Il problema della trave di de Saint Venant[part_1B_semp]

DIDATTICA DI DISEGNO E DI PROGETTAZIONE DELLE COSTRUZIONI
PROF. CARMELO MAJORANA
ING. LAURA SGARBOSSA
MODULO DUE
IL PROBLEMA DELLA TRAVE DI DE SAINT VENANT (PARTE B)
•
MATERIALE DIDATTICO DA UTILIZZARE IN AULA (SCUOLA SUPERIORE)
•
Esempio di lezione 02 (parte B)
IN QUESTO MODULO: IL PROBLEMA DELLA TRAVE DEL DE SAINT VENANT
2.3 Sforzo normale semplice di trazione e di compressione
2.4 Flessione semplice e deviata
2.3 Sforzo normale semplice di trazione e di compressione
Si consideri come caso generale una trave ad asse rettilineo, vincolata con una cerniera in A e con
un appoggio semplice in B, comunque caricata da forze verticali ed oblique.
Le forze applicate e le reazioni vincolari costituiscono l’insieme delle forze esterne, le quali sono in
equilibrio.
Si assuma una qualsiasi sezione S in modo tale che la trave sia divisa in due tronchi: uno a sinistra e
uno a destra della sezione S.
Ricercando le risultanti relative alle forze esterne applicate nei tronchi a sinistra e a destra della
sezione, si riconosce che attraverso la sezione stessa S si trasmettono mutue azioni interne, a
conferma della validità del terzo principio della dinamica di Newton noto come principio di azione
e reazione, come in precedenza osservato.
In particolare tra tutte le forze risultanti, la forza N normale al piano della sezione, si chiama sforzo
normale. Figura 4.
figura 4
Lo sforzo normale, insieme allo sforzo di taglio e al momento flettente che analizzeremo in seguito,
contrapponendosi reciprocamente nella sezione S, definiscono lo stato di equilibrio interno e danno
luogo ad altrettanti stati di sollecitazione di pressione semplice (compressione o trazione), di taglio
e di flessione.
In generale allora si può dare la seguente definizione: una sezione retta S di trave è sollecitata a
sforzo normale semplice di trazione o di compressione quando la risultante delle forze agenti da una
o dall’altra parte della sezione è una forza normale al piano della sezione stessa ed è incidente nel
suo baricentro.
Se tale risultante è diretta contro il piano della sezione lo sforzo normale è di compressione,
tendendo ad avvicinare, in questo caso, le mutue sezioni di contatto S dei due tronchi di trave, e il
segno per convenzione è negativo; al contrario se il verso della risultante si allontana dalla sezione
lo sforzo normale è di trazione, e il segno positivo.
Nel caso che una trave prismatica sia soggetta a sforzo normale di compressione costante, si
suppone che il tronco di tale trave sia sufficientemente corto e tozzo, in modo da evitare che si
inneschi il fenomeno di instabilità per carico di punta.
Fatta questa osservazione, i due casi di sforzo a trazione e a compressione, possono essere trattati
insieme per quanto riguarda la ricerca degli stati tensionali, i criteri di progetto, di verifica e la
ricerca delle operazioni.
Una diversità può riguardare invece, la differente resistenza del materiale nel caso di trazione o di
compressione.
Per quanto riguarda infatti, i materiali da costruzione che più ci interessano, l’acciaio ha circa
uguale resistenza sia a trazione che a compressione, mentre materiali come il calcestruzzo e i
materiali lapidei in generale, resistono molto bene a compressione, pochissimo a trazione.
Se il materiale è omogeneo lo sforzo normale N si distribuisce uniformemente in tutte le aree
elementari da della sezione, interessando in eguale misura tutte le ideali fibre disposte
parallelamente all’asse z della trave, e dando origine a tensioni unitarie σ z normali alla sezione
trasversale S.
Ogni area elementare da è quindi interessata da una forza elementare interna σ z da , e la somma di
tali forze interne deve essere uguale alla risultante N, ossia:
∫σ
A
z
da = N ;
3)
poiché σ z è costante, può essere portato fuori dal segno di integrale e messo in evidenza:
σ z ∫ da = N
A
dove l’integrale delle aree elementari (che può essere pensato come la somma di tutte le aree
elementari), è uguale all’area A della sezione ∫ da = A , ottenendo in fine l’espressione:
A
σzA= N
da cui si ricava:
σz =
N
= costante
A
4)
Osservazione: nel caso della pressione semplice il dimensionamento della trave dipende solo dal
parametro di area A, sezione della trave, e quindi indipendente dalla forma della sezione stessa.
La distribuzione uniforme delle tensioni è giustificata dal fatto che è verificata dall’esperienza
l’ipotesi di Bernoulli-Navier sulla conservazione delle sezioni piane durante e dopo le
deformazioni. Ciò sta a dire che, se le fibre si allungano e si accorciano in modo uguale, significa
anche che sono ugualmente tese e compresse e quindi che lo sforzo σ z è costante in una determinata
sezione retta della trave.
Questa ipotesi trova conferma esatta qualora le forze N applicate alle sezioni esterne della trave
sono uniformemente distribuite.
Nel caso in cui le forze sono concentrate, tale ipotesi dell’allungamento uniforme delle fibre e come
conseguenza σ z costante, è ancora verificata dal principio di De Saint Venant, purché la
distribuzione delle forze esterne abbia la stessa risultante N, e ad eccezione dei due tratti estremi del
tronco di trave per una lunghezza pari a circa la maggiore dimensione trasversale.
Per lo stato di deformazione si ha:
εz =
σz
E
=
c
= costante(x,y,z)
E
5)
In conclusione essendo la distribuzione degli stati di tensione σ z , della trave, uniforme, si ha uno
stato tensionale monoassiale; rappresentato secondo la convenzione di Mohr nel piano ( σ ,τ ) si ha
la seguente figura:
figura 5
E’ importante osservare inoltre, che uno stato deformativo di tipo biassiale, come nel caso di sforzo
normale, non implica che pure lo stato di tensione lo sia, infatti il caso di sforzo normale ce lo
dimostra essendo lo stato tensionale proprio monoassiale .
Si definisce modulo di rigidezza assiale, riferito all’unità di lunghezza, il rapporto:
Rn =
N
εz
=
N
σz
=
E
NE
= EA
N
A
6)
2.4 Flessione semplice e deviata
Una sezione S di trave si dice sollecitata a flessione semplice quando l’insieme delle forze esterne,
applicate a sinistra o a destra della sezione stessa, equivale ad una coppia appartenente ad un piano
normale al piano della sezione.
figura 6
Il momento della coppia M = Rl è il momento flettente esterno, agente nella sezione, dato dalla
risultante di tutte le forze esterne applicate ; per il teorema di Varignon il momento di tale risultante
è anche dato dalla somma algebrica dei momenti delle singole forze componenti, in generale allora
il momento flettente di una determinata sezione è dato dalla somma algebrica dei momenti flettenti
di tutte le forze esterne agenti ambo i lati della sezione.
L’effetto di un momento flettente in una sezione della trave è la rotazione della sezione stessa e se si
immagina tale effetto esteso a tutte le sezioni della trave, queste ruotano reciprocamente e la trave si
deforma curvandosi o più correttamente, inflettendosi.
Quando l’inflessione produce la tensione delle fibre inferiori e la compressione delle fibre superiori,
il momento flettente è per convenzione di segno positivo.
Quando inversamente le fibre superiori sono tese e quelle inferiori compresse tale da rivolgere
l’inflessione della trave con convessità verso l’alto, il momento flettente è di segno negativo.
P
Ms
P
P
S
(+)
S
Ms
fibre compresse
fibre neutre
fibre tese
(+)
figura 7a
s
s
P
P
(-)
P
Ms
P
s
S
(-)
S
fibre tese
fibre neutre
fibre compresse
s
Ms
figura 7b
Il momento M è costante in tutte le sezioni comprese nel campo centrale della trave, quindi queste
ruotano dello stesso angolo; l’asse geometrico e le fibre longitudinali della trave, si dispongono
secondo linee curve a curvatura costante; in particolare l’asse geometrico si chiama linea elastica
della trave.
Nello stato deformativo si distinguono tre famiglie di fibre
•
fibre che si allungano, nella parte convessa della trave
•
fibre che si accorciano, nella parte concava della trave
•
fibre che non si allungano e non si accorciano, quindi hanno conservato la dimensione
originaria.
Quest’ultima famiglia di fibre appartiene ad un piano chiamato strato piano della trave il quale è
ortogonale al piano di sollecitazione.
La ratta di intersezione dello strato neutro con il piano di una qualsiasi sezione si chiama asse
neutro n della sezione; di conseguenza l’asse neutro n è normale all’asse di sollecitazione,
dividendo la sezione in una zona compressa e una tesa, soggetta quindi a tensioni normali σ
rispettivamente di compressione e di trazione; in particolare i punti appartenenti all’asse neutro
hanno tensioni nulle:
figura 8
Si può definire quindi l’asse neutro come luogo geometrico dei punti della sezione a tensione nulla.
Si vuole ora ricavare l’espressione che descrive i valori σ max delle tensioni ai lembi di una sezione,
corrispondenti alle distanze massime y max dall’asse neutro; si immagini allora di dividere una trave
in due parti mediante una sezione S e di isolare uno dei due tronchi dall’altro insieme e da tutte le
forze interessate prima del taglio.
Il tronco di trave così isolato deve essere ancora in equilibrio, poiché lo era prima del taglio, allora
devono essere soddisfatte le condizioni di equilibrio:
∑V = 0
∑H = 0
∑M = 0
7)
La prima condizione è facilmente verificabile poiché è nulla la somma delle forza esterne verticali,
mentre nel piano della sezione S non agiscono forze verticali.
La seconda condizione è verificata, non essendoci forze eterne orizzontali ed essendo uguali e
contrarie le tensioni σ normali al piano di sezione, per cui la somma algebrica risulta nulla.
Si osserva inoltre che le forze interne C e T, risultanti rispettivamente degli sforzi di compressione e
di trazione, essendo di uguale intensità e di versi contrari, costituiscono una coppia di braccio z e di
momento interno
M i = Cz = Tz
8)
perciò l’equilibrio dei momenti deve essere garantito dal momento esterno M indotto nella sezione
dalle coppie esterne ed il momento interno M i dovuto alla coppia interna:
M = Mi
9)
esprimendo ora il momento interno in modo più esplicito cioè il momento della forza da ⋅ σ riferita
ad una striscia elementare per cui si ha:
dmi = (da ⋅ σ ) y = da ⋅ ky ⋅ y = k ⋅ y 2 ⋅ da
10)
dove k è costante di proporzionalità poiché per l’ipotesi di conservazione delle sezioni piane e la
validità della legge di Hooke risulta:
σ1
y1
=
σ2
y2
=k
11)
Il prodotto da ⋅ y 2 che compare nella 10) prende il nome di momento d’inerzia dell’area elementare
rispetto all’asse considerato.
Il momento d’inerzia totale, quindi riferito all’intera sezione, rispetto all’asse neutro o baricentrico,
indicato con la lettera J x è dato dalla somma dei momenti elementari:
J x = ∑ A ∆a ⋅ y 2
analogamente in forma integrale:
12a)
J x = ∫ y 2 ⋅ da
12b)
A
Si può allora esprimere il momento interno uguale a:
Mi =
σ
y
⋅ Jx
13)
⋅ Jx .
14)
ed essendo M = M i , anche
M =
σ
y
Ora si può ricavare l’espressione delle tensioni massime σ max , (positive e negative secondo la
convenzione dei segni)
σ max =
dove con il rapporto
M ⋅ y max
Jx
15)
Jx
= W x si definisce il modulo di resistenza o momento resistente alla
y max
sezione.
In conclusione si ottiene:
σ max =
M
Wx
16)
Quando l’asse di sollecitazione non coincide con nessuno degli assi d’inerzia principale di una
sezione di trave la flessione non è più retta ma obliqua o deviata, perché l’asse neutro coniugato
all’asse di sollecitazione non è più normale a questo ma obliquo.
Y
P
X
X
Y
figura 9
Questo tipo di flessione si riscontra comunemente nelle travi orizzontali dei tetti (arcarecci) le quali
appoggiando sui puntoni di falda, presentano gli assi principali obliqui rispetto all’asse di
sollecitazione determinato dalla direzione verticale su cui è diretta la gravità del carico.
Nel caso di flessione deviata, come rappresentato in figura 10, si considera quindi, al posto del
carico P e del corrispondente M max , la sua componente Psenβ sulla normale all’asse neutro ed il
corrispondente momento M max senβ , riconducendoci così al caso della flessione retta
Y
Ps
(M en
se
n
P(M)
1
X
X
2
m
n
ax
-
Y
+
ax
m
figura 10
Il raggio d’inerzia ρ n rispetto all’asse neutro, è dato dalla proiezione del semidiametro dell’ellisse
centrale d’inerzia, steso nell’asse di sollecitazione di partenza, sulla normale all’asse neutro; quindi
il momento d’inerzia baricentrico J n della sezione rispetto all’asse neutro è dato da:
J n = Aρ n2
17)
I punti della sezione più lontani dall’asse neutro, individuati dalle tangenti alla sezione parallele
all’asse neutro, se distano il valore a, il modulo di resistenza vale:
Wn =
Jn
;
a
18)
allora le tensioni massime a cui sono soggetti i punti a distanza a dall’asse neutro sono date dalla
formula valida per la flessione semplice:
σ max = ±
M max sin β
M sin β ⋅ a
= ± max
.
Wn
Jn
19)
Si può costruire il diagramma delle tensioni sulla normale all’asse neutro come riportato in figura
11.
Non sempre l’uso di questa risoluzione è di pratica applicazione, perché è necessario determinare
graficamente l’ellisse d’inerzia e l’asse neutro per ricavare il momento d’inerzia J n e la distanza a.
Per semplificare il problema della flessione deviata si può sempre pensare di ricondurre il problema
alla somma di due flessioni rette, poiché vale il principio della sovrapposizione degli effetti: la
tensione totale σ max può essere cioè ottenuta dalla somma delle tensioni parziali σ 1 + σ 2 ,
decomponendo il carico P nelle componenti Px e Py lungo gli assi principali x e y rispettivamente.
Y
Py
n
P
N2 B
1=
C
Mx
Wx
Px
X
X
N1
A
+
D
y
1
x+
-
y
n
Y
+
+
m
ax
figura 11
In conclusione si ottiene semplicemente:
σ max = σ 1 + σ 2 = ±(
Mx My
+
)
Wx W y
20)
dove M x e M y sono i momenti delle due flessioni rette, rispettivamente attorno agli assi neutri x e
y.