Deformazioni flessionali delle travi

PROGETTO DI STRUTTURE
con le nuove
NORME TECNICHE PER LE COSTRUZIONI
Cte – Collegio dei Tecnici della Industrializzazione Edilizia
POLITECNICO DI BARI
Ordine degli Ingegneri di Foggia
Foggia, 30 maggio 2008
LA FLESSIONE DELLE TRAVI
Deformazioni flessionali delle travi
Prof. Ing. Vincenzo Dipaola
1. INTRODUZIONE
La valutazione corretta dello stato di deformazione di una struttura sottoposta ad una
combinazione di carichi di esercizio è di fondamentale importanza per controllare sia la
sua funzionalità che il suo aspetto estetico. Non è comunque da trascurare anche l’aspetto
statico in quanto eccessive deformazioni in esercizio, ossia in campo elastico, influiscono
sulle deformazioni a tempo infinito per effetto della viscosità del calcestruzzo e
conseguentemente ciò potrebbe comportare un peso rilevante degli effetti geometrici del
secondo ordine nell’analisi strutturale.
Sono principalmente le esigenze di carattere statico-funzionale quelle che impongono
limitazioni alle deformazioni e queste, a loro volta, dipendono dalla destinazione d’uso.
Non sempre è agevole fissare valori ammissibili delle frecce e spesso le Normative si
limitano a dare solo indicazioni orientative sulle deformazioni prodotte da particolari
combinazioni di carico in esercizio.
Le NTC del 14/01/2008 al punto 4.1.2.2.2 riportano quanto segue:
“Per quanto riguarda i limiti di deformabilità, essi devono essere congruenti con le
prestazioni richieste alla struttura anche in relazione alla destinazione d’uso, con
riferimento alle esigenze statiche, funzionali ed estetiche.
Per quanto riguarda i valori limite, essi dovranno essere commisurati a specifiche
esigenze e potranno essere dedotti da documentazione tecnica di comprovata validità.”
Quest’ultimo capoverso rinvia chiaramente all’EC2 (UNI EN 1992-1-1 Nov. 2005) le cui
prescrizioni sono state completamente recepite dalle recenti Istruzioni per l’applicazione
delle NTC nazionali, tuttora a livello di bozza, del 07/03/2008.
Per quanto riguarda la salvaguardia dell’aspetto e la funzionalità dell’opera, viene
prescritto che le frecce a lungo termine di travi e solai, calcolate sotto la combinazione di
carico quasi permanente dei carichi, non dovrebbero superare il limite di 1/250 della luce.
Per quanto riguarda l’integrità delle pareti divisorie e di tamponamento portate, le frecce
delle travi e solai, calcolate sotto la combinazione quasi permanente dei carichi, non
dovrebbero superare il limite di 1/500 della luce. In tale verifica la freccia totale può
essere depurata della parte presente prima dell’esecuzione delle pareti. Detto valore si
riferisce al caso di pareti divisorie in muratura. Per altri tipi di pareti si dovranno valutare
specificatamente i limiti di inflessione ammissibili.
Le difficoltà nella valutazione corretta della freccia effettiva sono dovute principalmente
alla non linearità della funzione carico-spostamento, la quale, a sua volta, deriva dalla non
linearità dei legami costitutivi dei materiali e dal fenomeno della fessurazione.
2
Una valutazione non corretta del quadro fessurativo della struttura si ripercuote non
solo sui valori dell’ampiezza e del passo delle fessure, ma soprattutto sulla valutazione
della effettiva distribuzione delle rigidezze degli elementi strutturali.
Queste incertezze nelle strutture iperstatiche possono essere causa di ulteriori
imprecisioni in quanto modificano la ridistribuzione delle azioni interne, condizionata, come
ben noto, dall’effettiva distribuzione delle rigidezze.
Alle deformazioni iniziali, inoltre, si sommano quelle da ritiro del conglomerato e, se la
combinazione di carico permane nel tempo, quelle dovute alle deformazioni differite per
effetti viscosi.
2. CASI IN CUI PUO’ ESSERE OMESSO IL CALCOLO DELLE DEFORMAZIONI
Nei casi ordinari il calcolo esplicito delle inflessioni può essere omesso per gli elementi
semplicemente inflessi se sono rispettate opportune limitazioni del rapporto di snellezza
λ = L h tra la luce dell’elemento e l’altezza della sezione trasversale dello stesso:
λ=
⎡
0.0015 ⋅ fck ⎤ 500 A s,eff .
L
≤ K ⎢11 +
⋅
h
ρ + ρ' ⎥⎦ f yk A s,calc.
⎣
con:
- fck
resistenza caratteristica a compressione del calcestruzzo (in MPa)
- fyk
resistenza caratteristica di snervamento dell’armatura (in MPa)
- ρ
rapporto geometrico dell’armatura tesa
- ρ'
rapporto geometrico dell’armatura compressa
- As,eff.
armatura tesa effettivamente presente nella sezione più sollecitata
- As,calc. armatura tesa di calcolo nella sezione più sollecitata
- K
coefficiente correttivo dipendente dallo schema strutturale
Nei casi più comuni [fck=30 MPa; 500 As,eff./(fyk As,calc.)=1; ρ = 1.5% per cls molto
sollecitato; ρ = 0.5% per cls poco sollecitato] la seguente Tabella I fornisce i valori di K e
delle snellezze limite ottenuti dalla precedente relazione.
I valori delle snellezze limite riportati in Tabella devono essere ridotti tramite i fattori ψ
relativi ai seguenti casi particolari:
•
ψ = 0. 8
per sezioni a T aventi larghezza dell’ala maggiore di 3 volte lo spessore
dell’anima
•
ψ = 7 L eff
per travi e piastre nervate di luce superiore a 7 m, caricate da tramezzi
che possono subire danni a causa di inflessioni eccessive
3
•
ψ = 8.5 L eff
per piastre non nervate la cui luce maggiore ecceda 8.5 m, caricata da
tramezzi che possono subire danni a causa di inflessioni eccessive
essendo L eff = L n + a1 + a 2 la luce efficace della trave o della piastra (Fig. 1).
Cls molto
Cls poco
sollecitato
sollecitato
ρ =1.5%
ρ =0.5%
1.0
14
20
1.3
18
26
1.5
20
30
Piastre non nervate sostenute da pilastri (snellezza relativa alla luce 1.2
17
24
6
8
Sistema strutturale
K
Travi semplicemente appoggiate, piastre incernierate mono o
bidirezionali
Campate terminali di travi continue o piastre continue mono o
bidirezionali continue sul lato maggiore
Campate intermedie di travi o piastre mono o bidirezionali
maggiore)
Mensole
0.4
h
h
a)
ai =min(h/2; t/2)
t
b)
Ln
Leff
ai =min(h/2; t/2)
d)
e)
c)
Ln
L eff
t
ai =min(h/2; t/2)
Ln
L eff
t
1
Luce efficace per diverse
condizioni di appoggio
1
a)
b)
c)
h
Linea di mezzeria
Appoggi di estremità
Appoggi intermedi di elementi continui
Vincolo di appoggio considerato
di incastro perfetto
Vincolo di appoggio con apparecchio
interposto
Mensola
h
h
d)
ai
t
e)
Ln
L eff
ai =min(h/2; t/2)
t
Ln
L eff
Fig. 1
4
3. IL CALCOLO DELLA DEFORMATA DI ELEMENTI INFLESSI
Nelle ipotesi di comportamento lineare dei materiali e di conservazione delle sezioni
piane (valide almeno in condizioni di esercizio) il calcolo degli spostamenti delle strutture
inflesse in c.a. si può effettuare per integrazione del diagramma delle curvature,
utilizzando il legame lineare:
M = Ec ⋅ J ⋅ χ .
Il fenomeno fessurativo però provoca una variabilità dell’inerzia flessionale della
sezione trasversale. Quando la sollecitazione flessionale si mantiene al di sotto del
momento di prima fessurazione Mcr, la curvatura è data da χ =
M
, con JΙ che
E c JΙ
rappresenta l’inerzia nello Stadio I (sezione tutta reagente – Fig. 2a).
Superato il momento di prima fessurazione la curvatura continua a crescere con la
sollecitazione, ancora con una legge lineare governata però dall’inerzia dello Stadio II
(nella ipotesi cioè di conglomerato non reagente a trazione – Fig. 2b), ossia χ =
JI
n
M
.
E c JΙΙ
J II
n
n
n
a)
b)
Fig. 2
Nella Fig. 3 è sintetizzato il comportamento di una sezione in c.a. mediante un
diagramma schematico M − χ .
La discontinuità delle curvature al livello di Mcr può giustificarsi solo ipotizzando un
passaggio istantaneo degli sforzi di trazione dal conglomerato teso all’armatura, con un
conseguente brusco aumento della curvatura, e può ritenersi valido solo in corrispondenza
di quelle sezioni in cui si formano le fessure (sezioni parzializzate).
Se il diagramma schematico di Fig. 3 viene generalizzato ad un intero elemento (Fig. 4),
esso tende evidentemente a sottovalutare la rigidezza dell’elemento stesso perché
trascura l’effetto irrigidente del calcestruzzo teso fra due fessure consecutive (tension
stiffening).
5
n
RA
Momemto
JI
n
Se
zio
ne
INT
EG
Ec J I
1
z
Se
i on
eF
A
AT
UR
S
ES
n
J II
n
Ec J II
M cr
1
Curvatura
cr
Sez. A
n
Rmax
R min
Fig. 3
Sez. B
n
ctu
M
M
As
s As
n
n
( s-
As
J min
Jmax
Sez. A
<
s )A s
ctu
Sez. B
Fig. 4
La situazione effettiva,
schematizzata in Fig. 4, mostra che, pur nella ipotesi di
momento costante, la curvatura varia lungo l’elemento a causa della fluttuazione della
profondità dell’asse neutro fra un valore minimo assai prossimo a quello convenzionale del
II Stadio ed un valore massimo in corrispondenza della sezione intermedia fra due
fessure consecutive.
La variabilità di rigidezza flessionale nel tronco di trave compreso fra due fessure
consecutive, impone l’introduzione di valori medi della curvatura che, ai fini del calcolo
delle inflessioni, consentano di continuare ad operare conservando le ipotesi di base di
conglomerato non reagente a trazione e di conservazione delle sezioni piane:
- χmax =
- χmin =
1
Rmin
1
Rmax
=
M
E c Jmin
curvatura nella sezione A fessurata
=
M
E c Jmax
curvatura nella sezione B integra
- χmin ≤ χm ≤ χmax
curvatura media del concio.
6
Un tipico diagramma M − χm è indicato in Fig. 5; per valori del momento superiori ad Mcr
Momemto
tale diagramma si colloca in una situazione intermedia tra lo Stadio I e lo Stadio II.
JI
n
n
E c JI
n
1
1
Mo
J II
n
E c JII
Mcr
o
cr
o
"o
Curvatura
Fig. 5
In corrispondenza di un prefissato valore Mo del momento flettente, la differenza ∆χ o
fra il valore della curvatura media e quello relativo allo Stadio II, rappresenta l’effetto
irrigidente dovuto al calcestruzzo integro soggetto a trazione, compreso fra due fessure
consecutive. Tale effetto si traduce in una riduzione della deformazione media che si
avrebbe nell’armatura tesa (nella ipotesi di cls non reagente a trazione) a causa
dell’azione di aderenza che trasferisce parte dello sforzo dall’armatura al calcestruzzo
circostante.
3.1 Momento di prima fessurazione
Da quanto esposto si evince chiaramente che, per il calcolo della deformazione di
elementi strutturali inflessi, è fondamentale la corretta valutazione del momento di prima
fessurazione Mcr.
Per valutare lo stato di deformazione, può risultare inadeguata, per il conglomerato
teso, l’ipotesi di comportamento elasto-fragile che, pur se applicabile nel calcolo
dell’apertura
delle
fessure
perché
a
vantaggio
di
sicurezza,
non
rappresenta
esaurientemente la realtà fisica del fenomeno fessurativo. La formazione della prima
fessura, infatti, si ha quando viene raggiunta la deformazione ultima ε ctu nel cls in
presenza di armatura, e non quando lo sforzo nel conglomerato raggiunge la sua
resistenza a trazione. In presenza di barre di armatura disposte lungo le isostatiche di
7
trazione, il calcestruzzo teso evidenzia una sorta di plasticità espressa sotto forma di
allungamenti
apparenti
non
trascurabili
dovuti
a
microfessurazione
diffusa
del
conglomerato intorno all’armatura.
Diverse sono le formule di tipo empirico che esprimono la ε ctu , che dipende sia
dall’allungamento ultimo del conglomerato non armato ε octu (generalmente intorno allo
0.015%) che dai seguenti fattori:
• percentuale e distribuzione dell’armatura disposta in zona tesa
• diametro delle barre e natura della loro superficie
• forma della sezione.
Il modello proposto da Guyon esprime la deformazione ultima a trazione tramite la
seguente relazione:
[
ε ctu = 0.0001 2.5 − (100 ρ − 1)
2
]
dove ρ = A s A c è la quantità di armatura tesa rispetto alla sezione complessiva di
calcestruzzo (da assumersi pari all’1% per ρ > 1% ).
In Fig. 6 viene indicata la distribuzione delle tensioni nel conglomerato, ipotizzate di tipo
lineare in compressione e schematizzate in zona tesa con uno stress-block rettangolare
esteso ad un’altezza pari a
2
(h − x Ι ) , con valore di trazione fct.
3
'c
d'
A's
n
's
xI
n
c'
x I -d'
F's
C'
d
h
2x
3 I
2 (h-x )
I
3
d-x I
C
As
Fs
s
d'
ctu
b
f ct
Fig. 6
Il valore della resistenza fct dipende dalle ipotesi fatte sul legame costitutivo a trazione
del conglomerato, fortemente condizionato dal tipo di confezionamento e di stagionatura,
8
dal tempo trascorso prima dell’impiego, dal ritiro, dalle autotensioni e dai disturbi locali
indotti dalle armature trasversali.
Queste considerazioni inducono spesso ad applicare nel calcolo, in assenza di dati
sperimentali, adeguate riduzioni forfettarie al valore di riferimento espresso dalla
resistenza media a trazione
fctm=0.3·(fck)2/3
che rappresenta la sola caratteristica intrinseca del materiale. Un valore adeguato della
resistenza a trazione risulta essere:
fct=0.6·fctm .
Con riferimento alla Fig. 6, con semplici considerazioni di similitudine tra triangoli, è
possibile esprimere le deformazioni nel cls e nelle armature in funzione della posizione xI
dell’asse neutro e quindi le tensioni ad esse relative in fase elastica non fessurata:
ε'c =
xΙ
ε ctu
h − xΙ
σ'c = Ec ⋅ ε'c = Ec
xΙ
ε ctu
h − xΙ
ε' s =
x Ι − d'
ε ctu
h − xΙ
σ's = E s ⋅ ε's = E s
x Ι − d'
ε ctu
h − xΙ
εs =
d − xΙ
ε ctu
h − xΙ
σs = Es ⋅ ε s = Es
d − xΙ
ε ctu
h − xΙ
Dalle tensioni si risale successivamente alle risultanti degli sforzi nel conglomerato e
nelle armature:
C' =
1
1
xΙ
bx Ι σ'c = bE c
ε ctu
2
2
h − xΙ
C=
2
b(h − x Ι )fct
3
a
a
2
x Ι dall' a.n.
3
2
(h − x Ι ) dall' a.n.
3
F's = σ's ⋅A ' s = E s A 's
x Ι − d'
ε ctu
h − xΙ
a (x Ι − d') dall' a.n.
Fs = σ s ⋅ A s = E s A s
d − xΙ
ε ctu
h − xΙ
a (d − x Ι ) dall' a.n.
Infine, l’equazione di equilibrio alla traslazione lungo l’asse della trave consente di
determinare la posizione xI dell’asse neutro:
N=0
⇒
C' + F's = C + Fs
⇒
xΙ
mentre l’equazione di equilibrio alla rotazione intorno all’asse neutro fornisce il momento di
prima fessurazione:
2
2
Mcr = C'⋅ x Ι + C ⋅ (h − x Ι ) + F's ⋅(x Ι − d') + Fs ⋅ (d − x Ι )
3
3
9
4. PROCEDURE PER IL CALCOLO DELLE DEFORMAZIONI
Un procedimento generale di risoluzione del problema del calcolo della deformata di
elementi inflessi in c.a. è schematizzato nel diagramma di flusso di Fig. 7.
Suddivisione della struttura in
CONCI
Analisi Lineare
FASE
Calcolo:
- SOLLECITAZIONI
- CURVATURE
- DEFORMAZIONI
Ci sono
conci
fessurati?
(Mi >Mcr)
Analisi Lineare
FASE
Mi
f
i
i
f i* = f i
Variazioni Rigidezze
Nuovi conci fessurati
SI
Calcolo:
- SOLLECITAZIONI
- CURVATURE
- DEFORMAZIONI
NO
SI
FINE
f i = f i*
Mi
f
i
i
NO
Fig. 7
Tale procedura consiste nel determinare dapprima le sollecitazioni prodotte nelle
singole sezioni in FASE I (prescindendo cioè dalla fessurazione); successivamente, sulla
base di tali sollecitazioni, si valutano le curvature χ(z ) in Fase I per i tronchi non fessurati
ed in Fase II per quelli che risultano fessurati, ossia con M(z)>Mcr. Con le nuove rigidezze
si valutano di nuovo le sollecitazioni sulla struttura.
Il calcolo viene reiterato fino a che la rigidezza flessionale della struttura valutata con
due iterazioni successive non subisce variazioni apprezzabili.
La procedura appena descritta è necessaria nel caso di strutture iperstatiche poiché,
per esse, la rigidezza degli elementi dipende dalla distribuzione delle sollecitazioni
flessionali che non sono note a priori. Nelle strutture iperstatiche, inoltre, al crescere del
carico, si sviluppa una ridistribuzione degli sforzi dovuta alla diminuzione di rigidezza dei
conci che progressivamente si sono fessurati.
Per l’applicabilità della procedura è necessario preliminarmente definire un’adeguata
legge M- χ m (momento-curvatura media) che caratterizzi correttamente il comportamento
deformativo del singolo concio dopo la prima fessurazione.
Le Istruzioni per l’applicazione delle NTC 2008 (bozza del 7 marzo 2008), in accordo
con l’EC2, forniscono la seguente espressione della curvatura media:
10
χm = (1 − ζ ) χ Ι + ζχ ΙΙ
dove:
• χΙ
è la curvatura in fase integra
• χ ΙΙ
è la curvatura in fase fessurata
• ζ
è un parametro rappresentativo del “tension stiffening”
ζ = 1 − β(σ s,cr σ sd ) = 1 − β(Mcr M d )
2
2
in cui β è un coefficiente che tiene conto dell’influenza della durata del carico o
dei carichi ripetuti sulla deformazione media:
β =1
per carichi di breve durata
β = 0.5 per carichi di lunga durata o ciclici.
5. METODO SEMPLIFICATO PER IL CALCOLO DELLE DEFORMAZIONI
Le Istruzioni alle NTC 2008 e l’EC2 (UNI EN 1992-1-1) ammettono l’utilizzo di
procedure più semplici, in sostituzione del metodo appena descritto che richiede
l’integrazione del diagramma delle curvature medie lungo l’elemento strutturale, per il
calcolo delle deformazioni.
Indicata con fI la freccia della sezione in oggetto con l’elemento strutturale integro
(n=Es/Ec e ν =Ect/Ec) e con fII la freccia nella stessa sezione nelle condizioni di elemento
tutto fessurato (n=Es/Ec e ν =0), la freccia finale è assunta pari a:
f = (1 − ζ ) fΙ + ζfΙΙ
L’applicazione del metodo semplificato richiede pertanto la conoscenza delle seguenti
grandezza:
- JI
momenti d’inerzia in Fase I
- JII
momenti d’inerzia in Fase II
- Mcr
momento di prima fessurazione
- β
coefficiente che tiene conto della durata del carico
6. EFFETI DIFFERITI NELLA DEFORMAZIONE DEGLI ELEMENTI INFLESSI
La viscosità del calcestruzzo, come è noto, incrementa nel tempo in maniera
significativa le deformazioni elastiche iniziali prodotte dai carichi permanenti, in funzione di
11
temperatura e umidità di stagionatura, età del conglomerato all’atto della messa in carico,
superficie dell’elemento esposta all’atmosfera.
Un’analisi rigorosa del fenomeno richiede l’impiego di procedure al passo che
analizzino l’evolversi dello stato fessurativo cui consegue, in genere nelle strutture
iperstatiche, una ridistribuzione delle sollecitazioni flessionali.
Nell’ambito del comportamento viscoso lineare del calcestruzzo, con buona
approssimazione è possibile continuare ad operare con i criteri esposti al punto
precedente introducendo, al posto del modulo effettivo Ec del calcestruzzo, il modulo
elastico efficace Ec,eff fornito dalla seguente espressione:
Ec
1 + ϕ(∞, t o )
Ec,eff =
dove
ϕ(∞ ; t o )
è il coefficiente di viscosità a tempo infinito, funzione di:
•
to
tempo di messa in carico
•
UR
umidità atmosferica relativa
•
ho=2Ac/u dimensione fittizia (in mm)
•
Ac
area della sezione di calcestruzzo
•
u
perimetro della sezione di cls esposta all’aria
i cui valori sono riportati nella seguente Tabella.
to
ho<75 mm
ho=150
ho=300
ho≥600
UR75%
UR55%
UR75%
UR55%
UR75%
UR55%
UR75%
UR55%
3 giorni
3.5
4.5
3.2
4.0
3.0
3.6
2.8
3.3
7 giorni
2.9
3.7
2.7
3.3
2.5
3.0
2.3
2.8
15 giorni
2.6
3.3
2.4
3.0
2.2
2.7
2.1
2.5
30 giorni
2.3
2.9
2.1
2.6
1.9
2.3
1.8
2.2
≥60 giorni
2.0
2.5
1.8
2.3
1.7
2.1
1.6
1.9
In questo caso, nella valutazione del coefficiente ζ di “tension stiffening” va assunto
β =0.5 trattandosi di carichi prolungati.
Le frecce elastiche fI e fII vanno calcolate con il modulo efficace Ec,eff del calcestruzzo.
12