La bellezza nella Matematica – La sezione aurea

La bellezza nella Matematica – La sezione aurea
La storia della sezione aurea è antica tre millenni. Essa rappresenta lo standard di riferimento e di ispirazione
per la perfezione, la grazia e l’armonia in ogni composizione artistica; in architettura, scultura, pittura e nella
stessa Natura. La sezione aurea, in matematica e in arte, è una proporzione geometrica basata su di un
rapporto specifico e, per la sua importanza e confermata presenza in Natura, essa veniva anche chiamata
proporzione aurea, numero aureo, rapporto aureo o proporzione divina.
Definizione Si dice sezione aurea del segmento AB quel segmento AC, con C compreso tra A e B che è
medio proporzionale tra l’intero segmento AB e la parte restante CB, ovvero tale che:
𝐴𝐵: 𝐴𝐶 = 𝐴𝐶: 𝐶𝐵, cioè, (𝐴𝐶 + 𝐶𝐵): 𝐴𝐶 = 𝐴𝐶: 𝐶𝐵 (1) o, analogamente,
𝐴𝐵: 𝐴𝐶 = 𝐴𝐶: 𝐶𝐵, cioè, 𝐴𝐵: 𝐴𝐶 = 𝐴𝐶: (𝐴𝐵 − 𝐴𝐶 ) (2).
Se indico con 𝑥 il rapporto aureo
𝐴𝐶
1
otterrei, dalla (1), l’equazione 1 + 𝑥 = 𝑥 (3) che, risolta, da due
𝐶𝐵
1+√5
soluzioni: la soluzione positiva (𝑥1 =
2
≅ 1,61803) rappresenta quel numero che viene anche chiamato
numero aureo di Fidia Φ dal nome dell’artista greco Fidia (V secolo A.C.) che nelle sue sculture e opere
architettoniche utilizzò spesso questo rapporto. Dunque, possiamo affermare grazie alla (1) e alla (2), che la
sezione aurea di un segmento AB è quel segmento AC, con C compreso tra A e B, tale che 𝜱 =
𝐴𝐶+𝐶𝐵
𝐴𝐶
1−√5
2
𝑨𝑩
𝑨𝑪
𝐴𝐶
= 𝐶𝐵 =
𝐴𝐶
̂ ed è uguale a Φ
̂=
= 𝐴𝐵−𝐴𝐶 . L’altra soluzione dell’equazione (3) è negativa, viene indicata con 𝚽
≅ 0,61803. Le due soluzioni hanno la particolarità che:
̂ =−1;
1. Φ
Φ
2.
3.
4.
̂ + Φ = 1;
Φ
̂ ∙ Φ = −1;
Φ
𝛷 2 = 𝛷 + 1.
La proposizione 30 del VI Libro di Euclide (IV secolo A.C.) degli Elementi ci presenta la costruzione della
sezione aurea di un segmento. Qui riportiamo una costruzione più semplice:
1. Dato il segmento AB tracciare il cerchio di pari diametro e tangente ad esso in B;
2. Tracciare la secante per A passante per il centro S del cerchio;
3. La parte esterna della secante (AE) è la sezione aurea del segmento AB, essendo la tangente (AB)
media proporzionale tra l’intera secante (AD) e la sua parte esterna (AE);
4. Riportiamo con il compasso la misura di AE su AB ottenendo il segmento AC (giacente su AB) che
così risulta essere la sezione aurea del segmento AB.
Nel 1875 lo psicologo tedesco Fechner sottopose a più persone un insieme di rettangoli, chiedendo poi di
indicare quale rettangolo avesse destato in loro una maggiore sensazione di armonia e serenità.
Il rettangolo che ebbe il maggior numero di preferenze fu quello in cui la proporzione tra i due lati era molto
vicina a quella del numero aureo. L’esperienza di Fechner sanzionava un’opinione largamente diffusa tra
pittori, architetti e matematici secondo cui dall’osservazione del rettangolo aureo si traesse un senso di
equilibrata armonia.
Proponiamo, dunque, la costruzione di un rettangolo aureo seguendo le direttive della proposizione 11 del
libro II degli Elementi di Euclide.
1. Si costruisce il quadrato ABCD di lato a e, dal punto medio M di AB si tracci il segmento MC (che
risulta essere di lunghezza 𝑏 =
𝑎√5
2
).
2. Sia E il punto di intersezione della retta A e B con la circonferenza di centro M e raggio MC.
3. Si dimostra che il rettangolo AEFD è un rettangolo aureo in quanto il rapporto tra le dimensioni dei
due lati 𝑎 + 𝑏 ed 𝑎 è uguale al numero aureo, infatti
𝑎+𝑏
𝑎
=
𝐴𝑀+𝑀𝐶
𝑎
=
𝑎 𝑎 √5
+
2
2
𝑎
= 𝛷.
Proprio a causa della filosofia che stava alla base della regolarità, della simmetria e dell’armonia
dell’architettura greca, la facciata del Partenone (ad Atene) (progettato da Fidia) è stata inscritta in un
rettangolo avente i lati in proporzione divina. Anche nel Tempio della Concordia (Agrigento) possiamo
trovare tali proporzioni.
Altre proprietà della sezione aurea la fanno apparire come se si autorigenerasse per addizione e sottrazione.
Infatti,
1. Ogni segmento è sezione aurea della sua somma con la sua sezione aurea;
2. Tolta la sezione aurea, la parte rimanente di un segmento è la sezione aurea della sezione aurea del
segmento.
Tali proprietà, trasferite al rettangolo aureo, diventano:
1. Sottraendo da un rettangolo aureo il quadrato costruito sul suo lato minore, si ottiene un altro
rettangolo aureo;
2. Sommando ad un rettangolo aureo il quadrato costruito sul suo lato maggiore si ottiene un altro
rettangolo aureo.
Grazie a queste due proprietà è possibile costruire la spirale aurea. Per ottenerla seguiamo tale costruzione:
1. Disegnare un quadrato AEFB e il rettangolo aureo ACBD seguendo la costruzione precedente;
2. Disegnare la circonferenza di centro D e raggio DF che incontra DC nel punto G e la circonferenza di
centro F e raggio DF che incontra FE nel punto H. ECGH è un rettangolo aureo;
3. Ripetere la costruzione più volte per ottenere altri rettangoli aurei;
4. Disegnare l'arco AF della circonferenza di centro E e raggio AE, l'arco FG della circonferenza di
centro H e raggio HF, l'arco GJ della circonferenza di centro I e raggio GI, l'arco JK della
circonferenza di centro M e raggio MJ, e così via. Si ottiene, così, la spirale aurea.
Un esempio di opera architettonica in cui è presente la spirale aurea è la scala a volute a spirale aurea
dell’abbazia benedettina di Melk (Austria).
Più di tutti contribuì all’opera di divinazione del rapporto aureo, il matematico italiano Luca Pacioli (1445 1517) che, nella sua opera “La Divina Proporzione”, asserì che la proporzione aurea fosse la chiave
universale per penetrare i segreti della bellezza ma anche della natura. Tra tutte le proporzioni, quella aurea
sembra essere la vera ispiratrice della bellezza, quindi del creato, quindi del Suo creatore, quindi Divina.
La sezione aurea è anche stata usata ampiamente in pittura: in molti quadri, soprattutto nel Rinascimento,
questa proporzione veniva usata moltissime volte all'interno dell'opera. Si dice, ad esempio, che nella
rappresentazione di un panorama l'orizzonte debba dividere l'altezza del quadro secondo la sezione aurea,
per ottenere un risultato più soddisfacente.
La sezione aurea sembra essere anche la legge strutturale della fisionomia del corpo umano. Vedi figura.
Tale legge ha conosciuto in Leonardo da Vinci (1452-1519) un geniale assertore, infatti in moltissime sue
opere si può ritrovare il rettangolo aureo. Ne “L’uomo vitruviano” Leonardo stabilì che le proporzioni
umane sono perfette quando l’ombelico divide l’uomo in modo aureo.
Nel nostro corpo se misuriamo le dita della nostra mano, noteremo che i rapporti tra le lunghezze delle
falangi del dito medio e anulare sono aurei, così come il rapporto tra la lunghezza del braccio e
l’avanbraccio, tra la gamba e la sua parte inferiore.