Appendice: Note sulle Coniche

Appendice: Note sulle Coniche
A cura di A. Bernardi
1
Introduzione
Le sezioni coniche sono parte delle curve più ”antiche”, studiate dai matematici da più lungo tempo. Le
prime tracce del loro studio risalgono a Menecmo (375-325 a.C., matematico greco maestro di Alessandro
Magno).
Le coniche furono dapprima definite come l’intersezione fra un cono circolare retto (a due falde) con
angolo al vertice variabile e un piano perpendicolare alla generatrice del cono. In dipendenza del fatto
che l’angolo fosse minore, uguale o maggiore dell’angolo retto si ottenevano rispettivamente un’ellise, una
parabola o una iperbole.
Apollonio (262-190 a.c. circa), noto come il Grande Geometra, consolidò i risultati fino a quel momento
trovati nella sua opera costituita da otto libri (l’ottavo riguardava proprio le Coniche ed è andato perduto),
ma soprattutto dette vita alla teoria di tutti e tre i tipi di coniche usando sezioni rette od oblique di un
unico cono circolare. Molti altri maematici nella storia si sono dedicati a questo studio e ne hanno
perfezionato i risultati, tra questi ricordiamo Keplero, Cartesio, Fermat, Neewton.
La figura 1.1 illustra le Coniche ottenute proprio come sezioni di un cono circolare retto.
1
2
2
DEFINIZIONE E EQUAZIONI
Definizione e equazioni
Definizione Fissati una retta D del piano R2 e un punto F ∈ R2 tale che F non appartenga alla retta
D, si definisce Conica C il luogo geometrico dei punti P ∈ R2 tali che il rapporto tra la distanza di
P da F e di P da D sia costante. Tale costante sarà chiamata eccentricità.
Se chiamiamo H il punto della retta D ottenuto come intersezione tra D stessa e la retta passante per
P e perpendicolare a D (vedi figura 2.1) allora l’eccentricità e è cosı̀ ottenuta:
PF
= e.
PH
(1)
Scegliamo ora un sistema di riferimento cartesiano in modo tale che l’asse x sia ortogonale a D e passi
per F . Sia K il punto di intersezione tra l’asse x e la retta D, e l’asse y intersechi l’asse x nel punto medio
di KF . In questo sistema di riferimento supponiamo che il punto F abbia coordinate (d, 0), cosicchè la
retta D avrà equazione x = −d. Se assumiamo che il punto P abbia le generiche coordiante (x, y), allora
la (1) diventa:
p
y 2 + (x − d)2
=e
(2)
x+d
Osservazione 1. La (2) è ben definita se il denominatore è non nullo; ciò equivale a richiedere x 6= −d
ossia che il punto P non appartenga mai alla retta D. Ciò vorrà dire che l’intersezione delle nostre
coniche con la direttrice sarà sempre vuota.
Osservazione 2. L’eccentricità, trattandosi di rapporto di distanze tra punti, non potrà mai assumere
valori negativi.
Dalla (2) si ottiene facilmente l’equazione generale delle coniche:
(1 − e2 )x2 + y 2 − 2d(e2 + 1)x + d2 (1 − e2 ) = 0.
Distinguiamo innanzitutto due casi:
2
(3)
2
DEFINIZIONE E EQUAZIONI
1. e = 1,
2. e 6= 1
e studiamoli separatamente.
1. Se e = 1 allora (1 − e2 ) = 0 perciò la (3) diventa y 2 − 4dx = 0, da cui la seguente equazione canonica:
x=
1 2
y .
4d
(4)
Richiedere che e sia uguale ad 1, equivale a richiedere che P F = P H (vedi (1)). Se rileggiamo la
definizione ci accorgiamo che una conica con eccentricità uguale ad 1 è quella C i cui punti sono
equidistanti da un punto ed una retta fissati. Questa è proprio una definizione della parabola come
luogo geometrico, dunque la (4) è esattamente l’equazione canonica della Parabola. Il punto fisso F
è detto fuoco e la retta fissa D è detta direttrice.
2
2 2
)
è ben definito.
2. Supponiamo ora che e 6= 1. Ciò significa che (1 − e2 ) 6= 0. Quindi il termine d (1+e
1−e2
Aggiungiamolo e togliamolo alla (3). L’equazione che otteniamo, dopo un semplice raccoglimento è:
2d(e2 + 1)
d2 (1 + e2 )2
d2 (1 + e2 )2
(1 − e2 ) x2 −
x
+
+ y 2 + d2 (1 − e2 ) −
=0
2
2
1−e
1−e
1 − e2
da cui:
2
d(1 + e2 )
4d2 e2
= 0.
(1 − e2 ) x −
−
1 − e2
1 − e2
Operiamo ora il seguente cambiamento di coordinate:
(
2
)
X = x − d(1+e
1−e2
Y =y
Osseviamo che ciò che abbiamo fatto, geometricamente, è di tenere fisso l’asse delle x e translare
l’asse delle y.
Con questo cambiamento di coordinate otteniamo:
(1 − e2 )X 2 + Y 2 −
da cui
Poniamo
4d2 e2
=0
1 − e2
(1 − e2 )2 2 1 − e2 2
X + 2 2 Y = 1.
4d2 e2
4d e
1
a2
=
(1−e2 )2
4d2 e2
e otteniamo:
X2
1 − e2 2
+
Y = 1.
a2
4d2 e2
(5)
Osserviamo ora il coefficiente di Y 2 : il denominatore è sempre positivo, mentre il numeratore è
positivo o negativo rispettivamente quando e < 1 o e > 1.
Si distinguono dunque altri due casi.
3
3
CLASSIFICAZIONE
2
1−e
(a) Consideriamo dapprima il caso e < 1. Abbiamo appena osservato che ciò significa 4d
2 e2 > 0, è
2
1
1−e
quindi lecito porre b2 = 4d2 e2 e ottenere cosı̀ dalla (5) l’equazione canonica dell’ Ellisse:
Y2
X2
+ 2 = 1.
2
a
b
(6)
Per noi dunque l’ellisse sarà una conica con eccentricità minore di 1.
(b) Nel caso in cui invece e > 1 si ha che
diventa:
1−e2
4d2 e2
< 0. Poniamo dunque
1
b2
2
1−e
= − 4d
2 e2 da cui la (5)
Y2
X2
− 2 =1
(7)
2
a
b
che nient’altro è che l’equazione canonica dell’ Iperbole.
Rileggendo la definizione verifichiamo che l’iperbole è dunque una conica con eccentricità maggiore di 1.
3
Classificazione
Lo scopo di questo paragrafo è di classificare le coniche a partire dalla loro equazione rappresentativa
anche se non ci inoltreremo nei dettagli delle dimostrazioni.
Osserviamo l’equazione (3) che rappresenta tutti i tipi di coniche. Essa è un’equazione di secondo
grado nelle variabili x e y. Ciò non è affatto un caso: è infatti possibile provare la seguente
Proposizione: Sia f ∈ R[x, y] un polinomio di secondo grado. Il sottoinsieme C di R2 costituito dai
punti le cui coordinate soddisfano l’equazione
f (x, y) = 0
è il supporto di una conica.
Osservazione: Nella Porposizione si intendono come ”coniche” anche i casi ”degeneri” di ellisse, parabola
e iperbole (si veda la tabella seguente).
Osservazione: Se f (x, y) = 0 ha come supporto la conica C e se g è un altro polinomio di R[x, y] tale
che g = λf e λ ∈ R\{0} allora anche g(x, y) = 0 avrà come supporto la medesima conica C.
Supponiamo ora di trovarci davanti ad un polinomio di secondo grado di R[x, y]:
αx2 + βxy + γy 2 + δx + y + φ = 0
(8)
dove α, β, γ, δ, , φ ∈ R e α, β, γ non tutti nulli.
La proposizione di cui sopra ci garantisce che abbiamo a che fare con una conica.
Per stabilire di quale conica si tratta le operazioni geometriche che si fanno sono una traslazione e una
rotazione del sistema di riferimento cartesiano in modo che esso venga esattamente a coincidere con quello
che nel paragrafo 2. abbiamo indicato con le lettere X, Y 1 ; quest’operazione equivale a trasformare
l’equazione (8) nella sua forma canonica.
1 Facciamo osservare al lettore che l’operazione di rotazione del sistema di riferimento è proprio quella che permette di far
scomparire nell’equazione in forma canonica il termine x · y.
4
3
CLASSIFICAZIONE
L’equazione che otteniamo alla fine di queste operazioni può essere solo una di quelle rappresentate nella
prima colonna della tabella seguente:
X2
Y2
a2 + b2 = 1
X2
Y2
a2 + b2 = −1
2
X
Y2
a2 + b2 = 0
Y2
X2
a2 − b2 = 1
2
X
Y2
a2 − b2 = 0
2
Y − 2pX = 0
Y 2 − a2
Y 2 + a2
Y2 =0
a≥b>0
a≥b>0
a≥b>0
a > 0, b > 0
a≥b>0
p>0
a>0
a>0
ellisse reale
ellisse a punti non reali
ellisse degenere (in un punto)
iperbole reale
iperbole degenere (in due rette)
parabola
parabola degenere (in due rette)
parabola degenere (∅)
conica doppiamente degenere (retta doppia)
Un metodo immediato, data la (8), per riconoscere se si tratta di ellisse, parabola o iperbole è il
seguente:
indichiamo con
∆ := β − 4αγ
allora

 se ∆ < 0 ⇒ C è un’ellisse;
se ∆ = 0 ⇒ C è una parabola;

se ∆ > 0 ⇒ C è un’iperbole.
Il termine β − 4αγ = ∆ porta il nome di discriminante della curva.
La Figura 3.1 mostra le sezioni coniche con eccentricità
{0, 2; 0, 4; 0, 6; 0, 8; 1; 1, 5; 2; 2, 5.; 3}.
Il fuoco è nell’origine e la linea verticale è la diretrice di equazione x = 1.
5
4
ELLISSE
Studiamo ora separatamente ogni singola classe di coniche.
4
Ellisse
4.1
Due definizioni equivalenti
Dalla definizione di coniche del paragrafo 2. si evince la seguente
Definizione L’ellisse è una conica con eccentricità minore di 1.
Una definizione equivalente dell’ellisse è la seguente:
Definizione: L’ellisse è il luogo geometrico dei punti per i quali è costante la somma delle distanze da
due punti fissi detti fuochi.
Per convincerci che queste due definizioni coincidono proviamo a ricavare l’equazione dell’ellisse da
quest’ultima definizione.
Fissiamo un sistema di riferimento cartesiano tale che l’asse x sia la retta congiungente i due fuochi
F1 e F2 e l’asse delle y intersechi l’asse x nel punto medio del segmento F1 F2 come in figura 4. I due
fuochi risultano quindi simmetrici rispetto all’origine; supponiamo che abbiano coordinate rispettivamente
F1 = (−c, 0) e F2 = (c, 0). Sia poi P = (x, y) un qualunque punto dell’ellisse.
Possiamo dunque ricavare l’equazione dell’ellisse dalla seconda definizione e imporre che la somma delle
lunghezze dei segmenti P F1 e P F2 sia uguale ad una costante che chiameremo 2a e ottenere:
p
p
(c − x)2 + y 2 + (c + x)2 + y 2 = 2a
Ora è sufficiente operare su quest’ultima equazione due elevamenti a quadrato consecutivi ed imporre
c2 = a2 − b2 per ottenere l’equazione:
x2
y2
+
=1
a2
b2
a noi nota come equazione canonica dell’ellisse.
6
4.1
Due definizioni equivalenti
4
ELLISSE
Ricordiamo come erano stati definiti a e b nel paragrafo 2.:
a=
2de
2de
;
, b= √
2
1−e
1 − e2
Da una semplice sostituzione si ottiene:
√
e=
a2 − b2
a
ma poichè c2 = a2 − b2 , e diventa:
e=
(9)
c
.
a
Nota: Qual è il significato geometrico di a e b?
Se intersechiamo l’ellisse in forma canonica con gli assi coordinati, quello che otteniamo è esattamente
che l’ellisse interseca l’asse x nei punti (−a, 0) e (a, 0), e l’asse delle y nei punti (0, −b) e (0, b).
Ecco dunque che a e b rappresentano le intersezioni dell’ellisse centrata nell’origine del sistema di
riferimento con gli assi coordinati,o meglio, le lunghezze dei semiassi dell’ellisse.
Osservazione importante: La (9) è ben definita soltanto se a > b. Questo corrisponde all’avere a che
fare con un’ellisse i cui fuochi siano su un asse parallelo all’asse delle x.
Quindi:
Ellisse con centro nell’origine e fuochi su un asse parallelo all’asse x ha equazione
y2
x2
+
=1
a2
b2
con a > b;
i fuochi hanno coordinate (−c, 0) e (c, 0) dove c è dato dalla relazione
c2 = a2 − b2 .
Ellisse con centro nell’origine e fuochi sul un asse parallelo all’asse y ha equazione
y2
x2
+
=1
a2
b2
con b > a;
i fuochi hanno coordinate (0, −c) e (0, c) dove c è dato dalla relazione
c2 = b2 − a2 .
In entrambi i casi si ha che
e=
7
c
.
a
4.2
4.2
Ellisse in forma non canonica
4
ELLISSE
Ellisse in forma non canonica
Fino ad ora abbiamo trattato ellissi in forma canonica, ossia ellissi che abbiano centro nell’origine degli
assi cartesiani. Supponiamo ora di voler trovare l’equazione di un’ellisse con centro nel punto (α, β) e assi
di simmetria paralleli agli assi coordinati.
Quello che dobbiamo fare è operare una traslazione del sistema di assi coordinati in modo da portare il
centro del nuovo sistema di riferimento nel punto 00 = (α, β):
x=X +α
(10)
y =Y +β
In questo nuovo sistema di riferimento 00 XY l’ellisse potrà essere scritta in forma canonica
Y2
X2
+
= 1.
a2
b2
(11)
A noi però interessa conoscere la sua equazione nel sistema di riferimento 0xy col quale lavoravamo prima
della traslazione (10). Dobbiamo quindi operare su (11) con la traslazione inversa a (10):
X =x−α
(12)
Y =y−β
e ottenere cosı̀ l’equazione che cerchiamo:
(x − α)2
(y − β)2
+
= 1.
a2
b2
Da cui: b2 x2 + a2 y 2 − 2(b2 αx + a2 βy) + α2 + β 2 − a2 b2 = 0.
Quindi davanti ad un’equazione
mx2 + ny 2 + px + qy + r = 0
riconosciamo che è un’ellisse se ∆ < 0 ossia se m ed n sono concordi, dopodiché avrà centro nel punto di
p
q
coordinate (− 2m
, − 2n
).
√
q
Se m < n l’ellisse avrà i fuochi su un asse parallelo all’asse x ed essi avranno coordinate F1 = (− n − m, − 2n
)
q
√
q
n−m
e F2 = ( n − m, − 2n ); per quanto riguarda l’eccentricità: e =
n .
Se invece n < m l’ellisse avrà i fuochi su un asse parallelo all’asse
y ed essi avranno coordinate F1 =
q
√
p
p √
m−n
(− 2m , − m − n) e F2 = (− 2m , m − n); con eccentricità e =
n .
4.3
Proprietà
Vediamo alcune semplici proprietà dell’ellisse. In queste note le verificheremo solo per l’ellisse in forma
canonica ossia con centro coincidente con l’origine del sistema di riferimento e assi paralleli agli assi
coordinati.
1. L’ellisse è simmetrica rispetto ai suoi assi.
Dimostrazione: Come preannunciato trattiamo l’ellisse C in forma canonica
x2
y2
+ 2 = 1.
2
a
b
8
4.4
Circonferenza
4
ELLISSE
I suoi assi di simmetria sono gli assi coordinati. Richiedere che sia simmetrica rispetto all’asse
x equivale richiedere che se il punto P = (x1 , y1 ) appartiene all’ellisse, allora anche il punto
Q = (x1 , −y1 ) deve continuare ad appartenere all’ellisse:
(−y1 )2
x21
+
=1
a2
b2
da cui
x21
y12
+
=1
a2
b2
ciò è vero proprio perchè abbiamo supposto che P ∈ C.
Richiedendo ora che se P ∈ C anche R = (−x1 , y1 ) ∈ C si prova la simmetria dell’ellisse rispetto
all’asse y. 2. L’ellisse è simmetrica rispetto al centro.
Dimostrazione: La dimostrazione di questo fatto è del tutto analoga alla precedente: bisogna
mostrare che se P ∈ C anche −P ∈ C (in quanto l’ellisse in forma canonica è chiaramete
simmetrica rispetto ad O = (0, 0)). Ciò segue banalmente dal fatto che nell’equazione in forma
canonica entrambe le variabili x e y compaiono solo al quadrato. 3. L’ellisse è limitata.
Dimostrazione Ricaviamo dall’equazione canonica ad esempio la variabile x:
ap 2
x=±
b − y2 .
b
Quest’espressione ha senso solo se −b ≤ y ≤ b. Analogamente, se cerchiamo di ricavare la
variabile y dall’equazione canonica quello che otteniamo è che −a ≤ x ≤ a. Quindi l’ellisse è
limitata dal rettangolo di vertici: (−a, −b); (−a, b); (a, b) e (a, −b). 4.4
Circonferenza
Fino ad ora nell’equazione canonica dell’ellisse
y2
x2
+ 2 =1
2
a
b
abbiamo distinto solo i casi:
• a > b,
• a < b;
ma non ci siamo mai occupati di considerare cosa accade se
a = b.
Per la definizione di eccentricità se a = b si ha che
e = 0.
9
5
PARABOLA
L’equazione canonica diventa:
x2 + y 2 = a2 .
(13)
Se ora cercassimo l’equazione del luogo dei punti del piano la cui distanza da un punto fisso fosse esattamente a e prendessimo un sistema di riferimento cartesiano centrato in tale punto troveremmo esattamente
l’equazione (13).
Tale luogo di punti è chiamato Circonferenza. Dunque:
Proposizione Un’ellisse con eccentricità nulla è una circonferenza.
Per lo studio di una circonferenza eventualmente non centrata nell’origine del sistema di riferimento si
rimanda a quello dell’ellisse con le opportune modifiche.
5
Parabola
Fin dal paragrafo 2. erano evidenti le due definizioni equivalenti della parabola:
Definizione 1: La parabola è una conica con eccentricità uguale a 1.
Definizione 2: La parabola è il luogo geometrico dei punti equidistanti da un punto F (fuoco) e da una
retta D (direttrice) fissati.
Ne avevamo anche trovata l’equazione canonica:
x=
1 2
y .
4d
È immediata una semplice
Proprietà: La parabola è simmetrica rispetto all’asse contenente il fuoco e ortogonale alla direttrice.
Dimostrazione: Nel caso della parabola in forma canonica tale asse coincide con l’asse delle x. La
dimostrazione è del tutto analoga a quella della simmetria dell’ellisse rispetto al medesimo asse. Una parabola scritta in forma canonica ha sempre il vertice in O = (0, 0) e se d > 0 allora essa occuperà
solo il primo e il quarto quadrante, se invece d < 0 essa occuperà solamente il secondo e terzo quadrante:
10
5.1
Parabola in forma non canonica
5.1
5
PARABOLA
Parabola in forma non canonica
Per ottenere l’equazione di una parabola con direttrice parallela all’asse delle y ma vertice nel punto
O0 = (α, β) ci comportiamo esattamente come quando abbiamo voluto trovare l’equazione di un’ellisse il
cui centro non fosse necessariamente l’origine degli assi: consideriamo la traslazione
X =x−α
Y =y−β
in questo nuovo sistema di riferimento il centro è proprio il punto O0 , possiamo quindi considerare la
parabola in forma canonica:
Y 2 − 4dX = 0.
Per riaverne l’equazione nel vecchio sistema di coordinate Oxy facciamo la traslazione inversa:
x=X +α
y =Y +β
e otteniamo
4d(x − α) − (y − β)2 .
Da cui
x=
β
1
Poniamo ora a = 4d
; b = − 2d
;c=
direttrice parallela all’asse delle y:
β2
4d
β
1 2
y − y + α.
4d
2d
+ α e abbiamo trovato l’equazione generica di una parabola con
x = ay 2 + by + c.
(14)
Quindi l’equazione (14) rappresenta una parabola con
• asse di simmetria parallelo all’asse x,
• vertice nel punto V = (− b
• asse di simmetria y =
1
• fuoco F = ( 4a
−
2
−4ac
b
4a , − 2a ),
−b
2a ,
b2 −4ac
b
4a , − 2a ),
1
• direttrice x = − 4a
−
b2 −4ac
4a ,
• se a > 0 la concavità è rivolta verso la parte positiva dell’asse x, se invece a < 0 la concavità rivolta
verso la parte negativa dell’asse x.
5.2
Parabola con direttrice parallela all’asse delle x
È ovvio che se si vuole trattare la parabola con direttrice parallela all’asse x anzichè all’asse y è sufficiente
scegliere un sistema di riferimento che scambi tra loro gli assi coordinati e ripercorrere la trattazione di
cui sopra.
Si ottiene cosı̀ l’equazione generica:
y = ax2 + bx + c
che rappresenta una parabola con
11
6
IPERBOLE
b
• asse di simmetria parallelo all’asse y e equazione x = − 2a
,
b
• vertice in V = (− −b
2a , −
2
1
b
, 4a
−
• fuoco in F = (− 2a
1
−
• direttrice y = − 4a
−4ac
4a ),
b2 −4ac
4a ),
b2 −4ac
4a ,
• se a > 0 allora la concavità è rivolta verso l’alto, se invece a < 0 la concavità è rivolta verso il basso.
6
6.1
Iperbole
Definizioni e proprietà
Dal paragrafo 2. possiamo estrapolare la seguente definizione di iperbole:
Definizione Un’iperbole è una conica con eccentricità maggiore di 1.
Anche in questo caso è abbastanza semplice verificare che tale definizione coincide con la seguente:
Definizione: Il luogo geometrico dei punti del piano per i quali è costante la differenza delle distanze da
due punti fissi (fuochi) è chiamato iperbole.
Per mostrare che quest’ultima definizione coincide con quella vista nel paragrafo 2. consideriamo un
sistema di riferimento cartesiano tale che l’asse delle x sia la retta passante per i fuochi F1 e F2 e l’asse
delle y intersechi l’asse x nel punto medio del segmento F1 F2 . Possiamo cosı̀ supporre che i fuochi abbiano
coordinate F1 = (−c, 0) e F2 = (c, 0). Il generico punto P dell’iperbole abbia coordinate (x, y) (si veda la
figura 6.1).
12
6.2
Iperbole con fuochi sull’asse delle y
6
IPERBOLE
L’equazione che si ottiene andando a cercare il luogo dei punti del piano la cui differenza delle distanze
da F1 e F2 sia costante (nel nostro caso tale costante sarà 2a) è:
p
p
(x − c)2 + y 2 − (x + c)2 + y 2 = 2a.
Anche in questo caso elevando due volte al quadrato e ponendo c2 = a2 + b2 otteniamo
x2
y2
− 2 =1
2
a
b
che sappiamo già essere l’equazione canonica dell’iperbole (vedi (7)).
Due ovvie proprietà sono che l’iperbole in forma canonica è simmetrica sia rispetto all’asse x che
all’asse y.
Un’altra proprietà che si ricava facilmente dalla (7) è che
x ≤ −a oppure x ≥ a
che significa che l’iperbole non ha punti interni alla striscia limitata dalle rette parallele all’asse y e passanti
per i vertici.
Se cerchiamo ora le intersezioni con gli assi troviamo che l’iperbole (7) incontra l’asse x nei punti
(−a, 0) e (a, 0), mentre non incontra mai l’asse delle y. Per questo motivo l’asse x è chiamato asse
trasverso, mentre l’asse y è chiamato asse non trasverso.
L’eccentricità dell’iperbole è:
√
a2 + b2
.
e=
a
Nel caso dell’ellisse non era un’ardua impresa dare significato geometrico ai termini a e b. Per quanto
riguarda l’iperbole, invece, a abbiamo visto che rappresenta il modulo dell’ascissa del punto di intersezione
dell’iperbole con l’asse delle x, ma b...?
Il significato di b, che viene chiamato lunghezza del semiasse non trasverso, lo si comprende dalla seguente
costruzione geometrica: prendiamo due punti B1 e B2 di coordinate rispettivamente (−b, 0) e (b, 0), da
tali punti si conducano le parallele all’asse x; queste due rette assieme alle parallele all’asse y passanti per
i vertici, individuano un rettangolo di lati 2a e 2b e diagonale 2c. Le due diagonali di questo rettangolo
hanno equazioni
b
b
(15)
y = x, y = − x.
a
a
Essi prendono il nome di asintoti dell’iperbole. Si può provare che essi non intersecano mai l’iperbole,
si avvicinano indefinitivamente ad essa mano a mano che ci si allontana dall’origine e qualunque retta
passante per l’origine e con coefficiente minore di −(b/a) o maggiore di b/a non interseca mai l’iperbole
(mentre una qualunque retta passante per l’origine e con coefficiente angolare compreso strettamente tra
−(b/a) e b/a interseca l’iperbole esattamente in due punti).
6.2
Iperbole con fuochi sull’asse delle y
Se i due fuochi sono posti sull’asse y, l’iperbole assume la seguente forma:
y2
x2
−
= 1.
a2
b2
13
6.3
Iperbole in forma non canonica
7
CONSIDERAZIONI GENERALI
• L’asse trasverso è l’asse y e quello non trasverso l’asse x;
• i vertici sono (0, ±a),
• i fuochi hanno coordinate (0, ±c),
• gli asintoti hanno equazioni y = ± ab x,
• la relazione tra a, b e c è sempre c2 − a2 = b2 .
6.3
Iperbole in forma non canonica
Il metodo per studiare un’iperbole il cui centro O0 = (α, β) non coincide col centro del sistema di assi
cartesiano scelto Oxy è sempre quello seguito nei casi dell’ellisse e della parabola. Consideriamo dapprima
la stessa traslazione di (10) che ci porta in un sistema di riferimento O0 XY centrato in O’. In questo nuovo
sistema di riferimento l’iperbole può essere considerata nella sua forma canonica (trattiamo il caso in cui i
fuochi giacciano su una retta parallela all’asse x, l’altro caso è del tutto analogo e viene lasciato al lettore
come esercizio):
X2
Y2
−
= 1.
a2
b2
Il passaggio successivo è quello di riportarci al sistema di riferimento di partenza Oxy tramite la traslazione
inversa (12) e ottenere l’equazione
(x − α)2
(y − β)2
−
= 1.
2
a
b2
Quindi un’equazione del tipo
mx2 + n2 + px + qy + r = 0
con ∆ > 0 (ossia m ed n discordi) rappresenta l’equazione
di un’iperbole riferita ad assi paralleli ai suoi
q
p
, − 2n
.
assi di simmetria il cui centro è nel punto − 2m
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Considerazioni generali
Come già accennato nel paragrafo 3, la classificazione delle coniche può essere fatta tramite lo studio del
descriminante. In questo paragrafo cercheremo di comprenderne il motivo.
Come si è già osservato una conica C può essere scritta nella forma (8) che possiamo anche riscrivere
come segue:
ax2 + 2bxy + cy 2 + 2dx + 2ey + f = 0
(16)
con a, b, c, d, e, f ∈ R e a, b, c non simultaneamente nulli.
Consideriamo la matrice


a b d
A= b c e 
d e f
L’equazione (16) può anche essere rapresentata nella seguente forma matriciale:


x
x y 1 · A ·  y  = 0.
1
14
(17)
(18)
7
CONSIDERAZIONI GENERALI
Consideriamo ora un cambiamento di coordinate del tipo:
x = m11 X + m12 Y + c1
y = m21 X + m22 Y + c2
(19)
Un cambiamento di coordinate di questo tipo viene chiamato Affinità ed è cosı̀ strutturato:
• se fosse solo
x = X + c1
y = Y + c2
x = m11 X
y = m22 Y
sarebbe una semplice traslazione;
• se fosse solo
sarebbe un cambio di unità di misura del sistema di riferimento (ad esempio: l’unità di misura
sull’asse X è più piccola di quella sull’asse x se m11 > 1) ed eventualmente un cabio di verso degli
assi coordinati (se m11 < 0 allora il verso positivo dell’asse X coincide col verso negativo dell’asse
x);
• quindi un’eventuale trasformazione:
x = m11 X + c1
y = m21 X + c2
rappresenta sia una traslazione che un cambio di unità di misura ed eventualmente un riorientamento
degli assi coordinati;
• se invece fosse soltanto:
x = m12 Y
y = m21 X
si avrebbe a che fare con una rotazione degli assi cartesiani con l’angolo dipendente ovviamente dai
valori di m12 e m21 (non è difficile convincersi di questo fatto se si pensa a quella rotazione ottenuta
prendendo m12 = m21 = 1: essa scambia gli assi coordinati tra loro o, equivalentemente, ruota il
sistema di assi cartesiani di 90o );
• quindi una trasformazione di tipo (19) rappresenta la composizione di una traslazione, una rotazione
ed un cambiamento di unità di misura degli assi coordinati.
Ora che abbiamo compreso come agisce un’affinità non è difficile persuaderci del fatto che se operiamo
su C di equazione (16) che rappresenta l’equazione di una conica con una trasformazione come la (19)
quello che otteniamo è una conicha C 0 della stessa classe di mathcalC (ossia se C è un’ellisse, C 0 non potrà
certo essere un’iperbole ma continuerà ad essere un’ellisse) solo ”un po’ spostata” (traslata e/o ruotata) ed
”un po’ ingrandita o rimpicciolita”. Matematicamente si dice che la conicha C 0 è Affinemente equivalente
a C.
Si può inoltre provare che le uniche trasformazioni che permettono di passare da una conica ad un’altra
ad essa affinemente equivalente sono solo del tipo (19).
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7
CONSIDERAZIONI GENERALI
Per meglio rappresentare l’equazione di C 0 esprimiamo la (19) in modo matriciale:

 


x
m11 m12 c1
X
 y  =  m21 m22 c2   Y  .
1
0
0
1
1
(20)
Eseguendo quest’ultima sostituzione nella (18) otteniamo l’equazione di C 0 nelle nuove variabili X, Y :


X
X Y 1 B Y 
1
dove B =t M AM e M è proprio la matrice che incontriamo in (20). La relazione B =t M AM si ha che
rg(A) = rg(B) da cui
Proposizione Il rango è una proprietà affine della conica C e tutte le coniche ad essa affinemente equivalenti hanno il medesimo rango. Esso è chiamato rango di C e denotato con r(C).
Siamo quindi pronti per dare la seguente
Definizione Una conica si dice non degenere, degenere, semplicemente degenere, doppiamente degenere
se si ha rispettivamente che r(C) = 3, r(C) < 3, r(C) = 2, r(C) = 1.
Siano ora A0 , B0 e M0 le sottomatrici ottenute rispettivamente da A, da B e da M eliminando la
terza riga e la terza colonna. Si verifica semplicemtente che vale ancora:B0 =t M0 A0 M0 . Dunque A0 e
B0 hanno lo stesso rango, da cui la seguente
Proposizione Il rango di A0 è una proprietà affine di C.
Si verifica inoltre che
Definizione Se det(A0 ) 6= 0, C è una conica a centro, se det(A0 ) = 0 è una parabola.
Il fatto che B0 =t M0 A0 M0 implica che il segno di det(A0 ) è lo stesso di det(B0 ) e quindi
Proposizione Il segno del determinante di A0 è una proprietà affine di C.
Proposizione Una conica a centro con det(A0 ) > 0 è un’elisse; una conica a centro con det(A0 ) < 0 è
un’iperbole.
Quest’ultima proposizione giustifica la classificazione del paragrafo 3 tramite il discriminante:
−∆ = det(A0 ).
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