Lezione23/10/09: Calcolo combinatorio

CALCOLO COMBINATORIO
“Il DNA fa l’RNA, l’RNA fa le proteine e le proteine
fanno noi” (F.H.C, Crick)
La fase di costruzione della proteina da parte dell’RNA
prende il nome di traduzione: le basi dell’RNA vengono
“lette” in triplette, dette codoni, e ad ogni codone è
associato un preciso aminoacido
Sia Arna = {A,C,G,U} l’insieme delle basi azotate dell’
RNA.
Quanti diversi codoni si possono avere con queste quattro
basi?
CALCOLO COMBINATORIO
Quanti diversi codoni si possono avere con queste quattro
basi?
I codoni sono “parole” formate da tre lettere.
Le lettere sono le quattro basi azotate A, C, G, U
Sono ammesse ripetizioni
???
Al primo posto ho 4 scelte, per ognuna di queste ho
ancora 4 scelte per il secondo posto, quindi 4·4, e per
ognuna di queste ancora 4 scelte per il terzo e ultimo
posto, quindi in tutto 4·4·4= 43 = 64 codoni possibili.
CALCOLO COMBINATORIO
Quanti sono i codoni in cui nessuna base è ripetuta?
Ragionando come prima
4 scelte per il primo posto, per ognuna di queste ci sono
ora 3 scelte per il secondo(dobbiamo escludere la lettera
già scelta), quindi 4·3, e per ognuna di queste solo 2
scelte per il terzo posto, in tutto 4·3·2 = 24 codoni senza
ripetizione di basi.
CALCOLO COMBINATORIO
In generale:
se ho n specie diverse di oggetti
(dispongo di un numero illimitato di oggetti di ogni
specie)
devo occupare k spazi, occupando ogni spazio con un
oggetto
in quanti modi diversi posso farlo?
n·n·n….n·n = nk
k volte
(vengono dette disposizioni con ripetizione)
CALCOLO COMBINATORIO
Se ho n specie diverse di oggetti, ogni oggetto è
disponibile senza ripetizione
devo occupare k spazi, occupando ogni spazio con un
oggetto, in quanti modi diversi posso farlo?
n·(n-1)·(n-2)….·(n-k+1)
(vengono dette disposizioni semplici o senza ripetizione)
CALCOLO COMBINATORIO
Nel caso delle disposizioni semplici
quando n=k (il numero delle specie diverse di oggetti è
uguale al numero dei posti da occupare), otteniamo
n·(n-1)·(n-2)…·2·1=n!
Il simbolo n! si legge n fattoriale, ed indica il numero di
permutazioni degli n oggetti sugli n spazi
Esempio: In una gara di corsa, cui partecipano 8 atleti,
quanti diversi ordini di arrivo si possono avere?
8·7·6·5·4·3·2·1 = 8!
CALCOLO COMBINATORIO
Avendo a disposizione 20 cavie, se ne devono scegliere
5 per un certo esperimento. In quanti modi diversi
possiamo effettuare la scelta?
Potremmo, ragionando secondo lo schema delle
disposizioni senza ripetizione, pensare di avere
20·19·18·17·16 modi, ma….
è importante l’ordine con cui scegliamo le 5 cavie?
No, conta quale gruppo di 5 cavie prenderemo, ma non
l’ordine con cui le prenderemo.
Dobbiamo quindi….?
dividere il numero 20·19·18·17·16 per 5! Otteniamo
15504 possibili gruppi di 5 cavie delle 20 disponibili.
CALCOLO COMBINATORIO
In generale, in quanti modi si possono scegliere k da un
totale di n diversi oggetti, quando l’ordine in cui
appaiono i k scelti è irrilevante?
[n·(n-1)·(n-2)….·(n-k+1)]/k!
ovviamente k ≤ n
Per indicare il numero ottenuto, utilizziamo il simbolo
 
n
 
k
che si legge “n su k”.
CALCOLO COMBINATORIO
Si osserva che, ad ogni scelta di k oggetti, corrisponde
esattamente una scelta di n-k oggetti e viceversa. Deve
valere quindi la seguente uguaglianza (della cui
validità possiamo accertarci anche algebricamente,
come?….)
 
n
 
k
per k= 1,2,…,n-1
=


 n 


 n-k 
CALCOLO COMBINATORIO
Poiché si ha
 
n
 
n
=1
Volendo mantenere la simmetria precedentemente
osservata, poniamo
 
n
 
0
=
 
n
 
n
=1
CALCOLO COMBINATORIO
I numeri
 
n
 
k
Vengono spesso ordinati in modo tale da formare il
famoso triangolo di Tartaglia (noto anche come
triangolo di Pascal; fu infatti Pascal a diffonderlo). Nel
triangolo ogni numero è la somma dei due numeri più
vicini nella riga immediatamente superiore al numero
considerato
CALCOLO COMBINATORIO
CALCOLO COMBINATORIO
Come scrivere in generale la relazione messa in
evidenza nello slide precedente?
 
n
 
k
=


 n-1 


 k-1 
+


 n-1 


 k 
Come si può dimostrare la validità di questa relazione?
CALCOLO COMBINATORIO
Supponiamo che ci siano due alleli possibili per uno
stesso locus genetico. Quanti genotipi sono possibili?
Indichiamo con A1 e A2 i due alleli, si hanno i seguenti
genotipi
A1A1 A1 A2 A2 A2
Supponiamo ora che ci siano sei alleli possibili per uno
stesso locus genetico. Quanti genotipi sono possibili?
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