Lezione N. 4

Potenze in regime sinusoidale
Lezione 4
1
Definizione di Potenza
disponibile
• Generatore di segnale
Z g = Rg + j X g
• Potenza disponibile
Voe2
Vom2
Pd =
=
4 Rg 8 Rg
• Standard industriale
Z g = Rg = 50 Ω
Lezione 4
2
Esempio
• Calcolare la potenza disponibile in dBm di un
generatore di segnale avente valor massimo di
tensione di 0 dBmV ed impedenza: Z g = 1 + j [Ω]
Vom = 1mV = 10−3V , Rg = Re[ Z g ] = Re[1 + j ] = 1Ω
– risulta:
– ne consegue:
Vom2
1
Pd =
=
(10−3 ) 2 = 0.125µW = −9dBµW = −39dBm
Lezione 4
3
8 Rg 8 ×1
Potenza su un carico arbitrario
1/2
• Il circuito rappresenta un generatore di
segnale di impedenza Zg che alimenta un
carico arbitrario Zc
Z g = Rg + j X g
Lezione 4
Z c = Rc + j X c
4
Potenza su un carico arbitrario
2/2
• La corrente I del circuito vale:
Vo
I=
Z g + Zc
• Ne consegue la seguente potenza P attiva
fornita al carico:
2
Rc
Vo
1
2
P = Re[ Z c I ] =
2
2 Z g + Zc
Lezione 4
2
Vo
Rc
=
2 ( R + R )2 + ( X + X )2
g
c
g
c
5
Potenza su un carico adattato
• La potenza di un generatore di segnale risulta
massima quando:
*
Rc = Rg ,
X c = − X g oppure Z c = Z g
• In tali condizioni il carico si dice adattato e la
potenza fornita (che è la massima) coincide con
la potenza disponibile del generatore di segnale:
P = PMax
Lezione 4
2
oe
1V
=
= Pd
4 Rg
6
Esempio
• Si vuole valutare l’impedenza di carico
che alimentato da un generatore di
segnale con potenza disponibile di 20dBm,
assorba una potenza di 10 W.
• La potenza disponibile del generatore di
segnale espressa in unità lineari vale:
• Pd = 20 dBm = 10 0 mW = 0.1 W
• Poiché la potenza richiesta (10 W) è
maggiore di quella disponibile (0.1 W), non
esiste nessun carico che consenta
Lezione 4
7
l’erogazione della potenza richiesta.
Applicazione
• Un generatore con resistenza molto
piccola può presentare potenze disponibili
elevate.
– Vista da una presa di corrente domestica la
rete di distribuzione di energia elettrica
equivale (Thevenin) ad un generatore con
valore efficace di 220 V e resistenza molto
piccola. Per esempio se Rrete=0.1 ohm la
potenza disponibile della rete è 121 kW.
Lezione 4
8
Esempio 1/4
• Calcolare R e L del carico nel circuito in
figura in modo che il generatore di
segnale eroghi la max potenza.
• Calcolare la potenza massima
B
Lezione 4
9
Esempio 2/4
B
Vm = 1 V ,
Parametri del generatore
di segnale
Lezione 4
ω = 800 rad / s
1
2µ F →
= − j 625Ω
−6
j800 × 2 ×10
Z g = 500 || (− j 625) = 305 − j 244 [ Ω ]
10
Esempio 3/4
• Ne consegue:
Z c = Z g* = 305 + j 244 [Ω] = R + j800 L
• I parametri del carico
risultano quindi:
244
R = 305Ω L =
= 0.305 H
800
Lezione 4
B
11
Esempio 4/4
• La potenza max erogata (che è
coincidente con la potenza disponibile del
generatore) vale:
PMax
1 1
= Pd =
= 0.41mW ≈ −10 + 6 = −4dBm ( valore esatto − 3.87 dBm )
8 305
Lezione 4
12
Applicazione 1/3
• Un generatore di segnale con impedenza di 50
ohm e potenza disponibile di 20dBm alimenta un
carico di impedenza
Zc =10-j10.
– Calcolare la potenza fornita al carico.
Lezione 4
13
Applicazione 2/3
• Espressa in unità lineari la potenza
disponibile del
generatore vale
2
Pd = 20dBm = 0.1W
1 | Vo |
Pd =
8 Rg
• L’espressione della potenza disponibile
porge il valore massimo della tensione del generatore:
| Vo |= 8 Rg Pd = 6.32 V
Lezione 4
14
Applicazione 3/3
•
Ne consegue:
2
Vo
Rc
P=
= 54mW = 17.32dBm
2
2
2 (R + R ) + ( X + X )
g
c
g
c
Lezione 4
15
Potenze in regime sinusoidale
Lezione 4
16
Definizione di adattore
• Adattatore è un doppio bipolo che inserito tra il
generatore di segnale ed il carico consente il
trasferimento di tutta la potenza disponibile sul
carico
Lezione 4
17
Utilizzazione di trasformatori
ideali
• Nel caso di impedenze di generatori e carichi
puramente resistivi come adattore si può
utilizzare un trasformatore ideale
• Indicando con Rg e con Rc le impedenze del
generatore e del carico il rapporto di
Rg
trasformazione k del trasformatore vale k =
Rc
• Il trasformatore ideale essendo senza perdite
trasferisce tutta la potenza uscente dal
generatore di segnale al carico
Lezione 4
18
Esempio 1/3
• Il circuito in figura illustra l’alimentazione diretta
di un generatore di 50 ohm con un carico di 1
ohm.
• Senza adattatore la potenza fornita è :
P = 1×
Lezione 4
102
( 50 + 1)
2
= 0.0384 W = 15.85dBm
19
Esempio 2/3
• La potenza disponibile è :
Ve2
102
Pd =
=
= 0.5 W = 27 dBm
4 Rg 4 × 50
• Usiamo un adattatore
Lezione 4
20
Esempio 3/3
• Con adattatore costituito da trasformatore ideale
con k= 50 il generatore vede una impedenza di
50 ohm (è adattato) e la potenza che eroga è
1 102
quella disponibile:
P = Pd =
4 50
= 0.5W = 27 dBm
• Il trasformatore ideale essendo senza perdite
trasferisce tutta la potenza uscente dal generatore
di segnale al carico
Lezione 4
21
Schema adattatore
• In presenza di impedenze di generatore e di
carico non puramente resistive, bisogna
introdurre nello schema dell’adattore altri elementi
reattivi oltre che il trasformatore ideale. Per
esempio con impedenze di generatore e di carico
induttive lo schema è:
Lezione 4
22
Esempio 1/5
• Un generatore di segnale con impedenza
Zg deve fornire la sua potenza disponibile ad
un carico con impedenza Zc
e(t ) = Em cos (ω t )
Z g = Rs + jω Ls
Lezione 4
Z c = R + jω L
23
Esempio 2/5
• Si ha adattamento se il rapporto di
trasformazione k e la capacità C
dell’adattatore sono tali da soddisfare la
relazione:
Impedenza vista all'ingresso dell'adattatore =
 1

+ R + jω L  = Z g* = Rs − jω Ls
k 
 jωC

2
Lezione 4
24
Esempio 3/5
• L’equazione precedente porta ai seguenti valori
dei parametri dell’adattatore:
k=
Lezione 4
Rs
,
R
k2
C= 2 2
ω ( k L + Ls )
25
Esempio 4/5
• Applicazione numerica
Dati : f = 1MHz , Em = 10V Ls = 3µ H , Rs = 2Ω,
R = 8Ω, L = 20 µ H ,
k = 0.5, C = 0.792 nF
• Risulta:
Lezione 4
26
Esempio 5/5
– potenza erogata al carico senza adattatore
2
Em
R
P=
= 19.1mW = 12.81dBm
2
2
2 ( Rs + R ) + ( X s + X )
– potenza erogata con adattatore (potenza
disponibile)
| Em |2
P = Pd =
= 6.25W = 37.96dBm
8 Rs
Lezione 4
27
Potenze in regime sinusoidale
Lezione 4
28
Espressione della potenza
reattiva
• La potenza reattiva entrante in un bipolo
funzionante in regime sinusoidale viene definita
da:
1
Q = Im (VI * )
2
[VAR ]
• Espressione alternative più popolare è:
1
Q = Vm I m sin ϕ = Ve I e sin ϕ
2
Lezione 4
[VAR ]
29
Potenza reattiva nei bipoli
fondamentali 1/3
• Resistore
Q=0
• Il Resistore non assorbe ne’ eroga
potenza reattiva.
Lezione 4
30
Potenza reattiva nei bipoli
fondamentali 2/3
• Induttore
1
Q = ω L I = ω L | I |2
2
2
e
• L’induttore assorbe potenza reattiva.
Lezione 4
31
Potenza reattiva nei bipoli
fondamentali 3/3
• Condensatore
1 2
1 1
| I |2
Q=−
Ie = −
ωC
2 ωC
• Il condensatore eroga potenza reattiva.
• Impedenza arbitraria
Q = Ve I e sin 〈 Z
Lezione 4
32
Esempio 1/4
• Nella rete in figura sono dati:
e(t ) = 10 cos(314t ) [V ]
a (t ) = 8sin(314t ) [ A]
R1 = R2 = 1Ω, L = 0.01H
Lezione 4
33
C l
l
l
t
tti
f
it
ll’i d tt
Esempio 2/4
• Parametri nella rete nel dominio dei fasori
e(t ) = 10 cos(314t ) [V ]
a (t ) = 8sin(314t ) [ A]
R1 = R2 = 1Ω, L = 0.01H
X = 314 × 0.01 = 3.14Ω
• Con la pulsazione di 314 rad/s la reattanza
dell’induttore vale:
Lezione 4
E = 10,
A=−j8
34
Esercizio 3/4
• Nella rete nel dominio dei fasori,
calcoliamo la tensione VAB con Millman:
VAB
Lezione 4
10 − j8
=
1
1+
1 + j 3.14
35
Esercizio 4/4
• La corrente I che percorre l’induttore vale:
VAB
10 − j8
1
I=
=
= −0.369 − j 3.42
1
1 + j 3.14 1 +
1 + j 3.14
1 + j 3.14
• Ne consegue la potenza reattiva Q
erogata a L:
1
2
Q = X | I | = 18.58 VAR
2
Lezione 4
36
Conservazione e misura 1/3
• Le potenze reattive si conservano
• Lo strumento che misura la potenza
reattiva in un bipolo è il varmetro
Lezione 4
37
Conservazione e misura 2/3
• La potenza reattiva uscente dal generatore e
misurata con un varmetro è nulla.
• Noti X L = 1Ω , X C = −2Ω, I1e = 1A
• Calcolare I2e
Lezione 4
38
Conservazione e misura 3/3
– Per il principio di conservazione la potenza reattiva
fornita dal condensatore va a finire tutta sull’induttore
Q = X C I12e + X L I 22e = 0
X L = 1Ω , X C = −2Ω, I1e = 1A
– da cui:
Lezione 4
X C I12e
I 2e = −
= 2A
XL
39
Potenze in regime sinusoidale
Lezione 4
40
Potenza complessa
• La potenza complessa S in un bipolo
funzionante in regime
sinusoidale viene definita da:
1 *
S = VI = P + j Q
2
[VA]
• Teorema di Boucherot: La potenza complessa
si conserva
• Corollario: La somma delle potenze complesse
relative a tutti i bipoli di una rete di bipoli è nulla.
Lezione 4
41
Potenza apparente
• In un bipolo funzionante in regime sinusoidale la
potenza apparente è definita da:
1
A =| S |= Ve I e = | V || I |
2
[VA]
• La potenza apparente non si conserva
Lezione 4
42
Triangolo delle potenze
• Per un bipolo funzionante in regime
sinusoidale le potenze attive e reattive
costituiscono i cateti mentre la potenza
apparente è l’ipotenusa di un triangolo
rettangolo
A =| S |= P 2 + Q 2
• L’angolo ϕ è lo sfasamento del bipolo
Lezione 4
43