Pillole di Analisi - Matematica e Applicazioni

Pillole di Analisi
Roberto Paoletti∗
1
Preliminari
Insiemi numerici. Nel seguito denoteremo con N = {0, 1, 2, . . .} l’insieme
dei numeri naturali,
m con Z = {. . . , −2,
−1, 0, 1, 2, . . .} l’insieme dei numeri
interi, con Q = n : m, n ∈ Z, n 6= 0 l’insieme dei numeri razionali e con
R l’insieme dei numeri reali. Abbiamo le operazioni di somma e prodotto
con le usuali proprietá.
Rispetto ai numeri naturali, gli insiemi Z, Q e R godono della proprietá
di contenere l’opposto −x di ogni loro elemento x.
Rispetto ai numeri interi, gli insiemi Q e R godono della seguente proprietá: se x ∈ R e x 6= 0, allora esiste ed é unico un inverso x−1 ∈ R,
cioé un numero reale x−1 tale che xx−1 = 1 (e quindi anche x−1 x = 1). Se
x = m/n ∈ Q e m, n 6= 0 allora x−1 = n/m ∈ Q.
L’inverso di un prodotto é il prodotto degli inversi dei fattori; piú precisamente, dati α1 , . . . , αr ∈ R abbiamo
(α1 · α2 · · · αr )−1 = α1−1 · α2−1 · · · αr−1 .
Si hanno le inclusioni proprie
N ( Z ( Q ( R.
Per esempio,
1
2
∈ Q \ N,
√
2 ∈ R \ Q.
Proprietá di cancellazione. Se α, β ∈ R (o, ovviamente, N, Z o Q) e
αβ = 0 allora almeno uno tra α e β é uguale a zero. Equivalentemente, se
α, β 6= 0 allora α · β 6= 0. Piú in generale, se α1 , . . . , αn ∈ R e αi 6= 0 per
∗
Indirizzo. Dipartimento di Matematica e Applicazioni, Università degli Studi
di Milano Bicocca, Via Bicocca degli Arcimboldi 8, 20126 Milano, Italy; e-mail:
[email protected]
1
ogni i = 1, . . . , n allora α1 · α2 · · · αn 6= 0. In particolare, se α, β, γ ∈ R sono
dati, γ 6= 0 e αγ = βγ allora
αγ = βγ ⇒ αγ − βγ = 0 ⇒ (α − β)γ = 0 ⇒ α − β = 0 ⇒ α = β.
L’ordinamento. Come noto, una proprietá fondamentale dei numeri
reali é l’esistenza di un ordinamento: se α, β ∈ R allora si ha α ≤ β o
α > β. La condizione α ≤ β equivale alla α − β ≤ 0.
Un numero reale si α dice positivo se α > 0, negativo se α < 0, nonnegativo se α ≥ 0, nonpositivo se α ≤ 0.
L’ordinamento si comporta bene rispetto alle operazioni: Innanzitutto,
per ogni α, β, γ ∈ R si ha
α ≤ β ⇐⇒ α + γ ≤ β + γ.
Per esempio si ha 2 < 3,14 e d’altra parte 1 = 2 − 1 < 3,14 − 1 = 2, 14.
Inoltre,
α < β ⇐⇒ α · γ < β · γ se γ > 0,
α > β ⇐⇒ α · γ > β · γ se γ < 0.
Per esempio,
1
1
15
5
= −10· −
< −15· −
= .
2 < 3, −10 = 2·(−5) > 3·(−5) = −15,
2
4
4
4
In particolare, se α, β > 0 moltiplicando la α > 0 per β > 0 otteniamo
αβ > 0β = 0.
Se α > 0 e β < 0 moltiplicando la α > 0 per β < 0 otteniamo
αβ < 0β = 0.
Se infine α < 0 e β < 0 moltiplicando la α < 0 per β < 0 otteniamo
αβ > 0β = 0.
Quindi: il prodotto di due numeri reali non nulli é positivo se e solo se
hanno segni concordi, negativo altrimenti. Per esempio, 2 · (−1) = −2 < 0,
3 · 4 = 12 > 0, (−4) · (−7) = 28 > 0. In particolare, se α 6= 0 allora
α2 = α · α > 0.
2
Piú in generale, se α 6= 0 allora
α2n = (αn )2 = αn · αn > 0.
Quindi: una potenza pari di un numero reale non nullo é sempre un
numero reale positivo.
Piú in generale, il prodotto di un numero pari di numeri reali tutti dello
stesso segno (ovvero o tutti positivi o tutti negativi) é un numero reale positivo.
Esempio 1. Si discuta la diseguaglianza
x−3
1
> .
2x + 1
4
Il denumeratore é definito per x 6= −1/2.
Supponiamo innanzitutto x > −1/2. Allora 2x + 1 > 0. Moltiplicando
la diseguaglianza per 4(2x + 1) > 0 otteniamo l’altra equivalente 4x − 12 >
2x + 1 ⇔ 2x > 13 ⇔ x > 13/2. Poiché 13/2 > −1/2, la diseguaglianza é
soddisfatta se x > 13/2, non lo é se −1/2 < x ≤ 13/2.
Supponiamo ora x < −1/2, ovvero 2x + 1 < 0. Moltiplicando la diseguaglianza per 2x + 1 < 0 otteniamo l’altra equivalente x < 13/2. Quindi
la diseguaglianza é soddisfatta se x < −1/2.
Pertanto la diseguaglianza é soddisfatta se e solo se x ∈ (−∞, −1/2) ∪
(13/2, +∞).
Se α, β ∈ R e α ≤ β porremo
[α, β] = {x ∈ R : α ≤ x ≤ β}.
Se α < β porremo anche
[α, β) = {x ∈ R : α ≤ x < β},
(α, β] = {x ∈ R : α < x ≤ β},
(α, β) = {x ∈ R : α < x < β}.
Si pone anche, per α ∈ R:
[α, +∞) = {x ∈ R : α ≤ x},
(−∞, α] = {x ∈ R : x ≤ α},
(α, +∞) = {x ∈ R : x > α},
3
(−∞, α) = {x ∈ R : x < α}.
Il segno di un numero reale. Se 0 6= α ∈ R, il segno di α é
+1 se α > 0,
sgn(α) =
−1 se α < 0.
La retta reale. Non faremo ovviamente la costruzione dei numeri reali
in modo rigoroso; ricordiamo solo che essi sono in corrispondenza biunivoca
con la retta, quando su di questa sia stata fissata un’origine e un’unitá di
lunghezza. Parleremo di retta reale quando vorremo sottintendere questa
corrispondenza biunivoca.
I numeri reali positivi sono a destra dell’origine, quelli negativi a sinistra.
Il valore assoluto (la distanza dall’origine) e le sue proprietá.
Definizione 1. Il valore assoluto di un numero reale α é definito da
α
se α ≥ 0
|α| =
−α se α ≤ 0.
Ad esempio, |2| = | − 2| = 2. Geometricamente, se α corrisponde a un
punto p sulla retta reale, |α| é la distanza di p dall’origine con la data unitá
di lunghezza.
Abbiamo le seguenti uguaglianze fondamentali:
|αβ| = |α| |β|,
|α + β| ≤ |α| + |β|,
valide per ogni coppia α, β di numeri reali. Per esempio,
|2 + 3| = |5| = |2| + |3|,
| − 2 − 3| = | − 5| = 5 = 2 + 3 = | − 2| + | − 3|,
ma
|2 − 3| = | − 1| = 1 < |2| + | − 3| = 2 + 3 = 5.
Quindi in generale la diseguaglianza |α + β| ≤ |α| + |β| non é un uguaglianza;
in effetti vale l’uguale se e solo se α e β hanno lo stesso segno (ovvero sono
entrambi positivi o negativi).
Esempio 2. Si discuta la diseguaglianza |2x2 − 4x| < 1.
4
Si ha
2x2 − 4x = 2x(x − 2) > 0 se x > 2 o x < 0,
2x2 − x ≤ 0 se 0 ≤ x ≤ 2.
Sia x > 2 o x < 0. Allora
|2x2 − 4x| = 2x2 − 4x
e la diseguaglianza equivale alla
2x2 − 4x < 1.
Abbiamo
1
2x −4x−1 = 2 x − 2x −
2
2
2
3
3
2
2
= 2 (x − 2x + 1) −
= 2 (x − 1) −
.
2
2
Questo é < 0 se
r
1−
3
<x<1+
2
r
3
.
2
q
3
2
q
Pertanto, la diseguaglianza é soddisfatta se 2 < x < 1 +
e se 1 − 32 <
q
q
x < 0. Non lo é se x ≥ 1 + 32 o se x ≤ 1 − 32 .
Sia 0 < x < 2. Allora |2x2 −4x| = 4x−2x2 < 1 equivale a 2x2 −4x+1 > 0.
Si ha
1
1
2
2
2
2x − 4x + 1 = 2 x − 2x +
= 2 (x − 1) −
>0
2
2
se
r
r
1
1
x>1+
o x<1−
.
2
2
q
q
Quindi la dis. é soddisfatta se 1 + 12 < x < 2 ovvero 0 < x < 1 − 12 , non
q
q
1
lo é se 1 − 2 ≤ x ≤ 1 + 12 .
Il valore assoluto dell’inverso. Da quanto precede segue, in particolare, che se α 6= 0 allora
1 = |1| = |αα−1 | = |α| |α−1 |,
e quindi
|α−1 | = |α|−1 .
5
Siano α, β ∈ R entrambi non nulli. Supponiamo |α| ≤ |β|. Dividendo
entrambi i lati di questa disuguaglianza per |α| |β| > 0, otteniamo
1
1
≤
.
|β|
|α|
1
1
Quindi, se ad esempio |α| > 100, allora |α|
< 100
: se α é molto distante
−1
dall’origine (lo 0 sulla retta reale), allora α é molto vicino all’origine. Se
viceversa 0 < |β| < 1/100 allora, moltiplicando per 100|β|−1 vediamo che
|β|−1 > 100: se β é molto vicino all’origine, allora β −1 é ne é molto lontano.
Riassumendo, l’inversione porta punti vicini all’origine (numeri non nulli
piccoli in valore assoluto) in punti lontani dall’origine (numeri grandi in
valore assoluto) e viceversa.
Distanza tra numeri reali. Dati α, β ∈ R, il modulo |α − β| della
differenza si interpreta geometricamente come la distanza tra α e β (visti
come punti della retta reale). Per esempio, la distanza tra 1 e −1 é |1 −
(−1)| = |2| = 2.
Approssimazione con numeri razionali. Conviene anche ricordare
che ogni numero reale puó essere approssimato a piacere da un numero
∈ Q tale che
nel senso che se α ∈ R e > 0 allora esiste m
n
razionale,
α − m < . Detto altrimenti, si possono trovare numeri razionali a disn
tanza arbitrariamente piccola da un qualsiasi numero reale fissato. Quindi,
se α ∈ R per ogni intero positivo i = 1, 2, . . . esiste un numero razionale
mi /ni ∈ Q tale che
α − m i < 1 .
ni i
2
Polinomi
Il monomio xr e le sue proprietá di simmetria. Per ogni α ∈ R e ogni
intero r ≥ 1 abbiamo una ben definita potenza r-ima
αr = α · · · α
r volte.
Se r = 0 poniamo α0 = 1 per ogni α. Per ogni α, β ∈ R si ha (α β)r = αr β r
e quindi ponendo β = −1 si ha in particolare
(−α)r = αr se r é pari,
(−α)r = −αr se r é dispari.
6
Si ricordi infatti che
r
(−1) =
1
−1
se r é pari
se r é dispari.
Risulta definita una funzione fr : R → R data da fr (x) = xr . É chiaro
che fr (N) ⊆ N e fr (Q) ⊆ Q.
Un’identitá importante. Siano α, β ∈ R, r ≥ 1 intero. Si ha allora
αr − β r = (α − β) · (αr−1 + αr−2 β + · · · + α β r−2 + β r−1 ).
Per esempio, α2 − β 2 = (α − β)(α + β), α3 − β 3 = (α − β)(α2 + αβ + β 2 ).
Esempio 3. Discutere la diseguaglianza xn < x per n = 1, 2, · · · .
Se n = 1, abbiamo x1 = x per ogni x reale.
Supponiamo allora n ≥ 2.
Se x = 0, 0n = 0 per ogni n ≥ 2.
Consideriamo il caso x > 0. Allora xn < x divisa per
√ x > 0 diventa
n−1
x
< 1; dato che xn−1 é crescente per x ≥ 0 si ha x < n−1 1 = 1.
Consideriamo ora il caso x < 0.
Se n é pari, xn > 0 perché una potenza pari di un numero reale 6= 0 é
sempre > 0. Quindi essendo x < 0 < xn , la xn < x non é mai soddisfatta
per n pari e x < 0.
Consideriamo il caso n dispari. Dividendo la xn < x per x < 0 otteniamo
la xn−1 > 1. Poiché n é dispari, n − 1 é pari e quindi xn−1 = (−x)n−1 > 1 se
e solo se
√
√
n−1
1=1
−x = n−1 −x >
ovvero se e solo se x < −1.
Quindi la diseguaglianza xn < x é soddisfatta se e solo se:
i): n é pari e 0 < x < 1;
ii): n é dispari e x > 1 oppure x < −1.
Domanda: fr (x) = xr é iniettiva?
Caso r dispari: la risposta é sı̀. Affermo infatti che se r é dispari
allora fr é strettamente crescente, ovvero fr (x) < fr (y) se x < y. Questo
implica chiaramente che fr (x) 6= fr (y) se x 6= y, poiché allora dev’essere
x < y o y < x.
Per vedere che xr < y r se x < y cominciamo a osservare che siccome
r é dispari, abbiamo xr < 0 se x < 0, 0 < y r se 0 < y. Pertanto, basta
7
dimostrare che xr > y r se 0 > x > y e poi se x > y > 0, gli altri casi essendo
ovvi.
Ma se x e y sono entrambi positivi o entrambi negativi, ogni termine della
somma
xr−1 + xr−2 y + · · · + xy r−2 + y r−1
é positivo, quindi tale é la somma stessa. Infatti r − 1 é pari, pertanto ogni
addendo é il prodotto di un numero pari di fattori tutti dello stesso segno.
Dato peró che
xr − y r = (x − y)(xr−1 + xr−2 y + · · · + xy r−2 + y r−1 ),
concludiamo che se x > y > 0 o se 0 > x > y allora xr − y r > 0.
Caso r pari: la risposta é no. La funzione fr é non é iniettiva se
r é pari, poiché in tal caso fr (x) = xr = (−x)r = fr (−x) ∀ x ∈ R. Ad
esempio, 22 = (−2)2 = 4, ovvero f2 (2) = f2 (−2); 34 = 81 = (−3)4 , ovvero
f4 (3) = f4 (−3). Tuttavia, per r pari lo stesso ragionamento fatto sopra
implica che fr é strettamente crescente per x ≥ 0 e strettamente decrescente
per r dispari.
Ad esempio,
3
3
3
3
27
27
3
=
=
<1 <
.
64
4
8
2
3
Estrazione della radice r-ima assoluta di un
numero reale non-negativo.
Ci sono varie ragioni per usare i numeri reali piuttosto che quelli razionali.
La ragione algebrica é che nei reali si puó estrarre la radice r-ima, per ogni
intero r ≥ 1:
Teorema 1. Sia α ≥ 0 reale, r ≥ 1 un intero. Allora esiste ed é unico
β ∈ R, β ≥ 0 tale che β r = α.
Ció é falso sui razionali: per esempio, non esiste un numero razionale il cui
quadrato é 2.
√
r
α l’unico numero reale
Se α ∈ R, α ≥ 0e r ≥ 1 é un intero,
denoteremo
√
r
r
β ≥ 0 tale che β = α. Diremo che α é la radice r-ima assoluta di α.
Se α ≥ 0 é reale e n ≥ 1 intero abbiamo, direttamente dalla definizione:
√
√
( n α)n = α, n αn = α,
8
e se anche m ≥ 1 é un intero allora
q
√
√ √
n √
m
α = m·n α, m α n α =
√
m·n
αm+n .
Se poi anche β ≥ 0 é reale allora
p
p
√
n
α n β = n αβ,
e se poi α > 0
r
n
Inoltre
√
n
β
β
= √
.
n
α
α
√
n
p
α > n β se e solo se α > β ≥ 0.
√
√ n
√ n
√
In effetti, se n α > n β allora α = ( n α) > n β = β (il viceversa é
analogo).
Domanda: fr é suriettiva?
Caso r dispari: la risposta é sı̀. Affermo cioé che per ogni α ∈ R
esiste β ∈ R tale che α = fr (β) = β r .
Sia innanzitutto α ≥ 0 e sia β la sua radice r-ima assoluta. Allora per
definizione fr (β) = β r = α.
Sia poi α < 0; allora −α > 0. Sia ora β la radice r-ima assoluta di −α:
β ≥ 0, (−β)r = −α. Ma (−β)r = (−1)r β r = −β r e quindi β r = α.
Caso r pari: la risposta é no. Si ha infatti β r ≥ 0 per ogni β se r é
pari.
Domanda: come si comporta xr per x fissato quando r → +∞?
Chiaramente, 0r = 0 e 1r = 1 per ogni r = 1, 2, . . ..
Innanzitutto, consideriamo il caso x > 1. Allora moltiplicando per ogni
intero r la diseguaglianza x > 1 per il numero positivo xr otteniamo xr+1 >
xr . Quindi x < x2 < x3 < · · · .
Abbiamo il seguente fatto importante: Sia dato x > 1 e fissiamo K > 0
grande a piacere. Allora esiste r ≥ 1 tale che xr > K. Quindi K < xr <
xr+1 < xr+2 < · · · . In altre parole, limr→+∞ xr = +∞ se x > 1.
Se x < −1, allora −x > 0 e quindi (−x)r → +∞ per r → +∞. D’altronde
xr = (−1)r (−x)r , e quindi xr → +∞ se r → +∞ restando pari, xr → −∞
se r → +∞ restando dispari.
Supponiamo |x| < 1, ovvero x ∈ (−1, 1). Consideriamo il caso 0 < x <
1. Allora x−1 > 1 e quindi (x−1 )r → +∞. Ma (x−1 )r = (xr )−1 . Quindi
(x−1 )r → 0+ .
9
Esercizio 1. Si consideri il caso −1 < x < 0.
Domanda: come si comporta xr per r fissato e x → ∞ - ossia x
molto grande (ovvero molto distante dall’origine)?
Caso di x molto grande positivo. Consideriamo innanzitutto il caso
x molto grande positivo. Fissiamo K > 0 grande a piacere e chiediamoci se é
vero che xr > K quando
x é sufficientemente grande√e positivo. Ma xr > K
√
r
se e solo se x > K. Quindi basta prendere x > r K per avere xr > K.
In altri termini, possiamo rendere xr arbitrariamente grande positivo pur di
prendere x appropriatamente grande positivo. I matematici dicono che xr
tende a +∞ quando x tende a +∞, e scrivono
lim xr = +∞.
x→+∞
Caso x grange negativo e r pari. Consideriamo ora il comportamento
di xr per valori di x molto grandi negativi, cioé per x < 0 con |x| = −x grande
positivo.
Se r é pari, allora xr = (−x)r e quindi per quanto appena
detto preso
√
r
r
r
K > 0√grande a piacere avremo x = (−x) > K se −x > K, ovvero se
x < − r K. Quindi se r é pari possiamo rendere xr arbitrariamente grande
positivo prendendo x appropriatamente grande negativo. Scrivendo r = 2n,
abbiamo
lim x2n = +∞.
x→−∞
Caso x grande negativo e r dispari. Supponiamo ora r dispari e x <
r
0.
Allora
−x > 0 e xr = −(−x)r . Fissato K > 0 avremo (−x)√
> K se −x >
√
r
r
r
r
K. Detto altrimenti avremo −K > −(−x) = x se x < − K. Quindi se
r é dispari possiamo rendere xr arbitrariamente grande negativo prendendo
x appropriatamente grande negativo. Scrivendo r = 2n + 1, abbiamo
lim x2n+1 = −∞.
x→−∞
Domanda: come si comporta all’infinito axr con a 6= 0? Se a 6= 0,
segue chiaramente da quanto visto che
lim axr = sgn(a)∞
x→+∞
(cioé +∞ se a > 0, −∞ se a < 0).
10
Se r é pari, abbiamo anche
lim axr = sgn(a)∞.
x→−∞
Se r é dispari,
lim axr = −sgn(a)∞.
x→−∞
Per esempio,
lim 2x6 = lim 7x6 = +∞,
x→+∞
x→−∞
lim 13 · x7 = +∞,
x→+∞
lim (−4)x8 = −∞,
x→−∞
lim 5x7 = −∞,
x→−∞
Consideriamo ora la funzione
funzione
1
.
xr
lim (−13)x4 = −∞,
x→+∞
lim (−11)x5 = +∞.
x→−∞
Questa é ben definita ove x 6= 0, cioé é una
gr : R \ {0} → R.
Vogliamo descriverne il comportamento per valori molto grandi, positivi e
negativi, di x. Abbiamo
1
= 1 = 1 .
xr |xr |
|x|r
Pertanto, dato che |xr | é molto grande quando x é molto grande, cioé ha
grande distanza da 0, 1/xr é molto piccolo, cioé ha distanza molto piccola
da 0.
Scriveremo
1
lim r = 0.
x→±∞ x
Definizione 2. Un polinomio di grado r ≥ 0 (r intero) é una funzione
f : R → R della forma
f (x) = ar xr + ar−1 xr−1 + · · · + a0 .
Qui gli aj sono numeri reali fissati, detti i coefficienti del polinomio, e ar 6= 0.
Un polinomio di grado zero non é altro che una funzione costante non
nulla, mentre la funzione nulla si dice un polinomio di grado −1.
Definizione 3. Dato un polinomio di grado r ≥ 0 (r intero)
f (x) = ar xr + ar−1 xr−1 + · · · + a0 ,
un numero reale α si dice radice di f se f (α) = 0, cioé
ar αr + ar−1 αr−1 + · · · + a0 = 0.
11
Un polinomio reale di grado r ≥ 1 ha al piú r radici, ma puó anche
averne di meno o addirittura nessuna. Ad esempio, x2 − 1 ha grado 2 ed ha
due radici distinte ±1, mentre x2 + 1 ha grado 2 e non ha nessuna radice
(reale). Denoteremo con Rf ⊂ R l’insieme delle radici del polinomio f ; Rf é
un sottoinsieme finito di R, di cardinalitá ≤ grado(f ).
Comportamento all’infinito di un polinomio. Sia dato un polinomio
di grado r ≥ 0 (r intero)
f (x) = ar xr + ar−1 xr−1 + · · · + a0 .
Per definizione ar 6= 0. Vogliamo studiare il comportamento di f (x) per x
molto grande positivo o negativo. Per x 6= 0, possiamo raqccogliere ar xr :
ar−1 1 ar−2 1
a0 1
r
.
f (x) = ar x · 1 +
· +
·
+ ··· +
·
ar x
ar x 2
ar x r
Per x molto grande in modulo, ognuno degli addendi nella somma
ar−1 1 ar−2 1
a0 1
· +
· 2 + ··· +
·
ar x
ar x
ar x r
é molto piccolo (molto vicino a 0) e quindi
1+
ar−1 1 ar−2 1
a0 1
· +
· 2 + ··· +
·
ar x
ar x
ar x r
é molto vicino a 1.
Abbiamo quindi che
lim f (x) = lim ar xr .
x→±∞
4
x→±∞
Funzioni razionali fratte.
Una funzione razionale fratta é il rapporto di due polinomi. Pertanto essa
é definita dove il denumeratore é 6= 0. Piú precisamente, siano f (x) =
ar xr + ar−1 xr−1 + · · · + a0 , g(x) = bs xs + bs−1 xs−1 + · · · + b0 due polinomi,
(x)
con g(x) 6= 0 (non identicamente nullo). La funzione fg(x)
é ben definita sul
complementare dell’insieme delle radici di g(x). In altri termini, x 7→
una funzione ben definita R \ Sf → R.
f (x)
g(x)
é
Comportamento all’infinito (ossia per valori di x molto grandi).
Consideriamo ad esempio il comportamento all’infinito di
6x2 − 3x + 5
.
3x9 + 5x6 − 2x2 + 1
12
Per x molto grande in modulo, il denumeratore é certamente non nullo.
Raccogliamo 6x2 nel numeratore e 3x9 al denumeratore; otteniamo
1
6x2 1 − 2x
+ 6x52
6x2 − 3x + 5
.
= 9
3x9 + 5x6 − 2x2 + 1
3x 1 + 3x53 − 3x27 + 3x19
1
Per x molto grande in modulo, 1 − 2x
+ 6x52 e 1 + 3x53 − 3x27 + 3x19 sono entrambi
molto vicini a 1. Pertanto,
6x2
6x2 − 3x + 5
2
=
lim
= lim 7 = 0.
9
6
2
9
x→±∞ 3x
x→+∞ 3x + 5x − 2x + 1
x→±∞ x
lim
Consideriamo ora il comportamento all’infinito di
3x9 1 + 3x53 − 3x27 + 3x19
3x9 + 5x6 − 2x2 + 1
3x9 (1 + · · · )
=
.
=
1
6x2 − 3x + 5
6x2 (1 − · · · )
6x2 1 − 2x
+ 6x52
Ragionando come prima, otteniamo
3x9 + 5x6 − 2x2 + 1
3x9
x7
=
lim
=
lim
= +∞
x→+∞
x→+∞ 6x2
x→+∞ 2
6x2 − 3x + 5
lim
e analogamente
3x9 + 5x6 − 2x2 + 1
3x9
x7
=
lim
=
lim
= −∞.
x→−∞
x→+∞ 6x2
x→−∞ 2
6x2 − 3x + 5
lim
Consideriamo ora
13x15 (1 + . . .)
13x15 + 5x12 − 2x7 + x4 − 7x
.
=
18x15 (1 + · · · )
18x15 − 23x9 + 5x6 − 27 x2 − 21
Ripetendo gli stessi passaggi, otteniamo
13x15 + 5x12 − 2x7 + x4 − 7x
13
13x15
13
=
lim
= lim
= .
2
15
15
9
6
2
x→±∞ 18x − 23x + 5x − x − 21
x→±∞ 18x
x→±∞ 18
18
7
lim
Visti questi esempi, per completezza, esplicitiamo il caso generale. Siano
allora f (x) = ar xr + ar−1 xr−1 + · · · + a0 e g(x) = bs xs + bs−1 xs−1 + · · · + b0
due polinomi, con g(x) 6= 0. Per x molto grande positivo o negativo, avremo
certamente g(x) 6= 0, xr 6= 0, xs 6= 0. Quindi possiamo scrivere
ar−2
ar−1 1
a0
1
1
r
a
x
·
1
+
·
+
·
+
·
·
·
+
·
r
ar
x
ar
x2
a r xr
f (x)
a
(1 + · · · )
= r · xr−s ·
=
.
b
b
b
g(x)
bs
(1 + · · · )
b xs · 1 + s−1 · 1 + s−2 · 1 + · · · + 0 · 1
s
bs
x
bs
x2
bs
13
xs
Qui · · · indica la somma di termini che quando x é molto grande in valore
assoluto sono molto piccoli rispetto a 1. Abbiamo quindi
ar r−s
f (x)
= lim
·x .
x→±∞ bs
x→±∞ g(x)
lim
Ne concludiamo


f (x)
lim
=
x→+∞ g(x)

0
se r < s
ar /bs
se r = s
sgn (ar /bs ) ∞ se r > s.
Analogamente, si deducono i limiti per x → −∞ distinguendo come al solito
i casi r − s pari o dispari.
Esempio 4. Discutere il segno e il comportamento di
x2 − 4x + 1
x−4
agli estremi di definizione.
L’insieme di definizione di
Abbiamo
x2 −4x+1
x−4
é (−∞, 4) ∪ (4, +∞).
x − 4 > 0 se x > 4 e x − 4 < 0 se x < 4.
Scriviamo
x2 − 4x + 1 = x2 − 4x + 4 − 3 = (x − 2)2 − 3.
Quindi x2 − 4x + 1 si annulla per (x − 2)2 = 3, ovvero x = 2 ±
√ √ x2 − 4x + 1 = x − (2 + 3) (x − (2 − 3) .
√
3. Pertanto
√
√
2
2
Quindi
√ x − 4x + 1√> 0 se x > 2 + 3 o x < 2 − 3 e x − 4x + 1 < 0 se
2 − 3√
< x < 2 + 3.
2 + 3 é a destra o a sinistra di 4? Scriviamo, con ? uguale a <, = o >
da determinarsi:
√
2+ 3 ? 4
equivale a (sottraendo 2 a entrambi i membri)
√
3?2
14
equivale a (elevando al quadrato i due membri ≥ 0)
3 ? 4.
Poiché 3 < 4 dobbiamo prendere ? uguale a < e quindi 2 +
Quindi
√
3 < 4.
√
√
x2 − 4x + 1
> 0 se x > 4 oppure 2 − 3 < x < 2 + 3,
x−4
√
x2 − 4x + 1
= 0 se x = 2 ± 3
x−4
e
√
√
x2 − 4x + 1
< 0 se 2 + 3 < x < 4 oppure x < 2 − 3.
x−4
Abbiamo poi
x2 − 4x + 1
= lim x = ±∞.
x→±∞
x→±∞
x−4
lim
Consideriamo il comportamento per x vicino a 4. Quando x si avvicina
a 4 da destra, x2 − 4x + 1 si avvicina a 16 − 16 + 1 = 1 > 0, mentre x − 4 si
avvicina a 0 restando positivo. Quindi
x2 − 4x + 1
1
lim+
= lim+
= +∞.
x→4
x→4 x − 4
x−4
Quando x si avvicina a 4 da sinistra, x − 4 tende a 0 restando negativo e
quindi
x2 − 4x + 1
1
lim−
= lim−
= −∞.
x→4
x→4 x − 4
x−4
5
Esponente con base positiva.
Sia α > 0. Vogliamo dare un senso all’espressione αx per x ∈ R arbitrario.
Esponente intero relativo. Innanzitutto, se x = 0, porremo α0 = 1;
se poi n ≥ 1 é intero, porremo
αn = α
| · α{z· · · α},
n volte
α−n = (αn )−1 .
15
Poiché l’inverso di un prodotto é il prodotto degli inversi, abbiamo allora
−1
−1 n
.
α−n = |α−1 · α−1
{z · · · α } = α
n volte
In questo modo αn é definito per ogni α > 0 e ogni n ∈ Z, e chiaramente
αn > 0 per ogni α ∈ R e n ∈ Z.
Esponente razionale. Supponiamo ora n ∈ N e n 6= 0. Poniamo
√
√ −1
1
1
α n = n α, α− n = n α
,
√
ove n α é la radice n-ima assoluta di α. Se m/n ∈ Q e n > 0 poniamo
m 1 m
√
m
n
n
α =:
α = αn
.
Non é difficile verificare che tale definizione é ben posta, cioé che se m/n =
m0 /n0 con m, n, m0 , n0 ∈ Z allora
m0
m
α n = α n0 .
Si ha inoltre l’identitá
m
αn =
√
n
αm .
Risulta pertanto definita la potenza αx per ogni α > 0 e ogni x ∈ Q. Si
hanno le note proprietá
m
m0
m
m0
α n · α n0 = α n + n0 = α
mn0 +nm0
nn0
,
m
αn
mn00
mm0
= α nn0 .
√
Esempio 5. Per ogni n = 1, 2, · · · si discuta la diseguaglianza n x < x al
variare di x ≥ 0.
√
Se n = 1, n x = x per ogni x ≥ 0. Supponiamo n ≥ 2. Se α, β ≥ 0
allora abbiamo α ≥ β se e√solo se αn ≥ β n , dal momento che fn é crescente
su [0, +∞). Elevando la n x < x alla n otteniamo la diseguaglianza
equiv√
alente x < xn . Se x = 0, abbiamo l’ovvia uguaglianza n 0 = 0. Se x > 0,
moltiplichiamo per x−1 = x1 per ottenere l’equivalente 1 < xn−1 ; prendendo
√
n
la radice n − 1-ima otteniamo 1 < x. Quindi la diseguaglianza
x < x é
√
n
soddisfatta se e solo se x > 1. Allo stesso modo, si vede che x > x se e
solo se 0 < x < 1.
√
In altri termini, se n ≥ 2 il grafico di f1/n (x) = n x (x ≥ 0) sta sopra la
retta y = x per 0 < x < 1 e le sta sotto per 1 < x.
16
Esempio 6. Discutere la relazione tra il grafico delle funzioni xn e
nite su [0, +∞).
√
n
x defi-
Poiché per ogni α ≥ 0 esiste ed é unico β ≥ 0 tale che β n√= α, la funzione
xn é biunivoca [0, +∞) → [0, +∞), ovvero
invertibile, e n x ne é l’inversa
√
[0, +∞) → [0, +∞). Quindi il grafico di n x per x ≥ 0 si ottiene dal grafico
di xn per x ≥ 0 per riflessione rispetto alla retta x = y.
Esponente reale arbitrario. Veniamo ora alla potenza αx con α > 0
e x ∈ R arbitrario. Per definirla, ricordiamo che x puó essere approssimato
a piacere con numeri razionali. Possiamo cioé trovare una sequenza xi di
numeri razionali xi = mi /ni (con ni > 0) tali che |x − xi | é piccolo a piacere
pur di prendere
√ m i abbastanza grande. Si puó dimostrare che allora le potenze
αxi = ( ni α) i si avvicinano sempre piú a un ben determinato numero reale,
che per definizione chiamiamo αx .
Tutte le proprietá che ci si aspetta da un esponenziale continuano a valere:
se α > 0, allora
αx · αy = αx+y , α−x = (αx )−1 , (αx )y = αxy , 1x = 1
per ogni x, y ∈ R. Se poi α, β > 0 allora
αx · β x = (αβ)x ,
per ogni x ∈ R. Notiamo che per x 6= 0 abbiamo per ogni α > 0:
1 x
1
x x1
α = α = (α ) = α x .
Pertanto le funzioni fx : (0, +∞) → (0, +∞) e f 1 : (0, +∞) → (0, +∞) date
x
1
da fx (y) = y x e f 1 (y) = y x sono una l’inversa dell’altra.
x
Proprietá dell’esponenziale con esponente fissato. Se fissiamo y
reale, abbiamo una funzione
fy : (0, +∞) → (0, +∞), fy (x) = xy .
Da quanto visto sopra segue facilmente che per y > 0 la funzione fy é strettamente crescente, per y < 0 é strettamente decrescente e nel caso intermedio
y = 0 é ovviamente la funzione costante = 1. Abbiamo per y > 0:
lim xy = +∞, lim xy = 0, 1y = 1.
x→+∞
y
Per y < 0 essendo x =
x→0+
1
x−y
con −y > 0 segue che
lim xy = 0, lim xy = +∞, 1y = 1.
x→+∞
x→0+
17
Esercizio 2. Per y = −1 e y = −2 otteniamo le funzioni 1/x e 1/x2 . Verificare
le affermazioni precedenti in questi casi espliciti.
6
La funzione esponenziale (con base fissata).
Fissiamo a > 0 e consideriamo la funzione, detta funzione esponenziale
di base a,
expa : R −→ (0, +∞)
data da expa (x) = ax .
Caso a > 1. Se a > 1, la funzione expa é crescente: ax < ay se x < y.
Abbiamo
lim ax = +∞, lim ax = 0+ , a1 = a.
x→−∞
x→+∞
Caso a = 1. Se a = 1, 1x = 1 per ogni x.
Caso 0 < a < 1. Se 0 < a < 1, la funzione expa é decrescente. Il suo
comportamento si deduce dal caso a > 1, perché
−x
1
1
x
,
a = −x =
a
a
ovvero
expa (x) = exp1/a (−x)
e d’altronde 1/a > 1. Quindi
x
1
x
lim a = lim
= 0+ ,
x→+∞
x→−∞
a
x
1
lim a = lim
= +∞, a1 = a.
x→−∞
x→+∞
a
x
Confronto con le potenze di x.
Per x → +∞, la funzione esponenziale con base a > 1 cresce molto
rapidamente, piú rapidamente di ogni potenza di x. Ad esempio,
2x
= +∞.
x→+∞ x1022
Piú in generale, per ogni a > 1 e r ∈ R si ha
lim
ax
= +∞.
x→+∞ xr
lim
18
1
Per x → −∞, poiché ax = a−x
e −x → +∞ quando x → −∞, ne segue
che la funzione esponenziale tende a zero cosı́ velocemente da uccidere ogni
potena di x; usiamo il fatto che
−x
1
10299 x
10299
x
2 = −(−x)
2
per concludere che
x10299
= 0.
x→+∞ 2x
lim x10299 2x = − lim
x→−∞
Piú in generale, per ogni a > 1 e r ∈ R si ha
lim xr ax = 0.
x→−∞
Esercizio 3. Discutere il caso 0 < a < 1.
La funzione esponenziale expa porta somme in prodotti:
expa (x + y) = expa (x) · expa (y),
per ogni a > 0 e x, y ∈ R. Infatti
expa (x + y) = ax+y = ax · ay = expa (x) · expa (y).
Inoltre:
Teorema 2. Sia a > 0, a 6= 1. Allora per ogni y > 0 esiste ed é unico x ∈ R
tale che ax = y, ovvero tale che expa (x) = y.
In altre parole, la funzione esponenziale é una funzione biunivoca da R a
R+ = (0, +∞).
7
La funzione logaritmo.
Sia a > 0, a 6= 1 fissato. Per quanto visto, essendo invertibile la funzione
esponenziale expa di base a ammette un’inversa R+ = (0, +∞) → R. Tale
inversa si dice la funzione logaritmo di base a e si denota loga .
Pertanto, dato x > 0, loga (x) é l’unico numero reale y tale che x = ay .
Ad esempio,
log2 (4) = 2
perché 4 = 22 ,
log2 (8) = 3
19
perché 8 = 23 ,
log4 (2) = 1/2
1
perché 2 = 4 2 ,
perché 5 =
√
3
log125 (5) = 1/3
1
125 = 125 3 ,
log81 (3) = 1/4,
etc.
La funzione logaritmo in base a > 0 (a 6= 1) é quindi l’unica funzione
loga : (0, +∞) −→ R
tale che
loga (ay ) = loga (expa (y)) = y
per ogni y ∈ R. Equivalentemente, loga é l’unica funzione
loga : (0, +∞) −→ R
tale che
aloga (y) = expa (loga (y)) = y
per ogni y > 0.
Siano a > 0, a 6= 1 e x, y > 0. Allora xy > 0 e
aloga (x)+loga (y) = aloga (x) aloga (y) = xy.
Quindi,
loga (xy) = loga (x) + loga (y).
Detto altrimenti, loga porta prodotti in somme.
Per ogni a > 0, a 6= 1 abbiamo
a1 = a ⇒ loga (a) = 1, a0 = 1 ⇒ loga (1) = 0.
In generale, se a, b > 0 sono 6= 1 e x ∈ R allora
x
bx = aloga (b) = aloga (b)x ,
ovvero
loga (bx ) = x loga (b).
Ad esempio,
3 = log2 (8) = log2 (23 ) = 3 log2 (2) = 3 · 1,
20
log27 (9) = log27 (32 ) = 2 log27 (3) = 2 ·
In effetti,
2
2
1
= .
3
3
1
(27) 3 = (27 3 )2 = 32 = 9.
Per ogni a, b > 0 abbiamo
a− loga (b) = (aloga (b) )−1 = b−1 ,
ovvero
loga (b−1 ) = − loga (b).
Ad esempio,
log2
1
1
log81
= − log81 (3) = − ,
3
4
!
√
5
√
1
19
2
5
= log2 ( 2) − log2 (16) = − 4 = − .
16
5
5
In generale, come sono legati loga (b) e logb (a) per dati a, b > 0, a, b 6= 1? Si
ha
a1 = a = blogb (a) = (aloga (b) )logb (a) = aloga (b) logb (a) ,
da cui
loga (b) logb (a) = 1.
Detto altrimenti,
loga (b) =
1
logb (a)
se a, b > 0, a, b 6= 1.
Ad esempio,
1
log5 (25) = 2 e log25 (5) = .
2
Piú in generale, se a, b, c > 0 sono dati, con a, b 6= 1, allora
c = blogb (c) = aloga (b)
logb (c)
= aloga (b) logb (c) .
Quindi,
loga (c) = loga (b) logb (c).
Ad esempio,
log81 (9) =
1
1
= · 2 = log81 (3) log3 (9).
2
4
21
In particolare facendo b = 1/a otteniamo (ma é ancora piú facile vederlo
direttamente dalla definizione)
loga (c) = loga (1/a) log 1 (c) = − log 1 (c).
a
a
Poiché expa é crescente per a > 1, tale é anche loga . Viceversa, se 0 <
a < 1 allora expa é decrescente e quindi loga é pure decrescente.
Il grafo di loga si ottiene da quello di expa per riflessione rispetto alla
retta y = x.
Esempio 7. Discutere il segno di loga .
Si ricordi che loga (1) = 0.
Sia a > 1. Si é detto che loga é crescente se a > 1. Quindi loga (x) > 0 se
x > 1, loga (x) < 0 se 0 < x < 1.
Sia 0 < a < 1. Allora loga é decrescente e quindi loga (x) < 0 se x > 1,
loga (x) > 0 se 0 < x < 1.
Esempio 8. Discutere il comportamento di loga per x → +∞ e x → 0+ .
Esempio 9. Discutere la diseguaglianza log2 (1 + x2 ) < 2.
1 + x2 ≥ 1 > 0 per ogni x, quindi log2 (1 + x2 ) é sempre definito. Essendo
2 > 1, exp2 é crescente e quindi
√
√
log2 (1 + x2 ) < 2 ⇔ 1 + x2 < 22 = 4 ⇔ x2 < 3 ⇔ − 3 < x < 3.
Esempio 10. Discutere la diseguaglianza log 1 (1 − x2 ) < 4.
3
Innanzitutto deve essere 1 > x2 (ovvero −1 < x < 1) affinché log 1 (1−x2 )
3
sia definito. Inoltre, exp 1 é decrescente perché 1/3 < 1. Quindi log 1 (1−x2 ) <
3
3
q
q
1
1
80
80
80
2
2
4 ⇔ 1 − x > 34 = 81 ⇔ x < 81 ⇔ − 81 < x < 81 .
Esempio 11. Risolvere l’equazione log3 (x2 − 6x) = 2.
Innanzitutto x2 − 6x > 0, ovvero x(x − 6) > 0. Questo é vero se x > 6
oppure x < 0. In tal caso, applicando exp3 abbiamo x2 − 6x = 32 = 9, ovvero
x2 − 6x − 9√= 0. Si ha x2 − 6x −√
9 = (x2 − 6x + 9) − 18 = (x − 3)2 − 18 da
√cui
2
x − 3 = ± √18, ovvero x =√3 ± 18. Abbiamo 3 = 9 < 18 quindi 3 < 18.
Perció 3 + 18 > 6 e 3 − 18 < 0. Entrambe le soluzioni trovate sono nel
dominio di esistenza del logaritmo.
Definizione 4. Il logaritmo in base 10 viene chiamato logaritmo decimale
e denotato (spesso) con log = log10 (si omette cioé la base).
22
Esempio 12. Dato che log(2) = 0,301 (valore approssimato), determinare
, d.
senza l’ausilio di una calcolatrice: a. log(4), b. log(20000), c. log 100
128
log(1, 28) e. log(0,5), f. log(0,32), g. log(0,0004).
a. log(4) = log(22 ) = 2 log(2) = 0,602;
b. log(20000) = log(2 · 104 ) = log(2) + log(104 ) = 0,301 + 4 = 4,301;
= log(100) − log(128) = 2 − log(27 ) = 2 − 7 · 0,301 = −0,107;
c. log 100
128
d. log(1,28) = log 128
= log(128) − log(100) = log(27 ) − 2 = 7 · 0,301 −
100
2 = 0,107; equivalentemente,
possiamo usare il risultato precedente notando
100 −1
= − log 100
= −(−0,107) = 0,107.
che log(1,28) = log 128
128
1
2
= − log(2) = −0,301;
32
f. log(0,32) = log 100
= log(25 ) − log(102 ) = 5 · 0,301 − 2 = 1,505 − 2 =
−0,495;
e. log(0,5) = log
Esempio 13. Sapendo che log(5) = 0,699, determinare: a.
log(50), c. log(25), d. log125 (0,01).
8
log(0,5), b.
Crescita Esponenziale.
Le funzioni esponenziale e logaritmo sono molto utili nel modellare e studiare
l’evoluzione nel tempo di quantitá soggette a un fissato tasso di crescita.
Esempi di questo tipo di crescita (o decrescita) si presentano in economia,
biologia, fisica, sociologia... Dire che una certa quantitá evolve nel tempo
con un fissato tasso di crescita significa che la sua variazione (incremento o
decremento) tra un istante t e un istante successivo t + ∆t (ove ∆t é un lasso
temporale fissato) é proporzionale al valore al valore X(t):
X(t + ∆t) − X(t) = C X(t)
(l’unitá di tempo va fissata in modo conveniente al problema). Quindi,
X(∆t) = CX(0), X(2∆t) = CX(∆t) = C 2 X(0),
e in generale
X(k∆t) = C k X(0).
Scrivendo t = k∆t e quindi k = t/∆t, otteniamo la legge
X(t) = C t/∆t X(0) = expC (t/∆t) X(0).
23
Qui C é un numero reale fissato che dipende dal nostro problema. In generale,
per C > 0 una crescita esponenziale siffatta é possibile solo per intervalli di
tempo limitati, per l’insorgenza di fattori limitanti esterni; per esempio, la
crescita di una popolazione batterica all’interno di una bottiglia puó essere
esponenziale fino quando la bottiglia non si riempie di batteri: a questo punto
si raggiunge un disastro demografico, con un collasso della popolazione non
piú descritto dal modello esponenziale. Lo stesso puó valere per popolazioni
animali e per la popolazione umana (la bottiglia essendo sostituita da un
certo ecosistema o dall’intera terra).
Per passare a un esempio numerico concreto, supponiamo di avere dei
risparmi in banca con un tasso fisso del 5% annuo, e che l’interesse sia calcolato alla fine di ogni anno. Sia X(t) il valore dei nostri risparmi al tempo t,
misurato in anni (t = 1, 2, 3, . . . corrisponde quindi a un anno, due anni, tre
anni... a partire dal momento in cui abbiamo depositato i nostri risparmi.
Sia X(0) il valore iniziale del nostro deposito. Dopo il primo anno, ci
verrá corrisposto dalla banca un interesse
5
= X(0) · 0,05
100
e quindi sommando il valore iniziale e l’interesse corrisposto dopo un anno
l’ammontare dei nostri risparmi sará di
X(0) ·
X(1) = X(0) + X(0) · 0,05 = X(0) · (1 + 0,05) = 1,05 · X(0)
euri. Analogamente, al termine del secondo anno la banca ci corrisponderá
un interesse pari a
X(1) · 0,05
e quindi al termine del secondo anno avremo
X(2) = X(1) + X(1) · 0,05 = 1,05 · X(1) = 1,052 · X(0).
Continuando, dopo k anni avremo
X(k) = 1,05k · X(0) = exp1,05 (k) · X(0).
Come altro esempio, supponiamo che una certa specie di batteri si divida ogni 3 ore. Sia X(0) il numero di batteri presente in una data colonia
all’istante iniziale (poniamo il 10 aprile 2003 alle ore 12:00). Sia t il tempo
trascorso misurato in ore; quindi t = 25 corrisponde all’11 aprile 2003 alle
ore 13:00, t = 47,5 corrisponde al 12 aprile 2003 alle ore 11:30. Sia X(t)
il numero di batteri nella colonia al tempo t. Ogni 3 ore il valore di X (il
numero di batteri) viene moltiplicato per due, quindi
X(t + 3) = 2 · X(t).
24
Ad esempio, X(3) = 2 · X(0), X(6) = 2X(3) = 22 X(0), X(9) = 2X(6) =
23 X(0) e in generale
X(3k) = 2k X(0).
Quindi, scrivendo t = 3k e quindi k = t/3,
X(t) = 2t/3 X(0) = exp2 (t/3) · X(0).
Esempio 14. Una popolazione batterica si é installata a Paperopoli. La
crescita della popolazione é tale che ogni giorno essa raddoppia. Se un dato
giorno la popolazione é di 1010 , quanto tempo ci vorrá perché arrivi a 1050 ,
soglia di pericolo secondo il dottor Paperetti, responsabile della salute pubblica della cittá?
Prendiamo l’unitá di misura del tempo uguale a un giorno, l’origine (t =
0) sia il momento in cui la popolazione vale 1010 . Il dato del problema é che
dopo un tempo t = k (dopo cioé k giorni) la popolazione si é raddoppiata k
volte, cioé é stata motiplicata per 2k . Sia allora P (t) la funzione che descrive
il numero di batteri nella nostra popolazione al tempo t. Abbiamo
P (t) = 1010 2t .
La soglia di pericolo scatta quando 1010 2t supera 1050 . Si ha
1010 2t ≥ 1050 ⇔ log(1010 2t ) ≥ log(1050 ).
Ora
log(1010 2t ) = log(1010 ) + log(2t ) = 10 + t log(2), log(1050 ) = 50,
e quindi la condizione é
10 + t log(2) ≥ 50,
ovvero
t log(2) ≥ 40.
Quindi essendo log(2) > 0 perché 2 > 1,
t≥
40
= 40 log2 (10).
log(2)
Si noti che 3 < log2 (10) < 4 perché log2 é crescente e 8 < 10 < 16, quindi
l’allarme scatterá tra il 120-imo e il 160-imo giorno. Facciamo un conto preciso. Abbiamo log2 (10) = log(2)−1 = 3,322 (circa) e quindi scatta l’allarme
per
t = 40 · 3,322 = 132, 88.
Quindi scatta l’allarme appena prima del 133-imo giorno.
25
Esempio 15. Avete 128 euri e volete metterli in banca per un investimento
di lungo periodo. Fate conto di tenerli in banca k anni.
La banca A vi offre 15 euri ogni anno (cioé ogni anno sul vostro conto
vengono depositati 15 euri). Quanti euri avrete dopo k anni se fate il vostro
versamento sulla banca A?
La banca B vi offre il 5% di interessi annuo, calcolato anno per anno.
Quindi al termine del primo anno verrá versato sul vostro conto il 5% di 128
euri, ovvero 6,4 euri, il secondo il 5% di 128 + 6,4 = 134,4 euri, etc. Quanti
euri avrete dopo k anni se fate il versamento sulla banca B?
Dimostrare che per k molto grande conviene la banca B.
Quanti anni ci vogliono con la banca A per arrivare a 500 euri? E con la
banca B?
Quanti euri avrete dopo 40 anni se avete scelto la banca A? E se avete
scelto la banca B?
Se mettete i soldi nella banca A, dopo k anni avrete 128 + 15k euri sul
vostro conto. Per arrivare a 500 euri dobbiamo avere 128+15k ≥ 500, ovvero
k ≥ 24,8.
Quindi occorre aspettare 25 anni.
Se li mettete nella banca B, alla fine di ogni anno il numero di euri sul
105
= 1, 05. Infatti, se all’inizio di un
vostro conto viene moltiplicato per 100
certo anno avete X euri, alla fine del medesimo anno la banca vi corrisponde
5
X · 100
euri; quindi vi troverete con
X +X ·
5
105
=X·
100
100
105
euri. Perció alla fine del primo anno avrete 128 · 100
euri, alla fine del secondo
2
105
105
105 2
=
128
·
,
alla
fine
del
terzo
ne
avrete
128
·
·
ne avrete 128 · 105
100
100
100 100
105
105 3
105 k
k
= 128· 100 , etc. Dopo k anni avrete quindi 128 100 = 128·1, 05 euri
100
sul vostro conto. Allora vogliamo confrontare 128+15k e 128·1,05k . Abbiamo
giá visto che la funzione esponenziale con base > 1 cresce piú rapidamente
di ogni potenza di x. Quindi per k abbastanza grande sicuramente conviene
l’investimento nella banca B.
Per avere almeno 500 euri, k deve ora soddisfare
500 ≤ 128 1,05k .
Applicando la funzione crescente log, questa disuguaglianza diventa
log(500) ≤ log 128 · 1,05k .
26
Ora
log(500) = log(5 · 100) = log(5) + log(100) = 0,699 + 2 = 2,699.
Quanto al secondo termine, abbiamo
log 128 · 1,05k = 7 log(2) +log(1,05k ) = +k log(1, 05) = 2,107+k log(1, 05).
Deve quindi essere k log(1, 05) ≥ 2,699 − 2,107 = 0,592, ovvero
k≥
0,592
0,592
=
= 28,19.
log(1, 05)
0,021
Occorre quindi aspettare 29 anni.
Infine, dopo 40 sulla banca A avremmo
128 + 15 · 40 = 728
euri, mentre sulla banca B ne avremmo
128 · 1,0540 = 128 · 7,03 = 899,84.
Dopo 40 anni é quindi conveniente la banca B.
Esempio 16. Il prezzo di una televisione a cristalli liquidi diminuisce mediamente del 25% ogni anno. Il prezzo attuale é di circa 2000 euri. Non
volendo spendere piú di 500 euri, quanto dovrete aspettare per acquistare
una televisione a cristalli liquidi?
Ogni anno il prezzo passa da X (valore all’inizio dell’anno) a
X−
75
25
X=
X = 0,75 X.
100
100
Dopo k anni, il prezzo é (con X = 2000) 0,75k X. Vogliamo il minimo k tale
che
1
0,75k 2000 ≤ 500, ovvero 0,75k ≤ .
4
Quindi passando a log
log 0,75k = k log(0,75) ≤ log(1/4) = −2 log(2) = −0,602.
Dividiamo per log(0,75) = −0, 124 < 0: la diseguaglianza diventa
k≥
0,602
= 4,854.
0, 124
Dovete aspettare 5 anni.
27
Esempio 17. Le cellule di un tumore si raddoppiano ogni 3 mesi. Il tumore
inizia con una sola cellula. Dopo quanti mesi ha raggiunto il milione di
cellule?
Sia t il tempo trascorso dall’inizio del tumore, misurato in mesi. Ogni tre
mesi il numero di cellule si moltiplica per due, quindi dopo t mesi il numero
delle cellule tumorali é
N (t) = 2t/3 .
Dobbiamo imporre la condizione che
2t/3 ≥ 106 , ovvero
t
log(2) ≥ 6.
3
Quindi
6
6
=3·
= 59,8.
log(2)
0,301
Quindi dopo circa 60 mesi, ovvero 5 anni.
t≥3·
Esempio 18. Mettete un batterio in una bottiglia, sapendo che i batteri di
quella specie si dividono in due ogni minuto. Esattamente dopo un’ora, la
bottiglia si riempie, la colonia batterica va inontro a un disastro demografico.
Quanto tempo prima la bottiglia era piena per un quarto? Al momento del
disastro, la popolazione batterica é maggiore o inferiore a 1000 miliardi?
Poiché ogni battere della colonia si divide ogni minuto, la popolazione
raddoppia ogni minuto (fino al disastro). Quindi dopo k minuti abbiamo
2k batteri. Dopo un’ora la bottiglia si é riempita; un minuto prima doveva
essere esattamente la metá, due minuti prima metá della metá, ovvero un
quarto. Quindi la popolazione riempiva metá bottiglia dopo 59 minuti, un
quarto della bottiglia dopo 58 minuti. In effetti,
260
.
4
Si noti la particolaritá della crescita esponenziale: i batteri impiegano
ben 58 minuti per riempire solo un quarto della bottiglia, ma nei due minuti
successivi riempiono i restanti tre quarti!
Per confrontare la popolazione dopo 60 minuti con 1000 miliardi, confrontiamo
260 ? 109
258 =
ovvero
60 log(2) = 60 · 0,301 = 18,06 ? 9.
Quindi ? deve essere >: Al momento del disastro, la popolazione batterica é
maggiore di 1000 miliardi.
28
9
Domini di definizione di funzioni composte.
Abbiamo introdotto varie classi di funzioni: i polinomi, le funzioni razionali
fratte, le funzioni g(x) = xa definite per x > 0 con a ∈ R esponente fissato, le
funzioni esponenziali expa (x) = ax definite per x ∈ R con a > 0 base fissata,
il logaritmo loga : (0, +∞) → R con a 6= 1 base fissata > 0.
A partire da queste si possono ottenere altre funzioni, prendendo la
somma, il prodotto, il rapporto o la composizione.
Ricordiamo che date due funzioni f : A → B e g : B → C la composizione
é la funzione
g ◦ f : A −→ C
definita da
g ◦ f (a) = g f (a)
(a ∈ A).
Nel definire la composizione di due funzioni tra quelle introdotte sopra,
tuttavia, dobbiamo fare attenzione al fatto che in generale non sono definite su tutto l’asse reale, bensı́ solo su un sottointervallo. Per esempio, un
polinomio é una funzione su tutto R, mentre una funzione razionale fratta é
definita solo al di fuori delle radici del denumeratore, e loga é definita solo
sul semiasse reale positivo.
Esempio 19. Supponiamo di voler comporre per esempio
log : (0, +∞) −→ R
con il polinomio f (x) = 1 − x2 : la funzione log ◦f é definita ove ha senso
l’espressione
log(f (x)) = log(1 − x2 ).
Ora log ha dominio di definizione l’intervallo (0, +∞), cioé l’argomento di
log deve essere un numero reale positivo. Quindi perché la funzione log ◦f sia
definita in x deve essere 1 − x2 > 0 ovvero x2 < 1 ovvero −1 < x < 1. Anche
se f é definito per ogni numero reale, log ◦f é definito solo per x ∈ (−1, 1):
log ◦f : (−1, 1) −→ R.
Esempio 20. Viceversa, dove é definita la composizione f ◦log? L’espressione
f (log(x)) = 1 − log(x)2 é definita per ogni x > 0. Quindi f ◦ log : (0, +∞) →
R.
Esempio 21. Per fare un altro esempio, stabiliamo l’insieme di definizione
della composizione log ◦g, essendo ora
g(x) =
1 − 2x
.
1 + x2 + 2x4
29
L’espressione
log
1 − 2x
1 + x2 + 2x4
é definita ove
1 − 2x
> 0.
1 + x2 + 2x4
1 + x2 + 2x4 6= 0 e
Ora
1 + x2 + 2x4 ≥ 1
per ogni x e quindi
1 − 2x
> 0 se e solo se 1 − 2x > 0,
1 + x2 + 2x4
ovvero se e solo se 1 > 2x ovvero se e solo se x < 1/2. Quindi
log ◦g : (−∞, 1/2) → R.
Esempio 22. Studiamo l’insieme di definizione della composizione f ◦ log,
essendo
1 − 2x
.
f (x) =
1 − 9x2
Affinché abbia senso l’espressione
f (log(x)) =
1 − 2 log(x)
1 − 9 log(x)2
deve essere definito log(x), e quindi deve essere x > 0, e inoltre deve essere
1 − 9 log(x)2 6= 0, ovvero log(x)2 6= 19 , ovvero
r
1
1
log(x) 6= ±
=± ,
9
3
ovvero (ricordando che log = log10 )
1
x 6= 10± 3 .
1
Ovviamente, 10 3 =
√
3
1
10, 10− 3 =
1
√
.
3
10
Esempio 23. Consideriamo la funzione
f (x) = log (log(1 + 2x)) .
Affinché sia definita in x, deve essere innanzitutto 1 + 2x > 0, perché
l’argomento di un logaritmo deve essere > 0, e pertanto x > −1/2. Per
la stessa ragione, deve poi essere log(1 + 2x) > 0, e quindi 1 + 2x > 1, ovvero
x > 0. Quindi f é definita su (0, +∞).
30
10
La Derivata: formulazione generale e interpretazione.
Sia data una funzione f nella classe descritta sopra. Sia I ⊆ R il dominio
di definizione di f . Il grafo, o grafico, di f é l’insieme dei punti del piano
della forma (x, f (x)) al variare di x in I. Ad esempio, quando f (x) = x2 , si
ha I = R e il grafo di f é la parabola y = x2 , ovvero l’insieme dei punti del
piano della forma (x, x2 ).
Sia x0 ∈ I un punto fissato. Se x1 = x0 + h ∈ I é un altro punto nel
dominio di definizione di f , abbiamo i due punti (x0 , f (x0 )) e (x1 , f (x1 )) sul
grafo di f .
Consideriamo la retta nel piano che congiunge (x0 , f (x0 )) e (x1 , f (x1 )).
L’equazione Cartesiana di questa retta é
y − f (x0 ) = (x − x0 ) ·
f (x1 ) − f (x0 )
.
x1 − x0
(1)
Quindi é la retta passante per (x0 , f (x0 )) e avente coefficiente angolare
f (x1 ) − f (x0 )
.
x1 − x0
Possiamo intepretare questo rapporto come l’incremento medio di f tra
x0 e x1 .
Se x1 si avvicina sempre piú a x0 , l’incremento medio tra x0 e x1 si
avvicina sempre di piú al limite
f 0 (x0 ) =: lim
x1 →x0
f (x0 + h) − f (x0 )
f (x1 ) − f (x0 )
= lim
.
h→0
x1 − x0
h
(2)
Quindi la retta (1) si avvicina sempre piú alla retta
y − f (x0 ) = (x − x0 ) · f 0 (x0 ),
(3)
che chiamiamo la retta tangente al grafo di f in (x0 , f (x0 )).
Definizione 5. Il limite f 0 (x0 ) definito sopra si dice la derivata di f in x0 .
Quindi la derivata é il coefficiente angolare della retta tangente al grafo
in x0 (intepretazione geometrica). Per un’intepretazione fisica, supponiamo
che x sia il tempo, e che f (x) sia la posizione all’istante x di un punto che
(x0 )
si muove sull’asse reale. Allora il rapporto f (xx11)−f
é la velocitá media tra
−x0
gli istanti x0 e x1 , e f 0 (x0 ) é quindi la velocitá istantanea all’istante x0 .
31
11
La derivata: regole di calcolo.
La derivata di una funzione costante. Segue immediatamente dalla
definizione che la derivata di una funzione costante é identicamente nulla.
La derivata di un monomio. Se f (x) = xn , con n = 1, 2, 3, . . ., la derivata
di f é
f 0 (x) = nxn−1 .
Quindi se la posizione di un punto che si muove sull’asse reale é data al
tempo t da tn allora la sua velocitá nel medesimo istante é n tn−1 .
Ad esempio, se f (x) = x6 allora f 0 (x) = 6x5 . Se f (x) = x, f 0 (x) = 1.
In effetti, consideriamo ad esempio il caso n = 2 (il caso n = 1 é ovvio).
Abbiamo
x21 − x20 = (x1 − x0 )(x1 + x0 ),
ovvero (per x1 6= x0 )
x21 − x20
= x1 + x0 ,
x1 − x0
che si avvicina sempre piú a 2x0 quando x1 si avvicina a x0 . Quindi, se
f (x) = x2 allora
x2 − x20
= 2x0 .
f 0 (x0 ) = lim 1
x1 →x0 x1 − x0
Se f (x) = x3 , notiamo che
x31 − x30 = (x1 − x0 )(x21 + x1 x0 + x20 ),
e quindi
x31 − x30
= x21 + x1 x0 + x20
x1 − x0
si avvicina sempre piú a 3x20 quando x1 si avvicina a x0 . Pertanto
f 0 (x0 ) = lim
x1 →x0
x31 − x30
= 3x20 .
x1 − x0
Esercizio 4. Si usi la relazione
)
xn1 − xn0 = (x1 − x0 )(x1n−1 + x1n−2 x0 + · · · x1 x0n−2 + xn−1
0
per dedurre che se f (x) = xn allora f 0 (x) = nxn−1 .
Esempio 24. Trovare tutti i valori di x0 per i quali la retta tangente al grafo
di f (x) = x4 in (x0 , f (x0 )) é parallela alla retta y = 26 − 4x.
32
La retta tangente al grafo di f in (x0 , x40 ) ha coefficiente angolare
f 0 (x0 ) = 4x30
e quindi é parallela a y = 26 − 4x se e solo se 4x30 = −4 se e solo se x30 = −1
ovvero se solo se x0 = −1.
Esempio 25. Trovare tutti i valori di x0 per i quali la retta tangente al grafo
di f (x) = x3 in (x0 , f (x0 )) passa per il punto (0, 0) .
Abbiamo f 0 (x) = 3x2 . Quindi, l’equazione Cartesiana della retta tangente
al grafo di f nel punto (x0 , x30 ) é
y − x30 = 3x20 (x − x0 ).
Affinché la retta passi per (0, 0), l’equazione deve essere soddisfatta sostituendo x = 0, y = 0. Si ottiene −x30 = −3x30 ovvero l’unica soluzione
x0 = 0.
La derivata di una somma di funzioni. Date f, g : I → R, la funzione
somma h = f + g : I → R é definita da
h(x) = f (x) + g(x) (x ∈ I).
La funzione somma ha derivata in x0 la somma delle derivate:
h0 (x) = f 0 (x) + g 0 (x) (x ∈ I).
Lo stesso vale per la somma di un numero arbitrario di funzioni: se fi : I → R
per i = 1, . . . , r e
h = f1 + · · · + fr : I → R
é la funzione h(x) = f1 (x) + · · · + fr (x) allora
h0 (x) = f10 (x) + · · · + fr0 (x) (x ∈ I).
Ad esempio, se h(x) = −3 + x + x2 allora h0 (x) = 0 + 1 + 2x = 1 + 2x; se
h(x) = x3 + x6 allora h0 (x) = 3x2 + 6x5 .
La derivata di λf . Se f : I → R e λ ∈ R, allora la derivata della funzione
h = λf , data da h(x) = λf (x), é il prodotto di λ per f 0 :
h0 (x) = λf 0 (x).
33
La derivata di un polinomio. Consideriamo un polinomio di grado n,
p(x) = p0 + p1 x + . . . + pn xn .
La derivata di una somma di funzioni é la somma delle derivate, quindi
possiamo derivare ciascun termine pi xi e poi sommare. La derivata di p0
(funzione costante) é zero, e per ogni i ≥ 1 quella di pi xi é pi per la derivata
di xi , ovvero pi ixi−1 . Quindi
p0 (x) = p1 + 2p2 x + 3p3 x2 + · · · + npn xn−1 .
Ad esempio, se p(x) = 2 − 3x + 4x7 , avremo p0 (x) = −3 + 28x6 . Se
q(x) = 4x3 − 5x5 , avremo q 0 (x) = 12x2 − 25x4 . Se p(x) = 4x9 − 2x103 ,
p0 (x) = 36x8 − 206x102 .
La derivata di una funzione razionale fratta. In generale, se f e g sono
due funzioni della classe che abbiamo introdotta definite su un intervallo
I ⊆ R e g(x) 6= 0 per ogni x ∈ I, possiamo considerare la funzione data dal
rapporto di f e g,
f
: I −→ R,
g
che porta x ∈ I in
f (x)
.
g(x)
Se x ∈ I, abbiamo per la derivata:
0
f 0 (x)g(x) − f (x)g 0 (x)
f
(x) =
.
g
g(x)2
Questo in particolare si applica a una funzione razionale fratta, data dal
rapporto di due polinomi. Per esempio, se
f (x) =
allora
f 0 (x) =
Se g(x) =
1+x3
,
1−2x2
1 + 2x
,
1 + x2
2(1 + x2 ) − (1 + 2x)2x
1 − x − x2
=
2
.
(1 + x2 )2
(1 + x2 )2
definita per x 6= ± √12 , abbiamo
3x2 (1 − 2x2 ) + 4x(1 + x3 )
4x + 3x2 − 2x4
g (x) =
=
.
(1 − 2x2 )2
(1 − 2x2 )2
0
La derivata della funzione esponenziale; numero di Eulero. Sia a > 0
fissato e consideriamo la funzione esponenziale in base a:
expa : R −→ (0, +∞),
34
data da expa (x) = ax .
Consideriamo innanzitutto la derivata di expa in 0. Abbiamo
ah − a0
ah − 1
= lim
.
h→0
h→0
h
h
exp0a (0) = lim
Tale derivata é data dal logaritmo in base e di a, ove e é il numero di
Eulero:
Teorema 3. Esiste ed é unico un numero reale e > 0 tale che per ogni a > 0
si ha
exp0a (0) = loge (a).
In altre parole, se a > 0 il logaritmo in base e di a é dato dal limite
expa (h) − expa (0)
ah − 1
lim
= lim
.
h→0
h→0
h
h
Definizione 6. Come accennato, e si dice numero di Eulero. É un numero
irrazionale, dato alla seconda cifra decimale da e = 2,71 · · · . Il logaritmo in
base e si dice logaritmo naturale e si denota
ln = loge : (0, +∞) → R.
La funzione esponenziale in base e si indica spesso semplicemente con exp
invece che con expe .
Quindi, per ogni a > 0 abbiamo
exp0a (0) = ln(a).
In particolare, prendendo a = e abbiamo
exp0 (0) = ln(e) = loge (e) = 1.
Sia ora x0 ∈ R arbitrario e calcoliamo la derivata exp0a (x0 ). Prendiamo
x1 ∈ R, x1 6= x0 , e consideriamo il rapporto
ax 1 − ax 0
expa (x1 ) − expa (x0 )
=
.
x1 − x0
x1 − x0
Scriviamo x1 = x0 + h con h 6= 0. Dato che
ax1 = ax0 +h = ax0 ah
35
e che
a0 = 1,
otteniamo
ah − 1
ah − a0
expa (x1 ) − expa (x0 )
ax 0 ah − ax 0
=
= ax 0
= ax 0
.
x1 − x0
h
h
h
Ora exp0a (x0 ) é il limite di tale rapporto per x1 → x0 , ossia per h → 0.
exp0a (x0 )
= lim a
h→0
x0 a
h
ah − a0
− a0
x0
= a lim
= exp0a (x0 ) exp0a (0) = exp0a (x0 ) ln(a).
h→0
h
h
Riassumendo:
Se a > 0 e x0 ∈ R, allora
exp0a (x0 ) = ln(a) expa (x0 ).
In particolare, ponendo a = e otteniamo (scriviamo exp = expe ):
exp0 (x0 ) = ln(e) exp(x0 ) = exp(x0 )
per ogni x0 , ossia l’uguaglianza di funzioni
exp0 = exp .
Quindi la funzione esponenziale in base e coincide con la propria
derivata. La derivata di expa per a > 0 base arbitraria si ottiene
moltiplicando expa per ln(a) (logaritmo naturale di a).
Quindi la retta tangente al grafo di exp nel punto (x0 , ex0 ) ha equazione
y − ex0 = ex0 (x − x0 ).
Ad esempio, se x0 = ln(2) abbiamo ex0 = 2 e la retta tangente al grafo di
exp nel punto (ln(2), 2) ha equazione
y − 2 = 2(x − ln(2)).
La retta tangente al grafo di exp10 nel punto (x0 , 10x0 ) ha invece equazione
y − 10x0 = ln(10)10x0 (x − x0 ).
Ponendo x0 = log(2) si ha 10x0 = 2 e quindi otteniamo la retta tangente
y − 2 = 2 ln(10)(x − log(2)).
36
Esempio 26. Sia a > 0. Trovare la retta tangente al grafo di expa nel punto
(0, expa (0)) = (0, a0 ) = (0, 1).
Si tratta della retta passante per (0, 1) on coefficiente angolare exp0a (0) =
ln(a), ovvero
y − 1 = ln(a) · x.
Dato che ln(a) 6= ln(a0 ) se a, a0 > 0 sono distinti, vediamo che tali rette
sono tutte diverse. In particolare, e é l’unico reale positivo tale che la retta
tangente al grafo di expe in (0, 1) é parallela alla retta y = x.
Esempio 27. Sia a > 1. Trovare i valori di x0 tali che la retta tangente al
grafo di expa nel punto
(x0 , expa (x0 )) = (x0 , ax0 )
é parallela alla retta y = x.
Abbiamo exp0a (x0 ) = ln(a) expa (x0 ) e dobbiamo avere quindi
1 = exp0a (x0 ) = ln(a) expa (x0 ).
Pertanto
ax 0 =
1
1
=
= loga (e),
ln(a)
loge (a)
dato che loge (a) loga (e) = 1. Di conseguenza,
x0 = loga (loga (e)).
In particolare, per a = e otteniamo
x0 = ln(ln(e)) = ln(1) = 0,
come visto nell’esempio precedente.
La derivata di una funzione composta. Siano f, g funzioni della nostra
classe tali che la composizione g◦f é definita su un intervallo I ⊆ R. Vogliamo
la derivata di g ◦ f in un dato x0 ∈ I in termini delle derivate di f e di g. Si
ha:
(g ◦ f )0 (x0 ) = g 0 (f (x0 )) f 0 (x0 ).
Questa formula importante di dice regola della catena, perche mostra come
le derivate di f e g si concatenano nella derivata della funzione composta.
37
La derivata della funzione y = es(x) . Sia s(x) una funzione (sempre
nella nostra classe) definita su un intervallo I ⊆ R. Vogliamo determinare la
derivata della funzione
h(x) = es(x) (x ∈ I).
Abbiamo
h = exp ◦s
e pertanto usando la regola della catena per ogni x ∈ I abbiamo
h0 (x) = exp0 (s(x)) s0 (x).
Dato che exp0 = exp, ricaviamo
h0 (x) = s0 (x) exp(s(x)) = s0 (x) es(x) = s0 (x) h(x).
Il caso di una funzione del tipo as(x) con a > 0 base arbitraria é analogo; l’unica differenza é che exp0a = ln(a) expa . Vediamo qualche esempio
concreto.
Esempio 28. Determinare la derivata della funzione
h(x) = 2x
2 −3x+2
in x0 = 2.
Possiamo scrivere
h(x) = exp2 (x2 − 3x + 2) = exp2 (f (x)) ,
essendo f (x) = x2 − 3x + 2. Quindi
h = exp2 ◦f,
e h é definita su tutto l’asse reale. Se x0 ∈ R, applicando la regola della
catena abbiamo
h0 (x0 ) = exp02 (f (x0 )) · f 0 (x0 ).
Dato che exp02 = ln(2) · exp2 e f 0 (x) = 2x − 3, otteniamo
2
h0 (x0 ) = ln(2) · 2x0 −3x0 +2 · (2x0 − 3).
Per x0 = 2, pertanto:
h0 (2) = ln(2) · 20 · 1 = ln(2).
La retta tangente al grafo di h in (2, h(2)) = (2, 1) é quindi data dall’equazione
y − 1 = ln(2)(x − 2).
38
Esempio 29. Siano a > 0 e b ∈ R fissati. Determinare la derivata della
funzione
h(x) = abx .
Possiamo scrivere
h = expa (f (x)) = expa ◦f (x),
con f (x) = bx. Si ha per ogni x0 ∈ R:
exp0a (f (x0 )) = ln(a) expa (f (x0 )) = ln(a) · abx0
e f 0 (x0 ) = b. Quindi, data la regola della catena,
h0 (x0 ) = ln(a) b abx0 .
In particolare, se a = e allora ln(e) = 1 e otteniamo per la derivata di
h(x) = ebx :
h0 (x) = b ebx .
Esempio 30. Siano a > 0 e b ∈ R fissati. Determinare la derivata della
funzione
3
2
h(x) = e3x −4x +2 .
Abbiamo h = exp ◦f , essendo f (x) = 3x3 − 4x2 + 2. Quindi essendo
exp0 = exp, f 0 (x) = 9x2 − 8x,
h0 (x) = e3x
3 −4x2 +2
(9x2 − 8x).
Ad esempio, h(1) = e, h0 (1) = 1. La retta tangente al grafo di h in (1, h(1)) =
(1, e) é pertanto
y − e = e(x − 1).
La derivata del logaritmo. Cominciamo col logaritmo naturale. Si ha
ln0 (x) =
1
,
x
per ogni x > 0. Per vederlo, si ricordi la relazione
x = eln(x) = exp ◦ ln(x),
valida per ogni x > 0. Pertanto le derivate delle funzioni h(x) = x e exp ◦ ln
coincidono in ogni x > 0. Ma h0 (x) = 1 e
(exp ◦ ln)0 (x) = exp0 (ln(x)) ln0 (x),
39
per la regola della catena. Quindi, dato che exp0 = exp,
1 = eln(x) ln0 (x) = x ln0 (x)
per ogni x > 0. Risolvendo,
1
x
per ogni x > 0. Se a > 0, a 6= 1 é una base arbitraria, abbiamo per ogni
x>0
loga (x) = loga (e) loge (x)
ln0 (x) =
ovvero l’uguaglianza tra funzioni
loga = loga (e) ln =
da cui
log0a (x) =
1
ln
ln(a)
1 1
ln(a) x
per ogni x > 0.
Esempio 31. Trovare la retta tangente al grafo di ln in (1, ln(1)) = (1, 0) e in
(e, ln(e)) = (e, 1).
Abbiamo ln0 (1) = 11 = 1 e quindi la retta tangente al grafo di ln in
(1, ln(1)) = (1, 0) ha equazione
y = x − 1.
Abbiamo poi ln0 (e) =
(e, 1) ha equazione
1
e
e quindi la retta tangente al grafo di ln in (e, ln(e)) =
1
x
1
y − 1 = (x − e) = − 1, ovvero y = x.
e
e
e
La derivata della funzione y = ln s(x) . Se s(x) é una funzione della
nostra classe definita e positiva su un intervallo I, consideriamo la funzione
f (x) = ln s(x) (x ∈ I).
Abbiamo
f = ln ◦s
e quindi applicando la regola della catena:
f 0 (x) = ln0 s(x) s0 (x).
40
Ora ricordiamo che ln0 (x) =
1
x
per ogni x > 0 e quindi
f 0 (x) =
s0 (x)
s(x)
(x ∈ I).
Il caso di una funzione y = loga (s(x)) con a > 0, a 6= 1 base arbitraria é
1
analogo; l’unica differenza é che log0a (x) = ln(a)
= logxa (e) per ogni x > 0.
x
Vediamo qualche esempio concreto.
Esempio 32. Trovare insieme di definizione e derivata di
2
h(x) = log(2 − ex ).
2
Si ricordi che log = log10 . Ora h é definita per 2 > ex . Quindi deve
essere x2 < ln(2), ovvero
p
p
− ln(2) < x < ln(2)
(si noti che ln(2) > 0 perché 0 = ln(1) e ln é crescente essendo e = 2,71... >
1). Abbiamo
h = log ◦f,
2
essendo f (x) = 2 − ex . Applichiamo la regola della catena, ricordando che
log0 (x) = log(e) x1 per x > 0:
h0 (x) = log0 (f (x)) f 0 (x) = log(e)
1
0
2 f (x).
x
2−e
2
Rimane da calcolare f 0 (x). Deriviamo s(x) = ex usando la regola della
catena:
2
s0 (x) = ex · 2x.
Allora
2
f 0 (x) = −s0 (x) = −2x ex .
Quindi,
2
2
1
x ex
2x ex
= log 2
,
h (x) = − log(e)
e
2 − ex2
2 − ex2
p
p
per ogni
−
ln(2)
<
x
<
ln(2). Si é usato che −2 log(e) = − log(e2 ) =
log e12 .
0
La derivata della funzione xa . Sia a ∈ R fissato e consideriamo la funzione
ha : (0, +∞) −→ R
41
data da ha (x) = xa (x > 0). Possiamo scrivere
a
ha (x) = xa = eln(x) = ea ln(x) = exp ◦f (x),
con f (x) = a ln(x). Quindi, applicando la regola della catena e usando le
relazioni exp0 = exp, f 0 (x) = a ln0 (x) = xa ricaviamo:
h0a (x) = exp(f (x)) f 0 (x) = ea ln(x) f 0 (x) = xa
per ogni x > 0.
Per esempio, se a =
precedente dice
1
2
abbiamo h1/2 (x) =
√
a
= a xa−1
x
x (x > 0) e la formula
1
1 −1
x 2 = √ .
2
2 x
√
Quindi la retta tangente al grafo di y = x in (4, 2) ha equazione
h01/2 (x) =
1
1
y − 2 = (x − 4) ovvero y = 1 + x.
4
4
Se a = −n, (n = 1, 2, . . .) allora h−n (x) =
h−n (x) = −
1
xn
e la formula ci dice che
n
xn+1
per ogni x > 0. Usando le proprietá di simmetria della funzione x−n si
verifica facilmente che la sua derivata é −nx−n−1 anche per x < 0.
La derivata di un prodotto. Siano date funzione f, g nella nostra classe
definite su un intervallo I ⊆ R. Possiamo considerare la funzione prodotto
f · g : I −→ R
data da
(f · g)(x) = f (x) · g(x)
(x ∈ I).
Abbiamo allora per la derivata di f · g la seguente formula di Leinitz:
(f · g)0 (x) = f 0 (x) · g(x) + f (x) · g 0 (x)
(x ∈ I).
Per esempio, se
h(x) = x2 ln(x)
allora per ogni x > 0 abbiamo
h0 (x) = 2x ln(x) + x2 ·
42
1
= x(2 ln(x) + 1).
x
Esempio 33. Si trovi la derivata della funzione
2
r(x) = xx ,
definita per x > 0.
Abbiamo
2
xx = ex
2
ln(x)
= exp ◦h(x),
essendo come sopra h(x) = x2 ln(x). Usando la regola della catena e il
risultato precedente, otteniamo
2
r0 (x) = exp(h(x)) h0 (x) = xx x(2 ln(x) + 1) = xx
12
2 +1
(2 ln(x) + 1).
Intervalli di monotonia.
Sia g una funzione definita su un sottoinsieme I ⊆ R. Qui I puó essere un
intervallo o un unione di intervalli. Per esempio, se g(x) = x1 , prenderemo
I = (−∞, 0) ∪ (0, +∞).
Definizione 7. Sia J ⊆ I un intervallo. J puó avere la forma (a, b), [a, b],
[a, b) o (a, b].
Diremo che g é monotona crescente su J se per ogni x, y ∈ J con x < y
si ha g(x) < g(y).
Diremo che g é monotona non decrescente su J se per ogni x, y ∈ J
con x < y si ha g(x) ≤ g(y).
Diremo che g é monotona decrescente su J se per ogni x, y ∈ J con
x < y si ha g(x) > g(y).
Diremo che g é monotona non crescente su J se per ogni x, y ∈ J con
x < y si ha g(x) ≥ g(y).
Definizione 8. Diremo che un intervallo J ⊆ I é un intervallo di monotonia
per g se g é monotona su J (di uno dei tipi elencati) ma non lo é su nessun
intervallo J 0 con J $ J 0 (cioé J é strettamente contenuto in J 0 ).
Ad esempio, la funzione g(x) = x2 é definita su I = R, monotona decrescente su (−∞, 0] e monotona crescente su [0, +∞). Quindi abbiamo i due
intervalli di monotonia (−∞, 0] e [0, +∞).
La funzione g(x) = x3 é é definita su I = R, monotona crescente su tutto
R e quindi abbiamo un unico intervallo di monotonia dato da R stesso.
La funzione g(x) = x1 é monotona decrescente su (−∞, 0) e (0, +∞) (non
é definita in 0). Abbiamo quindi i due intervalli di monotonia (−∞, 0) e
(0, ∞).
43
In pratica, tutte le funzioni della classe che abbiamo introdotta, a parte
le costanti, saranno monotone crescenti o monotone decrescenti sui rispettivi
intervalli di monotonia. I casi monotona non crescente e monotona non
decrescente sono qui essenzialmente una curiositá culturale.
Definizione 9. Sia x ∈ I (quindi g é definita in x!).
Diremo che x é un punto di massimo relativo se esistono a, b ∈ R con
a < x < b e tali che (a, b) ⊆ I e g é monotona crescente su (a, x], monotona
decrescente su [x, b). In altre parole, x é un punto di massimo relativo per
g se g é definita in x e x separa tra loro due intervalli di monotonia di g,
con g monotona crescente su quello a sinistra di x e monotona decrescente
su quello a destra di x. Guardando il grafico di g, il punto (x, g(x)) appare
sulla sommitá di una montagnetta. Il valore g(x) assunto da g in x si dice
un massimo relativo per g.
Diremo che x é un punto di minimo relativo se esistono a, b ∈ R con
a < x < b e tali che (a, b) ⊆ I e g é monotona decrescente su (a, x], monotona
crescente su [x, b). In altre parole, x é un punto di minimo relativo per g se
g é definita in x e x separa tra loro due intervalli di monotonia di g, con g
monotona decrescente su quello a sinistra di x e monotona crescente su quello
a destra di x. Guardando il grafico di g, il punto (x, g(x)) appare sul fondo
di una conca. Il valore g(x) assunto da g in x si dice un minimo relativo
per g.
Per esempio, x = 0 é un punto di minimo relativo per g(x) = x2 .
Passare da g ha −g equivale a fare una riflessione del grafico rispetto
all’asse x e quindi le montagnette diventano conche e viceversa. Quindi x é
un punto di massimo relativo per g se e solo se é un punto di minimo relativo
per −g.
Gli intervalli di monotonia, come vedremo, sono quelli sui quali il segno
della derivata si mantiene costante. I punti di massimo o minimo relativo
sono quelli nei quali la derivata cambia segno. In particolare, in un punto
di massimo o minimo relativo la derivata di g é necessariamente nulla.
Teorema 4. Nelle ipotesi precedenti, g é monotona non decrescente su J se
e solo se g 0 (x) ≥ 0 oper ogni x ∈ J; g é monotona non crescente su J se e
solo se g 0 (x) ≤ 0 oper ogni x ∈ J.
Per esempio, la funzione g(x) = x2 ha derivata g 0 (x) = 2x. Si ha g 0 (x) ≤ 0
se e solo se x ≤ 0. Quindi (−∞, 0] é l’unico intervallo di monotonia sul quale
g é monotona decrescente.
Osservazione 1. La condizione che g 0 (x) = 0 é necessaria, ma non sufficiente perché x sia un punto di minimo o massimo relativo di g. Per
44
esempio, se g(x) = x3 si ha g 0 (0) = 0 ma 0 non é un punto di massimo o
minimo relativo.
Esempio 34. Studiare qualitativamente la funzione g(x) = x5 − 2x6 definita
su I = R.
Segno. Abbiamo
g(x) = x5 (1 − 2x).
Quindi g(x) < 0 se x < 0, g(x) > 0 se 0 < x < 12 , g(x) < 0 se x > 21 , g(x) = 0
se e solo se x = 0 o x = 21 .
Comportamento agli estremi. Abbiamo:
1
6
= −∞
lim g(x) = − lim 2x 1 −
x→+∞
x→+∞
2x
e allo stesso modo
lim g(x) = − lim 2x
x→−∞
6
x→−∞
1
1−
2x
= −∞.
Intervalli di monotonia/ Si ha
g 0 (x) = 5x4 − 12x5 = x4 (5 − 12x).
Poiché x4 ≥ 0 per ogni x, abbiamo g 0 (x) ≥ 0 se e solo se 5 ≥ 12x, ovvero
5
5
e g 0 (x) ≤ 0 se e solo se 5 ≥ 12x, ovvero x ≥ 12
. Infine, g 0 (x) = 0
x ≤ 12
5
. Quindi abbiamo i due intervalli di monotonia
se solo se x = 0 o x = 12
5
5
(−∞, 12 ] e [ 12 , +∞), sui quali g é monotona crescente o monotona decres5
é l’unico punto di massimo relativo e non
cente, rispettivamente. Inoltre 12
vi sono punti di minimo relativo. Si ha
g(x) ≥ 0
se solo se
Esempio 35. Studiare qualitativamente la funzione
g(x) =
x2
.
x3 − 1
Dominio di definizione. g é definita per x3 6= 1, ovvero su I =
(−∞, 1) ∪ (1, +∞).
Segno. Si ha x2 ≥ 0 per ogni x, quindi g é definita e g(x) ≥ 0 se e solo
se x3 − 1 > 0, ovvero se e solo se x ≥ 1. Quindi g(x) ≤ 0 su (−∞, 1), e
g(x) = 0 se e solo se x = 0, e g(x) > 0 su (1, +∞).
45
In particolare vediamo giá che 0 é un punto di massimo relativo.
Comportamento agli estremi e asintoti. Si ha
g(x) =
1
x 1−
1
x3
.
Quindi per grandi x g si comporta come x1 . Ne segue che
lim g(x) = 0.
x→±∞
Per x → 1+ , x3 − 1 → 0+ e quindi
g(x) =
x2
−→ +∞.
x3 − 1
Per x → 1− , x3 − 1 → 0− e quindi
g(x) =
x2
−→ −∞.
x3 − 1
Intervalli di monotonia. Si ha
2 + x3
2x(x3 − 1) − 3x2 x2
=
−x
.
(x3 − 1)2
(x3 − 1)2
√
√
Quindi g 0 (x) > 0 se − 3 2 < x < 0, e (− 3 2, 0) é l’unico intervallo di
√ monotonia sul quale g√é crescente. g é monotona decrescente su (−∞, − 3 2), (0, 1)
e (1, +∞). − 3 2 é un punto di minimo relativo e 0 un punto di massimo
relativo.
g 0 (x) =
Esempio 36. Studiare qualitativamente la funzione
g(x) = x − ln(x)
definita su I = (0, +∞).
Comportamento agli estremi e asintoti. Abbiamo
1
g(x) = x − ln(x) = x + ln
(x ∈ I).
x
Quindi poiché
1
x
→ +∞ per x → 0+ , abbiamo
lim g(x) = +∞.
x→0+
46
Inoltre, dato che ln(x)/x → 0 se x → +∞,
ln(x)
g(x) = x · 1 −
x
mostra che
lim g(x) = +∞.
x→+∞
Intervalli di monotonia. Si ha
1
g 0 (x) = 1 − ,
x
e quindi g 0 (x) ≥ 0 se e solo se 1 ≥ x1 se e solo se (moltiplicando per x > 0)
x ≥ 1. Analogamente g 0 (x) ≤ 0 se solo se 0 < x ≤ 1. Infine, g 0 (1) =
0. Pertanto g é monotona decrescente sull’intervallo di monotonia (0, 1],
monotona crescente sull’intervallo di monotonia [1, +∞) ed ha un punto di
minimo relativo in 1, con minimo relativo
g(1) = 1 − ln(1) = 1 − 0 = 1.
Segno. In particolare, da quanto segue ricaviamo g(x) ≥ 1 > 0 per ogni
x > 0 e g(x) = 1 se e solo se x = 1.
Esercizio 5. Studiare qualitativamente la funzione
g(x) = x4 e−x .
47