6 - Diagrammi di Bode

Diagrammi di Bode
www.die.ing.unibo.it/pers/mastri/didattica.htm
(versione del 5-12-2012)
Funzioni di trasferimento
● Le funzioni di trasferimento (f.d.t) dei circuiti lineari tempo invarianti
sono funzioni razionali (cioè rapporti tra due polinomi) a coefficienti reali
della variabile j
N( j) bm ( j) m    b2 ( j) 2  b1 ( j)  b0

H ( j) 
D( j) an ( j) n    a2 ( j) 2  a1 ( j)  a0
● Per evitare di trattare esplicitamente quantità immaginarie, si introduce
una variabile s  j detta frequenza complessa
N( s ) bm s m    b2 s 2  b1s  b0

H( s) 
D( s ) an s n    a2 s 2  a1s  a0
● I valori di s per cui si annulla il polinomio N(s) sono detti zeri della f.d.t
● I valori di s per cui si annulla il polinomio D(s) sono detti poli della f.d.t
2
Funzioni di trasferimento
● Si indicano con
 m0 e n0 i numeri di zeri e di poli nulli della f.d.t.
 m1 e n1 i numeri di zeri (z1,..., zm1) e di poli (p1,..., pn1) reali diversi da
zero della f.d.t.
 m2 e n2 i numeri di coppie di zeri (z1,..., zcm1) e di poli (p1,..., pcn1)
complessi coniugati della f.d.t.
 La f.d.t può essere posta nella forma
m2
m1
H( s ) 
bm ( m0  n0 )
s

an
 (s  z ) (s  z
i
i 1
n1
i 1
n2
 (s  p ) (s  p
i
b
 m  s ( m0  n0 )
an
ci
i 1
i 1
m1
m2
i 1
n1
i 1
n2


 (s  p ) s
ci
)( s  zc*i )

)( s  pc*i )
 (s  zi ) s 2  2 Re( zc i )s  zci
i
i 1
2
2
 2 Re( pc i ) s  pc i


2
i 1
3
Funzioni di trasferimento
● Dall’espressione precedente si può ottenere la forma canonica
 2i
s2 
1  si  1  s  2 

0i
0i 
i 1
i 1 
H( s )  Ks ( m0  n0 )  n
n2
1
 2 i
s2 
1  si  1  s  2 

0i
0i 
i 1 
i 1
m1
m2
dove
i  
1
pi
0i  pc i
i  
Re pc i 
pc i
i  
1
zi
0i  zc i
i  
Rezc i 
zc i
m1
1 m2 2
  0i
bm i 1 i i 1
K   n1
an
1 n2 2
0 i



i 1 i i 1
4
Note
● Se m0n0  0, K rappresenta il valore di H(s) per s  0 (e quindi per
  0) cioè è il valore in continua delle funzione di trasferimento
● Si può notare che, affinché un termine quadratico del tipo
2
s2
1
s 2
0
0
corrisponda a una coppia di poli o zeri complessi coniugati, occorre che
sia negativo il discriminante
2 1

0
02 02
 Quindi deve essere soddisfatta la condizione 
5
Risposta in frequenza
● La risposta in frequenza può essere riottenuta sostituendo s con j

j  2 
1  ji  1  2i  2 

0i 0i 
k 1
k 1 
H ( j)  K ( j) ( m0  n0 )  n
n2
1

j  2 
1  ji  1  2 i  2 

0 i 0 i 
k 1 
k 1
m1
m2
● L’andamento di H(j) viene rappresentato mediante due grafici
(diagrammi di Bode) che riportano
 il modulo (in dB)  risposta in ampiezza
 l’argomento (in gradi o radianti)  risposta in fase
in funzione della pulsazione o della frequenza (in scala logaritmica)
6
Note
● Nella rappresentazione della frequenza (o della pulsazione) in scala
logaritmica si mettono in evidenza intervalli di frequenza caratterizzati
da un rapporto costante tra la frequenza superiore f2 e la frequenza
inferiore f1
● In particolare
 si chiama decade un intervallo per cui f2  10f1
 si chiama ottava un intervallo per cui f2  2f1
● Normalmente le fasi vengono rappresentate nell’intervallo 
oppure 
7
Funzioni elementari
● La forma fattorizzata della funzione di trasferimento rende agevole la
costruzione dei diagrammi di Bode, infatti
 Il valore in dB del modulo di H è dato dalla differenza tra le
sommatorie dei valori in dB dei moduli dei fattori del numeratore
(incluso K) e dei fattori del denominatore
 L’argomento H è dato dalla differenza tra le sommatorie degli
argomenti dei fattori del numeratore (incluso K) e dei fattori del
denominatore
 I diagrammi possono essere ottenuti sommando i contributi di termini
corrispondenti alle funzioni elementari
H ( j)  K
H ( j)   j
H ( j)  1  j 

j  2 
H ( j)  1  2
 2 

0 
0

1
1
1
8
Fattore costante
H ( j)  K
per K  0
0
argH ( j)  
180 per K  0
H ( j) dB  20 log10 ( K )
argH ( j)
H ( j)
9
Zero nell’origine
H ( j)  j
H ( j) dB  20 log10 ()
argH ( j)  90
  1  H ( j) dB  0 dB
argH( j)
H( j) (dB)
+20 dB/decade


10
Polo nell’origine
1
j
H ( j) 
H ( j) dB  20 log10 ()
argH ( j)  90
  1  H ( j) dB  0 dB
argH( j)
H( j) (dB)
20 dB/decade


11
Zero reale - ampiezza
H ( j)  1  j
H ( j) dB  20 log10 1  2  2
● Posto 0  1, si possono individuare due asintoti
  0

H ( j) dB  20 log10 1  0
 retta orizzontale con ordinata nulla
  0

H ( j) dB  20 log10
2
 20log10   log10 0 
02
 retta con pendenza +20 dB/decade (= +6 dB/ottava) che interseca
l’asse delle ascisse per 0
12
Zero reale - ampiezza
● L’andamento del modulo di H può essere approssimato con un
diagramma formato da due semirette che si incontrano per 
(approssimazione asintotica)
● Per  il modulo di H vale
H( j0 ) dB  20 log10 2  3 dB
● Questo valore rappresenta anche il massimo errore introdotto dalla
rappresentazione asintotica
13
Zero reale - ampiezza
H( j) (dB)
+20 dB/decade

0
14
Zero reale - fase
argH ( j)  arctg 
● Se  si ha
Se  si ha
lim arctg()  0
lim arctg()  0
lim arctg()  90
lim arctg()  90
0
0


arctg(0 )  45
arctg(0 )  45
● In questo caso si hanno due asintoti orizzontali
● L’andamento della fase può essere approssimato mediante una
spezzata formata da due semirette orizzontali, corrispondenti agli
asintoti, e da un segmento obliquo
● Il diagramma per  0 si può ottenere ribaltando attorno all’asse delle
ascisse quello tracciato per  0
15
Zero reale - fase
● Per tracciare il segmento obliquo si possono utilizzare vari criteri
● Approssimazione 1:
 Si collegano i due asintoti mediante la retta tangente alla curva nel
punto 
 Si può dimostrare che le intersezioni di questa retta con gli asintoti
si trovano in corrispondenza delle pulsazioni
1  0 e


2
 0.20

2
2  0 e  50
● Approssimazione 2:
 Si collegano gli asintoti mediante la retta che li interseca per
1  0.10
2  100
 In questo modo il massimo scostamento risulta di circa 5.8° ed è
inferiore al massimo errore che si ottiene con l’approssimazione 1
16
Zero reale - fase
0
argH( j)
approssimazione 1
approssimazione 2

0
17
Zero reale - fase
0
argH( j)
approssimazione 1
approssimazione 2

0
18
Polo reale
H ( j) 
1
1  j
● Dato che
 1 
  20 log10 1  j 
20 log10 

 1  j 
 1 
   arg1  j 
arg
 1  j 
i diagrammi del modulo e dell’argomento di questa funzione si
ottengono ribaltando attorno all’asse delle ascisse i diagrammi
corrispondenti alla funzione 1 j
19
H( j) (dB)
Polo reale - ampiezza
20 dB/decade

0
20
Polo reale - fase
0
argH( j)
approssimazione 1
approssimazione 2

0
21
Zeri complessi coniugati - ampiezza
j  2
H ( j)  1  2

0 02
2
H ( j) dB  20 log10
 2   2 

1  2   
 0   0 
2
● Si individuano due asintoti
  0

H ( j) dB  20 log10 1  0
 retta orizzontale con ordinata nulla
  0

H ( j) dB  20 log10
4
 40log10   log10 0 
4
0
 retta con pendenza +40 dB/decade (+12 dB/ottava) che interseca
l’asse delle ascisse per 0
22
Zeri complessi coniugati - ampiezza
● In questo caso, in prossimità della pulsazione 0 l’andamento del
modulo di H può discostarsi sensibilmente dal diagramma asintotico
● In particolare la curva può presentare un minimo se esiste un valore
reale R della pulsazione per cui si annulla la derivata di |H|
d
d
2
2
 2   2 
  0  R  0 1  2 2
1  2   
 0   0 
 Questo avviene se

2
2
 in questo caso si ha anche
H ( jR )  2 1   2
 In queste condizioni la risposta è detta risonante o sottosmorzata
 Altrimenti la risposta è detta non risonante o sovrasmorzata
23
Zeri complessi coniugati - ampiezza
H( j) (dB)
+40 dB/decade

0
24
Zeri complessi coniugati - fase

 20  
arctg
per   0

 2
2 
 (0   ) 


argH ( j)  90  sgn( )
per   0

 20  

 180  sgn( ) per   0
arctg
 2

2 



(
)
 0


● Se  si ha
Se  si ha
lim argH ( j)  0
0
lim argH ( j)  0
lim argH ( j)  180

lim argH ( j)  180

argH ( j0 )  90
0
argH ( j0 )  90
25
Zeri complessi coniugati - fase
● Anche in questo caso si può approssimare l’andamento della fase
mediante una spezzata formata collegando i due asintoti con un
segmento obliquo, che può essere tracciato in più modi
● Per esempio si può utilizzare la retta tangente alla curva per 0
● Si può dimostrare che questa retta interseca gli asintoti per
1  0 e

 
2

 5 0
2  0 e


2
 5 0
● Il diagramma della fase per  si ottiene ribaltando attorno all’asse
delle ascisse il diagramma ottenuto per 
26
Zeri complessi coniugati - fase
argH( j)
0

0
27
Poli complessi coniugati

j  2 
H ( j)  1  2
 2 

0 
0

1
● I diagrammi del modulo e della fase di H(j) possono essere ottenuti
ribaltando attorno all’asse delle ascisse i grafici ottenuti per la funzione
precedente
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H( j) (dB)
Poli complessi coniugati - ampiezza
40 dB/decade

0
29
Poli complessi coniugati - fase
argH( j)
0

0
30
Esempio 1
● Tracciare i diagrammi di Bode della f.d.t.
8 10 4  s
H(s)  2
2 s  2.04 10 4 s  4 106
● La f.d.t. ha uno zero nell’origine e due poli
p1 , p2 
 1.02 10 4  1.0404 108  8 106  1.02 10 4  0.98 10 4


2
2
 200
 10 4
● Si riscrive la funzione in forma canonica
H( s) 
8 10 4  s
8 10 4
s
1
s


 
4
4
s 
s  50 
s 
s 
2( s  200)( s  10 ) 2  200 10 
1 
1  4 
1 
1  4 
 200  10 
 200  10 
● Si tracciano i diagrammi asintotici dei moduli e delle fasi delle funzioni
150, j, 11j200, 11j104 e si sommano i loro contributi
31
Esempio 1 – diagramma del modulo
32
Esempio 1 – diagramma della fase
33
Esempio 1 – confronto con i diagrammi esatti
34
Esempio 2
● Tracciare i diagrammi di Bode della f.d.t.
s 

1  
 20 
H( s)  2 
2
s  
s 

1 
 1  4 
 500   10 
● La f.d.t ha uno zero per s  20, un polo semplice per s  104 e un
polo doppio per s  500
● Si tracciano i diagrammi asintotici dei moduli e delle fasi delle funzioni
2, 1+j11j500, 11j104 e si sommano i contributi
● I grafici di 11j500 si ottengono moltiplicando per 2 il modulo e
l’argomento di 11j500
35
Esempio 2 – diagramma del modulo
36
Esempio 2 – diagramma della fase
37
Esempio 2 – confronto con i diagrammi esatti
38