sezione aurea - Emanuela Pulvirenti

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Prof.ssa Emanuela Pulvirenti
La sezione aurea
scienza, natura, arte
Corso di Disegno e Storia dell’Arte
classe III A - a.s. 2010-2011
Liceo Scientifico “R. P. Vassallo”, Riesi
La sezione aurea
aritmetica
geometria
SCIENZA
frattali
fisica
zoologia
figure
curiosità
scienza, natura arte
botanica
NATURA
architettura
pittura
uomo
Corso di Disegno e Storia dell’Arte - classe III A - a.s. 2010-2011
ARTE
scultura
La sezione aurea
LA SEZIONE AUREA DI UN SEGMENTO
La definizione del rapporto aureo viene fissata attorno al
VI sec. a.C., dalla scuola pitagorica (i discepoli di Pitagora),
nell’Italia meridionale, dove Ippaso di Metaponto associò ad
esso il concetto di incommensurabilità.
La sezione aurea di un segmento è quella parte
che è medio proporzionale tra l’intero segmento
e la parte restante.
La definizione di rapporto aureo viene ricondotta allo studio
del pentagono regolare; il pentagono è un poligono a 5 lati
nel cui numero i pitagorici scorsero l’unione del principio
maschile e femminile (rispettivamente nella somma del 2
col 3), tanto da considerarlo il numero dell’armonia universale.
geometria
«Si dice che una retta risulta divisa in estrema e
media ragione, quando tutta quanta la retta sta
alla parte maggiore di essa come la parte maggiore sta a quella minore» (Euclide)
A
AB : AC = AC : CB
C
B
L’aura magica che i pitagorici associavano al 5, e a tutto ciò
che vi fosse legato, può spiegare come il rapporto aureo potesse apparire ai loro occhi tanto affascinante, pur ignorandone ancora gran parte delle proprietà matematiche, e giustificare in parte l’alone di mistero che lo ha avvolto sin dalla sua
scoperta fino ai nostri giorni.
La sezione aurea
Per individuare graficamente con riga e compasso la sezione aurea di un segmento AB si traccia in B la perpendicolare ad AB di lunghezza pari a AB/2 e la si congiunge con A.
Con apertura di compasso pari a OB si traccia D sull’ipotenusa del triangolo. Si riporta con il compasso AD sul
segmento e si ottiene AC, sezione aurea del segmento AB.
O
O
O
D
A
B A
B
A
D
B
A
C
B
aritmetica
La sezione aurea
LA SERIE DI FIBONACCI
Leonardo Fibonacci fu un matematico pisano della seconda metà
del XII secolo. A lui si deve l’introduzione in Europa della numerazione indo-arabica e l’invenzione dello 0. È noto soprattutto per
una sequenza elaborata nel 1202 e nota, appunto, come serie di
Fibonacci nella quale ogni numero è somma dei due numeri precedenti:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89....
Più si va avanti e più il rapporto tra due numeri consecutivi si
avvicina a 1,61803, cioé al rapporto aureo. Dunque:
La sezione aurea
Dal punto di vista matematico, il numero aureo corrisponde a una delle due possibili soluzioni dell’equazione di secondo grado
Il rapporto aureo è l’unico numero non naturale il cui
reciproco e il cui quadrato mantengono inalterata la
propria parte decimale:
x2 - x - 1 = 0, le cui radici sono:
φ = 1,618033989
1/φ = 0,618033989
φ2 = 2,618033989
Tra le due soluzioni possibili, quella che ha un senso
pure a livello geometrico è la radice positiva, ovvero il
numero irrazionale 1,618....
In matematica questo valore veniva indicato fino al XX
secolo con la lettera greca τ , fu il matematico Mark
Barr a introdurre l’uso, oggi consolidato, della φ, dall’iniziale dello scultore greco Fidia (in greco Φειδίας),
il quale avrebbe usato il rapporto aureo per creare le
sculture del Partenone.
figure
La sezione aurea
LE FIGURE GEOMETRICHE AUREE
La sezione aurea è connessa con la geometria del
pentagono e con la stella a 5 punte, chiamata anche
pentagramma, in esso inscritta (che, non a caso, era il
simbolo di riconoscimento dei pitagorici).
Il lato BC è sezione aurea della diagonale AB. Ma anche BD è sezione aurea di AB e DC’ lo è di BD. Se poi
all’interno del pentagono stellato si inscrive un’altra
stella si produce uno schema ricorsivo.
La geometria pentagonale è abbondantemente presente in natura e dimostra l’origine scientifica e biologica
della sezione aurea.
approfondimenti sul pentagono stellato
La sezione aurea
Un’altra figura geometrica che presenta proporzioni
auree è il triangolo isoscele i cui angoli alla base misurino 72° e angolo al vertice di 36°(si tratta comunque
di uno dei 5 triangoli che compongono la stella).
La bisettrice di un angolo alla base divide il lato obliquo opposto in due segmenti in modo tale da creare
una sezione aurea.
Infatti il triangolo ABC è simile al triangolo BCD. E da
questo risulta che:
AC:BC=BD:DC
e dunque:
AC:AD=AD:DC
cioè AD è medio proporzionale tra AC e DC.
La sezione aurea
Esiste uno speciale rettangolo aureo nel quale il rapporto tra i lati corrisponde alla sezione aurea.
Per costruire il rettangolo aureo si disegni un quadrato di lato a i cui vertici sono, a partire dal vertice in alto a
sinistra e procedendo in senso orario, AEFD. Quindi si divida il segmento AE in due chiamando il punto medio A’.
Utilizzando il compasso e puntando in A’ disegnare un arco che da E intersechi il prolungamento del segmento
DF in C. Con una squadra disegnare il segmento CB perpendicolare ad DF, ed il segmento EB, perpendicolare a
EF. Il rettangolo ABCD è un rettangolo aureo nel quale il lato AB è diviso dal punto E esattamente nella sezione
aurea:
AE:EB=AB:AE
A
E
A
D
F
D
A’
E
A
F
D
E
A’
F
A
C
D
A’
E
B
F
C
La sezione aurea
Se ad un rettangolo aureo si aggiunge un quadrato sul lato maggiore si ottiene
un altro rettangolo aureo disposto in verticale. Se a questo si aggiunge un quadrato si ottiene un altro rettangolo aureo e così via.
Se in ogni quadrato si traccia con il compasso un arco che abbia per centro l’angolo interno in basso e per apertura il lato del quadrato, si ottiene una spirale
aurea, una particolare spirale logaritmica con fattore di accrescimento pari alla
sezione aurea.
La spirale aurea si può ritrovare in molte conchiglie (Nautilus).
La sezione aurea
Le proporzioni auree si trovano anche in alcuni solidi platonici, come l’icosaedro regolare, poliedro composto da
20 triangoli equilateri che Luca Pacioli (un matematico del ‘500) riuscì a costruire attraverso l’intersezione di tre
rettangoli aurei disposti secondo i tre assi.
Unendo i dodici vertici dei rettangoli si ottengono le 20 facce dell’icoasedro.
frattali
La sezione aurea
I FRATTALI AUREI
Un frattale è un oggetto geometrico che si ripete nella sua struttura allo stesso modo su scale diverse, ovvero
che non cambia aspetto anche se visto con una lente d’ingrandimento.
Questa caratteristica è spesso chiamata auto similarità. Il termine frattale venne coniato nel 1975 da Mandelbrot, e deriva dal latino fractus (rotto, spezzato), così come il termine frazione; infatti le immagini frattali sono
considerate dalla matematica oggetti di dimensione frazionaria.
La sezione aurea
I frattali possono essere costruiti sulla sezione aurea. In particolare si può realizzare il “merletto” di Koch sulla
base di un triangolo aureo. La particolarità del frattale finale sta nel fatto che tutti i triangoli isosceli che si vengono a formare sono tutti aurei.
Frattali simili si possono creare partendo da altre figure auree come il pentagono e il pentagramma.
La sezione aurea
Un frattale aureo molto famoso è
l’albero di Barnsley nel quale ogni
segmento è sezione aurea di quello
precedente e subisce una deviazione di 60°.
In natura questo tipo di crescita è
molto frequente.
zoologia
La sezione aurea
LA SEZIONE AUREA IN ZOOLOGIA
Il più celebre esempio di sezione
aurea in natura è costituito dalla
conchiglia del Nautilus, una perfetta spirale logaritmica.
La sezione aurea
La spirale aurea si presenta anche nelle corna del muflone... e nella coda dell’ippocampo.
La sezione aurea
La geometria pentagonale è anch’essa molto frequente nel mondo animale, in particolare tra gli echinodermi.
La sezione aurea
La serie di Fibonacci, è una progressione che il matematico ha elaborato per risolvere un quesito teorico
legato al mondo degli animali: immaginiamo di chiudere una coppia di conigli in un recinto. Sappiamo che
ogni coppia di conigli:
a) inizia a generare dal secondo mese di età;
b) genera una nuova coppia ogni mese;
c) non muore mai.
Quanti conigli ci saranno nel recinto dopo un anno?
La risposta si ottiene sommando ogni mese le quantità dei due mesi precedenti ed ottenendo dunque la
serie.
Come sappiamo il rapporto tra un numero della serie e
quello precedente tende alla sezione aurea.
botanica
La sezione aurea
LA SEZIONE AUREA IN BOTANICA
Nel regno vegetale si trovano molte varianti della sezione aurea: tantissimi sono i fiori a 5 petali (pentagonali) ma molti fiori presentano un numero di petali pari
ad altri numeri della serie di Fibonacci (13, 55 e perfino
377).
La sezione aurea
Molti vegetali presentano una geometria stellare o una struttura con spirali auree costruite su un
numero della serie di Fibonacci. Questo conferisce una forma armonica e “ottimizzata”.
fisica
La sezione aurea
LA SEZIONE AUREA NEI FENOMENI FISICI
Galassie, tornadi e vortici seguono indistintamente il
disegno di una spirale aurea.
uomo
La sezione aurea
LA SEZIONE AUREA NELL’UOMO
B
C
X
Y
A
D
Famosa è la rappresentazione di Leonardo dell’uomo
di Vitruvio in cui una persona è inscritta in un quadrato
e in un cerchio.
Nel quadrato, l’altezza dell‘uomo (AB) è pari alla distanza (BC) tra le estremità delle mani con le braccia
distese. La retta X-Y passante per l’ombelico divide i
lati AB e CD in due parti in rapporto aureo tra loro.
Lo stesso ombelico è anche il centro del cerchio che
inscrive la persona umana con le braccia e gambe
aperte. La posizione corrispondente all’ombelico è infatti ritenuta il baricentro del corpo umano.
La sezione aurea
Oltre all’altezza da terra dell’ombelico e l’altezza complessiva, è aureo anche il rapporto tra
la distanza dal collo del femore al ginocchio e la lunghezza dell’intera gamba o il rapporto tra
la distanza tra gomito e punta del dito medio e la lunghezza dell’intero braccio.
Se misuriamo le dita della nostra mano mano, noteremo che i rapporti tra le lunghezze delle
falangi del dito medio e anulare sono aurei.
La sezione aurea
Se si esamina un volto considerato “bello” è facile scoprire come le distanze tra gli elementi che
compongono il viso sono strettamente legati alla
proporzione aurea:
A/a= tra l’altezza e larghezza del viso.
B/b= posizione della linea degli occhi rispetto al
mento ad alla fronte.
C/d= posizione della bocca rispetto al mento ed
agli occhi.
D/d= altezza e larghezza del naso.
E/e= lunghezza ed altezza del profilo della bocca.
F/f= larghezza degli occhi e la loro distanza.
H/h= distanza degli occhi rispetto al centro di simmetria del viso.
scultura
La sezione aurea
LA SEZIONE AUREA NELLA SCULTURA
Una delle opere più antiche nella quale si riscontra
chiaramente la sezione aurea è la stele di Get, un
bassorilievo egizio risalente alla prima dinastia (circa
5000 anni fa).
Qui si osserva al centro un rettangolo aureo, nella cui
parte bassa il quadrato costruito sul lato più corto, sezione aurea di quello più lungo, contiene la città mentre nella parte rimanente, che per quanto visto sopra
è ancora un rettangolo aureo, è riportato il serpente
simbolo del re.
approfondimenti sulla stele di Get
La sezione aurea
Anche la maschera egizia del faraone Tutankhamon
(XIV sec. a.C.) possiede proporzioni auree: in questo
caso è perfettamente inscrivibile in un pentagono e
segue le diagonali che formano il pentagramma.
La sezione aurea
Nella scultura greca classica (Fidia,
Policleto...) la sezione aurea diventa una regola imprescindibile.
Ogni parte del corpo è in proporzione aurea con le altre. Questo è particolarmente evidente nel Doriforo
(450 a.C.) di Policleto.
Non è un caso, poi, che Policleto
abbia teorizzato la divisione del
corpo in 8 parti: 5 corrispondono
all’altezza da terra all’ombelico
e le altre 3 alla parte superiore. I
numeri 3, 5 e 8 sono presenti nella
serie di Fibonacci e, come sappiamo, sono in rapporto aureo.
La sezione aurea
A
Le stesse perfette proporzioni si ritrovano nei Bronzi di
Riace (V sec. a. C.) e nell’Afrodite Cnidia di Prassìtele
(360 a. C.).
D
In particolare si possono riconoscere, in entrambe le
sculture, i seguenti rapporti:
C
AB : CB = CB : AC
AC : DC = DC : AD
CB : CE = CE : EB
E
B
La sezione aurea
Le cariatidi dell’Eretteo, sull’Acropoli di Atene, possono essere
inscritte in una serie di rettangoli nei quali il rapporto tra altezza e lunghezza è un rapporto aureo.
Anche nella statua bronzea di Atena del Pireo (IV sec. a. C.) si
ritrovano i rettangoli aurei.
La sezione aurea
La scultura romana, ispirandosi a quella greca, mantiene approssimativamente le stesse proporzioni.
Con il medioevo, a partire dall’arte paleocristiana,
passando per quella bizantina e romanica, la sezione
aurea non è più utilizzata: le forme umane sono spesso
volutamente sproporzionate e stilizzate.
Con la scultura del Trecento, nel periodo dell’arte gotica, il numero aureo tornerà, con la sua aura esoterica,
ad informare sculture ed architetture. Lo si ritrova nella formella “L’aratura” di Andrea Pisano.
La sezione aurea
Nel Primo Rinascimento si trovano esempi di proporzioni auree nella scultura di Donatello (Annunciazione, 1435
e Madonna col Bambino).
La sezione aurea
Facendo un salto temporale di 6 secoli è
possibile trovare un
esempio di opera d’arte concettuale di Mario
Merz che non utilizza la
sezione aurea, bensì la
serie di Fibonacci.
I numeri della serie,
riprodotti con neon rosso, sono installati sulla
cupola della Mole Antonelliana di Torino.
pittura
La sezione aurea
LA SEZIONE AUREA NELLA PITTURA
Gli artisti del Rinascimento, interessati a tutto ciò che è classicità e razionalità, furono molto affascinati dalle
proporzioni auree. Uno tra i primi ad utilizzarla nei suoi dipinti è stato Piero della Francesca (1412-1492).
Ne “La flagellazione di Cristo” e nella “Pala Brera” le proporzioni auree tra le parti sono numerose e conferiscono equlibrio e armonia.
La sezione aurea
Nella Pala Brera, nonostante le
mutilazioni su tutti i lati, è evidente
una costruzione aurea molto complessa.
Lo stesso formato originale del dipinto era costituito da un rettangolo aureo.
La sezione aurea
Sandro
Botticelli
(1445-1510)
costruiva le sue figure
femminili secondo
le proporzioni auree
classiche, come nella
Nascita di Venere.
La sezione aurea
Leonardo da Vinci (1452-1519),
nella sua doppia veste di scienziato e di artista, indagò a fondo sulla
sezione aurea.
La applicò alla sua celebre Gioconda (è aurea la divisione del lato
verticale, il rettangolo che contiene il viso, le aree del petto e delle
braccia etc. etc.)
La sezione aurea
Nel dipinto murale del
Cenacolo leonardesco, la
figura di Cristo è racchiusa in un rettangolo aureo
che include perfettamente anche le finestre.
La sezione aurea
Nell’Annunciazione di Leonardo molte aree sono in rapporto aureo.
La sezione aurea
Leonardo da Vinci, oltre al disegno dell’Homo ad circulum, illustrò con 60 disegni il trattato “De divina proportione” del matematico Luca Pacioli, del 1509.
Il questo saggio Pacioli ricercò nel rapporto aureo i principi ispiratori in architettura, scienza e natura e studiò
solidi e poliedri di ogni tipo. Il libro ebbe grande fortuna nel XVI sec. ed ispirò molti artisti.
La sezione aurea
Nella Sacra Famiglia (Tondo Doni)
di Michelangelo (1475-1564) le figure principali si trovano all’interno di un pentagramma.
La sezione aurea
Nella Crocifissione di Raffaello (1483-1520)
le figure sono disposte lungo le linee di un
pentagramma.
La sezione aurea
Passando all’arte contemporanea è possibile ritrovare la sezione aurea nelle opere di Seurat (1859-1891), un
artista postimpressionista che cercava una bellezza “scientifica” nelle sue opere attraverso l’accostamento
cromatico di punti di colori differenti e la composizione equilibrata dell’immagine.
La sezione aurea
Nell’opera “Bagnanti”
si ritrovano diversi rapporti aurei.
La sezione aurea
Un altro interessante esempio di composizione basata sui rapporti aurei può essere tratto dall’opera di Piet
Mondrian (1872-1944).
L’artista si è concentrato a tal punto sulla ricerca di strutture geometriche armoniche che queste sono diventate
l’essenza stessa delle sue opere.
architettura
La sezione aurea
LA SEZIONE AUREA IN ARCHITETTURA
La sezione aurea potrebbe essere stata utilizzata nella Piramide di
Cheope. Il rapporto aureo sussiste fra il semilato della piramide l e
l’altezza della facciata triangolare i costruibile sulla stessa.
Considerando che l’altezza è di 146,804 m e il lato di 230,560 m e che
l’unità di misura utilizzata è pari a 2,089 m (4 volte il braccio egiziano
di 0,52/0,53 m) se ne deduce che il lato di base misurava 110 u e l’altezza 70 u. Se si considera metà della piramide i due cateti sono 70 u e
55 u: l’ipotenusa vale, allora, 89 u.
Nella serie di Fibonacci i numeri 55 e 89 sono presenti e sono in rapporto aureo. Questo significa che, se non a livello teorico, gli egiziani
conoscevano e utilizzavano le proporzioni auree in modo empirico.
approfondimenti sulla sezione aurea in architettura
La sezione aurea
Nel Partenone (447-432 a.C.) si realizza l’ideale greco di misura equilibrata e trova definitiva formulazione il
rapporto tra le parti, caratteristico del periodo classico.
Il tempio è un periptero ottastilo in stile dorico con 8 colonne lungo i lati brevi e 17 lungo i lati lunghi, secondo il
principio classico per il quale sul lato lungo il numero delle colonne laterali è il doppio più una di quelle del fronte. L’architetto Ictino ha applicato la sezione aurea nel prospetto e nella pianta, proporzionando di conseguenza
tutte le sue parti.
La sezione aurea
Nell’Arco di Costantino, il più importante
degli archi trionfali romani, costruito nel 313
d.C. per celebrare la vittoria dell’imperatore
Costantino su Massenzio, l’altezza dell’arco
divide l’altezza totale secondo la sezione aurea, mentre i due archi più piccoli giocano
lo stesso ruolo nella distanza tra la base e il
listello inferiore.
approfondimenti sulla sezione aurea nell’arco di Costantino
La sezione aurea
Nella progettazione del Battistero
romanico di Pisa è stata utilizzata
la stella ed il pentagono regolare
che deriva dal rapporto aureo come
griglia di riferimento.
Si riscontra, infatti, che l’angolo
formato dalla cupola dodecagona
interna è di 72° e quello della punta
in alto di 36°.
La sezione aurea
Tutte le cattedrali gotiche sono sempre
basate sul quadrato, sul cerchio e sul pentagono, coniugando la simmetria razionale
con quella irrazionale.
E’ possibile dedurre che esiste una diretta
connessione fra i sistemi greci e romani
e quelli gotici; del resto, la presenza della
Sectio Aurea ne è una indiscutibile prova.
Nell’immagine sono evidenziati i segmenti aurei individuati sulla facciata di Notre
Dame.
La sezione aurea
Castel del Monte ad Andria, esempio di architettura gotica in Puglia,
fu costruito da Federico II di Svevia
nel 1240.
Il portale si basa sul pentagono
stellato e sulla sua scomposizione
secondo la sezione aurea, le sue
potenze e le sue radici. La pianta è
invece composta dall’intersezione
di rettangoli aurei.
La sezione aurea
Nell’architettura del Rinascimento si preferirono griglie di moduli
quadrati mentre nell’epca barocca
il tema era spesso il cerchio e l’ellissi.
Solo nel XX secolo viene recuperata la sezione aurea in architettura.
Con il razionalismo Le Corbusier
riprese questa proporzione per disegnare edifici e arredi.
Ridisegnò la sezione aurea applicata al corpo umano (detto Modulor)
affinché questo diventasse l’unità
di misura di tutto.
La sezione aurea
Intorno alla metà del XX secolo si ritrova la sezione aurea nel
proporzionamento della facciata del palazzo dell’ONU a New
York, mentre a Washington viene inaugurato il Pentagono sede
del Dipartimento della Difesa.
curiosità
La sezione aurea
CURIOSITÀ
Tante sono le curiosità legate alla
sezione aurea: la curva d’acqua
creata dai capelli in movimento è
una spirale aurea.
La sezione aurea
Sono rettangoli aurei le carte napoletane, le carte di credito, le SIM, le schede telefoniche, le musicassette ed anche alcune moto... Anche l’iPhone mostra la sovrapposizione di due rettangoli aurei che formano il display.
La sezione aurea
La spirale aurea e la serie di Fibonacci si trovano nei posti più impensabili: dai lavandini
ai gelati, dalle magliette ai tatuaggi!

sezione aurea - Emanuela Pulvirenti

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