Geometria 2 Topologia del piano e dello spazio/1 Applicazioni

Geometria 2
Topologia del piano e dello spazio/1
Applicazioni geometriche
geometriche dell’omotopia
dell’omotopia
Applicazioni
Prop
Prop.
Prop S n 5 S m , S n ' S m , n = m con m = 0, 1 (vale 8 m
Dim S 0 non conn. p.a., mentre S n conn. p.a. 8 n
Dim
Dim.
⇡1 (S 1 ) 5 Z, mentre ⇡1 (S n ) 5 0 8 n 2
Teorema
Teorema di
di invarianza
invarianza della
della dimensione
dimensione
Rn 5 Rm , n = m con m = 1, 2 (vale 8 m
Dim h : Rn 5 Rm 3 ⌧ h(0) a h| : Rn
Dim
Dim.
) S n 1 ' S m 1 (S n 1 E Rn
0)
1
1)
{0} 5 Rm
{0} 5 Rm
{0}
{0} @ S m
1
)
Nota
Nota: esiste una nozione di dimensione topologica che associa
ad ogni spazio topologico X un intero dim X 0 tale che:
1) X 5 X 0 ) dim X = dim X 0 (invarianza topologica)
2) dim Rm = m ( = dimensione algebrica di sp. vettoriale)
Teorema di
di non
non retrazione
retrazione
Teorema
@ retraz. cont. di B m su S m 1 con m = 1, 2 (vale 8 m 1)
infatti: 8 f : B m ! S m 1 continua 9 x 2 S m 1 t.c. f (x) = f ( x)
Dim m = 1) 9 f : B 1 ! S 0 cont. ) f (B 1 ) conn. p.a. ) f cost.
Dim
Dim.
m = 2) f : B 2 ! S 1 cont. 3 fe : B 2 ! Se1 5 R soll. cont. di f
3 g : S 1 ! R definita g(x) = fe(x) fe( x)
g( x) = g(x) 8 x 2 S 1 ) 9 x 2 S 1 t.c. g(x) = 0
Teorema del punto fisso di Brouwer
f : B m ! B m cont. con m = 1, 2 (vale 8 m 1)
) 9 x 2 B m tale che f (x) = x (punto fisso)
Dim
Dim f (x) 6= x 8 x 2 B m
Dim.
43 r : B m ! S m 1 retraz. cont.
definita r(x) = sf (x),x \ S m 1
con sf (x),x = semiretta aperta
uscente da f (x) passante per x
rf (x),x
r(x)
Bm
x
f (x)
S m−1
Geometria 2
Topologia del piano e dello spazio/2
Teorema di
di Borsuk
Borsuk -Ulam
-Ulam
Teorema
f : S m ! Rm cont. con m = 1, 2 (vale 8 m
) 9 x 2 S m t.c. f (x) = f ( x)
1)
Dim f (x) 6= f ( x) 8 x 2 S m 3
Dim
Dim.
g : S m ! S m 1 def. g(x) = (f (x) f ( x))/kf (x) f ( x)k
m
g| : S+
5 B m ! S m 1 cont. t.c. g( x) = g(x) 8 x 2 S m 1
Note
Note:
Note 1) Teorema di B.-U. ) S m non si può immergere in Rm
2) interpretazione fisica: in ogni istante ci sono almeno
due punti sulla superficie terrestre con la stessa
temperatura e la stessa pressione
Curve di
di Jordan
Jordan
Curve
def
curva di
di Jordan
Jordan () C 5 S 1
C ⇢ R2 curva
(, 9 h : S 1 ! R2 immersione t.c. h(S 1 ) = C)
C ⊂ R2
S1
h
I(C)
E(C)
Teorema di
di Jordan
Jordan
Teorema
C ⇢ R2 curva di Jordan
=) R2 C ha due componenti connesse (p.a.)
interno
interno
I(C) limitata, sempl. conn. con Fr(I(C)) = C (interno
interno)
esterno
E(C) illimitata con Fr(E(C)) = C (esterno
esterno)
esterno
Teorema
Teorema di
di Schönfließ
Schönfließ
C ⇢ R2 curva di Jordan ) 9 k : R2 ! R2 omeo t.c. k(S 1 ) = C
(8 h : S 1 ! R2 immersione t.c. h(S 1 ) = C 9 k t.c. k|S 1 = h)
Geometria 2
Topologia del piano e dello spazio/3
R2
R2
C
S1
k
Int B 2
I(C)
Note 1) Teorema di Schönfließ ) Teorema di Jordan
Note
Note:
(I(C) = k(Int B 2 ) ed E(C) = k(R2 B 2 ))
2) il teor. di J. vale anche in dim > 2 (per S m 1 ,! Rm )
il teor. di S. non vale neppure in dim 3 (S 2 ,! R3 )
Dimostreremo il teorema di Schönfließ nei casi speciali
C = Fr D con D ch. reg. convesso e C = poligonale chiusa,
useremo poi questo per dimostrare il teorema di Jordan.
Dim (teorema di Schönfließ per C = Fr D, D = ch. reg. convesso)
Dim
Dim.
C compatto ) D compatto, D regolare ) Int D 6= ?
0 2 Int D 3 f : C ! S 1 definita f (x) = x/kxk
continua e biiettiva ) omeomorfismo
3 k : R2 ! R2 omeomorfismo definito
k(x) = kf 1 (x/kxk)k x 8 x 6= 0 e k(0) = 0
x 2 S 1 ) f 1 (x)/kf 1 (x)k = f (f 1 (x)) = x
) k(x) = kf 1 (x)k x = f 1 (x)
) k(S 1 ) = f 1 (S 1 ) = C
C
D
S1
0
k(x)
x
f −1 (x/∥x∥)
x/∥x∥
Geometria 2
Topologia del piano e dello spazio/4
Dim (teorema di Schönfließ per C = poligonale chiusa semplice)
Dim
Dim.
per induzione su n(C) = # Vert C (vertici di C)
n(C) = 3 ) C = Fr T con T triangolo (convesso regolare)
n(C) > 3 ) C convesso regolare o altrimenti 9 p, q 2 Vert C
tali che p 6= q e hp, qi \ C = {p, q}
3 C = A0 [ A00 con A0 e A00 archi tra p e q
3 C 0 = A0 [ hp, qi e C 00 = A00 [ hp, qi
poligonali chiuse semplici tali che
n(C 0 ), n(C 00 ) < n(C) e Cl I(C 0 ) ⇢ Cl I(C 00 )
3 h : R2 ! R2 omeo t.c. h(C) = C 00
A′
A′′
A′′
I(C ′ )
q
p
Prima di dimostrare il teorema di Jordan introduciamo la nozione
di indice di allacciamento e proviamo alcuni risultati preliminari
⇡ : [0, 1] ! S 1 definita ⇡(t) = (cos 2⇡t, sin 2⇡t) 8 t 2 [0, 1]
'n : S 1 ! S 1 definita 'n (z) = z n 8 z 2 S 1 ⇢ R2 5 C
) = [⇡]{0,1} generatore di ⇡1 (S 1 ) e 'n⇤ ( ) = n 8 n 2 Z
Prop f : S 1 ! S 1 continua ) 9! n 2 Z t.c. f ' 'n
Prop
Prop.
Dim
Dim.
Dim unicità: H : 'n ' 'm ) 'n⇤ = ↵⇤H a 'm⇤ = 'm⇤
(↵H 2 ⌦(S 1 , ⇤) ) ↵⇤H coniugio in ⇡1 (S 1 , ⇤) 5 Z)
) n = 'n⇤ ( ) = 'm⇤ ( ) = m ) n = m
esistenza: f ' g : S 1 ! S 1 t.c. g(⇤) = ⇤ = (1, 0)
! = g a ⇡ : [0, 1] ! S 1 3 [!] = n 2 ⇡1 (S 1 , ⇤)
3 H : ! '{0,1} 'n a ⇡ 3 K = H/⇠ : f ' 'n
Geometria 2
Topologia del piano e dello spazio/5
ϕn a π
1
H
0
[0, 1] × [0, 1]
K
S1
0
ω
π × id[0,1]
ϕn
1
S1
f
S 1 × [0, 1]
f : S 1 ! S 1 appl. continua
def
grado di f
d(f ) = n () f ' 'n con n 2 Z T0 0 0 0 0 grado
Note 1) prop. ) d(f ) ben definito e f ' f 0 , d(f ) = d(f 0 )
Note
Note:
2) d(cost.) = 0, d(idS 1 ) = 1, d(◆) = 1
con ◆ : S 1 ! S 1 definita ◆(z) = z = z 1 8 z 2 S 1
3) h : S 1 ! S 1 omeo ) d(h) = ±1 ) h ' idS 1 , ◆
(± a seconda che h conserva/inverte l’orientazione)
4) d(g a f ) = d(g) d(f ) 8 f, g : S 1 ! S 1
orientata ( = con verso di percorrenza)
C ⇢ R2 curva di Jordan orientata
h : S 1 ! C omeo orientato (risp. al verso antiorario su S 1 )
def
x p
2
1
ip C
=
=
d(⌫
a
h)
con
⌫
:
R
{p}
!
S
definita
⌫
(x)
=
p
p
p
HHH
kx pk
H — § T T indice
2
C
indice di
di allacciamento
allacciamento di C rispetto a p 2 R
Note
Note:
Note 1) ip C è ben definito (non dipende da h)
orientazione opposta 3 indice opposto
2) p, p0 2 stessa comp. conn. (p.a.) di R2 C ) ip C = ip0 C
(↵ arco in R2 C 3 H = (⌫↵(t) a h)t : ⌫↵(0) a h ' ⌫↵(1) a h)
3) C ' C 0 (cioè h ' h0 ) in R2 {p} ) ip C = ip C 0
4) C = curva
di Jordan poligonale )
(
0 se p 2 E(C)
ip C =
±1 se p 2 I(C) (± dipende solo dall’orient. di C)
(per induzione su n(C): n(C) = 3 banale,
n(C) > 3 ) ip C = ip0 C 0 con n(C 0 ) < n(C))
Geometria 2
Topologia del piano e dello spazio/6
C
C′
C
p
p′
p′
def
Esa" == tassellazione di R2 con esagoni reg. ch. di diam = " > 0
def
C ⇢ R2 compatto 3 H" C == [ {E 2 Esa" t.c. E \ C 6= ?}
C
Hε C
Esaε
Note 1) C compatto ) H" C intorno compatto di C
Note
Note:
({H" C | " > 0} è una base di intorni di C in R2 )
2) Fr H" C = F0 t F1 t . . . t Fn con Fi curva di Jordan polig.
3) C connesso (p.a.) ) H" C connesso p.a.
) Fi ⇢ I(F0 ) 8 i = 1, . . . , n (con opportuna numeraz.)
H" C = Cl I(F0 ) (I(F1 ) t . . . t I(Fn ))
Lemma C ⇢ R2 curva di Jordan, h : S 1 ! C omeo )
Lemma
Lemma.
8 " > 0 9 C" ⇢ R2 curva di Jordan poligonale con
h" : S 1 ! C" omeo t.c. d(h" (s), h(s))  " 8 s 2 S 1
Dim compattezza ) h unif. cont. (8 " > 0 9 (") > 0 t.c. . . .)
Dim
Dim.
h 1 unif. cont. (8 " > 0 9 0 (") > 0 t.c. . . .)
3 ⌘ = min{"/2, 0 (min{ ("/2), ⇡/2})} > 0
3 C" t.c. C" \ E = ?, {p1 } o hp1 , p2 i 8 E 2 Esa⌘
Geometria 2
Topologia del piano e dello spazio/7
S1
C
h
p2
E
s2
s1
s
p
p′
p1
h−1
d(p1 , p2 )  ⌘  0 ) d(s1 , s2 ) < min{ ("/2), ⇡/2}
) d(s, s2 )  ("/2) ) d(p, p2 )  " ) d(p, p0 )  "/2 + ⌘  "
Lemma
Lemma.
Lemma X sp. top. metrizzabile, C ⇢ X chiuso
1) f : C ! S 1 appl. cont. )
9 fe : U ! S 1 estens. cont. di f con U int. di C in X
2) f, g : X ! S 1 appl. cont., H : fC ' gC )
e : fU ' gU estens. cont. di H con U int. di C in X
9H
Dim
Dim.
Dim 1) S 1 ⇢ R2 3 i a f : C ! R2 con i : S 1 ! R2 inclusione
) 9 g : X ! R2 estens. cont. di f (t. di Tietze)
3 U = g 1 (R2 {0}), fe = r a g : U ! S 1
con r : R2 {0} ! S 1 retrazione
2) C ⇥ [0, 1] [ X ⇥ {0, 1} chiuso in X ⇥ [0, 1]
3 K : V ! S 1 estensione continua di H [ f [ g
e = K|U ⇥[0,1]
9 U int. di C in X t.c. U ⇥ [0, 1] ⇢ V 3 H
1
1
f
H
S
g
0
C
X
1
1)
K
V
0
U
S1
X
Lemma C ⇢ R2 compatto, p, q 2 R2 C
Lemma
Lemma.
⌫p|C ' ⌫q|C , p e q 2 stessa comp. conn. (p.a.) di R2 C
, ip C = iq C nel caso C = curva di Jordan orientata
Geometria 2
Topologia del piano e dello spazio/8
Dim () ↵ : [0, 1] ! R2 C arco t.c. ↵(0) = p e ↵(1) = q
Dim
Dim.
3 H = {⌫↵(t)|C }t2[0,1] : ⌫p|C ' ⌫q|C
)) ⌫p|C ' ⌫q|C ) 9 " > 0 t.c. ⌫p|H" C ' ⌫q|H" C
Fr H" C = ti Fi ) ⌫p|Fi ' ⌫q|Fi ) ip Fi = iq Fi per ogni i
) p e q 2 stessa comp. conn. (p.a.) di R2 H" C
C curva di Jordan orientata, h : S 1 ! C omeo orientato
ip C = iq C , d(⌫p a h) = d(⌫q a h) , ⌫p a h ' ⌫q a h , ⌫p|C ' ⌫q|C
Dim (teorema di Jordan)
Dim
Dim.
1) R2 C ha una sola comp. illimitata E(C)
inoltre: p 2 E(C) , ip C = 0
(C compatto ) C ⇢ B(0, r) con r > 0 )
E(C) = unica comp. di R2 C contenente R2 B(0, r)
p 2 R2 B(0, r) ) ⌫p (C) S 1 ) ⌫p|C ' cost. ) ip (C) = 0)
2) R2 C ha almeno una comp. limitata I(C)
(h : S 1 ! C omeo 3 f = h 1 : C ! S 1 omeo
3 fe : H" C ! S 1 estensione continua di f
Fr H" C = F0 t F1 t . . . t Fn con Fi ⇢ I(F0 ) 8 i > 0
R2 C conn. (p.a.) ) 9 polig. in R2 C tra F0 e Fi
3 D ⇢ H" C intorno compatto di C
t.c. Fr D = curva di Jordan poligonale
F0
D
Fi
) D 5 B 2 (t. di Schönflies per le poligonali)
) fe|D ' cost. ) f ' cost. 3 assurdo)
Geometria 2
Topologia del piano e dello spazio/9
3) I(C) è l’unica comp. limitata di R2 C
inoltre p 2 I(C) , ip C = ±1 (± dipende dall’orient.)
(8 p, q 2 R2 C 9 C" polig. t.c. C" ' C in R2 {p, q}
) ip C" = ip C e iq C" = iq C ) ip C = iq C se ip C, iq C 6= 0)
4) Fr I(C) = Fr E(C) = C
(I(C), E(C) aperti ) Fr I(C), Fr E(C) ⇢ C
x 2 C, " > 0 3 V ⇢ C \ B(x, ") t.c. K = C V 5 [0, 1]
) R2 K connesso (⌫p|K ' cost. 8 p 2 R2 K)
) Cl I(C) \ V, Cl E(C) \ V 6= ? ) x 2 Fr I(C), Fr E(C))
V
B(x, ε)
x
q
p
C
5) I(C) semplicemente connesso
(! 2 ⌦(I(C), ⇤) 3 H" (!([0, 1])) ⇢ I(C)
Fr H" (!([0, 1])) = F0 t F1 . . . t Fn con Fi ⇢ I(F0 ) 8 i
) !([0, 1]) ⇢ I(F0 ) ⇢ I(C) ) ! '{0,1} ⇤ (I(F0 ) 5 R2 ))
Teorema
Teorema di
di invarianza
invarianza del
del dominio
dominio
f : U ! V cont. biiettiva con U, V ⇢ Rm , m = 1, 2 (vale 8 m 1)
U aperto in Rm ) V aperto in Rm (in tal caso f omeo)
(U, V ⇢ Rm con U 5 V ) [U aperto in Rm , V aperto in Rm ])
Dim
Dim.
Dim m = 1) f (intervallo aperto) = intervallo aperto
m = 2) x 2 U aperto in R2 3 " > 0 t.c. Cl B(x, ") ⇢ U
Cl B(x, ") compatto ) f| Cl B(x,") immersione
) C = f (Fr B(x, ")) curva di Jordan
R2 C = f (B(x, ")) t (R2 f (Cl B(x, "))
con B(x, ") e (R2 f (Cl B(x, ")) connessi
) f (B(x, ")) = I(C) int. ap. di f (x) in R2
Geometria 2
Topologia del piano e dello spazio/10
Nodi nello
nello spazio
spazio
Nodi
def
C ⇢ R3 nodo
nodo () C 5 S 1
(, 9 h : S 1 ! R3 immersione t.c. h(S 1 ) = C)
Esempi
Esempi:
Esempi
1) nodo banale
(S 1 ⇢ R2 ⇢ R3 )
2) nodo trifoglio
(nodo “piano” chiuso)
S
HHH
<<
H — § T T diagrammi
<
≥
0
0
Ä
diagrammi
T
<
C, C 0 ⇢ R3 nodi equivalenti
equivalenti (C 5 C 0 )
def
() 9 h : R3 ! R3 omeo t.c. h(C) = C 0
Nota In R3 esistono nodi non banali (per esempio T ), mentre
Nota
Nota:
ogni “nodo” in Rm con m 6= 3 è banale, cioè equivalente
a S 1 ⇢ Rm (per m = 2, ciò segue dal teorema di Schönflies)
T
S
5
5
(in R4 )
(in R3 )
Geometria 2
Topologia del piano e dello spazio/11
def
C ⇢ R3 nodo 43 Gr(C)
== ⇡1 (R3 C)
HHH
H — § T T gruppo
gruppo del
del nodo
nodo C
Nota
Nota:
Nota C, C 0 ⇢ R3 nodi, C 5 C 0 :) Gr(C) 5 Gr(C 0 )
Prop
Prop.
Prop C ⇢ R3 nodo, D diagramma orientato di C
) Gr(C) 5 hg1 , . . . , gn | r1 , . . . , rn i (presentaz.
presentaz.
Wirtinger)
presentaz. di
di Wirtinger
Wirtinger
con un generatore gi per ogni “componente” Ci di D
1 ⌥1
e una relazione ri = gi gj±1 gi+1
gj per ogni “incrocio”
Ci−1
Ci+1
gi
Ci
Ck
Cj
Ci+1
Ci
Cj
Dim applicazione del teorema di Seifert -Van Kampen
Dim
Dim.
Esempi
Esempi:
Esempi 1) Gr(S) 5
2) Gr(T ) 5
5
5
Z
ha, b, c | acb 1 c 1 , bac 1 a 1 , cba 1 b 1 i
ha, b | abab 1 a 1 b 1 , baba 1 b 1 a 1 i
ha, b | abab 1 a 1 b 1 i
a
c
b
Note
Note:
Note 1) Gr(T ) non abeliano ) T non banale
(9 ' : Gr(T ) ! S3 omom. t.c. '(a) = (1 2) e '(b) = (2 3))
2) Ab(Gr(C)) = H1 (R3 C) 5 Z per ogni nodo C ⇢ R3
1
(abelianizzando: ri 3 gi gi+1
(cioè gi ⇠ gi+1 ) per ogni i)
In questo caso tutte le informazioni contenute in
⇡1 (R3 C) si perdono passando ad H1 (R3 C)