- MATEMATICAeSCUOLA

1
Quesiti sulla gravitazione
(studio per il sistema isolato Terra-Luna)
Tab.1- Valori di riferimento
Problema
Raggio della Terra
6,378⋅106 m
a) Considerato nello spazio il campo
Massa della Terra
5,97⋅1024 Kg
gravitazionale dato dalla somma dei
Raggio della Luna
1,740⋅106 m
campi gravitazionali creati dalla Luna e
Massa della Luna
7,35⋅1022 Kg
dalla Terra, stabilire se esistono punti in
Distanza media
3, 84⋅108 m
cui detto campo è nullo. In caso
Terra-Luna
affermativo determinare la loro posizione
2
Costante di
rispetto ai due astri.
−11 N ⋅ m
G
=
6,
67
⋅
10
gravitazione
b) Determinare il centro di massa del
Kg 2
universale
sistema Terra-Luna quando sono alla
distanza di 3,84⋅108 m .
Soluzione
a)
Nella risoluzione utilizziamo i seguenti simboli
MT
Valore della massa della Terra
RT
Misura del raggio della Terra
ML
Valore della massa della Luna
RL
Misura del raggio della Luna
d
Misura della distanza Terra-Luna in un determinato istante.
G
Costate di gravitazione universale.
Osserviamo che in un punto P non appartenente alla retta congiungente i centri dei due astri
il campo gravitazionale risultante dall’azione dei due astri non può essere nullo perché i due
vettori corrispondenti non sono opposti. Solo lungo il segmento che congiunge i due centri i
vettori sono paralleli e discordi, quindi può verificarsi che in una particolare posizione essi
siano addirittura opposti e che perciò diano luogo ad un campo risultante nullo. Ciò
premesso, sia P un punto a distanza x dal centro della Terra in cui supponiamo che il campo
sia nullo. La sua distanza dal centro della Luna sarà d-x. I valori dei due campi gravitazionali
creati dai due astri in P devono essere uguali in modulo e perciò deve sussiste l’uguaglianza
M
ML
d−x
ML
d
ML
G 2T = G
=
−1 =
2
x
x
MT
x
MT
(d − x)
d
x=
ML
MT
Sostituendo i valori alle grandezze si ricava
3,84 ⋅108 m
3,84 ⋅108 m
x=
3,15 ⋅108 m
22
1,11
7,35 ⋅10 Kg
1+
24
5,97 ⋅10 Kg
Esiste dunque un solo punto nello spazio in cui è nullo il campo gravitazionale ottenuto dalla
sovrapposizione dei campi gravitazionali creati dalla Luna e dalla Terra. Questo punto si
trova a 3,15 ⋅108 m dal centro della Terra e a ( d − x ) = ( 3,84 − 3,15 ) ⋅108 m = 69 ⋅106 m
dal centro della Luna. Confrontando quest’ultimo valore con la misura del raggio della Luna
RL = 1, 740 ⋅106 m si evince che il punto dista dal centro della luna circa 69:1,74≈40 volte la
misura del raggio lunare.
a) Considerate due masse m1, m2 puntiformi che occupano le posizioni P1, P2 , si definisce
centro di massa del sistema il punto G per il quale sussiste la seguente equazione vettoriale:
m1 GP1 + m2 GP2 = 0
(b.*)
1+
Luigi Lecci:www.matematicaescuola.it
2
Si dimostra che per un sistema di N masse puntiformi
riferito ad un sistema di coordinate cartesiane nello spazio
Oxyz, le coordinate del centro di massa del sistema
risultano essere:
N
xG =
i =1
N
mi xi
i =1
mi
N
; yG =
i =1
N
mi yi
i =1
mi
N
; zG =
i =1
N
mi zi
i =1
(b.**)
mi
Nel caso in esame se il riferimento Oxyz ha l’asse x
coincidente con la retta che congiunge i punti occupati
dalle due masse, ovvero, nel caso della coppia Terra-Luna,
la retta che congiunge i centri dei due astri, risultano nulli
i valori yG , zG e per l’ascissa si ha
M x + M L x2
(b.***)
xG = T 1
MT + M L
In particolare, fissando l’origine del riferimento nel centro della Terra e ponendo
x2 = d , con d = 3,84 ⋅108 m la distanza media Terra-Luna si ricava
M ⋅ 0 + M Ld
d
xG = T
=
0, 01216 ⋅ d = 4, 67 ⋅106 m
MT
MT + M L
+1
ML
Confronto con il raggio della Terra
Si nota che la distanza del centro di massa del sistema TerraLuna è minore della misura del raggio della Terra: RT=6,378⋅106 m.
Ciò è illustrato nella figura riportata a lato.
Nel loro moto relativo ciascuno dei due astri ruota intorno al centro
di massa del sistema.
Luigi Lecci:www.matematicaescuola.it