Metodo di misura del diametro medio anelli filettati 60 gradi

applicazioni di metrologia meccanica
determinazione del diametro medio
degli
ANELLI FILETTATI 60°
autore: renato marsura - dicembre 2014 e-mail: [email protected]
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Sommario
1. Scopo ...................................................................................................................................... 4
2. Premessa ................................................................................................................................ 4
3. Ricerca del “miglior diametro”................................................................................................ 5
3.1 Ricerca del “miglior diametro” per via grafica ................................................................... 5
3.2 Ricerca del “miglior diametro” per via analitica ................................................................ 5
4. Analisi della Figura 2b e 2c ..................................................................................................... 6
5. Come correggere il risultato delle misurazioni ........................................................................ 8
5.1 - Adozione di un anello filettato campione ......................................................................... 8
5.2 Adozione di un anello liscio campione ............................................................................. 10
5.3 Determinazione della lunghezza del tastatore………………………………… 10
6. Posizione della sfera o punto di contatto con il fianco del filetto........................................... 12
7. Effetto elica .......................................................................................................................... 13
8. Deformazione elastica della sfera ......................................................................................... 14
9. Effetti della temperatura ...................................................................................................... 15
10. Tabelle comparative ............................................................................................................. 15
10.1 Tabella 5 - Risultati comparati con un campione conosciuto ......................................... 16
10.2. Tabella 6 - Risultati dello stesso anello misurati con stili di lunghezza diversa .............. 17
11. Calcolo del diametro con foglio Excel ................................................................................... 17
12. Formule ............................................................................................................................... 18
13. Calcolo della incertezza di misura ........................................................................................ 19
13.1 Metodo di misurazione ................................................................................................. 19
13.2 Condizioni ambientali ................................................................................................... 19
13.3
Strumenti impiegati nel processo di misurazione ......................................................... 19
13.4 Incertezze di misura degli strumenti impiegati ............................................................... 20
13.5 Stima della incertezza di misura .................................................................................... 20
13.6 Calcolo dei coefficienti di sensibilità ci(x) ....................................................................... 20
13.6.1 Attribuzione delle incertezze di misura del diametro……………………………………………..20
13.6.2 Incertezza di taratura dell’anello di riferimento [u(AR)]………………………………………..21
13.6.3 incertezza di ripetibilità del misuratore di lunghezza [u(R)]…………………………………..21
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13.6.4 Incertezza di misura del misuratore di lunghezza [u(D)]……………………………………….21
13.6.5 Incertezza da attribuire agli effetti termici [u(M1)- u(M2)]…………………………………….21
13.6.6 Incertezza della lunghezza dello stilo [u(M3)]………………………………………….…………….22
13.6.7 Incertezza dovuta alla deformazione elastica [u(M4)]……………….…………….…………….22
13.6.8 Incertezza di taratura dei diametri delle sfere di tasteggio [u(w)]............................. 22
13.6.9 Incertezza del passo del filetto [u(P)]…………………………………………………………………….22
13.7 Incertezza complessiva della misura del diametro (livello di confidenza del 95%) .......... 23
13.8 Linearizzazione della incertezza..................................................................................... 23
13.9 Stima della incertezza di misura U(95) - Uc - Utot con foglio di calcolo Excel .................... 24
14. Appendice ........................................................................................................................... 25
14.1 Correzione per la deformazione elastica delle sfere del tastatore .................................. 25
14.2 Approssimazione per la correzione della inclinazione del filetto (effetto elica) .............. 26
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1. Scopo
L’intendimento del documento è quello di portare a conoscenza un possibile metodo da adottare
per determinare il diametro medio di un anello filettato cilindrico partendo dalla definizione della
sfera di misura per arrivare, passo-passo, alla definizionedi una formula che permetta di misurare
il diametro del filetto dell’anello tenendo conto dei fattori che possono influenzare il risultato della
misura. Il documento mostra un programma di calcolo in Excel del diametro per filetti cilindrici
rispondenti alle normeUNI 5870/71 - UNI 5541/65 con tolleranza 6h e filetti conici NPTF
rispondenti alle norme ASME B1.20.5 - 1991 eNPT rispondenti alle norme ASME B1.20. 2M - 2006
E’ inoltre presentato il calcolo della incertezza di misura per i filetti cilindrici.
Lo studio si riferisce a filettaturecon angolo di 60° e di forma triangolare come riportata in Figura
1. Nella trattazione non verranno considerate le troncature le quali non hanno alcuna influenza sui
risultati che ci siamo prefissati di raggiungere.
madrevite
vite
Figura 1 – Profilo filettature metriche ISO& ASME
2. Premessa
In questa trattazione la misura del diametro medio viene eseguita mediante sfere,le quali
equipaggiano un tastatore a stilo, il cui diametro è tale che la sfera, durante il processo di misura
del diametro dell’anello filettato entri in contatto con il fianco del filetto esattamente al centro
dell’altezza del filetto stesso ossia al valore di H/2.
Questa condizione è soddisfatta solo se il diametro della sfera ha un determinato valore,
identificato dalla letteratura con il “miglior diametro” (best size),il quale è rappresentato nella
Figura 2a.
φ della sfera: 2,021 mm - H: 3,031 mm - P: 3,500 mm
φ della sfera: 1,550 mm - H: 3,021 mm - P: 3,500 mm
φ della sfera: 2,375 mm - H: 3,031mm - P: 3,500 mm
H = altezza del filetto
H = altezza del filetto
H = altezza del filetto
H = 3,021
H = 3,031
H = 3,031
H/2 = 1,515
H/2 = 1,515
H/2 = 1,515
VL = 1,781
3,500
VL = 1,375
fondo del filetto
fondo del filetto
1,550
2,021
A
Figura 2a
A
A
Figura 2b
Figura 2c
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3,175
60°
passo
2,375
Vm = 0,671
fondo del filetto
60°
passo
passo
3,500
V m =1,028
Vm = 0,794
60°
VL = 1,163
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2.1 - Come si può osservare la Figura 2a differisce dalla Figura 2b e 2c esclusivamente dalle
dimensioni delle sfere che possono equipaggiare il tastatore mentre i restanti parametri sono
assolutamenteidentici.
Dal momento che esiste un solo valore del diametro della sfera chepossa identificarsi come il
“miglior diametro” l’obiettivo del prossimo capitolo verrà dedicato alla ricerca di questo valore
e,in seguito,di poter stabilire l’entità dell’errore introdotto nella misura quandoè impiegato un
valore diverso da quello corretto, dal momento che risulta impossibile avere a disposizione una
vasta gamma di diametri tali da soddisfare tutte le esigenze.
Per questo motivo si renderà necessario conoscere i risultati di una misurazione fatta in condizioni
diverse da quelle ideali per conoscere gli scostamenti dall’esatto valore ed introdurlo nei calcoli
come fattore correttivo del risultato bruto.
3. Ricerca del “miglior diametro”
3.1- Ricerca del “miglior diametro” per via grafica
È indicato con “miglior diametro” (best size) il diametro che permette alla sfera di entrare in
contatto esattamente sul valore medio del filetto. Il diametro di un anello filettato può essere
misurato con diametri diversi i quali entrano in contatto con il fianco del filetto, ma il valore
ottenuto può essere diverso da quello ottenuto con “miglior diametro” se esistono errori
nell’angolo o nella forma del filetto. Per questi motivi è raccomandato l’impiego del “miglior
diametro” il quale contatta il fianco del filetto al diametro medio entro ±1/5 della sua lunghezza.
3.1.1 - La soluzione del problema la cerchiamo analizzando la Figura 2a nella quale si può notare
le seguenti particolarità:
1) il fianco del filetto risulta tangente alla circonferenza della sfera per un angolo α di 60°
2) la perpendicolare posta al valore di H/2 cade al centro del raggio –X degli assi XY della sfera il
quale è esattamente il punto nel quale il diametro della sfera contatta il fianco dl filetto.
Il valore del raggio della sfera R è calcolabile attuando leconsiderazioni che seguono.
Con riguardo a quanto osservato al punto 2) se il luogo in cui avviene il contatto risulta essere
uguale a H/2 il quale eguagliaR 1 +
1,5 R = H/2
allora:
da cui
d = 2/3 H
Esempio:P1 : 3,500
H2: 3,031089 (= sen(60°) P)
diametro:2/3x3,031089 = 2,0207
3.2 Ricerca del “miglior diametro” per via analitica
La determinazione del diametro è stata ottenuta per via grafica ma esiste anche una soluzione di
tipo analitico3.
La Figura 3 dimostra una circonferenza inscritta in un triangolo equilatero la quale rispecchia le
caratteristiche della Figura 2a. Si può osservare che:
a) il triangolo COD è un triangolo rettangolo,
b) il segmento OD del triangolo COD rappresenta il raggio del cerchio,
c) il segmento CD è maggiore del segmento OD per un valore pari a √3,
1
in conformità con UNI 4535-64
H = sen(60°) P = 0,866025 P ; P = 25,4/N°fil/” è impiegato per I filetti ASME-B1.20.3-NPTF 60° e Whitworth per il calcolo del passo
in funzione del N° di filetti/”
2
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d) R√3 equivale a P/2 (dove P(passo del filetto) = segmento BC)
fondo del filetto
A
H = altezza del filetto
60°
O
C
R
D
3
B
passo
Figura 3
Sulla base di queste osservazioni possiamo scrivere la seguente equazione:
P
R √3 = da cui
2
R=
√
e moltiplicando per 2 si ottiene:2R = d =
ma √3= 2 cos
[3.2.1]
√
e pertantosostituendo √3della [2.2.1] si ricava4:
P
d=
[3.2.2]
2 cos
la qualerappresenta laformula canonica per la definizione del diametro di Figure 2a.
Se dal § 3.1.1siha che d =2,0207 mm come riprova, usando i dati precedenti, si ottiene:
P=3,500
cos
=0,8660254
dal quale si ricava:d
=
,
,
=2,0207
il quale coincide con il risultato ricavato graficamente nel precedente esempio del §3.1.1.
4. Analisi della Figura 2b e 2c
4.1 - Il problema legato alla Figura 2b e la Figura 2c ha uno scopo diverso da quello precedente e
quindi deve essere affrontato in mododifferente. La diversità sta nel fatto che nella esposizione
precedente l’obiettivo era quello di conoscere il raggio della sfera che soddisfaceva una particolare
condizione, nel presente caso, invece, si vuoleconoscere il punto in cui la sfera entra in contatto
con il fianco del filetto, conosciuto il raggio della sfera stessa,ma con un diametro il cui valorenon è
tale da soddisfare le condizioni definite in precedenza.
4
cos(a/2) =cos(30°) = 0,866025 e quindi 2 cos(a/2) = 2 x 0,866025 =1,732051 il quale equivale a√3
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4.2 - Partiamo con calcolare il valore Vmil quale rappresenta una delle due coordinate in cui la
circonferenza della sfera va in contatto con il fianco del filetto. Esso è calcolato con:
Vm = sen(90-α/2)xR[4.2.1]
Ora dobbiamo calcolare a quale distanza dall’apice del filetto la circonferenza della sfera entra in
contatto con il fianco del filetto (seconda coordinata). Se VLètaledistanza, essa è data da:
VL= Vm / tan(α/2)5[4.2.2]
Se l’angolo (90-α/2) = (90-60/2) = 60° = b allora:
sostituendo nella [4.2.1] Vmcon sen(b)xRpossiamo calcolare VL con:
VL = sen(b)x R / tan(α/2)
ma
oppureVL =sen(b) xcotan(α/2) xR [4.2.3]
sen(b) / tan(α/2)= 1,5
per cuiVLpuò anche essere riscritta conVL = 1,5R [4.2.4]
Nella Tabella 1 sono riportatitre diversi diametri della sfera6 con i qualipoi calcoleremo Vm e VLi
quali ci aiuterannoa comprendere il procedimento di calcolo.
Figura
2a
2b
2c
Diametro - d
Raggio - R
2,0207
1,01036
3,0311
3,500
2,3750
1,18750
1,5500
0,77500
Tabella 1
Con la [4.2.1], calcoliamo Vme con la [4.2.2] o la [4.2.3] o la [4.2.4] calcoliamo VL per tutte le figure.
Sostituendo i simboli con i rispettivi valori numerici si ottiene:
Figura
2a
2b
2c
Figura
2a
2b
2c
Altezza filetto - H
sen(a/2) R
Passo - P
Vm
sen(a/2) x 1,01036
sen(a/2) x 1,1875
sen(a/2) x 0,7750
Tabella 2
= 0,87500
= 1,02841
= 0,67117
VL
1,5 R = Vm/tan(a/2) = sen(a/2)x R/tan(α/2)
= 1,51554
= 1,78125
= 1,16250
Tabella 3
4.3–Tuttavia, la misura del diametro mediodovrebbe essereeseguita ad un valore, che
identificheremo con VL0,pari a H/2 il quale vale:
VL0= H/2 = 3,0311/2 mm = 1,51554mm
Le distanze dal vertice del filetto, calcolate con le sferedei rispettivi diametri, differiscono da H/2
per VLΔ = (VL-VL0) i cui valori sono:
Figura
2a
2b
VLΔ = (VL-VL0)
1,51554 -1,51554 = 0,0000mm
1,78125 - 1,51554 = 0,2657mm
risultati della misura del diametro medio
corretta
per difetto
5
tan(a/2) rappresenta la pendenza della retta che si identifica come il fianco del filetto la cui equazione è y = mx + q in cui si può
identificare Vm e VL rispettivamente con y e x.. Poiché la retta è passante per l’origine q = 0 e quindi: Vm = m·VL da cuiVL = Vm/m =
Vm /tan(a/2).
6
vedi le figure 2a, 2b e 2c alle quali si fa riferimento
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2c
1,5155 = -0,
1,16250 - 1,51554
0,3530mm
per eccesso
Tabella 4
Quindi se VLΔè diverso
divers da zero, rappresenta un errore di misura. Nella fattispecie il diametro
risulterebbe diverso da quello effettivo di una quantità pari a 2V
2 LΔ; infatti l’errore complessivo
risulta tale in quanto lo stesso errore viene commesso anche nell’approccio con il filetto opposto.
Si può usare questo errore come valore corre
correttivo
ttivo del risultato bruto riconducendolo
riconducen
così al valore
corretto. Questo espediente permetterebbe di usare diametri della sfera con un valore diverso da
quello teorico per ottenere la misura corretta ed inoltre ci svincola da
dall’avere
avere una serie di diametri
non facilmente reperibile e sicuramente
sicuramente costosi
costosi.
Foglio di lavoro di
Microsoft Excel
NB:: Per accedere al programma di calcolo di VLΔ cliccare due
due volte sulla
icona a fianco.
fianco. Per uscire dal programma cliccare File (in alto sulla sinistra in
campo verde) del Foglio1
Foglio1di
di Excel e poi cliccare Chiudi.
La visualizzazione è possibile solo con la versione Word del documento!
documento
5. Come correggere il risultato delle misurazioni
E’ fuori dubbio che la misura del diametro di un anello filettato impiegando una sfera il cui
diametro non è appropriato
appropriat porta ad un risultato, a volte, non accettabile. I risultati
risultati ottenuti negli
esempi al capitolo precedentesono
precedentesono significativi anche se esasperati. Se prendiamo in
considerazione un valore reale quale il diametro teorico di1,8331mm
mm (vedi Figura 2a) mm e quello
quello
invece adottato
dottato per eseguire le misurazioni con2,3750
2,3750mm (vedi Figura 2b) e calcoliamo VLΔ
troviamo che la seconda misura dista dal centro del filetto di
di406
406 μm. Occorre considerare, però,
però,
che tale errore si riferisce alla misurazione eseguita su un solo fianco, che generalmente viene
preso come riferimento e sul quale viene azzerato il misuratore di quota. Un egual errore è
commesso quando il tastatore approccia il filettoalla estremità opposta del diametro, per cui
l’errore globale risul
risulta
ta essere doppio (812 μm). Nel caso in esame ciò
ciò conduce ad una misura del
diametro di valore inferioredi
inferiore 812 μm a quello atteso
atteso.. Tenendo presente che tale errore non è
accettabile per definire il diametro dell’anello, altro non rimane che ricorrere ad una
unasoluzione::
impiegare l’erroreper
per apportare
apportare le necessarie correzioni p
perr la corretta determinazione del
diametro.
5.1 - Adozione di un anello filettato campione
Un metodo per eliminare l’errore di misura è rappresentata dall’adozione di un anello,
anello, preso come
riferimento
riferimento,in
in cui l’angolo del filetto sia uguale a quello dell’anello in taratura ed il valore del
diametro sia certificato.
Solitamente per eseguire le misure si fa uso di uno stilo che support
supporta due sferei cui diametri siano
uguali fra loro. Un tipico tastatore è raffigurato in Figura 4
4a e 4b.
Figura 4aa
Figura 4b
5.1-1 -La
La misura del diametro viene eseguita con il metodo raffigurato in Figura 5 in cui il valore
del diametro viene stabilito posizionando il tastatore
tastatore, prima su uno dei fianchi,
fianchi su cui viene
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azzerato il misuratore di quota esuccessivamente spostato sul fianco opposto. Il percorso tra le
due posizioni stabilisce il valore bruto del diametro.
Il risultato,però, della misura ottenutain questo modo risulta inferiore al valore reale il quale è
dato per difetto pari al valore della lunghezza dellostilo (vedi Figura 5).
La prima operazione da eseguire, quindi, è quella di stabilire con certezza la lunghezza dellostilo la
quale è determinata eseguendo la misura, come descritto in precedenza, sull’anello campione. La
lunghezza della sonda viene ora stabilita facendo la differenza tra il diametro dell’anello campione,
di cui si conosce il diametro,ed il valore risultato dalla misurazione.
Un esempio agevola la comprensione di quanto esposto.
valore certificato dell’anello campione
valore risultato dalla misurazione
lunghezza dello stilo (Tliscio)
49,995 mm
35,892 mm
49,995 - 35,892 = 14,103 mm
A questo punto tutte le misure eseguite su anelli in misura devono essere aumentate dello stesso
ammontare perché possano essere considerate corrette.
Occorre, però, tenere presente che il valore di 14,103 mm è valido solo se nelle misurazioni che
seguono (sull’anello in misura per intenderci) lo stilo verrà dotato con sfere dello stesso diametro
impiegato per stabilirne la lunghezza.
Figura 5
5.1.2 - Questo metodo di misura ha il vantaggio di prescindere dal diametro della sfera di misura.
Infatti, se a causa della sfera il cui diametro è diverso da quello teorico, è introdotto un errore
nella misurazione del diametro dell’anello campione, lo stesso errore, con ugual segno e valore, è
introdotto nella misura del diametro dell’anelloin misura per cui i due errori si annullano.
Va però evidenziato che quanto detto è valido solo se i due anelli, campione e in misura, hanno lo
stesso diametro, il ché ne limita fortemente l’impiego a causa dei costi di investimento.
La Figura 6 mostra un banco di misura che adotta il metodo delle sfere per misurare il diametro
dell’anello.
.
Figura 6 – Immagine di banco di misura con il metodo delle due sfere
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5.2 Adozione di un anello liscio campione
L’adozione di un anello filettato campione non è l’unica soluzione al problema della misurazione
del diametro in quanto l’anello filettato campione può essere sostituito da un anello liscio
campione l’uso del quale non comporta limitazioni dovute al valore del suo diametro anche se
diverso da quello dell’anello in misura. Infatti, l’unico suo scopo è quello di definire la lunghezza
dello stilo la quale può essere eseguita con qualsiasi diametro dell’anellosenza alcun vincolo.
Questa prerogativa fa prediligere l’impiego come mezzo di riferimento rispetto all’anello filettato;
occorre solo conoscere parametri che non erano necessaripossedere nella precedente
esposizione.
5.3Determinazione della lunghezza del tastatore(ε1)
Inizialmenteoccorre stabilire la lunghezza del tastatore.La Figura 7a e 7b mostrano il metodo per
definirne la lunghezza. Il procedimento è similea quello adottato nella Figura 5del§5.2b.
Figura 7a
Figura 7b
L’unica differenza che presenta questa procedura rispetto alla precedente sta nel fatto che il
tastatore entra in contatto con l’anelloin un punto tangente alla sfera e ortogonale all’asse della
sfera stessa, il qualeessendo puntiforme giustificail presuppostodiessere considerato comeuna
superficie piana,mentre per l’anello filettato entra in contatto con il fianco del filetto con un
angolo di 60° rispetto il proprio asse. Ciò è chiaramente mostrato comparando la Figura 5 con la
Figura 7a. Questa considerazione porta alla conclusione che occorre apportare una correzione alla
misura per ottenere il valore corretto del diametro.
Il segmento CD di Figura 9 indica con 21,930 mm il diametro dell’anello liscio preso come
riferimento per calcolare la lunghezza dello stilo del tastatore. Seguendo il metodo descritto in
precedenza, si stabilisce che il percorso della sonda è stato di 18,930 mm per cui la lunghezza
Tliscio(che da ora chiameremo K quale costante del tastatore) risulta essere:
Tliscio= k = 21,930mm – 18,930 mm = 3,000 mm.
Se il caso della Figura 7a fosse trasferito alla Figura 8si mostrerebbe che la sfera dello stilonon
entrerebbe in contatto con il punto A, fondo del filetto (o root),ma si arresterebbe distante dal
contatto atteso per un valore pari a VL. Determinare VLè quindi imprescindibile per apportare la
correzione necessaria al valore bruto ed ottenere il valore corretto del diametro dell’anello.
VL
AA
B
φ di fondo = 20,62
percorso dello stilo = 18,93
φmedio =19,05
C
Figura 8
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φ anello = 21,93
D
applicazioni di metrologia meccanica
Facciamo riferimento alla Figura 2a. Consideriamo lostilo fornito di sfere in cui il loro diametrosia
quello teorico.La sfera entra in contatto con il fianco del filetto coincidente con la linea
tratteggiata (rossa), che costituisce il punto in cui è definitoil diametro medio del filetto: non
necessita,quindi,nessuna correzione.
Questa è la condizione ideale, che purtroppo non si verifica mai, o quasi, in quanto il diametro
della sfera non coincide maicon il valore teorico.
La sfera, quindi, entra in contatto con il fianco del filetto nonsulla lineache costituisceil valore
medio del filettoma in un punto diverso, ossia al di sopra o al di sotto di tale linea, come mostrano
le figure2b e 2c.Questo,nella misura del diametro dell’anello filettato, costituisce un elemento di
errore poiché il diametro viene determinato per difetto (caso della Figura 2b) o per eccesso (caso
della Figura 2c). Tale errore,Ɛsfera , è determinato con la seguente espressione:
Ɛ(sfera) = VL – H/2
in cui H/2, ricordiamolo, rappresenta il centro del filetto.
Osservando le figure 2a (diametro teorico) e 2be 2c (diametri pratici) la differenza che
contraddistingue le tre figure sono i valoridi VL.
Adottiamo quanto riportatonella Tabella 1 al § 4.2. La formula [3.2.4] fornisce il valore di VLche è:
VL = 1,5R
e prendiamo come esempio i valori citati inTabella 1:
R(teorico)
H7H
VL(teorico)
Ɛ(sfera)
= 1,01036 mm
= 3,0311 mm e H/2
= 1,5x R(teorico)
= 1,51555 - 1,51555
= 1,51555mm
= 1,51555mm
= 0,0000mm
In questo caso il tastatore entra in contatto con il fianco del filettodistante dal puntoAper un
valore di VLesattamente uguale a H/2 e, quindi, l’errore Ɛ(sfera)risulta essere = 0
Parimenti per:
otteniamo:
R(pratico)
H
VL(pratico)
Ɛ(sfera)
= 1,1875 mm
= 3,0311 mm e H/2
= 1,5x R(pratico)
= 1,78125- 1,51555
= 1,51555 mm
= 1,78125 mm
= 0,2657mm
In questocaso, invece, il tastatore entra in contatto con il fianco del filetto distante dal puntoA per
un valore di VL pari a 1,78125mm, ossia non esattamente in H/2.
La differenza tra VL(pratico) e H/2,quindi, rappresenta un errore della misura del diametro e risulta
positivo per 1,5xR(pratico)> H/2 e negativo per 1,5x R(pratico)< H/2. Nel caso di errore positivo il
percorso del tastatore risulterebbe inferiore al valore atteso e superiore per un errore negativo,
perciò si otterrebbe un risultato perdifettonel primo caso ed pereccessonel secondopari al valore
della correzione.
Da qui la necessità di sommare l’errore al valore misurato, per ottenere il valore corretto.
L’erroreƐ(sfera)però, rappresenta solo la metà dell’errore dei due approcci (azzeramento e misura)
per cui l’errore complessivo, Ɛ1, è:
Ɛ1 = 2 Ɛ(sfera) = 2(VL(pratico) – H/2
Che,convertito, diventa:
7
Ɛ1 = sen (α) Ø
cotan
− sen (α) P
[5.3.1]
H = sen(a) P =0,866025 P ; P = 25,4/N° filetti/”; D2 = Dn - 0,640327 P in cui D2 è il Ø medio del filetto e Dn il Ø nominale
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applicazioni di metrologia meccanica
Computato con una prima misura del diametroil φeffettivo, in questo caso, risulterebbe essere:
Øeffettivo = Ømisurato + K + Ɛ1
NB: Per accedere al programma di calcolo di VLΔ cliccare due volte sulla
icona a fianco. Per uscire dal programma cliccare File (in alto sulla sinistra
Foglio con
in campo verde) del Foglio1di Excel e poi cliccare Chiudi.
attivazione macro di Microsoft Excel
La visualizzazione è possibile solo con la versione Word del documento!
6. Posizione della sferaopunto di contatto con il fianco del filetto(ε2)
6.1 - La correzione innanzi descritta non rappresenta la sola correzione che deve essere apportata.
Se esaminiamo le figure2a, 2b e 2c si noterà che tutte le sfere entrano in contatto con il fianco del
filetto con un angolo di 60° rispetto il proprio asse, indipendentemente dal valore del proprio
diametro. La diversità delle condizioni di misura tra anello liscio e l’anello filettato sta nel fatto che
nella misura dell’anello liscio di riferimento il contatto avviene con il punto esterno della
circonferenza parallelo al suo asse (0°) mentre nell’anello filettato il contatto con il filetto avviene
con un angolo della sfera di 60° (vedi Figura 10a). Questa differenza costituisce un motivo di
errore della misura del diametro dell’anello filettato. La Figura 10b mostra la posizione che,
idealmente, assumerebbe la sfera dopo aver introdotto la correzione Ɛ1,in cui VL coincide con H/2
(linea rossa tratteggiata).
La Figura 10c riproduce la nuova posizione che assume la sfera dopo aver introdotto una
correzione pari ad un valore ΔL in cuila circonferenza della sfera,il cui asse risulta parallelo all’asse
del filetto, si posizioni sulla linea rossa tratteggiata di H/2.Quest’ultima operazione riproduce la
condizione di misura utilizzata per determinare la dimensione dello stilo,stabilendo che la misura
del diametro dell’anello filettato sia riferita, indipendentemente dal diametro della sfera, sempre
in H/2,ossia esattamente sulpunto di riferimento per la determinazione del diametro.
6.2 - La linea (ΔL) illustrata in Figura 10brappresenta lalunghezza da determinare per consentire
l’allineamento della sfera in H/2 (vedi Figura 10c).
H = altezza del filetto
H = 3,031
VL1 - H/2
H/2 = 1,515
VL2 = VL1 - H/2
fondo del filetto
Vm
60°
passo
Figura 10b
3,500
60°
ΔL
passo
passo
60°
fondo del filetto
V
Vm
VL3 = VL2 + ΔL
3,500
3,500
fondo del filetto
H = 3,031
H/2 = 1,515
VL1
Figura 10a
H = altezza del filetto
H = altezza del filetto
H = 3,031
H/2 =
Figura 10c
Il segmento ΔL risulta uguale a8:ΔL =R-cos(a)R
e raccogliendo R a fattor comune
ΔL =R (1-cos(a))
Il valore trovato rappresenta, però, l’errore di un solo lato dello stilo per cui il valore dell’errore Ɛ2
è due volte tale valore, quindi:
8
(1-cos(α))R = (1-sen(α)/2))R e nel caso di α = 60° vale 0,5 R. Nel nostro caso abbiamo adottato (1-cos(α))R ma tutte le altre
definizioni potevano essere validamente adottate nel calcolo di ΔL.
Pag. 12 di 26
applicazioni di metrologia meccanica
Ɛ2 = 2 ΔL = 2 R (1-cos(a)
ma essendo 2R = Øsfera si ottiene: Ɛ2 = Øsfera(1-cos(a)
[6.2.1]
L’errore determina una misura del diametro dell’anello filettato per eccesso per cui il suo valore
deve essere sottrattoal risultato della misurazione, oppure sommare algebricamente9 la[6.2.2].
[6.2.2]
Ɛ2= Øsfera(cos(a)-1)
7. Effetto elica (ε3)
Quando una sfera è impiegata in una misura di un diametro essa si allinea automaticamente nella
scanalatura del filetto in direzione dell’elica. Come conseguenza la sfera contatta il fianco del
filetto in una posizione diversa da quella indicata dall’asse del filetto in quanto l’asse orizzontale
della sfera si posiziona al di sopra ditaleasse. Questa condizione è chiaramente mostrata in Figura
12b mentre La Figura 12a mostra la posizione della sfera allineata con il vertice del filetto.
La Figura 11, invece, mostra la forma che assume in pratica il profilo del filetto di unanelloin cui è
evidenziato lo sviluppo dell’elica della filettatura.
Figura 11 - Sviluppo dell’elica del filetto di una madrevite
Figura 12a
9
cos(a)-1 è sempre ≤ 0
aritmeticamente
Figura 12b
per cui Ɛ2, se diverso da 0, risulta necessariamente negativo e, quindi, deve essere sommato
Pag. 13 di 26
applicazioni di metrologia meccanica
La differenza tra le due posizioni è evidenziata nella zona cerchiata della Figura 12b. Questa
differenza aumenta con l’aumento del passo del filetto10 e deve essere trattata come una
correzione da apportare alla lunghezza misurata. Il valore della correzione11cè data da:
c = φsfera/2 x tan2(bx cos (a2 x cotana2
in cui:
tan(b= Passo/( φD₂)12 [7.2]
[7.1]
Dal momento che la differenza allontana la sfera dal vertice, misurando così il diametro per
difetto, la correzione va sommata al risultato bruto.
Per mantenere la consueta forma per esprimere l’errore diremo che:
Ɛ3 = Øsfera/2 x tan2(bxcos (a2 xcotana2
[7.3]
8. Deformazione elastica della sfera(ε4)
8.1 - Un altro errore è rappresentato dallo schiacciamento della sfera, dovuto alla deformazione
elastica, quando entra in contatto con l’anello di riferimento durante la determinazione della
lunghezza dello stilo.
La relazione13 che definisce il valore della deformazione della sfera in contatto con un piano dello
stesso materialeè:
[8.1.1]
δ = 1,6012 ×
2
dove:Fè espressain kgf, d in mme δin μm
Anche in questo caso δ rappresenta l’errore di un solo lato dello stilo per cui il valore dell’errore,
δ014è due volte tale valore, pertanto:
= 3,2
espressa in μm[8.1.2]
Ø
8.2- L' errore di ordine pratico è compreso tra 0,2 m e 0,8 m con forze applicate da 0,02 kgf
(≈0,2N) a 0,05 kgf (≈0,5 N) e per diametri della sfera compresi tra 0,35 mm e 3,5 mm. Questo
errore, δ0, è quello che si verifica nella fase di determinazione della lunghezza della sonda di
misura effettuata sull’anello liscio di misura. Per effetto dell’inevitabile schiacciamento in fase di
misura della lunghezza del diametro dell’anello filettato15, il quale normalmente genera un errore
pressoché doppio rispetto a δ0, l’errore complessivo viene modificato in quanto i due errori
parzialmente si compensano. L’errore totale è rappresentato dalla differenza tra le due
deformazioni, in cuiil valorestimato è equivalente a δ016.Pertanto, Ɛ4 è calcolato con:
Ɛ =
,
Ø
espressa in mm
[8.2.1]
La lunghezza finale del diametro sarà determinata con la seguente espressione:
10
ossia è tanto maggiore quanto minore è il numero di filetti per pollice
2
la correzione c = φsfera/2 x tg b x cos(α/2) x ctg(α/2) è fornita dalla letteratura meccanica EURAMET / cg-10/v.01–
EuropeanAssociation of National MetrologyInstitute e viene da noi adottata senza occorrenza di dimostrazione (vedi Appendice
§14.2).
12
φD₂ = φ medio dell’anello
13
δ0 è il risultato della elaborazione delle formule citate nella norma UNI 9052
14
la letteratura definisce questo errore con = 4
/ . La differenza fra le due formule (con F espressa in kgf e d in mm) è ≈ il
20% il quale può considerarsi trascurabile agli effetti della misura complessiva del diametro.
15
una trattazione del calcolo viene data in Appendice §14.1
16
vedi Appendice §14.1
11
Pag. 14 di 26
applicazioni di metrologia meccanica
φeffettivo = φmisurato + K + Ɛ1 + Ɛ2 + Ɛ3 + Ɛ4
[8.2.2]
9. Effetti della temperatura(ε5)
Generalmente lemisure sono eseguite in laboratori metrologicile cui condizioni climatiche sono
controllate ed in cui la temperatura è mantenuta a 20 °C. Se la strumentazione sottoposta al
controllo e la strumentazione impiegata per il controllo è mantenuta a questa temperatura non è
necessario tenere conto della dilatazione termica dei materiali poiché la temperatura di 20°C è
considerata la temperatura di riferimento. Infatti, i valori delle dilatazioni termiche lineari sono
riferite a tale temperatura.
D’altra parte, se misurando e misuratore hanno lo stesso coefficiente di dilatazione termica(11,5
μm/m-1/°C-1 per l’acciaio il quale è generalmente impiegato nella costruzione sia del misurando
che del misuratore) e sono mantenuti alla stessa temperatura durante le misure17, la temperatura
può essere diversa da 20° senza introdurre errori apprezzabili. Per questo motivo gli effetti della
temperatura non vengono considerati in questa trattazionepoiché verranno considerati in sede di
calcolo delle incertezze18 di misura dallo stesso laboratorio che esegue le misure.
Non avendo alcuna influenza nella determinazione del diametro la formula finale che esprime il
φeffettivorimane quella citata al § 8.2
10.Tabelle comparative
17
non è sufficiente che la temperatura sia uguale ma occorre che misuratore e misurando abbiano le temperature superficiali
identiche è ciò è raggiungibile solo dopo un periodo sufficiente ad ottenere la stabilizzazione termica dei materiali costruttivi.
18
Un esempio di calcolo della incertezza di taratura è trattata al § 13.
Pag. 15 di 26
applicazioni di metrologia meccanica
10.1Tabella 5 - Risultati comparati con un campione conosciuto
A
B
anello in taratura
φnominale (Dn)
30,000
φmedio (D2)
27,7267
K = LS
2,8464
F (kgf)
0,02
φ bruto
24,8800
φ medio campione
26,7184
φ sfera
2,0207
P
H
H/2
sen (α/2)
sen (a)
cos(a/2)
tan (a/2)
fil/"
F (kgf)
Vm
VL
tan b
Ɛ1
Ɛ2
Ɛ3
Ɛ4
φ medio
Δ φ (μm)
3,5000
3,0311
1,5155
0,5000
0,8660
0,86603
0,5774
/
0,02
0,874989
1,51553
0,04018
0,0000
-1,01035
0,00245
0,0001175
26,71861
0,21
C
anello in taratura
φnominale (Dn)
30,000
φmedio (D2)
27,7267
K = LS
2,8464
F (kgf)
0,02
φ bruto
24,8800
φ medio campione
27,0732
φ sfera
2,3750
P
H
H/2
sen (α/2)
sen (a)
cos(a/2)
tan (a/2)
fil/"
F (kgf)
Vm
VL
tan b
Ɛ1
Ɛ2
Ɛ3
Ɛ4
φ medio
Δ φ (μm)
3,5000
3,0311
1,5155
0,5000
0,8660
0,86603
0,5774
/
0,02
1,028405
1,78125
0,04018
0,53141
-1,18750
0,00288
0,000111
27,07333
0,13
anello in taratura
φnominale (Dn)
30,000
φmedio (D2)
27,7267
K = LS
2,8464
F (kgf)
0,02
φ bruto
24,8800
φ medio campione
26,2472
φ sfera
1,5500
P
H
H/2
sen (α/2)
sen (a)
cos(a/2)
tan (a/2)
fil/"
F (kgf)
Vm
VL
tan b
Ɛ1
Ɛ2
Ɛ3
Ɛ4
φ medio
Δ φ (μm)
3,5000
3,0311
1,5155
0,5000
0,8660
0,86603
0,5774
/
0,02
0,671170
1,16250
0,04018
-0,706089
-0,77500
0,00188
0,000128
26,24735
0,15
Tabella5– Valori risultanti dal calcolo
Per giungere al risultato per ovvie ragioni si è dovuto utilizzare i dati sperimentali del campione19
quali il: φbruto, φsfera,F e k (LS), valori necessari al calcolo e che dovevano essere utilizzati per poter
verificare i risultati.
La Tabella 5 mostra i risultati dell’applicazione di quanto trattato. La zona verde è dedicata ai
parametri con i quali è stata eseguita la misura per determinare il valore del campione
(φmedio campione), mentre il valore del φmedio è ottenuto utilizzando i calcoli riportati nella zona gialla.
Infine, la zona rosa riporta i valori di correzione Ɛ1, Ɛ2 , Ɛ3 ed Ɛ4 mentre l’ultimo rigo della tabella
riporta la differenza tra il φmedio e φmedio campione espressa in μm.
Nella colonna A per il φsfera è stato adottato il “miglior diametro” per cui Ɛ1 = 0,000
19
foglio di calcolo cod. 10.310-AF-Msf
Pag. 16 di 26
applicazioni di metrologia meccanica
10.2. Tabella 6 - Risultatidello stesso anello misurati con stili di lunghezza diversa
A
B
anello in taratura
30,000
27,7267
2,8464
0,02
φ bruto
24,8800
φ medio campione
26,7184
φ sfera
2,0207
φnominale (Dn)
φmedio (D2)
K = LS
F (kgf)
P
H
H/2
sen (α/2)
sen (a)
cos(a/2)
tan (a/2)
fil/"
F (kgf)
Vm
VL
tan b
Ɛ1
Ɛ2
Ɛ3
Ɛ4
φ medio
Δ φ (μm)
3,5000
3,0311
1,5155
0,5000
0,8660
0,86603
0,5774
/
0,02
0,875000
1,51554
0,04018
0,0000
-1,01036
0,00245
0,0001175
26,71863
0,23
C
anello in taratura
30,000
27,7267
3,2007
0,02
φ bruto
24,1708
φ medio campione
26,7184
φ sfera
2,3750
φnominale (Dn)
φmedio (D2)
K = LS
F (kgf)
P
H
H/2
sen (α/2)
sen (a)
cos(a/2)
tan (a/2)
fil/"
F (kgf)
Vm
VL
tan b
Ɛ1
Ɛ2
Ɛ3
Ɛ4
φ medio
Δ φ (μm)
3,5000
3,0311
1,5155
0,5000
0,8660
0,86603
0,5774
/
0,02
1,028405
1,78125
0,04018
0,53141
-1,18750
0,00288
0,000111
26,71843
0,03
anello in taratura
30,000
27,7267
2,3757
0,02
φ bruto
25,8218
φ medio campione
26,7184
φ sfera
1,5500
φnominale (Dn)
φmedio (D2)
K = LS
F (kgf)
P
H
H/2
sen (α/2)
sen (a)
cos(a/2)
tan (a/2)
fil/"
F (kgf)
Vm
VL
tan b
Ɛ1
Ɛ2
Ɛ3
Ɛ4
φ medio
Δ φ (μm)
3,5000
3,0311
1,5155
0,5000
0,8660
0,86603
0,5774
/
0,02
0,671170
1,16250
0,04018
-0,706089
-0,77500
0,00188
0,000128
26,71845
0,05
Tabella 6 – Valori risultanti dal calcolo
La Tabella 6 mostra il risultato delle misurazioni adottando diametri diversi della sfera dello stilo e
con tastatori la cui lunghezza è dipendente dal diametro della stessa sfera (condizione diversa
dalla Tabella 5 che adotta gli stessi diametri delle sfere ma manteneva invariata la lunghezza del
tastatore).
Lo scopo è di dimostrare che si può pervenire allo stesso risultato pur adottando diametri della
sfera diversi fra loro.
Come in Tabella 5 nella colonna A per il φsfera è stato adottato il “miglior diametro” per cui
Ɛ1risulta essere 0,000.
11.Calcolo del diametro con foglio Excel
A completamento del documento si inserisce la possibilità di calcolo del diametro di un anello
filettato.
NB: Per accedere al programma di calcolo cliccare due volte sulla icona a
fianco. Per uscire dal programma cliccare File (in alto sulla sinistra in
Foglio con
campo verde) del foglio Calcolo60di Excel e poi cliccare Chiudi.La
attivazione macro di Microsoft Excel
visualizzazione è possibile solo con la versione Word del documento.
Pag. 17 di 26
applicazioni di metrologia meccanica
12.Formule
La formula per determinare il φmedio è la seguente:
φmedio = φbruto + K + Ɛ1 + Ɛ2+ Ɛ3+ Ɛ4
[ in cui k = LS ]
e per esteso:
ϕ
=ϕ
+k+ Ø
(sen(α)cotan
(cos(α) − 1) +
− sen(α)P) +Ø
Ø
tan β cos
cotan
,
+
Raccogliendo a fattor comune:
ϕ
=ϕ
+k+Ø
[sen(α)cotan
] + [(cos(α) − 1)] + [0,5 tan β cos
cotan
,
] –[P sen( )]+ [
La Tabella 7 converte i coefficienti letterali delle formule che esprimono gli errori ε(1÷4) in valori
numerici con l’intendimento di semplificare la formula risolutiva del diametro medio (Em).
era
Ɛ = sen (α) Ø
Ø
Ɛ =
Ɛ = w·1,5– P· 0,8660254
− sen (α)P
Ɛ = w · (-0,5)
(cos(α) − 1)
Ɛ =Ø
Ɛ =
cotan
diventa
tan β cos
1,6
1000
cotan
dovetanβ
=
Ø ₂
2F
Ɛ = w ·tan2b · 0,75
Ɛ
=0,0020159 · F 2/3 · w -1/3
Tabella 7
La formula finale, che impiega i membridi “diventa” della Tabella 7, in cui il termine ‘w’ sostituisce
il termine Øsfera, il quale è raccolto a fattor comune, risulta essere:
=
+
+
(1 + 0,75 ·
)−
· 0,8660254 + 0,0020159 ·
[12.1]
·
in cui tan b=
NB:tutti i valori sono espressi in mm,kgf (F) e radianti (b)
Legenda:
Em =
D =
K =
w=
P =
D2 =
 
b 
diametro medio effettivo dell’anello
misura del diametro dell’anello(Øbruto)
lunghezza dello stilo
Øsfera dello stilo (best size)
passo del filetto
diametro medio del filetto
3,14159……
angolo del fianco del filetto (a/2)
Pag. 18 di 26
Dn
Dn
D2
D1
]
applicazioni di metrologia meccanica
13. Calcolo della incertezza di misura
La presente trattazione fa riferimento allo standard ISO ed alle norme UNI del settore specifico. Lo
scopo della trattazione è unicamente propedeutico e la scelta degli strumenti utilizzati e relative
incertezze associate sono suggeriti dall’esperienza acquisita qui utilizzata per raggiungere lo scopo.
Per definire l’incertezza di misura occorre conoscere il metodo di misurazione adottato, le
condizioni ambientali in cui si eseguono le misurazioni e gli strumenti impiegati nel processo di
misurazione i quali sono discussi ai §13.1, §13.2 e §13.3.
13.1Metodo di misurazione
Il metodo di misurazione è quello richiamato al § 5.2 in cui si adotta un anello liscio, considerato il
campione di riferimento, per determinare la lunghezza dello stilo in funzione delle sfere di cui è
equipaggiato. Il § 5.3 mostra il calcolo della lunghezza dello stilo, equipaggiato di sfere con il
diametro richiamato al § 13.3, mentre la Figura 8 mostra come si esegue la misura della lunghezza
dello stilo ed il processo di misurazione del diametro dell’anello filettato.
13.2 Condizioni ambientali
Generalmente le tarature sono eseguite in ambiente controllato in temperatura in quanto questo
parametro contribuisce a stabilisce il livello di incertezza. Il condizionamento termico è definito
dalla norma UNI 9052 in cui la temperatura di riferimento è di 20°C mentre le oscillazioni devono
avere una costante di tempo maggiore di 1h per una variazione di ±0,5°C oppure maggiore di 2 h
per variazione di ±1°C.
Per i nostri calcoli adotteremo la prima condizione ossia una temperatura di 20 °C ± 05°C.
Durante il processo di misurazione la differenza di temperatura tra misuratore e misurando non
deve essere superiore a 0,5°C.
13.3 Strumenti impiegati nel processo di misurazione
Misuratore longitudinale per la misura del diametro dell’anello filettato
Anello liscio campione φ 25 mm per definire la lunghezza dello stilo
Termometro a contatto per misurare la temperatura dei corpi del misuratore e del misurando
Uno stilo equipaggiato da una coppia di sfere di 2 mm di diametro.




La misura deldiametro dell’anello è però interessata dagli effetti della temperatura la quale
introduce conseguenti variazioni di lunghezza a causa della dilatazione dei materiali costruttivi, sia
dello strumento di misura che dell’anello in misura, le quali possono modificare il risultato della
misura anche in termini significativi. Temperatura e dilatazione termica sono due variabili
correlate fra loro in quanto un aumento della temperatura comporta un aumento del diametro
dell’anello e viceversa.
Nella trattazione per rimuovere le correlazioni dovute alle temperature (ϴM& ϴA) ed ai coefficienti
di dilatazione termica (αM&αA) esistenti tra misuratore di lunghezza edanello in misura, le
differenze (ϴM-ϴA) e (αM-αA) sono entrambe considerate nulle mentre non vengono considerate
nulle le loro incertezze.
Inoltre, in virtù del fatto che anello di riferimento ed anello in misura giacciono sullo stesso piano e
molto vicini fra loroe che i materiali che li costituiscono sono gli stessi, sia la differenza di
Pag. 19 di 26
applicazioni di metrologia meccanica
temperatura (ϴAL-ϴA) 20che la differenza dei coefficienti di dilatazione termica (αAL-αA) che le loro
incertezze sono considerate nulle.
13.4 Incertezze di misura degli strumenti impiegati
misuratore longitudinale incertezza
±(0,4+L/250) μm (L espresso in metri)
0,3 μm
lettura lunghezza dello stiloincertezza
0,1 μm
anello liscio campione φ 25 (certificato)incertezza
0,25 μm
incertezza
termometro a contatto
± 0,2 °C
risoluzione 0,1°C
sfere
0,1 μm
incertezza
ripetibilità
Tabella 8
13.5 Stima della incertezza di misura
In questo paragrafo è descritto il calcolo per la stima dell’incertezza di misura da associare ai valori
rilevati. Per convenzione sarà indicato con la lettera u (minuscola) lo scarto tipo mentre con la
lettera U (maiuscola) si indicherà l’incertezza estesa con fattore di copertura K=2.
La stima della incertezza si estende ad anelli fino a 100 mm di diametro (~4 pollici).
13.6 Calcolo dei coefficienti di sensibilità ci(x)
I coefficienti di sensibilitàsi ottengono applicando,per le derivate parziali, i termini dalla formula
[12.1] del § 12 la quale determina il diametro dell’anello in misura.
= f(D,K,w,P,F)=D+K+w (1+0,75·tan2b )-P·0,8660254+0,0020159·F2/3·w- 1/3
in cui tanb =
Per semplificare i calcoli, diminuendo il numero delle variabili da trattare,ai
terminiFewrelativamente aD2ePrelativamente a tan2bverranno assegnati valori prefissati
ossia:
a) F21= 0,02 kgf; b)w= 0,15 mm; c)D222=4,4804 mm (Dn@ 5mm); d) P23= 0,800 mm.
In ogni caso, tutti ivaloricitatisono scelti con il criteriodi assicurare unacondizionedinon sottostima
della incertezza.
Derivando i termini della [12.1] si ottengono i seguenti coefficienti di sensibilità.
ci(D) =
=
1
ci(P) =
=
(w·0,75· 2P ( D2)-2)-0,8660254 =-0,86512
ci(w)=
2
= (1+0,75·tan b )+0,0020159 (-
ci(K) =
=
1
ci(F)=
= 0,0020139
=0,00932
2
3
) =1,001802
Tabella 9
13.6.1Attribuzione delle incertezze di misura del diametro
Le incertezze di misura della lunghezza del diametro sono da attribuire ai seguenti contributi:
20
ϴA è la temperatura dell’anello in misura, ϴM la temperatura del misuratore di lunghezza e ϴAL è la temperatura dell’anello di
riferimento. Gli stessi pedici hanno gli stessi significati per quanto riguarda la dilatazione termica α
21
il valore di 0,02 kgf rimane costante nell’intero campo di applicazione della procedura
22
il diametro medio D2 è dato da Dn-(0,64952*P) in cui Dn è il diametro nominale e P il passo del filetto
23
Dn di 5mm, corrisponde al valore minimo in cui è possibile applicare la procedura di verifica del diametro medio
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applicazioni di metrologia meccanica
incertezza di taratura dell’anello di riferimento u(AR)
Incertezza di ripetibilità del misuratore longitudinale di lunghezza u(R)
Incertezza di misura del misuratore longitudinale di lunghezza u(D)
Incertezza da attribuire agli effetti termici u(M1)u(M2)
Incertezza di lettura della lunghezza dello stilo u(M3)
Incertezza dovuta alla deformazione elasticau(M4)
Incertezza della misura dei diametri delle sfere di tasteggio u(w)
Incertezza del passo del filettou(P)








13.6.2 Incertezza di taratura dell’anello di riferimento [u(AR)]
Desunta dal certificato di taratura, per un livello di confidenza del 95%, è di 0.25 μm. L’incertezza
tipo risulta essere:
u(AR)=
0.25
=
2
0.125μm
13.6.3incertezza di ripetibilità del misuratore di lunghezza [u(R)]
Dal certificato di taratura del misuratore si ricava che il massimo scarto quadratico medio per un
livello di confidenza del 95% è di 0.30 µm quindi assumeremo:
u(R) =
0.3
= 0.15 µm
2
13.6.4 Incertezza di misura del misuratore di lunghezza [u(D)]
E' desunta dalle specifiche tecniche del costruttore la quale risulta essere ±(0,4+L/250) µm, dove L
è espressa in mm. Nella presente procedura tutte le lunghezze sono espresse in metri (m) per cui
l’espressione può essere trascritta con ±(0.4+4L) , con L espressa in metri, senza perdere la sua
validità per qualsiasi lunghezza. Si considera tale intervallo come la semi ampiezza di una
distribuzione rettangolare, quindi:
0,4 
u(D) =
L(mm)
250  0.4  4 L(m)  0.23+2,3 L(µm)
3
3
13.6.5 Incertezza da attribuire agli effetti termici [u(M1)- u(M2)]
Vengono considerate:
la differenza di temperatura tra il misuratore di lunghezza e l’anello in misura,
i contributi dovuti alla incertezza con cui sono conosciuti i coefficienti di dilatazione termica
l’incertezza con cui è conosciuta la differenza di temperatura tramisuratore di lunghezza ed
anello in misura.



Le incertezze u(M1)e u(M2)sono date da:
u(M1) 
L n (u  t  a ) /
3
μm
u(M2)  Ln (u a  | t |) / 3 μm
dove:
a. Ln = valore della lunghezza (diametro)dell’anello in misura espressa in metri;
b.
incertezza associata all’ipotesi di eguaglianza dei coefficienti di dilatazione termica
ua =
dell’anello campione e dell’anello in misura, pari a 3·10-6 °C -1[±(2x1,5·10-6 °C -1)];
c. |t|=
differenza di temperatura tra misuratore ed anello in misura, pari a 0.5°C ;
d. ut = incertezza con cui è nota la differenza di temperatura, pari a 0.2°C;
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e.
α=
valore nominale del coefficiente di dilatazione termica, pari a 11.5·10-6 °C -1.
pertanto:
u(M1) = Ln (0.2  11.5) / 3  Ln  1.33 m
u(M2) = Ln (3  0.5) / 3
 L n  0.87μm
13.6.6Incertezza della lunghezza dello stilo[u(M3)]
Alla lunghezza dello stilo, in considerazione della sua dimensione e del metodo di misura utilizzato
per determinarla, l’unica incertezza da assegnare alla misura risulta essere quella della risoluzione
con la quale è letto il valore della lunghezza stessa.L’incertezza tipoassociata alla lettura,il cui
campo di variabilità è di tipo rettangolare,risulta essere di 0,1 μm, perciò:
u(M3)=
0,1
2 3
 0,029 μm
13.6.7 Incertezza dovuta alla deformazione elastica [u(M4)]
Stabilita in 0,02kgf (0,2N) la forza Fnominale da applicare allesfere di misura, essa è conosciuta con
una incertezza di ±10%. Questa incertezza genera una variazione di diametro, rispetto il valore
nominale della forza applicata, di ±0,015 μm. Assumendo tale valore come incertezza sul
diametro, il cui campo di variabilità è considerata come semi ampiezza di una distribuzione
rettangolare ed essendo 2 lesfere utilizzate per la misurazione,u(W4) sarà:
,
u(W4) =2
= 0,017 μm
√
13.6.8 Incertezza di taratura dei diametri delle sfere di tasteggio [u(w)]
Il risultato della misurazione è strettamente legato al diametro delle sfere di tasteggio tant’è che
qualsiasi variazione si ripercuote sul risultato della misura dello stesso ammontare ma di segno
opposto. Le sfere sono certificate e sono immesse nel calcolo con il loro valore reale per cui qui
verrà presa inconsiderazione la sola incertezza di misura, la quale è rappresentata dalla risoluzione
del misuratore del diametro.Infatti la misurazioneè fatta per comparazionecon un campione la
quale elimina qualsiasi errore nella valutazione del diametro. La risoluzione del misuratore risulta
essere di 0,1 μm per cui:
u(w)  2
0,1
2 3
 0,06 μm
13.6.9Incertezza del passo del filetto [u(P)]
La norma24 stabilisce un limite massimo alla tolleranza del passo del filetto. Questa tolleranza, la
quale è dipendente dalla lunghezza del filetto, ha l’effetto di creare un filetto virtuale modificando
il valore del diametro dell’anello.
In questo contesto consideriamo la tolleranzadel diametro come una incertezza del diametro
stesso, il cui campo di variabilità è di tipo rettangolare il quale vale 525 μm:
u(P) =
24
25
√
= 1,44μm
norma Uni 5870-71 Prospetto IX
valore fino alla lunghezza del filetto di 32 mm
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applicazioni di metrologia meccanica
13.7 Incertezza complessiva della misura del diametro (livello di confidenza del 95%)
Tipo incertezza
N°
a
b
b
c
d
e
f
g
h
ci (Xi)
ci(D)
ci(k)
ci(F)
ci(w)
ci(P)
u(Xi)
u(AR)
u(R)
u(D)
u(M1)
u(M2)
u(M3)
u(M4)
u(w)
u(P)
sorgente della incertezza
u (Xi)
taratura dell’anello di riferimento
ripetibilità del misuratore di lunghezza
misuratore di lunghezza
uΔt·α
effetti termici
uΔα·|t|
lunghezza dello stilo
deformazione elastica
sfere di tasteggio
passo del filetto
0,125
0,150
0.23+2,3Ln
1.33 Ln
0.87 Ln
0,029
0,017
0,060
1,44
|ci|
|ci| u(Xi)
1
0,125
1
0,150
1
0.23+2,3Ln
1
1.33 Ln
1
0.87 Ln
1
0,029
0,00932
0,000
1,00180
0,060
0,86512
1,090
Tabella 1 – elenco delle incertezze
Essendo le incertezze non correlate fra loro e legate ad una variabile casuale con distribuzione di
tipo normale è applicabile la formula [12.7.1], la quale calcola l’incertezza U(95),per un grado di
confidenza del 95% con la radice quadrata della somma quadraticadegli scartitipo
|ci|u(xi)moltiplicata per il coefficiente di copertura k = 2.
U(95)= k xu(95) = ± K
U(95)= ±2
(
[13.7.1]
) + ( ) + ( ) + (
) + (
| | ( )
) + (
) + (
) + ( ) + ( )
Questa formula è applicabile per calcolare ogni valore discreto con lunghezza Ln(vedi anche
Grafico 1)
13.8 Linearizzazione della incertezza
Un metodo che permette di calcolare rapidamentel’incertezza complessiva Ucè l’impego di una
formula per linearizzare l’incertezza, espressa con la seguente formula binomiale:
Uc = ± k(a + b Ln) con Ln espresso in metri
Sommando le varianze26s2dei singoli contributi per Ln = 100 mm (0,1 m) e Ln = 0 mm (0,0 m) si
ottiene:
per Ln = 100 mm
s2100= 1, 4675 µm 2
2
per Ln = 0 mm s 0 = 1,2836µm 2
da cui si ricavano le rispettive incertezze:
u100 = 1,2114µm e
u0 = 1,1329µm
Posto :
a = u0 = 1,1329 µm
b=
u100  u 0 (1, 2114  1, 329)m

 0,7847µmquale contributo proporzionale alla lunghezza Ln
Ln
0.1 m
si ottiene:
26
quale contributo costante e
uc= ± (1,1329+ 0,7847 Ln) μm e:
nel foglio di calcolo Excel del § 13. sono mostrati due metodi per ottenere la somma delle varianze si2
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applicazioni di metrologia meccanica
U(95)= ± 2 (1,1329+ 0,7847Ln)ossia U(95)= ± (2,2658+ 1,5694 Ln) μm
Per arrotondare i valori si pone:
Utot= ±(2,3 + 1,2 Ln) μm
L’incertezza Utotrisulta sovrastimatarispetto a U(95)per tutti i valori di Ln compresi nel
campoda0÷100 mm con un massimo scostamento del 1,6% a 20mm (vedi Grafico 1) in cui
l‘incertezza U(95)(traccia rossa) è ottenuta applicando la formula (13.7.1) per ogni valore discreto
della scala delle lunghezze Ln.In questo particolare caso, considerata la limitata variabilità della
incertezza per l’intero range del diametro, è applicabile l’assegnazione dell’incertezza pari alla
media dei valori , ovvero:
Utot = 2,35 m
Incertezza di misura
2,50
linearizzata -- Utot = ±(2,3 + 1,2 Ln)
non linearizata - U(95)
2,45
2,40
μm
2,35
2,30
2,25
2,20
2,15
2,10
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
diametro anello Ln (mm)
75
80
85
90
95 100 105
Grafico 1 – Valore della incertezza in funzione del diametro dell’anello.
13.9 Stima della incertezza di misura U(95) - Uc - Utotcon foglio di calcolo Excel
NB: Per accedere al programma di calcolo cliccare due volte sulla icona a
fianco. Per uscire dal programma cliccare File (in alto sulla sinistra in campo
Foglio con
verde)del foglio Calcolo Incertezzadi Excel e poi cliccare Chiudi.
attivazione macro di Microsoft Excel
La visualizzazione è possibile solo nella versione Word del documento.
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applicazioni di metrologia meccanica
14. Appendice
14.1 - Correzione per la deformazione elastica delle sfere del tastatore
La entità della deformazione di una sfera dovuto alla forza di misura deve essere valutata nel
corso della misura del diametro ed essa dipende essenzialmente dalla procedura di misura
adottata. In particolare, la deformazione incontrata durante la taratura del tastatore, sia nella fase
di azzeramento che nel processo di misura può essere parzialmente cancellata dalla, inevitabile,
deformazione elastica che si verifica durante la misurazione del diametro dell’ anello filettato.
La formula che esprime la deformazione di una sfera in contatto con un piano è
approssimativamente data applicando la seguente formula di Hertz:
W =
dove:
W0
1; 2
E1 ;E 2
d0
F
=
=
=
=
=
+
[14.1.1]
penetrazione della sfera su un contatto piano (in mm)
coefficiente di Poisson (0,28 per l’acciaio)
modulo di elasticità (modulo di Young)(2·1011 N/m2 per l’acciaio)
diametro della sfera (in mm)
forza di misura (perpendicolare al piano) (in N)
Per una sfera che contatta un filetto, il quale può essere identificato come una scanalatura a V, la
forza di misura perpendicolare al fianco si riduce a F/(2sen(α/2))27. Nella direzione impressa dalla
forza originaria, parallela al piano di misura, il risultato è una maggiore penetrazione pari a
1/sin (α/2)28rispetto la penetrazione perpendicolare al fianco.
Nella scanalatura a V si ottiene una deformazione della sfera di una quantità WV0calcolata con:
W
= sen
/
×
/
× W [14.1.2]
La differenza δ tra WV0 e W0 rappresenta la deformazione della sfera comprensiva della
deformazioni risultate durante la fase di taratura dello stilo con l’anello liscio e nella fase di
misura del diametro dell’anello filettato.
[14.1.3]
δ = |WV0-W0|
La correzione per il contatto del tastatore su entrambi i lati dell’anello sarà:
W = 2δ = 2|(WV0-W0)|[14.1.4]
Esempio:
Si assumono i valori per d0 di 1,1 mm e di F di 0,02 kgf ≈ 0,2N della colonna A delle tabelle
comparative del § 10.
W1 =
W2 =
W0 =
WV0
|WV0-W0|
0,0222662
9,22E-12
0,0000590
28
da [14.1.1]
da [14.1.1]
da [14.1.2]
0,0001180
0,0000590
W =2|(WV0-W0)| 0,0001180
27
(9F2/8d0)
2x ((1-2)/E)
W1 x W 2
la quale è simile a Ɛ4 della colonna A di Figura 5 e 6
per α= 60° 1/(2sen(α/2)) risulta = 1 per cui F/(2sen(α/2))=F
1/sin (α/2) = 2 per cui la penetrazione risulta essere 2 volte maggiore di quella impressa sul fianco con forza F
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applicazioni di metrologia meccanica
14.2 - Approssimazioneper la correzione della inclinazione del filetto (effetto elica)
(da EURAMET / cg-10/v.01–European Association of National Metrology Institute (pag. 6 § 5.2 Approximation for the
rake correction)
Perun filettosimmetrico, in cui l’errore dell’angolo del fianco è molto piccolo, la seguente
approssimazionepuòessere utilizzata per calcolare la correzione per l’effetto elica (rakecorrection):
=
in cui
β
[14.2.1]
tan b29=
[14.2.2]
autore: renato marsura e-mil: [email protected]
29
b è l’angolo dell’elica del filetto e d2 è il diametro medio dell’anello
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