dimostrazione che tutti i numeri irrazionali, in base 10

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DIMOSTRAZIONE CHE TUTTI I NUMERI IRRAZIONALI,
IN BASE 10, SONO NUMERI NORMALI
Ing. Pier Franz Roggero, Dott. Michele Nardelli, P.A. Francesco Di Noto
Riassunto:
In questo documento dimostriamo che tutti i numeri irrazionali, in base 10,
sono numeri normali mentre tutti i numeri razionali non lo sono.
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Indice:
1. NUMERO NORMALE .................................................................................................3
1.1 DIMOSTRAZIONE..................................................................................................8
2. CONSIDERAZIONI SU π e su altri numeri simili: Ф, e, √2........................................9
3. RIFERIMENTI ........................................................................................................... 22
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1. NUMERO NORMALE
DEFINIZIONE: Un numero è detto normale in una data base b se nel suo sviluppo in
1
, tutte le coppie di cifre
b
1
1
appaiono con frequenza 2 e in generale ogni n-upla appare con frequenza n .
b
b
tale base tutte le cifre appaiono con la stessa frequenza
Consideriamo, per il momento solo la base decimale, ovvero b=10.
Per le altre basi attualmente non possiamo dire nulla.
Le frequenze con cui appaiono una cifra, due cifre (una coppia), tre cifre e così via sono
calcolate con il numero troncato ad una certa cifra decimale se il numero è illimitato
ovvero ha infinite cifre decimali.
Di conseguenza se il numero è illimitato una cifra, due cifre, tre cifre o qualsiasi
combinazione di n-upla compare infinite volte nel numero.
Ricordiamo che un numero è detto irrazionale, quando non può essere scritto come
quoziente di due interi, a differenza di nu numero razionale che può essere sempre
scritto quindi come una frazione.
Alcuni numeri irrazionali sono numeri algebrici, ovvero soluzioni di equazioni
polinomiali come 2 oppure 3 5 ; altri sono numeri trascendenti come π ed e, ovvero
non sono soluzioni di equazioni polinomiali.
Ora se il numero è irrazionale, e naturalmente illimitato, tutte le combinazioni a 1 cifra
o a più cifre sono permesse e sono infinite.
Questo significa che un qualsiasi numero irrazionale, algebrico o trascendente, presenta
nel suo sviluppo decimale infinito, tutte le cifre prese singolarmente da 0, 1, 2, 3 ….. 9
infinite volte e così pure tutte le coppie da 00, 01, 02, 03 …. 99 infinite volte e così pure
tutte le ternarie da 000, 001, 002, 003, …. 999 infinite volte e così via.
Questa affermazione è ancora più forte perché significa che qualsiasi combinazione o
qualsiasi sequenza di n-cifre, in base 10, è sempre presente nello sviluppo illimitato di
un numero normale, che è irrazionale, ed è presente infinite volte.
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Se, invece, il numero è razionale o è limitato oppure è periodico.
Nel primo caso ovviamente già le cifre prese singolarmente da 0, 1, 2, 3 ….. 9 sono
limitate e nessuna è infinita.
Nel secondo caso di numero illimitato periodico non tutte le cifre, prese singolarmente o
come n-uple, sono presenti infinite volte.
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Per spiegare meglio questo concetto vediamo 2 esempi di numeri illimitati periodici,
che non sono numeri normali:
Esempio 1)
8,43555555… =8,435 =(8435-843)/900=7592/900
Solo la cifra 5 compare infinite volte mentre le cifre 3 e 4 solo 1 volta.
Esempio 2)
2,012345678901234567890123456789… =2,0123456789=20123456787/9999999999
In questo caso le cifre prese singolarmente da 0, 1, 2, 3 ….. 9 sono infinite, ma se
consideriamo già solo le coppie di cifre da 00, 01, 02, 03 …. 99 non lo sono eccetto
qualcuna come 12, 34, ….
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Ora consideriamo 2 numeri irrazionali √2 e π e dimostriamo che sono numeri normali.
Se consideriamo le prime cento cifre decimali di √2 e π abbiamo la tab. 1 con le
frequenze statistiche delle cifre prese singolarmente da 0, 1, 2, 3 ….. 9 che si avvicinano
al valore teorico di 1/10 e quindi ognuna compare all’incirca 10 volte.
TAB. 1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
√2
π
10
7
8
11
9
7
10
18
12
8
8
8
12
11
10
8
9
8
12
14
100
100
Per il numero di cifre decimali tendente a →∞ la frequenza è esattamente 1/10.
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Ad esempio per il numero π esaminando i primi 200 miliardi di cifre decimali si hanno
le seguenti frequenze che effettivamente danno come frequenza 1/10 per ciascuna cifra
singola (circa 20 000 000 000 per ognuna):
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
20 000 030 841
19 999 914 711
20 000 136 978
20 000 069 393
19 999 921 691
19 999 917 053
19 999 881 515
19 999 967 594
20 000 291 044
19 999 869 180
Lo sviluppo delle prime 1440 cifre decimali di √2 è il seguente:
1.4142135623730950488016887242096980785696718753769480731766797379907324784621
07038850387534327641572735013846230912297024924836055850737212644121497099935831
41322266592750559275579995050115278206057147010955997160597027453459686201472851
74186408891986095523292304843087143214508397626036279952514079896872533965463318
08829640620615258352395054745750287759961729835575220337531857011354374603408498
84716038689997069900481503054402779031645424782306849293691862158057846311159666
87130130156185689872372352885092648612494977154218334204285686060146824720771435
85487415565706967765372022648544701585880162075847492265722600208558446652145839
88939443709265918003113882464681570826301005948587040031864803421948972782906410
45072636881313739855256117322040245091227700226941127573627280495738108967504018
36986836845072579936472906076299694138047565482372899718032680247442062926912485
90521810044598421505911202494413417285314781058036033710773091828693147101711116
83916581726889419758716582152128229518488472089694633862891562882765952635140542
26765323969461751129160240871551013515045538128756005263146801712740265396947024
03005174953188629256313851881634780015693691768818523786840522878376293892143006
55869568685964595155501644724509836896036887323114389415576651040883914292338113
20605243362948531704991577175622854974143899918802176243096520656421182731672625
75395947172559346372386322614827426222086711558395999265211762526989175409881593
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Lo sviluppo delle prime 1200 cifre decimali di π è il seguente:
3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944
5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647
0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559
6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165
2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273
7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360
0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953
0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724
8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737
1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132
0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901
2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960
8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951
0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035
2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303
5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532
1712268066 1300192787 6611195909 2164201989 3809525720 1065485863
2788659361 5338182796 8230301952 0353018529 6899577362 2599413891
2497217752 8347913151 5574857242 4541506959 5082953311 6861727855
8890750983 8175463746 4939319255 0604009277 0167113900 9848824012
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1.1 DIMOSTRAZIONE
Tutti i numeri irrazionali, algebrici e trascendenti, sono numeri normali e hanno nel loro
sviluppo decimale infinito, tutte le cifre prese singolarmente da 0, 1, 2, 3 ….. 9 infinite
volte e così pure tutte le coppie da 00, 01, 02, 03 …. 99 infinite volte e così pure tutte le
ternarie da 000, 001, 002, 003, …. 999 infinite volte e così via.
Qualsiasi combinazione o qualsiasi sequenza di n-cifre, in base 10, è sempre presente e
anche infinite volte.
Nei numeri razionali le cifre prese singolarmente da 0, 1, 2, 3 ….. 9 sono limitate
oppure solo alcune e non tutte le cifre, prese singolarmente o come n-uple, sono
presenti infinite volte.
Quindi i numeri irrazionali sono dei numeri normali e i numeri razionali non lo sono,
anche se i primi non seguono nessuna sequenza logica e i secondi invece sì.
L’unica logica che seguono i numeri irrazionali è che ogni sequenza casuale è
straordinariamente sempre presente e ancora più fantastica è che la sequenza si presenta
infinite volte.
Esempio:
La sequenza 14 è sempre presente nello sviluppo decimale di √2 o di π e anche infinite
volte.
Così qualsiasi altra sequenza, ad esempio, 122.
Si dimostra così anche la congettura dei matematici David H. Bailey e di Richard
E. Crandall del 2001, dove si affermava che ogni numero irrazionale algebrico è
normale.
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2. CONSIDERAZIONI SU π e su altri numeri simili: Ф, e, √2
Nel suo volume di Alex Bellos “Il meraviglioso mondo dei
numeri” (Einaudi), l’Autore, a pag 210 (Cap. quattro, la storia di
pi) parla del concetto di normalità circa l’estensione decimale di
π :
“ …Un numero è considerato normale se ciascuna delle sue cifre
da 0 a 9 compaiono con uguale frequenza
nella sua espansione
decimale. Pi è normale? Kanada ha esaminato i primi 200 miliardi
di cifre di pi e ha scoperto che compaiono con le seguenti
frequenze:
0
20 000 030 841
5
19 999 917 053
1
19 999 914 711
6
19 999 881 515
2
20 000 136 978
7
19 999 967 594
3
20 000 069 393
8
20 000 291 044
4 19 999 921 691
9
19 999 869 180
Soltanto la cifra 8 appare un po’ più sovrabbondante, tuttavia è
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insignificante da un punto di vista statistico, Sembrerebbe quindi
che pi sia normale , eppure nessuno è stato in grado di dimostrarlo.
Non c’è stato qualcuno in grado di provare che tale dimostrazione
è impossibile.
C’è dunque una possibilità che pi non sia normale? Magari dopo
10^20 cifre ci sono davvero soltanto 0 e 1”
Noi cercheremo di dimostrarlo, con l’ipotesi che al crescere
dell’estensione ad altri miliardi di numeri decimali, la suddetta
normalità (uguaglianza tra frequenze reali e frequenze teoriche)
cresca in modo proporzionale, e quindi la differenza tra le due
frequenze tende sempre più a zero in forma asintotica, e magari
raggiungerlo ad un certo numero, certo grandissimo (ovviamente
molto più grande di 200 miliardi della tabella sopra riportata); e
solo da allora in poi potremmo dire che pi è “normale” .
Una media algebrica aritmetica delle frequenze per tutte le singole
cifre potrebbe esserci d’aiuto , poiché tale media differisce
sempre meno dalla frequenza statistica. Abbiamo visto, dalla
citazione di Bellos , che 8 ha una frequenza maggiore rispetto alle
altre cifre, mentre notiamo che la frequenza della cifra 0 si
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avvicina più delle altre al valore statistico di 20 miliardi.
Facendo le differenze tra 20 000 000 (frequenza statistica s) e le
frequenze vedremo le discrepanze tra le frequenze reali r per ogni
cifra e la frequenza statistica, e ne calcoleremo le percentuali, che
ovviamente saranno sempre più piccole al crescere
dell’espansione verso potenze di 10 successive.
r
20 000 030 841
19 999 914 711
20 000 136 978
20 000 069 393
19 999 921 691
19 999 917 053
19 999 881 515
19 999 967 594
20 000 291 044
19 999 869 180
s
-
r-s
% di s = discr.
20 000 000 000 =
30 481 = 0, 00015
20 000 000 000 = - 85 289 = - 0,00042
20 000 000 000 = 136 978 = 0,000 68
20 000 000 000
69393 = 0,00034
20 000 000 000
- 78309 = - 0,00039
20 000 000 000
- 82947 = - 0,000 41
20 000 000 000
- 118485 = - 0,00059
20 000 000 000
- 32406 = - 0,00016
20 000 000 000
291 044 = 0,00145
20 000 000 000
- 130820 =- 0,00065
somma algebrica
0
Abbiamo una somma algebrica 0, una normalità relativa,
media, e quindi non assoluta come prevede la definizione di
Bellos. Potremmo dire che π è normale
solo quando tutte le
discrepanze (differenze) tra frequenze reali e frequenze
teoriche sono nulle per tutte e dieci le cifre, quindi per ora
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dobbiamo accontentarci della normalità relativa, cioè loro
somma algebrica nulla, come abbiamo visto nell’esempio
di Bellos.
Al crescere dell’estensione, tale valore medio diminuisce
sempre più e tende a 0 (come pure la differenza r-s) , il
solo valore che assicura la “normalità”. Magari 0 viene
raggiunto da una sola cifra, e poi anche da altre cifre, e
quando tale valore nullo viene raggiunto da tutte e 10 le
cifre e persiste nelle successive espansioni, solo allora
potremo dire che π è davvero un numero “normale”
Lo stesso si può dire per gli altri numeri trascendenti o
irrazionali con estensioni decimali infinite e del tutto
casuali, per es. Ф, e, √2
Faremo un solo esempio con le espansioni decimali di π fino a
100 cifre, per le quali si troverà una frequenza reale prossima a
10, per esempio una certa cifra appare 8, o 9, oppure anche 11 o
12 volte (con frequenza teorica 100/10) Se in tale esempio una
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certa cifra appare esattamente 10 volte, solo quella cifra è
normale in tal caso, ma non tutto il numero π (normale in tal
senso solo quando tutte le 10 cifre avranno frequenza reale
coincidente perfettamente con quella statistica: r – s = 0)
Da Wikipedia, riportiamo:
“Pi greco (prime 100 mila cifre)
Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
Vai a: navigazione, ricerca
Voce principale: Pi greco.
Il pi greco è uno dei più importanti numeri irrazionali, quei numeri che non possono
essere espressi come rapporto tra numeri interi.
Nonostante la maggior parte dei computer si limiti ad
approssimarlo a 3,14159265358979, esiste da decenni una corsa, da parte di università,
studiosi e centri di ricerca, al calcolo di quante più cifre decimali possibili di pi greco.
Data l'irrazionalità del numero non sarà mai possibile calcolarne "tutte" le cifre. Ma,
grazie alle possibilità offerte dai moderni computer e allo sviluppo di opportuni metodi
numerici, si sono riuscite a calcolare milioni di cifre decimali esatte.[1]
Di seguito vengono riportate le prime centomila cifre dopo la virgola in base decimale.
Ciascuna riga è composta da 100 cifre.[2], il numero deve quindi esser letto per righe.
Poiché pi greco è irrazionale, per quanto ci si sforzi risulta impossibile rilevare alcuna
periodicità all'interno delle cifre riportate. Ad esempio, copiando le cifre su di un
programma per videoscrittura ed avendo l'accortezza di eliminare il carattere di a capo,
è possibile osservare che la sequenza 624646, costituita dalle ultime sei cifre
considerate, non compare mai precedentemente. Alcuni siti[3] permettono di effettuare
verifiche più estese. Però occorre ricordare che l'irrazionalità di un numero può essere
dimostrata matematicamente solo mediante un ragionamento logico.
Prime 100 mila cifre decimali del pi greco
Si riportano di seguito le prime centomila e uno cifre del pi greco: quella delle unità, 3,
seguita dalle prime centomila cifre decimali.[4]
3,
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1415926535 8979323846 2643383279 5028841971
5923078164 0628620899 8628034825 3421170679
0938446095 5058223172 5359408128 4811174502
6446229489 5493038196 4428810975 6659334461
2712019091 4564856692 3460348610 4543266482
7245870066 0631558817 4881520920 9628292540
0113305305 4882046652 1384146951 9415116094
0921861173 8193261179 3105118548 0744623799
8912279381 8301194912 9833673362 4406566430
1907021798 6094370277 0539217176 2931767523
0005681271 4526356082 7785771342
…”
Riportiamo le sole prime cento cifre per il nostro esempio
6939937510
8214808651
8410270193
2847564823
1339360726
9171536436
3305727036
6274956735
8602139494
8467481846
1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510
5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679
Notiamo anzitutto che in qualche gruppo di 10 cifre manca
qualche cifra, mentre qualche altra è presente più volte; per
esempio, nel primo gruppo 1415926535, mancano le cifre 0, 7, 8 ,
mentre la cifra 1 è presente sue volte e la cifra 5 è presente 3
volte, e lo stesso fenomeno si verifica più o meno negli altri
gruppi con cifre diverse.
Tuttavia, nel gruppo 5923078164 compaiono tutte e dieci le
cifre, e ovviamente una sola volta ciascuno: almeno per questo
5820974944
3282306647
8521105559
3786783165
0249141273
7892590360
5759591953
1885752724
6395224737
7669405132
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gruppetto, o eventuali altri simili, π è “normale”!
Vediamo ora con una tabella 1 le presenze di ogni singola cifra nelle prime cento cifre
decimali di π :
TABELLA 2
cifre
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Frequenza Frequenza Differenza
reale r
statistica positiva o
s
negativa
r-s
=100/10
=10
8
10
-2
8
10
-2
12
10
1
11
10
1
10
10
0 normale
8
10
-2
9
10
-1
8
10
-2
12
10
2
14
10
3
Media algebrica delle discrepanze = - 2 ≈ 0 normalità
relativa.
Notiamo che anche qui la cifra 8 è più presente delle altre,
come pure nell’esempio di Bellos: un semplice caso?
Facciamo un altro esempio con un altro centinaio di cifre
scelto a caso:
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0921861173
8912279381
8193261179
3105118548
0744623799
8301194912 9833673362 4406566430
TABELLA 3
cifre
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Frequenza Frequenza Differenza
reale r
statistica positiva o
s
negativa
=100/10
r-s
=10
6
10
-4
15
10
5
9
10
-1
12
10
2
9
10
-1
7
10
-3
10
10
0 normale
10
10
0 normale
10
10
0 normale
11
10
1
Media algebrica delle discrepanze = -1≈ 0 = normalità
relativa.
Nella Tabella 2 c’è soltanto una sola differenza nulla,
mentre nella tabella 3 ce ne sono tre, e quindi la normalità
relativa di questo secondo gruppetto di 100 numeri è
migliore della prima. Poiché -1 è più vicino a 0 di -3
Ovviamente, solo quando tutte le dieci differenze sono
6274956735
1885752724
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nulle si avrà la normalità dell’intero gruppo di 100 numeri
( ma anche di 1 000, 10 000 ecc.) mentre quando la somma
algebrica è nulla, avremo solo una normalità relativa.
Vediamo ora un esempio finale per il numero irrazionale
aureo 1,618 = Ф
Sezione aurea
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Sezione aurea
Simbolo
1,6180339887...
Valore
(sequenza A001622 dell'OEIS)
Frazione [1; 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,
continua ...]
(sequenza A000012 dell'OEIS)
Insieme numeri algebrici irrazionali
Costanti Costante di Viswanath
correlate
Il rapporto tra i due segmenti è la sezione
aurea.
La sezione aurea o rapporto aureo o numero aureo o costante di Fidia o proporzione
divina, nell'ambito delle arti figurative e della matematica, indica il rapporto fra due
lunghezze disuguali, delle quali la maggiore è medio proporzionale tra la minore e la
somma delle due. In formule, se è la lunghezza maggiore e quella minore,
b : a = a : (a + b )
Lo stesso rapporto esiste anche tra la lunghezza minore e la loro differenza:
a : b = b : (a − b )
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In formule, indicando con
relazione:
la lunghezza maggiore e con
la lunghezza minore, vale la
a+b a
b
= =
a
b a−b
Tale rapporto vale approssimativamente 1,6180 ed è esprimibile per mezzo della
formula:
φ=
1+ 5
≈ 1,6180339887
2
Un altro modo per calcolare il valore del numero aureo può essere ricavato dalla
costruzione del rettangolo aureo; si può dedurre che equivale a:
0,5 + 1,25 = 1,6180339887498948482045868343656...
…
Di seguito viene riportato il valore di φ fino al 1000º decimale:
Di seguito viene riportato il valore di φ fino al 1000º decimale:
4088075
5939582
1043216
5695364
7066478
9704000
6135600
7783478
3126833
2221657
2981017
1753427
1702237
3868917
9056383
2695486
8644492
0915884
2812104
6708748
4587822
0372429
9128667
2610705
7759277
3580577
5212663
2266131
2629631
4104432
6074998
2762177
0710131
8911097
2675263
5294654
9611645
8625619
2786160
3862223
9928290
3614438
0771344
8712400
1117778
7952368
6250030
1165339
9068113
6299098
4320827
0868838
5369317
2678806
1497587
9470495
7652170
0531531
9427521
2696156
2473167
1715993
1629055
5051312
2952304
9318006
7520876
0122034
6584678
5751797
7141011
9484353
1700250
1112115
4323597
5208524
1815628
5926478
0766726
6892501
0805887
8509874
8834166
7046665
0567830
4643382
8818638
3494985
7903524
5512224
7801788
3544333
7116962
9544547
3394422
2562494
9914669
0228785
4377648
5133162
0904094
0602017
8093947
9921990
8908659
0703222
4924618
1254487
0758906
7987317
6997829
6102838
0384005
7621322
2799747
1234145
2707769
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Pagina 20 di 23
0389532 1968198 6151437 8031499 7411069 2608867 4296226 7575605 2317277
7520353 6139362.”
Nel nostro esempio consideriamo solo le prime 100 cifre,
divise in gruppi di 10, come per π :
1, 6180339887 4989484820 4586834365 6381177203
0917980576
2862135448 6227052604 6281890244
9707207204
1893911374
TABELLA 4
cifre
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Frequenza Frequenza Differenza
reale r
statistica positiva o
s
negativa
=100/10
r-s
=10
11
10
1
8
10
-2
10
10
0 normale
9
10
-1
12
10
2
5
10
-5
9
10
-1
10
10
0 normale
14
10
4
9
10
- 1
Media algebrica delle discrepanze = - 3 ≈ 0 = normalità
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relativa.
Come vediamo, la Tabella 4 relativa alle prime cento
cifre decimali di Ф non è poi molto diversa , in merito alla
“normalità” dalle TABELLE 2 e TABELLA 3 di π, segno
prevedibile che l’irrazionalità di un numero causa cifre
decimali sempre più casuali al crescere dell’espansione, ma
non una “normalità” assoluta. Al massimo, una “normalità”
relativa, quando la media algebrica delle differenze r - s è
nulla per qualsiasi gruppo arbitrario di cifre decimali
analizzato statisticamente in tal senso, come le nostre
TABELLE di cui sopra per gruppi di 100 cifre consecutive.
Questa normalità relativa l’abbiamo notata per i primi 200
miliardi di cifre di π , tramite l’esempio di Alex Bellos in
Rif.1.
Conclusioni
Possiamo brevemente concludere che π (ma anche
ovviamente tutti gli altri numeri irrazionali) non è in
assoluto “normale”, ma tenderebbe prima alla normalità
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media relativa r – s = 0 al crescere dell’estensione
decimale verso valori sempre più molto alti di 10^n
cifre decimali , e poi, forse, anche alla normalità assoluta,
per valori molto elevati di 10^n di cifre come estensione
decimali (ma questo non è ancora certo ne facilmente
dimostrabile per via dei lunghissimi calcoli necessari).
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3. RIFERIMENTI
- Wikipedia
- Alex Bellos “Il meraviglioso mondo dei numeri” (Einaudi),
storia di pi”
Capitolo 4° “La