Lucidi

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Lucidi

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Programmazione Lineare
Le regole di buonsenso su cui si basa il simplesso
•
un semplice problema di mix di produzione viene risolto applicando solo
regole di buonsenso cercando di intuire come questo processo di soluzione
possa essere applicato in generale e a quali condizioni.
•
l’algoritmo del simplesso formalizza queste regole di buonsenso per risolvere
i problemi di PL.
Raffaele Pesenti
Raffaele Pesenti
Vietato qualunque uso di questo materiale al di fuori dell'Università.
Vietato qualunque uso commerciale.
Problema: mix di produzione
Scopo presentazione
•
•
•
2 manufatti ognuno dei quali necessita di una data quantità di materie prime
3 materie prime in disponibilità limitata
ci profitto per ogni unità prodotta
•
presentare un metodo di ragionamento che può essere applicato in generale,
anche a casi non lineari e a problemi non completamente formalizzati
•
evidenziare come a partire da regole di buonsenso si possa giungere allo
sviluppo di un algoritmo
Product:
Profit/Unit:
•
sottolineare la necessità che alcune condizioni si verifichino per essere certi
dell’ottimalità globale delle soluzioni ottenute
Product Resource Requirements
Res. p
Res. q
Res. r
Raffaele Pesenti
2
3
Raffaele Pesenti
P1
15
1
1
2
P2
10
1 <=
-0.5 <=
1 <=
Start
Inv.
2000
1000
3000
4
Descrizione del problema.
•
•
•
obiettivo:
•
– massimizzare i profitti
vincoli:
– non consumare più risorse di
quelle disponibili
leve decisionali:
– quantità prodotte dei manufatti
Raffaele Pesenti
Variabili e obiettivo
dati tecnologici:
– ci profitto unitario del
manufatto i-mo
– bj disponibilità materia prima j-ma
– aji consumo unitario di materia prima
j-ma per produrre il manufatto i-mo.
In particolare produrre il manufatto
P2 dà come sottoprodotto della
risorsa Rq
5
Formulazione del problema.
• Le variabili:
le quantità prodotte di ogni manufatto
xi ∈ ℜ ,
tali variabili sono continue
•
La funzione obiettivo:
il profitto complessivo
15 x1 + 10 x2
Raffaele Pesenti
Vincoli
•
per i = 1, 2
6
Formulazione
I vincoli:
– per ciascuna risorsa la quantità totale di risorsa utilizzata per eseguire le
max Σi=1,2 ci xi
produzioni non può superare la disponibilità massima della risorsa stessa
Σi=1..n aji xi ≤ bj ,
per j = p, q, r
Σi=1,2 aji xi ≤ bj,
per j=p,q,r
xi ≥ 0
per i=1,2
– per ciascun manufatto la quantità prodotta è sempre non negativa
xi ≥ 0 ,
Raffaele Pesenti
per i = 1,2
7
Raffaele Pesenti
8
(x1 ≥ 0)
Formulazione istanza specifica
Interpretazione grafica
x2
(Res. r)
Soluzioni sui vertici
V0 ≡ (0,0)
V1 ≡ (1000,0)
V2 ≡ (1250,500)
V3 ≡ (1000,1000)
V4 ≡ (0,2000)
V4
max z = 15 x1 + 10 x2
(Res. p)
x1 +
x2 ≤ 2000
(profit)
(Res. q)
(Res. r)
1000
V3
x1 - 0.5x2 ≤ 1000
2x1 +
x2 ≤ 3000
(Res. q)
soluzioni
ammissibili
V2
V0
V1
x1, x2 ≥ 0
(Res. p)
0
1000
Raffaele Pesenti
9
Raffaele Pesenti
Commenti
(x2 ≥ 0)
x1
10
Commenti
Un problema di mix di produzione può essere ripensato in termini di capacità
produttive invece che di singole risorse ovvero
Una situazione limite è quando non si produce niente. In questo caso si può
pensare di avere capacità produttive (pessimamente utilizzate) di restituire ai
(non acquisire dai) fornitori le risorse disponibili, ottenendo di conseguenza
un profitto nullo.
Dato che si hanno sufficienti capacità produttive per produrre un
determinato mix si cerca di stabilire se è possibile sfruttare meglio tali
capacità in modo produrre un mix che fornisca un profitto maggiore.
La disponibilità limitata di risorse impone però che l’utilizzo delle capacità
disponibili per produrre di nuovi manufatti possa avvenire solo sacrificando
la produzione di altri manufatti appartenenti al vecchio mix.
In generale le risorse che rimangono inutilizzate quando viene scelto uno
specifico piano di produzione possono essere interpretate come dei
”manufatti” che non forniscono profitto e che consumano per ogni unità
prodotta un’unità della risorsa corrispondente.
Questa ottica è generalmente quella usata in pratica, le risorse (gli impianti)
sono descritte in termini di quanto possono produrre, ovvero di che capacità
forniscono.
Raffaele Pesenti
11
Raffaele Pesenti
12
Commenti
Descrizione del problema.
Il problema può essere riformulato nella seguente domanda:
•
poiché si hanno le capacità per produrre date quantità dei manufatti Rp, Rq,
Rr, determinare il mix di produzione ottimo dei manufatti P1, P2, Rp, Rq, Rr
che sfrutti appieno tali capacità.
Si ottiene un problema di mix produzione di 5 manufatti (P1, P2, Rp, Rq, Rr)
vincolato dalle capacità produttive, inizialmente espresse in termini delle
risorse Rp, Rq, Rr.
Raffaele Pesenti
13
•
•
obiettivo:
•
– massimizzare i profitti
vincoli:
– consumare tutte le risorse
disponibili
leve decisionali:
– quantità prodotte dei manufatti
P1 P2 Rp Rq Rr
Raffaele Pesenti
dati tecnologici:
– ci profitto unitario del
manufatto i-mo, dove Rp, Rb, Rr non
danno profitto
– bj disponibilità materia prima j-ma
– aji consumo unitario di materia prima
j-ma per produrre il manufatto i-mo.
Nuova formulazione
Interpretazione grafica
x2
sp=0
Formulazione matematica
Soluzioni sui vertici:
V0 ≡ (0,0,2000,1000,3000)
V1 ≡ (1000,0,1000,0,1000 )
V2 ≡ (1250,500,250,0,0)
V3 ≡ (1000,1000,0,500,0)
V4 ≡ (0,2000,0,2000,1000)
x1=0 V4
(profit) max z = 15 x1 + 10 x2 + 0 sp + 0 sq + 0 sr
(Rp)
x1 + x2 + sp
= 2000
(Rq)
(Rr)
x1
2 x1
- 0.5x2
+ x2
+ sq
+ sr
1000
V3
= 1000
= 3000
sq=0
V2
x1, x2, sp, sq, sr ≥ 0
V0
dove sp, sq, sr sono le variabili associate ai prodotti Rp, Rq e Rr
0
sr=0
V1
x2=0
1000
Raffaele Pesenti
14
15
Raffaele Pesenti
x1
16
Mix iniziale
Determinazione mix passo 1
Passo 0
un primo mix è banale, produrre solo Rp, Rq, Rr
(in pratica non produrre niente)
x2
Osservazione:
Dato x(0) introdurre nella produzione manufatti di tipo diverso (e.g., P1 o P2)
può essere ottenuto solo riducendo le quantità realizzate di manufatti Rp, Rq
e Rr, la cui produzione impegna tutte le risorse.
x(0) = (0,0,2000,1000,3000)
1000
Il profitto ottenuto è
z(0) = 0
V0
0
Raffaele Pesenti
x1
1000
17
Raffaele Pesenti
Passo 1
il nuovo mix è ottenuto dal precedente
introducendo i manufatti di tipo P1 e
diminuendo proporzionalmente la
produzione di Rp, Rq, Rr.
Mix passo 1
D: Conviene cambiare mix e, in caso positivo, cosa conviene produrre?
R: Converrà produrre uno dei manufatti che danno profitto maggiore di zero,
e.g., P1 che ha profitto massimo. Inoltre, dato che il profitto complessivo è
proporzionale alla quantità realizzata, conviene produrre la maggiore quantità di
P1 possibile
x2
x1(1) = x1(0) + 1000 = 1000
x2(1) = x2(0) = 0
xp(1) = xp(0) - 1• 1000 = 1000
xq(1) = xq(0) - 1• 1000 = 0
xr(1) = xr(0) - 2• 1000 = 1000
1000
D: Che quantità di P1 produrre?
R: Produrre un’unità di P1 sacrifica la produzione di un’unità di Rp, un’unità di Rq e
2 unità di Rr. Poiché si hanno 2000 Rp, 1000 Rq e 3000 Rr al più si potrà
realizzare una quantità di P1 pari a
x(1) = (1000,0,1000,0,1000)
V1
0
min{2000/1, 1000/1, 3000/2} = 1000
Raffaele Pesenti
18
1000
19
Raffaele Pesenti
x1
z(1) = z(0) + 15 • 1000 = 15000
20
•
•
Il problema può ora essere ricondotto alla situazione precedente
riformulandolo nella seguente domanda:
Il mix x(1) include i prodotti P1, Rp e Rr, le capacità produttive sono quindi
esprimibili in termini di tali manufatti, conseguentemente si deve determinare
– quante capacità sono disponibili
e, per ogni manufatto,
– quale è il consumo di capacità P1, Rp e Rr
poiché si hanno le capacità per produrre date quantità dei manufatti P1, Rp,
Rr, determinare il mix di produzione ottimo dei manufatti P1, P2, Rp, Rq, Rr
– quale è il profitto marginale
•
•
Si porranno quindi nuovamente le domande
D: Che quantità produrre?
Raffaele Pesenti
Al passo precedente era noto quanto i manufatti richiedevano in termini di
capacità produttive di Rp, Rq e Rr, si deve quindi potere esprimere le capacità
produttive di Rq in termini di quelle di P1, Rp e Rr. In particolare serve una
relazione che leghi tutte queste grandezze. La relazione adatta è quella che
indicava i consumi, in termini di Rp, Rq e Rr, necessari a produrre P1
Raffaele Pesenti
21
•
22
consumi:
se, per produrre un manufatto P1:
– si consumava la capacità di produrre un’unità di Rp
– si consumava la capacità di produrre un’unità di Rq
– si consumava la capacità di produrre 2 unità di Rr
•
un manufatto P1,
– necessitava* di 1Rp, 1Rq, 2Rr,
– ora richiede 0Rp, 1P1, 0Rr
•
un manufatto Rp,
– necessitava di 1Rp, 0Rq, 0Rr,
ora, considerando le capacità produttive in termini di P1, Rp e Rr, per produrre un
manufatto Rq:
– si consuma la capacità di produrre un’unità di P1
e quindi
– si libera la capacità di produrre un’unità di Rp
– si libera la capacità di produrre 2 unità di Rr
•
un manufatto P2,
– necessitava di 1Rp, -0.5Rq 1Rr,
– ora richiede 1.5Rp, -0.5P1, 2Rr
•
un manufatto Rq,
– necessitava di 0Rp, 1Rq 0Rr,
– ora richiede -1Rp, 1P1, -2Rr
•
*
i segni negativi indicano capacità liberate
invece che consumate
un manufatto Rr,
– necessitava di 0Rp, 0Rq 1Rr,
conseguentemente....
Raffaele Pesenti
23
Raffaele Pesenti
24
disponibilità risorse
erano disponibili le capacità per
profitti maginali
– 2000 Rp
con il mix corrente vi è un profitto di 15000 a cui vanno aggiunti profitti
marginali, i.e., i profitti che si ottengono dalla vendita di un’unità P2 o Rq a cui
vengono sottratti i profitti persi per la mancata vendita dei manufatti P1, Rp e
Rr che sono stati eventualmente sacrificati alla produzione di P2 e Rq,
viceversa si aggiungono i profitti ottenuti per la vendita manufatti P1, Rp e Rr
possono essere prodotti data l’eventuale liberazione di capacità indotta dalla
produzione di P2 e Rq invece che di alcuni tra P1, Rp e Rr.
– 1000 Rq
– 3000 Rr
se si producono 1000 P1 rimangono a disposizione le capacità per
– 1000 Rp, le 2000 iniziali meno le 1000 consumate per produzione di 1000 P1
– 1000 P1, le capacità dei 1000 P1 appena inseriti nel mix
– 1000 Rr, le 3000 iniziali meno le 2000 consumate per produzione di 1000 P1
Raffaele Pesenti
Coseguentemente ...
Raffaele Pesenti
25
26
•
un manufatto P1
– produce un profitto di 15
– consuma 1P1, fa mancare un profitto di 15,
– profitto marginale 15 - 15 = 0
•
un manufatto Rq,
– produce profitto 0
– richiede -1Rp, 1P1, -2Rr, fa mancare un profitto di 15
– profitto marginale 0 - 15 = -15
•
un manufatto P2,
– produce un profitto di 10
– richiede 1.5Rp, -0.5P1, 2Rr, produce un profitto aggiuntivo di 7.5,
– profitto marginale 10 + 7.5 = 17.5
•
un manufatto Rr,
– richiede 0Rp, 0P1, 1Rr, né fa mancare profitti né produce profitti aggiuntivi
•
un manufatto Rp,
– richiede 1Rp, 0P1, 0Rr, né fa mancare profitti né produce profitti aggiuntivi
Osservazioni
– i profitti marginali dei prodotti nel mix scelto sono per come sono state
ridefinite le capacità sempre nulli
– se i profitti marginali di P2 e Rq fossero stati entrambi negativi ci si troverebbe
in un minimo (almeno locale).
Raffaele Pesenti
27
Raffaele Pesenti
28
Nuova formulazione
Formulazione matematica (in termini delle capacita produttive di Rp, P1 e Rr)
R: Converrà produrre maggiore quantità di P2 possibile (produrre Rq porterebbe ad
una perdita di profitto)
(profit) max z = 0 x1 + 17.5 x2 + 0 sp -15 sq + 0 sr + 15000
D: Che quantità di P2 produrre?
(Rp)
+ 1.5 x2
(P1)
x1
(Rr)
+ sp - sq
= 1000
- 0.5x2
+ sq
= 1000
+ 2 x2
- 2 sq + sr
= 1000
R: Produrre un’unità di P2 consuma le capacità per produrre 1.5 unità di Rp e 2
unità di Rr e libera capacità produttive per 0.5 unità di P1.
Poiché si hanno capacità pari a 1000 Rp, 1000 Rr al più si potrà realizzare una
quantità di P2 pari a
min{1000/1.5, 1000/2} = 500
x1, x2, sp, sq, sr ≥ 0
(siccome, invece di consumare, si liberano capacità per produrre P1 queste
capacità non sono considerate)
Raffaele Pesenti
x2
x1(2) = x1(1) + 0.5 • 500 = 1250
x2(2) = x2(1) + 500 = 500
xp(2) = xp(1) - 1.5• 500 = 250
xq(2) = xq(1) = 0
xr(2) = xr(1) - 2• 500 = 0
1000
V2
1000
Raffaele Pesenti
Raffaele Pesenti
Passo 2
introducendo i manufatti di tipo P2,
produzione di Rp, Rr e aumentando
quella di P1.
Mix passo 2
0
29
x(2) = (1250,500,250,0,0)
x1
30
•
poiché si hanno le capacità per produrre date quantità dei manufatti P1, P2,
Rp, determinare il mix di produzione ottimo dei manufatti P1, P2, Rp, Rq, Rr
z(2) = z(1) + 17.5 • 500 = 23750
31
Raffaele Pesenti
32
•
•
Il mix x(2) include i prodotti P1, P2, e Rp, le capacità produttive sono quindi
se, per produrre un manufatto P2:
– si consumava la capacità di produrre 1.5 unità di Rp
– si liberava la capacità di produrre 0.5 unità di P1
– si consumava la capacità di produrre 2 unità di Rr
– quale è il consumo di capacità P1, P2 e Rp
•
ora, considerando le capacità produttive in termini di P1, P2 e Rp, per produrre un
manufatto Rr:
– si consuma la capacità di produrre 0.5 unità di P2
e quindi
– si consuma la capacità di produrre 0.25 di unità di P1
– si libera la capacità di produrre 0.75 unità di Rp
capacità produttive di P1, Rp e Rr, si deve quindi potere esprimere le capacità
produttive di Rr in termini di quelle di P1, P2 e Rp. In particolare serve una
indicava i consumi, in termini di P1, Rp e Rr, necessari a produrre P2
Raffaele Pesenti
consumi:
33
Raffaele Pesenti
un manufatto P1,
– necessitava* di 0Rp, 1P1, 0Rr,
– ora richiede 0Rp, 1P1, 0P2
•
un manufatto P2,
– necessitava di 1.5Rp, -0.5P1, 2Rr,
•
34
•
un manufatto Rp,
– necessitava di 1Rp, 0P1, 0Rr,
– 1000 Rp
– 1000 P1
•
•
*
Raffaele Pesenti
un manufatto Rq,
– necessitava di -1Rp, 1P1, -2Rr,
– ora richiede 0.5Rp, 0.5P1, -1P2
un manufatto Rr,
– necessitava di 0Rp, 0P1, 1Rr,
– ora richiede -0.75Rp, 0.25P1, 0.5P2
35
– 1000 Rr
se si producono ulteriori 500 P2 rimangono a disposizione le capacità per
– 250Rp, le 1000 iniziali meno le 750 consumate nella produzione di 500 P2
– 1250 P1, le 1000 iniziali più le 250 liberate a lato della produzione di 500 P2
– 500 P2, le capacità dei 500 P2 appena inseriti nel mix
Raffaele Pesenti
36
Nuova formulazione
profitti marginali
• un manufatto Rq,
– produce profitto -15
– richiede 0.5Rp, 0.5P1, -1P2, produce un profitto aggiuntivo di 17.5
– profitto marginale -15 + 17.5 = 2.5
Formulazione matematica (in termini delle capacità per produrre Rp, P1 e P2)
•
(Rp)
(profit) max z = 0 x1 + 0 x2 + 0 sp + 2.5 sq - 8.75 sr + 23750
un manufatto Rr,
– richiede -0.75Rp, 0.25P1, 0.5P2, fa mancare un profitto di 8.75
– profitto marginale 0 - 8.75 = -8.75
+ sp + 0.5 sq - 0.75sr = 250
(P1)
(P2)
37
- 1 sq + 0.5sr = 500
+ x2
x1, x2, sp, sq, sr ≥ 0
Osservazioni
– i profitti marginali dei prodotti nel mix scelto non sono calcolati perché nulli
– si sarebbero ottenuti gli stessi risultati in tutti i calcoli se anziché usare i valori
marginali si fossero usati i valori iniziali
Raffaele Pesenti
+ 0.5sq + 0.25sr = 1250
x1
Raffaele Pesenti
Passo 3
introducendo i manufatti di tipo Rq,
produzione di Rp, P1 e aumentando
quella di P2.
Mix passo 3
R: Converrà produrre maggiore quantità di Rq possibile (produrre Rr porterebbe ad
una perdita di profitto)
x2
x1(3) = x1(2) - 0.5 • 500 = 1000
x2(3) = x2(2) + 1• 500 = 1000
xp(3) = xp(2) - 0.5• 500 = 0
xq(3) = xq(2) + 500 = 500
xr(3) = xr(2) = 0
D: Che quantità di Rq produrre?
R: Produrre un’unità di Rq consuma le capacità per produrre 0.5 unità di Rp e 0.5 unità
di P1, libera le capacità per produrre un’unità di P2.
Poiché si hanno le capacità per produrre 250 Rp, 1250 Rr al più si potrà realizzare
una quantità di Rq pari a
V3
1000
x(3) = (1000,1000, 0,500, 0)
min{250/0.5, 1250/0.5} = 500
(siccome, invece di consumare, si liberano capacità per produrre P2 queste capacità
non sono considerate)
Raffaele Pesenti
38
39
0
1000
Raffaele Pesenti
x1
z(3) = z(2) + 2.5 • 500 = 25000
40
Ottimalità mix passo 3
•
•
Il mix x(3) include i prodotti P1, P2 e Rq, le capacità produttive sono quindi
– quale è il consumo di capacità P1, P2 e Rq
poiché si hanno le capacità per produrre date quantità dei manufatti P1, P2,
Rq, determinare il mix di produzione ottimo dei manufatti P1, P2, Rp, Rq, Rr
Raffaele Pesenti
capacità produttive di P1, Rq e Rr, si deve quindi potere esprimere le capacità
produttive di Rr in termini di quelle di P1, P2 e Rq. In particolare serve una
indicava i consumi, in termini di P1, Rq e Rr, necessari a produrre P2
Raffaele Pesenti
41
•
42
consumi:
se, per produrre un manufatto Rq:
– si consumava la capacità di produrre 0.5 unità di Rp
– si consumava la capacità di produrre 0.5 unità di P1
– si liberava la capacità di produrre un’unità di P2
•
un manufatto P1,
•
– necessitava* di 0Rp, 1P1, 0P2,
– ora richiede 0Rq, 1P1, 0P2
un manufatto Rp,
– necessitava di 1Rp, 0P1, 0P2,
– ora richiede 2Rq, -1P1, 2P2
ora, considerando le capacità produttive in termini di P1, P2 e Rq, per produrre un
manufatto Rp:
– si consuma la capacità di produrre 2 unità di Rq
e quindi
– si libera la capacità di produrre un’unità di P1
– si consuma la capacità di produrre 2 di unità di P2
•
un manufatto P2,
– necessitava di 0Rp, 0P1, 1P2,
•
un manufatto Rq,
– necessitava di 0.5Rp, 0.5P1, -1P2,
•
*
un manufatto Rr,
– necessitava di -0.75Rp, 0.25P1, 0.5P2,
– ora richiede -1.5Rq, 1P1, -1P2
Raffaele Pesenti
43
Raffaele Pesenti
44
profitti marginali
• un manufatto Rp,
– richiede 2Rq, -1P1, 2P2, fa mancare un profitto di 2• 2.5
– profitto marginale 0 - 5 = - 5
– 250 Rp
– 1250 P1
•
– 500 P2
se si producono ulteriori 500 Rq rimangono a disposizione le capacità per
– 500 Rq, le capacità dei 500 Rq appena inseriti nel mix
– 1000 P1, le 1250 iniziali meno le 250 consumate nella produzione di 500 Rq
– 1000 P2, le 500 iniziali più le 500 liberate a lato della produzione di 500 Rq
Raffaele Pesenti
45
un manufatto Rr,
– produce profitto -8.75
– richiede -1.5Rq, 1P1, -1P2, produce un profitto aggiuntivo di 1.5 • 2.5
– profitto marginale - 8.75 + 3.75 = -5
Osservazioni
– il mix x(3) è (localmente) ottimo infatti produrre una qualunque combinazione
dei manufatti non inclusi in esso ha (per linearità) un profitto marginale
negativo.
Raffaele Pesenti
Le informazioni deducibili immediatamente dalla soluzione del problema sono:
• il profitto massimo ottenibile: z(3) = 25000
• quale mix produrre: 1000 P1 e 1000 P2, infatti x1(3) = 1000, x2(3) = 1000
• quali risorse sono critiche: Rp e Rr, infatti xp(3) = 0, xr(3) = 0
• quanto si perde (marginalmente) in profitto per ogni unità di risorsa critica
che viene a mancare: 5 per Rp e 5 Rr, infatti questi sono i loro costi
marginali se si decide di produrre i manufatti (non utilizzare le risorse)
suddetti
• quali risorse sono sovrabbondanti e di quanto: Rq, infatti xq(3) = 500
• quali manufatti non produrre e quanto costerebbe marginalmente forzare la
loro produzione o viceversa di quanto dovrebbe aumentare il loro profitto
marginale per potere considerare la possibilità di inserirli nel mix ottimo: Rp
e Rr* con costi marginali 5 e 5
* nell’esempio non ci sono manufatti veri e propri non nel mix, ma il ragionamento rimane valido
15x1 + 10x2 =25000: funzione obiettivo all’ottimo
x2
V3
0
1000
Raffaele Pesenti
x1
46
Risposte al problema
1000
47
Raffaele Pesenti
48
Alcune domande
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Che struttura ha l’insieme delle soluzioni?
Cosa succede se non è compatto?
Come si trova la soluzione iniziale e, viceversa, come ci si accorge che non
esiste?
L’ottimo locale coincide con quello globale?
Tutti i vincoli sono sempre necessari?
La procedura di soluzione è formalizzabile ed applicabile in generale?
La procedura converge sempre e in quanti passi?
La procedura deve ripartire daccapo una volta trovata la soluzione ottima si
scoprono nuovi vincoli che la rendono non ammissibile o si scoprono nuove
variabili decisionali?
Quanto i risultati rimangono validi per variazioni dei valori dei parametri?
Quale è il valore massimo delle variazioni ammissibili e cosa si può
concludere per variazioni maggiori?
Raffaele Pesenti
49

Lucidi

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Il Messaggero

pag. 41 08 Settembre 2016 - Il Resto del Carlino (ed. Bologna)

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