si comporta come una
forza apparente decidiamo che lo è: Principio di equivalenza.
D’altra parte l’interazione gravitazionale dipende dalla distanza ⇒ i riferimenti in
volo libero hanno quindi CARATTERE LOCALE, devono cioè essere limitati nello
spazio e nel tempo.
Quando un riferimento costituisce una porzione troppo ampia dello spaziotempo
compaiono le cosı̀ dette forze di marea. (vedi l’app. C, pag.C-1, per le maree
lunisolari).
3
Un rompicapo di fine ottocento
Alcune date:
3 1801: Young mostra il comportamento ondulatorio della luce (da allora non ci
fu più motivo di dubitare della natura ondulatoria della luce);
3 1820: Oersted scopre gli effetti magnetici delle correnti;
3 1873: pubblicazione del “Trattato sull’elettricità e il magnetismo” di Maxwell;
3 1887: esperimento di Michelson-Morley;
3 1890: Hertz scopre le onde elettromagnetiche.
3.1
Il “Trattato” di Maxwell
In quest’opera, vengono date quattro relazioni fondamentali, dette equazioni di
Maxwell, partendo dalle quali è possibile descrivere quantitativamente tutti i fenomeni elettrici e magnetici osservati. Dalle equazioni di Maxwell segue anche l’esistenza
6
leggi il brano di Galileo: “Riserratevi con qualche amico . . . ”, pag. A-1
5
Un rompicapo
delle onde elettromagnetiche7 . Le equazioni di Maxwell contengono anche la velocità
delle onde elettromagnetiche nel vuoto: c = √01· µ0 = 3, 00 · 108 m/s!! ⇒ ipotesi: la
luce è costituita da onde elettromagnetiche ⇒ l’ottica diventa un capitolo dell’elettromagnetismo.
Maxwell ipotizza l’esistenza dell’Etere, un mezzo imponderabile e perfettamente
elastico che permea tutto lo spazio: è il mezzo nel quale si propagano le onde elettromagnetiche con la loro velocità caratteristica; in un riferimento in moto rispetto
all’Etere la velocità delle onde elettromagnetiche deve essere diversa8 .
La forma delle equazioni di Maxwell (e dunque le leggi dell’elettromagnetismo) dipende dal riferimento: il principio di relatività non vale per l’elettromagnetismo o
le equazioni di Maxwell contengono errori e devono essere modificate?
3.2
L’esperimento di Michelson-Morley
Bisognava riuscire trovare evidenze sperimentali dell’esistenza dell’Etere. Michelson ideò e realizzò9 un esperimento che aveva lo scopo di evidenziare il moto
della Terra rispetto all’Etere10 . La Terra percorre un’orbita intorno al Sole e quindi deve essere quasi sempre in moto rispetto all’Etere (se oggi la Terra è in quiete
rispetto all’ Etere tra sei mesi si muoverà rispetto ad esso alla velocità di 60 km/s)
e dunque sulla Terra la velocità della luce deve dipendere dalla direzione11 e questo
potrà essere messo in evidenza sperimentalmente. L’apparato interferometrico di
Michelson aveva proprio questo scopo ma, non ostante la sensibilità sufficiente, non
dette il risultato sperato. Perché?
Si cercarono e proposero spiegazioni, nessuna delle quali completamente soddisfacente. E allora?
3.3
La soluzione
Nel 1905 Einstein pubblica un articolo12 con il quale suggerisce come superare
certe asimmetrie riscontrate nell’elettromagnetismo come anche il problema dell’Etere: nell’articolo enuncia i due postulati della relatività (§ 38-2 del libro di testo)
e afferma che l’introduzione dell’etere è superflua; prosegue poi sviluppando le basi
della sua teoria, limitando per il momento l’indagine ai riferimenti inerziali.
7
scoperte successivamente da Hertz: Hertz prova per primo che una carica oscillante emette
onde che si propagano alla velocità della luce
8
ci si aspetta che cambi in accordo con le trasformazioni galileiane
9
una prima volta nel 1881 e successivamente nel 1887 insieme a Morley
10
si basava sul modello di Etere in quiete assoluta, non trascinato dai corpi in moto, sviluppato
da Lorentz, che risultava il più promettente sia dal punto di vista teorico che sperimentale (era in
accordo con i fatti sperimentali noti come l’aberrazione della luce e la propagazione della luce nei
liquidi)
11
in accordo con le trasformazioni galileiane, §§ 4-8 e 4-9 da pag. 63.
12
vai all’appendice B, pag. B-1
6
Spaziotempo
3.3.1
Perché due postulati?
Il secondo postulato sembra superfluo: dato che le equazioni di Maxwell contengono la velocità della luce, il principio di relatività ci porta a concludere che questa
non deve dipendere dal riferimento. Vero, ma all’epoca da una parte si discuteva
sulla validità del principio di relatività per l’elettromagnetismo, dall’altra l’interpretazione dell’elettrodinamica di Maxwell era ancora incerta. Einstein allora riparte
dai due postulati: il secondo afferma l’invarianza della velocità della luce prescindendo dalle leggi che regolano i fenomeni elettromagnetici.
Verifica sperimentale del secondo postulato: ad es. mediante l’esperimento
condotto al CERN nel 1964 (pag 859, prima colonna).
4
4.1
Lo Spaziotempo
Dilatazione del tempo
Studia il §38-5; verifica 1 a pag. 867; esercizi svolti 38-1,2,3; quesito n◦ 1 ed
esercizi dal n◦ 1 al n◦ 6 di fine §38.
Orologio a luce : un fotone rimbalza avanti e indietro tra due specchi paralleli 1
e 2 posti alla distanza D.
L
D
L
D
v.∆t
(a) orol. fermo
(b) orol. in moto
Nel riferimento dell’orologio l’intervallo di tempo ∆t0 tra la partenza (P ) del
.
fotone da uno specchio e il suo ritorno (R) su quello specchio è ∆t0 = 2D
c
Esempio.
Sia D = 1, 0 m
⇒
∆t0 =
2D
c
=
2,0 m
3,0 · 108 m/s
= 6, 7 ns
Supponiamo che l’orologio a luce sia montato su un razzo (rif. di Sally) avente la
velocità v (lungo x) rispetto al laboratorio di Sam. L’intervallo di tempo tra P ed
R misurato da Sam è :
q
D2 + ( ∆x
)2
2L
2
∆t =
=2
c
c
7
Spaziotempo
essendo ∆x = v · ∆t, si ottiene:
2D
c
1
∆t = p
= γ · ∆t0 ; dove γ = p
v 2
1 − (c)
1 − ( vc )2
Esempio.
Sia D = 1, 0 m e v = 0, 90 · c
⇒
∆t = √6,7 ns
1−0,902
= 15 ns.
Nel riferimento di Sam sono trascorsi 15 ns tra gli eventi P ed R. E nel riferimento
di Sally? Solo 6,7 ns.
Ma cosa “vede” Sally? “Vede” rallentare il tempo nel laboratorio di Sam: ciò che per
lei dura 6, 7 ns (se avviene in una posizione fissa nel suo riferimento) ne dura 15 se
avviene in una posizione fissa nel laboratorio di Sam!
Supponiamo allora che due orologi a luce identici (con gli specchi distanti 1,0 m) si
trovino uno nel laboratorio di Sam e l’altro nel razzo di Sally. Supponiamo anche
che quando Sally passa accanto a Sam un fotone parta da uno specchio in entrambi
gli orologi. Quando vi farà ritorno? Se siamo nel laboratorio di Sam “vedremo”
ritornare il fotone del nostro orologio fermo dopo 6,7 ns, quello dell’orologio del
razzo dopo 15 ns; ma se siamo sul razzo di Sally la situazione è invertita: il fotone
dell’orologio del razzo ritorna dopo 6,7 ns, quello dell’orologio del laboratorio dopo
15 ns.
1. La durata dei fenomeni dipende dal riferimento!
2. L’ordine temporale degli eventi dipende dal riferimento!
4.1.1
Invarianza della dimensione trasversale
Osservazione. Siamo sicuri che Sam misuri la stessa distanza misurata da Sally
tra gli specchi dell’orologio di Sally? La risposta è sı̀; infatti la dimensione trasversale
al moto è invariante: questo risulta sia sperimentalmente (le ampiezze dei fasci di
particelle accelerate negli acceleratori di alta energia non variano con la velocità) sia
da esperimenti concettuali.
Vediamo che deve essere cosı̀ ragionando per assurdo. Supponiamo che un oggetto
in moto si allarghi trasversalmente alla direzione di moto. Consideriamo allora un
treno relativistico13 . Se ci mettiamo nel riferimento dei binari si deduce che le sue
ruote tendono ad uscire dai binari verso l’esterno perché il treno è più largo di
quando è fermo; se ci mettiamo nel riferimento del treno sono i binari ad essere
in moto e quindi la loro distanza è maggiore di quando sono in quiete e allora le
ruote del treno tendono ad uscire dai binari verso l’interno. Poiché i due fatti sono
in contraddizione non possono avvenire come invece segue dal nostro ragionamento
⇒ l’ipotesi è sbagliata. Analogamente si dimostra che la dimensione trasversale al
moto di un oggetto non può ridursi.
Non ci resta che concludere che la dimensione trasversale è invariante.
13
tratto da: Taylor-Wheeler - Fisica dello Spazio-Tempo - Zanichelli
8
Spaziotempo
4.2
La simultaneità è relativa
Studiare il §38-4.
Se due eventi sono simultanei in un dato riferimento, in generale non lo saranno più
in un altro. (Gli eventi B ed R sono simultanei per Sam ma non lo sono per Sally)
4.3
La contrazione delle lunghezze
La contrazione delle lunghezze segue dalla relatività della simultaneità.
Sam trova che l’astronave di Sally ha la stessa lunghezza della sua, visto che nel suo
riferimento gli eventi B ed R avvengono simultaneamente in corrispondenza degli
estremi delle due astronavi. Sally invece trova che l’astronave di Sam è più corta
della sua: infatti nel suo riferimento l’evento R avviene prima dell’evento B: nel riferimento di Sally, nell’istante in cui avviene l’evento B coincidono solo le estremità
posteriori delle due astronavi.
La contrazione delle lunghezze può essere vista anche come una conseguenza della
dilatazione del tempo.
Risulta (studiare il §38-6 ):
L = L0 ·
p
1 − β 2 , dove β =
v
c
Esercizio. Un treno relativistico percorre una galleria avente lunghezza propria,
L0 = 150 m; il parametro di velocità del treno è β = 0, 85.
Qual è la lunghezza della galleria nel riferimento del treno?
Soluzione.
Utilizziamo questo esercizio per dimostrare la formula precedente.
La velocità del treno è v = β · c = 2, 55 · 108 m/s; l’intervallo di tempo tra l’ingresso
e l’uscita del treno dalla galleria è quindi (nel riferimento della galleria): ∆t = Lv0 =
5, 88 · 10−7 s = 588 ns
La velocità della galleria rispetto al treno è ancora 2, 55 · 108 m/s (in verso opposto);
d’altra parte nel riferimento del treno l’ingresso e l’uscita del treno dalla galleria
(cioè la coincidenza degli estremi della galleria con la parte anteriore del treno)
=
avvengono nello stesso luogo e dunque l’intervallo di tempo tra essi è ∆t0 = ∆t
γ
p
∆t · 1 − β 2 = 310 ns. =⇒ la lunghezza della galleria nel riferimento del treno è
dunque:
p
p
L = v · ∆t0 = v · ∆t · 1 − β 2 = L0 · 1 − β 2 = 79, 0 m
4.4
Un invariante: l’intervallo spazio-temporale
Consideriamo ancora l’orologio a luce di Sally. Abbiamo visto a pag.7 che l’intervallo di tempo misurato da Sam tra l’andata e il ritorno del fotone di Sally
è:
q
D2 + ( ∆x
)2
2L
2
∆t =
=2
c
c
9
Spaziotempo
Dalla relazione precedente si ottiene:
c2 · ∆t2 − ∆x2 = c2 · ∆t20
La relazione precedente si ottiene per qualunque “riferimento di Sam”.
=⇒ presi due eventi (che accadono nello stesso luogo in un dato riferimento), l’espressione c2 · ∆t2 − ∆x2 assume lo stesso valore in ogni riferimento inerziale, cioè è
invariante. Tale espressione si indica con i2 e viene detta intervallo spazio-temporale
(al quadrato).
Esercizio. Nel riferimento S due eventi accadono ad una distanza ∆x = 30 m;
l’intervallo di tempo tra essi è ∆t = 167 ns. Nel riferimento S1 la distanza tra i due
eventi è ∆x1 = 10 m.
Qual è l’intervallo di tempo ∆t1 tra i due eventi in S1 ? E la velocità di S1 rispetto
ad S?
Soluzione
Per rispondere alla prima domanda sfruttiamo l’invarianza dell’intervallo spaziotemporale:
c2 · ∆t2 − ∆x2 = c2 · ∆t21 − ∆x21
Dalla relazione precedente si ottiene:
r
c2 · ∆t2 − ∆x2 + ∆x21
= 137 ns
∆t1 =
c2
Per rispondere alla seconda domanda osserviamo che:
p
∆x1 = ∆x · 1 − β 2 − v · ∆t1 14
Si trovano due soluzioni entrambe accettabili: v1 = 0, 419c e v2 = −0, 737c.
4.4.1
Osservazione
Per semplificare i calcoli conviene utilizzare la stessa unità di misura per le coordinate spaziali e temporali.
Distanza di 1 secondo: è la distanza percorsa dalla luce nel vuoto in 1 secondo
(3, 00 · 105 km)
Intervallo di tempo di 1 metro: è l’intervallo di tempo nel quale la luce percorre 1
metro nel vuoto (3, 33 ns)
Per passare da metri a secondi basterà dividere per la velocità della luce in m/s,
viceversa per passare da secondi a metri basterà moltiplicare per la velocità della
luce in m/s. c non è altro che il fattore di conversione da secondi a metri.
14
Se le trasformazioni di Galileo fossero corrette, si avrebbe semplicemente ∆x1 = ∆x − v · ∆t,
relazione valida a basse velocità relative perché in questo caso γ ≈ 1.
10
Spaziotempo
Se decidiamo di utilizzare la stessa unità di misura per le lunghezze e per gli intervalli
m
di tempo, allora la velocità della luce nel vuoto vale 1 ( m
) e l’espressione del quadrato
dell’intervallo spazio-temporale si semplifica:
i2 = ∆t2 − ∆x2
11
Riferimenti bibliografici
[1] E.F.Taylor, J.A.Wheeler: Fisica dello Spazio-Tempo, Zanichelli (in adozione
fino all’anno scolastico 2003-2004)
[2] E. Fabri: Insegnare relatività nel XXI secolo - Lezioni alla Scuola Estiva A.I.F.
- Luglio 2000 ; ftp://osiris.df.unipi.it/pub/sagredo/aq.relat/.
[3] G. Cortini: La relatività ristretta, Loescher, 1978.
[4] C.M. Will: Einstein aveva ragione?, Bollati Boringhieri, 1986.
[5] C. Bernardini:
(impegnativo).
Relatività Speciale, La Nuova Italia Scientifica, 1991
[6] http://matsci.unipv.it/persons/antoci/default.htm: traduzione in italiano di alcuni articoli di Einstein sulla Relatività (e molto altro
ancora).
Appendici
Appendice A
Dal Dialogo sopra i due massimi sistemi tolemaico e copernicano, giorn. seconda.
SALV. . . .Riserratevi con qualche amico nella maggiore stanza che sia sotto
coverta di alcun gran navilio, e quivi fate d’aver mosche, farfalle e simili animaletti
volanti; siavi anco un gran vaso d’acqua, e dentrovi de’ pescetti; sospendasi anco in
alto qualche secchiello, che a goccia a goccia vadia versando dell’acqua in un altro
vaso di angusta bocca, che sia posto a basso: e stando ferma la nave, osservate
diligentemente come quelli animaletti volanti con pari velocità vanno verso tutte le
parti della stanza; i pesci si vedranno andar notando indifferentemente per tutti i
versi; le stille cadenti entreranno tutte nel vaso sottoposto; e voi, gettando all’amico
alcuna cosa, non più gagliardamente la dovrete gettare verso quella parte che verso
questa, quando le lontananze sieno eguali; e saltando voi, come si dice, a piè giunti,
eguali spazii passerete verso tutte le parti. Osservate che avrete diligentemente tutte
queste cose, benché niun dubbio ci sia che mentre il vassello sta fermo non debbano
succeder cosı̀, fate muover la nave con quanta si voglia velocità; ché (pur che il
moto sia uniforme e non fluttuante in qua e in là) voi non riconoscerete una minima
mutazione in tutti li nominati effetti, né da alcuno di quelli potrete comprender se
la nave cammina o pure sta ferma: voi saltando passerete nel tavolato i medesimi
spazii che prima, né, perché la nave si muova velocissimamente, farete maggior salti
verso la poppa che verso la prua, benché, nel tempo che voi state in aria, il tavolato
sottopostovi scorra verso la parte contraria al vostro salto; e gettando alcuna cosa
al compagno, non con più forza bisognerà tirarla, per arrivarlo, se egli sarà verso la
prua e voi verso poppa, che se voi fuste situati per l’opposito; le gocciole cadranno
come prima nel vaso inferiore, senza caderne pur una verso poppa, benché, mentre
la gocciola è per aria, la nave scorra molti palmi; i pesci nella lor acqua non con
più fatica noteranno verso la precedente che verso la sussequente parte del vaso, ma
con pari agevolezza verranno al cibo posto su qualsivoglia luogo dell’orlo del vaso;
e finalmente le farfalle e le mosche continueranno i lor voli indifferentemente verso
tutte le parti, né mai accaderà che si riduchino verso la parete che riguarda la poppa,
quasi che fussero stracche in tener dietro al veloce corso della nave, dalla quale per
lungo tempo, trattenendosi per aria, saranno state separate; e se abbruciando alcuna
lagrima d’incenso si farà un poco di fumo, vedrassi ascender in alto ed a guisa di
nugoletta trattenervisi, e indifferentemente muoversi non più verso questa che quella
parte. E di tutta questa corrispondenza d’effetti ne è cagione l’esser il moto della
nave comune a tutte le cose contenute in essa ed all’aria ancora, che per ciò dissi
io che si stesse sotto coverta; ché quando si stesse di sopra e nell’aria aperta e non
seguace del corso della nave, differenze più e men notabili si vedrebbero in alcuni
de gli effetti nominati: e non è dubbio che il fumo resterebbe in dietro, quanto
l’aria stessa; le mosche parimente e le farfalle, impedite dall’aria, non potrebber
seguir il moto della nave, quando da essa per spazio assai notabile si separassero;
ma trattenendovisi vicine, perché la nave stessa, come di fabbrica anfrattuosa, porta
seco parte dell’aria sua prossima, senza intoppo o fatica seguirebbon la nave, e per
simil cagione veggiamo tal volta, nel correr la posta, le mosche importune e i tafani
seguir i cavalli, volandogli ora in questa ed ora in quella parte del corpo; ma nelle
gocciole cadenti pochissima sarebbe la differenza, e ne i salti e ne i proietti gravi,
del tutto impercettibile.
A-1
Appendice B
Sull’elettrodinamica dei corpi in movimentob1
A. Einstein
È noto che l’elettrodinamica di Maxwell - come la si interpreta attualmente - nella
sua applicazione ai corpi in movimento porta a delle asimmetrie, che non paiono
essere inerenti ai fenomeni. Si pensi per esempio all’interazione elettromagnetica tra
un magnete e un conduttore. I fenomeni osservabili in questo caso dipendono soltanto dal moto relativo del conduttore e del magnete, mentre secondo l’interpretazione
consueta i due casi, a seconda che l’uno o l’altro di questi corpi sia quello in moto,
vanno tenuti rigorosamente distinti. Se infatti il magnete è in moto e il conduttore
è a riposo, nei dintorni del magnete esiste un campo elettrico con un certo valore
dell’energia, che genera una corrente nei posti dove si trovano parti del conduttore.
Ma se il magnete è in quiete e si muove il conduttore, nei dintorni del magnete non
esiste alcun campo elettrico, e si ha invece nel conduttore una forza elettromotrice,
alla quale non corrisponde nessuna energia, ma che - a parità di moto relativo nei
due casi considerati - dà luogo a correnti elettriche della stessa intensità e dello stesso andamento di quelle alle quali dà luogo nel primo caso la forza elettrica. Esempi
di tipo analogo, come pure i tentativi andati a vuoto di constatare un moto della
terra relativamente al “mezzo luminoso” portano alla supposizione che il concetto di
quiete assoluta non solo in meccanica, ma anche in elettrodinamica non corrisponda
ad alcuna proprietà dell’esperienza, e che inoltre per tutti i sistemi di coordinate
per i quali valgono le equazioni meccaniche debbano valere anche le stesse leggi
elettrodinamiche e ottiche, come già è dimostrato per le quantità del prim’ordine.
Assumeremo questa congettura (il contenuto della quale nel seguito sarà chiamato
“principio di relatività”) come postulato, e oltre a questo introdurremo il postulato
con questo solo apparentemente incompatibile, che la luce nello spazio vuoto si propaghi sempre con una velocità determinata V , indipendente dallo stato di moto dei
corpi emittenti. Questi due postulati bastano a pervenire ad un’elettrodinamica dei
corpi in movimento semplice ed esente da contraddizioni, costruita sulla base della
teoria di Maxwell per i corpi in quiete. L’introduzione di un “etere luminifero” si
dimostra fin qui come superflua, in quanto secondo l’interpretazione sviluppata non
si introduce uno “spazio assoluto in quiete” dotato di proprietà speciali, né si associa
un vettore velocità ad un punto dello spazio vuoto nel quale abbiano luogo processi
elettromagnetici. La teoria da svilupparsi si fonda - come ogni altra elettrodinamica
- sulla cinematica dei corpi rigidi, poiché le affermazioni di una tale teoria riguardano
relazioni tra corpi rigidi (sistemi di coordinate), orologi e processi elettromagnetici.
La non sufficiente considerazione di queste circostanze è la radice delle difficoltà, con
le quali l’elettrodinamica dei corpi in movimento attualmente deve lottare.
b1
Zur Elektrodynamik bewegter Körper, Annalen der Physik 17, 891-921 (1905); qui è riportato
solo il paragrafo introduttivo.
B-1
Appendice C
Maree lunisolari
.P
T
S
L
dS
dL
x
Calcoliamo la componente x dell’accelerazione di una gocciolina d’acqua nel punto
P (per semplicità omettiamo l’indice x):
a = aL + aS
(1)

aL =

GML
GML 
GML
− 2 = 2 
2
(dL − RT )
dL
dL
 2GML RT
2 − 1 ≈
d3L
RT
1
1−
dL

aS =
(2)

GMS
GMS
GMS 
−
= 2 1 − 2
2
dS
(dS + RT )
dS
1
1+
 2GMS RT
2  ≈
d3S
RT
(3)
dS
Nell’ultimo passaggio della (2) e della (3) si è utilizzata la relazione approssimata:
(1 + x)α ≈ 1 + αx.
Il risultato non cambierebbe se il Sole si trovasse dalla stessa parte della Luna; in
quel caso avremmo infatti:


aS =
GMS 
GMS
GMS
− 2 = 2 
2
(dS − RT )
dS
dS
 2GMS RT
2 − 1 ≈
d3S
RT
1
1−
dS
Si ha dunque:
a = aL + aS ≈
2GML RT
2GMS RT
+
.
3
dL
d3S
e, per quanto riguarda l’importanza relativa dei due effetti:
3 3
MS
dL
1.99 · 1030 kg
aS
3, 84 · 108 Z
m
Z
= 0, 454.
≈
·
=
·
aL
ML
dS
1, 50 · 1011 Z
m
7.35 · 1022 kg
Z
C-1
(4)
(5)