Le trasformazioni geometriche - IISS Medi

Le trasformazioni geometriche
Un trasformazione geometrica t è una corrispondenza biunivoca che fa
corrispondere ad un punto P del piano un altro punto P’, ad una figura F una
figura F’ . Il punto P’ si dice il trasformato di P secondo la trasformazione t.
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Le trasformazioni geometriche
Vi sono diversi tipi di trasformazioni geometriche che si possono così
classificare:
•Proiettività
•Affinità
•Similitudini
•Omotetie
•Isometrie.
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Le trasformazioni geometriche
Proiettività
Sono tutte quelle trasformazioni che si possono ottenere lavorando, ad esempio
con una struttura
quadrettata
illuminata da una
lampada.
Le ombre sono
trasformazioni
proiettive che
hanno come
invarianti solo le
rette che restano
tali. Sono varianti
invece le rette
parallele, gli
angoli e le misure
dei lati.
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Affinita’
Sono tutte quelle trasformazioni che si possono ottenere lavorando, ad esempio
con una struttura
quadrettata
illuminata da
raggi solari
(paralleli).
Le ombre sono
trasformazioni
affini che hanno
come principali
invarianti le rette
parallele che
restano tali.
Sono varianti
invece gli angoli e
le misure dei lati.
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Le trasformazioni geometriche
Affinita’
Un altro esempio di affinità può essere ricavato dall’uso del telo elastico.
Rappresentata sul telo una figura qualsiasi, ad esempio un cerchio con all’interno
un esagono, si nota che dopo averlo allungato orizzontalmente, la figura ottenuta
(il trasformato) non conserva le misure dei lati del poligono, né gli angoli, solo le
rette parallele restano tali.
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Omotetìa
La trasformazione omotetica si ottiene tracciando i segmenti che uniscono un
punto C (detto centro dell’omotetia) con i vertici del triangolo ABC. Il triangolo
trasformato A’B’C’ avrà le misure dei lati proporzionali ai corrispondenti del
triangolo ABC (in figura la proporzione è 2, cioè i lati di A’B’C’ sono doppi di
ABC). E’ da notare che anche la misura di A1C è il doppio di AC.
Gli invarianti sono dunque
gli angoli, le rette parallele,
la direzione, il rapporto di
due
lati
omologhi
(corrispondenti), ma non le
misure dei lati.
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Similitudine
La similitudine consiste essenzialmente in un ingrandimento o rimpicciolimento
della figura di partenza. Il triangolo ABC è stato trasformato in A’B’C’, con le
misure dei lati proporzionali a quelli del triangolo ABC (in figura la proporzione è
2, cioè i lati di A’B’C’ sono doppi di ABC). Gli invarianti sono qui gli angoli, il
rapporto di due lati omologhi (corrispondenti), ma non le misure dei lati e
nemmeno le direzioni.
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Isometrie
Le precedenti trasformazioni si chiamano anche trasformazioni non
isometriche.
Le isometrie sono invece le particolari trasformazioni geometriche che
conservano la distanza tra punti, cioè la misura dei lati.
Si possono così classificare:
1.Traslazioni
2.Rotazioni
3.Simmetrie centrali
4.Simmetrie assiali.
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1.La traslazione
Una traslazione è una trasformazione affine che sposta una figura A in A’ nella
stessa direzione indicata dal vettore v, lasciando inalterati tutti i punti della figura.
A’ si dice il traslato di A rispetto alla traslazione t.
La traslazione è un movimento diretto, cioè mostra sempre la stessa faccia.
A’
A
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2. La rotazione
Una rotazione è una trasformazione che sposta l’oggetto da A in A’, facendolo
ruotare intorno al centro C della rotazione di un certo angolo, che può essere
interno o esterno alla figura. La rotazione può avvenire in senso orario o
antiorario.
La rotazione è un movimento diretto, cioè mostra sempre la stessa faccia.
A’
A
C
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3. La simmetria centrale
Una simmetria centrale è una rotazione del triangolo ABC di 180° rispetto al
centro di simmetria O. Le due figure A e A' si dicono simmetriche rispetto a un
punto O. La simmetria centrale è un movimento diretto, cioè mostra sempre la
stessa faccia.
A
A’
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4. La simmetria assiale
La simmetria assiale è una riflessione che "specchia" tutti i punti rispetto ad
una retta (detto asse di simmetria). Due figure A e A' si dicono simmetriche
rispetto a una retta r.
La simmetria assiale è un movimento inverso, cioè inverte l‘orientazione degli
oggetti (ad esempio, una coppia di assi ortogonali, il senso di percorrenza dei
lati di un triangolo, la faccia che vediamo).
A
r
A’
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1.Il tetraedro
Ha esattamente 24 simmetrie
E ci sono 4 rotazioni di 120°,
4 di 240°, 3 rotazioni di 180°, 6 riflessioni e l’identità, 6 riflessioni rotatorie ad
uno dei 3 assi di rotazione
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2. Musica e simmetria
Bach nelle sue opere, tra cui L’arte della Fuga (BWV 1080) applicò alcune
tecniche compositive che possono essere interpretate mediante le trasformazioni
geometriche (vedi Contrapunctus 12 e Canon per Augmentationem in Contrario
Motu).
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3. Arte e simmetria
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4. Arte e simmetria
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5. Arte e simmetria
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6. Architettura e simmetria
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7. Architettura e simmetria
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8. Architettura e simmetria
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