Il Tesseract

Il Tesseract
IL TESSERACT (tratto da http://ulisse.sissa.it)
L'ipercubo è l'estensione a n dimensioni del concetto di cubo.
Si consideri la sequenza: punto, segmento, quadrato e cubo. Il punto, che secondo la classica
definizione di Euclide "non ha parti", è una figura a zero dimensioni. Muovendo un punto lungo
una retta si genera un segmento. Il segmento ha una lunghezza, in altre parole è una figura
unidimensionale. Spostando il segmento lungo una direzione perpendicolare a se stesso, si può
generare un quadrato. Il quadrato è bidimensionale essendo dotato di larghezza e lunghezza.
Il passo successivo è facile da intuire: un quadrato che trasla lungo una direzione
perpendicolare al piano che lo contiene descrive un cubo: un oggetto tridimensionale.
Nel generare le varie figure è necessario spostarsi ogni volta in una nuova direzione,
perpendicolare a tutte le precedenti. Il passo successivo sembra problematico, visto che non
esiste una quarta direzione perpendicolare ai tre spigoli del cubo. Per fortuna è difficile
scoraggiare i matematici. In effetti considerare una quarta dimensione perpendicolare alle tre
che conosciamo non comporta alcuna contraddizione e, se accettiamo di considerare una
geometria che non sia necessariamente una descrizione del mondo che ci circonda, nulla ci
impedisce di studiare la quarta dimensione e oltre. Fin dal 1800 i matematici hanno cominciano
a ragionare sulle geometrie a più di tre dimensioni.
Proviamo allora a immaginare uno spazio in cui esistano quattro, cinque o quante vogliamo
direzioni, ciascuna perpendicolare a tutte le altre. In questo spazio è possibile costruire una
figura quadridimensionale traslando il cubo in una direzione che il nostro cervello
tridimensionale non riesce a visualizzare.
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Il Tesseract
Analogamente quest'oggetto ne può generare un altro in cinque dimensioni e così via
all'infinito. Queste figure si chiamano ipercubi n-dimensionali. Molto spesso con il termine
ipercubo si designa il solo ipercubo quadridimensionale, il quale è chiamato anche tesseratto
dalle parole greche che significano quattro raggi. Il tesseratto è quindi una figura che sta al
cubo come il cubo sta al quadrato. Seguendo questa analogia possiamo dedurne moltre
proprietà: esso ha 16 vertici e 32 spigoli ed è delimitato da 8 “iperfacce” cubiche, il suo
ipervolume si ottiene elevando alla quarta potenza la lunghezza del lato ecc.
Può esistere un ipercubo nella realtà? Molto dipende da cosa intendiamo per “esistenza” e da
quello che crediamo di sapere sulla forma della nostra realtà. Essa sembra estendersi su tre
dimensioni spaziali e su una dimensione temporale, qualitativamente diversa dalle prime tre. La
simmetria dell'ipercubo, che non privilegia una dimensione rispetto alle altre, ci porta a
escludere il tempo dalle nostre considerazioni. Rimangono tre dimensioni spaziali che sono
troppo poche per ospitare un intero ipercubo.
È un pò come se volessi far entrare un intero cubo sulla superficie di un foglio di carta. Il meglio
che posso fare è disegnarne un modello: ad esempio un disegno in prospettiva, oppure il
familiare sviluppo riportato nella figura sottostante.
Analogamente è possibile realizzare nel nostro spazio tridimensionale dei modelli dell'ipercubo.
Ad esempio posso costruirne lo sviluppo: una torre cruciforme formata da otto cubi che un
essere quadridimensionale potrebbe ripiegare in una direzione inconcepibile per noi.
Il contatto diretto con un cubo quadridimensionale è comunque un'idea così affascinante che
diversi scrittori ne hanno fantasticato.
Ad esempio Robert Heinlein ha scritto un racconto in cui si parla di una casa costruita a forma
dello sviluppo di un ipercubo. Dopo un violento terremoto la casa si ripiega su se stessa
lasciando agli attoniti protagonisti la visione del solo piano inferiore: l'unica iperfaccia che è
rimasta immersa nel nostro spazio.
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