Il volume dei sol e i sol di rotazione con sol.

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IL VOLUME DEI SOLIDI
Conoscenze
1. Completa.
a. Il peso di un corpo dipende dal volume e dalla sostanza di cui è costituito
b. Ogni sostanza ha il suo peso specifico, che è il peso dell’unità di volume di quella sostanza
c. Il peso specifico di una sostanza esprime il rapporto costante tra il suo peso e il suo volume
d. Il peso specifico è una grandezza derivata, la cui unità di misura è data dal rapporto tra
l’unità di misura del peso e l’unità di misura del volume.
2. Con quale di queste formule si esprime il peso specifico di una sostanza?
P
V
 ps = P V
 ps =
 ps =
V
P
3. Collega ciascuna unità di misura di volume con l’unità di misura di peso corrispondente.
kg
t
g
cm3
dm3
m3
4. Scrivi le formule inverse relative al peso specifico.
P = .......... psV
V = ......... P/ ps
5. Sotto ciascuna affermazione, relativa al volume dei solidi, scrivi il nome del solido o dei solidi
a cui si riferisce.
Si moltiplicano
le sue dimensioni
.... parallelepipedo... rettangolo...
Si moltiplica l’area della base per la
misura dell’altezza e si divide il
prodotto ottenuto per 3
....... piramide............ cono......
Si moltiplica il
cubo del suo
raggio per 4/3
Si eleva al cubo la
misura del suo
spigolo
Si moltiplica l’area
della base per la
misura dell’altezza
............ sfera..............
.......... cubo..................
........ prisma..... cilindro.......
6. Segna i completamenti esatti.
a. Il volume di un parallelepipedo rettangolo si calcola utilizzando le seguenti formule:
 V  Ab  h
 V   Ab  h : 2
 V  C h
 V  a bc
b. Il volume di un prisma si calcola utilizzando la seguente formula:
A h
 V  Pb  h
 V  Ab  h
V b
3
c. Il volume di un cubo si calcola utilizzando la seguente formula:
l3
 V l 2
 V 
 V  l3
2
d. Il volume di una piramide si calcola utilizzando la seguente formula:
A h
A h
 V  Ab  h
 V b
V b
2
3
c. Il volume di un cilindro si calcola utilizzando le seguenti formule:
 r2 h
 r 2h
 V  Ab  h
 V   r 2h
V 
V 
2
3
d. Il volume di un cono si calcola utilizzando la seguente formula:
 r2 h
 r 2h
V
 V   r 2h
V 
2
3
e. Il volume di una sfera si calcola utilizzando la seguente formula:
4
4
3
 V =  r2
 V =  r3
 V =  r3
3
3
4
7. Scrivi le formule inverse del volume di:
V
a. un prisma:
h = ...........
Ab
b. un cubo:
l = ...........
c. una piramide:
h = ..........
d. un cilindro:
r = ...........
e. un cono:
f. una sfera:
3
Ab = ..........
V
h
V
3V
Ab
Ab = ..........
3 V
h
V
h
h = ...........
V
 r2
r = ...........
3V
h
h = ...........
3V
 r2
r = ........... 3
3V
4
Abilità
1. Rispondi.
Se il peso specifico del ferro è 7,5 quanto pesano rispettivamente:
1 cm3 di ferro? ………7,5g
1 dm3 di ferro? ……… 7,5kg
10 m3 di ferro? ………75 t
2. Calcola:
a. il peso di un oggetto di porcellana (p s = 2,5), sapendo che il suo volume è di 80 dm3.
[200 kg]
b. il volume di un cubetto di rame (ps= 8,4), sapendo che pesa 2520 g.
[300 cm3]
3. Un prisma retto ha per base un triangolo rettangolo in cui la somma dei cateti misura 68 cm e il
cateto maggiore è i 12/5 del minore. Calcola l’area della superficie totale e il volume del prisma,
sapendo che la sua altezza misura 25 cm.
[3960cm2 ; 12000cm3]
4. Un solido di vetro (ps = 2,5) è formato da quattro cubi equivalenti, posti uno di fianco all’altro.
Sapendo che la superficie totale di ogni cubo è di 294 cm2, determina il volume e il peso del
solido.
[1372 cm3 ; 3430 g]
5. Calcola l’area della superficie totale e il volume di una piramide quadrangolare regolare,
sapendo che lo spigolo di base misura 20 cm e che l’altezza è i 6/5 dello spigolo di base.
[1440cm2 ; 3200 cm3]
6. Calcola il volume di un solido composto, alto 40 cm , formato da un cilindro e un cono aventi le
basi coincidenti, sapendo che la circonferenza di base del cilindro misura 48 cm e che la
differenza tra le altezze del cilindro e del cono è di 4 cm.
[ 16128 cm3]
7. Calcola il volume di una sfera, sapendo che la sua superficie sferica è di 324 cm2. [972 cm3]
PER IL RECUPERO
1. Calcola il peso di un oggetto di avorio (ps = 1,86), sapendo che il suo volume è di 45 cm3.
(Attenzione alla corrispondenza tra le unità di misura del volume e del peso!)
[83,7 g]
2. Disegna il cilindro che si ottiene dalla rotazione completa del
rettangolo assegnato attorno all’asse di rotazione individuato
dalla retta r.
In base al valore dell’unità di misura indicata, calcolane il volume .
u = 2 cm
(Attenzione: ogni quadratino vale 2 cm!!)
r = ..........3 cm
h = ..........10 cm
u
V = ........... 90  cm3
r
r
3. Un prisma retto, alto 40 cm, ha per base un quadrato avente il perimetro lungo 112 cm. Calcola
l’area della superficie totale e il volume del prisma.
[6048 cm2; 31360 cm3]
(Conoscendo il perimetro del poligono di base, che è un quadrato, puoi calcolare facilmente lo spigolo di base. Poi
hai tutte le informazioni necessarie per applicare le formule relative al calcolo della superficie totale e del volume
di un prisma.......)
4. Completa la seguente tabella, riferita al cubo.
l
13 cm
3 cm
Area di una faccia
169 cm2
9 cm2
St
1014 cm2
54 cm2
V
2197 cm3
27 cm 3
5. Calcola la superficie totale e il volume di un cono avente il raggio di base lungo 8 cm e
l’apotema di 17 cm.
[200 cm2 ; 320 cm3]
(Conoscendo il raggio e l’apotema puoi, con il teorema di ..............., calcolare l’altezza. Poi basterà
applicare le formule........).
V
O
B
6. Completa la tabella, riferita ad una piramide quadrangolare regolare.
Spigolo di base
15 cm
20 cm
Altezza
22 cm
30 cm
Area di base
225 cm2
400 cm2
Volume
1650 cm3
4000 cm3
7. Un cilindro ha la circonferenza di base lunga 14 cm ed è alto 28 cm. Calcolane il volume.
(Conoscendo la misura della circonferenza puoi calcolare il raggio, quindi l’area di base ............)
[1372 cm3 ]
8. Calcola il volume di una sfera avente il raggio di 6 cm.
[288 cm3]
PER IL POTENZIAMENTO
1. Completa.
a. La piramide è equivalente a un terzo di un prisma avente la base equivalente e l’altezza
congruente a quella della piramide.
b. Il cono è equivalente a un terzo di un cilindro avente la base e l’altezza congruenti
rispettivamente alla base e all’altezza del cono.
c. La sfera è equivalente a un cono avente per altezza il raggio della sfera e per raggio di base
il diametro della sfera.
2. Ruotando di 360° un triangolo isoscele intorno alla sua base si ottiene un solido formato da
due coni con la base in comune.
Ssolido = Sl cono1 + Sl cono2
V solido = V cono1 + Vcono2
L’altezza dei coni è ....la metà della base...del triangolo
L’apotema dei coni è .....il lato.................. del triangolo
Il raggio di base dei coni è .....l’altezza..... del triangolo
3. Ruotando di 360° un trapezio isoscele intorno alla sua base maggiore si ottiene un solido
formato da un cilindro sormontato da due coni con le basi in comune con quelle del cilindro.
Ssolido = Sl cilindro + 2  Sl cono
V solido = V cilindro + 2  Vcono
I raggi di base sono ........ l’altezza........... del trapezio
L’altezza del cilindro è ...la base minore.. del trapezio
L’altezza di entrambi i coni è ... la proiezione................
... del lato obliquo del trapezio sulla base maggiore....
L’apotema di entrambi i coni è .... il lato obliquo...........
del trapezio
4. Ruotando di 360° un trapezio isoscele intorno alla sua base minore si ottiene un solido formato
da un cilindro e da due coni congruenti, scavati nel cilindro, con le basi in comune con quelle
del cilindro.
Ssolido = Sl cilindro + 2  Sl cono
V solido = V cilindro - 2  Vcono
I raggi di base sono ....... l’altezza........................ del trapezio
L’altezza del cilindro è .....la base maggiore....... del trapezio
L’altezza di entrambi i coni è ...... la proiezione................
del lato obliquo.... sulla base maggiore................. del trapezio
L’apotema di entrambi i coni è ... il lato obliquo...del trapezio
5. L’area della superficie totale di un cubo è 384 cm2. Calcola:
a) il volume del cubo;
b) l’area della superficie totale di un parallelepipedo rettangolo, equivalente al triplo del
cubo e avente l’altezza e una dimensione di base che misurano rispettivamente 12 cm e
16 cm.
[512 cm3; 832 cm2]
6. Un solido è costituito da un prisma esagonale regolare alto 6 cm e
da una piramide esagonale avente la base coincidente con la base
del prisma. Sapendo che il perimetro di base del prisma misura 30
cm e che lo spigolo laterale della piramide misura 13 cm, calcola il
volume del solido.
[649,5cm3]
7. Un solido è costituito da un cilindro equilatero e da una semisfera avente il
cerchio massimo coincidente con una base del cilindro. Sapendo che l’area
della superficie semisferica è di 288 cm2, calcola il volume del solido.
[4608 cm3]
8. Un solido, alto 39 cm, è costituito da due coni aventi le basi in comune.
Sapendo che l’apotema del cono più basso misura 25 cm e che l’altezza del
cono più alto misura 32 cm, calcola il volume e l’area della superficie
totale del solido.
[7488 cm3; 1560 cm2]
LA SUPERFICIE DEI SOLIDI DI ROTAZIONE
Conoscenze
1. Completa.
a. Il cilindro è un ....solido... ottenuto dalla ..... rotazione... completa ...di un rettangolo
attorno a un suo lato.....
b. La retta del lato attorno a cui ruota il rettangolo è detta .... asse di rotazione .....
c. L’altezza di un cilindro è il... lato attorno a cui ruota il rettangolo ......
d. Il lato parallelo all’altezza è la generatrice del cilindro
e. Gli altri due lati del rettangolo sono i raggi dei cerchi che formano le basi del cilindro
f. Un cilindro è equilatero se .. la sua altezza è congruente al diametro di base ............................
2. Completa.
a. La superficie laterale di un cilindro è equivalente a un rettangolo che ha come base la
circonferenza di base e come altezza l’altezza del cilindro.
b. La superficie totale di un cilindro è equivalente alla somma della superficie laterale e della
superficie delle due basi del cilindro.
a. L’area della superficie laterale di un cilindro si calcola utilizzando le seguenti formule:
2 r h
 Sl   r 2 h
 Sl  2 r h
 Sl 
 Sl  C  h
2
b. L’area della superficie totale di un cilindro si calcola utilizzando la seguente formula:
 r2 h
 St  Sl  Ab
 St 
 St  Sl  2  Ab
2
4. Scrivi le formule inverse relative all’area delle superfici di un cilindro.
r = ......... Sl /(2 h)
h = ........... Sl /(2 r)
Ab = ............. (St - Sl ):2
Sl =............ St - 2Ab
5. Completa.
a. Il cono è un .... solido... ottenuto dalla ..... rotazione... completa ...di un triangolo rettangolo
attorno a un suo cateto.....
b. La retta del lato attorno a cui ruota il triangolo è detta .... asse di rotazione .....
c. L’altezza del cono è il... cateto attorno a cui ruota il triangolo ......
d. L’ipotenusa del triangolo rettangolo è la generatrice e si chiama apotema del cono
e. L’altro cateto è il raggio del cerchio che forma la base del cono
6. Completa.
a. La superficie laterale di un cono è equivalente a .un settore circolare.................. il cui arco è
congruente alla ... circonferenza di base.. del cono e il raggio congruente all’apotema
b. La superficie totale di un cono è equivalente alla somma della superficie laterale e della
superficie di base del cono.
a. L’area della superficie laterale di un cono si calcola utilizzando le formule:
 Sl  C  a : 2
 Sl  Ab  h
 Sl   r a
 Sl  C  h : 2
b. L’area della superficie totale di un cono si calcola utilizzando le formule:
 St  Sl  2  Ab
 St  Sl  Ab
 St   Ab  h : 2  S t   r a   r 2
8. Scrivi le formule inverse relative all’area delle superfici di un cono.
r = ......... Sl / a
a = ........... Sl / r
Ab = ........... St - Sl
Sl =............ St – Ac
9. Completa.
a. Un cono è equilatero se .. la sua apotema è congruente al diametro di base ....
In esso la relazione tra apotema e raggio sarà: a = 2r
b. Le formule dirette per determinare la superficie laterale e la superficie totale di un cono
equilatero sono:
Sl = .................. 2  r2
St = .................. 3  r2
10. Completa.
a. La sfera è un ....... solido ..... ottenuto dalla ..... rotazione... completa ...di un semicerchio
attorno al suo diametro.
b. Il raggio e il centro del semicerchio sono il raggio e il centro della sfera.
c. La superficie sferica è l’insieme di tutti i punti dello spazio che hanno la stessa distanza da un
punto interno della sfera, detto centro.
d. La superficie sferica è equivalente alla superficie laterale del cilindro equilatero circoscritto
ad essa.
11. Segna il completamento esatto.
a. L’area della superficie sferica si calcola utilizzando la seguente formula:
 S = 4  r3
 S = 2 r2
 S = 4  r2
c. Il raggio del cerchio massimo della sfera si calcola utilizzando la seguente formula:
S
S
S
 r
 r
 r
2
4

Abilità
1. Disegna il cilindro che si ottiene dalla rotazione completa dei rettangoli assegnati attorno
all’asse di rotazione individuato dalla retta r.
In base al valore dell’unità di misura indicata, calcolane poi l’area della superficie laterale
e totale.
u = 2 cm
u = 4 cm
r
u = 5 cm
r = .......... 8 cm
h = ..........12 cm
Sl = ...................192  cm2
St = ................... 320  cm2
r
r = ..........3 cm h = ..........10
cm
r
2
Sl = .................. 30  cm
St = .................. 78  cm2
2. Completa la seguente tabella riferita al cilindro.
r
6 cm
12 cm
h
9 cm
15 cm
C
12 cm
24 cm
Ab
36 cm2
144 cm2
Sl
108 cm2
360 cm2
St
180 cm2
648 cm2
3. L’area di base di un cilindro equilatero misura 361 cm2. Calcola l’altezza del cilindro e l’area
della sua superficie totale.
[38 cm; 2166cm2]
4. Disegna il cono che si ottiene dalla rotazione completa dei triangoli rettangoli assegnati attorno
all’asse di rotazione individuato dalla retta r:
r
u = 5 cm
r
u = 5 cm
r
5. Calcola l’area della superficie laterale e totale del seguente cono, in base ai dati assegnati.
V
Sl = ?......... 111 cm2
St = ?......... 147  cm2
OB = 6 cm
VO = 17,5 cm
O
B
6. Completa la seguente tabella riferita al cono.
r
5 cm
15 cm
a
13 cm
25 cm
C
10 cm
30 cm
Ab
2 5 cm2
225 cm2
Sl
65 cm2
375 cm2
St
90 cm2
600 cm2
7. Calcola l’area della superficie del solido ottenuto facendo ruotare attorno al suo diametro un
semicerchio limitato da una semicirconferenza lunga 24 cm.
[2304 cm2 ]
8. Calcola l’area della superficie di una sfera avente l’area del suo cerchio massimo di 20,25 cm2.
[81 cm2]
PER IL RECUPERO
1. Scrivi i termini del cilindro indicati da ciascuna freccia.
r
asse di rotazione
rettangolo che .........genera il cilindro
altezza
generatrice
superficie laterale
base
raggio
2. Completa le seguenti formule, dirette e inverse, relative al calcolo della superficie laterale e
totale del cilindro.
Sl = 2 .......rh
St = Sl +2 ......Ab. h = Sl : ..... 2 r
r = Sl : ..... 2 h
(punti ..../4)
3. Scegli il completamento esatto.
a. Se il raggio di base di un cilindro equilatero è lungo 20 cm, la sua altezza è di:
 20 cm
 40 cm
 10 cm
b. Se il raggio di base di un cilindro, alto 8 cm, è di 5 cm, la sua superficie laterale è di:
 40 cm2
 80 cm
 80 cm2
u = 1 cm
c. Se il raggio di base di un cilindro, alto 10 cm, è di 4 cm, la sua superficie totale è di:
r
 120 cm2
 156  cm2
 112  cm2
u = 5 cm
4. Disegna i cilindri che si ottengono facendo ruotare di 360° i rettangoli assegnati attorno all’asse
di rotazione individuato dalla retta r e, per ciascuno di essi, indica il raggio di base e l’altezza.
r
u = 5 cm
u= 1
r
r
5. La circonferenza di base di un cilindro misura 32 cm. Calcola l’area della superficie laterale e
totale del cilindro, sapendo che la sua altezza è i 5/2 del raggio di base.
[1280 cm2; 1792 cm2]
( Conoscendo la misura della circonferenza puoi calcolare il raggio, quindi l’altezza e poi le due superfici.....)
6. Scrivi i termini del cono indicati da ciascuna freccia.
r
asse di rotazione
altezza
apotema
superficie laterale
triangolo rettangolo che ......genera il cono
base
raggio
7. Completa le seguenti formule, dirette e inverse, relative al calcolo della superficie laterale e
totale del cono.
Sl =  r .......a
St = Sl +.....Ab.
a = Sl : .....  r
r = Sl : .....  a
8. Scegli il completamento esatto
a. Se il raggio di base di un cono equilatero è lungo 12 cm, la sua apotema è di:
 24 cm
 12 cm
 6 cm
b. Se il raggio di base di un cono, la cui apotema è lunga 10 cm, è di 6 cm, la sua superficie
laterale è di:
 16 cm2
 30 cm
 60 cm2
c. Se il raggio di base di un cono, lar cui apotema è lunga 13cm , è di
u =51cm,
cm la sua superficie
totale è di:
 65 cm2
 90 cm2
 115 cm2
9. Disegna i coni che si ottengono facendo ruotare di 360° i triangoli rettangoli assegnati attorno
all’asse di rotazione individuato dalla retta r .
u = 5 cm
r
u = 1 cm
r
u = 5 cm
r
10. Calcola l’area della superficie laterale e totale di un cono, sapendo che l’altezza e il raggio di
base misurano rispettivamente 24 cm e 18 cm.
[540 cm2 ; 864 cm2]
(Disegna la figura e poi rifletti: conoscendo la misura dell’altezza e del raggio puoi, con il teorema di ............
calcolare l’apotema..........)
11. Calcola l’area della superficie di una sfera, sapendo che il suo raggio misura 20 cm.
(Ricorda che la formula per il calcolo della superficie totale di una sfera è: St =.....  r2)
[1600 cm2]
PER IL POTENZIAMENTO
1. Rifletti , rispondi e giustifica.
a. Un rettangolo avente il perimetro di 24 cm genera, con una rotazione di 360°, un cilindro
equilatero. Quali saranno le misure del raggio di base e dell’altezza del cilindro?
r =........... 4 cm e h =............. 8 cm ; perché ............................ in un cilindro equilatero
l’altezza è congruente al diametro di base
b. E’ vero che lo sviluppo della superficie laterale di un cono è un triangolo isoscele? .. No ,
perché è un settore circolare
c. E’ vero che la sezione assiale di un cono equilatero è un triangolo equilatero? .. Sì, perchè
in un cono equilatero l’apotema è congruente al diametro di base
2. Vero o falso?
a. Raddoppiando il raggio di un cono, raddoppia anche la sua superficie laterale ...........V
b. La superficie di una sfera è equivalente alla superficie laterale di un cilindro equilatero
inscritto nella sfera ................ F
c. Lo sviluppo piano della superficie di una sfera è un cerchio ........F
d. La sezione assiale di un cilindro equilatero è un quadrato ...........V
3. Completa.
Una sfera e un piano nello spazio possono essere:
 esterni se non hanno ... alcun punto ................... in comune e la distanza del piano dal
centro della sfera è maggiore del raggio: OH ......> r
 tangenti se hanno...... un punto ........................ in comune e la distanza del piano dal
centro della sfera è uguale al raggio: OH ......= r
 secanti se hanno in comune tutti i punti di un cerchio... la distanza del piano dal centro
della sfera è minore del raggio: OH .....< r
4. Segna il completamento esatto.
a. Un qualsiasi piano secante individua nella sfera :
 una circonferenza
 un piano diametrale
 un cerchio
b. Un qualsiasi piano secante individua sulla superficie sferica:
 un piano diametrale
 un cerchio
 una circonferenza
c. Un piano secante che passa per il centro della sfera è detto:
 cerchio
 piano diametrale
 circonferenza
r
5. Completa.
u = 1 cm
a. In ogni sfera, il piano diametrale individua il cerchio massimo e la circonferenza massima,
che hanno lo stesso centro e lo stesso raggio della sfera considerata.
b. Il piano diametrale divide la sfera in ............................ due semisfere
(punti ..../2)
6. Disegna i solidi composti che ottieni facendo ruotare un trapezio rettangolo intorno alla base
minore e intorno alla base maggiore:
r
7. Un solido è costituito da un cilindro equilatero avente il raggio di 20 cm e da
due coni congruenti le cui basi sono coincidenti con quelle del cilindro.
Sapendo che l’altezza complessiva del solido è di 82 cm, calcolane l’area
della superficie totale.
[2760 cm2]
8. In un triangolo rettangolo la somma dei cateti misura 46 cm e la loro differenza 14 cm. Calcola
l’area della superficie del solido che si ottiene facendo ruotare di 360° il triangolo intorno
all’ipotenusa. ( Approssima i calcoli ai centesimi)
[649,52 cm2]
9. Sezionando una sfera con un piano distante 9 cm dal suo centro, si ottiene un cerchio avente
l’area di 144 cm2. Determina la misura dell’area della superficie della sfera.
[900 cm2]
Altri esercizi
SUPERFICIE E VOLUME DEI SOLIDI DI ROTAZIONE
Esercizio 1
Completa la seguente tabella riferita al cilindro
Esercizio 2
Risolvi il seguente problema.
Soluzione:
Esercizio 3
Soluzione:
Esercizio 4
Soluzione:
Esercizio 5
Soluzione:
Esercizio 6
Soluzione:
Esercizio 7
Soluzione:
Esercizio 8
Completa la seguente tabella riferita al cilindro.
Esercizio 9
Completa la seguente tabella riferita alla sfera.
Esercizio 10 Risolvi il seguente problema.
Soluzione:
Esercizio 11
Calcola l’area della superficie laterale, della superficie totale e il volume del cono che si ottiene
facendo ruotare di 360° il triangolo assegnato attorno al cateto maggiore.
Soluzione:
Esercizio 12
Soluzione:
Esercizio 13
Calcola l’area della superficie laterale, della superficie totale e il volume del cono che si ottiene
facendo ruotare di 360° il triangolo assegnato attorno al cateto maggiore.
Soluzione:
Esercizio 14
Soluzione:
Esercizio 15
Soluzione:
SOLIDI SOVRAPPOSTI E CAVI
Esercizio 1
Soluzione:
Esercizio 2
Considera il solido generato dalla rotazione completa del poligono dato attorno alla retta a. Fai
corrispondere ad ogni quadretto 1 cm e calcola l’area della superficie totale e il volume del solido
ottenuto (approssima all’unità ).
Esercizio 3
Soluzione:
Esercizio 4
Soluzione:
Esercizio 5
Soluzione:
Esercizio 6
Soluzione:
Esercizio 7
Soluzione:
Esercizio 8
Soluzione:
Esercizio 9
Esercizio 10
Soluzione:
Esercizio 11
Soluzione:
Esercizio 12
Esercizio 13
Soluzione:
Esercizio 14
Soluzione:
Esercizio 15
Soluzione:
Esercizio 16
Soluzione:
Esercizio 17
Soluzione:
Esercizio 18
Esercizio 19
Soluzione:
Soluzione:
Esercizio 21
Soluzione:
Esercizio 22
Soluzione:
Esercizio 23
Soluzione:
Esercizio 24
Soluzione:
Esercizio 25
Soluzione:
Esercizio 26
Soluzione:
Esercizio 27
Soluzione:
Esercizio 28
Soluzione:
Esercizio 29
corrispondere ad ogni quadretto 1 cm<sup>2</sup> e calcola lâ€™area della superficie totale e il
volume del solido ottenuto (approssima allâ€™unitÃ ).
Esercizio 30
Soluzione:
Esercizio 31
Esercizio 32
Soluzione:
Esercizio 33
Soluzione:
ALTRI SOLIDI DI ROTAZIONE
Esercizio 1
Soluzione:
Esercizio 2
Calcola l’area della superficie e il volume del solido che si ottiene facendo ruotare di 360Â° attorno
alla retta r la figura assegnata.
Soluzione:
3. Ruotare attorno ad r - Trovare superficie totale e volume
Soluzione:
Esercizio 4
Soluzione:
Esercizio 5
Calcola l’area della superficie e il volume del solido che si ottiene facendo ruotare di 360° attorno
Soluzione:
Esercizio 6
Risolvi il seguente problema sui solidi di rotazione in generale.
Soluzione:
Esercizio 7
Calcola l’area della superficie e il volume del solido che si ottiene facendo ruotare di 360° attorno
Soluzione:
Esercizio 8
Risolvi il seguente problema sui solidi di rotazione in generale.
Soluzione:
Esercizio 9
Soluzione:
Esercizio 10
Soluzione:
Soluzione:

Il volume dei sol e i sol di rotazione con sol.

Transcript

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