La circonferenza

La circonferenza
La circonferenza è una conica ed è anche il luogo geometrico dei punti del piano
equidistanti da un punto fisso C detto centro; la distanza costante si chiama raggio.
N.B. Il centro non appartiene al luogo geometrico
y
Equazione canonica
x 2 + y 2 + ax + by + c = 0
Centro
 a b
C  − ;− 
 2 2
Raggio
 a  b
r = −  + −  − c
 2  2
C(α;β)
2
Equazione riferita al
centro C(α;β) e con
raggio r
x
2
( x − α )2 + ( y − β )2
= r2
Casi particolari
c=0
a=0
a=c=0
b=0
b=c=0
a=b=0
Tangenti alla circonferenza uscenti da un punto P( x0 ; y0 )
2
2
1) Se il punto P(x0 , y0 ) appartiene alla circonferenza x + y + ax + by + c = 0 allora in P esistono
due tangenti coincidenti (oppure una tangente doppia) la cui equazione si ottiene con la seguente formula
(detta di sdoppiamento):
x ⋅ x0 + y ⋅ y 0 + a
x + x0
y + y0
+b
+c = 0
2
2
2
2
2) Se il punto P(x0 , y0 ) non appartiene alla circonferenza x + y + ax + by + c = 0 ma è esterno ad
essa, allora in P esistono due tangenti distinte e per la ricerca dei loro coefficienti angolari si deve
applicare la condizione di tangenza tra il fascio di rette per P e la circonferenza:
Esempio:
Dati:
P(0, -8)
x 2 + y 2 − 6x + 6 y + 1 = 0
(fascio di rette che passa per P)
y + 8 = m ⋅ (x − 0)
(intersezione tra la circonferenza e il fascio)
x 2 + y 2 − 6x + 6 y + 1 = 0

 y = mx − 8
(sostituendo)
Prof.ssa Manuela Pucci
x 2 + (mx − 8) − 6 x + 6(mx − 8) + 1 = 0
2
Istituto Tecnico Commerciale “P. Cuppari” - Jesi
x 2 ⋅ (m 2 + 1) − x(10m + 6) + 17 = 0
(… e risolvendo)
Condizione di tangenza
(10m + 6)2 − 4 ⋅ (m 2 + 1) ⋅ (17 ) = 0
∆=0
m1 = − 4 e m2 =
1
4
y = − 4x − 8 e y =
equazioni delle tangenti:
3) Se il punto P(x0 , y0 ) non appartiene alla circonferenza
essa, allora in P non esistono tangenti, ma solo secanti.
1
x −8
4
x 2 + y 2 + ax + by + c = 0 , ma è interno ad
Ricerca dell’equazione della circonferenza
2
2
La curva x + y + ax + by + c = 0 dipende dai parametri a, b, c, quindi è necessario impostare un
sistema in tre equazioni nelle tre incognite a, b, c. Osserva lo schema:
La circonferenza deve soddisfare le condizioni:
Passa per tre punti A, B, C dati;
Ha per diametro il segmento di estremi A e B;
Ha centro in A ed è tangente alla retta r;
Prof.ssa Manuela Pucci
Allora si pone:
• Si applica la condizione di appartenenza di A, B e C
alla curva.
• Il centro della circonferenza è il punto medio di AB ed
il raggio è la semidistanza di AB, quindi si applica
l’equazione della circonferenza riferita al centro.
• Il raggio è la distanza di A dalla retta r, quindi si
applica l’equazione della circonferenza riferita al
centro.
Istituto Tecnico Commerciale “P. Cuppari” - Jesi