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Due nuove congetture riguardo ai primi su cui basare quella di Goldbach
e la sua gemella negativa.
1
AUTORE
Nato a Brescia (Italia) nel 1972, Enzo Bonacci si è laureato in ingegneria chimica presso “La Sapienza” di Roma ed
ha poi conseguito le abilitazioni all’insegnamento di “Matematica e Fisica” (Classi di Concorso A049, A047 e A038).
Attualmente vive e lavora a Latina (Italia).
2
INTRODUZIONE
MSC2000:
11A41.
Keywords:
congettura, Goldbach.
Abstract:
Dimostrazione elementare per assurdo della congettura di Goldbach e della sua gemella negativa, che
richiede l’introduzione di due nuove congetture sui primi.
Paper:
depositato come “Bonacci’s proofs of Fermat, Goldbach and Einstein” presso la SIAE.
Copyright:
2005-2010 Enzo Bonacci. Tutti i diritti riservati.
3
DEFINIZIONI
3.1
Sia nN e sia F l’insieme dei suoi fattori primi f: fFf|n.
3.2
Sia P l’insieme di tutti i primi pP: 2<p<n.
4
PROPOSIZIONI
4.1
Se p e n sono coprimi, allora (2n–p), (n–p) e (n+p) sono ciascuno coprimo con p e n.
Dimostrazione. Se qP: n,(2n–p)=0 (modq), allora p=2n–(2n–p)=0 (modq), in contraddizione con l’ipotesi.
Se qP: n,(n–p)=0 (modq), allora p=n–(n–p)=0 (modq), in contraddizione con l’ipotesi.
Se qP: n,(2n+p)=0 (modq), allora p=(2n+p)–2n=0 (modq), in contraddizione con l’ipotesi.
Essendo p primo, l’ipotesi di p e n coprimi equivale a n0 (modp).
Se 2n–p=0 (modp), allora 2n=2n–p+p=0 (modp), in contraddizione con n0 (modp).
Se n–p=0 (modp), allora n=n–p+p=0 (modp), in contraddizione con n0 (modp).
Se n+p=0 (modp), allora n=n+p–p=0 (modp), in contraddizione con n0 (modp).
4.2
Se p e n sono coprimi, allora (2n–p) e (n–p) sono coprimi.
Dim. Se qP: (2n–p),(n–p)=0 (modq), allora n=(2n–p)–(n–p)=0 (modq), in contraddizione con la Prop. 4.1.
4.3
Se p e n sono coprimi e n è pari, allora (n–p) e (n+p) sono coprimi.
Dim. Se qP: (2n–p),(2n+p)=0 (modq), allora 4n=(2n–p)+(2n+p)=0 (modq), in contraddizione con la Prop. 4.1.
4.4
(2n–1), (n–1) e (n+1) sono ciascuno coprimo con n.
Dim. Se qP: n,(2n–1)=0 (modq), allora 1=2n–(2n–1)=0 (modq), da cui q=1.
Se qP: n,(n–1)=0 (modq), allora 1=n–(n–1)=0 (modq), da cui q=1.
Se qP: n,(n+1)=0 (modq), allora 1=(n+1)–n=0 (modq), da cui q=1.
4.5
(2n–1) e (n–1) sono coprimi.
Dim. Se qP: (2n–1),(n–1)=0 (modq), allora n=(2n–p)–(n–p)=0 (modq), in contraddizione con la Prop. 4.4.
4.6
Se n è pari, allora (n+1) e (n–1) sono coprimi.
Dim. Se qP: (n+1),(n–1)=0 (modq), allora 2n=(n–1)+(n+1)=0 (modq) , in contraddizione con la Prop. 4.4.
4.7
Se p,q,rP, p<q: (2n–p)(2n–q)=0 (modr), allora sP, sr: (2n–p)(2n–q)=0 (mods).
Dim. Se!rP: (2n–p),(2n–q)=0 (modr), allora esistono ,N, <: 2n–p=r e 2n–q=r
Siccome r>n e r>2 si ha: r>2n, in contraddizione con 2n–p=r<2n.
4.8
Se 2|n e p,q,rP, pq: (n+p)(n+q)=0 (modr), allora sP, sr: (n+p)(n+q)=0 (mods).
Dim. Se!rP: (n+p),(n+q)=0 (modr), allora esistono ,N, <: n+p=r e n+q=r
Siccome r>n e r>2 si ha: r>2n, in contraddizione con n+q=r<2n.
5
CONGETTURE
5.1
Siano p,q(P-F)1 e r,sP2.
Se (n–p) e (n–q) hanno fattori primi identici, i.e., r|(n–p)r|(n–q),
allora sr: (2n–p)(2n–q)=0 (mods)  (2n–p)(2n–q)0 (mods),
i.e., (2n–p) e (2n–q) differiscono per almeno un fattore primo s>1.
Se, viceversa, r|(2n–p)r|(2n–q), allora sr: (n–p)(n–q)=0 (mods)  (n–p)(n–q)0 (mods).
5.2
Siano p,q(P-F)1 e r,sP e 2|n.
Se (n–p) e (n–q) hanno fattori primi identici, i.e., r|(n–p)r|(n–q),
allora sr: (n+p)(n+q)=0 (mods)  (n+p)(n+q)0 (mods),
i.e., (n+p) e (n+q) differiscono per almeno un fattore primo s>1.
Se, viceversa, r|(n+p)r|(n+q), allora sr: (n–p)(n–q)=0 (mods)  (n–p)(n–q)0 (mods).
6
TEOREMI
6.1
Se P=F, allora (2n–1) è un numero primo.
Dim. Se pP: p|n, allora pP: (2n–1)0 (modp), in base alla Proposizione 4.4.
6.2
Se 2|n e P=F, allora (n+1) è un numero primo.
Dim. Se pP: p|n, allora pP: (n+1)0 (modp), in base alla Proposizione 4.4.
6.3
Se P-F=p, allora (2n–p) è un numero primo.
Dim. Se qP-p: q|n, allora qP-p: (2n–p)0 (modq), in base alla Proposizione 4.1.
Se (2n–p) non è primo, allora (2n–p)=0 (modp), in contraddizione con la Proposizione 4.1.
6.4
Se 2|n e P-F=p, allora (n+p) è un numero primo.
Dim. Se qP-p: q|n, allora qP-p: (n+p)0 (modq), in base alla Proposizione 4.1.
Se (n+p) non è primo, allora (n+p)=0 (modp), in contraddizione con la Proposizione 4.1.
6.5
Se P-F=p1;p2; … ;pk, allora v’è almeno un primo tra: 2n–1, 2n–p1, 2n–p2, … , 2n–pk .
Dim. Consideriamo i seguenti insiemi, ciascuno di k+1 elementi:
I) n–1, n–p1, n–p2, … , n–pk ;
II) 2n–1, 2n–p1, 2n–p2, … , 2n–pk .
Dalle Proposizioni 4.1 e 4.4, ciascun elemento dell’insieme I è divisibile per 2 o per i primi: p1, p2, … , pk .
I diversi fattori primi disponibili per l’insieme I sono k+1, considerando anche il numero 2.
Il possibile “fattore unico” per tutti gli elementi dell’insieme I è soltanto il primo 2.
Pertanto il numero minimo di fattori per l’insieme I è 1, quando è proprio il numero 2.
Dalle Proposizioni 4.1 e 4.4, ciascun elemento dell’insieme II è divisibile solo per i primi: p1, p2, … , pk .
I diversi fattori primi disponibili per l’insieme II sono k, poiché consta di soli dispari.
È impossibile un “fattore unico” dispari per tutti gli elementi dell’insieme II.
Infatti se, per esempio, fosse pk allora si avrebbe: 2n–pk=0 (modpk), in contraddizione con la Proposizione 4.1.
Quindi il numero minimo di fattori per l’insieme II è 3, in base alla Proposizione 4.7.
I fattori disponibili sono complessivamente k+1 (k primi dispari per entrambi gli insiemi, il numero 2 solo per
l’insieme I).
Per definizione, ogni elemento dell’insieme I è divisibile per almeno un fattore primo tra: 2, p1, p2, … , pk .
Dunque i k primi dispari disponibili non sono sufficienti a dividere tutti gli elementi dell’insieme II.
Infatti, nel caso più sfavorevole, se tutti i k+1 elementi dell’insieme I hanno complessivamente k+1 fattori diversi,
allora l’insieme II consta solo di elementi primi, in base alle Proposizioni 4.2 e 4.5.
Invece, nel caso più favorevole, se vi sono k ripetizioni dello stesso fattore primo 2 per l’insieme I, i.e., nessun fattore
dispari per l’insieme I, allora per l’insieme II ci sono k fattori diversi in base alla Congettura 5.1, più un altro richiesto
dalla Proposizione 4.7.
Perciò i fattori necessari all’insieme II sono almeno k+1, uno più dei possibili p1, p2, … , pk .
Tale assenza di fattori comporta la presenza di almeno un numero primo nell’insieme II.
6.6
Se 2|n e P-F=p1;p2; … ;pk, allora v’è almeno un primo tra: n+1, n+p1, n+p2, … , n+pk .
Dim. Analogamente al Teorema 6.5, sostituendo l’insieme II con:
II) n+1, n+p1, n+p2, … , n+pk ;
sostituendo, inoltre, le Proposizioni 4.2, 4.5 e 4.7 rispettivamente con 4.3, 4.6 e 4.8 e la Congettura 5.1 con 5.2.
7
COROLLARI
7.1
nN: pP1 tale che 2n–p è primo, i.e., la congettura di Goldbach è valida.
Dim. In base ai Teoremi 6.1, 6.3 e 6.5.
7.2
nN, 2|n: pP1 tale che n+p è primo, i.e., la congettura gemella di Goldbach è valida.
Dim. In base ai Teoremi 6.2, 6.4 e 6.6.