Canale Multipath

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Canale Multipath

Parte IV – G. Reali: Il canale radiomobile
4
Il Canale Radiomobile
4.1 INTRODUZIONE
L’evoluzione fondamentale nella filisofia di progetto delle reti di comunicazione indoor è
il passaggio dalla modalità di trasmissione via cavo a quella radio. Nell’inquadrare tale scelta,
occorre fare alcune considerazioni. La propagazione radio presenta alcuni vantaggi che si
riconducono a un più alto grado di flessibilità per il sistema. In particolare, l’ampliamento o la
modifica della rete già esistente non implicherebbe il posizionamento di cavi e, quindi, il
vincolo di strutture fisse. Inoltre l’utente, avendo a disposizione unità portatili di piccolo peso,
vedrebbe la propria operatività non più legata ad un particolare sito. Di contro, la funzionalità
della rete, in termini di probabilità di errore e throughput potrebbe essere compromessa dalla
trasmissione radio del segnale che, come è ben noto, è affetta da una serie di problematiche che
la rendono meno affidabile di quella via cavo. Di conseguenza, risulta chiaro quanto sia
importante acquisire una conoscenza adeguata del comportamento spazio temporale del canale
radio indoor.
Tipicamente, Il segnale trasmesso, a causa delle strutture presenti nell'ambiente, è
soggetto a fenomeni di riflessione, rifrazione e scattering. Esso, quindi, raggiunge il ricevitore
per mezzo di percorsi multipli (multipath). Ogni percorso, essendo caratterizzato da una storia
diversa dipendente dal tipo d’ambiente considerato, è affetto da un valore aleatorio di
attenuazione e rotazione di fase. La combilazione di tutti i parcorsi produce, al ricevitore, una
versione distorta del segnale trasmesso. A questa si sommano altri effetti indesiderati: il rumore
termico dei dispositivi, l’interferenza estrerna dovuta a dispositivi che emettono energia a radio
frequenza nella stessa banda e l’interferenza interna, dovuta agli altri utenti che accedono allo
Cap. 4 - Il canale radio indoor
50
stesso sistema di comunicazione. Tutti questi fenomini sono modellabili in termini statistici.
Nel seguito del capitolo sarà affrontata la descrizione del canale dal punto di vista della
propagazione multipla.
4.2 IL FENOMENO DELLA PROPAGAZIONE MULTIPLA
La progettazione dei sistemi di comunicazione radio all’interno di edifici richiede una
conoscenza accurata del fenomeno di propagazione multipath. Questo, infatti, determina una
variabilità della risposta all’impulso del canale dipendente sia dal tempo sia dalle successive
posizioni spaziali assunte dal ricevitore durante la comunicazione.
A causa del multipath, più repliche del segnale trasmesso giungono contemporaneamente
al ricevitore. Il numero di queste, il ritardo relativo, la loro attenuazione e il loro sfasamento
possono variare in maniera aleatoria. La Fig. 4.1 rappresenta una situazoine schematica e
semplificata del fenomeno.
t = t1 + τ
t = t1
t = t0
11
t = t1 + τ
t
12
(a )
t = t0 + α
t = t2 t = t2 + τ
21
t = t2 + τ
22
t = t2 + τ
23
t
(b )
t = t0 + β
t = t3
t = t3 + τ
31
t = t3 + τ
t
32
(c )
t = t0 + γ
t = t4
t = t4 + τ
41
t = t4 + τ
42
t
(d )
Fig. 4.1- Rappresentazione schematica della risposta di un canale radio indoor tempo variante ad un
impulso trasmesso in tempi diversi.
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Ogni percorso contribuisce alla costruzione del segnale ricevuto con un termine
d’ampiezza e di fase, legati rispettivamente all’attenuazione e alla lunghezza di cammino del
singolo raggio.
La presenza o meno del raggio diretto permette di distinguere fra propagazione in
visibilità ottica, LOS (Line Of Sight), e propagazioni in assenza di visibilità ottica, NLOS (No
Line Of Sight). Nel primo caso si verifica la condizione di visibilità ottica tra trasmettitore e
ricevitore che comporta una componente diretta del segnale; nel secondo, invece, tutti i
contributi che giungono al ricevitore derivano esclusivamente da fenomeni di riflessione,
rifrazione e scattering.
Le caratteristiche delle diverse componenti multipath variano in maniera casuale con
dipendanza dal tempo e dalla posizione del ricevitore. Le variazioni temporali, sono dovute al
movimento di persone o oggetti nelle vicinanze del ricevitore, ed hanno una importanza
analoga a quella dello stato di moto del ricevitore nel determinare la statistica del canale. Tale
movimento determina un continuo cambiamento nelle lunghezze dei percorsi multipli e si
traduce in primo luogo in variazioni di fase legate ai vari raggi. A differenza dei termini
d’ampiezza, infatti, il cui cambiamento è apprezzabile solo su grandi distanze, un contributo
significativo di fase deriva anche da un modesto mutamento della lunghezza del percorso, dato
che ogni variazione del ritardo della componente di 1 f c , con f c la frequenza centrale del
segnale trasmesso1 corrisponde ad una rotazione di fase di 2π.
Se a risentire del fenomeno sono in particolare le componenti multipath dovute a
riflessioni nelle vicinanze del ricevitore, il segnale subisce fenomeni di fluttuazione che si
esauriscono in tempi dell’ordine dei millisecondi o microsecondi e si parla di fading multipath
a breve termine. A causa di spostamenti più ampi del ricevitore, invece, può anche cambiare la
natura dei cammini “principali”che collegano il trasmettitore al ricevitore. Queste variazioni,
note anche come fading multipath a lungo termine, non influiscono in maniera immediata
sull’andamento del segnale, come avviene nel caso precedente, ma determinano la
“disponibilità” del canale, nel senso che condizionano gli effetti della propagazione multipla sul
segnale al variare di parametri descritti da statistiche a lungo termine. Per tale motivo un
1
valori tipici sono dell’ordine di pochi GHz
52
modello matematico del canale si limita a considerare il solo l’attenuazione da percorsi multipli
a breve termine.
4.3 MODELLO MATEMATICO DEL CANALE
4.3.1 RISPOSTA ALL’IMPULSO
Si supponga di trasmettere, nel canale radio descritto, un generico segnale passabanda del
tipo:
j 2πf t 

c 
s(t ) = Re u(t ) ⋅ e


(4.1)
dove fc è la frequenza centrale di riferimento e u(t) è l’inviluppo complesso in banda base.
Se nel mezzo è possibile distinguere un insieme di percorsi differenti che uniscono il
trasmettitore al ricevitore (multipath discreto), il segnale ricevuto assume la forma:
N
x (t ) = ∑ a n (t − t 0 ) ⋅ s[t − t 0 − τ n (t )]
(4.2)
n=0
dove N è il numero di componenti multipath, t0 il ritardo fisso introdotto dal canale, an(t)
l’attenuazione di cammino e τ n (t ) il ritardo relativo.
Sostituendo la (4.1) nella (4.2) e trascurando il contributo costante dovuto al canale, il
segnale ricevuto può anche essere scritto come
x (t ) = Re[ r (t ) ⋅ e j 2πf ct ]
(4.3)
dove
N
r (t ) = ∑ a n (t ) ⋅ e − j 2πf cτ n ( t ) ⋅ u[t − τ n (t )]
(4.4)
n=0
è l’inviluppo complesso in banda base.
Il comportamento del canale equivalente in bassa frequenza, quindi, fissata la posizione
del ricevitore, è simile a quello di un filtro lineare descritto dalla risposta all’impulso tempo
variante a valori complessi [20]:
53
N
h(τ , t ) = ∑ a n (t ) ⋅ e − j 2πf cτ n ( t ) δ [t − τ n (t )]
(4.5)
n=0
Questa espressione indica che il segnale ricevuto, a causa dell’azione multipath del canale, può
essere rappresentato, in corrispondenza ad ogni punto dello spazio, come la somma di più fasori
tempo varianti, ciascuno dei quali porta il contributo di un singolo cammino in termini di
ampiezza e di fase.
Qualora la distribuzione delle varie componenti sull’asse dei ritardi non permettesse di
distinguere dei contributi netti, il segnale ricevuto sarebbe più correttamente modellabile come
il risultato di un’operazione d’integrazione (multipath continuo):
x (t ) = ∫−∞ a(τ , t ) ⋅ s( t − τ ) dτ
+∞
(4.6)
oppure, in funzione degli equivalenti in bassa frequenza, come
x (t ) = Re[ r (t ) ⋅ e j 2πf ct ]
(4.7)
con
r (t ) =
+∞
∫−∞ a (τ , t ) ⋅ e − j 2πf t ⋅ u(t − τ )dτ .
c
(4.8)
In questo caso il termine a(τ,t) rappresenta l’ampiezza all’istante t di tutti i raggi che arrivano al
ricevitore con ritardi relativi compresi nell’intervallo (τ , τ + dτ ) .
In maniera analoga alla (4.5), la risposta all’impulso del canale in banda base diventa
h(τ , t ) = a (τ , t ) ⋅ e − j 2πf c t
(4.9)
L’operazione di convoluzione rappresentata dalla (4.4) e dalla (4.8) descrive il canale in
ogni punto dello spazio come un filtro con risposta all’impulso tempo-variante h(τ,t). La
variabile τ indica il fatto che la potenza associata al segnale giunge al ricevitore in istanti
diversi per mezzo di più componenti (dispersione temporale del segnale), le cui caratteristiche
variano temporalmente in maniera aleatoria. In genere il ricevitore non è fisso, ma si sposta
causando continui cambiamenti nelle condizioni di propagazione. Ciò permette di associare ad
ogni punto dello spazio un profilo della risposta all’impulso ottenuto al variare del ritardo τ
[21][22].
54
4.3.2 RISPOSTA ALL’IMPULSO TEMPO-DISCRETA
Per descrivere i canali in condizioni di propagazione multipath a partire da dati
sperimentali si fa spesso riferimento al modello di risposta all’impulso tempo discreta h(τ i , xi ) .
Ciò consiste nella suddivisione dell’asse dei tempi in intervalli di ampiezza pari alla risoluzione
temporale, in ciascuno dei quali è presente o meno una componente. Il modello esclude il caso
in cui più componenti si trovino in uno stesso intervallo, dato che contributi diversi che
giungono al ricevitore con un ritardo relativo minore dell’ampiezza di tale intervallo non sono
risolvibili come cammini distinti.
Oltre che per interpretare il comportamento del canale sulla base delle misure effettuate,
il modello di risposta all’impulso tempo discreta è utilizzabile anche qualora si voglia simulare
una condizione di fading multipath. In tal modo l’azione aleatoria esercitata sul segnale è
rappresentata da un insieme finito di valori e l’analisi del sistema è notevolmente semplificata
rispetto al caso di un modello tempo continuo.
4.3.3 PARAMETRI DEL CANALE MULTIPATH
Fra i parametri che descrivono le caratteristiche principali di un generico profilo della
risposta all’impulso h(τ,x) del canale, assumono notevole importanza il guadagno totale di
potenza multipath, l’eccesso medio del ritardo (τ m ) ed il valore quadratico medio del ‘delay
spread’ τ rms .
Il guadagno totale di potenza multipath è definito come:
N
G = ∑ a n2
(4.10)
n=0
dove a n è l’ampiezza della n-esima componente ed N è il numero di componenti che
costituiscono il profilo. Esso indica la potenza che giunge al ricevitore in seguito alla
trasmissione attraverso il canale di un impulso temporale di ampiezza unitaria. Di conseguenza
il parametro fornisce una misura della qualità del sistema di comunicazione, in maniera analoga
a quanto avviene con la definizione del rapporto segnale-rumore.
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L’eccesso medio di ritardo e il valore quadratico medio del delay spread sono grandezze
legate al profilo di potenza multipath del canale, definito in ogni punto dello spazio come il
2
quadrato del modulo della risposta all’impulso al variare del ritardo h(τ , x ) .
L’eccesso medio di ritardo è il primo momento del profilo di potenza multipath. Tenendo
conto del ritardo t 0 del primo percorso del canale, tale grandezza è definita come:
N
τm =
∑ (τ n − t 0 )a n2
n=0
N
∑a
n=0
(4.11)
2
n
In prima approssimazione questa grandezza, che è una media pesata dei ritardi con cui le
diverse componenti del segnale giungono al ricevitore, fornisce un’indicazione sull’entità del
cosiddetto ‘self-noise’, ovvero della rumorosità delle componenti ritardate del segnale.
Il valore quadratico medio del “delay spread” è invece la radice quadrata del secondo
momento centrale del profilo di potenza, ed assume la forma
τ rms = τ 2 − (τ m ) 2
(4.12)
dove
N
τ =
2
∑ (τ n − t 0 ) 2 a n2
n=0
N
∑a
n=0
(4.13)
2
n
è un parametro legato alla durata temporale TM (delay spread) del profilo, in quanto esprime la
dispersione temporale del segnale intorno al valor medio calcolato in precedenza e dà una
misura dell’interferenza intersimbolo (ISI).
Supposto, infatti, di dover trasmettere dei simboli, ad esempio binari, tramite forme
d’onda di durata T, l’azione del canale è più o meno significativa a seconda del valore che
assume TM. In particolare si hanno due casi significativi:
a) T>>TM ; in questa condizione a causa del fenomeno multipath ciascuna forma d’onda
ricevuta occupa un intervallo pari a T+TM. Essendo però T>>TM la sovrapposizione tra i
simboli adiacenti è molto limitata. Sull’asse dei tempi è possibile distinguere in ricezione una
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successione di intervalli di durata T-TM che contengono gran parte dell’energia trasmessa e che
sono liberi da interferenza.
b) T<<TM ; in questo caso il fading distorce seriamente il segnale ed in ricezione non è
più possibile distinguere i valori trasmessi, dato che l’intervallo in cui si manifesta ISI è
maggiore della durata del simbolo stesso.
Sia τ m sia τrms variano al variare dell’ambiente e dipendono dall’esistenza o meno di
condizioni di visibilità. I valori numerici che tali grandezze assumonooscillano fra i 20 e i 50 ns
nel caso di un ufficio di media grandezza, fino ad arrivare a valori misurati in una fabbrica di
300 ns [21].
Al variare delle posizioni assunte in un medesimo ambiente, G, τ m e τrms si possono
modellare come variabili aleatorie aventi distribuzioni legate alle condizioni in cui avviene la
trasmissione.
4.3.4 FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE SPAZIALE
Per il canale radio indoor si può definire una funzione di trasferimento complessa con
variabilità spaziale trasformando secondo Fourier la h(τ,x) rispetto al primo argomento, come
segue:
+∞
H ( f , x ) = ∫−∞ h(τ , x )e − j 2πfτ dτ ;
(4.14)
In Fig. 4.2 ne è mostrato un esempio. Supposto il canale stazionario in frequenza è possibile
definire a partire dalla H(f,x) anche la seguente funzione d’autocorrelazione complessa
ρ( ∆f , x) [23]:
ρ( ∆f , x ) = ∫−∞ H ( f , x ) H ∗ ( f + ∆f , x )df
+∞
(4.15)
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H(f , t )
SPAZIO
Canale localmente
invariante
FREQUENZA
Fig. 4.2 - Esempio di funzione di trasferimento di un canale radio indoor
Il fatto che ρ( ∆f , x ) dipenda dalla sola variabile ∆f e non dalla particolare frequenza
considerata è intuibile. La stazionarietà in frequenza del canale deriva infatti dall’ipotesi di
fading scorrelato, cioè si ipotizza che le diverse componenti multipath che giungono al
ricevitore siano scorrelate. La larghezza di banda Bc a 3 dB della funzione ρ( ∆f , x ) fornisce
una misura della coerenza del canale, poiché indica l’intervallo in cui le componenti spettrali
del segnale subiscono dal canale un effetto simile. Questa è inversamente proporzionale al
delay spread TM del canale e, quindi, rappresenta un limite in frequenza alla trasmissione in
termini d’interferenza intersimbolo, in maniera analoga a quanto avviene nel dominio spaziale
con la definizione di τrms. Tra quest’ultima grandezza e la banda B c del canale sussiste una
relazione di proporzionalità inversa del tipo:
Bc = C ⋅ τ rms − β
dove C e β sono costanti che dipendono dalla struttura dell’ambiente.
(4.16)
58
4.4 MODELLO STATISTICO DEL CANALE
4.4.1 CARATTERIZZAZIONE DELLA RISPOSTA ALL’IMPULSO
La variabilità rivelata nelle misure del canale radio indoor ha favorito la nascita di un
certo numero di modelli statistici. Nel seguito saranno riportati i modelli principali noti in
letteratura, che descrivono le caratteristiche peculiari di un canale affetto da propagazione
multipla.
4.4.1.1 DISTRIBUZIONE DEL NUMERO DI COMPONENTI MULTIPATH
La conoscenza del numero di componenti multipath del segnale è importante per valutare
la qualità del sistema di comunicazione e le possibili tecniche di equalizzazione del canale.
Nel seguito si assumerà che una componente multipath giunge al ricevitore con un ritardo
τ n rispetto al alla prima replica se la potenza associata al relativo intervallo temporale supera
una certa soglia minima, fissata come riferimento.
Il numero N di componenti multipath raccolte in un particolare edificio, il cui valore
dipende in primo luogo dalla soglia fissata, si comporta al variare del profilo della risposta
all’impulso nello spazio come una variabile aleatoria la cui distribuzione dipende dalla
geometria dell’ambiente considerato. Un esempio di dati, misurati in due diversi edifici
residenziali, è riportato in Tab.4.1, tratta da [21]. Il valore di N è stato calcolato considerando
tutte le componenti multipath la cui potenza è compresa entro un intervallo di α dB a partire da
quella relativa al percorso più forte.
EDIFICIO 1
EDIFICIO 2
SEPARAZIONE TRA LE ANTENNE
SEPARAZIONE TRA LE ANTENNE
(METRI)
(METRI)
5
α
µ
59
10
σ
µ
20
σ
µ
30
σ
µ
5
σ
µ
10
σ
µ
20
σ
µ
30
σ
µ
σ
10 dB
3 2
4 2
7 3
8 3
4 2
5 2
5 2
6 3
20 dB
8 3
10 3
13 4
17 5
8 3
10 3
11 3
13 4
30 dB
13 3
16 3
20 5
24 7
13 3
15 3
18 4
19 4
Tab. 4.1 - Valor medio (µ) e deviazione standard (σ) del numero N di componenti multipath misurate in due
diversi edifici. I valori sono calcolati per separazioni delle antenne di 5, 10, 20, 30 m e in corrispondenza a soglie
sulla potenza ricevuta (α) relative al contributo più forte pari a 10, 20 e 30 dB.
Dalla tabella, che riporta gli andamenti di N per tre diversi valori di α, si osserva che:
• esiste una dipendenza lineare tra il valor medio N e la separazione tra le antenne,
probabilmente dovuta al fatto che all’aumentare delle distanze aumenta il numero di
riflessioni multiple che il segnale subisce;
•
il valor medio N cresce all’aumentare di α, poiché per soglie più basse sulla potenza
ricevuta è maggiore il numero di componenti incluse nel calcolo di N;
•
la deviazione standard della variabile aleatoria N cresce all’aumentare della separazione
tra le antenne.
Una spiegazione di questo comportamento può essere ricercata nel fatto che le variazioni
nell’ambiente che circonda il trasmettitore e il ricevitore sono maggiori nel caso in cui la
distanza tra trasmettitore e ricevitore sia alta. In realtà, anche il valor medio e la deviazione
standard del numero di componenti multipath nel caso di distribuzione gaussiana sono variabili
aleatorie legate agli spostamenti del ricevitore. La deviazione standard σ dipende linearmente
60
dal valor medio N che, in genere, è distribuito in maniera uniforme. La relazione che lega le
due grandezze, calcolata nel caso di misure effettuate in ambienti residenziali a frequenze
dell’ordine di 1GHz è rispettivamente nel caso LOS e NLOS [24]:
σ = 0.492 ⋅ ( N − 4.77)
(4.17)
σ = 0.383 ⋅ ( N − 0.89)
(4.18)
4.4.1.2 DISTRIBUZIONE DEI TEMPI DI ARRIVO
La sequenza dei tempi d’arrivo {τ k } 0 delle varie componenti multipath, al variare della
+∞
posizione del ricevitore, può essere modellata come un processo aleatorio. Nel caso in cui è
presente un cammino LOS, viene escluso dalla sequenza il contributo fisso della prima
componente e il processo è dato dalla distribuzione di {τ k − t 0 }1 nello spazio.
+∞
Per la distribuzione dei tempi d’arrivo sono stati proposti diversi modelli che si adattano
alle varie condizioni di propagazione [21].
Modello di Poisson. In generale questo modello è utilizzato quando si deve descrivere un
fenomeno completamente casuale. Nel caso del canale indoor, i tempi di arrivo dei diversi raggi
si distribuiscono secondo il modello di Poisson quando gli ostacoli che causano la
propagazione multipla sono disposti nello spazio in maniera completamente casuale.
Il modello fornisce la probabilità che giungano al ricevitore L contributi in un intervallo
di tempo di durata T, data da
Pr( L = l ) =
µ l ⋅ e − µl
l!
(4.19)
dove µ è il parametro di Poisson definito come
µ = ∫T λ (t )dt
(4.20)
e λ(t) è la frequenza media d’arrivo dei diversi raggi all’istante t (costante nel caso in cui il
processo sia stazionario).
61
Il modello di Poisson non descrive bene la situazione quando gli oggetti che generano i
cammini multipli sono disposti nell’ambiente secondo un certo ordine che rende i tempi
d’arrivo delle componenti del segnale non completamente casuali.
Modello ∆-Κ o modello di Poisson modificato. Questo modello tiene conto del fatto che i
generatori delle componenti multiple sono in gran parte raggruppati, per cui i raggi che ne
derivano giungono al ricevitore raggruppati in pacchetti (clustering dei raggi). Nel modello del
processo sono pertanto presenti due stati diversi: S1 , con frequenza media d’arrivo dei raggi
λ 0 ( t ) , e S 2 , con frequenza kλ0 (t ) . Quando si verifica una transizione dallo stato S1 , in cui si
si può assumere che il processo si trovi inizialmente, allo stato S 2 durante l’intervallo di tempo
[t , t + ∆ ) , si ha che cambia la frequenza d’arrivo dei raggi. Questa aumenta se k>1, mentre
diminuisce per k<1. Le costanti k e ∆, legate alle continue transizioni tra i due stati, sono
determinate tramite particolari tecniche d’ottimizzazione a partire da dati ottenuti
sperimentalmente.
I motivi per cui il modello ∆-Κ spesso si adatta bene alle situazioni sperimentali sono
molteplici. In primo luogo la disposizione degli oggetti che causano il fenomeno di multipath
non è completamente casuale. Inoltre, a differenza del modello di Poisson che descrive
probabilità associate ad intervalli di tempo relativamente lunghi (T>>∆), si fa ora riferimento ad
informazioni più precise sui dati: l’ampiezza ∆ del cluster e la costante k legata alla frequenza
d’arrivo delle diverse componenti nel cluster stesso.
Modello di clustering di Neyman-Scott. Secondo questo modello il processo ha dei centri
di cluster dovuti alla presenza di strutture principali nell’edificio come porte e grandi pareti di
metallo che si distribuiscono secondo la legge di Poisson. Ogni cluster è costituito da più
componenti multipath, causate da riflessioni nei pressi del ricevitore, che si distribuiscono
ancora secondo il modello di Poisson. Per la logica seguita la distribuzione di Neyman-Scott
sembra essere preferibile agli altri. I riscontri sperimentali della sua applicazione sono
comunque pochi e disponibili solo nel caso di insiemi di misure limitati ad uffici ed edifici
residenziali.
62
4.4.1.3 DISTRIBUZIONE DEI TEMPI DI INTER-ARRIVO
In un generico profilo della risposta all’impulso la sequenza dei tempi di interarrivo delle
componenti del segnale è definita come l’insieme delle grandezze xi = t i − t i −1 con i=1,.......,N,
dove t i indica l’istante d’arrivo dell’i-esimo raggio e N è una variabile aleatoria che
rappresenta il numero di componenti multipath del profilo. In corrispondenza alle diverse
posizioni del ricevitore la sequenza {xi }1 forma un processo aleatorio. Di conseguenza, ogni
N
xi , reletivo ad una posizione spaziale, si comporta come una variabile aleatoria distribuita
secondo diverse leggi. Sono di interesse le due distribuzioni seguenti:
Distribuzione esponenziale. Quando i tempi di arrivo sono modellabili tramite un
processo stazionario di Poisson, le grandezze xi sono variabili aleatorie statisticamente
indipendenti distribuite secondo una legge esponenziale.
f X ( x ) = λ ⋅ e − λx ,
x>0
(4.21)
Distribuzione di Weibull. Nel caso in cui nell’ambiente sussiste una proprietà di
clustering che determina per la sequenza {τ k } 0 la scelta del modello ∆-Κ o del modello di
+∞
Neyman-Scott i tempi di interarrivo delle diverse componenti del segnale seguono la
distribuzione di Weibull. Questa, infatti, dipende da tre parametri che rendono particolarmente
flessibile l’adattamento alle situazioni sperimentali. Secondo tale distribuzione, la probabilità
ch la variabile xi assuma in diversi punti dello spazio il valore x è data da:
PX ( x ) =
α ⋅b  b ⋅ x
x0
⋅

 x0 
α −1
  b ⋅ x α 
⋅ exp − 
 ,
  x 0  
x≥0
(4.22)
1
 2   2   2
dove α è un parametro di forma, x0 è il valore quadratico medio di x e b =   ⋅ Γ    è
 α   α  
una costante di normalizzazione espressa in termini della funzione Γ. Per α=1 si ritrova come
caso particolare la distribuzione esponenziale tipica dei processi di Poisson.
63
4.4.1.4 DISTRIBUZIONE DELLE AMPIEZZE
Il segnale che giunge al ricevitore è scindibile in un numero N di componenti, ciascuna
delle quali è dovuta a più cammini non risolvibili, cioè aventi un ritardo relativo minore del
minimo intervallo di segnalazione, come mostrato schematicamente in Fig.4.3. Ogni
componente è quindi esprimibile tramite una somma vettoriale dei fasori associati ai vari
percorsi multipli che contribuiscono a costituirlo.
an ⋅ e
jϑ n
m
= ∑ a n i ⋅ e jϑni ,
i =1
tn − tnj <
1
; i , j = 1,..., m; n = 1,..., m .
W
(4.23)
N-EIMO PERCORSO
{a n , t n ,θ n }
TEMPO
a n1 ,θ n1
t n1
a n2 , θ n2
.....
t n2
a nm , θ nm
t nm
Fig.4.3 - Cammini secondari associati ad una componente multipath.
In particolare, il modulo varia nel tempo e nello spazio in maniera aleatoria, con
statistiche descrivibili mediante varie funzioni di distribuzione dipendenti dall’ambiente nel
quale avviene la propagazione [21][22].
64
Distribuzione Rayleigh. Le ampiezze delle componenti del segnale si distribuiscono
secondo una funzione di Rayleigh quando, in assenza di un percorso avente una potenza
sensibilmemte maggiore rispetto a quella degli altri percorsi, le fluttuazioni del canale sono
dovute a spostamenti del ricevitore su piccoli spazi (aree locali).
Secondo la distribuzione Rayleigh la probabilità che in ricezione l’ampiezza a n della
generica componente assuma valore r è data da:
 − r2 
PR (r ) = 2 ⋅ exp 
2 .
σ
2 ⋅σ 
r
(4.24)
Questa dipende da un unico parametro σ legato al valor medio m ed alla varianza v della
distribuzione rispettivamente dalle relazioni:
π
m=
2
⋅σ
(4.25)
π

v = 2 −  ⋅σ 2 .

2
(4.26)
Nell’espressione del segnale ricevuto
N
a ⋅ e jϑ = ∑ a n ⋅ e jθn
n = 1,...... N
(4.27)
n =1
facendo l’ipotesi che il ricevitore si sposti di poco e che le ampiezze delle diverse componenti
siano simili è lecito supporre che
an ≅ a 1
n = 1,......, N
(4.28)
quindi
N
a ⋅ e jϑ = a 1 ⋅ ∑ e jϑn .
(4.29)
n =1
Questa espressione rappresenta la somma di più sinusoidi, con ampiezze costanti e fasi
uniformemente distribuite in [0,2π ) . Di conseguenza, per il teorema centrale del limite, le
componenti in fase ed in quadratura I e Q del segnale ricevuto sono variabili aleatorie gaussiane
65
aventi l’ampiezza r che si distribuisce proprio secondo una legge Rayleigh e la fase θ uniforme
nell’intervallo [0,2π ) .
Distribuzione di Rice. Questa distribuzione è rivelabile quando esiste un percorso
multiplo avente una potenza sensibilmente maggiore di quella degli altri, come avviene, ad
esempio, quando il trasmettitore e il ricevitore si trovano in condizioni di visibilità ottica.
Quindi, il segnale ricevuto è scomponibile in due termini: una forte componente deterministica
dovuta alla presenza del cammino potente ed un contributo dovuto all’effetto combinato dei
cammini a più bassa potenza. Il primo, in forma vettoriale, assume un’espressione del tipo
ve jβ dove v e β sono grandezze costanti legate alla posizione dei terminali. Il secondo invece, di
peso minore, è rappresentato dal vettore ue jα con modulo Rayleigh e fase uniforme. Il segnale
ricevuto, che è la somma dei due fasori, ha un inviluppo r e una fase θ distribuiti secondo la
probabilità congiunta
Pr(r ,ϑ ) =
 r 2 + v 2 − 2rv ⋅ cos(ϑ − β ) 
⋅
exp
,
−
2πσ 2
2σ 2


r
r ≥ 0; − π ≤ (ϑ − β ) ≤ π . (4.30)
In realtà, anche l’ampiezza v e la fase β del percorso principale sono variabili al variare
della posizione del ricevitore, e ciò rende indipendenti r e θ. In particolare la fase θ si
distribuisce in maniera uniforme in [0,2π ) . Saturando la distribuzione rispetto alla variabile θ è
facile ricavare la seguente distribuzione di Rice
Pr(r ) =
 − r 2 + v 2   rv 
⋅
e
xp
 ⋅ I 0  2  ,

2
σ2
σ

 2σ
r
r≥0
(4.31)
dove I 0 è la funzione di Bessel modificata d’ordine zero, v l’ampiezza della componente dovuta
al cammino diretto e σ 2 un termine dovuto ai percorsi secondari.
Si nota che, come era facile aspettarsi, se il contributo principale si annulla la
distribuzione di Rice degenera in una Rayleigh.
Distribuzione Nakagami: Questa distribuzione si basa sull’ipotesi che sia le ampiezze sia
le fasi delle diverse componenti siano distribuite in maniera casuale. La funzione di densità di
probabilità dell’ampiezza del segnale ricevuto è data da:
Pr(r ) =
 mr 2 
2 m ⋅ r 2 m −1
⋅
exp
,
−
Γ (m) ⋅ Ω m
 Ω 
66
r≥0
(4.32)
dove Γ(m) è la funzione Gamma e Ω = E {r 2 } .
Il parametro m, da cui a volte la distribuzione prende il nome, è definito come:
{E[ r ]}
m=
2
2
(4.33)
Var[ r 2 ]
e rispetta la condizione m>1/2.
Al variare di m la funzione di Nakagami assume diverse forme. In particolare per m=1/2
si ottiene una Rayleigh e per m=1 una gaussiana monolatera.
Distribuzione Weibull. Tale funzione di distribuzione è data da
Pr(r ) =
αb  br 
 
r0  r0 
α −1
  br  α 
⋅ exp −   ,
  r0  
r≥0
(4.34)
1
 2   2   2
dove α è un parametro di forma, r0 il valore quadratico medio di r e b =   ⋅ Γ    è un
 α   α  
fattore di normalizzazione.
La funzione di distribuzione di Weibull, a differenza della Rayleigh e della Rice, non è
giustificata da alcuna spiegazione teorica. Il fatto che si adatti particolarmente bene ai dati è
dovuto probabilmente alla sua flessibilità. Al variare di α si ottengono infatti diverse
distribuzioni come casi particolari, come, ad esempio, la Rayleigh per α=1/2 e quella
esponenziale per α=1.
Distribuzione Lognormale. Tale funzione di distribuzione è data da
Pr(r ) =
 (ln r − µ ) 2 
⋅ exp −
,
2σ 2 
2πσr

1
r≥0
(4.35)
Se la variabile r è lognormale la grandezza x=log(r) è distribuita secondo una legge
gaussiana.
Il fatto che, in termini di funzioni di densità di probabilità, la relazione che lega i due casi
sia logaritmica, permette di dare una spiegazione teorica alla buona descrizione di particolari
67
situazioni di fading fornita dalla distribuzione lognormale. Le componenti multiple determinano
sul segnale trasmesso un rumore moltiplicativo. Di conseguenza l’ampiezza della forma d’onda
ricevuta è descritta da una legge lognormale, in maniera analoga a quanto avviene nel caso di
rumore additivo con la distribuzione gaussiana.
La distribuzione lognormale è di solito rivelata quando sono analizzate variazioni del
canale su larga scala, che avvengono in seguito a spostamenti consistenti del ricevitore (fading
multipath a lungo termine), le quali determinano un certo andamento spaziale delle
caratteristiche del canale che non era tenuto in conto nel caso di distribuzioni Rayleigh e Rice.
Distribuzione Suzuki. Tale funzione di distribuzione è data da
+∞
Pr(r ) = ∫0
 ( ln σ − µ ) 2 
 r2 
1
dσ
exp −
exp −

2 λ2
σ2
 2σ 2  2πσλ


r
(4.36)
dove µ e λ sono parametri il cui valore ottimo è determinabile dai dati a disposizione. Essa è
derivata a partire dalle distribuzioni Rayleigh e Lognormale, in base alle seguenti
considerazioni. Quando il segnale, caratterizzato da una statistica lognormale, giunge nei pressi
del ricevitore, a causa delle strutture ‘locali’ subisce ulteriori suddivisioni. Si può supporrre che
i contributi che si generano localmente abbiano uguale ampiezza e le fase uniformemente
distribuita, dato che le lunghezze dei percorsi interessati sono simili. Quindi le ampiezze
relative si distribuiscono secondo una legge Rayleigh il cui parametro σ segue l’andamento
lognormale dovuto agli effetti su larga scala.
La distribuzione Suzuki si adatta molto bene al modello di propagazione multipath
presentato in precedenza. Inoltre, essendo una distribuzione mista, spiega in modo chiaro la
transizione tra comportamento locale (Rayleigh) e globale (Lognormale) del canale.
4.4.1.5 CORRELAZIONI TRA GRANDEZZE DEI PERCORSI MULTIPATH
Tra le grandezze caratterizzanti al risposta all’impulso del canale esistono diversi tipi di
correlazione, al variare sia dell'istante considerato sia della posizione del ricevitore.
Correlazioni all'interno di un profilo. Per le componenti multipath che appartengono ad
uno stesso profilo della risposta all’impulso è possibile determinare un grado di correlazione
per i tempi di arrivo e per le ampiezze.
68
L'eventuale legame che sussiste tra i diversi istanti nei quali le repliche del segnale
giungono al ricevitore è dovuto alla proprietà di clustering delle strutture locali (esempio
modello ∆-K). Tale legame diventa sempre più debole all'aumentare del tempo di ritardo,
poiché le componenti del segnale che seguono percorsi più lunghi subiscono con maggior
probabilità riflessioni multiple e risentono di una maggiore attenuazione che le rende più
difficilmente riconoscibili.
Nel caso di misure ad alta risoluzione tra le ampiezze delle componenti multipath
adiacenti esiste comunque un certo grado di correlazione dovuto al fatto i riflettori che le
generano sono, con alta probabilità, gli stessi. L'ipotesi che esistano ampiezze correlate diventa
inconsistente nel caso in cui si suppone che i tempi d'arrivo delle componenti del segnale siano
indipendenti. Ciò implica, infatti, per la struttura multipath fenomeni di riflessione diversi e,
dunque, grandezze indipendenti.
Nell'intervallo di frequenze utilizzato per le comunicazioni radio indoor (solitamente
qualche GHz) le fasi che appartengono ad uno stesso profilo della risposta all’impulso sono un
esempio di eventi indipendenti. Anche nel caso di alte risoluzioni, infatti, esse corrispondono a
percorsi del segnale che differiscono in lunghezza per valori sicuramente maggiori della
lunghezza d'onda λ usata in trasmissione.
All'aumentare del ritardo cresce la lunghezza dei percorsi seguiti dai vari raggi e, dunque,
la probabilità che le componenti del segnale subiscano riflessioni multiple che causano una
maggiore attenuazione. Di conseguenza esiste anche un grado di correlazione tra l'intera
sequenza dei tempi d'arrivo e delle ampiezze.
Un discorso analogo non può farsi per le fasi, a causa dei limiti che impongono le
risoluzioni di misura.
Correlazioni tra profili spazialmente separati. Nel caso in cui i profili della risposta
all’impulso siano relativi a posizioni vicine, le componenti del segnale che giungono al
ricevitore con lo stesso ritardo τ sono simili. Ciò è dovuto al fatto che le condizioni di
propagazione non variano in maniera sensibile per brevi distanze.
Queste correlazioni, che esistono tra le grandezze di una stessa componente multipath in
punti differenti dello spazio, interessano le ampiezze, i tempi di arrivo e le fasi.
Le variazioni delle ampiezze sono molto contenute per profili vicini, ma crescono
rapidamente all'aumentare della distanza tra le posizioni del ricevitore. In particolare,
69
l'ampiezza del cammino diretto, nel caso di propagazione LOS, presenta variazioni contenute in
pochi dB per distanze di qualche metro [21].
Coefficienti di correlazione. Due grandezze importanti per l’analisi di un sistema che
opera in ambiente multipath indoor sono la distanza relativa tra profili e il ritardo in un certo
punto dello spazio tra diverse componenti a cui le ampiezze a k (τ k , x l ) del segnale diventano
scorrelate.
E’ stato detto in precedenza che all’interno di un’area locale i valori dell’ampiezza di una
componente multipath, calcolati in corrispondenza a diverse posizioni del ricevitore, o quelli
relativi a contributi che giungono, in uno stesso punto dello spazio, con ritardi differenti,
possono essere correlati.
Nella maggior parte dei casi per separazioni in distanza maggiori di qualche lunghezza
d’onda il comportamento del canale cambia completamente e la correlazione tra le ampiezze di
due componenti multipath misurate da ricevitori distanti è nulla.
D’altra parte, per differenze nei tempi di ritardo maggiori di qualche centinaio di ns, si
assume che diventino scorrelate anche le potenze del segnale multipath, poiché le riflessioni
sono dovute a differenti strutture fisiche dell’edificio.
Considerate le ampiezze di due componenti multipath a(ξ1 ) e a(ξ2 ) dove la variabile ξ
rappresenta sia la posizione xl sia l’eccesso di ritardo τ k è possibile dare una misura del
fenomeno definendo il coefficiente di correlazione spaziale o temporale del canale ρ(ξ1 , ξ2 ) . Se
si considerano correlazioni spaziali d’ampiezza, le variabili a(ξ1 ) e a(ξ2 ) sono definite nel
modo seguente:
a(ξ1 ) = a k (τ k , x l )
(4.37)
a(ξ2 ) = a k (τ k , x l + ∆x )
(4.38)
dove ∆x è la separazione spaziale tra profili.
Il coefficiente di correlazione ρi (ξ1 , ξ2 ) delle due grandezze è una misura del legame che
esiste tre le ampiezze delle componenti multipath che arrivano con lo stesso ritardo τ in
differenti profili xl dell’i-esima area locale. Esso è definito come:
ρi (τ k , ∆x) =
70
[(
)(
E a k (τ k , xl ) − a k (τ k , xl ) ⋅ a k (τ k , xl + ∆x) − a k (τ k , xl + ∆x)
(
)
)
(
)]
)
2
2
E  a k (τ k , xl − a k (τ k , xl )  ⋅ E  a k (τ k , xl + ∆x) − a k (τ k , xl + ∆x) 

 

(4.39)
dove l’operatore E [ ⋅] indica il valore atteso calcolato nell’area locale considerata.
A partire da questo si costruisce il coefficiente di correlazione spaziale del canale
ρ(τ k , ∆x ) mediando i valori ottenuti nelle diverse aree locali, come segue:
ρ( τ k , ∆x) =
1 I
∑ ρ i ( τ k , ∆x) .
I i =1
(4.40)
Questo varia sia nello spazio che nel tempo e dipende in maniera particolare dalla distanza ∆x
scelta tra i diversi profili.
Per rappresentare il coefficiente di correlazione spaziale delle successive componenti
multipath si costruisce a partire dalla precedente espressione un modello di decadimento
esponenziale in modo da minimizzare l’errore quadratico medio [24]. La funzione ρ(τ k , ∆x ) per
tutte le ampiezze relative a percorsi più lunghi del cammino diretto è così espressa come:
ρ(τ k , ∆x ) = ρ(τ 0 , ∆x ) ⋅ e
−
τk
170
,
k >0
(4.41)
dove τ k è espresso in nanosecondi.
Quando la condizione di propagazione è NLOS, il modello del canale diventa molto più
complesso e non esiste tra le componenti del segnale un termine predominante. Il coefficiente
di correlazione spaziale segue, in genere, in corrispondenza ad ogni valore di k una legge
impulsiva del tipo
ρ(τ k , ∆x ) = δ (τ k ,0) .
(4.42)
In pratica le ampiezze a k sono scorrelate per tutti i possibili valori di ∆x e τ k . Anche la
relazione scritta, come le precedenti, fa riferimento ad una media calcolata su più aree locali.
Ciò significa che, anche se nel complesso il canale è scorrelato nello spazio, a volte può
succedere che in particolari zone le diverse componenti del segnale risentano di azioni simili.
71
Volendo esaminare il legame che intercorre in una certa area locale tra le ampiezze delle
componenti multipath che arrivano con differenti ritardi all’interno dello stesso profilo xl , si
definisce il coefficiente di correlazione temporale ρi (ξ1 , ξ2 ) assegnando alle variabili a(ξ1 ) e
a(ξ2 ) rispettivamente i valori
a(ξ1 ) = a k (τ k , x l )
(4.43)
a(ξ2 ) = a k (τ k + ∆τ , x l )
(4.44)
dove ∆τ rappresenta l’eccesso di ritardo tra le due componenti.
Questo fornisce una misura della correlazione tra le variabili a k rispetto al valor medio
locale (calcolato al variare di τ in corrispondenza ad un profilo costruito con i valori medi delle
ampiezze delle componenti) ed è definito come [24]:
ρi (τ k , ∆τ ) =
[(
)(
E a k (τ k ) − a k (τ k ) ⋅ a k (τ k + ∆τ ) − a k (τ k + ∆τ )
(
)
(
)]
)
2
2
E  a k (τ k ) − a k (τ k )  ⋅ E  a k (τ k + ∆τ ) − a k (τ k + ∆τ ) 

 

(4.45)
Il coefficiente di correlazione temporale del canale ρ(τ k , ∆τ ) è definito mediando i
singoli ρi (τ k , ∆τ ) su tutte le aree locali, come segue:
1 I
ρ( τ k , ∆τ) = ∑ ρ i ( τ k , ∆τ ) .
I i =1
(4.46)
4.4.1.6 VARIAZIONI TEMPORALI DEL CANALE
La mobilità delle persone e la disposizione variabile degli oggetti rendono mutevoli le
caratteristiche statistiche del canale. Quindi, tale variabilità è avvertita anche nel caso di
ricevitore fisso e, di conseguenza, perde significato la distinzione fra terminali portatili e
mobili.
Analizzando il comportamento temporale del canale in relazione a piccoli spostamenti del
ricevitore, le variazioni a breve termine causate dalla propagazione multipla sul segnale
trasmesso si possono classificare come segue:
72
variazioni globali a breve termine: Queste sono dovute a cambiamenti che avvengono nel
canale radio nel tempo e nello spazio, osservati in corrispondenza a diverse posizioni del
ricevitore in una certa area locale.
variazioni locali a breve termine: Questo secondo tipo di variazioni, che risente
esclusivamente dell’andamento temporale del canale, è osservato durante brevi intervalli di
tempo in corrispondenza ad ogni posizione del terminale.
L’analisi del canale in ogni punto dello spazio in relazione alle variazioni locali a breve
termine che determina sul segnale, è particolarmente complicata. Se i dati sono collezionati in
brevi intervalli di tempo e fanno riferimento ad ambienti in cui il movimento di persone è
limitato, è lecito assumere che il canale sia “quasi statico” o stazionario in senso lato, il che
permette di valutare in maniera molto più semplice l’azione del canale.
4.4.1.7 FUNZIONI DI CORRELAZIONE DELLA RISPOSTA ALL’IMPULSO
Nell’ipotesi di canale stazionario in senso lato, è possibile definire per la risposta
all’impulso tempo variante h(τ , t ) la seguente funzione di correlazione temporale [20]:
ϕ (τ 1 , τ 2 ; ∆t ) =
[
]
1
⋅ E h ∗ (τ 1 , t ) ⋅ h(τ 2 , t ) .
2
(4.47)
Nella maggior parte dei canali multipath le caratteristiche della componente del segnale,
tra cui in particolar modo la fase, associate al percorso avente un ritardo τ 1 sono scorrelate da
quelle della componente avente un ritardo τ 2 ≠ τ 1 . In tal caso la ϕ (τ 1 , τ 2 ; ∆t ) assume la forma
ϕ( τ 1 , τ 2 ; ∆t ) = ϕ( τ 1 ; ∆t ) ⋅ δ( τ 1 − τ 2 )
(4.48)
che permette di parlare di fading scorrelato.
La funzione di auto-correlazione φ (τ ; ∆t ) , calcolata per la generica componente in
corrispondenza a ∆t = 0 , rappresenta la distribuzione della potenza media del segnale ricevuto
in funzione del ritardo τ.
L’ampiezza dell’intervallo ottenuto al variare di τ per cui la funzione ϕ (τ ) assume valore
diverso da zero (multipath spread del canale) coincide con la grandezza TM definita per i profili
73
spaziali della risposta all’impulso. Entrambe, infatti, forniscono una misura dell’estensione
temporale del profilo multipath causata dai diversi ritardi delle componenti e differiscono solo
per le variazioni causate dal canale, spaziali nel primo caso e temporali nel secondo.
Nel dominio della frequenza, in maniera analoga a quanto fatto per le diverse posizioni
del ricevitore, è possibile definire una nuova funzione di trasferimento tempo variante del
canale trasformando secondo Fourier la h(τ , t ) rispetto al primo argomento:
H ( f , t ) = ∫−∞ h(τ , t ) ⋅ e − j 2πfτ dτ
+∞
(4.49)
Da questa, ancora sotto l’ipotesi di canale stazionario in senso lato, si calcola una seconda
funzione di correlazione, legata alla precedente da una trasformata di Fourier:
ϕ ( f 1 , f 2 ; ∆t ) =
[
]
1
⋅ E H ∗ ( f 1 , t ) ⋅ H ( f 2 , t + ∆t ) .
2
(4.50)
Poiché la H ( f , t ) è un processo gaussiano complesso, questa funzione, detta anche
funzione di correlazione in frequenza, caratterizza completamente la distribuzione congiunta
delle variabili aleatorie H ( f i , t ) , ottenute in corrispondenza alle diverse frequenze al variare
dell’istante temporale t. Nel caso di fading scorrelato la ϕ ( f 1 , f 2 ; ∆t ) dipende, oltre che dal
tempo, dalla differenza ∆f = f 1 − f 2 . In particolare, dato che, in corrispondenza a ∆t=0,
sussiste la relazione
ϕ ( ∆f ) = ∫−∞ ϕ (τ ) ⋅ e − j 2π∆fτ dτ ,
+∞
(4.51)
l’occupazione spettrale della funzione di correlazione ϕ ( ∆f ) , detta banda di coerenza del
canale , coincide in prima approssimazione con il reciproco del multipath spread TM:
∆f c ≈
1
TM
(4.52)
Questo parametro, in maniera analoga a τ m , è un limite per le trasmissioni in termini di
interferenza intersimbolo. Se la larghezza di banda del segnale trasmesso è maggiore di ∆f c , il
che significa ammettere nel tempo una durata minore di TM, la distorsione causata dal canale è
notevole e si parla di fading selettivo.
74
Viceversa, se la funzione di correlazione ϕ ( ∆f ) assume valore pressoché massimo
nell’intervallo di frequenze occupato dal segnale, tutte le componenti ricevute subiscono la
stessa azione da parte del canale. Il fenomeno è anche detto fading non selettivo o fading piatto
poiché, assumendo in prima approssimazione che ϕ ( ∆f ) corrisponda al valore massimo per
tutte le frequenze interessate alla trasmissione, ossia che sia possibile porre
H ( f + ∆f ; t ) = H ( f ; t ) = H ( 0; t ) ,
(4.53)
l’equivalente del segnale ricevuto in banda base, può essere scritto come
r (t ) = H (0, t )∫−∞ U ( f )e j 2πft df
+∞
(4.54)
e quindi
r ( t ) = H (0; t )u( t ) .
(4.55)
Nel caso ideale di canale con fading spettralmente piatto, l’inviluppo complesso del
segnale ricevuto coincide con quello trasmesso moltiplicato per un processo gaussiano
complesso, il che permette di parlare del fading anche come rumore moltiplicativo.
4.4.2 FUNZIONE DI SCATTERING
Le variazioni temporali del canale, indicate dalla dipendenza dal tempo t della risposta
impulsiva h(τ , t ) , causano sul segnale trasmesso un allargamento spettrale, detto allargamento
Doppler. Una rappresentazione del fenomeno è data dalla trasformata di Fourier della funzione
di correlazione ϕ ( ∆f , ∆t ) rispetto alla variabile temporale ∆t:
S ( ∆f , λ ) = ∫−∞ ϕ ( ∆f , ∆t )e − j 2πλ∆t d∆t
+∞
(4.56)
In corrispondenza di ∆f=0 la funzione S ( ∆f , λ ) che ne deriva rappresenta il modo in cui
si distribuisce l’intensità di una generica componente del segnale ricevuto in funzione della
frequenza Doppler λ, e pertanto è detta spettro di potenza Doppler.
Nel caso di canale tempo invariante ( ϕ ( 0. ∆t ) = 1 ), nel segnale trasmesso non si verificano
allargamenti spettrali e la funzione S (0, λ ) = S ( λ ) assume la forma
S( λ) = δ ( λ ) .
75
(4.57)
Trasformando secondo Fourier la funzione di correlazione φ (τ ; ∆t ) ancora rispetto alla
variabile ∆t si ottiene una nuova funzione S (τ , λ ) detta funzione di Scattering temporale del
canale:
S (τ , λ ) = ∫−∞ ϕ (τ , ∆t )e − j 2πλ∆t d∆t .
+∞
(4.58)
Questa è legata allo spettro di potenza Doppler del canale dalla relazione
S (τ , λ ) = ∫−∞ S ( ∆f , λ )e j 2πτ∆f d∆f
+∞
(4.59)
ed alla correlazione ϕ ( ∆f , ∆t ) da una doppia trasformata di Fourier:
S (τ , λ ) = ∫−∞ ∫−∞ ϕ ( ∆f , ∆t ) ⋅ e − j 2πλ∆t ⋅ e j 2πτ∆f d∆t ⋅ d∆f .
+∞ +∞
(4.60)
La funzione di scattering temporale del canale fornisce una misura della potenza media in
uscita al canale in corrispondenza alle diverse componenti multipath al variare della frequenza
Doppler λ.
A partire dalla funzione di Scattering temporale sono definiti due nuovi parametri: la
banda Doppler del canale Bd , come il massimo insieme dei valori per i quali S ( λ ) è diversa
da zero, e il tempo di coerenza del canale, pari al reciproco di Bd , che rappresenta una misura
di quanto variano velocemente le caratteristiche del canale nel tempo. Nel caso in cui la durata
di un simbolo trasmesso è minore del tempo di coerenza del canale si parla di fading lento.
Il discorso fatto può essere ripetuto per ogni punto dello spazio. A causa degli
spostamenti del ricevitore anche la stessa banda Bd subisce piccoli cambiamenti. Il valore preso
come riferimento per il canale è quello relativo al caso peggiore per il quale il segnale subisce
la massima deviazione Doppler.
Nel caso di canali radio indoor, poiché le variazioni dovute al movimento di persone e
oggetti nei pressi dei terminali è comunque limitato, la funzione di scattering temporale è
alquanto limitata e i valori assunti da Bd sono dell’ordine di pochi Hz.
76
4.4.3 ATTENUAZIONI DA MULTIPATH SU LARGA SCALA
Un segnale trasmesso attraverso il canale indoor subisce un fattore di attenuazione molto
superiore a quello del canale outdoor. A differenza del caso outdoor, infatti, il segnale
attraversa, all’interno di un edificio, un numero maggiore di ostacoli di natura diversa che
causano sensibili attenuazioni di potenza anche su piccole distanze.
La conoscenza del fenomeno di attenuazione su larga scala dovuto alla propagazione
multipla permette di determinare l’area di copertura ottima per il sistema di comunicazione
radio e di scegliere, quindi, le posizioni migliori per le antenne delle stazioni base.
L’attenuazione da multipath del canale è calcolata a partire dai dati sperimentali con una
doppia operazione di media: la prima al variare del profilo della risposta all’impulso e la
seconda al variare dell’area locale.
In realtà il fenomeno d’attenuazione subito dal segnale può essere descritto correttamente
solo in termini statistici. Infatti, la potenza ricevuta Pr è una variabile aleatoria che si
distribuisce di solito secondo una legge gaussiana con deviazione standard legata alla
frequenza, alla struttura dell’edificio, al tipo di materiali usati, e all’esistenza o meno del raggio
diretto.
Le fluttuazioni del livello di potenza e, di conseguenza, i valori assunti dalla deviazione
standard sono più elevati nel caso in cui non ci siano condizioni di visibilità ottica tra
trasmettitore e ricevitore. Chiaramente ciò è dovuto alla presenza di un maggior numero di
percorsi multipli.
La potenza media ricevuta, che coincide col valor medio spaziale G del guadagno di
potenza di un particolare ambiente (calcolato come media dei G relativi alle aree locali), è una
funzione decrescente della distanza del tipo
Pr = A ⋅ d −α
(4.61)
che, in notazione logaritmica, diventa
Pr
dB
= 10 ⋅ log 10 ( Pr ) = 10 ⋅ log 10 ( A) − 10 ⋅ α ⋅ log 10 (d )
(4.62)
Questa corrisponde ad una retta con pendenza negativa il cui coefficiente angolare è
determinato dal valore di α .
77
L’ambiente di propagazione radio indoor è talmente complesso in termini di strutture e
materiali dei singoli riflettori, che la scelta delle costanti A e α permette di classificare quattro
diversi modelli di attenuazione multipath [21]:
Modello 1: secondo questo modello la potenza del segnale ricevuto è legata alla distanza
tra le antenne dei terminali da una legge esponenziale del tipo
Pr ( d ) = P0 ⋅ d −α
(4.63)
dove Pr ( d ) è la potenza ricevuta a distanza d dal trasmettitore e P0 la potenza calcolata per
d=1m. La grandezza P0 dipende dalle condizioni in cui avviene la trasmissione, cioè frequenza
di lavoro, posizione e guadagno delle antenne, caratteristiche dell’ambiente, ecc.
Anche l’indice α, che è pari a 2 nel caso dello spazio libero (canale mobile outdoor), è
legato alle condizioni di propagazione multipath del segnale ed assume valori che oscillano tra
1.5 dB e 6 dB a seconda del tipo d’ambiente considerato, del verificarsi o meno della
condizione di visibilità ottica tra trasmettitore e ricevitore e della frequenza di lavoro.
Il caso in cui α è minore del coefficiente d’attenuazione di spazio libero, che corrisponde
spesso ad una condizione LOS, può essere spiegato con un comportamento del canale simile a
quello di una guida d’onda dove le riflessioni del segnale si sommano costruttivamente se la
loro differenza di fase è piccola.
Le attenuazioni maggiori, corrispondenti ad alti valori di α, si verificano invece in canali
NLOS, probabilmente perché le componenti del segnale che subiscono riflessioni multiple e
che giungono al ricevitore con ritardi maggiori sono più numerose che nel caso in cui è presente
il cammino diretto. Questa ultima condizione si verifica anche quando il segnale trasmesso, a
causa della posizione dei terminali, si trova a dover attraversare pareti, soffitti, pavimenti, ecc.
E’ stato osservato da misure fatte a 900 MHz in alcuni edifici residenziali, che questo
modello per l’attenuazione del segnale si adatta particolarmente bene al caso in cui le stanze
che costituiscono l’ambiente sono di dimensioni simili, disposte in maniera regolare e separate
da pareti che causano attenuazioni uniformi.
Modello 2: in questo secondo modello la potenza ricevuta diminuisce ancora in modo
esponenziale all’aumentare della distanza. La differenza fondamentale rispetto al caso
precedente è che l’indice α non assume più un valore preciso dipendente dall’ambiente di
propagazione, ma cresce all’aumentare della separazione tra le antenne a causa della presenza
78
di un numero sempre maggiore di ostacoli per il segnale. In particolari ambienti sono stati
stimati valori di α che oscillano da 2 a 12 su distanze massime di 40 m.
Modello 3: in questo caso ad ogni tipo di struttura che si trova nell’ambiente è associata
un’attenuazione logaritmica in base alle caratteristiche del canale. L’attenuazione totale in dB
subita dal segnale è dunque calcolata come la somma delle attenuazioni individuali dei riflettori
che causano le diverse componenti multipath. Ad esempio, è stato osservato che, secondo
questo modello, la parete esterna di un edificio con strutture in acciaio causa sul segnale
un’attenuazione media i cui valori sono rispettivamente 14.2 dB, 13.4 dB e 12.8 dB a frequenze
di 900 MHz, 1800 MHz e 2.3 GHz, la quale diminuisce di circa 1.4 dB per piano all’aumentare
dell’altezza.
Modello 4: secondo questo modello ad ogni unità di distanza è associato un fattore
d’attenuazione medio in dB, calcolato in base alla struttura dell’ambiente, il cui valore cambia
quando la separazione tra le antenne dei terminali diventa superiore ad una distanza critica d1 .
La dipendenza lineare dell’attenuazione dalla distanza si adatta particolarmente bene al
fenomeno fisico di propagazione multipla.
Nel caso di misure fatte a 150 MHz, 450 MHz e 850 MHz si sono trovati per le due
diverse attenuazioni e per la distanza d1 rispettivamente i valori 0.45 dB/ft, 0.22 dB/ft e 150 m,
0.38 dB/ft, 0.24 dB/ft e 130 m e 0.42 dB/ft, 0.27 dB/ft e 70 m
4.4.4 DIPENDENZA DELLE STATISTICHE DALLA FREQUENZA
Le caratteristiche del canale indoor variano in maniera sensibile con la frequenza secondo
una legge non ben conosciuta.
Da misure fatte a 910 MHz e a 1.7 GHz in due diversi edifici è stato osservato che i dati a
frequenza più bassa rappresentano una situazione di fading meno pesante e che, comunque, le
variazioni maggiori nelle statistiche del canale sono dovute al tipo d’ambiente. Il valore del
τ rms è infatti simile alle due frequenze, mentre l’attenuazione che il segnale subisce
nell’attraversare una parete portante aumenta di circa 11 dB a 1.7 GHz rispetto al caso di 900
MHz.
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Il fatto che l’attenuazione da multipath aumenti al crescere della frequenza e che il τ rms
rimanga pressoché lo stesso è stato verificato anche a frequenze più alte. In particolare da
misure fatte a 2.4 GHz, 4.75 GHz e 11.5 GHz è stato osservato che l’indice α che figura nella
legge d’attenuazione del segnale secondo il modello 2 è lo stesso alle varie frequenze nel caso
LOS e aumenta con la frequenza in situazioni NLOS (α=3.3, 3.8 e 4.5 rispettivamente a 2.4
GHz, 4.75 GHz e 11.5 GHz).
A differenza di quanto detto in precedenza, l’attenuazione subita dal segnale nel caso in
cui il trasmettitore è esterno all’edificio e il ricevitore interno, dovuta al fatto di dover
attraversare le pareti esterne, diminuisce leggermente con la frequenza.
Una particolare attenzione negli ultimi tempi è stata prestata alle comunicazioni radio
indoor che avvengono a frequenza 60 GHz. Questo valore corrisponde ad un picco
d’assorbimento dell’ossigeno atmosferico che causa un’attenuazione addizionale di 15 dB/Km
paragonata a quella dello spazio libero. Il fatto di ridurre la potenza ricevuta da riflettori distanti
favorisce quelle trasmissioni che avvengono in ambienti confinati. Ciò comporta anche una
diminuzione del valore quadratico medio del delay spread (valori medi per tre ambienti diversi
sono 8, 22 e 24 ns a 1.7 GHz e 3, 6 e 13 ns a 60 GHz) e, quindi, la possibilità di usare bit rate
più elevate a parità di interferenza intersimbolo.
4.5 CANALI INDOOR E OUTDOOR
I canali indoor e outdoor sono qualitativamente simili. In entrambi si verifica, infatti, il
fenomeno di propagazione multipla secondo il quale il segnale trasmesso giunge al ricevitore
per mezzo di più percorsi, con caratteristiche variabili sia nel tempo sia con la posizione
occupata dai terminali.
Nel canale radio indoor i principali responsabili delle riflessioni del segnale sono le
strutture interne dell’edificio: pareti, porte, finestre, pavimenti, oggetti d’arredamento, ecc e
l'aleatorietà del segnale è dovuta in primo luogo agli spostamenti del ricevitore.
Nel canale mobile, invece, il fenomeno di fading multipath è dovuto alle riflessioni
multiple del terreno e degli edifici o al moto dei terminali nell'ambiente e dipende in modo
sensibile dalle variazioni temporali del mezzo. Queste avvengono in intervalli di tempo che
vanno da frazioni di secondo (fading a breve termine dovuto a cambiamenti nelle strutture di
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multipath) a diversi secondi o addirittura ore (fading a lungo termine legato a cambiamenti
naturali dell'indice di rifrazione, delle condizioni meteorologiche, ecc.).
Nel caso del canale mobile, poiché la riflessione è causata principalmente da grandi
strutture fisse quali edifici (l'effetto di oggetti e persone in movimento sul segnale è
trascurabile), è lecito rappresentare il fenomeno di fading per brevi intervalli temporali come un
processo stazionario in senso lato.
Le variazioni temporali del canale indoor, al contrario, sono dovute principalmente al
movimento di persone nei pressi del ricevitore che, poiché avviene a velocità sicuramente
minori di quelle tipiche degli utenti del canale mobile, fa sì che i valori di banda Doppler
misurati siano molto più bassi.
In sostanza, nel caso del radiomobile veicolare le caratteristiche della propagazione sono
strettamente dipendenti da parametri su larga scala quale, ad esempio, la struttura urbanistica.
In ambito picocellulare, invece, sono particolarmente rilevanti fenomeni legati a strutture su
media e piccola scala, quali l’attenuazione di attraversamento dei, l’attenuazione di
propagazione all’interno degli edifici e gli echi prodotti da riflessioni ravvicinate (pareti e
arredi).
Una differenza sostanziale tra i due canali, che si traduce poi in differenti situazioni di
propagazione multipla, deriva dalla diversa altezza a cui sono sistemate le antenne delle
stazioni base: nel caso outdoor queste si trovano in una posizione elevata rispetto a quelle degli
utenti mobili, mentre nel caso indoor sono posizionate in genere in parti alte dell'ambiente.
Le attenuazioni dovute al multipath e i cambiamenti nei valori medi del segnale sono
molto più evidenti nel caso indoor che outdoor. Ciò è probabilmente dovuto al fatto che il
segnale trasmesso all’interno di un edificio si trova a dover attraversare un maggior numero di
ostacoli di natura diversa (finestre,pareti, ecc.). Supposto valido il modello 2 per la legge
d'attenuazione del segnale, l'indice α, che nel caso del canale mobile assume valore 2, varia
molto anche fra ambienti diversi.
Il delay spread TM oscilla, per il canale radiomobile outdoor, tra valori di alcuni
microsecondi, nel caso in cui è considerato solo l'ambiente più vicino al ricevitore e valori
superiori a 100 µs nel caso in cui siano considerate anche le riflessioni dovute a strutture
distanti. Il τ rms assume invece valori compresi tra 10 e 20 µs.
81
Nel canale indoor, date le differenze di scala nell’ambiente degli oggetti che causano le
riflessioni del segnale, queste grandezze sono molto più piccole. In particolare τ m è
generalmente minore di un microsecondo e τ rms è al massimo pari ad alcune centinaia di
nanosecondi. Di conseguenza, fissato un limite minimo accettabile per l'interferenza
intersimbolo, possono essere usate nel caso del canale indoor frequenze di trasmissione molto
più elevate.

Canale Multipath

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