The pendulum clock: a venerable dynamical system Il pendolo dell

The pendulum clock: a venerable dynamical system
Il pendolo dell’orologio: un venerabile sistema dinamico
Mark Denny
BAE Systems, Radar Systems Design Group, Crewe Toll, Ferry Road,
Edinburgh EH5 2XS, UK
Published 8 July 2002
EUROPEAN JOURNAL OF PHYSICS
23 (2002) 449–458
trad. It. Daniele L.R. Marini, ottobre 2006 – gennaio 2014
Riassunto
Si dimostra che il moto stazionario di un orologio a pendolo con pesi è
stabile con ciclo limite. Una soluzione esplicita si ottiene mediante le
funzioni di Green. L’ampiezza dell’oscillazione del pendolo è una
semplice funzione di parametri. Si discute inoltre il ruolo chiave giocato
dallo scappamento ad ancora, e lo si colloca nel contesto storico.
Un orologio a cassa lunga e a pesi è un sistema dinamico con un oscillatore costituito
da un pendolo smorzato che agisce sotto una forza non lineare. La frequenza del
termine forzante è la stessa del pendolo smorzato, pertanto questo è un esempio di un
sistema oscillatorio auto-eccitato [1]. L’energia potenziale del peso è convertita in
energia cinetica del pendolo attraverso il meccanismo di scappamento dell’orologio.
La fisica di questo sistema è istruttiva, poiché lo studente impara i moti armonici
smorzati, le oscillazioni auto-eccitate, la stabilità e i cicli limite, tutto a partire da un
oggetto famigliare e storicamente importante. La storia dello sviluppo dell’orologio è
molto interessante: nella sezione 2 ne riassumeremo gli aspetti più rilevanti, ponendoli
nel contesto dello sviluppo dello scappamento ad ancora, che analizziamo più avanti.
La prima analisi matematica dell’orologio a pendolo si deve ad Airy nel 1826. Il suo
interesse per la registrazione del tempo deriva dalle sue ricerche in astronomia (Airy
auspicava anche uno standard nazionale britannico per la definizione del tempo): la
analisi di Airy è riassunta nella sezione 3.
Gli orologi a cassa lunga sono alti a causa del pendolo e dei pesi. Spesso chiamato
orologio “cassa da morto”, per la forma e per l’apertura frontale, vennero via via
chiamati orologi “del nonno” a partire dal 1876 [2]. Il pendolo ha una lunghezza di
circa 1 m e un periodo di 2 secondi. L’ancora impegna la ruota di scappamento due
volte per ciclo (si veda la didascalia della figura 1), cioè una volta per secondo. Questo
da origine al ticchettio dell’orologio. Pertanto il meccanismo dello scappamento svolge
un ulteriore compito rispetto al mantenere il pendolo in oscillazione: ne regola il
periodo. Lo scappamento, letteralmente, fa ticchettare l’orologio. L’oscillazione del
pendolo viene mantenuta alla sua frequenza naturale ed è stabile rispetto a
perturbazioni minor, Dimostreremo in questa nota che il moto di un pendolo, regolato
da uno scappamento ad ancora, è un “ciclo limite” stabile, e deriveremo una soluzione
esplicita usando le funzioni di Green (sezioni 4 e 5). L’analisi è confermata da risultati
numerici (sezione 6). Concluderemo con una breve discussione sul problema della
perdita di energia.
Figura 1. (a) L’ancora è solidale con il pendolo ed oscilla con esso. La ruota dentata di
scappamento è collegata tramite un treno di ingranaggi a un bariletto attorno al quale è avvolta
una corda cui è legato un peso (non in figura), cosicché il bariletto e la ruota di scappamento
ruoteranno in senso orario mentre il peso scende. Questo moto viene interrotto dai due denti
dell’ancora che ingaggiano la ruota di scappamento. La forma dell’ancora è fatta in modo che,
quando un dente libera la ruota il secondo dente impegna nuovamente la ruota dopo un tempo
molto breve, in modo che la ruota di scappamento compie una rotazione di un angolo piccolo (e
la lancetta dei minuti che è collegata a questa ruota compie una rotazione di circa 1/60 di
circonferenza). Questa azione si compie due volte durante un ciclo del pendolo. L’effetto della
ruota di scappamento sull’ancora è di imprimere un piccolo impulso al moto del pendolo, e
produce il caratteristico suono tic-tac. Questo schema è grandemente semplificato per ragioni di
chiarezza.
b) Dettaglio dell’ancora e dello scappamento da una enciclopedia del 1832.
2. Prospettiva storica
Le prime applicazione del pendolo per rilevare meccanicamente il tempo risale al
1583. In quest’anno il giovane Galileo postulò la natura isocrona (periodo costante
indipendente dall’ampiezza) di una lampada oscillante nella cattedrale di Pisa. Nel
1641, ormai vecchio e cieco, si suppone che egli abbia descritto al figlio Vincenzo
come si sarebbe potuto costruire un orologio con un pendolo di quel tipo [3].
Figura 2. Il pendolo di Huygens, visto di lato. Il quadrante dell’orologio a sinistra è collegato
al treno ingranaggi con lo scappamento a corona K.
Probabilmente un orologio secondo il progetto di Galileo è stato costruito, ma tutta la
documentazione è stata distrutta da Vincenzo in un delirio di febbre nel 1649. Il primo
progetto certo di un orologio a pendolo è di Huygens, ed è stato costruito da Coster nel
1656. Di orologi originali di Coster ne sopravvivono sette esemplari.
L’interesse di Huygens nella registrazione del tempo lo ha condotto a dimostrare
teoricamente che la cicloide è un tautocrono (struttura con proprietà di isocronismo
N.d.T.) a gravità costante. Ciò significa che un corpo rigido discende lungo una curva
cicloidale verso il fondo in un tempo fissato indipendente dalla sua posizione iniziale.
Egli mostrò anche come modificare il moto di un pendolo in modo che tale proprietà
valga per qualsiasi ampiezza dell’oscillazione, e quindi ogni oscillazione diventi
isocrona, non soltanto nei casi di angoli piccoli come osservato da Galileo [4].
Huygens era interessato a risolvere il problema della longitudine, che creava gravi
problemi ai naviganti [3, 5] e propose di risolverlo con un accurato orologio a
pendolo1. Egli sviluppò uno scappamento a rinculo per regolare il pendolo e prevenirne
l’arresto (vedi figura 2); con questo orologio condusse degli esperimenti nel 1662 e nel
1686, e lo brevettò nel 1664-5. Il suo orologio in mare non era accurato a sufficienza, a
causa del rollio e del beccheggio della nave che interferivano con le oscillazioni del
1
Il problema della determinazione accurata della longitudine aveva interessato inizialmente gli Spagnoli
e in seguito Olandesi, Francesi e Inglesi, i cui governi offrirono un grosso premio all’inventore di un
pendolo. Si dovette attendere un altro secolo prima che fosse realizzato un cronometro
marino sufficientemente preciso per permettere una stima accurata della longitudine
(da parte di Harrison nel 1761 [5]).
L’orologio di Huygens era accurato in terra ferma nel limite di un minuto al giorno.
Modelli successivi migliorarono questa precisione a 10 secondi al giorno. Un
miglioramento significativo giunse con l’invenzione di un nuovo scappamento ad
ancora in Inghilterra [2]. Nell’arco di poche settimane dalla concessione del brevetto a
Huygens, Ahasuerus Fromanteel si assicurò i diritti di produzione e questo evento
diede inizio all’epoca dell’orologio inglese a cassa lunga, che dominò il mondo
dell’orologeria per circa un secolo. La Francia, spronata anch’essa dal problema della
longitudine, domava la produzione di orologi e della tecnica orologiaria nel periodo
1770-1840, stimolando a sua volta la nascita dell’industria orologiaria Svizzera.
L’accuratezza dell’orologio a pendolo venne migliorata da Graham nel 1721
portandola ad 1 secondo per giorno. Questo risultato aveva richiesto un miglioramento
nello scappamento [3, 6] e un metodo per compensare le variazioni di lunghezza del
pendolo al variare della temperatura ambiente. (È facile dimostrare che un pendolo di
acciaio perde 1 secondo per giorno se la temperatura cresce di circa 2°C). Ulteriori
raffinamenti includono una grande quantità di nuovi tipi di scappamento, pendoli
finemente lucidati che oscillano nel vuoto parziale, pendoli di quarzo fuso la cui
lunghezza non subisce variazioni significative col variare della temperatura. Graham
realizzò per Halley due orologi con carica mensile, che sono rimasti in uso fino
all’inizio del XX secolo, che tuttora “… mantengono l’indicazione oraria
all’Osservatorio Reale entro un errore di pochi secondi per settimana” [7]. Mediante
tutti questi miglioramenti ed altri ancora, gli orologi meccanici a pendolo rimasero le
macchine più accurate per registrare il tempo fino circa il 1930, data in cui si raggiunse
il risultato di una precisione dell’ordine di pochi millisecondi per giorno.
La sorgente di energia di un pendolo “del nonno” è un peso agganciato a un bariletto,
che lentamente lascia scendere il peso trasferendo l’energia potenziale in energia
cinetica del pendolo. Lo scappamento trasferisce sufficiente energia durante ciascun
ciclo di oscillazione per compensare la perdita dovuta agli attriti. Con questo metodo, il
pendolo oscillerà per una settimana, prima che i pesi debbano ritornare all’altezza
originale, caricando l’orologio. Senza questo apporto di energia il pendolo oscillerà per
poche ore soltanto. Hooke dichiarò di avere inventato lo scappamento ad ancora [3, 6].
Esso venne applicato al pendolo da William Clement nel 1671. Esso ha il vantaggio,
rispetto ad altri meccanismi, di interferire molto poco con l’oscillazione del pendolo.
(Il precedente sistema con ruota corona e scappamento a verga, illustrato in K nella
figura 2, venne impiegato per più di 400 anni. Esso imponeva al pendolo oscillazioni
molto ampio, in modo da impedir l’isocronismo. Questa deviazione dell’oscillazione
del pendolo dalla cicloide isocrona è chiamata dagli orologiai errore circolare [5]).
Con questo nuovo meccanismo per mantenere il pendolo in movimento era necessaria
meno energia. Il nome ha origine dalla forma, come si vede in figura 1. Alcuni
scappamenti richiedono la lubrificazione, ed altri no. Alcuni sono molto robusti, altri
fragili 2.
2
Ci sono numerosi e interessanti siti web che contengono illustrazioni di diversi tipi di scappamento,
alcuni dei quali sono perfino animati. Queste animazioni sono di grande aiuto per comprendere il
meccanismo, che in alcuni casi (come nello scappamento “a cavalletta” – grasshopper – di Harrison)
sono molto complicati. Consigliamo al lettore interessato, ad esempio,
http://hohttp://home.talkcity.com/Terminus/mvhw/escapement.html.http://home.talkcity.com/Terminus/
mvhw/escapement.html. C’è anche una descrizione qualitativa di orologi a pendolo che comprendono
3. L’analisi di Airy
L’articolo [8] è una delle prime analisi di orologi a pendolo e da tasca (presentata alla
Società Filosofica di Cambridge nel 1926 e pubblicata quattro anni dopo) condotta da
Airy, un fisico molto stimato, che ancora non conosceva le moderne idee relative ai
sistemi non lineari. In questo paragrafo delineiamo le ipotesi di Airy e i sui calcoli
molto chiari. Tralasceremo applicazioni dettagliate a casi particolari, e lasceremo il
lettore interessato alle conclusioni di Airy sul progetto dello scappamento migliore
(egli raccomandò un tipo a caviglie). Il nostro maggiore interesse in questo lavoro è
l’esame delle differenze tra l’analisi di Airy “classica” rispetto al nostro approccio
moderno che illustreremo più avanti, con tutti i vantaggi derivanti dalle conoscenze
moderne sul ciclo limite ed altri aspetti della dinamica non lineare.
L’approssimazione lineare di un pendolo oscillante senza attriti è descritta
dall’equazione dell’oscillatore armonico (1):
(1)
dove θ è lo spostamento angolare del pendolo rispetto alla verticale, g è l’accelerazione
di gravità ed l è la lunghezza del pendolo. Per denotare l’operazione di derivazione
rispetto al tempo adottiamo la notazione con i punti. Le soluzioni per determinare
spostamento e velocità angolare sono ben note:
Si supponga ora che ci sia una piccola forza additiva f (dovuta all’attrito, allo
scappamento o a un termine non lineare del pendolo), l’equazione (1) diventa:
Airy ricerca soluzioni che mantengano la forma dell’equazione (2) ma ora l’ampiezza
a e la fase φ dipendono dal tempo. Questo conduce alle equazioni accoppiate:
Airy si aspetta che f sia piccolo, e questo semplifica grandemente le equazioni (4)
assumendo che a e φ alla destra delle equazioni siano costanti, poiché la dipendenza
dal tempo è dell’ordine di f2. Egli mette in luce che lo scappamento dipende realmente
dallo spostamento angolare θ piuttosto che dal tempo (nel linguaggio contemporaneo
diremmo che il sistema è autonomo), il che conduce a:
Da queste equazioni Airy calcola l’incremento di ampiezza e la frazione di incremento
nel periodo τ, in un ciclo:
anche animazioni, in questo sito: http://www.howstuffworks.com/clock.htm. Una simulazione più
dettagliata si trova qui: http://www.howstuffworks.com/clock.htm.
Per ottenere oscillazioni regolari, necessarie in un orologio a pendolo o da tasca,
vorremmo che queste due quantità siano le più piccole possibili. Notiamo nella (6) che
il periodo è costante se la forza f è una funzione pari di θ mentre l’ampiezza è costante
se f è una funzione dispari. In generale è quindi difficile ottenere che Δa e Δτ siano
nulle. Airy esamina varie forme di f: errore circolare, differenti tipi di attrito e
differenti azioni dello scappamento. Conclude, correttamente, che lo scappamento
dead-beat sia il migliore. Questo tipo di scappamento è stato sviluppato da Graham nel
1721: i precedenti scappamenti ad ancora erano del tipo a rinculo, che ritardava
l’oscillazione del pendolo per una metà del ciclo (causando un movimento retrogrado
della lancetta), e ne esaltava l’oscillazione durante l’altra metà di ciclo. Lo
scappamento senza rinculo (dead-beat) riduceva l’attrito e in particolare l’usura.
Discuteremo la dinamica di queste varianti di scappamento più avanti.
Figura 3. Diagramma di fase di un pendolo con scappamento a rinculo. Senza attrito il
digramma sarebbe un’ellisse. L’attrito lo modifica in una spirale attorno all’origine. Lo
scappamento lo riporta a un ciclo limite. Il meccanismo dell’ancora fornisce un piccolo impulso
due volte per ciclo durante un breve intervallo di tempo Δt nel momento in cui il pendolo
giunge al punto più basso. Un impulso k+ incrementa la velocità angolare del pendolo, mentre il
secondo impulso k- provoca un rallentamento dovuto al rinculo. Se k+ supera k- Allora viene
fornita al pendolo energia sufficiente a vincere gli attriti, e ne consegue l’emergere del ciclo
limite.
4. L’azione dello scappamento e il ciclo limite
Consideriamo ancora l’oscillatore armonico linearizzato, e questa volta esplicitiamo la
presenza dell’attrito:
dove b è il coefficiente di attrito. Per smorzamenti piccoli (b ≪ 2ω0) la soluzione [vedi
9] è:
Da qui in poi imponiamo la fase ψ=0. Notiamo che la frequenza è un poco ridotta
rispetto alla frequenza naturale del pendolo ω0 nell’equazione (1) e il diagramma di
fase consiste in una spirale attorno all’origine. L’azione dello scappamento cambia
tutto ciò come schematizzato in figura 3. La spirale viene spezzata da due piccoli
impulsi k± forniti al pendolo nella posizione angolare θ=0 dovuti all’azione dello
scappamento. Questi impulsi aggiungono l’energia sufficiente a superare gli effetti
dello smorzamento per attrito, ne risulta appunto un ciclo limite 3. Verifichiamo ora
quanto detto e dimostriamo che il ciclo limite è stabile:
Consideriamo la fase θ=0 al tempo tn, dove ωtn = 2nπ con n intero. Il periodo è quindi
τ = tn+1 – tn . Dall’equazione (8) vediamo che
In una notazione più comoda
l’equazione (9a) si può scrivere come:
Se esiste un ciclo limite allora
abbiamo:
per n grande, nel qual caso dalla (9b)
Consideriamo ora come ci si avvicina a questo limite. Dalla (9b)
Qui abbiamo ipotizzato che una piccola perturbazione di grandezza ε abbia influito sul
pendolo all’istante tm con m<n.
Vediamo quindi che per grandi valori di n
. Così la velocità angolare del
pendolo è indipendente dal valore iniziale x0 , e il ciclo limite è stabile rispetto a
perturbazioni irregolari ε. Poiché x deve essere positivo, la condizione per questa
stabilità è k >0 , ovvero k+ > k- nell’equazione (10). L’equazione (10) ci dice anche
che per attriti di valore piccolo (tali che ½ b τ ≪ 1) la velocità angolare massima è:
Abbiamo così dimostrato che l’azione dello scappamento di un pendolo è un ciclo
limite stabile. Questo metodo di dimostrazione è il più adatto a questo problema a
causa delle forze impulsive. Il metodo usuale per determinare l’esistenza del ciclo
limite è infatti differente [10, 11]. Esso dovuto a Poincaré, e si basa sull’idea dei cerchi
tangenti.
Lo
spostamento
viene
rappresentato
in
coordinate
polari
Sostituendo questa forma nell’equazione (13) seguente,
cerchiamo un raggio minimo e massimo per il diagramma di fase. Se questi raggi
esistono allora esiste il ciclo limite. Questo approccio è però più adatto a sistemi con
forze continue, ma può essere applicato con cautela anche al nostro problema e
produce il medesimo risultato: un ciclo limite stabile con velocità angolare massima
data dall’equazione (12).
3
L’approssimazione dell’impulso, e il diagramma di fase risultante, vengono discussi in [1]. Si noti che
in [1] si indica che k- < k+, il che non è vero.
5. Soluzione dell’equazione del moto
L’equazione linearizzata del moto del pendolo con scappamento è:
Gli orologi a cassa lunga “del nonno” hanno pendolo con piccole oscillazioni (<5°),
quindi l’approssimazione lineare è adeguata.
rappresenta il momento angolare
trasferito al pendolo dal meccanismo dello scappamento, durante il piccolo intervallo
di tempo Δt . Esso può essere scritto nella forma (vedi [1]):
per lo scappamento a rinculo, dove
Abbiamo cioè ipotizzato che l’influenza dello scappamento sia una serie di piccoli
impulsi ogni mezzo ciclo. Questi impulsi forniscono una accelerazione angolare
L’azione dello scappamento può essere scritta con una funzione di Green scrivendo la
soluzione dell’equazione (13) nel seguente modo:
dove (vedi [9])
e le funzioni di Green per un oscillatore smorzato sono date da:
Questa soluzione ha la forma richiesta per un pendolo smorzato (equazione 8) con
impulsi kn = k± sommati alla velocità angolare
all’istante tn. Questo consegue
dal fatto che per l’equazione (15)
vale
e dall’equazione (16)
abbiamo
. Così gli impulsi kn vengono sommati
negli istanti tn, come indicato in figura 3 e nell’equazione (14). La funzione G(t-tn)
rappresenta la risposta del pendolo all’impulso unitario al tempo tn.
In Fisica e nello studio dei sistemi dinamici è comodo rappresentare forze cicliche
mediante una decomposizione spettrale, in particolare se c’è una frequenza particolare
dominante. Per le forze che consideriamo nel caso in esame, impulsi netti e improvvisi,
tuttavia non conviene usare il metodo della analisi di Fourier, in quanto ci troveremmo
di fronte al contributo di numerose frequenze (come avviene ad esempio nel caso di
segnali a onda quadra – N.d.T.). La fisica dello scappamento del pendolo è un esempio
eccellente per illustrare l’efficacia delle funzioni di Green.
Se esiste un ciclo limite, possiamo calcolare θ dalla equazione (16):
Sostituendo questo nella (17) e (18) otteniamo, dopo un po’ di calcoli,
Se ipotizziamo ancora attriti piccoli l’equazione si semplifica:
Così esiste una soluzione per un oscillatore non smorzato, che ha la stessa frequenza
del pendolo smorzato. L’ampiezza delle oscillazioni è indipendente dalla ampiezza
iniziale, ed è anche indipendente da ω me nel caso del pendolo libero. Notare che
l’ordine di grandezza della velocità angolare ottenuta derivando l’equazione (21) è la
stessa trovata in precedenza e indicata nell’equazione (12).
6. Integrazione numerica
L’equazione di moto (13) può essere integrata facilmente. Nella figura 4 vediamo il
diagramma di fase che risulta da una integrazione numerica con parametri scelti
volutamente in modo esagerato: (b,k) = (0.22, 0.1 s_1). Per semplicità abbiamo scelto
uno scappamento senza rinculo (dead beat) con un singolo battito per ciclo, in modo da
eliminare il contributo dell’impulso k_ dell’equazione (14). Durante l’integrazione il
momento angolare p dell’equazione (14) viene sommato a in θ=0 , o altrimenti la
forza p/Δt viene sommata a . In entrambi i casi otteniamo lo stesso risultato. Si noti
che il sistema è stabile: la traiettoria di fase è una spirale entro il ciclo limite. Il valore
di k+ è stato scelto molto grande in modo da rendere evidente l’impulso a θ=0.
Dall’equazione (21) si può ricavare l’ampiezza del ciclo limite pari a 8.3°, un valore
molto vicino a quello ottenuto con l’integrazione numerica. Si noti ancora l’asimmetria
del ciclo limite: a causa dell’impulso l’ampiezza di picco è maggiore per valori positivi
della fase (9.1°) che per valori negativi (8.2°).
Questa simulazione numerica conferma l’analisi conferma dei paragrafi 4 e 5. Inoltre la
simulazione numerica mostra che la condizione di stabilità si raggiunge anche per
oscillazioni di maggiore ampiezza, per le quali la condizione di approssimazione
lineare dell’equazione (13) non è valida, sebbene in questo caso l’ampiezza del ciclo
limite dell’equazione (21) viene sottostimata.
Figura 4. Diagramma di fase della soluzione numerica dell’equazione (13), assumendo un
singolo impulso per ciclo di uno scappamento dead beat. I valori dei parametri sono l=1m, b=
0.22, k=0.1s-1. Le condizioni iniziali sono (
,θ) = (10°, 0°).
7. Perdita di energia
L’equazione (13) ha la forma
con
dove α = 1/Δt è l’accelerazione angolare. Il tasso con cui l’energia viene fornita al
sistema descritto dall’equazione (22) è dato da (vedi [1]):
Come ci aspettavamo, il pendolo perde energia salvo in θ = 0. (Ricordiamo che la
stabilità richiede k>0, così che l’energia viene fornita al pendolo per θ = 0.)
Esaminando nel modo seguente l’andamento dell’energia possiamo stimare i valori dei
parametri k e b in funzione dei parametri generali. Consideriamo ancora il sistema di
figura 4, in cui abbiamo un solo impulso per ciclo k. L’energia guadagnata dal pendolo
in un ciclo è δE = ml2k2, mentre l’energia fornita al pendolo dai pesi in ogni ciclo è δE
= εmgh/N. In questa equazione ε è un fattore di efficienza, che dipende dal tipo di
scappamento e dall’efficienza complessiva del treno di ingranaggi; un valore tipico e
realistico è ε = 25%. N è il numero di ciclo che compie il pendolo quando i pesi
scendono di una altezza h che corrisponde a una completa ricarica. Si può stimare
questo valore come N = εgh/(lk)2. L’orologio è attivo per un tempo Nτ tra due
successive ricariche, con τ = 2π (l/g)1/2 periodo del pendolo. Con queste considerazioni
possiamo esprimere il parametro k nella forma
Se ora scegliamo come valori Nτ = 1 settimana, h = l = 1 m, troviamo k ≈ 0.003 s-1.
Dall’equazione (21) ricaviamo l’ampiezza massima di θ0 = k / (πb) quindi θ0 = 3° che
corrisponde a b ≈ 0.019 s-1. Pertanto il requisito che un orologio a cassa lunga che
batte a intervalli di 1 secondo (periodo 2 s, quindi lunghezza del pendolo l = 1 m) e
che la durata della carica duri una settimana, impone dei vincolo precisi per l’attrito
massimo e per i valori dei parametri dello scappamento. Si può notare che esistono
orologi a cassa lunga con durata di carica fino a un anno, la qual cosa suscita
ammirazione per la qualità, la precisione e l’abilità del costruttore.
8. Conclusioni e discussione
L’orologio a pendolo con energia fornita dai pesi costituisce un sistema dinamico
molto interessante, pratico e di importanza storica per lo studioso dei sistemi dinamici.
Lo strumento matematico naturale per esaminare questo sistema è costituito dalla
funzione di Green. Le soluzioni ottenute indicano che l’ampiezza dell’oscillazione del
pendolo dipende da due parametri: il coefficiente di attrito b del pendolo e il parametro
di impulso dello scappamento k. É evidente che nella pratica sia desiderabile di avere
un attrito più piccolo possibile al fine di ridurre l’usura e accresce la durata
dell’orologio. Tuttavia l’attrito ha una funzione essenziale per mantenere la autoregolazione del sistema. Nel corso di 200 anni di sviluppi tecnici dall’invenzione del
primo tipo di scappamento sono state sviluppate innumerevoli soluzioni (ben descritte
ed illustrate ad esempio in [12]). Ciascuna di queste soluzioni è caratterizzata da
specifici valori di k e b. Ciascuna ha proprie caratteristiche di efficienza, resistenza
all’usura e modalità di azione. Lo scappamento pin-wheel assai ingegnoso usato molto
in Francia era criticato in Inghilterra perché richiede frequenti lubrificazioni (questo
mette bene in luce le due facce del problema, illustrato nella nostra analisi, di
desiderare un poco di attrito ma non troppo). Il geniale scappamento grasshopper di
Harrison era efficiente e non richiedeva manutenzione: il legno di cui è fatto fornisce
una lubrificazione sufficiente al punto che uno di quelli costruiti da Harrison è tutt’oggi
funzionante.
Comprendere questi principi della fisica di queste macchine insegna agli studenti
alcune caratteristiche dei sistemi dinamici (ciclo limite, stabilità) e presenta una
applicazione pratica delle funzioni di Green. Per i fisici queste macchine accrescono la
nostra ammirazione per l’abilità e la genialità dei primi costruttori di orologi.
Ringraziamenti
Ringrazio il prof. J. Lienhard per l’autorizzazione a riprodurre le figure 1 e 2.
Riferimenti