Retta e Logaritmi

La retta
Distanza tra due
punti allineati
y(ordinate)
y
AB = |xa - xb|
A
A
AB = |ya - yb|
B
B
x(ascisse)
Distanza tra due
punti non allineati
x
y
B(xb; yb)
AB = (𝑥𝑎 − 𝑥𝑏 )2 + (𝑦𝑎 − 𝑦𝑏 )2
A(xa; ya)
x
Punto medio
y
𝑥 +𝑥
𝑦 +𝑦
M = (xm; ym) = ( 𝑎 𝑏 ; 𝑎 𝑏 )
2
2
yb
B(xb; yb)
ym
M(xm; ym)
ya
A(xa; xb)
x
xa x m xb
Retta passante per
forma esplicita
forma implicita
due punti
y = mx + p
ax + by + c = 0
𝑦𝑎 − 𝑦 𝑏
𝑎
A(xa; ya); B(xb; yb) m =
= coeff. angolare
m=𝑥𝑎 − 𝑥𝑏
𝑏
𝑦 − 𝑦𝑎
𝑥− 𝑥 𝑎
𝑐
=
p = ordinate all’origine (intersezione) p = 𝑦𝑎 − 𝑦 𝑏
𝑥𝑎 − 𝑥𝑏
𝑏
y
y
1
A(a; b)
2
y
1
casi particolari
O
1) x = k
2) y = k
y
retta passante per
un punto assegnato
x
O(0;0)
𝑏
y= 𝑥
𝑎
O
1)y = x
2)y = -x
x
2
y – ya = m(x-xa)
bisogna individuare m; si ha un fascio di
rette, la retta passante per due punti è stata
già definita
A(xa; ya)
O
Rette parallele m = m1
x
x
ax + by + c = 0
ax + by + c1 = 0
Rette perpendicolari m=-1/m1
oppure m*m1=-1
ax + by + c = 0
bx - ay + c1 = 0
y = mx + p
y = m1x + p1
y = mx + p
y = (-1/m1)x + p1
data r ax + by + c = 0 e A(xa; ya) sarà data r ax + by + c = 0 e A(xa; ya) sarà
a(x – xa) + b(y – ya) + c1 = 0
b(x – xa) - a(y – ya) + c1 = 0
Intersezione tra due rette:
si fa sistema tra le due equazioni
{
ax + by + c = 0
a1 x + b 1 y + c1 = 0
distanza di un punto A(xa; ya) dalla
retta ax + by + c = 0
AH =
distanza di un punto A(xa; ya) dalla
retta y = mx + p
AH =
|𝑎𝑥 +𝑏𝑦 +𝑐|
equazione delle
bisettrici
𝑎 2 +𝑏 2
=
|𝑎 1 𝑥+𝑏1 𝑦+𝑐|
𝑎 2 +𝑏 2
𝑎𝑥 +𝑏𝑦 +𝑐
; ossia
𝑎 2 +𝑏 2
|𝑎𝑥 𝑎 +𝑏𝑦 𝑎 +𝑐|
𝑎 2 +𝑏 2
|𝑦 𝑎 −𝑚 𝑥 𝑎 −𝑝|
𝑚 2 +1
𝑎 1 𝑥+𝑏 1 𝑦+𝑐
=±
𝑎 2 +𝑏 2
Logaritmi
a = base del log,
b = argomento
è decimale se a=10 (log o Log)
è naturale se a= 2,7182818284….. (ln)
m = mantissa di x
x=m⋅10k , con m∈[1,10)
k
k = caratteristica di x
Log(x) = Log(m⋅10 )=Log(m) + k con 0 ≤ Log(m) < 1
4
4
es: log54786=log(5,4786*10 )=log10 + log5,4786 =4 + 0,73867 = 4,73867
definizioni
loga1=0
logaa=1
𝑎log 𝑎 𝑏 =b
segno del logartimo logax > 0 per x > 1 logax < 0 per 0 < x < 1
proprietà dei logaritmi
loga(b1b2) = loga(|b1|) + loga(|b2|)
loga(bn) = nloga(|b|)
𝑛
loga(b1/b2) = loga(|b1|) - loga(|b2|)
loga( 𝑏) = (1/n)loga(|b|)
loga(b1/b2) = - loga(b2/1b2)
loga(1/b) = -1/ logab
Definizione
c=logab
logab = logcb/ logca
logab= log 𝑎 𝑛 𝑏 𝑛
ac = b a, b∈R+, a ≠ 1,∀c∈R
logab = logac.logcb
logab = 1/logba
log 𝑎 𝑛 𝑏 𝑚 =
𝑚
𝑛
logab
log 𝑎 𝑛 𝑏 =
y
logab
logab.logba= 1
0<a<1
y = logax
O
𝑛
y
a>1
1
1
1
x
x
O
y = logax