09 Onde di De Broglie (1923) Einstein ha dimostrato che la

Onde di De Broglie
09 Onde di De Broglie (1923)
Einstein ha dimostrato che la radiazione e.m. manifesta anche un comportamento
corpuscolare, tramite i fotoni a cui attribuisce l'energia di Planck I œ 2/ œ h = e
l'impulso : œ 2/ œ 2Î- œ h5ß con 5 œ #1Î-. Louis de Broglie ipotizzò che
qualunque particella avrebbe dovuto avere un comportamento ondulatorio, ovvero
mostrare un dualimso onda-corpuscolo analogo a quello della radiazione e.m..
L'ipotesi di De Broglie era, dunque, che ad una particella materiale con massa a
Ä
riposo 7! fosse associata un'onda di ampiezza <Ð<
ß >Ñ
ÄÄ
Ä
<Ð<
ß >Ñ œ E /3Ð5 †< =>Ñ
().1)
Ä
con 5 , vettore di propagazione, parallelo all'impulso Ä
: della particella e = legato
all'energia dalla stessa relazione valida per la radiazione e.m.. Quindi, l'ipotesi è che
la relazione tra le caratteristiche corpuscolari I e Ä
: e quelle ondulatorie = e 5 sia la
stessa che per la radiazione e.m.:
I œ h =,
Ä
: œ h5 œ 2Î-
(8.2)
L'onda (8.1) ha una ben determinata - e per l'ipotizzata relazione (8,2) avrà una ben
definita :: rappresenta così una particella che viaggia in una ben determinata
direzione e con una precisa velocità. Possiamo chiederci: dove sta la partcicella?
Facendo un'esperienza, in qual punto è più probabile che si trovi? Ora, la l< l2 risulta
costante (indipendente dal punto), per cui la probabilità di localizzazione è uniforme
lungo tutto l'asse su cui viaggia l'onda. La (8.1) rappresenta quindi una particella di
ben definita Ä
: (e quindi Ä
v ), ma di posizione del tutto indeterminata.
Volendo invece rappresentare una particella con una posizione B! meglio
definitaß bisognerà usare una < diversa da zero in corrispondenza ad un intorno di
tale posizione e zero al di fuori: ossia un pacchetto d'onde (vedi appendice B). Le loro
lunghezze d'onda sono distribuite quasi esclusivamente in un opportuno intervallo -,
-+?-. Dall'interferenza di tutte queste onde si ottiene un'onda che ha un'ampiezza
diversa da zero soltanto in uno stretto intervallo spaziale ?B. Tale onda ha quindi una
posizione spaziale lungo l'asse B determinata entro un ?B, e la lunghezza d'onda
determinata entro una banda di larghezza ?-, ovvero una quantità di moto lungo
l'asse B determinata entro un certo intervallo ?:B .
Se vale l'ipotesi di De Broglie (8.2), avremo, usando la notazione
# œ "ÎÈ"  " # :
Anno accademico 2011/2012
1
Onde di De Broglie
@1 œ
.=
.ÐIÎhÑ
.I
.
:- #
œ
œ
œ
œ
ŠÉ- # :#  Ð7! - # Ñ# ‘‹ œ
.5
.Ð:ÎhÑ
.:
.:
#
#
#
#

‘
É - :  Ð7! - Ñ
œ
# 7! @- #
É# # 7#! @# - #  Ð7! - # Ñ# ‘
œ
œ
# @-
É#!# @#  - # ‘
@-
É@#  ÐÈÐ- #  @# ÑÑ# ‘
œ
@-
É@#  Ð-Î# Ñ# ‘
œ
œ@
quindi la velocità con cui si muove il pacchetto (che è la velocità di gruppo) coincide
con quella della particella.
Anno accademico 2011/2012
2