I Prova in Itinere di Fisica IB – 2 maggio 2007 – Ore 14 –

I Prova in Itinere di Fisica IB – 2 maggio 2007 – Ore 14 –
Indicare sul proprio elaborato NOME e COGNOME e NUMERO DI MATRICOLA
1) la prova è valida se affrontata individualmente; ogni tipo di comunicazione, verificata durante o dopo la prova, comporta l’invalidazione della
stessa. L’avvistamento di un telefono cellulare acceso comporta l’annullamento della prova
2) la prova va affrontata senza alcun ausilio di libri di testo e/o appunti; sul banco devono trovare posto solo testo della prova ed i fogli forniti, penna
e calcolatrice numerica; zaini e borse devono essere depositati lungo i corridoi laterali.
3) nella soluzione dei problemi, sempre fornire prima il procedimento ed il risultato simbolico e successivamente il risultato numerico; il testo deve
essere scritto a penna e in forma leggibile; non verranno considerate soluzioni che risultano ambigue a causa di disordine o scrittura poco leggibile del
candidato.
4) ad ogni esercizio è accreditato di un punteggio in 30esimi per un totale di 33 punti; la media dei punteggi ottenuti nelle due prove in itinere (se
superiore a 18) sarà il voto di ammissione all’esame orale. L’esame orale si terrà a luglio e includerà la discussione della prova scritta e domande di
carattere teorico sul corso; la discussione sarà più approfondita nelle situazioni di limite per assestare la sufficienza o l’eccellenza e nei casi di dubbia
paternità della prova. Il voto finale tiene conto del punteggio delle prove scritte e dell’orale.
Le soluzioni e l’esito della prova saranno pubblicati anche sul sito http://www.unipv.it/fis/fisica1B
Durata della prova: 1h30
1. Una lastra omogenea di massa 3m, lunga 4l e larga d presenta un ritaglio rettangolare di
lunghezza l ed è imperniata ad ¼ della sua lunghezza come in figura. L’asta è libera di oscillare su
un piano verticale. Calcolare il periodo delle oscillazioni della lastra. (Considerare trascurabile la
massa della cornice del ritaglio) (7 punti)
l
l
l
θ
2. Nel sistema in figura un cilindro di massa m e raggio r, risale un piano inclinato di θ rispetto
all’orizzontale. Una corda sottile inestensibile e di massa trascurabile è avvolta attorno al cilindro
per molti giri e passa senza strisciare dalla gola della carrucola di massa mc e raggio rc. Alla corda è
appesa una massa M. Il sistema è inizialmente fermo. Calcolare la velocità del cilindro e della
massa M quando quest’ultima è scesa di un tratto h, sapendo che il cilindro compie un moto di
rotolamento puro. (7 punti)
3. Un disco di massa M e raggio R scivola senza attrito su un piano orizzontale con velocità iniziale
v. Ad un certo istante un dentino di massa trascurabile posto sul bordo del disco urta elasticamente
contro un chiodo fissato nel punto P come in figura. Calcolare la velocità di traslazione e la velocità
angolare del disco dopo l’urto. (7 punti)
P
4. Un’asta di massa m è imperniata al terreno ed è libera di ruotare su un piano verticale.
All’estremo libero dell’asta è fissata una fune alla quale è appesa una massa M. Un’altra fune
sorregge l’asta a 2/3 della sua lunghezza. Calcolare la forza esercitata dal perno sull’asta. (m=25kg,
M=10kg, θ=50°, β=30°) (6 punti)
β
θ
5. Una sbarra è costituita dalla giunzione di due parti di legno con la stessa forma ma di diversa
densità, ρ1 = 0.9 103 kg/m3 e ρ2 = 0.6 103 kg/m3 . Essa è trattenuta immersa in acqua in posizione
orizzontale (vedi figura). Ad un certo istante è lasciata libera.
1) Calcolare l’accelerazione iniziale della sbarretta
2) Che inclinazione ha la sbarretta quando è ferma in posizione d’equilibrio sulla superficie
dell’acqua? Giustificare la risposta. (6 punti)
Soluzioni I prova itinere Fisica IB (ii) – maggio 2007
Esercizio 1
Per calcolare il momento d'inerzia rispettoal pernoin O si può considerare la lastra come una figura cava
1
28 2 1
1
28 2 1
2
2
I 0lastra piena = 4 m (4l ) + d 2 + 4 ml 2 =
ml + md 2
I 0 ritaglio = m l 2 + d 2 + m(l + l 2 ) =
ml + md 2
12
3
3
12
12
12
2
md
I 0tot = I 0lastra piena − I 0 ritaglio = 7 ml 2 +
4
o anche pensareche la lastra sia compostadi due pezzi
1
2
1
1
76 2 1
I 01 = 2 m (2l )2 + d 2 = ml 2 + md 2
I 02 = m l 2 + d 2 + m(2 l + l 2 )2 =
ml + md 2
12
3
6
12
12
12
2
84
1
md
I 0tot = I 01 + I 02 = ml 2 + md 2 = 7ml 2 +
12
4
4
5
0 ⋅ 2m + m l
l 3mg
I 0tot
2π
2 = 5l
l CM =
I 0totϑ&& = −l CM 3mg sin ϑ ≈ −l CM 3mg ϑ
ω 2 = CM
T=
= 2π
3m
6
I 0tot
ω
l CM 3mg
[
[
]
(
]
(
)
)
Esercizio 2
Ei = E f
∆h
1
1 2
1

 1
MghM + m c ghc + mgh = Mg (h M − ∆hM ) + mc ghc + mg  h + M sin θ  + MvM2 + I c ωc2 + mv CM
+ I CM ω 2
2
2
2
2

 2
1
1
I c = mc rc2
I CM = mr 2
v M = ωc rc = 2vCM velocità del bordo del cilindro
vCM = rω velocità del CM del cilindro
2
2
v2
∆h
1
1
1 2
1
4 M − 2m sin θ
2
2
0 = −Mg ∆h M + mg M sin θ + M 4vCM
+ mc 4vCM
+ mv CM
+ mr 2 CM2
vCM = 2
∆h M g
2
2
4
2
4
r
8 M + 4m c + 3m
Esercizio 3
 RMv = I CM ω + RMvCM

 1 Mv2 = 1 I ω 2 + 1 Mv2
 2
2 CM
2 CM
(
)
)
RM v − vCM = I CM ω

2
M v 2 − vCM
= I CM ω 2
(
I

2 v = CM ω + Rω

RM

2 v = Rω − I CM ω
 CM
RM
I CM

ω
 v − vCM =
RM

 v + v = Rω

CM
4 v
=ω
 3 R

vCM = 1 v

3
Esercizio 4

X − T cos(θ − β ) = 0


Y
−
T
sin (θ − β ) − mg − Mg = 0

l
2
 2 mg cosθ − 3 lT sin β + lMg cosθ = 0



X = T cos(θ − β ) = 400 [N ]
R = X 2 + Y 2 = 632 [N ]

Y
=
T
sin
(
θ
−
β
)
+
mg
+
Mg
=
488
.
9
[
N
]

Y
θ = arctg = 51°

2M + m
X
T
=
3
g
cos
θ
=
426
[
N
]

4 sin β

y
x
Esercizio 5
V = 2 LA
m = ρ 1LA + ρ 2 LA
− mg + ρ H 2OVg = ma
(2 ρ H 2O − ρ1 − ρ 2 )
(2 ρ H 2O − ρ1 − ρ 2 )LAg = (ρ1 + ρ 2 )LAa
a=
g = 3 .27 m / s 2
(ρ1 + ρ 2 )
Oltre a traslare verso l’alto, la sbarretta è sottoposta ad un momento di forze non nullo e quindi ruota. Perché il
momento sia nullo il punto di applicazione della spinta di Archimede (il centro di gravità del volume di acqua spostata
dal corpo sommerso) deve essere allineato sulla verticale con il centro di gravità del corpo o coincidere con esso. Nel
nostro caso si può avere equilibrio delle forze e dei momenti quando i due punti sono allineati sulla verticale, ossia la
sbarretta è verticale con la parte più densa verso il basso.
[
]
Questa posizione di equilibrio è però instabile.
Un altro punto di equilibrio delle forze e dei momenti si raggiunge quando la sbarretta si dispone come in figura con
b = 0. 95 L e h 1 = 0. 048 h. Questa posizione di equilibrio e la corrispondente con la sbarretta inclinata verso sinistra
sono stabili.
b
h
h1
2L
Se nel suo moto di roto-traslazione la sbarretta raggiunge la posizione verticale quando è ancora sott’acqua,
proseguirà la salita in verticale e così affiorerà dall’acqua raggiungendo prima la posizione di equilibrio instabile e in
seguito, alla minima perturbazione, la posizione di equilibrio stabile. Se invece la sbarra affiora dall’acqua prima di
aver raggiunto la posizione verticale, andrà subito a disporsi nella posizione di equilibrio stabile.