La Trasformata di Laplace La Trasformata di Laplace

La Trasformata
di Laplace
Pierre-Simon Laplace
1749-1827
La Trasformata
di Eulero
Leonhard Euler
(Eulero)
1707-1783
Definizione
Si definisce trasformata di Laplace
della funzione f(t) la funzione F(s)
così definita:
+∞
F ( s ) = L{ f }( s ) = ∫ e
0
Dove s=σ+jω=σ+j2πf.
− st
f (t )dt
Definizione
Se esiste F(s) in s0= σ0+jω0 allora esiste
per tutte le s tali che Re{s}>Re{s0}=σ0.
Si definisce α detta ascissa di convergenza
il più piccolo valore di σ0.
ω
α
σ
Definizione
Passare dal dominio del tempo al
dominio della frequenza.
L{}
t
s
Antitrasformata
Se F(s) è la trasformata di Laplace di
una funzione f(t) si definisce:
c + j∞
−1
f (t ) = L {F ( s )} =
e
F
(
s
)
ds
∫
st
c − j∞
Dove c è un qualsiasi numero reale
tale che sia c>α.
Tempo-Frequenza
L{}
t
s
L-1{}
Proprietà della Trasformata di Laplace
•UNICITÀ
L{f(t)}=L{g(t)} ↔ f(t)=g(t) q.o.
•LINEARITÀ
L{λ1f1(t)+λ2f2(t)}=λ1L{f1(t)}+ λ2L{f2(t)}
•DERIVAZIONE
L{f ’(t)}= s L{f(t)}-f(0)
L{f ’’(t)}= s2 L{f } – s f(0) – f ’(0)
L{f(n)(t)}= sn L{f } – sn-1 f(0) – … – fn-1(0)
L{tf(t)}=-F’(s)
Proprietà della Trasformata di Laplace
•INTEGRALE
L{∫f(τ)dτ} = L{f(t)} / s
•TRASLAZIONE COMPLESSA
L{eatf(t)}=F(s-a)
L-1{F(s-a)}= eatf(t)
•TRASLAZIONE NEL TEMPO
L{f(t-a)u(t-a)}= e-asF(s)
L-1{e-asF(s)}= f(t-a)u(t-a)
Proprietà della Trasformata di Laplace
•INTEGRALE DI CONVOLUZIONE
f (t ) • g (t ) =
+∞
+∞
−∞
−∞
∫ f (τ )g (t − τ )dτ = ∫ f (t − τ )g (τ )dτ
L{f•g} = F∙G
Proprietà della Trasformata di Laplace
•TEOREMA DEL VALORE INIZIALE
f (0) = lim sF ( s )
s →∞
•TEOREMA DEL VALORE FINALE
f (∞) = lim sF ( s )
s→ 0
Trasformate notevoli
1 L{cos(bt )} = s
L{e } =
2
2
s +b
s+a
b
∂ (t ) = 1
L{sen(bt )} = 2
2
s +b
1
s+a
− at
u (t ) =
L
{
e
cos(
bt
)}
=
2
2
s
(s + a) + b
n −1
t
1
b
− at
= n
L{e sen(bt )} =
(n − 1)! s
( s + a) 2 + b 2
− at
Antitrasformate notevoli
n −1
1
t
− at
=
e
n
( s + a)
(n − 1)!
1
1 − e − at
=
s( s + a)
a
1
1
=
e − at − e −bt
( s + a )( s + b) b − a
(
)

s+c
c−a
− at 
= e  cos(bt ) + 
 sen(bt ) 
2
2
( s + a) + b
 b 


s ⋅ senΦ + ω ⋅ cos Φ
= sen(ωt + Φ )
2
2
s +ω
Trasformazioni
Sfruttando le trasformate notevoli e
le proprietà della trasformata di
Laplace si possono ricavare tutte le
altre trasformate.
Esempio
Calcolare la trasformata di Laplace
di:
-t
f(t)=te
L{tf(t)}=-F’(s)
L{e-t}=1/(s+a)
F’(s)=-1/(s+a)2
-t
2
L{te }=1/(s+a)
Applicazioni
Impedenza nei circuiti elettrici
di (t )
v(t ) = L
V(s)=sL I(s) Z=sL
dt
dv(t )
i (t ) = C
I(s)=sC V(s) Z=1/sC
dt
Applicazioni
Soluzioni di Eq. differenziali.
 di ((tt )
+ Ri (t ) = u (t )
L
 dt
i (0 + ) = i
0

Applicazioni
Soluzioni di Eq. differenziali.
 di (t )
+ Ri (t ) = Vu (t )
L
 dt
i (0 + ) = i
0

i (t ) =
1
L(sI ( s ) − I 0 ) + RI ( s ) = V
s
LI 0
V
I ( s) =
+
s ( R + sL) R + sL
1
R
V 
V
i (t ) = +  I 0 − e
R 
R
R
− t
L
Sistemi LTI
Nel dominio del tempo
u(t)
h(t)
+∞
y(t)
y (t ) = u (t ) • h(t ) = ∫ u (τ )h(t − τ )dτ
−∞
Sistemi LTI
Nel dominio della frequenza
U(s)
H(s)
Y(s)
Y (s) = U ( s) ⋅ H (s)
Funzione di trasferimento
La risposta impulsiva definisce completamente un
sistema LTI ed è una sua rappresentazione nel
dominio del tempo.
La funzione di trasferimento è una
rappresentazione matematica della relazione tra
l'ingresso di un sistema LTI e la risposta del sistema
stesso nel dominio della frequenza.
h(t)
L-1{}
L{}
H(s)
Funzione di trasferimento
Tra le varie possibili relazioni ingresso-uscita che
possono essere introdotte per lo studio dei sistemi
lineari, la più importante è, senza dubbio, quella
che fa capo alla nozione di funzione di
trasferimento (fdt).
Y (s)
H (s) =
U (s)
Funzione di trasferimento
•La funzione di trasferimento è un rapporto tra
polinomi in s, in cui il grado del denominatore è
maggiore o uguale al grado del numeratore. Nel
caso in cui il numeratore e il denominatore abbiano
lo stesso grado il sistema si dirà improprio.
•I valori di s per cui si annulla il denominatore
della fdt si dicono poli;
• I valori di s per cui si annulla il numeratore
vengono definiti zeri della fdt;
• Il numero di poli costituisce l’ordine del sistema.
Forma di Stato
Un sistema LTI può essere rappresentato sotto
forma di stato:
 x& (t ) = Ax(t ) + Bu (t )

 y (t ) = Cx(t ) + Du (t )
Dove x(t) è il vettore delle variabili di stato e
A,B,C,D delle matrici di ordine opportuno.
Esempio
 di (t )
+ Ri (t ) = u (t )
L
 dt
i (0 + ) = 0

R
1
 di (t )
= − i (t ) + u (t )

L
L
 dt
VR (t ) = Ri (t )
Esempio
R
1
 di (t )
= − i (t ) + u (t )

L
L
 dt
VR (t ) = Ri (t )
R

A = − L

B = 1

L

C = R
D = 0

R
1

 x& (t ) = − x(t ) + u (t )
L
L

 y (t ) = Rx(t )
Formula di Lagrange
Dato un sistema LTI rappresentato in forma di
stato. Per t>t0 e x(t0)=xt0 varrà:
t
x(t ) = e A(t −t0 ) xt0 + ∫ e A(t −τ ) Bu (τ )dτ
t0
t
y (t ) = Ce A( t −t0 ) xt0 + C ∫ e A( t −τ ) Bu (τ )dτ + Du (t )
t0
2
3
t
t
e At = I + At + A2 + A3 ...
2!
3!
Formula di Lagrange
Il primo termine rappresenta l’evoluzione libera e
dipende solamente dalle condizioni iniziali.
Il decondo rappresenta l’evoluzione forzata e
dipende solamente dagli ingressi o forzanti.
t
x(t ) = e A( t −t0 ) xt0 + ∫ e A(t −τ ) Bu (τ )dτ
t0
i (t ) = I 0 e
R
− t
L
 V
+ 1 − e
 R
R
− t
L
Forma di Stato 2
 x& (t ) = Ax(t ) + Bu (t )

 y (t ) = Cx(t ) + Du (t )
sX ( s ) − x(0) = AX ( s ) + BU ( s )

Y ( s ) = CX ( s ) + DU ( s )
Forma di Stato 3
−1
−1
X ( s ) = ( sI − A) BU ( s ) + ( sI − A) x(0)
−1
−1
Y ( s ) = (C ( sI − A) B + D)U ( s ) + C ( sI − A) x(0)
La matrice H(s)=C(sI-A)-1B+D viene detta matrice
delle funzioni di trasferimento.
Nel caso di un sistema SISO H(s) coinciderà con la
fdt.