della DIDATTICA quaderni - Dipartimento di Matematica

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quaderni
della DIDATTICA
i
Metodi e strumenti per
l’insegnamento e l’apprendimento
della matematica
A cura di
Giorgio Bolondi e Martha Isabel Fandiño Pinilla
I quaderni della didattica – Metodi e strumenti per l'insegnamento
e l’apprendimento della matematica – I edizione
Copyright © 2012, EdiSES S.r.l. – Napoli
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
2016 2015 2014 2013 2012
Le cifre sulla destra indicano il numero e l’anno dell’ultima ristampa effettuata
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A norma di legge è vietata la riproduzione, anche parziale, del presente volume o di parte di esso con qualsiasi mezzo.
L’Editore
Redazione: EdiSES S.r.l.
Composizione: Spazio creativo publishing
Progretto grafico: ProMedia Studio di A. Leano – Napoli
Fotoincisione: PrintSprint – Napoli
Stampato presso la Litografia di Enzo Celebrano – Pozzuoli (Napoli)
per conto della EdiSES S.r.l. – Napoli
http://www.edises.it
e-mail: [email protected]
ISBN 978 88 6584 218 8
Premessa
Questo libro vuole offrire ai futuri insegnanti e agli insegnanti in
servizio una rassegna agile di alcuni degli strumenti professionali
che sono oggi a disposizione di chi insegna matematica, in tutti
i livelli scolastici.
Si tratta di strumenti concettuali, che vogliamo ricordare di seguito.
La didattica della matematica è ormai una disciplina teoricamente
consolidata sulla base delle problematiche sollevate dalle situazioni
d’aula, specifiche per la matematica, i cui risultati permettono,
a chi si trova quotidianamente sul campo, di comprendere ed
analizzare i processi di insegnamento-apprendimento, di intervenire sulla propria azione didattica per favorire un apprendimento
corretto da parte degli studenti.
Per essere un “buon insegnante” non basta il buon senso, così
come non basta la preparazione disciplinare. Chi ancora la pensa
così evidentemente non ha mai messo piede in un’aula (da adulto). Quelle sono entrambe condizioni necessarie, ma sono ben
lungi dall’essere sufficienti. L’insegnante futuro, e l’insegnante
attuale, hanno bisogno di strumenti di didattica disciplinare specifica che vadano al di là della semplice ingegneria didattica, dei
suggerimenti per fare una bella lezione o organizzare una efficace
unità di insegnamento, e di materiali corretti (che ovviamente
sono indispensabili, ma non bastano).
La prima parte del libro è quindi dedicata a una veloce rassegna di
questi strumenti concettuali. Data la brevità dello spazio, si tratta
solo di pochi primi cenni ed esempi; per questo ogni capitolo è
corredato da un’ampia bibliografia di riferimento alla quale il
lettore può ricorrere per i necessari approfondimenti, se lo riterrà
opportuno.
Metodi e strumenti per l’insegnamento e l’apprendimento della matematica
Un capitolo a sé è dedicato al ruolo delle misconcezioni in matematica, perché questo tema si è rivelato molto importante per le sue
ricadute pratiche; la categoria delle misconcezioni si è dimostrata
utilissima per interpretare comportamenti degli studenti, sbrogliare
difficoltà di apprendimento, analizzare ostacoli, organizzare interventi di recupero, progettare efficacemente percorsi di insegnamento.
L’insegnamento della matematica ha poi bisogno di categorie e
strumenti che provengono da una riflessione più generale sull’insegnamento e l’apprendimento non specifici di una data disciplina.
A questa riflessione è dedicato un capitolo specifico, in cui diversi
temi, riguardanti soprattutto le situazioni d’aula, sono sviluppati
esemplificandoli nel caso della matematica.
Uno dei temi di maggiore attualità per la scuola italiana è rappresentato dall’avvento delle prove Invalsi. Che cosa sono le valutazioni
standardizzate; cosa ci dicono sulla scuola italiana e sui nostri allievi
le valutazioni internazionali come OCSE-Pisa, IEA-TIMSS e TIMSS
Advanced; che ruolo può avere l’Invalsi nel miglioramento della
nostra azione didattica; come utilizzare in classe e nelle scuole i
metodi, i materiali e i risultati delle valutazioni esterne; questi gli
argomenti trattati nell’ultimo capitolo. L’azione dell’insegnante di
matematica, oggi, non può ignorare l’esistenza di queste valutazioni.
In Appendice, riportiamo indicazioni per materiali di documentazione e aggiornamento, ovviamente riferiti al 2012.
Speriamo, con questo volume, di aver fornito dei riferimenti utili
per il lavoro degli insegnanti e, in ultima analisi, per la formazione
dei ragazzi, futuri cittadini ai quali affideremo il domani.
iv
Sommario
1
Capitolo Primo
Elementi di didattica della matematica
Martha Isabel Fandiño Pinilla
1.1 La didattica della matematica come arte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Due modi diversi di intendere la didattica della matematica . . . . . . . . . 3
1.3 Limiti della didattica A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Concetto e concettualizzazione in matematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5 Il caso della matematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.6 Apprendimento, costruttivismo, simbolizzazione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.7 Semiotica e noetica nella matematica e nel suo apprendimento . . . . 16
1.8 Componenti dell’apprendimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.9 Introduzione agli strumenti teorici e concreti della didattica B . . . . . 27
1.10 Il contratto didattico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.11 Conflitti e misconcezioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.12 Immagini e modelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.13 Il triangolo insegnante, allievo, Sapere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
1.14 Ostacoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
1.15 La teoria delle situazioni didattiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
1.16 Il ruolo dell’epistemologia nella formazione
degli insegnanti di matematica nella scuola secondaria. . . . . . . . . . . . 74
1. 17 Uso della storia nella didattica della matematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
1. 18 La didattica della matematica C, come epistemologia
dell’insegnante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
1. 19 La didattica della matematica è una scienza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
Sommario
1.20 Conclusioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
1.20 Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
2
Capitolo Secondo
Il ruolo delle misconcezioni
nella didattica della matematica
Silvia Sbaragli
2.1 Il termine misconcezione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
2.2 Misconcezioni “evitabili” e “inevitabili”. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
2.3 Alcuni esempi di misconcezioni evitabili e inevitabili . . . . . . . . . . . . . . 118
2.3.1 Esempi di misconcezioni inevitabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
2.3.2 Esempi di misconcezioni evitabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
2.3.3 Misconcezioni derivanti da “incoerenze” nei libri di testo . . . . . . 133
2.4 L’“errore”: un termine da reinterpretare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
1.20 Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
3
Capitolo Terzo
La sfida della Didattica: trasformare le classi
in contesti di apprendimento continuo
Piergiuseppe Ellerani
3.1 La bussola dal nome Didattica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
3.2 I tratti distintivi della Didattica come scienza autonoma . . . . . . . . . . 142
3.3 La bussola Didattica nel contesto classe incontra le differenze
individuali degli studenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
3.4 La Didattica: comunicazione nel contesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
vi
Sommario
3.5 La Didattica si esprime al meglio nel contesto-classe come
laboratorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
3.6 La Didattica e le competenze: punto cardinale Nord. . . . . . . . . . . . . . . 154
3.7 La Didattica e le intelligenze: punto cardinale Est. . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
3.8 La didattica cooperativa per lo sviluppo delle competenze:
punto cardinale Sud. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
3.9 La didattica basata sui problemi (Problem Based Learning):
punto cardinale Ovest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
3.10 La formazione delle “abitudini della mente”: punto cardinale
Nord-Est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
3.11 La Didattica metacognitiva e l’apprendere ad apprendere
per lo sviluppo del pensare: punto cardinale Sud-Est. . . . . . . . . . . . . . 171
3.12 Didattica e valutazione autentica. La prospettiva per la
valutazione delle competenze: punto cardinale Nord-Ovest
. . . . .
175
3.13 La Didattica per capacitare e costruire capitale sociale.
Un nuovo orizzonte formativo: punto cardinale Sud-Ovest . . . . . . . 179
1.20 Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
4
Capitolo Quarto
Le valutazioni nazionali e internazionali
Giorgio Bolondi
4.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
4.2 L’indagine OCSE-PISA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
4.2.1 L’edizione del 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
4.2.2 La matematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
4.2.3 I risultati e l’Italia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
4.3 L’indagine IEA-TIMSS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
vii
Sommario
4.4 Il Servizio di Valutazione Nazionale dell’Invalsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
4.4.1 La Prova Nazionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
4.4.2 Come “utilizzare” le prove Invalsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
1.20 Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
Appendice
Strumenti di documentazione per l'insegnante
Giorgio Bolondi
Indicazioni di legge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
Valutazioni Internazionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
Invalsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
Matematica 200x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
Repository di materiali
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
211
Convegni e congressi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
Gruppi di ricerca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
Autori. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
viii
1
Capitolo Primo
Elementi di didattica
della matematica
1.1 La didattica della matematica come arte
Il sostantivo “didattica” ha come traduzione in latino dotto,“ars
docendi”, con evidente rinvio a problematiche che sono strettamente legate all’insegnamento. Il riferimento a quella “ars”
è particolarmente suggestivo: da un lato è “artigianato” (il docente che prepara e sceglie le lezioni, i modi, gli esempi …) e
dall’altro è “arte” (scelte comunicative, recite a soggetto, modalità per catturare l’attenzione, per motivare…).
La didattica della matematica come arte ha prodotto risultati
interessanti. L’oggetto del lavoro di quel tipo di didattica era
costituito essenzialmente dall’insegnamento della matematica; mentre l’obiettivo principale era creare situazioni (sotto forma di lezioni, attività, oggetti, ambienti, giochi, ...) per
un insegnamento migliore della matematica. L’assunto più o
meno esplicito sembrava essere il seguente: se migliora l’insegnamento, migliorerà anche l’apprendimento, e la validità
di questo assunto era data per scontata.
Il peso “artistico” dell’attività d’insegnamento, dunque, grava tutto sulle spalle dell’insegnante. Ma al fondo di questa
scelta sta il convincimento che l’attrazione esercitata sull’attenzione e sulla motivazione dello studente sono le caratteristiche essenziali perché quest’ultimo apprenda. Ciò corrisponde al vero o si tratta di una illusione un po’ ingenua?
Scrive a questo proposito Moreno Armella (1999): «L’insegnamento, come semplice processo di istruzione, appesan-
tito da ipotesi sulla capacità dello studente di assorbire quel
che gli si dice “bene”, non è una concezione: è un’illusione».
Si noti l’accentuazione di quel “bene”: puntare tutto sull’insegnamento, per quanto inteso come risultato di una riflessione artistica, non dà affatto garanzie sul piano degli apprendimenti.
Questa è l’opinione condivisa al giorno d’oggi da parte degli
studiosi di didattica.
Tuttavia, in passato più d’un Autore ha sostenuto che insegnare è un’arte, frutto di doti personali che non si possono
né imparare né trasmettere, con la conclusione estrema che
la ricerca didattica non serve. Si tratta di una concezione deleteria che certo non apre la strada a riflessioni interessanti e
che piuttosto chiude ogni speranza di migliorare gli apprendimenti attraverso studi specifici, costituendo un’involuzione
non aggirabile.
Fortunatamente gli indubbi successi ottenuti dall’odierna
ricerca hanno mostrato che si tratta di una posizione ampiamente superata sulla quale non vale la pena soffermarsi ulteriormente.
Innanzitutto, è necessario fare alcune distinzioni per non cadere in equivoci: quanto affermato sopra non significa che
non vi siano docenti che mostrano indubbie doti naturali
nella comunicazione e nell’attrarre l’attenzione degli studenti, piuttosto quel che vogliamo dire è che l’efficacia degli apprendimenti non è appannaggio solo di questi “artisti
della didattica” anche se, ovviamente, partendo da una base
di attenzione ed interesse, è facile che cresca la motivazione
e soprattutto la volizione (Pellerey, 1993). Non è detto che
un perfetto insegnante ottenga, solo per questo motivo, il
risultato voluto sul piano della qualità dell’apprendimento
da parte dei propri allievi.
2
Capitolo 1 Elementi di didattica della matematica
Torniamo ai risultati della didattica che punta tutto sull’insegnamento; essa ha ottenuto, negli ultimi decenni, risultati
interessanti. Basti ricordare i lavori della cosiddetta Matematica vivente, termine coniato da André Révuz [1914 – 2008]
fin dagli anni’50 (Révuz, 1965) e poi divulgato da Zoltan P.
Dienes (1972) con i suoi famosi blocchi logici; il famosissimo
lavoro di Emma Castelnuovo, legato a idee ancora oggi molto moderne sulla matematica della realtà ed alla creazione di
strumenti di grande efficacia; i cosiddetti numeri in colore ideati da Georges Cuisenaire [1891 – 1976] ed analizzati da Galeb
Gattegno [1911-1988] (Cuisenaire, Gattegno, 1955); i teorici
dell’uso degli abachi, ancora oggi tanto diffusi nelle scuole
primarie; il geopiano; il minicomputer di George Papy [1920 –
2011]; il linguaggio delle frecce di George e Frédérique Papy
[1921 – 2005]; le macchine operazioni;… Si trattava soprattutto
di creare ambienti artificiali ideati su misura per certi insegnamenti specifici. In questa direzione, occorre ricordare ancora quegli “ambienti” che si ispirano alle idee pedagogiche
di Maria Montessori [1870-1952].
1.2 Due modi diversi di intendere la didattica della
matematica
Prima di proseguire con altri esempi significativi, tentiamo una
descrizione generale di quel che si intende oggi circa la ricerca in didattica della matematica. Si possono ipotizzare diversi
modi di vedere la didattica della matematica:
> tipo A, come divulgazione delle idee, fissando dunque l’attenzione sulla fase dell’insegnamento (A qui sta per Ars,
riferendoci alla sua traduzione latina);
> tipo B, come ricerca empirica, fissando l’attenzione sulla
fase dell’apprendimento (qualche cosa che più avanti ver-
3
rà definito meglio e che potremmo chiamare: epistemologia
dell’apprendimento della matematica);
> tipo C, come studio delle convinzioni personali degli insegnanti di matematica e della loro influenza nelle azioni
d’aula e dell’apprendimento degli studenti.
Questa distinzione è suggerita dagli studi di Bruno D’Amore
(1999b, 2006a) e successivi.
Ora, tutte le esperienze brevemente richiamate nel paragrafo 2.1, sono pertinenti alla tipologia A, in quanto lo sforzo
del didatta è tutto teso a trasformare un discorso specialistico (e dunque complesso in quanto si fa uso di un linguaggio
tecnico non naturale) in uno comprensibile e più consono
alla natura dell’allievo. Il didatta A è sensibile all’allievo, lo
pone al centro della sua attenzione, ma la sua azione didattica non è sull’allievo bensì sull’argomento in gioco.
La didattica A può servire a contribuire a risolvere problemi
di grande importanza come: migliorare l’immagine della matematica, migliorare l’immagine di sé nel fare matematica,
migliorare l’attenzione, attivare interesse e motivazione.
Una cattiva immagine della matematica nuoce a tutta l’attività dell’insegnante stesso. Lezioni inconcludenti, ripetitive,
noiose, finiscono con il contribuire a trasmettere una visione
negativa della matematica allo stesso docente, che si estende
al suo lavoro didattico.
All’interno di un modo “nobile” di intendere la didattica A,
c’è l’importante problematica dell’uso della storia della matematica in aula: come strumento didattico; per migliorare
l’immagine della matematica rendendola più vicina alla vita
quotidiana dell’essere umano; per dare l’idea che la matematica è cultura.
Su questi punti, la letteratura è vastissima; si veda per esempio D’Amore (1999b).
4
In sintesi, fanno parte della didattica di tipo A tutti gli studi e le
ideazioni di strumenti (concreti o no) che possono migliorare
l’insegnamento della matematica, nel senso precisato sopra.
Oltre agli “strumenti”, bisogna ricordare la fortuna avuta (negli anni ’70-80) di certi “ambienti di lavoro”, come i “laboratori di matematica” (Caldelli, D’Amore, 1986). Vi furono anni
intensi di lavoro attorno a questa idea che ha indubbi frutti
molto positivi sul piano didattico-cognitivo, dato che vi si instaurano meccanismi relazionali (insegnante-allievo) molto
particolari e relazioni cognitive (allievo-matematica) di estremo interesse teorico (D’Amore, 1988, 1990-91). È ovvio che
questa attività in laboratorio si configura all’interno della cosiddetta “pedagogia attiva”: il ragazzo costruisce (nel nostro
caso non solo metaforicamente, ma concretamente), con le
proprie mani, oggetti che sollecitano conoscenza. I concetti sono il risultato della elaborazione di progetti che devono passare al vaglio dell’esperienza. Il manufatto deve essere
pensato a priori perché ha uno scopo dichiarato ed atteso,
ma deve poi esserne verificata l’efficacia. Poiché lo strumento
matematico non era, come di consueto, del tutto realizzato
da un adulto e portato in classe già confezionato e pronto
per l’uso, bensì solo proposto dall’insegnante attraverso il
bisogno di rendere concreta un’idea, ma poi progettato, realizzato e verificato dall’allievo, si potrebbe anche pensare che
questa attività costituisca un “ponte” tra la tipologia A e quella B (che conosceremo in dettaglio tra breve) della didattica.
1.3 Limiti della didattica A
Un generale fraintendimento e una immotivata esagerazione
acritica, soprattutto la perdita dell’evidenza della motivazione didattica che sta all’origine di un’idea e di uno strumento, sembra essere comune a molte delle innovazioni che si
5
considerano far parte della didattica A, forse proprio a causa
del fatto che sia i proponenti sia gli adepti non avevano alle
spalle i risultati di una ricerca didattica sugli effetti cognitivi in relazione alle modifiche degli apprendimenti ottenute
con lo strumento. Infatti, la fiducia nel risultato cognitivo
derivava dallo strumento in sé, dal grado di convincimento
operato dal proponente, dal consenso che ruotava, a tutti i
livelli, attorno alle proposte.
Così è stato per molti degli strumenti presentati, per la teoria
degli insiemi [la cosiddetta “insiemistica”, sulla quale il lettore può vedere l’analisi fatta in D’Amore (1999b)], per l’introduzione della logica degli enunciati (un’esasperata messa
in opera di tavole di verità e di connettivi; D’Amore, 1991)
eccetera.
Uno dei problemi didattici principali che lega tra loro tutto
il materiale presentato finora è senz’altro quello del transfer
cognitivo. Ci soffermeremo su questo punto brevemente, rinviando a D’Amore (1999b) per un discorso più approfondito.
Molti dei creatori degli strumenti citati hanno realizzato
ambienti di lavoro particolari, chiusi in sé stessi, che chiameremo in un colpo solo ambienti artificiali; in essi si potenziano, evidenziandoli ed isolandoli, gli aspetti matematici
delle attività stesse.
Ma si tratta di attività per così dire fini a sé stesse, “endogene” cioè. La scommessa pedagogica di fondo sembra essere
la seguente: la motivazione e l’interesse che la nuova attività
ha acceso nell’allievo sono tali che l’apprendimento del concetto “in gioco” sarà non superficiale ma profondo. In tal
modo, quando l’allievo si troverà di fronte ad un problema
dello stesso tipo, ma in ambiente diverso, trasferirà il sapere
da una situazione all’altra, in modo naturale, implicito, spontaneo, senza richieste cognitive specifiche per la nuova situazione di
apprendimento.
6
È, detto in modo molto semplicistico, il sogno ingenuo che
il fenomeno del transfer cognitivo sia automatico: da una conoscenza “artificiale” costruita su misura in un ambiente opportuno e specifico, alla conoscenza generalizzata, cioè alla
capacità di produrre abilità cognitive e procedurali in altre
situazioni.
Di fatto, però, le cose non vanno sempre così; anzi, a ben
guardare, difficilmente vanno così: le capacità cognitive e procedurali restano spesso ancorate all’ambito nel quale si sono
raggiunte: non si sa trasferire la conoscenza, se non in casi
particolari.
In un biennio delle superiori, anche se lo studente ammette
y
z
di saper ricavare z dalla uguaglianza x = , dimostra fastidio
e difficoltà alla proposta di ricavare, durante l’ora di fisica, t
s
dalla espressione ␯ = t . L’insegnante non vede la differenza
fra le due espressioni ed i due compiti che gli appaiono identici; lo studente la vede, eccome.
Questo limite, tipico dell’essere umano, ha molto ridimensionato gli studi fatti in ambito A; questi, se pure proseguono, sono oggi usualmente accompagnati da una seria ricerca empirica, ben fondata, sempre più specialistica, ed allora
fatalmente tendono a diventare ricerche in didattica B;
oppure sono considerati oggi, se non puri esercizi retorici,
senza alcuna credibilità didattica (in realtà, la problematica
del transfer cognitivo non è così banale).
Si può fare ricerca empirica in una didattica di tipo A?
Va detto subito che se si assume così semplicemente la tipologia A come ambiente di ricerca, allora bisogna riconoscere
che quegli studiosi non sono riusciti ad elaborare un loro proprio statuto epistemologico complessivo.
7
A questa affermazione qualcuno ribatte chiamando in causa il
bourbakismo1; ma il riferimento allo strutturalismo bourbakista è scorretto, perché esso non è, né mai ha chiesto di essere,
una epistemologia della ricerca in didattica, essendo ad essa
totalmente estraneo.
Né è corretto riferirsi allo strutturalismo in senso piagetiano, che pure a quello bourbakista fa riferimenti continui:
la teoria secondo la quale l’apprendimento avviene “a stadi” gerarchici lineari, in analogia con il modello dell’epistemologia genetica di Jean Piaget [1896-1980], è da qualche
decennio al centro di discussioni: si tratta di una elegante
ed affascinante costruzione teorica, ma sembra stentare a
trovare serie e significative verifiche empiriche che la rendano accettabile; anzi, le verifiche empiriche fin qui compiute
sembrano andare in direzioni molto diverse o opposte2.
Senza una vera e propria ricerca empirica, qual è la certezza
che abbiamo sul fatto che l’uso di uno strumento qualsiasi tra
quelli descritti nella tipologia A renda davvero gli allievi più
1 Si tratta di una corrente che oggi potremmo chiamare di epistemologia della matematica che ha spinto a riscrivere daccapo tutta la matematica, cercando di basarsi
su pochissime strutture algebriche considerate fondamentali (D’Amore, Matteuzzi,
1975). Questa ricerca, iniziata negli anni ’40 ed ancora oggi in corso (anche se
senza più il vigore e le forti motivazioni iniziali), ha profondamente influenzato
non solo la matematica, ma molte altre discipline che l’hanno presa ad esempio
(D’Amore, 1981, 1987a). Il fenomeno strutturalista, che ha investito molteplici discipline, ha certo origine qui; ad esso si ispirano, per esempio, molti dei più celebri
lavori di Jean Piaget.
2 Su questo punto delicatissimo, ci limitiamo a citare solo le prime ricerche critiche (quelle della seconda metà degli anni ’70, che fecero tanto scalpore in quanto
minavano le basi di teorie che sembravano assolutamente indiscutibili) e, tra le
ultime, solo quelle nate all’interno del Nucleo di Ricerca di Bologna. Si possono
vedere, per esempio, tra i precursori: Brainerd (1973), Mogdil (1974), Feldman e
Toulmin (1976), Gelman e Gallistell (1978); e, tra gli studi più recenti: Aglì, D’Amore, Martini, Sandri (1997); Sbaragli (1999). Ma le ricerche di questo tipo sono
numerosissime. Per una critica più generale alle indagini sullo stile piagetiano, ved.
Gardner (1993), pagg. 57 e segg. della edizione italiana.
8
abili in qualche cosa che non sia meramente specifico? Per
esempio, usare a lungo e con l’assistenza dell’insegnante l’abaco multibase rende ovviamente più abile l’allievo ad usare...
l’abaco multibase; ma siamo sicuri che quello stesso allievo
sarà diventato più abile anche in altro, per esempio nell’esecuzione di un’operazione, nella risoluzione di un problema,
nella dimostrazione di un enunciato? O, almeno, abbia assunto una consapevolezza più profonda dei concetti aritmetici
di base e sulla matematica in generale? L’abaco si utilizza soprattutto nella scuola primaria; che tipo di apprendimento
specifico esso potrebbe convogliare al passaggio nella scuola
secondaria? Non si riesce a trovare un filo logico.
D’altra parte, però, se si effettuano prove empiriche, con opportuni e ben studiati dispositivi sperimentali, sui risultati cognitivi ottenuti con attività di tipo A, allora si passa alla ricerca
considerata sperimentale, si entra nel campo della epistemologia
dell’apprendimento, cioè si passa al punto che contraddistingue
la tipologia B.
Per chiudere questo paragrafo, segnaliamo un paio di lavori
storico-critici di Angelo Pescarini (1995, 1997) che fanno il
punto sulla ricerca in didattica della matematica, fermandosi
agli anni ’80, e tentando di stabilire alcune fondazioni di carattere epistemologico alle diverse concezioni emerse tra gli
anni ’50 ed ’80.
Un altro lavoro che ha lo stesso scopo è Linati (2011).
Il lavoro di Dienes, Papy ed altri “mostri sacri” degli anni ’60
e ’70 fu sottoposto a critiche radicali da parte di alcuni didatti
nel decennio successivo; in particolare, in modo molto lucido
e profondo, tale da non permettere repliche, da parte di Guy
Brousseau fin dagli anni ’60, quando ancora era un maestro
elementare (ma poi divenne professore ordinario ed emerito;
fu insignito della medaglia Felix Klein per la didattica della
matematica al momento della sua istituzione, nel 2003).
9
A parte certe pubblicazioni “interne”, analisi critiche appaiono in Brousseau (1972a,b, 1974) e poi infine raccolte in
Brousseau (1986). Data la difficoltà di rintracciare questi
testi degli anni ’60 e ’70, rimandiamo al lungo articolo del
1986, uno dei pilastri del nuovo modo di intendere la didattica della matematica, per avere i dettagli di tali critiche. Si
veda anche Sarrazy (1995; nella trad. it. alle pagine 136-137).
1.4 Concetto e concettualizzazione in matematica
In D’Amore (1999b, pagg. 193-208; 2001a; 2001d) si danno
le idee di base attraverso le quali tentare una risposta alla
domanda su che cosa sia, dapprima in generale e poi in matematica, un concetto. Rinviando i lettori più curiosi a quei
lunghi lavori per un approfondimento, ci limitiamo qui solo
a riassumere il discorso.
Distinguere il “concetto” dalla sua costruzione non è facile e,
forse, non è né possibile né auspicabile: un concetto è, per
così dire, continuamente in fase di costruzione ed in questa
stessa costruzione sta la parte più problematica e dunque ricca del suo significato:
Concetto
Costruzione
Costruzione
Significato
Potremmo chiamare, come fanno altri Autori, tale costruzione: concettualizzazione, e chiederci che cosa sia e come avvenga. Nel tentativo di far luce su questo argomento, molti
autorevoli studiosi hanno proposto ipotesi e teorie sulle quali
10
non entriamo in dettagli, rinviando ancora, per una rapida
carrellata, a D’Amore (1999b); basti ricordare i contributi
(spesso tra loro in ferma opposizione) di Vygotskij, di Piaget,
di Gal’perin, di Bruner, di Gagné, tanto per limitarci solo ai
più noti.
Addentrarsi in questa avventura, conduce a rendersi conto
almeno di una cosa: che la seconda domanda (Che cos’è o come
avviene la concettualizzazione?) resta fondamentalmente un mistero.
Un passo chiarificatore è stato tentato da Vergnaud (1990)
che unifica nel concetto la sua stessa componente costruttiva.
Secondo Vergnaud, il punto decisivo nella concettualizzazione (e nella didattica, ma questo è un discorso più specifico,
che sarà ripreso più avanti) è il passaggio dai concetti-come-strumento ai concetti-come-oggetto ed un’operazione linguistica essenziale in questa trasformazione è la nominalizzazione. Egli
intende con “concettualizzazione” proprio questa appropriazione consapevole, quando propone la seguente definizione:
un concetto C è la terna (S, I, S) dove S è il referente, I il
significato ed S il significante.
Resta il fatto che appropriarsi di un concetto (qualsiasi cosa
ciò significhi) richiede comunque sempre ben più che nominarlo (la questione risale almeno al Medioevo). (D’Amore,
1999b, 2001b).
Ora, lungi dall’idea di tentare una teoria generale di queste
cose; ma, certo, il caso della matematica è, in questo settore,
peculiare; ciò, almeno per i seguenti motivi:
> ogni concetto matematico ha rinvii a “non-oggetti”; dunque la concettualizzazione non è e non può essere basata
su significati che poggiano sulla realtà concreta; in altre
parole in matematica non sono possibili rinvii ostensivi;
11
> ogni concetto matematico è costretto a servirsi di rappresentazioni, dato che non vi sono “oggetti” da esibire in loro
vece o a loro evocazione; dunque la concettualizzazione
deve necessariamente passare attraverso registri rappresentativi che, per vari motivi, soprattutto se sono a carattere
linguistico, non possono essere univoci. [Qui “oggetto” è
inteso nel senso di “oggetto reale” o di “cosa”. Che cosa ciò
significhi è ben espresso nella Metafisica di Aristotele, quando afferma che la “cosa”, in quanto parte del reale, è ciò che
presenta le tre caratteristiche seguenti: tridimensionalità;
accessibilità sensoriale multipla (cioè di più sensi alla volta) indipendente dalle rappresentazioni semiotiche; possibilità di separazione materiale e da altre parti della realtà,
da altre “cose”].
Si parla più spesso in matematica di “oggetti matematici” che
non di “concetti matematici” in quanto in matematica si studiano preferibilmente oggetti piuttosto che concetti; «la nozione di oggetto è una nozione che non si può non utilizzare
dal momento in cui ci si interroga sulla natura, sulle condizioni di validità o sul valore della conoscenza» (Duval, 1998).
Nel sentiero tracciato da Duval, la nozione di concetto, preliminare o comunque prioritaria in quasi tutti gli Autori, diventa secondaria, mentre ciò che assume carattere di priorità
è la coppia (segno, oggetto), come sarà evidenziato ancora meglio nel prossimo paragrafo, al momento in cui si farà riferimento al paradosso cognitivo del pensiero matematico, sottolineato proprio da Duval (1993, pag. 38).
In Duval (1996) si cita un passo di Vygotskij nel quale sostanzialmente si dichiara che non c’è concetto senza segno: «Tutte le funzioni psichiche superiori sono unite da una caratteristica comune superiore, quella di essere dei processi mediati,
cioè di includere nella loro struttura, come parte centrale ed
essenziale del processo nel suo insieme, l’impiego del segno
12
come mezzo fondamentale di orientamento e di dominio dei
processi psichici. L’elenco centrale [del processo di formazione dei concetti] è l’uso funzionale del segno, o della parola, come mezzo che permette all’adolescente di sottomettere
al suo potere le proprie operazioni psichiche, di dominare il
corso dei propri processi psichici...» (Vygotskij, 1962; nell’ed.
francese, 1985, alle pagg. 150, 151, 157).
A proposito di questa citazione di Vygotskij, o meglio approfittando di essa, è bene compiere una rapida considerazione
a proposito della parola “segno”, suggeritaci da conversazioni e scambi di idee con Raymond Duval, in quanto, egli afferma, che in alcuni studiosi di didattica si scorge una riduzione
del segno ai simboli convenzionali che connotano direttamente
e isolatamente degli oggetti.
In riferimento a De Saussure (1915) (che Vygotskij conosceva bene a causa della sua formazione di linguista) non c’è
segno fuori da un “sistema di segni”.
Per esempio, le parole non hanno significato che all’interno del sistema di una lingua (da qui i problemi ben noti di
traduzione).
Quando in Duval (e dunque qui) si parla di “registro di rappresentazione semiotica” ci si riferisce ad un sistema di segni che permette di riempire le funzioni di comunicazione,
trattamento e di oggettivazione, e non ci si riferisce invece a
delle notazioni convenzionali che non formano un sistema.
Per esempio, la numerazione binaria, o quella decimale, formano un sistema, ma non le lettere o i simboli che si utilizzano per indicare delle operazioni algebriche. Forse converrebbe allora tradurre Vygotskij ponendo in luogo della
parola “segno” la locuzione “sistema di segni”.
Si noti anche che, da questo punto di vista e contrariamente
all’opinione diffusa, un sistema semiotico non è uno strumento: esso è costitutivo del funzionamento stesso del pensiero e della conoscenza. Solo un codice che venga usato
13
per ricodificare un messaggio già espresso, può essere uno
strumento.
1.5 Il caso della matematica
Per comprendere meglio il nostro discorso risulta efficace il
seguente schema.
“oggetto” matematico da concettualizzare: non esiste come oggetto reale
OGGETTIVA INACCESSIBILITÀ ALLA PERCEZIONE
(conseguente necessità di) rappresentanti semiotici
sugli oggetti
attività matematica
sui rappresentanti
conseguente paradosso cognitivo del pensiero matematico
Vediamo in che cosa consiste questo paradosso (Duval, 1993,
pag. 38; la traduzione è concordata con l’Autore): «(…) da
una parte, l’apprendimento degli oggetti matematici non
può che essere un apprendimento concettuale e, d’altra
parte, è solo per mezzo di rappresentazioni semiotiche che
è possibile un’attività su degli oggetti matematici. Questo
paradosso può costituire un vero circolo vizioso per l’apprendimento. Come dei soggetti in fase di apprendimento
potrebbero non confondere gli oggetti matematici con le
14
loro rappresentazioni semiotiche se essi non possono che
avere relazione con le sole rappresentazioni semiotiche?
L’impossibilità di un accesso diretto agli oggetti matematici, al di fuori di ogni rappresentazione semiotica, rende la
confusione quasi inevitabile. E, al contrario, come possono
essi acquisire la padronanza dei trattamenti matematici, necessariamente legati alle rappresentazioni semiotiche, se
non hanno già un apprendimento concettuale degli oggetti rappresentati? Questo paradosso è ancora più forte se si
identifica attività matematica ed attività concettuale e se si
considera le rappresentazioni semiotiche come secondarie
o estrinseche».
In questa fase “paradossale” dell’apprendimento, bisogna
stare molto attenti; da un lato lo studente non sa che sta
apprendendo segni che stanno per concetti e che dovrebbe invece apprendere concetti; se l’insegnante non ha mai
riflettuto su questo punto, d’altra parte, crederà che lo
studente stia apprendendo concetti, mentre questi sta in
realtà “apprendendo” solo a far uso di segni (D’Amore,
1999a).
1.6 Apprendimento, costruttivismo, simbolizzazione
Apprendere sembra dunque essere una costruzione sottoposta al bisogno di “socializzare”, il che avviene ovviamente grazie ad un mezzo comunicativo (che può essere il linguaggio) e che nella matematica sempre più decisamente
sarà condizionato dalla scelta del mediatore simbolico,
cioè, poi, del registro di rappresentazione prescelto (o imposto, a vario titolo, anche solo dalle circostanze).
15
apprendimento
costruttivismo
simbolizzazione
Torneremo a parlare di costruttivismo, proponendo una definizione che sembra calzare perfettamente al caso della matematica. Per giungere a tanto, però, si deve far chiarezza su
alcune questioni che sono fondamentali nel dibattito attuale.
1.7 Semiotica e noetica nella matematica
e nel suo apprendimento
In matematica, l’acquisizione concettuale di un oggetto passa necessariamente attraverso l’acquisizione di una o più
rappresentazioni semiotiche. Lo dice per primo Duval, presentando la problematica dei registri, nei celebri articoli del
1988 pubblicati sugli Annales (1988a, 1988b, 1988c) [dei quali il lavoro del 1993 costituisce un primo tentativo di sintesi
(1993); ma Duval pubblica su questo argomento anche lavori
nel 1989 e 1990]; lo confermano Chevallard (1991), Godino
e Batanero (1994).
Dunque, prendendo a prestito da Duval: non c’è noetica senza
semiotica.
Da tempo si usa esplicitare i significati dei termini semiotica
e noetica nel modo seguente:
> semiotica df ➝ teoria che studia le diverse rappresentazioni all’interno di opportuni registri;
noetica
df ➝ acquisizione concettuale di un oggetto.
>
16
Per Platone, la noetica è l’atto di concepire attraverso il pensiero, per Aristotele, l’atto stesso di comprensione concettuale.
Useremo il seguente simbolismo:
> rm df ➝ registro semiotico m-esimo (m 1, 2, 3, ...)
> Rmi(A) df ➝ rappresentazione semiotica i-esima (i 1, 2,
3, ...) di un oggetto A nel registro semiotico rm.
Si può notare che, in base a queste scelte, se cambia il registro semiotico cambia necessariamente anche la rappresentazione semiotica, mentre non è detto che accada viceversa;
cioè può cambiare la rappresentazione semiotica pur mantenendosi lo stesso registro semiotico.
Si intende solitamente con “caratteristiche della semiotica”
tre attività cognitive diverse: rappresentazione – trattamento –
conversione. Vediamo di che si tratta. Ancora una volta, usiamo un grafico per illustrare tali caratteristiche della semiotica, perché sembra più incisivo ed efficace.
oggetto A da rappresentare ➝ scelta dei tratti distintivi di A
➝ RAPPRESENTAZIONE Rmi(A) in un dato registro semiotico rm
➝
se si applica una trasformazione di rappresentazione TRATTAMENTO, si ottiene
una nuova rappresentazione (ij) Rmj(A) nello stesso registro semiotico rm
se si applica una trasformazione di registro CONVERSIONE, si ottiene una nuova
rappresentazione Rnh(A) in un altro registro semiotico rn (nm)
(m, n, i, j, h 1, 2, 3, ...)
I tratti distintivi fissati dell’oggetto A dipendono dalle capacità
semiotiche di rappresentazione del registro scelto. Adottando
un registro diverso si fisserebbero altri tratti di A. Ciò dipende
dal fatto che due rappresentazioni dello stesso oggetto, ma in
registri diversi, hanno contenuti differenti.
17
Ancora una nota. La scelta dei tratti distintivi di A non è neutra e fissata a priori, ma è frutto di opinione, volontà, necessità
o gusto … dunque fatti legati non solo all’oggetto di discorso
ma anche al soggetto umano che sta rappresentando A.
Quali sono le caratteristiche della noetica?
L’acquisizione concettuale di un oggetto matematico si basa
su due sue caratteristiche “forti” (Duval, 1993):
> l’uso di più registri di rappresentazione semiotica è tipica
del pensiero umano;
> la creazione e lo sviluppo di sistemi semiotici nuovi è simbolo (storico) di progresso della conoscenza.
Queste considerazioni mostrano l’interdipendenza stretta
tra noetica e semiotica, come si passa dall’una all’altra: non
solo dunque non c’è noetica senza semiotica, ma la semiotica
viene assunta come caratteristica necessaria per garantire il
primo passo verso la noetica.
A questo punto è doverosa una precisazione sulla teoria che
da anni sta sviluppando Raymond Duval. In essa, egli accorda
alla conversione un posto centrale rispetto alle altre funzioni,
ed in particolare rispetto a quella di trattamento, considerata
invece dai più come decisiva dal punto di vista matematico.
Perché? Per almeno tre ragioni distinte:
> la conversione cozza contro dei fenomeni di non congruenza che sono per nulla concettuali (in quanto legati
al senso stesso della conversione). Questi fenomeni di non
congruenza costituiscono l’ostacolo più stabile osservabile
nell’apprendimento della matematica, a tutti i livelli ed in
tutti i dominii;
> la conversione permette di definire delle variabili cognitive
indipendenti, il che rende possibile costruire delle osservazioni e delle sperimentazioni relativamente precise e fini.
18
Certo, una volta validate attraverso una ricerca molto metodica, esse possono poi essere utilizzate come delle variabili
didattiche. Dunque, Duval non lavora nella osservazione di
una classe per settimane, ma piuttosto si comporta come
fanno un biologo o un medico, quando vogliono capire il
funzionamento del cervello;
> la conversione, in casi di non congruenza, presuppone una
coordinazione dei due registri di rappresentazione mobilizzati, coordinazione che non è mai data in partenza e che
non si costruisce spontaneamente basandosi sul solo fatto
che si facciano effettuare delle attività matematiche didatticamente interessanti. Ciò che si chiama la “concettualizzazione” comincia realmente solo quando si mette in moto,
anche solo abbozzandola, la coordinazione di due distinti
registri di rappresentazione.
Tuttavia, recenti ricerche effettuate nell’ambito del nostro
gruppo di ricerca, hanno portato a studiare con molta profondità nel dominio della didattica della matematica le trasformazioni di trattamento (D’Amore, 2006b, 2011; D’Amore, Fandiño Pinilla, 2007); una tesi di dottorato su questo
tema è già stata conclusa a Palermo, altre due sono in corso
a Bogotà.
La teoria dei registri semiotici deve essere valutata basandosi
sugli apporti relativi alla ricchezza, alla novità delle osservazioni, così come alla novità delle attività di apprendimento
che le variabili cognitive permettono di definire e non in rapporto a delle decisioni a priori su che cos’è la matematica o
in base a considerazioni globalizzanti non controllabili attraverso metodologie precise.
È ogni singolo allievo che apprende, e nessuno può apprendere (o comprendere) al posto di un altro! Inoltre, la riuscita
di un’azione didattica non si giudica immediatamente, ma
19
può essere valutata solo alcuni anni più tardi: ci sono molti
casi di riuscita immediata che si rivelano poi essere degli insuccessi a distanza di tempo.
Ecco, dunque, perché Duval insiste sul carattere centrale
della conversione; è questo il punto decisivo, quel che veramente differenzia la sua teoria dei registri, rispetto a tutto
quel che si può dire e si usa dire su segni e semiotica, o sul
cognitivo.
La costruzione dei concetti matematici è dunque strettamente dipendente dalla capacità di usare più registri di rappresentazioni semiotiche di quei concetti per:
> rappresentarli in un dato registro;
> trattare tali rappresentazioni all’interno di uno stesso registro;
> convertire tali rappresentazioni da un dato registro ad un altro.
L’insieme di questi tre elementi e le considerazioni fatte nei
precedenti paragrafi mettono in evidenza il profondo legame
che c’è tra noetica e costruttivismo: da tempo proponiamo che
“costruzione della conoscenza in matematica” significhi proprio l’unione di quelle tre “azioni” sui concetti, cioè l’espressione stessa della capacità di rappresentare i concetti, di trattare
le rappresentazioni ottenute all’interno di un registro stabilito
e di convertire le rappresentazioni da un registro ad un altro.
È come se si stessero specificando le operazioni-base che, nel
loro insieme, definiscono quella “costruzione” che, altrimenti, resterebbe un termine misterioso e ambiguo, esposto ad
ogni sorta di interpretazione, anche metafisica.
La mancata costruzione concettuale, la non raggiunta noetica, è un fenomeno molto studiato in didattica della matematica. D’Amore (1999a) da tempo ha messo in relazione questo
20
mancato apprendimento con un altro fenomeno, la “scolarizzazione”: «Con il termine “scolarizzazione del sapere” intendo qui riferirmi a quell’atto in larga misura inconsapevole,
attraverso il quale l’allievo, ad un certo punto della sua vita
sociale e scolastica (ma quasi sempre nel corso della Scuola
Elementare) delega alla Scuola (come istituzione) ed all’insegnante di scuola (come rappresentante dell’istituzione) il
compito di selezionare per lui i saperi significativi (quelli che lo
sono socialmente, per status riconosciuto e legittimato della
noosfera), rinunciando a farsi carico diretto della loro scelta
in base a qualsiasi forma di criterio personale (gusto, interesse, motivazione,...). Poiché questa scolarizzazione comporta il
riconoscimento dell’insegnante come depositario dei saperi
che socialmente contano, è anche ovvio che vi è, più o meno
contemporaneamente, una scolarizzazione dei rapporti interpersonali (tra studente ed insegnante e tra studente e compagni) e del rapporto tra lo studente ed il sapere: è quel che (...)
si chiama “scolarizzazione delle relazioni”».
1.8 Componenti dell’apprendimento
Abbiamo cercato di caratterizzare alcune delle peculiarità
della matematica, soprattutto nella direzione che riteniamo
adatta a spiegare il fenomeno più tipico dell’apprendimento
matematico e che abbiamo voluto racchiudere nella coppia
noetica - semiotica.
Va ricordato che l’apprendimento della matematica non è
solo fatto di costruzione di concetti, ma consta di varie tipologie di apprendimenti distinti ma non del tutto privi di
sovrapposizioni:
> apprendimento concettuale;
> apprendimento algoritmico (calcolare, operare, …);
21
> apprendimento strategico (risolvere, dimostrare,…);
> apprendimento comunicativo (troppo spesso non preso in
esame);
> apprendimento semiotico, specifico ma trasversale a tutti i
precedenti.
Su questo tema, un’analisi didattica molto dettagliata e concreta si può vedere in Fandiño Pinilla (2008).
In breve, due parole per caratterizzare ciascun tipo di apprendimento.
Apprendimento concettuale
È evidente che in matematica si costruiscono concetti che
rappresentano le diverse componenti degli oggetti matematici che sono il tema dell’azione di insegnamento - apprendimento. Un concetto si considera costruito quando
l’allievo è in grado di identificare proprietà di quel concetto, di rappresentarlo, di trasformare tale rappresentazione,
di usarla in modo opportuno. Lo abbiamo già detto. Ecco
quindi che risulta interessante, per la valutazione in senso
costruttivo, creare occasioni nelle quali gli studenti abbiano
la possibilità di mostrare di aver costruito concetti. Le tecniche per far ciò sono ampiamente esemplificate in Fandiño
Pinilla (2008) e altrove; dunque senza entrare troppo nel
merito, ricordiamo solo che abbiamo trovato assai soddisfacente la tecnica dei TEP (produzioni testuali autonome degli studenti) (D’Amore, Maier, 2002).
Poiché nelle prove cui sono sottoposti gli allievi si usa molto
la scrittura, anzi è essenziale, così come il ricorso al disegno e
agli schemi, si capisce bene come la semiotica sia componente trasversale irrinunciabile dell’apprendimento concettuale.
22
Apprendimento algoritmico
Tale tipologia di apprendimento è in relazione con l’abilità
di dare risposta alle operazioni, al calcolo, all’applicazione di
formule o al disegno di figure usando strumenti opportuni.
Contrariamente a quanto potrebbe ritenersi a prima vista,
valutare questo tipo di apprendimento non è banale; a nostro avviso all’interno di queste prove devono trovare posto
domande che, in modo significativo, mettano in relazione le
abilità puramente meccaniche con quelle che riguardano la
capacità di ragionare prima di procedere ad eseguire calcoli,
che permettano di decidere quali operazioni fare, che eliminino calcoli non necessari.
In Fandiño Pinilla (2008) si danno molti esempi, qui ci limitiamo a riportarne pochi senza commenti.
Esempio 1 Trova il procedimento più efficace per risolvere
ciascuna di queste situazioni e giustifica la tua risposta; puoi
scegliere tra calcolatrice, calcolo mentale, calcolo a mano,
altra tecnica (in tal caso, descrivila):
>
>
>
>
qual è il resto della divisione 4567:230?
se una matita costa 0,75 €, quanto costano 10 matite?
qual è la radice quadrata di 576?
trova la somma dei primi cento numeri naturali a partire
da 1
> esegui: 2356-1356
> esegui: 300450200
Esempio 2 Sai che 35 – 20 15; quanto fa 35 – 19? Uno in più
o uno in meno di 15? Perché?
La gestione di algoritmi di qualsiasi tipo e la loro organizzazione in fatti logicamente connessi tra loro in una catena
finita in modo meccanico da eseguire passo a passo, necessita
23
evidentemente di una significativa gestione semiotica; tutto
quel che è algoritmico è rappresentato e dunque la semiotica
è un apprendimento fondamentale e trasversale.
Apprendimento strategico
Si cerca di potenziare e di dare importanza a procedimenti
e strategie che si usano quando si risolve un problema. Bisogna arrivare a convincere tutti gli studenti che quel che conta
sono i processi e non i prodotti.
Si tratta di uno degli apprendimenti più complessi, tanto è
vero che la didattica si è molto occupata di esso, isolandolo da tempo dal contento generale, come fosse a sé stante e
producendo più di una errata indicazione a questo proposito
(Brousseau, D’Amore, 2008).
Su questo tema, si vedano D’Amore (1993b), D’Amore e Marazzani (2011) e soprattutto Fandiño Pinilla (2008).
Anche in questo caso, è ovvio che l’apprendimento semiotico
è trasversale; quale che sia il problema in oggetto, quale che
ne sia la natura, esso è necessariamente espresso in un registro semiotico; spesso la sua risoluzione è in grande misura
un trattamento o una conversione da una rappresentazione
a un’altra, che vanno interpretate.
Apprendimento comunicativo
Questo aspetto dell’apprendimento matematico, troppo spesso dimenticato o sottaciuto, cerca di mettere in evidenza la
capacità di esprimere idee matematiche, giustificando, argomentando, dimostrando (in forme adatte allo studente, sia
orali che scritte) e rappresentando in modo visivo con figure,
in modo efficace. Questa attività didattica, molto praticata e
24
tenuta sotto osservazione in vari Paesi del mondo, costringe
alla discussione, al dialogo, dunque alla comunicazione.
Sappiamo bene che esistono studenti che, pur avendo costruito cognitivamente oggetti della matematica, non hanno
però la prontezza, la capacità di comunicare quel che hanno
costruito in forma compiuta, significativa ed efficace.
Su questo tema suggeriamo di approfondire con Fandiño Pinilla (2008), ma anche con Radford e Demers (2006).
Poiché la comunicazione degli oggetti matematici costruiti
cognitivamente avviene per mezzo di registri semiotici, è evidente che, anche in questo caso, l’apprendimento semiotico
è trasversale.
Apprendimento semiotico
E giungiamo finalmente all’ultima componente dell’apprendimento che ha un ruolo in sé ma anche ampia trasversalità;
come sappiamo, essa consiste in:
> saper scegliere i tratti distintivi che di un tal oggetto matematico cognitivamente costruito o in via di costruzione si
vogliono rappresentare;
> scegliere il registro o i registri semiotici che si reputano
adatti a tale rappresentazione;
> una volta effettuata la rappresentazione semiotica, saperla
trasformare in un’altra dello stesso registro (trattamento) o
di un altro (conversione) in modo opportuno, senza perdere
di vista il significato dell’oggetto di partenza.
Questo elenco ha un senso in sé stesso, ma si potrebbe riutilizzare per esaminare tutte le precedenti quattro componenti, visto che nessuna di esse sfugge al destino di tutte le
rappresentazioni degli oggetti matematici e delle attività matematiche, la rappresentazione semiotica.
25
Dunque, questo particolare apprendimento deve essere diviso in due categorie:
> apprendimento semiotico in sé, specifico per ciascun
esempio (si ricordi il caso delle relazioni binarie, o quello
dell’uguaglianza);
> apprendimento semiotico di gestione delle rappresentazioni, ma all’interno delle quattro componenti precedenti.
Ciò delinea ed evidenzia, a nostro avviso, l’assoluta necessità di prendersi cura di questo apprendimento, così centrale
nella matematica.
La ripartizione dell’apprendimento semiotico in due tipologie è, di fatto, più una comodità adulta, uno strumento
professionale per l’insegnante, soprattutto con funzioni valutative, che non una vera e propria necessità culturale, didattica, epistemologica. Pur ammettendo che vi siano sottili
differenze tra un concetto come “retta” ed uno come “dimostrazione” o uno come “operazione di divisione”, riteniamo
che la fase semiotica non faccia o richieda troppe distinzioni;
riteniamo che l’operatività (il cosiddetto “saper fare” che ci
viene suggerito dai pedagogisti) investa tanto l’uso di concetti, quanto di strategie (il saper dimostrare, il saper risolvere,
etc.) quanto di attività algoritmiche (il saper calcolare, il saper operare, etc.).
Su questo punto, ancora si rende necessaria una densa indagine; tuttavia riteniamo che le precedenti considerazioni
su noetica e semiotica nell’apprendimento della matematica
comprendano questioni relative a risoluzione di problemi, dimostrazioni di teoremi, esecuzioni di algoritmi, esecuzioni di
operazioni.
26
1.9 Introduzione agli strumenti teorici e concreti
della didattica B
L’attuale ricerca in didattica disciplinare è tutta tesa ad accentrare l’attenzione sul fenomeno dell’apprendimento, ma
da un punto di vista fondazionale e comunque non accettando un unico modello di teoria dell’apprendimento (anche
se la psicologia cognitiva in questo momento sembra la più
autorevole candidata a fornire fondazioni interessanti per
molte esperienze di ricerca).
Affrontando la didattica disciplinare come epistemologia
dell’apprendimento, faremo dunque esempi solo nel campo
che ci compete, cioè in quello della matematica. Discussioni
con colleghi, didatti di altre discipline e letture occasionali,
però, danno conferma del fatto che le problematiche generali sembrano essere le stesse, anche nelle diverse specificità.
Per cui, pur non volendo (o potendo) uscire dallo stretto
ambito descritto, siamo convinti che non troppo diversi sarebbero i possibili analoghi resoconti critici di appartenenti
ad altri settori di ricerca.
Quel che faremo qui di seguito è presto dichiarato. Analizzeremo alcune tra le problematiche che sembrano emergere
con più forza negli ultimi anni, che si sono consolidate come
elementi di ricerca in didattica della matematica, e che sembrano fornire appigli solidi e significativi per una possibile
generalizzazione. Ci asterremo da presentazioni troppo tecniche e ci limiteremo dunque solo alla posizione di ogni singolo problema proposto, passando in rassegna, nei prossimi
paragrafi, alcune tematiche molto diffuse nell’ambiente di
ricerca e che sembrano essere di particolare interesse specialmente per gli insegnanti.
27
Faremo, laddove possibile, riferimento a ricerche, anche per
dare al lettore l’idea di quel che i ricercatori − alcuni ricercatori − fanno in didattica della matematica.
Ma un avvertimento esplicito preliminare è necessario.
Capita relativamente spesso che, nelle scuole secondarie
(non solo italiane), il docente sia sorpreso e colpito da inattese frasi, dichiarazioni, proposte fatte dall’allievo che dimostrano ed evidenziano gravi lacune, misconcezioni del tutto
inattese. Si resta sbalorditi.
Noi stessi abbiamo incontrato studenti di quinta superiore
3
che mettevano sull’asse delle ascisse il valore + fra 3 e 4.
4
Nessuno s’era mai accorto di questa misconcezione perché
tutti davano per scontata una costruzione concettuale delle
frazioni.
Così, abbiamo trovato, in interviste poi pubblicate, studenti
al termine del loro percorso, in procinto dell’esame di maturità, che avevano dunque studiato l’Analisi, che non ammettevano la densità in Q (immaginiamoci la continuità in R): è
impossibile che fra 0,34 e 0,35 ci siano infiniti razionali; ancora peggio: dati due punti nell’asse orientato delle ascisse,
la quantità dei punti compresi fra due dati dipende dalla distanza fra essi o da quanto grandi sono disegnati i punti [qui
il problema investe la semiotica e la confusione fra oggetto
matematico e sua rappresentazione, cioè l’epistemologia; è
per questo che noi suggeriamo che la preparazione dell’insegnante investa del tempo nello studio della storia e dell’epistemologia della matematica, a qualsiasi livello (D’Amore,
2004)]. Purtroppo, situazioni di questo genere sono rintracciabili non solo fra gli studenti, ma anche fra insegnanti di
scuola primaria e questo spiega l’origine della misconcezione negli allievi di secondaria (si veda, per esempio, Arrigo,
D’Amore, Sbaragli, 2011).
28
La didattica della matematica e il buon senso dimostrano e
mostrano che l’origine di quelle lacune non è cronologicamente attribuibile al giorno prima; si sono creati fraintendimenti, talvolta colossali, in anni precedenti, fin dalla scuola
primaria. È per questo che il nostro gruppo di ricerca segue
l’atteggiamento internazionale di accomunare, negli studi
di didattica della matematica, i diversi livelli scolastici; per
un docente di secondaria è fondamentale sapere quali sono
i problemi di apprendimento nella scuola primaria, perché
essi sono la base dei problemi che lo studente rivelerà di lì a
qualche anno al docente di scuola secondaria. Sempre per
questo motivo, noi preferiamo condurre gruppi di lavoro e
vere e proprie ricerche “in verticale”, mettendo a lavorare
fianco a fianco i docenti-ricercatori dei vari livelli scolastico,
con grande giovamento per entrambi. Il nostro sito (www.
dm.unibo.it/rsddm) pubblica risultati di ricerca e di sperimentazione di tutti i livelli, proprio in quest'ottica.
1.10 Il contratto didattico
Dopo la metà degli anni ’70 fece l’ingresso nel mondo della
ricerca in didattica della matematica l’idea di contratto didattico, lanciata da Guy Brousseau fin dal decennio precedente
ma resa famosa grazie al celebre articolo del 1986 (Brousseau,
1986). L’idea si rilevò subito fruttifera ma furono poi gli studi
della seconda metà degli anni ’80 a decretarne il trionfo e la
piena teorizzazione; ad essi parteciparono vari studiosi di tutto il mondo: l’idea veniva riconosciuta ed entrava a far parte
del linguaggio condiviso dall’intera comunità internazionale.
Questa idea, di spirito tutto francese3, non era completamente
nuova. Nel 1973, Jeanine Filloux introdusse il termine di con3
Stiamo pensando a Jean-Jacques Rousseau e al suo Contratto Sociale (1762).
29
tratto pedagogico per definire alcuni tipi di rapporto tra docente
ed allievo. Quello della Filloux era un contratto generale, più
sociale che cognitivo, mentre il contratto didattico di Brousseau
tiene conto anche delle conoscenze in gioco. Il primo tentativo
di “definizione” del contratto didattico è il seguente: «In una
situazione d’insegnamento, preparata e realizzata da un insegnante, l’allievo ha generalmente come compito di risolvere
un problema (matematico) che gli è presentato, ma l’accesso
a questo compito si fa attraverso un’interpretazione delle domande poste, delle informazioni fornite, degli obblighi imposti
che sono costanti del modo di insegnare del maestro. Queste
abitudini (specifiche) del maestro attese dall’allievo e i comportamenti dell’allievo attesi dal docente costituiscono il contratto
didattico» (Brousseau, 1986).
Spesso queste “attese” non sono dovute ad accordi espliciti,
imposti dalla scuola o dagli insegnanti o concordati con gli
allievi, ma alla concezione della scuola, della matematica, alla
ripetizione di modalità.
Trarremo ora qualche esempio dalla vasta letteratura in proposito (soprattutto da vari lavori di D’Amore e del nostro
gruppo di ricerca). In essa, l’interpretazione di “contratto
didattico” è incredibilmente vasta, com’è d’altra parte testimoniato in Sarrazy (1995).
Esempio 1 (concezione della scuola). L’allievo ritiene che la
scuola sia direttiva e valutativa; quindi anche se l’insegnante
chiede per esempio all’allievo di scrivere liberamente quel che
pensa su un certo concetto, l’allievo ritiene di doverlo fare
con un linguaggio il più possibile “rigoroso” perché suppone
che sotto quella richiesta vi sia comunque una prova, un controllo. Non scriverà dunque affatto “liberamente” ma cercherà invece di dare la definizione che ritiene essere quella “corretta”, cioè quella che secondo cui è attesa dall’insegnante.
30
Esempio 2 (concezione della matematica). Lo studente ritiene
che in matematica si devono fare dei calcoli; per cui, anche
se la risposta alla domanda posta in un problema può essere
data solo rispondendo a parole, lo studente è a disagio e tende a far uso operativo dei dati numerici per dare comunque
una risposta formale.
Esempio 3 (ripetizione delle modalità). Per tre lunedì consecutivi l’insegnante di matematica fa svolgere esercizi alla lavagna; da quel punto in poi l’allievo “sa” che ogni lunedì sarà
così; dunque, una modifica al programma atteso genera sorpresa. Lo stesso vale, per esempio, quanto all’attesa del programma possibile nel corso di un’interrogazione: se l’insegnante ha sempre e solo fatto domande sul programma
svolto nelle ultime lezioni, non può, a detta dello studente,
fare domande su argomenti oggetto di lezione in un passato
più remoto.
Lo studio dei vari fenomeni di comportamento degli allievi
da questo punto di vista ha dato enormi frutti, di estremo
interesse. Oggi molti comportamenti considerati fino a poco
tempo fa inspiegabili o legati al disinteresse, all’ignoranza, o
all’età immatura, sono invece stati chiariti.
Uno degli studi più noti è quello che va sotto il nome di Effetto età del capitano (credo che questa denominazione sia stata
coniata da Adda, 1987, come conferma anche Sarrazy, 1995).
Il nome è legato ad un celebre e antico problema (che si
trova anche in Peano, 1924) nel quale, forniti dati su un natante (colore, lunghezza dello scafo, altezza degli alberi), si
richiede l’età del capitano. L’interessante comportamento
degli studenti di fronte a questo tipo di problemi “assurdi”
o “impossibili” fu messo in luce dall’IREM di Grenoble nel
1980 (IREM Grenoble, 1980), ma ha poi dato notevoli frut-
31
ti su quel che si chiama oggi rottura del contratto. In questo
contesto, seguiamo il resoconto di un’esperienza condotta
da Bruno D’Amore (1993a). In una classe IV elementare (età
degli allievi 9-10 anni) di un importante centro agricolo, egli
ha proposto il celeberrimo problema (nel quale il “capitano”
diventa un “pastore”): «Un pastore ha 12 pecore e 6 capre.
Quanti anni ha il pastore?».
In coro, con sicurezza, e tutti senza eccezioni o riserve, i bambini hanno dato la risposta attesa: «18». Si tratta di un fatto
legato al contratto didattico: l’insegnante non aveva mai dato
problemi senza soluzione, o impossibili (per una delle tante
forme di impossibilità) (D’Amore, Sandri 1993), dunque i
bambini avevano introdotto nel contratto didattico una
“clausola” in base alla quale, per così dire: «Se la maestra ci
dà un problema, questo deve poter essere risolto certamente». E, poiché vige un’altra clausola micidiale secondo la quale i dati numerici presenti nel testo vanno presi tutti (una ed
una sola volta), e possibilmente nell’ordine in cui compaiono, i bambini di quella classe non avevano nessun’altra possibilità, nessuno scampo: dovevano rispondere usando i dati 12
e 6. L’unico imbarazzo stava semmai nella scelta dell’operazione da eseguire. Ora, può darsi che quella dell’addizione
sia stata una scelta casuale; ma va detto che alla richiesta ad
un biondino particolarmente vivace di spiegare perché non
avesse fatto uso per esempio della divisione, dopo un attimo
di riflessione, ha spiegato che: «No, è troppo piccolo!», riferendosi ovviamente all’età del pastore, e dunque restituendo
in ogni caso un senso ad una situazione che ne era priva.
Con l’espressione Effetto età del capitano si designa oggi la
condotta di un allievo che calcola la risposta di un problema utilizzando una parte o la totalità dei numeri che sono
forniti nell’enunciato, allorché questo problema non possieda invece una soluzione numerica.
32
Naturalmente, il “caso” non è esclusivo della scuola elementare ma, mutando quel che c’è da mutare, interessa ogni ordine di scuola.
Per esempio, se si chiede ad una classe di prima superiore
quali siano le radici dell’equazione di II grado (x-1)(x-2)0,
si può scommettere sul fatto che i ragazzi si metteranno a
moltiplicare tra loro i due binomi per giungere all’equazione
scritta in forma canonica ed usare poi la formula risolutiva
generale, invece di rispondere semplicemente: 1 e 2. Non si
tratta solo di ignoranza relativa al senso che ha la radice di
una equazione, ma anche di contratto didattico: in un compito di natura matematica bisogna fare dei calcoli e bisogna
saper applicare le formule.
Se si propone un triangolo isoscele in questa posizione nella
scuola secondaria:
con ogni probabilità più di un allievo dimostrerà disagio
dovuto sì a stereotipi nella rappresentazione, ma anche al
contratto didattico, per cui un triangolo si deve disegnare nel
modo abituale.
Torniamo ai problemi del tipo Età del capitano. Tale effetto
rientra tra quelli cosiddetti di rottura del contratto didattico:
se anche l’allievo si rende conto dell’assurdità del problema
posto, necessita di farsi carico personale di una rottura del
contratto didattico, per poter rispondere che il problema
33
non si può risolvere. Questa nuova situazione, infatti, contrasta con tutte le sue attese, con tutte le sue abitudini, con
tutte le clausole fin qui messe in campo nelle situazioni didattiche. Ma lo studente non ha la forza, non essendo mai stato
abituato, di rompere il contratto e preferisce rispettarne le
supposte clausole pur di non rischiare, pur di non osare in
prima persona.
Studi approfonditi sul contratto didattico hanno permesso di
rivelare appunto che i bambini ed i ragazzi hanno attese particolari, schemi generali, comportamenti che nulla hanno a
che fare stricto sensu con la matematica, ma che dipendono
dal contratto didattico instaurato in classe.
Per esempio, in una ricerca sui problemi con dati mancanti
e sugli atteggiamenti degli allievi di fronte a problemi di questo tipo (D’Amore, Sandri, 1998) riportiamo un testo proposto in III elementare (allievi di 8-9 anni) e in II media (allievi
di 12-13 anni):
«Giovanna e Paola vanno a fare la spesa; Giovanna spende
10.000 lire e Paola spende 20.000 lire. Alla fine chi ha più
soldi nel borsellino, Giovanna o Paola?».
Ed ecco un prototipo del genere di risposte più diffuse in III;
riportiamo il protocollo di risposta di Stefania esattamente
come lo ha redatto l’allieva:
Stefania:
Nel borsellino rimane più soldi Giovanna
30 10 20
10 10 100
34
La risposta “Giovanna” (58,4% di tali risposte in III elementare, età degli allievi 8-9 anni) è giustificata dal fatto che
(clausola delle attese e della costanza) lo studente ritiene
che, se l’insegnante affida un problema, questo debba poter essere risolto; dunque, anche se si accorge che manca il
dato della somma iniziale, se lo inventa implicitamente più
o meno come segue: «Questo problema deve essere risolto;
dunque, forse Giovanna e Paola partivano dalla stessa somma». A quel punto, la risposta è corretta: Giovanna spende
meno e quindi le resta più danaro. E ciò giustifica la parte
scritta a parole della risposta di Stefania. Dopo di che scatta
un altro meccanismo legato ad un’altra clausola (del tipo:
immagine della matematica, attese presupposte da parte
dell’insegnante): «Non può bastare così, in matematica si
devono fare dei calcoli, la maestra se li aspetta di certo». A
quel punto, il controllo critico crolla e qualsiasi calcolo va
bene.
Nel lavoro D’Amore, Sandri (1998), questa clausola del contratto didattico è stata chiamata: “esigenza della giustificazione formale” (egf), studiandola in ogni dettaglio. Tale clausola egf è molto presente anche nella scuola media (età degli
allievi: 11-14 anni). [La percentuale di risposte “Giovanna”
scende dal 58,4% della III elementare (8-9 anni) al 24,4%
della II media (12-13 anni); ma solo il 63,5% degli allievi di
II media denuncia in qualche modo l’impossibilità di dare
una risposta; dunque il 36,5% dà una risposta: oltre 1/3 di
ciascuna classe].
Ecco un prototipo di risposta avuta allo stesso problema in
II media; è stato scelto il protocollo di risposta di un’allieva,
riportandolo esattamente come da lei prodotto:
35
Silvia:
Secondo me, chi ha più soldi nel borsellino è Giovanna [poi
corretto in Paola] perché:
Giovanna spende 10.000 mentre Paola spende 20.000
10.000
Giovanna
20.00
Paola
20.000 10.00010.000 (soldi di Giovanna)
10.000 10.00020.000 (soldi di Paola)
Nel protocollo di Silvia si riconoscono in azione le stesse clausole del contratto didattico messe in opera nel protocollo di Stefania, ma la sua analisi è più complessa. Per prima cosa, si nota
un tentativo di organizzazione logica e formale più impegnativo. Silvia, poi, dapprima scrive “Giovanna” perché ha ragionato
come Stefania; poi, però, a causa della clausola egf, ritiene di
dover produrre calcoli. È probabile che si renda conto, anche se
in modo confuso, che le operazioni che sta facendo sono slegate dal problema, le fa solo perché ritiene di dover fare qualche
calcolo. Ma, per quanto assurde, finisce con assumerle come
fossero plausibili: poiché da questi calcoli insensati ottiene un
risultato che contrasta con quello dato in via intuitiva, preferisce
demolire la propria intuizione ed accettare piuttosto quanto ottenuto per via formale: i calcoli le danno “Paola” come risposta
e non “Giovanna”, come invece aveva supposto, e dunque barra
“Giovanna” e al suo posto scrive “Paola”.
Sempre legato al contratto didattico, risulta molto interessante leggere l’atteggiamento degli studenti di fronte al seguente celebre problema di Alan Schoenfeld (1987a):
«Un bus dell’esercito trasporta 36 soldati. Se 1128 soldati
devono essere trasportati in bus al campo d’addestramento,
quanti bus devono essere usati?».
36
Dei 45000 allievi quindicenni presi in esame negli USA da
Schoenfeld, solo meno di un quarto (il 23%) è riuscito a dare
la risposta attesa: 32. Il ricercatore statunitense afferma quindi che pochissimi studenti sono in grado di rileggere il senso
della domanda, osando scrivere “32”, di fatto non ottenuto
formalmente nell’operazione, e propone come causa di questo comportamento questioni relative a fatti metacognitivi.
A distanza di parecchi anni, recentemente (D’Amore, Martini, 1997) è stata analizzata di nuovo la stessa situazione riscontrando alcune novità. La prova è stata fatta a vari livelli
scolastici lasciando libertà agli studenti di usare o meno la
macchina calcolatrice. Si sono avute molte risposte del tipo:
31,333333 soprattutto da parte di chi usava la calcolatrice;
altre risposte: 31,3 e 31,3.
Il controllo semantico, quando c’è, porta qualcuno a scrivere
31 (gli autobus «non si possono spezzare»), ma ben pochi si
sentono autorizzati a scrivere 32. Tra chi usa la macchina calcolatrice, poi, si ha lo 0% di risposte “32”.
Lo studente non si sente autorizzato a scrivere quel che non
appare a seguito di un calcolo: se anche fa un controllo semantico sugli autobus come oggetti non divisibili in parti,
ciò non lo autorizza a scrivere “32”; c’è addirittura chi non si
sente autorizzato neppure a scrivere “31”. Non si può parlare
semplicemente di “errore” da parte dello studente, a meno
che non si intenda per “errore” l’incapacità di controllare,
una volta ottenuta la risposta, se essa è semanticamente coerente con la domanda posta. Ma allora scatta un altro meccanismo: lo studente non è disposto ad ammettere di aver fatto
un errore e preferisce parlare di “trucco”, di “trabocchetto”;
per lo studente un errore matematico o in matematica, è un
errore di calcolo o assimilabile ad esso, non di tipo semantico.
Un lungo e sistematico studio su questa prova, eseguito anche attraverso numerose interviste agli studenti, rivela che “il
colpevole” di questo comportamento è una clausola del con-
37
tratto didattico, alla quale è stato dato il nome di “clausola di
delega formale”. Lo studente legge il testo, decide l’operazione da effettuare ed i numeri con i quali deve operare; a quel
punto scatta, appunto, la clausola di delega formale: non tocca
più allo studente ragionare e controllare. Sia che faccia i calcoli a mano, tanto più se fa uso della calcolatrice, si instaura
quella clausola che disimpegna le facoltà razionali, critiche,
di controllo: l’impegno dello studente è finito ed ora tocca
all’algoritmo, o meglio ancora alla macchina, lavorare per
lui. Il compito successivo dello studente sarà quello di trascrivere il risultato, qualsiasi cosa sia e non importa che cosa esso
significhi nel contesto problematico.
Gli studi sul contratto didattico, praticamente coltivati in tutto il mondo, si stanno rivelando molto fruttiferi ed hanno
dato, in pochissimi anni, risultati di grande interesse, che
sempre più ci stanno facendo conoscere l’epistemologia
dell’apprendimento matematico. Suggeriamo la lettura del
testo D’Amore, Fandiño Pinilla, Marazzani, Sarrazy (2010).
1.11 Conflitti e misconcezioni
Un altro argomento di studio in didattica della matematica
che sta emergendo con estrema forza e grande rilievo riguarda
i conflitti cognitivi. Si tratta di questo: lo studente può nel tempo aver assunto un concetto ed essersene fatto un’immagine;
questa immagine può essere stata rinforzata nel tempo da prove, esperienze ripetute. Ma può capitare che tale immagine si
rilevi inadeguata, prima o poi, rispetto ad un’altra dello stesso
concetto, per esempio proposta dall’insegnante stesso o da altri, e non attesa, in contrasto cioè con la precedente.
Si crea così conflitto tra la precedente immagine, che lo studente credeva definitiva, relativamente a quel concetto, e la
38
nuova; ciò accade specialmente quando la nuova immagine
amplia i limiti di applicabilità del concetto, o ne dà una versione più comprensiva.
Legata alle idee di “immagine di un concetto” e “conflitto”,
c’è un’importante questione che riguarda la misconcezione.
Una misconcezione è un concetto errato e dunque costituisce genericamente un evento da evitare; essa però non va
vista sempre come una situazione del tutto o certamente negativa: non è escluso che, per poter raggiungere la costruzione di un concetto, si renda necessario passare attraverso una
misconcezione momentanea, ma in corso di sistemazione.
Si può notare come, almeno in taluni casi, alcune immagini
possono essere delle vere e proprie misconcezioni, cioè interpretazioni errate delle informazioni ricevute.
Qui si presenta la vasta ed interessante problematica del “curricolo nascosto”. Lo studente rivela le proprie misconcezioni
quando applica correttamente regole scorrette. Spesso, all’origine di questo fatto c’è una mancata comprensione o un’errata
interpretazione. Se l’insegnante non si rende conto di ciò, le
sue sollecitazioni cadono a vuoto perché lo studente ha già
incluso nel proprio curricolo quelle regole che ritiene corrette e che, in taluni casi, hanno funzionato.
Per esempio, in una III elementare, uno studente eseguiva in
colonna le seguenti sottrazioni:
37
24
89
67
26
18
56
43
-–––––
-–––––
-–––––
-–––––
13
22
12
13
L’insegnante osservò che tre sottrazioni su quattro erano
state effettuate correttamente; diede dunque una valutazione positiva, ma invitò lo studente, nella terza, a “prendere
in prestito una decina”. Lo studente non capiva di che de-
39
cina si stava parlando perché aveva in mente un’altra regola
personale: per eseguire le sottrazioni in colonna si procede
da destra verso sinistra e, in ogni colonna, si sottrae dal più
grande il più piccolo. Ne aveva avuto conferma in molti casi,
la comunicazione che riguardava casi come la terza sottrazione non gli era giunta per chissà quale motivo, e dunque aveva assunto nel suo curricolo quella “regola”. Essa funzionava
quasi sempre e nei casi negativi egli non capiva perché: stava
usando correttamente, infatti, una regola che non sapeva essere
invece scorretta. Una vera e propria misconcezione. [Sulla
differenza tra curricolo insegnato e curricolo appreso, si veda
Fandiño Pinilla (2002)].
Qualche esempio tratto dalla vasta letteratura.
Esempio 1. Si provi a mostrare la seguente figura chiamandola
trapezio.
La solita e ripetuta posizione stereotipata del trapezio lì per
lì crea una situazione di disagio. A nulla vale una perfetta
conoscenza della definizione di trapezio.
Esempio 2. In prima o seconda superiore, si mostri la seguente scrittura: x e x; quale dei due numeri è negativo e
quale è positivo?
40
Esempio 3. Rappresentare sul piano cartesiano i seguenti punti: A(a; b), B(a; b), C (a; b), D(a; b).
Quale di essi va nel III quadrante?
Esempio 4. x x2 è sempre vera, perché un numero è sempre
minore del suo quadrato. Questa affermazione convince l’enorme maggioranza degli studenti.
Esempio 5. È vero che, se 3x 32x3 allora x 2x 3 ma non
è affatto vero che se 0,3x 0,32x3 allora x 2x 3. Eppure,
quasi tutti gli studenti ne sono convinti.
Gli esempi potrebbero continuare a lungo, ma riteniamo che
questi possano bastare.
Dunque, il conflitto cognitivo è un conflitto “interno” causato dalla non congruenza tra due concetti, o tra due immagini
o tra un’immagine ed un concetto.
Ma il conflitto può anche essere sociale. Supponiamo cioè
che lo studente abbia un’immagine o un concetto su un certo argomento e che ritenga si tratti di quello condiviso da
tutta la classe (o, più in generale, da tutta la società); un bel
giorno tale immagine o tale concetto entra in conflitto con
quello proposto dall’insegnante o da una nuova situazione
e, in quella occasione, lo studente si accorga che quello suo
non è affatto condiviso dalla classe, anzi, riguarda lui solo, è
isolato; per esempio i suoi compagni non si meravigliano affatto di una proposta che lui non riesce, invece, ad accettare.
Un esempio solo: un quadrato è sempre disegnato e proposto dai libri di testo con i lati orizzontali e verticali, il rombo
spessissimo con le diagonali orizzontale e verticale. Lo studente Pierino si è fatto l’idea che i quadrati devono essere così
ed i rombi invece così, ed è convinto che la sua concezione
sia la stessa di tutti i compagni di classe; crede cioè, implici-
41
tamente, che si tratti di un'idea largamente, anzi totalmente
condivisa. Un bel giorno l’insegnante disegna un quadrato
con le diagonali orizzontale e verticale, ma non lo chiama
“rombo”, come Pierino si aspetta, bensì “quadrato”.
Pierino sussulta: “Il prof. si è sbagliato?”. Ma si accorge invece che il resto della classe accetta questa denominazione:
si tratta sì di un conflitto cognitivo, ma non solo sul piano
individuale “interno”, bensì pure sul piano sociale perché
mette Pierino in conflitto con un concetto che riteneva condiviso.
Alla base dei conflitti ci sono quindi le misconcezioni, cioè
concezioni momentanee non corrette, in attesa di sistemazione cognitiva più elaborata e critica. Attenzione, però: lo
studente non lo sa e dunque ritiene che le sue, quelle che
per il ricercatore sono misconcezioni, siano invece concezioni vere e proprie. Dunque è l’adulto che sa essere quelle
elaborate e fatte proprie dai ragazzi delle misconcezioni.
Chiamarle errori è troppo semplicistico e banale: non si tratta di punire, di valutare negativamente; si tratta, invece, di
dare gli strumenti per l’elaborazione critica.
In un certo senso, si potrebbe addirittura pensare che tutta
la carriera scolastica di un individuo, per quanto attiene la
matematica, sia costituita dal passaggio da misconcezioni a
concezioni corrette.
Le misconcezioni, intese come detto (concezioni momentanee non corrette, in attesa di sistemazione cognitiva più
elaborata e critica), non sono eliminabili, né costituiscono
del tutto un danno. Costituiscono un momento delicato,
necessario, di passaggio da una prima concezione elementare (ingenua, spontanea, primitiva) ad una più elaborata
e corretta.
Alla base di questo tipo di problematiche, si possono porre alcuni studi di Piaget-Inhelder, anche se oggi c’è stata
42
una grande evoluzione in questo campo. Esse invadono
anche la fissità funzionale, l’effetto Einstellung, i parassiti
cognitivi etc.
Per non dilungarci troppo, rinviamo a D’Amore (1993b).
1.12 Immagini e modelli
Appena un rapido cenno su questo complesso argomento
che, sistemato per lo meno nell’ambito della didattica della
matematica (e non certo in generale) da D’Amore (1999), è
ancora in fase di studio e di analisi critica (sono in corso studi
di dottorato su questo tema).
Innanzitutto è importante chiarire il significato dei seguenti
termini: “immagine” e “modello”.
“Immagine mentale” è il risultato figurale o proposizionale
prodotto da una sollecitazione sensoriale esterna.
Per esempio, durante una lezione in aula, si sente provenire
dall’esterno un forte rumore (sollecitazione sensoriale esterna); la mente dell’essere umano è tale da creare immediatamente un’immagine al suo interno; ci si può immaginare,
inconsciamente, la causa di tale rumore, per esempio.
L’immagine mentale è condizionata da influenze culturali,
stili personali, in poche parole è prodotto tipico dell’individuo, ma con costanti e connotazioni comuni tra individui diversi. Essa può più o meno essere elaborata coscientemente
(anche questa capacità di elaborazione dipende però dall’individuo). Tuttavia l’immagine mentale è interna ed almeno
in prima istanza involontaria.
L’insieme delle immagini mentali elaborate (più o meno coscientemente) e tutte relative ad un certo concetto costituisce il modello mentale (interno) del concetto stesso.
43
Proseguendo nell’esempio, supponiamo che uno degli studenti guardi fuori dalla finestra (altro senso impegnato: la
vista); riceve un’informazione, grazie alla quale è in grado di
ritoccare l’immagine precedente (debole, cioè modificabile,
malleabile, grazie a nuove informazioni) ed adattarla meglio
alla situazione.
Quel che accade in aula rientra in questo ambito assai generale nel quale lavora la mente umana. L’insegnante spiega
(udito), disegna alla lavagna formule o figure (vista), produce cioè delle sollecitazioni sensoriali esterne allo studente; il
quale reagisce facendosi proprie immagini che si modificano
proprio grazie alle successive informazioni.
Detto in altro modo, lo studente si costruisce un’immagine I1 di
un concetto C; egli la crede stabile, definitiva. Ma ad un certo
punto della sua storia cognitiva, anche immediatamente dopo,
riceve informazioni su C che non sono contemplate dall’immagine I1 che aveva. Egli deve allora (e ciò può essere dovuto
ad un conflitto cognitivo, voluto dall’insegnante) adeguare la
“vecchia” immagine I1 ad una nuova, più ampia, che non solo
conservi le precedenti informazioni, ma accolga coerentemente
anche le nuove. Di fatto, egli si costruisce una nuova immagine
I2 di C. Tale situazione può ripetersi più volte durante la storia
scolastica di un allievo, costringendolo a passare da I2 a I3 etc.
Molti dei concetti della matematica sono raggiunti grazie a
passaggi, nei mesi o negli anni, da un’immagine ad un’altra
più comprensiva e si può immaginare questa successione di
costruzioni concettuali, cioè di successive immagini I1, I2,…,
In, In1,… come una specie di scalata, di “avvicinamento” a C.
Ad un certo punto di questa successione di immagini, c’è un
momento in cui l’immagine cui si è pervenuti dopo vari passaggi “resiste” a sollecitazioni diverse, si dimostra abbastanza
“forte” da includere tutte le argomentazioni e informazioni
nuove che arrivano rispetto al concetto C che rappresenta.
44
Un’immagine di questo tipo, dunque stabile e non più mutevole, si può chiamare “modello” M del concetto C.
Farsi un modello di un concetto, dunque, significa rielaborare successivamente immagini (deboli, instabili) per giungere
ad una di esse definitiva (forte, stabile).
Ci sono due possibilità:
> M si forma al momento giusto nel senso che si tratta davvero del modello corretto, proprio quello che l’insegnante
auspicava per C; l’azione didattica ha funzionato e lo studente si è costruito il modello M corretto (quello voluto
dall’insegnante) del concetto C;
> M si forma troppo presto, quando ancora rappresenta solo
un’immagine che avrebbe dovuto essere ulteriormente ampliata; a questo punto non è facile raggiungere C, perché la
stabilità di questo parziale M è di per sé stessa un ostacolo
ai futuri apprendimenti.
Proseguiamo nell’analisi dei modelli e del loro ruolo nell’apprendimento.
Quando un insegnante propone un’immagine forte e convincente, che diventa persistente, confermata da continui
esempi ed esperienze, di un concetto C, l’immagine si trasforma in modello intuitivo.
C’è insomma rispondenza diretta tra la situazione proposta
ed il concetto matematico che si sta utilizzando; ma questo
modello potrebbe non essere ancora quello del concetto C
che ci si aspetta all’interno del sapere matematico.
Dunque, tra i modelli, si riserva il nome di “modello intuitivo” a quei modelli che rispondono pienamente alle sollecitazioni intuitive e che hanno dunque un’accettazione immediata forte (Fischbein, 1985, 1992). Talvolta, infatti, si parla
anche di modelli parassiti.
45
Per esempio, avendo accettato fin dai primi anni di scuola
primaria il modello intuitivo di moltiplicazione tra numeri
naturali ed avendolo erroneamente esteso a tutte le moltiplicazioni (non importa in che sistema numerico) – modello
intuitivo rafforzato dalle raffigurazioni schematiche (in Italia
è chiamato in modo diffuso per schieramento) – si forma un
modello parassita che si può enunciare così: la moltiplicazione accresce sempre, deve accrescere sempre (Fischbein, 1985,
1992). Questo tipo di modello si riscontra a tutti i livelli di
scolarità, anche nelle prove di ingresso nelle facoltà scientifiche. Lo studente, anche senza fare i calcoli, deve decidere se abbia maggior valore il prodotto 80,25 o il quoziente
8:0,25; ed è preponderante la scelta del prodotto (va sottolineato che quasi nessuno studente è in grado di effettuare
questa divisione a mano).
Analogo è il modello parassita della divisione. Se l’insegnante di scuola primaria non conosce un po’ di didattica della
matematica, si può correre il rischio di dare allo studente
un modello intuitivo che finirà con il produrre un modello
parassita: in una divisione A:B, il numero B deve essere minore del numero A. Ed infatti, per diversi studenti di scuola
secondaria (e per vari insegnanti di scuola primaria), non si
può eseguire (in generale, non solo in N) la divisione 2:4 (si
ricorre allora alla frazione
2
che non viene percepita come
4
2:4). Sulla enorme difficoltà che ha lo studente nel gestire l’idea di frazione, anche nella scuola superiore, proprio a causa
di una debole formazione avvenuta nella scuola primaria, si
veda Fandiño Pinilla (2005).
Didatticamente conviene sempre lasciare immagini ancora
instabili, in attesa di poter creare modelli adatti e significa-
46
tivi, il più possibile vicini al sapere matematico che si vuole
raggiungere.
Più “forte” è il modello intuitivo, più difficile è infrangerlo
per accomodarlo ad una nuova immagine. Insomma, l’immagine - misconcezione non deve diventare modello visto che,
per sua stessa natura, è in attesa di definitiva sistemazione.
Si tratta allora di non dare informazioni distorte e sbagliate;
non solo non darle in modo esplicito, ma addirittura evitare
che si formino autonomamente per non favorire l’insorgere
di modelli parassiti. Una solida competenza dell’insegnante
in didattica della matematica è, in questo, un forte aiuto.
Vediamo alcuni esempi in dettaglio.
Esempio 1. Lo studente ha verificato per anni che l’operazione di moltiplicazione “aumenta il valore dei fattori”; detto in
altre parole, il prodotto di due fattori è maggiore di entrambi
(12 è ben più grande di 3 e di 4; e 60 è ben più grande di
12 e 5; etc.). Anche le immagini figurali (di schemi rappresentativi e operativi) offerte all’allievo per rendere accettabile ed intuitiva l’operazione di moltiplicazione confermano
questa attesa intuitiva (per esempio, un maldestro uso del
cosiddetto “schieramento” diffusissimo nella realtà didattica
della scuola primaria). Infatti, fin dal primo ciclo elementare, l’immagine figurale della moltiplicazione, per esempio
3×4, è data da 4 file di 3 oggetti:
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
È evidente che una figura siffatta rinforza quell’immagine del
concetto. Ma poi fatalmente arriverà il giorno in cui si deve
moltiplicare quel 3 non più per 4, ma per 0,5 ed allora il mo-
47
dello (ormai formatosi) non funziona più e la sua supposta
regola generale dell’aumento crolla; ed abbiamo il conflitto
(Fischbein, 1985, 1992).
A questo punto assimilare la nuova situazione per accomodare
il modello precedente ad uno nuovo non è affatto facile (in
quanto caratteristica dei modelli, nei confronti delle immagini, è proprio la loro stabilità).
Si crea quindi la necessità didattica di non rendere stabile
quell’immagine troppo presto, allo scopo di poterla poi modificare successivamente, nel tentativo di costruire un modello del concetto di moltiplicazione in modo ottimale, che tenga conto dei successivi ampliamenti ai numeri non naturali.
Non è un caso che molti studenti evoluti (anche universitari) si dichiarino meravigliati di fronte al fatto che tra le due
operazioni 180.25 e 18:0.25 la prima sia quella che dà un
risultato minore. Essi conservano il modello errato creatosi
nella scuola primaria in base al quale “la moltiplicazione aumenta i valori”.
Esempio 2. Lo studente ha sempre diviso un numero grande
per uno più piccolo; detto in altre parole, si è fatto l’immagine che il dividendo deve essere maggiore del divisore. Lo stesso modo in cui la divisione è proposta spinge a credere che
sia così: si tratta sempre di ripartire molti oggetti tra poche
scatole o cose del genere (divisione di ripartizione); si tratta
sempre di contenitori che raccolgono diversi oggetti ciascuno (divisione di contenenza). Ma ciò comporta allora che, di
fronte ad un problema del tipo: «15 amici si dividono 5 chilogrammni di biscotti. Quanti ne spettano a ciascuno?» (Deri,
Sainati Nello, Sciolis Marino, 1983; D’Amore, 1993b)4, lo stu4 È uno dei problemi di una serie di 42 presentati in Deri, Sainati Nello, Sciolis
Marino (1983); questo articolo è a lungo discusso ed i suoi risultati sono paragonati
a quelli ottenuti in D’Amore (1993b), pagg. 168-185.
48
dente, anche delle scuole superiori (età 14-19 anni), venga
spontaneamente spinto ad eseguire 15:5 [calcolando non
quanti biscotti spettano a ciascun amico, ma “quanti amici
a ciascun chilo di biscotti”, come ebbe a commentare con
ironia un simpatico studente di I Liceo Scientifico di Lugo
(RA) (età 14-15 anni), in occasione dell’intervista, quando
lo si mise a riflettere sul suo “15:5”]. Tra l’immagine intuitiva
della operazione e quella poi costruita in modo più raffinato
e profondo, c’è conflitto.
In situazioni nelle quali non c’è un esplicito richiamo ad una
competenza cognitiva forte, il modello intuitivo dell’operazione emerge sempre con energia. Si può ipotizzare infatti che, anche quando lo studente più evoluto si è costruito
(con fatica) un modello corretto di un concetto C, modello
assai vicino al sapere matematico, in condizioni di normalità
il modello intuitivo fa sempre ancora capolino, dimostrando
la sua persistenza.
Per comprendere meglio, rivediamo la questione dello studente di I liceo citato poco sopra. In situazione di routine,
lo studente “cade” nella trappola tesagli dal suo stesso modello intuitivo, ma quando durante l’intervista viene richiamato nel restituirgli il suo testo, questa nuova situazione suscita un’attenzione diversa, più consapevole, ed una messa in
causa di fatti cognitivi più forti: a questo punto non è più il
modello intuitivo a dominare la scena, ma quello più raffinato, elaborato cognitivamente. Proprio la reazione sorpresa e
divertita dello studente dimostra che lui stesso non si è reso
conto del fatto di aver usato un modello intuitivo al posto di
uno più elaborato e critico.
Esempio 3. Ancora sulla divisione. Nello stesso articolo di
Efraim Fischbein del 1985 citato poco fa, compare un altro
interessantissimo test che abbiamo molto spesso utilizzato,
soprattutto in occasione di incontri con insegnanti.
49
Esso si compone di fatto di due esercizi che differiscono tra
loro solo nei dati numerici:
P1. Una bottiglia di aranciata, che contiene 0,75 l, costa 2 euro.
Qual è il prezzo di 1 l?
P2. Una bottiglia di aranciata, che contiene 2 l, costa 6 euro. Qual
è il prezzo di 1 l?
Se si dà da risolvere solo P1, celando alla vista P2, si noterà sempre tra i presenti un tempo di imbarazzo più o meno
lungo, anche tra studenti evoluti ed insegnanti. Dato poco
dopo anche il secondo esercizio ed evidenziato il fatto che si
tratta dello stesso problema, molti saranno disposti ad ammettere con sincerità che, mentre il secondo problema si risolve
immediatamente con la divisione 6:2, risolvere il primo con
l’analoga divisione 2:0,75 crea forti imbarazzi.
Vediamo il commento dello stesso Fischbein: «Di conseguenza si può supporre che siano proprio i numeri e le relazioni
tra essi a bloccare o a facilitare il riconoscimento dell’operazione di divisione come procedura risolutiva. Ogni operazione aritmetica possiede, oltre al suo significato formale, anche
uno o più significati intuitivi. I due livelli possono coincidere
oppure no».
Si è chiesto agli insegnanti e agli studenti più maturi come
hanno fatto a risolvere P1. Alcuni hanno confessato di aver
considerato 0,75 come ¾ e di aver dunque proceduto nel
campo delle frazioni (non operando sempre in modo ineccepibile). Altri hanno invece ammesso di aver risolto P1 con
la proporzione 0,75 : 2 1 : x e di aver poi applicato le note
proprietà per risolvere (con successo). Ora, si badi bene, nel
corso della risoluzione di questa equazione lineare nell’incognita x, c’è un momento in cui si deve fare 2:0,75, cioè apparentemente la stessa operazione che, se eseguita direttamente
sui dati del problema, avrebbe risolto P1 in un battibaleno.
50
Ma non è la stessa cosa! Se è vero che c’è una forte resistenza
in moltissimi di noi ad eseguire direttamente 2:0,75 (a causa del contrasto tra significato formale e significato intuitivo
della divisione), non c’è più alcun imbarazzo ad applicare le
regole delle proporzioni ed a eseguire i passaggi di un algoritmo, quando questo arriva al momento finale di chiederci di
eseguire l’apparentemente stessa operazione. Qui, come ormai
sappiamo, scatta una clausola del contratto didattico, quella
di delega formale: in un certo senso, non ci impegniamo più
direttamente nel fare quel passaggio, non è più una questione di scelta, di decisione personale. A quel punto stiamo solo
seguendo una procedura che consiste in una serie di passaggi automatici, per i quali abbiamo avuto consenso e delega,
e per i quali non dobbiamo più darci, dentro di noi, una
giustificazione passo-passo.
Esempio 4. L’addizione. Raccogliendo un’idea di Gérard Vergnaud (1982)5, Fischbein la considera un ulteriore esempio
di non coincidenza tra significato formale e significato intuitivo. Si tratta di 3 problemi additivi, a una tappa, cioè che si
risolvono con una sola operazione. Li riportiamo per intero,
per comodità del lettore, con ritocchi minimi:
P.A Intorno ad un tavolo ci sono 4 ragazzi e 7 ragazze. Quanti sono
in tutto?
P.B Giovanni ha speso 4 franchi. Egli ha ora in tasca 7 franchi.
Quanti franchi aveva prima?
P.C Roberto ha giocato due partite. Nella prima ha perso 4 punti,
ma alla fine della seconda partita si è trovato in vantaggio di 7
punti. Quanti punti ha ottenuto nella seconda partita?
5 Si tratta dello studio di una terna di problemi, famosissima, che appare citata in
moltissimi testi; è presente e discussa anche in D’Amore (1993b).
51
Tutti e tre i problemi, è ovvio, si risolvono con la stessa operazione 47; ma essi hanno percentuali di successo incredibilmente diverse.
P.A è ben risolto già in seconda elementare (all’età di 7 anni):
i risolutori arrivano a sfiorare il 100%. Qui, d’altra parte, c’è
perfetta coincidenza fra significato formale e significato intuitivo: l’addizione è l’operazione che risolve problemi di unione
tra raccolte (prive di elementi comuni). Ma quasi nessuno
degli stessi ragazzi risolve P.B e quei pochi che lo risolvono
più o meno tirano a indovinare: dopo tutto ci sono solo due
dati numerici a disposizione, 4 e 7 ...;
P.B è risolto, anche se con difficoltà, in quarta o quinta elementare (all’età di 9 o 10 anni); diciamo che, comunque, le soluzioni corrette ottenute con consapevolezza raggiungono una
discreta percentuale;
P.C è causa di un insuccesso pressoché totale. Ancora in prima e seconda media (all’età di 11 o 12 anni), P.C ha percentuali di risoluzione solo di circa il 25%, o anche meno, in
accordo con le prove fatte da Vergnaud e da Fischbein.
Tuttavia è ovvio che qui non si tratta solo di significati formali
ed intuivi dell’addizione. Qui si tratta anche, e forse soprattutto di difficoltà di gestione “narrativa” del testo. [E questo
aprirebbe l’importante questione della stesura del testo dei
problemi, per la quale rinviamo a D’Amore (1993b); D’Amore, Franchini et al. (1995)].
Questo tipo di prove, da un punto di vista didattico applicativo, evidenziano per lo meno che è falso quel supposto
criterio di difficoltà della risoluzione dei problemi in base
al quale l’aumentare del numero di operazioni da eseguire
nella risoluzione è sinonimo di aumento della difficoltà. È
facilmente provabile che vi sono molti problemi che richiedono due operazioni assai più facili da risolvere che non P.B;
P.C, poi, con la sua pur unica operazione, resta fuori della
52
portata dell’intera scuola primaria e mette in difficoltà anche
studenti della secondaria di primo grado.
La resistenza all’uso dell’addizione in situazioni considerate
di non congruenza tra significato formale e significato intuitivo, sono testimoniate non solo nella scuola elementare, ma
anche in tutta la scuola media. Si veda, per esempio Billio et
al. (1993) in cui si analizzano anche situazioni esplicitamente
denunciate da allievi in opportune interviste.
Esempio 5. La sottrazione. La sottrazione, poi, per sua stessa natura, presenta almeno due diversi significati intuitivi, a dispetto di un unico significato formale, che si possono evidenziare ricorrendo a due problemi suggeriti ancora da Fischbein
(1985):
1. Se togliamo 3 palline da un insieme di 10 palline, quante palline
rimarranno?
2. Ho 7 palline, ma me ne occorrono 10 per giocare. Quante palline
devo aggiungere a quelle che ho già, per poter cominciare a giocare?
È ovvio che entrambi i problemi si risolvono con una sottrazione; ma nel primo caso, quello del togliere via (come lo
chiama Fischbein), la cosa è intuitiva perché c’è coincidenza tra significato formale e significato intuitivo; nel secondo
caso sembra essere più spontaneo il ricorso a strategie additive del tipo : 7 … 10, intendendo in qualche modo
che quei puntini … devono valere 3. D’altra parte è additiva
ogni strategia di “complemento a”, come, per esempio, l’operazione di dare il resto in un negozio: il negoziante di
solito non fa la differenza, ma fa, passo a passo, il complementare a partire dalla spesa fino ad arrivare alla somma
versata. Abbiamo dunque tra gli allievi una certa percentuale di risposte scorrette; al posto della sottrazione, c’è chi
53
fa l’addizione 710 o 107 legata al fatto che c’è la parola
aggiungere che suggerisce l’uso dell’addizione.
C’è un forte contrasto tra l’operazione ingenua e spontanea di conteggio che verrebbe di fatto ad essere usata in
una situazione concreta (cioè il conteggio: 7111, con
la risposta 3 legata al numero dei 1 necessari per giungere a 10) ed il significato formale della sottrazione. Se
esistesse un’operazione specifica che esprime il numero
di quei 1 che permettono di passare da 7 a 10, probabilmente la percentuale di successo salirebbe nettamente;
qualcuno potrebbe dire che quell’operazione esiste ed è
proprio la sottrazione espressa da 107; ma le prove fatte
e le considerazioni effettuate finora mostrano che non è
questo il significato intuitivo con cui gli studenti costruiscono nel loro cognitivo la sottrazione. Paradossalmente,
è più intuitivo risolvere il problema con l’algebra in prima superiore: 7x10 perché qui si sfrutta l’aggiungere
come modello intuitivo di addizione.
Per quanto la ricerca, facendo tesoro dei mille esempi forniti dagli insegnanti nel loro lavoro quotidiano, abbia fatto
passi da gigante in questo campo, riteniamo ci sia ancora
parecchio da sistemare. Ma si tratta, indubbiamente, di un
tema la cui conoscenza profonda costituisce uno strumento
di analisi delle situazioni di aula formidabile.
1.13 Il triangolo insegnante, allievo, Sapere
Tutta la Scuola francese (e, più in particolare, Brousseau)
considerano il fenomeno insegnamento-apprendimento da
un punto di vista sistemico e non come lo studio separato di
ciascuno dei suoi componenti. In Brousseau sono fondamentali insegnante ed allievo, con la relazione “sapere” che
54
li lega, all’interno di un milieu, mezzo, ambiente, nel quale
essi si trovano ad operare (D’Amore, 1999b).
Per quel che vogliamo evidenziare in questo capitolo, però, ci
serviremo di una semplificazione che appare in lavori di Yves
Chevallard a partire dal 1982; in essi viene proposto allo studio un modello del sistema didattico, formato da tre sole componenti: insegnante, allievo e Sapere (accademico, ufficiale,
universitario), che si usa chiamare: triangolo della didattica.
insegnante
allievo
Sapere (savoir savant)
È chiaro che l’insegnante si trova implicato in una serie di
rapporti di estrema delicatezza. Da un lato deve operare
una trasposizione didattica dal sapere (che sorge dalla ricerca,
dalla storia, dalla istituzione) al sapere insegnato (quello della
pratica in aula, dal punto di vista dell’insegnante) (Chevallard, 1985).
In realtà, il passaggio è molto più complesso perché va dal
sapere matematico al sapere da insegnare al sapere insegnato. (Di
conseguenza, il curricolo può essere esaminato in base a
queste trasformazioni; e così pure la valutazione: Fandiño
Pinilla, 2002).
La trasposizione didattica consiste quindi nell’estrarre un
elemento di sapere dal suo contesto (universitario, sociale
etc.) per riambientarlo nel contesto sempre singolare, sempre unico, della propria aula.
In questo lavoro, l’insegnante non è mai un individuo isolato. È di fatto il collettivo, l’istituzione che oggettivizza e
55
definisce nella sua specificità il sapere scolare, i suoi metodi, la sua razionalità.
La trasposizione didattica produce allora un certo numero
di effetti: semplificazione e dedogmatizzazione, creazione
di artefatti o produzione di oggetti totalmente nuovi.
In effetti, la scuola non ha mai insegnato dei saperi puri
ma dei contenuti d’insegnamento, qualche cosa che ha esistenza solo all’interno della scuola e che non ha solitamente
un’immediata corrispondenza né con la sfera della produzione né con quella della cultura. Dal momento in cui entrano in un programma scolastico, un dominio del sapere,
un concetto, subiscono una trasformazione massiccia, sono
snaturati per trovare un altro statuto, entrano in un’altra
logica, in un’altra razionalità (Fandiño Pinilla, 2002).
Il concetto di trasposizione didattica sembra essere anche per
il futuro di notevole importanza intesa come il lavoro di
adattamento, di trasformazione del sapere in oggetto di insegnamento, in funzione, come detto, del luogo, del pubblico e delle finalità didattiche che ci si pone.
Dall’altro lato però, l’insegnante deve tener conto del sistema didattico e dell’ambiente sociale e culturale, cioè della
noosfera in cui si trova ad agire.
Per noosfera si può intendere il luogo dei dibattiti, di idee
significative sull’insegnamento, le finalità della scuola, gli
scopi della formazione, le attese della società per quanto
attiene scuola e cultura (per esempio i programmi ministeriali); la noosfera è l’intermediario tra il sistema scolastico
(e le scelte dell’insegnante) e l’ambiente sociale più esteso
(esterno alla scuola); si potrebbe pensare come «la cappa
esterna che contiene tutte le persone che nella società pensano ai contenuti ed ai metodi di insegnamento» (Godino,
1993).
56
C’è anche un legame tra noosfera e contratto didattico, in
quanto su alcune clausole di quest’ultimo ha certo influenza diretta l’ambiente nel quale ci si trova ad operare.
Su questo importante argomento, ci limitiamo qui solo a
questo breve cenno. Tuttavia, in D’Amore, Fandiño Pinilla
(2002) si trova un approfondimento dello studio del triangolo che recupera l’approccio al milieu, com’era in origine.
Ci pare che qui si inserisca bene il dibattito internazionale che ha conosciuto anche l’Italia, circa il problema delle
competenze che dovrebbero sostituire le conoscenze come
traguardo scolare; evitiamo di entrare in dettagli, rinviando
a D’Amore, Godino, Arrigo, Fandiño Pinilla (2003).
1.14 Ostacoli
Non è facile formarsi concetti; ciò perché ogni concetto,
anche semplice in apparenza, è circondato da un insieme
fluttuante e complesso di rappresentazioni associate che
comportano molteplici livelli di formulazione e livelli di integrazione del concetto (Giordan, De Vecchi, 1987).
Dunque il primo problema è quello di “ripulire” il concetto da questo alone che sembra nasconderne il significato
intimo.
E poi c’è da tener presente gli ostacoli che si frappongono
all’apprendimento, proposti una prima volta da G. Brousseau fin da suoi lavori del 1968, altri del 1972 e 1976 (Brousseau, 1972a, 1976), resi celebri dal suo lavoro specifico del
1983 e dal citatissimo del 1986 (Brousseau, 1986) [tale concetto è però già presente in studi filosofici di Gaston Bachelard (1938), anche se ristretti alle sole scienze naturali].
Vediamo di che si tratta. Per ostacolo si intende qualsiasi
cosa che si frapponga alla costruzione cognitiva di un concetto. Non sempre è sinonimo di mancata conoscenza; per
57
esempio un ostacolo può essere un’idea che, al momento
della formazione di un concetto, è stata efficace per affrontare dei problemi (anche solo cognitivi) precedenti, ma che
si rivela fallimentare quando si tenta di applicarla ad un
problema nuovo. Visto il successo ottenuto (anzi: a maggior
ragione a causa di questo), si tende a conservare l’idea già
acquisita e comprovata e, nonostante il fallimento, si cerca
di salvarla; ma questo fatto finisce con l’essere una barriera
verso successivi apprendimenti.
Esempio. Nella scuola primaria si insiste molto sul fatto che
ogni numero ha un successivo; la cosa è corretta se questo
“numero” è in N o in Z, ma non certo se è un numero razionale. L’idea di successivo, in Q, non esiste. Eppure, ci si
provi a chiedere d’improvviso a studenti liceali quale sia il
successivo di 2,35 e ci si sentirà rispondere da parecchi 2,36.
L’ostacolo alla comprensione della mancanza di un’idea di
successivo in Q è legato al successo che un concetto di ugual
nome ha avuto in N. Se poi si chiede d’improvviso, non solo
a studenti, quale sia il successivo di 4, invece della risposta
corretta (ma di quale sistema numerico stiamo parlando?)
sentiremo spesso risponderci 5.
Si distinguono tre tipologie di ostacoli:
> di natura ontogenetica;
> di natura didattica;
> di natura epistemologica.
Li esamineremo nell’ordine.
Ogni soggetto che apprende sviluppa capacità e conoscenze
adatte alla sua età mentale (che può essere diversa dall’età
cronologica), dunque adeguate a mezzi e scopi di quella età:
rispetto all’acquisizione di certi concetti, queste capacità e
58
conoscenze possono essere insufficienti rispetto ad un progetto didattico da parte dell’insegnante e possono costituire
quindi ostacoli di natura ontogenetica (l’allievo potrebbe avere
limitazioni neurofisiologiche anche solo dovute alla sua età
cronologica).
Per esempio, si rivela fallimentare ogni tentativo di introdurre dimostrazioni in seconda o terza media (età degli allievi
12-14 anni), al momento di presentare il teorema di Pitagora; ciò costringe gli insegnanti a sostituire la “dimostrazione”
con una “prova” a volte concreta. Si ritiene generalmente
che questo “fallimento” sia legato all’età degli studenti ed
alla loro immaturità critica.
Ancora per esempio, si rivela un insuccesso tentare di introdurre nella scuola primaria il connettivo logico “implicazione”, se A allora B, per lo stesso motivo. Ma anche le prove fatte
alle superiori si sono rivelate per lo più fallimentari; mandar
giù che A➝B con A falsa sia vera, non è affatto naturale.
Ogni docente sceglie un progetto, un curricolo, un metodo,
interpreta in modo personale la trasposizione didattica, secondo le sue convinzioni sia scientifiche sia didattiche: egli
crede in quella scelta e la propone alla classe perché pensa
che sia efficace; ma quel che è efficace effettivamente per
qualche studente, non è detto che lo sia per altri. Per questi
ultimi, la scelta di quel progetto si rivela un ostacolo didattico.
Un esempio di ostacolo didattico cui abbiamo già fatto riferimento è la presentazione che fanno taluni insegnanti della
scuola primaria al momento di presentare gli oggetti geometrici attualmente infiniti: il segmento come infinità di punti,
la retta come figura illimitata. Il modello più diffuso nelle
scuole è quello del segmento come una collana di perline
che, per la sua immediatezza, viene subito accettato dagli studenti e diventa modello intuitivo; esso costituisce un evidente ostacolo didattico al momento in cui si deve introdurre
59
l’idea di densità, nella stessa scuola elementare ed ancora di
più nella scuola media, e quando si deve introdurre l’idea
di continuità nella scuola superiore. Ricerche accurate hanno ampiamente evidenziato che gli studenti maturi (ultimo
anno delle superiori e primi anni di università) non riescono
a diventare padroni del concetto di continuità proprio a causa del modello intuitivo persistente di segmento come collana di perle (Arrigo, D’Amore, 1999, 2002). Quanto alla retta
come figura illimitata, essa ed il conteggio prolungato dei
numeri naturali, sembrano fornire agli studenti la capacità
di vedere l’infinito solo in potenza e non in atto, il che pure
crea gravi ostacoli didattici nei corsi successivi.
Ogni argomento a carattere matematico ha un proprio statuto epistemologico che dipende dalla storia della sua evoluzione all’interno della matematica, dalla sua accettazione critica nell’ambito della matematica, dalle riserve che gli sono
proprie, dal linguaggio in cui è espresso o che richiede per
potersi esprimere.
Quando nella storia dell’evoluzione di un concetto si individua una non continuità, una frattura, cambiamenti radicali di
concezione, allora si suppone che quel concetto presenti al
suo interno degli ostacoli di carattere epistemologico ad essere appreso; ciò si manifesta, per esempio, in errori ricorrenti
e tipici di vari studenti, in diverse classi, stabili negli anni.
Ad esempio, l’infinito matematico costituisce certo un ostacolo epistemologico; basti ripercorrerne la storia all’interno
della matematica per rilevare le lotte, le discussioni, le rotture che la sua accettazione ha determinato dal momento in
cui Zenone di Elea (V-VI sec. a.C.) introdusse i suoi celebri
paradossi, fino alla condanna di Aristotele di Stagira (III sec.
a.C.) dell’infinito attuale e su su fino alla completa accettazione, grazie all’opera di Georg Cantor (a cavallo tra i secoli
XIX e XX) (Arrigo, D’Amore, 1992; più attuale: Arrigo, D’A-
60
more, Sbaragli, 2011). Dal punto di vista didattico, la cosa è
stata ampiamente studiata nel contesto internazionale (D’Amore, 1996a; Arrigo, D’Amore, 1999, 2002).
Lo zero pure costituisce un ostacolo epistemologico; esso era
assente presso tutti i popoli antichi, compresi Greci e Romani, ed apparve solo nel VI sec. d.C. in India. Fu divulgato grazie alle opere del mondo arabo attorno al IX sec. d.C., ma la
sua presenza in opere europee dei secoli XIII e XIV fu molto
ostacolata e causa di lotte furibonde. Una piena accettazione
dello zero come vero e proprio numero è tarda e si può forse
far risalire al secolo XVI. Dal punto di vista didattico, è ben
noto che lo studente vede lo zero come numero “speciale” e
difficilmente lo domina. Si può vedere la ricerca esposta in
D’Amore, Fandiño Pinilla (2009).
I numeri interi, quelli dotati di segno e che nella scuola primaria e secondaria di I grado si usa chiamare “relativi”, fanno
la loro comparsa solo nel VI sec. d.C. in India ed hanno una
storia analoga a quella dello zero ma ancora più osteggiata e
tardiva. Inutile ricordare come, dal punto di vista didattico,
vi siano molte difficoltà, da parte degli studenti, a darsi ragione del funzionamento di tali numeri. Esempio classico è la
stranezza del fatto che il prodotto di due negativi è positivo.
Potrà apparire strano o incredibile al docente di scuola secondaria, ma abbiamo trovato radicate ed inattese misconcezioni relative non tanto ai concetti di contorno e superficie e delle loro rispettive misure perimetro e area, quanto
piuttosto alle relazioni che intercorrono fra questi concetti e
queste misure. Per esempio, è dato per assodato e scontato il
fatto che, data una figura piana, se ne aumenta il contorno,
aumenta anche la superficie e, di conseguenza, se aumenta
il suo perimetro, aumenta anche l’area. Analogamente, nel
caso tridimensionale, se due solidi hanno la stessa estensione superficiale, allora essi hanno anche lo stesso volume.
L’incredulità di fronte a questa convinzione è antica: era
61
manifestata esplicitamente anche da Galileo Galilei che asseriva di non capire com’era possibile che persone anche
colte cadessero in questa credenza errata. E dovettero porsi
problemi simili i Cartaginesi se crearono la leggenda della
bella (e matematica) Didone di fronte al re Iarba, alle prese
con figure isoperimetriche, ma non della stessa estensione.
Il che significa che alla base di tutto ciò ci sono ostacoli di
tipo epistemologico che riguardano la relazione fra aerea e
perimetro di una figura piana e volume e superficie totale di
una figura solida. Se il lettore è incuriosito dalla storia qui accennata e dalla ricerca assai sofisticata che ha coinvolto non
solo studenti e insegnanti, ma pure ricercatori, lo invitiamo
ad approfondire su Fandiño Pinilla, D’Amore (2006).
Riassumendo, l’ostacolo ontogenetico è legato allo studente
ed alla sua maturità (da tanti punti di vista); quello didattico
alla scelta strategica del docente; quello epistemologico alla
natura stessa dell’argomento.
Quando e in occasione di quali idee matematiche è probabile che si abbia un ostacolo epistemologico? Quasi certamente
ciò si verifica a proposito di quelle idee per le quali nell’analisi storica di esse si riconosce una frattura, un passaggio brusco, una non-continuità nell’evoluzione storico-critica dell’idea stessa; si ha un ostacolo epistemologico a proposito di
un’idea quando uno stesso errore si verifica come ricorrente
più o meno negli stessi termini attorno a quell’idea.
La ricerca degli ostacoli va allora fatta contemporaneamente,
e questo legame è interessantissimo:
> a scuola, nella pratica didattica;
> nello studio della storia della matematica,
> congiungendo l’una ricerca con l’altra.
62
È di estremo interesse la posizione secondo la quale, come
scrive Federigo Enriques (1942), l’errore «non appartiene né
alla facoltà logica né all’intuizione, [ma] s’introduce nel momento delicato del loro raccordo». [Per rintracciare questo
articolo nella letteratura, bisogna cercare come autore Adriano Giovannini, lo pseudonimo che Enriques fu costretto ad
usare sotto il regime fascista, per fuggire alle persecuzioni
razziali e soprattutto per poter continuare a pubblicare, cosa
che gli era allora proibita. Si ha allora la citazione (Giovannini, 1942)].
L’errore, dunque, non è necessariamente solo frutto di ignoranza, ma potrebbe invece essere il risultato di una conoscenza precedente, una conoscenza che ha avuto successo, che ha
prodotto risultati positivi, ma che non tiene alla prova di fatti
più contingenti o più generali.
Dunque non si tratta sempre di errore di origine sconosciuta,
imprevedibili, ma della evidenziazione di ostacoli nel senso
sopra citato. Queste considerazioni hanno portato la ricerca in didattica della matematica a rivalutare in modo molto
diverso dalla prassi usuale l’errore ed il suo ruolo. Questo
tipo di studi è di grande fascino ed ha già dato molti frutti
interessanti.
1.15 La teoria delle situazioni didattiche
Un filone di ricerca iniziato con Brousseau (1986) che ha
dato ampi risultati è la teoria delle situazioni, che abbiamo più
volte citato. In tale teoria, si individuano le situazioni che rappresentano un insieme di relazioni stabilite in modo esplicito
o implicito tra l’insegnante, l’allievo (o un gruppo di allievi) ed elementi al contorno (strumenti o materiali), avendo
come scopo quello di far sì che gli studenti apprendano, cioè
costruiscano una certa conoscenza stabilita in precedenza.
63
Le situazioni sono dunque specifiche della conoscenza che si
vuol fare raggiungere.
Nell’ambito di questa teoria, si individuano tre tipologie diverse di situazioni:
> situazioni a-didattiche;
> situazioni didattiche;
> situazioni non didattiche.
Per parlare delle situazioni a-didattiche ci serviremo delle spiegazioni che ha dato lo stesso Brousseau (1986): «L’allievo
apprende adattandosi ad un ambiente che è fattore di contraddizioni, di difficoltà, di disequilibri, un po’ come la società umana. Questo sapere, frutto dell’adattamento dell’allievo, si manifesta con delle nuove risposte che sono la prova
dell’apprendimento (...). [L’allievo sa che] il problema è stato scelto per fargli acquisire una nuova conoscenza ma sa anche che questa conoscenza è giustificata dalla logica interna
della situazione e che può costruire senza far appello a delle
ragioni didattiche».
In tale situazione sono in ballo gli studenti e l’oggetto della
conoscenza, ma non l’insegnante. La situazione suggerisce
delle esigenze alle quali gli allievi danno risposte. Non ci
sono obblighi didattici, dunque quel che si fa non è legato
a spinte da parte dell’insegnante che in questo caso non interviene ma “gioca” solo un ruolo da “regista”. Detto in altro
modo, gli allievi partecipano a qualcosa che non è esplicitamente cognitivo; solo l’insegnante è consapevole, ma non
dichiara lo scopo dell’attività. Si tratta quindi di un modello
teorico che si realizza quando in un ambiente organizzato
per l’apprendimento di un certo argomento viene a cadere
l’ossessione didattica esplicita.
L’allievo fa (da solo o in gruppo) dei tentativi, verifica che
tali tentativi falliscono o sono inefficaci; se deve rifare più
volte la prova, interagendo con gli elementi dell’ambiente,
64
l’allievo modifica il suo sistema di conoscenze a causa degli
adattamenti che assume nell’utilizzare varie strategie. Ossia,
la richiesta di effettuare quell’attività matematica non è stata
proposta dall’insegnante, non sarebbe necessaria dal punto
di vista scolastico (non c’è interazione con il sapere da insegnare). È invece un bisogno motivato dall’attività. Se tale
attività pertinente alla matematica non riesce al primo colpo
e provoca nello studente o tra gli studenti una discussione
per accordarsi su modalità, allora si ha produzione di conoscenza, che però non è richiesta dall’insegnante, non è istituzionalizzata. Questa situazione sembra essere la più consona
alla costruzione di conoscenza. Brousseau (1986) in effetti
sostiene che l’allievo costruisce la conoscenza solo se si interessa personalmente della risoluzione di quanto gli è stato
proposto attraverso la situazione: «La situazione a-didattica
finale di riferimento, quella che caratterizza il sapere, può
essere studiata in modo teorico, ma nella situazione didattica, per il maestro come per l’allievo, vi è come una sorta
di ideale verso il quale si tratta di convergere: l’insegnante
deve senza posa aiutare l’allievo a spogliare il più possibile
la situazione di tutti i suoi artifici didattici, per lasciargli la
conoscenza personale ed obiettiva».
Nelle situazioni a-didattiche si possono, pertanto, delineare sei
importanti fasi, descritte di seguito, attraverso le quali insegnante e allievi permettono che si snodi e prenda forma l’azione didattica e si giunga ad una nuova conoscenza.
1. Devoluzione: è un atto che riguarda l’insegnante nei confronti
degli allievi; egli consegna l’obiettivo cognitivo agli studenti. È
il processo o l’attività di responsabilizzazione attraverso i
quali l’insegnante ottiene che lo studente impegni la sua
personale responsabilità nella risoluzione di un problema,
o in generale di un’attività cognitiva, che diventa allora
problema dell’allievo, accettando le conseguenze di que-
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sto trasferimento momentaneo di responsabilità, in particolare per quanto concerne l’incertezza che questa assunzione genera nella situazione.
In origine Brousseau (1986) definisce la devoluzione come
«l’atto attraverso il quale l’insegnante fa accettare all’allievo la responsabilità di una situazione di apprendimento
(a-didattica) o di un problema ed accetta lui stesso le conseguenze di questo transfer».
La devoluzione è dunque il frutto di un’azione in base alla
quale l’allievo dovrebbe funzionare in modo scientifico, e
non solo in risposta a spinte esterne alla situazione, per
esempio di tipo didattico.
Vi sono vari ostacoli alla realizzazione della devoluzione,
ostacoli che Perrin-Glorian (1994, 1997) sintetizza come
segue:
> mancanza di stabilità delle conoscenze previe, sia per
quanto concerne la loro utilizzazione sia per la capacità
di una eventuale loro messa in discussione;
> mancanza di affidabilità delle tecniche operatorie, il che
comporta un distoglimento dell’attenzione dall’obiettivo
principale ed un alto costo per le procedure complesse;
> mancanza della capacità della lettura globale della richiesta del problema che spesso è sostituito con una lettura selettiva, locale, allo scopo di dare risposte pronte.
Anche D’Amore ha dato delle spiegazioni (diverse) al fallimento della devoluzione, sulla base delle sue esperienze di
ricerca (D’Amore, 2002c).
2. Implicazione: è la fase nella quale lo studente accetta l’“offerta” dell’insegnante e si implica nell’attività proposta,
cioè accetta la responsabilità di occuparsi personalmente
del problema/dell’attività proposto/a, senza la guida continua e ossessiva dell’insegnante.
66
3. Costruzione di conoscenza privata: fase in cui ciascuno studente crea una propria conoscenza interna singolare, la quale
dovrà poi essere tradotta e riorganizzata nel momento in
cui diventa modello esterno, cioè comunicata ad altri.
4. Validazione: processo di grande rilevanza che si adotta e si
segue per raggiungere la convinzione che un certo risultato ottenuto (o un’idea costruita da singoli allievi) risponda
davvero ai requisiti esplicitamente messi in campo. La validazione si ha quando un allievo, dopo aver proposto una
propria costruzione concettuale agli altri, o una propria
risposta al problema che si sta risolvendo, accetta l’invito
dell’insegnante-regista a difendere la propria costruzione
privata di conoscenza, mettendosi in situazione esplicitamente comunicativa allo scopo di spiegare ai compagni la
propria idea; più o meno consapevolmente, egli rivolge
così la sua attenzione alla trasformazione di un sapere personale privato in un prodotto di comunicazione, validando
appunto la propria costruzione. In didattica della matematica questa fase è di straordinaria importanza: senza di essa
l’apprendimento matematico non funziona.
5. Socializzazione: il sapere personale costruito e validato da
un singolo studente viene presentato, discusso, “patteggiato” con gli altri, entra cioè a far parte del patrimonio
comune, acquisito e condiviso dall’intera classe. Avviene
dunque uno scambio sociale tra gli allievi, cosicché singole
conoscenze private diventano conoscenza sociale condivisa dalla classe. Quando si è raggiunta la consapevolezza
che la classe ha risolto il problema iniziale, o effettuato
l’attività, o costruito nuova conoscenza, manca ancora un
momento fondamentale: tutti gli allievi volgono l’attenzione all’insegnante che, fino a quel momento, a mo’ di
regista, ha diretto la scena, ma che deve riprendere il suo
ruolo per accettare o smentire il traguardo raggiunto. Si
passa così alla fase successiva.
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6. Istituzionalizzazione delle conoscenze: atto esplicito che compie l’insegnante al fine di permettere ad una conoscenza
costruita dagli allievi, e socialmente condivisa, di essere
ufficialmente riconosciuta. Rappresenta quindi quel processo attraverso il quale gli studenti devono cambiare statuto alle loro conoscenze non ancora ufficiali, non ancora
patrimonio definitivo, quello utilizzabile ufficialmente per
esempio per la risoluzione di problemi o preteso dall’insegnante come sapere posseduto in modo ufficiale. È un
momento importante nell’apprendimento e quindi deve
essere un atto forte. Lo studente tende a non accettare le
costruzioni cognitive proprie o della classe, mentre tende
ad accettare quelle dell’insegnante. L’insegnante cessa di
essere regista e torna ad assumere il ruolo istituzionale che
lo studente gli riconosce; questo processo risulta essere
quindi complementare alla devoluzione.
Una situazione non-didattica è una situazione pedagogica non
specifica di un sapere: insegnante ed allievo non hanno un
rapporto specifico e tipico con il sapere in gioco, manca cioè
la volontà esplicita didattica di insegnare. Per esempio, gli
studenti in aula, alla presenza dell’insegnante o meno, analizzano tra loro dei grafici. Le strategie realizzate, pur se con
strumenti “matematici”, non sono specifiche per obiettivi cognitivi scolastici. Non è detto che lo studente non impari: è
solo che l’insegnante non ha costruito un “ambiente didattico” finalizzato all’apprendimento di qualche nozione specifica del sapere da insegnare. Dunque, non è previsto un apprendimento come scopo, come traguardo di quella attività.
Se un apprendimento avviene ugualmente, è casuale.
Resta da definire che cosa sia allora una situazione didattica:
l’insegnante struttura l’ambiente in modo opportuno, con
strumenti adeguati, allo scopo di giungere alla fine dell’atti-
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vità ad una conoscenza specifica. Tutto avviene, per così dire,
alla luce del sole, in un ambiente dichiarato: l’allievo sa che
sta imparando, che l’insegnante sta insegnando e a sua volta
l’insegnante è consapevole del proprio ruolo e di come la
situazione si sta sviluppando.
Nell’ambito dunque della situazione didattica vi è l’intenzione
esplicita di insegnare. Si tratta di situazioni di stimolo concreto a fare attività, a risolvere problemi, ad eseguire consegne.
La situazione è tutta esplicita: l’allievo sa che in quel momento si stanno delineando ed evolvendo nozioni che fanno parte del sapere della scuola. L’insegnante dichiara fin
da subito il traguardo cognitivo che si vuole raggiungere,
spesso dichiara anche quali sono le sue proprie attese, che
cosa egli si aspetta che gli studenti facciano, costruiscano,
che risposte devono dare alle sue domande. Lo studente
viene impegnato non tanto ad apprendere la matematica
che costituisce l’oggetto dell’attività, ma ad apprendere che
cosa fare o dire per assecondare le attese dell’insegnante su
quel determinato argomento.
Siamo, ovviamente, in pieno contratto didattico: è tutto così
esplicito che l’allievo, giunto al momento di dover dare risposte, non si pone domande sul contenuto, ma su che cosa l’insegnante si aspetta che egli faccia o risponda. E poi, soprattutto ai bassi livelli di scolarità, ogni frazione di gesto, ogni
minimo passo è accompagnato dalla ricerca del consenso.
Nella situazione didattica ha un ruolo definitivo e trionfante
il contratto didattico che a volte è regola, a volte è strategia.
In Sarrazy (1995, pagg. 138-139 della trad. it.) si trova un
esempio di una risposta da parte dell’allievo non sul contenuto della domanda da parte dell’insegnante, ma su quel
che ritiene che l’insegnante si aspetti da lui. Siamo in una
classe primaria; la maestra (in attività di tirocinio) propone a
bambini (di 6-7 anni) di mettere in ordine crescente i numerali 38, 24, 49, 46, 51. Dopo che la soluzione corretta è stata
69
scritta alla lavagna, la maestra chiede: «Perché è stato messo
46 e 49?» (lei intende dire: «Perché ho messo “prima” 46 e
“poi” 49?». È chiaro che intende stimolare l’attenzione sul
fatto che, a parità di numero delle decine, il numero delle
unità 6 precede 9). L’allievo A. risponde: «Perché altrimenti
sarebbe troppo facile se ci fossero stati solo gli altri». A. non
risponde a tono, nel tono voluto dalla maestra, ma cerca di
interpretare la consegna iniziale, mettendosi nei panni della
maestra: perché ha inventato quella situazione? La maestra
replica: «Non è questo che ti chiedo … [E, rivolgendosi a tutta la classe] Allora?». Risponde B.: «Perché 46 è più piccolo
di 49», al che la maestra risponde: «Bene!». Ma A. aveva già
dato per scontato questa ovvia risposta ed ha fatto di tutto
per interpretare la richiesta dell’insegnante; B., invece, dà la risposta più banale, quella che ha capito che l’insegnante vuol
sentirsi dire.
Situazioni di questo tipo sono riportate spesso in letteratura
e sono molto diffuse nella pratica scolastica: uno studente supera ed interpreta a monte la domanda diretta, la cui risposta
considera troppo scontata, e dà la scalata alle intenzioni didattiche dell’insegnante.
Confrontando le situazioni a-didattiche con quelle didattiche si deduce che l’atteggiamento d’aula e l’impegno richiesti allo studente sono ben diversi: nella situazione a-didattica si
chiede all’allievo di attivarsi, mentre nella situazione didattica si
chiede all’allievo di riprodurre ciò che ha detto l’insegnante: i Francesi li definiscono due mestieri di allievo diversi.
Quello che si riesce a mettere sotto forma di situazione adidattica risulta vincente nell’apprendimento. In effetti, pur
essendo una situazione di apprendimento più lenta, permette un apprendimento consapevole e profondo; è attraverso
una costruzione di situazioni a-didattiche in aula che si arriva
ad una vera e propria conoscenza, capace anche di transfer
70
cognitivi. Non è necessario affrontare tutti gli argomenti nuovi attraverso la costruzione di situazioni a-didattiche, ma è
bene, in fase di progettazione e programmazione, individuare a priori i nuclei fondanti della disciplina che si vogliono
far costruire agli studenti. Almeno quelli dovrebbero essere
costruiti attraverso situazioni a-didattiche.
Si parla invece di mezzo o ambiente (in francese: milieu) come
di quel sottosistema con il quale ha a che fare direttamente
l’allievo (materiali, strumenti, etc.). Questo milieu è all’inizio
definito come l’insieme di tutto quel che sull’allievo agisce o
su cui l’allievo agisce. Si può pensare all’interazione tra allievo e milieu, in assenza di un concreto coinvolgimento dell’insegnante, come a ciò che definisce una situazione a-didattica;
mentre se si prende in esame anche un sistema educativo
esplicito (per esempio la figura dell’insegnante) allora si parla di situazione didattica. A volte il milieu è definito sulla base
di veri e propri oggetti concreti, a volte vi si aggiunge una
intenzione per la quale questi oggetti sono stati scelti, a volte
come qualche cosa di stabile, altre come di qualche cosa che
si sviluppa e si modifica insieme all’allievo. Pur nella variazione dell’accezione di questo termine, dovuta al processo di
sviluppo di tutta la teoria, appare ugualmente chiara la funzione: esso serve a definire, all’interno del sistema didattico,
quella parte legata ad usi specifici a-didattici, predisposti sì
dall’insegnante, e dunque con obiettivi didattici, ma senza la
presenza necessaria e costante di tali obiettivi (per esempio,
senza la partecipazione diretta dell’insegnante).
Torniamo a Brousseau: si può dire che l’allievo costruisce la
conoscenza solo se si interessa personalmente del problema della risoluzione di quanto gli è stato proposto attraverso la situazione didattica; in tal caso si usa dire che è avvenuta la devoluzione e ciò si verifica nelle situazioni a-didattiche.
71
Questo tipo di teoria, non dimentichiamolo, ha la matematica
come riferimento e dunque, quando si parla di conoscenza, è
sempre sottinteso che si sta parlando di conoscenza matematica; ora, come sua caratteristica, la conoscenza matematica
include sì concetti ma anche sistemi di rappresentazione simbolica, processi di sviluppo e validazione di nuove idee.
Poiché la conoscenza matematica, nella sua peculiarità, include non solo concetti ma anche sistemi di rappresentazione simbolica, non solo processi di sviluppo ma anche validazioni di nuove idee matematiche, dobbiamo contemplare
vari tipi di situazioni:
> situazioni di azione: agiscono sull’ambiente e favoriscono il
sorgere di teorie implicite che funzioneranno nella classe
come modelli protomatematici;
> situazioni di formulazione: favoriscono l’acquisizione di modelli e linguaggi espliciti; se esse hanno dimensione sociale
esplicita, si parla allora di situazioni di comunicazione;
> situazioni di validazione: agli allievi sono richieste prove e
dunque spiegazioni sulle teorie utilizzate ed anche esplicitazione dei mezzi che soggiacciono nei processi dimostrativi;
> situazioni di istituzionalizzazione: hanno lo scopo di stabilire
e dare uno status ufficiale a conoscenze apparse durante
l’attività in aula. Normalmente hanno relazione con conoscenze, simboli, etc. che si devono ritenere in vista della
loro utilizzazione in un lavoro successivo.
Apprendere, però, per adattamento all’ambiente comporta rotture cognitive, accomodamento, modifica di modelli
impliciti, di linguaggi e sistemi cognitivi. È anche per questo che si è rivelato controproducente obbligare l’allievo ad
una progressione cognitiva passo dopo passo; il principio
di adattamento può contrastare il processo di rifiuto di una
conoscenza inadeguata che è invece necessario all’apprendi-
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mento. Idee che sappiamo essere transitorie, in attesa di loro
sistemazione, resistono per così dire agli “attacchi” e dunque
persistono anche quando dovrebbero essere superate. Queste rotture sono così necessarie da dover essere addirittura
previste dallo studio delle situazioni e indirettamente dai
comportamenti degli allievi (Brousseau, 1976-1983a).
Nella fase di devoluzione, però, si viene a creare un paradosso
che rientra tra gli aspetti relativi al contratto didattico: «Se
l’insegnante dice ciò che vuole, non può ottenerlo; (...) se
[l’allievo] accetta che, secondo il contratto, l’insegnante gli
insegni i risultati, non li stabilisce lui stesso e dunque non apprende la matematica, non se ne appropria. Se, al contrario,
rifiuta ogni informazione da parte dell’insegnante, allora la
relazione didattica è rotta. Apprendere, implica, per lui, che
egli accetti la relazione didattica ma che la consideri come
provvisoria e si sforzi di rigettarla» (Brousseau, 1986).
Oppure: «Più il professore (…) svela ciò che desidera, più
dice all’allievo precisamente ciò che deve fare e più rischia
di perdere le possibilità di ottenere e di constatare oggettivamente l’apprendimento al quale, in realtà, deve mirare»
(Brousseau, 1983b, pag. 315, cit. anche in Sarrazy (1995),
nella trad. it. a pag. 146).
Questo “paradosso” della devoluzione fa il paio con il “paradosso” della credenza: «Credetemi, ma non credete, imparate a sapere che cos’è sapere (…) abbiate fiducia in me per
non dover più avere fiducia in me, ma nella vostra ragione»
(Clanché, 1994, pag. 224).
Scrive Sarrazy: «Questo sistema di paradossi sembra funzionare come una trappola nella quale cadrebbero alcuni allievi
– quelli che (…) dubitano della pertinenza di far uso hic et
nunc del loro proprio intendimento. Così pure, per imparare,
l’allievo deve sublimare il disagio delle incertezze legate all’incompletezza del suo sapere, accettando di rischiare nella ricer-
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ca dei mezzi utili per questa padronanza. Questo rischio è al
tempo stesso il fondamento e la condizione del funzionamento del processo di insegnamento-apprendimento» (Sarrazy,
1995; nella trad. it. a pag. 146).
Questa idea dell’apprendimento come rischio personale,
come impegno, come implicazione diretta dell’allievo è un
po’ il cardine attorno al quale ruota tutta l’impostazione che
stiamo cercando di descrivere e che si manifesta con la rottura (voluta) del contratto. «La necessità di questa rottura potrebbe essere riassunta dal seguente aforisma: Credimi, dice il
maestro all’allievo, osa utilizzare il tuo proprio sapere e imparerai»
(Sarrazy, 1995, nella trad. it. a pag. 147).
1.16 Il ruolo dell’epistemologia nella formazione
degli insegnanti di matematica nella scuola
secondaria
Vi sono due motivazioni irrinunciabili alla necessità di una preparazione culturale forte in epistemologia della matematica per
i futuri docenti di matematica della scuola secondaria:
> fattori culturali;
> fattori didattici o professionali.
Lo sviluppo della nostra disciplina è non solo fatto di progresso tecnico e formale; anzi, al contrario, questi due rappresentano il risultato di una continua revisione di senso e
significato che la matematica cerca all’interno di sé stessa.
Il rigore, per esempio, che è uno degli aspetti che colpisce
di più il profano o lo studente, non è un fatto intrinseco o
un vezzo dell’insegnante, ma necessità linguistica e filosofica
(D’Amore, Plazzi, 1990), un filtro (a volte faticoso) che il matematico dà al proprio strumento linguistico per evitare frain-
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tendimenti (dunque pluralità di senso) e per dare univocità
di significato nella comunicazione. È per questo motivo che il
rigore non è fatto assoluto, ma relativo all’epoca ed al luogo,
in costante evoluzione.
Lo sviluppo della matematica, d’altra parte, procede in varie
direzioni, ma è innegabile che, in prima istanza e con grande
portata, esso è teso alla creazione di concetti6; ora, non si può
produrre un concetto senza delinearlo epistemologicamente,
dunque, volente o nolente, chi riflette sullo sviluppo della matematica deve necessariamente porsi il problema della natura
dei concetti (quegli stessi che, in matematica, spesso vengono
chiamati oggetti) (D’Amore, 2001a, b).
Va da sé dunque che, a parte il matematico professionista che
potrebbe anche produrre e che talvolta produce teoremi e/o
teorie all’interno di un determinato dominio senza uscirne e
studiarne il senso generale epistemologico, chiunque altro si
occupi di matematica e del suo sviluppo deve necessariamente porsi il problema epistemologico come fatto culturale.
L’insegnante di matematica non è necessariamente un creatore di teoremi e/o teorie, ma un professionista, esperto di
matematica, al quale la società propone di far sì che giovani
cittadini costruiscano ed apprendano ad usare competenze
matematiche7.
In primo luogo, egli deve conoscere la matematica; nonostante su questo punto si siano sviluppate varie prese di posizioni, noi lo giudichiamo punto irrinunciabile di partenza
(D’Amore, 1999a, b).
6 Evitiamo accuratamente di usare il termine scoperta preferendo parlare di creazione; la scelta epistemologica a monte è evidente (D’Amore, 2003b), essa comunque non è più dibattuta acremente come in passato.
7 Usiamo il termine competenza in luogo di conoscenza non a caso (D’Amore,
Godino, Arrigo, Fandiño Pinilla, 2003).
75
L’insegnante ha poi due doveri principali:
> effettuare una trasposizione didattica, ovvero non può limitarsi banalmente a ripetere la matematica appresa all’Università (suo luogo di formazione culturale, per quanto concerne la matematica), ma piuttosto deve trasformare il sapere
matematico elaborato dall’accademia in un sapere adatto
agli allievi affidati alle sue cure; egli cioè deve trasformare il
Sapere in un “sapere da insegnare”. Questa trasformazione
non è affatto banale, anzi, al contrario, è ampiamente creativa e fa strettamente parte, condizionandola, della professionalità del docente (Fandiño Pinilla, 2002);
comunicare
la matematica; noi tutti sappiamo che, in una si>
tuazione d’aula, il carattere mediatore dell’insegnante è
molto forte e che lo studente quasi mai ha accesso diretto
al Sapere, limitando il proprio impegno alla relazione personale con l’insegnante ed all’apprendimento della matematica che l’insegnante ha scelto (in modo più o meno
consapevole, più o meno vincolato) per lui; dunque, il passaggio dal docente al discente della matematica insegnata
avviene in situazione comunicativa piuttosto forte, sottomessa alle complesse maglie della pragmatica della comunicazione umana (Watzlawick, Beavin, Jackson, 1976).
In base a questi due punti, si vede chiaramente come l’insegnante non possa ignorare il senso che ha lo sviluppo della
matematica: non potrebbe altrimenti compiere quell’atto
creativo che è la trasposizione; lo può fare se e solo se è in
grado di scegliere criticamente all’interno di un corpus sul
quale ha una qualche legittimità e capacità di decisione. Se
egli ritiene che la matematica non offra alternative epistemologiche, che il corpus delle conoscenze sia immutabile, eterno, indiscutibile, identico a quel che lui ha appreso (semmai
76
prima della “parentesi universitaria”)8, allora non compierà
la trasposizione e dunque fallirà come insegnante.
Non potrebbe altrimenti comunicare la matematica; si può comunicare, infatti, quel che si è costruito dentro, quel che fa
parte della esperienza personale, vissuta, cioè personalizzata.
Se la matematica è vista come qualche cosa di impersonale,
di atemporale, solo come una successione di risultati concatenati ottenuti da esseri umani che, mentre producono, non
pensano che all’interno della teoria in cui creano, allora non
si parla più di comunicazione bensì di ripetizione di risultati.
Nella pragmatica della comunicazione umana è implicito un
senso di proprietà critica, di capacità e disponibilità alla scelta personale; d’altra parte, uno dei limiti della matematica
trasmessa a scuola, più volte denunciato da Brousseau (1986)
è proprio questo suo carattere di impersonalità e atemporalità, questo voler nascondere la ricca storia degli sforzi e delle
difficoltà che gli esseri umani hanno incontrato nel costruire
la matematica per come è oggi; lo studente che vede della
matematica solo i risultati finali, lindi e cristallini, puliti da
ogni fatica e discussione, ordinati, apparentemente dedotti
da un’assiomatica che sembra essere calata dall’alto, è indotto a credere che la matematica debba per sua natura essere
così; se questo studente è un futuro insegnante di matematica, porterà con sé, nella sua storia professionale, tale concezione sbagliata.
Abbiamo molti Autori a nostra disposizione da citare a difesa
di questa visione che dà importanza alla cultura in epistemologia della matematica da parte di futuri docenti.
8 Terminologia di solito attribuita a Felix Klein per indicare il periodo degli studi
universitari di un futuro docente di matematica; vi è implicito un negativo giudizio
di inutilità nella formazione, visto che, mancando una preparazione specifica, il
docente di matematica replicherà il modello osservato quando era studente preuniversitario (Loria, 1933).
77
In primo luogo Speranza (1997) che ha impegnato tutto
sé stesso per porre questo insegnamento in modo ufficiale
ed esplicito nei programmi della Scuola di Specializzazione
(post laurea) per l’insegnamento nella scuola secondaria
(che dava in Italia fino a poco tempo fa l’abilitazione all’insegnamento nella scuola secondaria). In quello stesso testo,
Speranza ci dà la possibilità di considerare anche Enriques
schierato in questa ottica, con una molteplicità di citazioni
che qui non sono riportate. Ulteriore conforto ci viene da
Vailati, per esempio quando mostra l’importanza che ha riflettere su atteggiamenti anche rivelatisi erronei nel passato, nella costruzione di concetti matematici, anche in attività didattiche (Vailati, 1896). Così come da Bachelard che,
anzi, è da molti considerato il propugnatore della revisione
del modo di concepire l’errore nelle scienze come qualcosa di valorizzabile intrinsecamente (Bachelard, 1951), tanto
da arrivare, in questo campo, a condizionare il pensiero di
Brousseau (1976-1983a, 1989), il creatore della moderna didattica della matematica.
Senza una forte preparazione in epistemologia della matematica, tutti i temi presenti in un curricolo di matematica
per la scuola secondaria potrebbero essere fonte di equivoco: l’insegnante trasmette un sapere agli allievi, dopo
una trasposizione didattica che egli giudica idonea. Ma, in
caso di insuccesso, di fronte alla mancata costruzione di
conoscenza (e ovviamente di competenza) da parte degli
studenti, non ha altra alternativa se non il pensare che gli
studenti non siano idonei a questo genere di questioni,
non all’altezza. O, peggio, pensa di non essere adeguato
lui alla professione di docente.
Proprio le competenze epistemologiche rivelano, invece, le
incredibili insidie che si nascondono dietro questi temi. In
Fandiño Pinilla (2002), per esempio, si studia proprio il caso
78
esemplare del dibattito didattico/epistemologico tra “frazioni” (oggetto scolastico) e “razionali” (oggetto del Sapere).
Le incredibili convinzioni che hanno anche studenti maturi
(fine secondaria superiore, anche dopo corsi di analisi) su
densità e continuità, proposti in aula come puri oggetti matematici da apprendere, senza alcuna attenzione epistemologica cautelativa, sono evidenziate da infiniti autori in ricerche
didattiche sul campo, cui abbiamo già fatto cenno.
Ma non vogliamo parlare solo di oggetti della matematica,
cioè di contenuti. Vi sono altri fattori che chiamiamo metamatematici; per esempio: che cosa sono le definizioni, che
cosa sono le dimostrazioni. Vi sono studenti di alto livello
scolastico che confondono questi due termini, mostrando
che le cose non sono così ovvie come l’insegnante spera.
Proprio sull’interpretazione di questi due termini, per esempio, molto ci sarebbe da dire; senza una profonda competenza
epistemologica, si corre il rischio di fraintendere grossolanamente il senso di queste due fondamentali componenti della
matematica. Quante volte abbiamo sentito studenti, anche maturi, confondere queste due parole tra loro, a conferma della mancanza di senso attribuita alla terminologia matematica.
Purtroppo, in varie occasioni, abbiamo sentito insegnanti correggere l’enunciato di una definizione dato da uno studente
con frasi del tipo: «Non si dice così, devi dire così»; e pensare
che, proprio a proposito delle definizioni, Francesco Speranza
parlava di “libertà della matematica” (D’Amore, 1986). E che
dire delle dimostrazioni recitate a memoria? Quanti tra noi
docenti universitari hanno sentito pronunciare da uno studente la micidiale frase: «Questa dimostrazione non me la ricordo»? Anche questo è segnale di un fraintendimento di base
sul senso della dimostrazione (e dunque, più in generale, della
matematica e della conoscenza matematica).
Come si formano queste convinzioni deleterie presso gli studenti? Non certo per generazione spontanea: esse sono il
79
frutto o di diretti insegnamenti fallaci o di interpretazioni indotte da comportamenti ripetuti e forse causati dal contratto
didattico.
Solo una forte preparazione dei docenti in epistemologia
della matematica (e in didattica della matematica) può, da
un lato fortificare le convinzioni positive degli insegnanti su
questi temi, dall’altro renderli didatticamente vigili.
Sia nelle definizioni sia nelle dimostrazioni vi deve essere un
ampio “grado di libertà”, favorito dal docente, e conquistato
dallo studente; è questo che ci insegna l’epistemologia.
A proposito di dimostrazioni, vorremmo segnalare il fatto
che i fraintendimenti portano a casi aberranti, come quello segnalato in D’Amore (1999b) alle pagine 358-360, relativo al comportamento dimostrativo di fatto assurdo di uno
studente di terza superiore che metteva sequele di frasi in
successione senza legame logico tra loro, eppure sintatticamente corrette, ricche di gerundi, di connettori causali, con
un formalismo preciso ed assillante. Intervenire in questi
casi è quasi impossibile, ma si possono prevenire situazioni
di questo tipo; per farlo, però, occorre competenza sia in
epistemologia sia in didattica della matematica, non solo in
matematica.
Tra le tante altre conquiste culturali forti che sono permesse
e favorite dalla cultura epistemologica, si deve porre l’accento anche sulle seguenti tre riflessioni, riguardanti:
> come è fatto il linguaggio della matematica;
> come si apprende la matematica;
> i legami forti che esistono tra semiotica e noetica.
Ci limiteremo a brevi considerazioni sui primi due punti, visto che il terzo è già stato trattato.
Si verificano molti fraintendimenti sul linguaggio che usiamo in matematica e tante convinzioni che determinano mi-
80
sconcezioni (D’Amore, 1993c; 1996b; 2000f). Se la convinzione (debole) dell’insegnante è che il linguaggio che si usa in
matematica sia univocamente ed eternamente determinato a
priori dalla comunità scientifica, non potrà che pretendere
dall’allievo un cieco uso di esso, senza vie personali; il che
porta spesso ad una sorta di tentativo di imitazione acritica
da parte dello studente, una sorta di vuota e sterile malacopia
del linguaggio che costituisce per la classe un miraggio inarrivabile; in D’Amore (1993c) questa lingua d’aula viene chiamata “matematichese”, dando varie prove della sua esistenza
e dei suoi caratteri negativi.
“Come” si apprende la matematica non è solo un problema
psicologico, pedagogico o didattico, come potrebbe ingenuamente apparire; poiché il “come” è strettamente legato
al “che cosa”, l’apprendimento matematico riguarda anche
l’epistemologia. Per esempio, c’è chi crede che l’apprendimento della nostra disciplina possa ridursi a mero calcolo
(a vari livelli), come se questo fosse il senso della matematica; questa caratteristica fortemente strumentale intrinseca è
molto più diffusa di quanto non si creda: come si può pensare che un giovane arrivi a costruirsi conoscenze matematiche? In una visione epistemologica realista, questa posizione
potrebbe anche trovare posto, dato che i concetti matematici
costituiscono il punto d’arrivo ideale; mentre in una visione
pragmatista il concetto è quella costruzione personale mano a
mano raggiunta (D’Amore, Fandiño Pinilla, 2001; D’Amore,
2003a), nel passaggio da un rapporto personale al sapere,
verso un rapporto istituzionale, in una prospettiva antropologica (Chevallard, 1992).
Abbiamo finora messo in evidenza perché sia necessaria una
competenza in epistemologia della matematica per preparare futuri docenti di matematica, facendo cenno a motivi
81
culturali. Ora affronteremo in modo più dettagliato i motivi
didattici (o professionali). Ma lo diremo con poche parole:
abbiamo già visto che, tra gli ostacoli all’apprendimento vi
sono quelli epistemologici, relativi alla natura stessa della matematica. Come riconoscerli e dunque aiutare i nostri allievi,
se non abbiamo una formazione storica ed epistemologica?
C’è poi da prendere in esame un fatto apparentemente banale: lo studente non ha diretto accesso alla conoscenza matematica, quel che apprende o decide di apprendere lo fa con
la mediazione dell’insegnante. Dunque, la figura dell’insegnante è determinante per quel che lo studente apprende.
Ma quel che l’insegnante insegna, esplicitamente o no, è il
risultato delle competenze che possiede, delle sue convinzioni, delle sue concezioni9. Siccome su questo argomento la
bibliografia è impressionante, rinviamo qui solo a D’Amore,
Fandiño Pinilla (2004), nel quale la bibliografia è fortemente selezionata. In questo lavoro viene descritta una ricerca
tesa ad evidenziare proprio i cambiamenti di convinzioni e di
concezioni su matematica, didattica della matematica e ruolo
del docente di matematica, da parte di insegnanti di scuola
secondaria in formazione iniziale. Rinviamo ancora al testo
D’Amore, Fandiño Pinilla (2004) per i dettagli, ma risulta
interessante quanto gli stessi specializzandi dichiaravano a
proposito dei propri notevoli cambiamenti: sono sempre me9 La distinzione tra questi due termini, a prima vista sinonimi, è oggi abbastanza
condivisa in ambiente di ricerca; si usa fare una differenza più o meno esplicitabile
come segue (D’Amore, Fandiño Pinilla, 2004):
• convinzione (belief) (o credenza): opinione, insieme di giudizi/attese, quel che si
pensa a proposito di qualcosa;
• l’insieme delle convinzioni di qualcuno (A) su qualcosa (T) dà la concezione (K)
di A relativamente a T; se A appartiene ad un gruppo sociale (S) e condivide con
gli altri appartenenti ad S quell’insieme di convinzioni relativamente a T, allora
K è la concezione di S relativamente a T.
Spesso, in luogo di “concezione di A relativamente a T” si parla di “immagine che
A ha di T”.
82
scolate motivazioni didattiche con motivazioni epistemologiche, segno del fatto che gli studenti, proprio perché futuri
professionisti della scuola, tendono a valutare le proprie nuove competenze epistemologiche in seno all’azione didattica.
Tra i cambi di convinzione che maggiormente stupiscono gli
stessi insegnanti in formazione, emerge una differenza tra
una precedente indisponibilità ad un uso improprio del linguaggio matematico ed una nuova disponibilità all’ascolto
dell’allievo impegnato in una comunicazione a soggetto matematico. Su questo punto, grande influenza hanno le prove
di tirocinio effettuate concretamente nelle aule; gli specializzandi cambiano radicalmente la propria convinzione sul
senso da dare al contenuto matematico espresso dagli studenti in base principalmente a due fattori che hanno imparato
a riconoscere: sebbene la comunicazione dallo studente A
allo studente B sia (dal punto di vista adulto) scorretta, B
ne capisce il senso; spesso l’uso del linguaggio è improprio
(rispetto alle attese adulte) non per lacune matematiche ma
per incomprensioni a monte.
Un esempio di questo secondo punto è dato dal comportamento di uno studente che, alla richiesta di definire il parallelogrammo risponde: «Un parallelogrammo è un quadrilatero con i lati a due a due». Si ha uno scollamento totale delle
attese: da una parte l’insegnante avverte la mancanza di un
aggettivo che “chiuda” la frase altrimenti senza senso; dall’altra parte lo studente ritiene che aver detto 12 parole esatte
su 13 sia una buona performance. È vero che gioca molto il
contratto didattico e la diversa concezione di matematica che
hanno i due attori della storia, ma è anche vero che ci sono
attese epistemologiche diverse per quanto concerne l’uso del
linguaggio in matematica.
Le osservazioni precedenti non possono non avere notevoli
ripercussioni sul senso del curricolo; da pesante fardello da
rispettare, il curricolo diventa strumento da plasmare e da
83
sfruttare nella situazione vera d’aula, motivo conduttore della storia di classe. Da elenco più o meno commentato che viene calato in aula e condiziona tutto, il curricolo si trasforma
in arma adatta a far sì che ogni studente sia messo, anche in
base alle proprie capacità, nelle migliori condizioni per costruire competenze matematiche; da un curricolo normativo
si passa proprio ad un curricolo che riflette punti di vista epistemologici (Fandiño Pinilla, 2002, pag. 36 e segg.: «Il punto
di vista epistemologico nella costruzione del curricolo»).
Ciò dà centralità alla figura dell’allievo, piuttosto che a
quella della sequenza curricolare ed ai meri contenuti.
E questo significa interpretare alla rovescia quella che in
D’Amore (1999b) è chiamata “epistemologia dell’apprendimento della matematica”: il problema reale di chi si occupa di didattica della matematica, come ricerca o come
professione, è di capire i processi di apprendimento della
matematica, non limitarsi a creare ideali insegnamenti.
Un esempio solo per chiarire questo punto di vista.
Da millenni fa parte dei compiti di uno studente di matematica l’apprendere a dimostrare teoremi; il Sapere ha
deciso che il paradigma da rispettare universalmente per
quanto concerne tale attività siano la logica megaricostoica e quella aristotelica, per cui molti considerano preliminare all’attività del dimostrare l’apprendimento della
logica, come capitolo della matematica. È così che gli studenti imparano le tavole di verità semantiche, i connettivi,
in particolare l’implicazione materiale. Fatto ciò, spesso si
confonde la deduzione (metalinguistica) con l’implicazione (linguistica) e si passa alla struttura dei teoremi e delle
loro dimostrazioni. Se lo studente fallisce, lo si considera
come inadatto o non in grado di effettuare delle dimostrazioni. Ma se si fa attenzione alle proposte dimostrative degli studenti, capovolgendo il senso di tutta l’esperienza, si
possono avere sorprese interessanti. Se gli studenti falliva-
84
no nel compito è perché non sanno gestire lo strumento
metalogico proposto? In tal caso si può pensare che esso
non sia adeguato. Inizia da qui una lunga ricerca descritta
in D’Amore (2004) che inizia ascoltando gli studenti che
fallivano per capire quali tipi di errori commettevano. Si
è così scoperto che molti di essi facevano continuamente
riferimenti ad esempi impropri, enunciando la tesi come
fosse una ipotesi, cercando di ancorare l’implicazione materiale ad esempi concreti. Questo modo di comportarsi
nel corso di una dimostrazione ha ricordato al ricercatore
la logica nyaya, sviluppatasi millenni fa in India, nella quale
uno schema di ragionamento tipico è concepito in modo
ben diverso da quello aristotelico. Per dettagli su questo
lungo studio, circostanziato e corroborato da esempi tratti
dall’aula, rinviamo a D’Amore (2004).
Ci limitiamo qui ad un esempio, il più tipico nyaya (esattamente come il sillogismo di Socrate è considerato come prototipo della logica aristotelica):
> l’oggetto A si muove (asserzione)
> perché gli è stata applicata una forza (ragione)
> ogni volta che si applica una forza ad un oggetto, esso si
muove (proposizione generale); per esempio: se si attaccano buoi a un carro, esso si muove (esempio)
> all’oggetto A è stata applicata una forza (applicazione)
dunque:
> l’oggetto A si muove (conclusione).
Ebbene, alcuni degli studenti intervistati e indicati come non
in grado di condurre dimostrazioni in aula, di fatto, effettuavano dimostrazioni secondo la logica nyaya e non secondo la logica aristotelica o megarico-stoica. Senza adeguate informazioni a carattere epistemologico, il ricercatore non avrebbe avuto
85
strumenti per rendersi conto di ciò. Analogamente, senza strumenti epistemologici adeguati, l’insegnante è senza armi.
È ovvia l’importanza che ha in tutto ciò una visione epistemologica del curricolo che fornisce una visione centrale dell’allievo in aula.
Fra le altre cose, emerge qui una visione complessa della valutazione come processo e non come fine, dunque come strumento didattico. In Fandiño Pinilla (2002, pag. 75 e segg.) si
propone una valutazione con vari scopi: valutazione del curricolo, autovalutazione dell’efficacia del processo di insegnamento, valutazione per dare informazioni su quel che conta,
per prendere decisioni, per giudicare un allievo etc. Quanto
poi agli scopi ed alle tecniche di ciascuna di queste accezioni,
la cosa è complicata proprio perché spesso, per prendere decisioni, occorre far precedere scelte a carattere epistemologico (si veda l’evoluzione storico-sociale dell’idea di valutazione
negli ultimi 100 anni, alle pagg. 94-96 del testo citato sopra; e
l’elenco delle funzioni e delle caratteristiche della valutazione
nei vari Autori, a seconda delle scelte epistemologiche, alle
pagg. 97-98). Una innovazione nella valutazione comporta
scelte di criteri ed è per questo che si chiama “valutazione
criteriale”. A frenare queste specifiche spinte innovative (che,
in altri Paesi, sono addirittura diventate norme di legge nella
Scuola), stanno certo le convinzioni degli insegnanti e molte
delle loro concezioni su scuola, senso dell’istruzione etc., in
generale, e su matematica, senso dell’apprendimento matematico etc., in modo più specifico.
Ma abbiamo visto come le convinzioni epistemologiche, anche
quando mancano o sembrano mancare (Speranza le chiama:
implicite, 1997), influenzino decisamente tutte le altre, così che
il cerchio si chiude.
Tra le scelte, non sempre implicite, emergono con una certa
percentuale, quegli atteggiamenti che, più o meno, rispecchia-
86
no modi di interpretare la matematica e che si rifanno a scuole
epistemologiche:
>
>
>
>
>
>
formalismo
platonismo
logicismo
empirismo
intuizionismo alla Poincaré
intuizionismo come costruzione di atti del pensiero
ed oggi, più in generale, ascrivibili a due grandi gruppi (Speranza, 1997; D’Amore, 1987):
> realismo
> pragmatismo
che li riassumono (D’Amore, 2003b).
Ma l’uso delle convinzioni maturate con gli studi epistemologici deve fare coppia con la competenza forte in didattica della
matematica perché solo così contribuisce a formare quella ferramenta, quegli strumenti pratici e teorici così utili nella professione docente, per capire l’evoluzione delle situazioni d’aula.
A ciò giova certo l’enorme contributo di Guy Brousseau che,
lungi dall’essere solo pionieristico e limitato ai primi passi della didattica della matematica, fornisce ancora oggi, a nostro
avviso, materiale sul quale riflettere, in costante evoluzione ed
approfondimento. Idee come il contratto didattico, la teoria
degli ostacoli, la teoria delle situazioni, ma anche le spietate
analisi che hanno portato alla scomparsa di precedenti modi
di interpretare la didattica, sono ancora tutte da analizzare e
potenzialmente vi sono ancora misteri da chiarire.
87
1. 17 Uso della storia nella didattica della matematica
«La filosofia senza la storia è vuota, la storia senza la filosofia è cieca», asseriva a ragione Kant (per esempio: Speranza,
1997, pag. 145). Circostanziava Lakatos: «La filosofia della
scienza senza la storia è vuota, la storia della scienza senza la
filosofia della scienza è cieca» (Lakatos, 1971, pag. 102).
Accettata la presa di posizione di tali giganti, ogni commento è superfluo. Va da sé che, se più volte abbiamo detto che
l’epistemologia studia l’evoluzione dei concetti, non è pensabile scindere gli studi di epistemologia della matematica da
quelli di storia della matematica. Ciò giustificava la scelta di
chiamare i corsi della SSIS con il nome doppio di epistemologia/storia della matematica.
Così, appare ovvio pensare alla storia come al riferimento paradigmatico per eccellenza per capire l’evoluzione delle idee
e le necessità di adeguamento del pensiero. Per esempio, se
nulla si sapesse delle origini aristoteliche della geometria euclidea, né delle geometrie non euclidee con la loro portata
rivoluzionaria sul concetto di verità matematica, né della necessità di un nuovo rigore che desse ai termini primitivi e
agli assiomi un senso moderno, non si potrebbe capire perché
David Hilbert abbia dovuto scrivere dei nuovi elementi di geometria ventidue secoli dopo quelli di Euclide. La storia della matematica costituisce dunque il riscontro oggettivo per
capire l’epistemologia.
Sebbene entrambi i punti precedenti siano di eccezionale rilevanza, tali da dare ragione a chi impone corsi di epistemologia agli insegnanti in formazione, c’è un punto emergente con grande forza negli ultimi 30 anni, un punto al quale
Francesco Speranza e Bruno D’Amore, tra gli altri, hanno
dato corpo curando le edizioni di 3 libri che raccolgono
88
esperienze vere di insegnanti a diversi livelli scolastici, quando ciò ancora non era diffuso affatto (D’Amore, Speranza,
1989, 1992, 1995); si tratta dell’uso della storia della matematica come strumento didattico a vario titolo nei corsi di matematica. Siccome questo punto è strettamente intrecciato con
le questioni epistemologiche, ci pare corretto parlarne qui.
D’altra parte, se si vuol usare la storia della matematica in
aula, bisogna conoscere la storia della matematica; dunque
ha senso il problema di porsi anche la questione della preparazione in storia dei docenti in formazione.
Secondo Freudenthal, imparare la matematica significa “reinventarla” (si descrive un processo denominato “mathematising”) (Freudenthal, 1973): dunque il ruolo della componente storica nell’insegnamento merita un approfondimento
specifico. La considerazione di un concetto matematico attraverso la sua evoluzione storica richiede però l’assunzione di
posizioni epistemologiche impegnative: la stessa selezione dei
dati storici non è neutra (Radford, 1997) e problemi notevoli
sono inoltre connessi alla loro interpretazione, inevitabilmente condotta alla luce dei nostri attuali paradigmi culturali, mediante i quali si pongono in contatto culture “diverse ma non
incommensurabili” (Radford, Boero, Vasco, 2000, pag. 165).
Abbiamo già insistito molto sul fatto che l’insegnamento sia
influenzato dalle concezioni dei docenti a proposito della natura della conoscenza scientifica e della sua evoluzione. Appare dunque fondamentale che un insegnante si confronti
direttamente con la storia della disciplina e che giunga a saper impiegare i riferimenti storici consapevolmente e coerentemente con le proprie concezioni epistemologiche (Thompson, 1992; Moreno, Waldegg, 1993; Speranza, Grugnetti,
1996).
In generale, la storia della matematica offre alla didattica alcune importanti possibilità (Furinghetti, Somaglia, 1997): in-
89
nanzitutto quella di un approccio aneddotico che, pur essendo talvolta considerato superficiale, può rinforzare in termini
apprezzabili la motivazione dei discenti (D’Amore, Speranza,
1989, 1992, 1995; Radford, 1997; D’Amore, 1999a); in secondo luogo la possibilità di una riflessione metacognitiva e la
possibilità di una conoscenza organica di un periodo storico
e della comprensione delle situazioni culturali che hanno influenzato la nascita o la diffusione di un’idea matematica.
Riferendoci a quel vertice del triangolo della didattica che
abbiamo chiamato Sapere (Chevallard, 1985), chiameremo
“conoscenza istituzionalizzata” l’ultima versione, dal punto di vista cronologico, del sapere considerato, dunque la
sua più recente forma accettata dalla comunità scientifica:
da ciò segue che l’istituzionalizzazione alla quale facciamo
riferimento viene ad essere fortemente contestualizzata dal
punto di vista storico; e tale contestualizzazione è connessa
ai diversi ambienti socio-culturali (Bagni, 2004b). A questo
punto entra però in gioco la componente storica: è infatti
rarissimo (o forse impossibile) che una conoscenza matematica nasca da un’idea assolutamente nuova, priva di connessioni con l’esperienza del passato: per molti versi una
conoscenza incorpora in sé stessa le proprie radici storiche.
Quale rapporto collega la conoscenza istituzionalizzata alla
propria storia?
Tale problematica ci spinge ad un’indagine più approfondita della struttura storica di una conoscenza matematica che,
come vedremo, potrà influenzare notevolmente la didattica.
Seguendo D’Amore (2001a), potremmo ad esempio chiederci: il progressivo incremento del sapere può essere assimilato
ad un processo di affiancamento (accumulazione quantitativa) o di sovrapposizione (qualitativa)? Ovvero: la reimpostazione di un oggetto matematico si affianca alle vecchie versioni o le rimpiazza? (D’Amore 2001a).
90
L’adozione di modelli di (puro) affiancamento o di (pura)
sovrapposizione comporterebbe problemi teorici: tali modelli
risentirebbero di un’impostazione decontestualizzata. La concezione dell’evoluzione del sapere K che preveda l’affiancamento di una conoscenza K(m1) alla K(m) non tiene conto che la K(m) aveva senso nel suo originale contesto C(m),
mentre la K(m1) risente del nuovo contesto socio-culturale
C(m1) venutosi a creare (in Bagni, 2004a è esaminato, a mo’
di esempio, il caso dei procedimenti infinitesimali). D’altro
canto, la sovrapposizione dei concetti porterebbe ad una continua rifondazione ex novo, mentre la (progressiva) variazione
dell’ambiente socio-culturale fa pensare a progressivi reinquadramenti.
In un momento storico (ad esempio quello attuale) ed in un
contesto socio-culturale C(n) determinati, possiamo pensare
a processi in cui le versioni “storiche” della conoscenza considerata vengono a far parte del Sapere in relazione ai contesti
socio-culturali in cui si sono sviluppate; per questo motivo, il
processo va inteso come una continua evoluzione cronologica,
in perenne divenire.
Torniamo ora all’aspetto didattico: descritto il Sapere specifico
della conoscenza K, è necessario procedere alla sua trasposizione didattica, cioè in sapere insegnato. Abbiamo già visto che
importanza riveste, in questa trasformazione, l’epistemologia;
ed ora ci chiediamo: che ruolo si riconosce, in questa fase, alla
storia di K? In particolare, come si differenziano le modalità
della trasposizione della conoscenza K(n) (istituzionalizzata
al momento in cui si considera il processo di insegnamentoapprendimento) da quelle della trasposizione dei riferimenti
che costituiscono la “storia di K”? Il punto cruciale è costituito
dalla trasposizione della “storia di K” (Gadamer, 1975).
Indichiamo due scelte possibili:
91
> la trasposizione di K(1), K(2), ..., K(n1) con riferimento
al contesto C(n) (attualizzazione);
> la trasposizione di K(1), ..., K(n1) con riferimento ai rispettivi contesti C(1) C(2), ..., C(n–1) (contestualizzazione
storica dei riferimenti).
Ciascuna opzione si basa evidentemente su assunzioni epistemologiche impegnative e presenta, dal punto di vista
didattico, aspetti delicati: un’evoluzione storica proposta didatticamente dall’unico punto di vista moderno non sarebbe
forse radicalmente inaccettabile (mentre un’interpretazione
platonista della storia in senso assoluto lascia oggi scettici e
perplessi); una tale concezione permette, ad esempio, di presentare agli allievi gli ostacoli epistemologici principali e di
chiarire alcune posizioni storiche la cui debolezza si è rivelata
successivamente (Sfard, 1991), ma un’impostazione che pretenda di far seguire allo sviluppo cognitivo un percorso modellato sull’evoluzione storica (Piaget, Garcia, 1983) incontrerebbe difficoltà teoriche e qualche dubbio fondazionale.
La presentazione di elementi storici con riferimento al proprio contesto socio-culturale (Radford, 2003) offre la possibilità di un organico approfondimento e induce riflessioni
fondamentali sulla genesi di un concetto (Radford, Boero,
Vasco, 2000). La scelta di una storia “interna”, di uno sviluppo isolato della matematica, appare problematica (Grugnetti, Rogers, 2000, pag. 40) e difficilmente sostenibile dal punto di vista epistemologico.
Questo, solo per tracciare una panoramica ridotta della complessità della gestione della storia ad uso didattico; sta bene
tentare un approccio aneddotico per motivare, ma non è
questa la vera e propria sfida cognitiva vincente. Non appena si tenta qualche cosa di più significativo, ecco sorgere
problemi e sfide di grande interesse che possono e devono
92
essere affrontate dal docente di matematica con profonda
consapevolezza.
In ogni caso, storia ed epistemologia sono strettamente intrecciate tra loro ed il loro sistema lo è con la didattica della
matematica. Tanto che si potrebbe seguire la via aperta da
Kant e caldeggiata da Lakatos, coniando un ulteriore motto:
La didattica della matematica senza relazioni con la epistemologia e
la storia è come uno strumento agile e potente che nessuno sa usare a
pieno; l’epistemologia e la storia sono mezzi culturali forti, astratti e
profondi che la didattica della matematica rende concreti ed utili al
progresso dell’umanità, alla costruzione di competenze, alla consapevolezza del proprio sapere.
Per iniziare uno studio della storia della matematica consigliamo i volumi di Giorgio Bagni (1996a, b, 1997); ci sono
poi studi storici che, proprio per i motivi esposti sopra, precedono la trattazione di argomenti di ricerca in didattica,
come le frazioni (Fandiño Pinilla, 2005), lo zero (D’Amore,
Fandiño Pinilla, 2010), l’area e il perimetro (Fandiño Pinilla,
D’Amore, 2006), o di temi vari a carattere scolastico (D’Amore, Fandiño Pinilla, 2011) e tanti altri. A nostro avviso, ogni
esposizione tematica in didattica della matematica ed ogni
ricerca devono iniziare con un quadro storico ed epistemologico, il che non (sempre) è affatto necessario in matematica.
1. 18 La didattica della matematica C, come
epistemologia dell’insegnante
In precedenza abbiamo già fatto riferimento alla nomenclatura di D’Amore di didattica A, B e C. Ora che abbiamo tutti
gli elementi del caso, vogliamo ritornarvi brevemente sopra.
Quando D’Amore (1999a) coniò il termine didattica B per
l’epistemologia dell’apprendimento, fu quasi per scherzo,
93
solo per sottolineare che questa visione della didattica della
matematica seguiva la A, la cui denominazione ha un senso
dato che, come abbiamo già detto, deriva dal termine Ars.
Riassumiamo ciò che distingue queste due didattiche:
la didattica A enfatizza l’insegnamento, dunque le scelte relative al Sapere e ogni suo interesse è incentrato sui contenuti
e su una loro divulgazione; la didattica B enfatizza l’apprendimento, dunque i modi di costruzione di conoscenza dell’allievo
e ogni suo interesse è focalizzato sui motivi dei successi e degli
insuccessi dell’apprendimento.
Come abbiamo già rilevato, le analisi critiche degli studi di
didattica A hanno rivelato l’inutilità di puntare tutto sul Sapere; ma già l’insieme di A e B mostra che molto si può fare per
tradurre uno sforzo di insegnamento in un apprendimento
avvenuto e consapevole; è quel che Brousseau chiama: “creare buone situazioni di apprendimento”.
Come tutti i ricercatori e gli studiosi hanno modo di vedere
oggi, seguendo le riviste del settore, dunque le ricerche più
attuali, i convegni, i seminari, etc; balza agli occhi che siamo
già passati ad una fase di ricerca in didattica della matematica
che D’Amore (2006a) ha chiamato didattica C, proseguendo
nello scherzo terminologico:
DIDATTICA A
1960 - 1980
DIDATTICA B
1980 - 2000
DIDATTICA C
2000 - …
Quali sono i riferimenti teorici ai quali ci ancoriamo? Tutti facciamo sempre riferimento a quel sistema complesso e
problematico che chiamiamo triangolo della didattica (allievo,
insegnante, Sapere), già citato in precedenza e che approfondiremo nel capitolo successivo; ad esso ci si richiama in
varie situazioni teoriche. Esso è uno schema sistemico che
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vari Autori hanno studiato e che ora riprenderemo per analizzare i diversi tipi di didattica:
> la didattica A studia criticamente il Sapere e le sue forme
di diffusione;
> la didattica B studia criticamente le forme di apprendimento dell’allievo, subordinato a questioni d’aula affrontate in questo testo (contratto didattico, ostacoli, situazioni
didattiche, etc.); resta il problema della decisiva influenza
che ha l’insegnante in tutto ciò, problema eccessivamente
sottovalutato fino a pochissimi anni fa.
Oggi sappiamo, per esempio, che le convinzioni dell’insegnante (la cui evidenziazione ed analisi critica non rientrano
né nella didattica A né nella B) determinano e condizionano l’insegnamento (A) e l’apprendimento (B), gli ostacoli
(specie quelli didattici)10, la scelta delle situazioni, le misconcezioni, il passaggio da immagini a modelli, le clausole del
contratto didattico; dunque:
> la didattica C si occupa dell’epistemologia dell’insegnante,
la sua formazione, le sue convinzioni, il suo ruolo.
È anzi possibile un riferimento teorico semplice e convincente: la didattica A influisce principalmente sul Sapere; la Didattica B sull’allievo; la Didattica C sull’insegnante.
10 Nel nostro Nucleo, vari lavori di Arrigo e D’Amore, di D’Amore, di D’Amore
e Fandiño Pinilla, di Fandiño Pinilla e di Sbaragli hanno mostrato come, in certi
àmbiti “classici” di ricerca, quelli che la letteratura aveva già riconosciuto come
ostacoli epistemologici venivano copiosamente accompagnati da ostacoli didattici,
la cui causa, come vedremo, sta nelle scelte metodologiche dell’insegnante (www.
dm.unibo.it/rsddm).
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insegnante (didattica C)
allievo (didattica B)
Sapere (didattica A)
Quali strade prenderà la futura ricerca è impossibile prevederlo, anche se certe attuali ricerche sembrano avviarsi verso
lo studio della complessità sistemica.
1. 19 La didattica della matematica è una scienza
Il titolo di questo paragrafo non è sotto forma di domanda,
ma di asserzione. Però, per poterci dare il lusso di arrivare a
tanto, dobbiamo prima chiederci che cosa sia una scienza. Ci
serviremo di D’Amore (2007) il quale a sua volta cita Kuhn
(1957), Lakatos e Musgrave (1960), Bunge (1985), D’Amore
(2001b), Romberg (1983, 1988).
Il termine “teoria scientifica” o “scienza” è generalmente riservato ad ogni rappresentazione (simbolica, astratta,
scritta) condivisa, coerente e plausibile, di un insieme di fenomeni tra loro correlati da relazioni causali, descrivibili,
significative (causa - effetto, deduzione, induzione).
Tralasciando per brevità il percorso arcaico dell’idea di
scienza, nei modi attuali di considerare una teoria scientifica si trova la nozione di “paradigma” (Thomas Kuhn),
con cui si intende l’insieme delle ipotesi teoriche generali e l’insieme delle leggi per le loro applicazioni, comunemente accettate dagli appartenenti ad una stessa comunità
scientifica, ed implicanti un sostanziale accordo nei giudizi
professionali, di merito e di pertinenza. Nella formazione
di una nuova comunità scientifica, c’è un momento a parti-
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re dal quale si può parlare appunto di “paradigma”; la fase
che precede è caratterizzata da una disorganizzazione, priva
di accordi specifici, e con una costante richiesta di dibattito sui fondamenti della disciplina stessa: si può dire che in
questa fase vi sono tante teorie quanti ricercatori ed una
continua richiesta ed esigenza di chiarire i punti di vista
propri e altrui. I lavori scritti di ricerca sul campo sono spesso accompagnati da spiegazioni sui caratteri generali della
ricerca stessa. La tesi di Kuhn (1957) più famosa è quella secondo la quale il progresso scientifico procede secondo “rivoluzioni”, dato che si ha passaggio, evoluzione, solo dopo
una crisi.
Un altro contributo fondamentale è quello proposto negli
anni ’60 da Imre Lakatos, con l’idea di “programma di ricerca”, cioè una successione di teorie scientifiche collegate tra
loro in uno sviluppo continuo, contenenti regole metodologiche di ricerca (sia in positivo, da seguire, sia in negativo,
da evitare). Ogni programma deve contenere: un nucleo o
centro del programma; un sistema di ipotesi ausiliarie; una
euristica, cioè i procedimenti che si applicano alla risoluzione dei problemi. In questa successione, una nuova teoria si
può allora considerare un progresso rispetto ad una precedente se: fa predizioni che la precedente non era in grado di
fare; alcune di tali predizioni si possono provare come vere;
la nuova teoria spiega fatti che la precedente non poteva
provare.
Un altro notevole contributo teorico è quello dovuto a Mario Bunge, negli anni ’80: la scienza è un corpo in costante
accrescimento di conoscenze, caratterizzato dal fatto di trattare conoscenze razionali, sistematiche, esatte, verificabili (e
dunque anche fallibili). La conoscenza scientifica coincide
con l’insieme delle idee su un certo argomento, stabilite in
modo momentaneamente provvisorio; ma poi, il concorso
dei singoli e lo scambio di informazioni e di idee dà luogo ad
97
una comunità scientifica. Quel che caratterizza la differenza
tra campi di credenza (religioni, ideologie, politiche) e campi di ricerca scientifica è il tipo di modalità secondo le quali
avvengono i “cambi” nelle idee; nei primi, i cambi avvengono a causa di “rivelazioni”, controversie, pressioni sociali; nei
secondi c’è un cambio continuo a causa degli stessi risultati
della ricerca.
Secondo richieste più “deboli”, una teoria scientifica si definisce oggi tale quando dispone di un oggetto specifico di
studio, di un suo proprio metodo di ricerca e di un suo specifico linguaggio condiviso; a questa richiesta fanno spesso riferimento i teorici delle scienze umane, per chiamare
“scienze” appunto, tali ambiti di studio. Questa richiesta
“debole” ha fatto proliferare negli ultimi anni l’appellativo di “scienze” dato a molte discipline. Infatti, qualsiasi disciplina allo sviluppo della quale concorrano studiosi che
si riconoscano e si accettino reciprocamente come esperti
in essa, fondando una comunità di pratiche condivise, che
facciano uso dello stesso linguaggio, prima o poi acquisisce
proprio le caratteristiche appena descritte. Il problema della ripetibilità degli esperimenti, della corretta definizione
delle variabili in gioco, del senso che acquistano termini
come “rigoroso”, “vero” etc., tende a svanire o a subire profonde modifiche.
Quel che c’è di comune in tutte queste interpretazioni è che
le teorie scientifiche non possono essere creazioni o invenzioni di un singolo, ma deve esserci una comunità di persone tra le quali vige un sostanziale accordo sia sui problemi
significativi della ricerca, sia sulle modalità nelle quali essa si
esplica, sia sul linguaggio usato.
In questa direzione, T. A. Romberg, alla fine degli anni ’80,
per definire le caratteristiche peculiari di una teoria scientifica consolidata e stabile, affermava che:
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> deve esistere un insieme di ricercatori che dimostrino interessi in comune; in altre parole ci devono essere problematiche centrali che guidano il lavoro dei ricercatori e che
siano condivise;
> le spiegazioni date dai ricercatori devono essere di tipo
causale;
> il gruppo dei ricercatori deve aver elaborato un vocabolario
ed una sintassi comune, sulla quale il gruppo è d’accordo;
> il gruppo deve aver elaborato procedimenti propri per accettare o refutare gli enunciati in un modo considerato da
tutti oggettivo e largamente condivisibile.
Tra le scienze così intese, ben rientrano le didattiche disciplinari; è sotto gli occhi di tutti l’esistenza di un folto
gruppo internazionale di ricercatori nelle varie didattiche
disciplinari che hanno interessi comuni, per i quali esistono
problematiche considerate centrali e condivise, che danno
(da un paio di decenni) spiegazioni di carattere causale,
che hanno elaborato un vocabolario comune. Essi tengono
convegni specifici e hanno loro riviste di settore, all’interno
delle quali le proposte di comunicazione o di pubblicazione
vengono vagliate in base a procedimenti oramai ampiamente condivisi. Vi sono, dunque, tutte le condizioni proposte
da Romberg per poter affermare che molte didattiche disciplinari hanno tutte le caratteristiche per poter essere considerate scienze consolidate e stabili.
1.20 Conclusioni
Questo capitolo è stato concepito e realizzato come una
specie di vademecum minimo per chi vuol sapere l’essenza ridotta all’osso della didattica della matematica. Se poi il
lettore scorgerà in queste poche pagine qualche cosa di inte-
99
ressante, non avrà certo difficoltà ad avere delle indicazioni
bibliografiche su come proseguire nello studio.
Essendo una disciplina nuova, la didattica della matematica
si è evoluta in diverse direzioni, impossibile qui delinearne
più di una; ma il nostro lettore è un docente di scuola secondaria, dunque piuttosto ferrato in matematica; dunque,
può anche decidere di affrontare studi o almeno letture di
ricerche e non solo resoconti a carattere divulgativo come il
presente.
100
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qui di porre la I edizione)
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112
2
Capitolo Secondo
Il ruolo delle misconcezioni
nella didattica della matematica
2.1 Il termine misconcezione
Un termine molto usato da decenni nella ricerca in didattica della matematica è “misconcezione”; tale parola viene
interpretata in modi diversi dai vari Autori ma assume nella
maggior parte dei casi semplicemente connotati negativi,
come sinonimo di “errore”, “giudizio erroneo”, “idea sbagliata”, ma anche “equivoco” o “malinteso”; si trova intesa
anche nel senso più esteso di “concezione fallace”. Per questa ragione le misconcezioni vengono spesso citate quando
si fa riferimento alla didattica relativa agli errori.
Molti Autori concordano sul fatto che i primi usi di questo
termine, nel senso di “errore” o di “malinteso”, si hanno nel
dominio della fisica o dell’economia. Si fa infatti riferimento
di solito a lavori di Di Sessa (1983); di Kahneman e Tversky
(a partire dal 1982) riguardo ai processi decisionali; di Voss
et al. (1989).
Una delle prime apparizioni documentate del termine “misconception” in matematica avviene in USA nel 1981, ad
opera di Wagner (1981), in un lavoro che tratta dell’apprendimento di equazioni e funzioni. Sempre nel 1981 esce un
celebre testo di Kieran (1981) sull’attività di risoluzione delle
equazioni. Appaiono poi numerosi lavori nel 1985 nei quali
il termine “misconcezione” è esplicito: Schoenfeld (1985),
Shaughnessy (1985) e Silver (1985) che lo usano per lo più
a proposito di problem solving, insieme alle convinzioni o per
spiegarne le interazioni.
In Silver (1985, pp. 255-256) è detto esplicitamente che vi è
un forte legame tra le misconcezioni e le convinzioni errate.
In Schoenfeld (1985, p. 368) si evidenzia come gli studenti
possano sviluppare in modo corretto delle concezioni scorrette, soprattutto per quanto riguarda procedure.
Come si vede bene, nella prima metà degli anni ’80 ci fu un
intenso lavoro degli studiosi di didattica della matematica su
questo tema.
In seguito diversi Autori hanno preso in esame in maniera
critica il sostantivo misconcezione, per esempio nell’ambito
della Scuola Francese; in una lettera privata che ci ha gentilmente autorizzato a rendere pubblica, Colette Laborde dichiara:
«Il termine misconcezione che ha origine negli Stati Uniti
potrebbe non essere il termine più appropriato se ci si riferisce alla conoscenza degli studenti “non corretta”. La nozione
di “correttezza” non è assoluta e si riferisce sempre ad un
dato sapere; il sapere di riferimento può anche evolversi. I
criteri di rigore in matematica sono cambiati considerevolmente nel tempo. Ogni concezione ha un suo dominio di
validità e funziona per quel preciso dominio. Se questo non
avviene, la concezione non sopravvive. Ogni concezione è in
parte corretta e in parte non corretta. Quindi sembrerebbe
più conveniente parlare di concezioni rispetto ad un dominio di validità e cercare di stabilire a che dominio queste appartengono» (riportato in D’Amore, Sbaragli, 2005, p. 12).
Tenuto conto delle posizioni dei diversi Autori e delle occorrenze a volte anche piuttosto diverse di questo termine, riteniamo che l’attenzione sulle misconcezioni, fin dal
loro apparire nel mondo delle scienze (non matematiche)
114
Capitolo 2 Il ruolo delle misconcezioni nella didattica della matematica
sia stato molto produttivo perché ha costretto gli studiosi a
non identificare più gli errori come qualche cosa di assolutamente negativo, da evitare a tutti i costi, ma ad interpretarli
come prodotti umani dovuti a situazioni in via di evoluzione. Sempre più, negli anni, si è venuto a delineare un significato condiviso di “misconcezioni” come cause di errori o
meglio ancora cause sensate di errori, cause che sono spesso
ben motivabili ed a volte addirittura convincenti. In un testo
del 1998, Rosetta Zan parla proprio di misconcezioni come
“causa di errori”: «Le convinzioni specifiche scorrette (“misconceptions”) sulla matematica sono quelle responsabili di errori,
che si presentano in forme e contesti diversi. Si tratta spesso
di convinzioni implicite, di cui cioè il soggetto non è consapevole, e per questo agiscono in modo ancora più subdolo e
sottile».
È dunque innegabile il fatto che questo tipo di studi ha costretto a prendere in esame l’interpretazione della realtà da
parte del soggetto, interpretazione creata sulla base di convinzioni maturate anche grazie all’apprendimento. Dunque
a vedere le misconcezioni come il frutto di una conoscenza,
non come una assoluta mancanza di conoscenza.
Da questo punto di vista, un altro approccio possibile, non
lontano dalla posizione di Laborde e da noi scelto, è quello di
conservare tale termine e di analizzarlo in modo più costruttivo, fornendogli un’interpretazione più elaborata e meno
negativa che tenga conto dell’attuale ricerca in didattica della
matematica e che permetta di indagare più in profondità le
cause del mancato apprendimento. Inizialmente in D’Amore
(1999, p. 124) e successivamente in D’Amore, Sbaragli (2005,
p. 19) si parla di misconcezione non come situazioni del tutto
o certamente negative, ma anche come possibili momenti di
passaggio, in corso di sistemazione, a volte necessari per la
costruzione di un concetto; è da questo punto di vista che
affronteremo l’argomento in questo capitolo.
115
2.2 Misconcezioni “evitabili” e “inevitabili”
Le misconcezioni intese in questo modo sono state da noi distinte in due grandi categorie: inevitabili ed evitabili (Sbaragli,
2005, p. 56 e succ.).
Le misconcezioni inevitabili non dipendono direttamente dalla trasposizione didattica effettuata dal docente né dall’ingegneria didattica, ma dalla necessità di dover dire e mostrare qualcosa per
poter spiegare un concetto, che non potrà mai essere esaustivo di ciò che si sta proponendo anche a causa delle caratteristiche ontogenetiche legate all’allievo.
Tali misconcezioni sono quindi imputabili alla necessità di
dover partire da un certo sapere iniziale che occorre necessariamente comunicare in modo non ineccepibile.
In questo caso, le misconcezioni possono essere viste come
inevitabili momenti di passaggio nella costruzione dei concetti che derivano dalle rappresentazioni che gli insegnanti sono costretti a fornire per poter iniziare la presentazione
di un concetto, rappresentazioni che potrebbero contenere
delle informazioni ancora non del tutto corrette del concetto
matematico che si vuole trattare.
In questo ambito c’è poi da dover tener conto di un fattore
importante. Nel presentare, infatti, un concetto in matematica, si è costretti a fare ricorso a rappresentazioni realizzate per
mezzo di segni, ossia alla semiotica; in linea con il pensiero
di Duval (1993), affermiamo che non c’è noetica (acquisizione
concettuale di un oggetto) senza semiotica (rappresentazione
realizzata per mezzo di segni) e che la semiotica viene assunta come necessaria per garantire il primo passo verso la
noetica. Detto in altro modo: «In matematica l’acquisizione
concettuale di un oggetto passa necessariamente attraverso
l’acquisizione di una o più rappresentazioni semiotiche»
(D’Amore, 2003).
116
Eppure, qualsiasi rappresentazione (un disegno, una frase,
un grafico, un modello tridimensionale, …) non avrà mai le
caratteristiche concettuali di astrattezza, idealità, perfezione,
generalità tipiche della matematica e questo potrebbe essere la fonte di alcune di quelle misconcezioni che abbiamo
chiamato inevitabili: «I modelli restano distinti dalla nozione
stessa, non solo a causa dell’astrazione propria della nozione (passaggio dall’oggetto alla classe di oggetti) ma anche
a causa dell’idealizzazione (passaggio dall’oggetto reale alla
sua immagine ideale, mediante il passaggio intermedio del
modello)» (Maier, 1995).
Tuttavia, dovendo fare i conti con la semiotica di un concetto, potrebbe accadere che lo studente confonda la semiotica
con la noetica, associando le caratteristiche peculiari della
specifica rappresentazione al concetto stesso: «(…) Come
dei soggetti in fase di apprendimento potrebbero non confondere gli oggetti matematici con le loro rappresentazioni
semiotiche se essi non possono che avere relazione con le
sole rappresentazioni semiotiche? L’impossibilità di un accesso diretto agli oggetti matematici, al di fuori di ogni rappresentazione semiotica, rende la confusione quasi inevitabile» (Duval, 1993).
Una delle cause del sorgere di certe misconcezioni è certo
legata alla necessità della semiotica, ma spesso si tratta di misconcezioni inevitabili.
Le misconcezioni evitabili dipendono invece proprio dalle scelte
che l’insegnante fa per effettuare la trasposizione didattica e scelte
concernenti l’ingegneria didattica. Queste misconcezioni sono
state assai studiate e sembrano dipendere dalla prassi scolastica “minata” da improprie consuetudini proposte dagli insegnanti ai propri allievi.
Capita spesso che, a complicare l’apprendimento dei concetti matematici, incidano le decisioni prese dall’insegnante, a
117
volte derivanti dalle proposte della noosfera (libri di testo, programmi, riviste, …), di fornire all’allievo giorno dopo giorno,
sempre e solo univoche rappresentazioni convenzionali che
vengono così accettate ciecamente dall’allievo come univoche
e anzi obbligate a causa del contratto didattico instaurato in classe e del fenomeno di scolarizzazione (D’Amore, 1999).
Le continue e univoche sollecitazioni fornite dall’insegnante
fanno sì che lo studente confonda la rappresentazione proposta con il concetto matematico che si vuole far apprendere:
«Lo studente non sa che sta apprendendo segni che stanno
per concetti e che dovrebbe invece apprendere concetti; se
l’insegnante non ha mai riflettuto su questo punto, crederà
che lo studente stia apprendendo concetti, mentre questi sta
in realtà “apprendendo” solo a far uso di segni» (D’Amore,
2003).
Ne consegue che occorre didatticamente fare molta attenzione alla scelta, ai contesti ed alle modalità d’uso dei segni
che rappresentano il concetto matematico che si vuole far
apprendere ai propri allievi; un’attenzione che è spesso sottovalutata o data per scontata.
Come vedremo negli esempi riportati nel paragrafo seguente, la ripetitività delle rappresentazioni fornite non rappresenta l’unica causa delle misconcezioni evitabili; queste possono dipendere dalle rappresentazioni scelte dall’insegnante
stesso.
2.3 Alcuni esempi di misconcezioni evitabili
e inevitabili
Per rendere più esplicita la distinzione tra misconcezioni inevitabili ed evitabili, riportiamo di seguito alcuni esempi di
entrambe le categorie, prestando particolare attenzione alle
evitabili, sulle quali è possibile intervenire preventivamente.
118
2.3.1
Esempi di misconcezioni inevitabili
Tra gli esempi di misconcezioni inevitabili si possono individuare quelli legati alle conseguenze dell’ampliamento di un
insieme numerico.
In D’Amore e Sbaragli (2005) viene messo in evidenza come
la formazione prematura di un modello concettuale di moltiplicazione, quando si ha a disposizione solo l’insieme N
dei numeri naturali, genera spesso misconcezioni quando
si passa ad un altro insieme numerico, tra le quali la più
conosciuta e difficile da superare è “la moltiplicazione accresce sempre”. Alla domanda posta a studenti di scuola media:
“Quanto fa 4 0,5”, diversi rispondono intuitivamente 8. Il
tentativo di continuare ad applicare l’idea di accrescimento
che si è creata in N quando la moltiplicazione viene eseguita
sull’insieme Q dei numeri razionali, per esempio fra frazioni
o fra numeri decimali, si rivela fallimentare.
Da questo punto di vista, già in una ricerca molto datata di
Hart (1981), alla richiesta di scegliere tra le seguenti coppie
di operazioni quella che dà il risultato maggiore:
(a) 8 4
(b) 8 0,4
(c) 0,8 0,4
oppure
oppure
oppure
8:4
8 : 0,4
0,8 : 0,4
si sono avuti i seguenti risultati che evidenziano come meno
del 20% degli allievi di 15 anni ha dato la risposta corretta.
Esercizio
Tipi di operazione scelta
Età
(a)
(b)
(c)
12
13
14
15
:
:
:
13
8
15
18
50
58
47
30
119
Riportiamo la giustificazione fornita da un ragazzo di 15 anni
che inizialmente aveva segnato tutte le moltiplicazione e poi
ha corretto: «Perché con le moltiplicazioni sembra di ottenere sempre di più di quando si divide».
Analogo a questo esempio è il seguente riportato da Stavy e
Tirosh (2000) che ha origini nella scuola primaria e si ripercuote nei livelli scolastici successivi: «In matematica, alcune
proprietà spesso funzionano per sistemi fino a un certo numero, ma crollano quando la realtà dei numeri si fa più estesa. Ad esempio, quando confrontiamo due numeri naturali
mediante la linea dei numeri, si potrebbe affermare che il
numero più lontano dallo zero sia il numero più grande. Quando
viene applicata ai numeri relativi, tuttavia, questa regola può
spingerci, non correttamente, a stabilire, ad esempio, che 5
è più grande di 2 perché “esso è più lontano dallo zero”.
La regola “il più lontano / il più grande” è valida per tutti i
numeri naturali, ma non per quelli relativi».
Tale misconcezione può essere interpretata come inevitabile
a meno che l’insegnante, invece di cercare di superarla e di
non radicarla nella mente dello studente, la espliciti e confermi nel momento in cui tratta i numeri interi.
Si può notare che gli studenti arrivano alla stessa conclusione sbagliata anche quando non tengono conto del ruolo del
segno meno, riferendosi unicamente al valore assoluto del
numero.
Le due Autrici appena citate, proseguono riportando i seguenti esempi:
«In generale, quando due numeri naturali, n e n a (anche
a è un numero naturale), vengono confrontati, gli studenti,
sin da piccoli, sanno che n a n. Molti studi sull’educazione matematica riportano che quando si chiede di confrontare una coppia di espressioni numeriche o algebriche (…),
spesso gli studenti applicano in modo non corretto la loro
120
conoscenza dei numeri naturali (…) (Bell, 1982; Fischbein,
1987; Hart, 1981). Quando chiedemmo di confrontare due
espressioni ad esempio, 4x e 2x (…), gli studenti dedussero che (…) 4x 2x. Allo stesso modo, quando (gli allievi)
confrontano due espressioni comprendenti n e n a, essi
affermarono che: “(n a) n, x(n a) xn, (n a)x
nx, x(na) xn, e così via”. (…) Gli studenti deducono che,
poiché na è maggiore di n, il senso dell’ineguaglianza tra le
intere espressioni (…) sarà conservato».
Interessanti da questo punto di vista risultano anche i seguenti esercizi di confronto di espressioni algebriche che furono proposti da Rapaport (1998) a studenti dalla prima alla
quarta superiore:
Segna , , oppure “impossibile da determinare”
4x
3(a b)
3x/2
2x
2 (a b)
5x/2
Questo lavoro rivelò che un’ampia maggioranza di allievi in
ciascuna classe fornì risposte sbagliate del tipo: «4 2, perciò
4x 2x; 3 2, perciò 3(a b) 2(a b); 5 3, perciò 5x/2
3x/2».
Situazioni analoghe possono essere pensate per le potenze.
Ad esempio, Kopelevich (1997) chiese ad allievi di seconda
media, prima, seconda e terza superiore di confrontare le
seguenti espressioni:
1. Rami sostiene che se t è maggiore di m (t m), allora at am. Ha
ragione Rami? Sì/No.
2. Dana sostiene che se a è maggiore di b (a b), allora at bt.
Dana ha ragione? Sì/No.
121
Anche in questo caso, almeno il 50% degli allievi di ognuna
di queste classi eseguì in maniera sbagliata ciascuno di questi problemi, affermando che se t m, allora at am e che
se a b, allora at bt. Eppure quando venne chiesto agli
stessi studenti di mettere il simbolo giusto (, , oppure
“impossibile da determinare”) tra le espressioni a3 e a4, oltre
il 65% di allievi di ciascuna di queste classi affermò che a4
a 3.
Sempre a proposito di potenze, più recentemente, le prove
Invalsi del 2010 somministrate in I media hanno messo in evidenza come gli allievi tendano a trasferire regole già apprese
in altri ambiti (addizione di numeri naturali, somma degli
esponenti delle potenze quando si moltiplicano potenze con
la stessa base), senza cogliere il cambio di contesto:
A quale valore corrisponde il risultato della seguente operazione?
23 26
A.
B.
C.
D.
512 (6%)
29 (41%)
72 (41%)
218 (11%)
Si nota un’ampia percentuale di risposte scorrette alcune derivanti dalla somma degli esponenti delle potenze.
Risultano inoltre numerose le misconcezioni legate al concetto di numero razionale (Fandiño Pinilla, 2005). L’idea di
“successivo” di un numero che l’allievo ha appreso e usato
con successo nell’insieme N dei numeri naturali e che estende intuitivamente a tutti gli altri domini numerici comporta
che per diversi allievi il “successivo” di 0,2 sia 0,3, così come
nella forma frazionaria il successivo di 2/5 è per alcuni studenti 3/5, perché il 3 è il successivo di 2 in N.
Emergono di conseguenza difficoltà nell’ordinare i numeri
razionali. Per esempio, la frazione 2/3 è considerata minore
122
di 4/9 perché 2 4. Questa “giustificazione” ha un’analogia
sviante nell’ordine tra numeri decimali: 2,3 4,9 perché 2 4.
La letteratura specifica dimostra che anche adulti con un
buon livello di scolarizzazione tendono a non saper ordinare
le frazioni sulla retta numerica perché si basano essenzialmente sul confronto dei numeratori delle frazioni o sul concetto che più grande è il denominatore, più piccola sarà la
frazione.
Inoltre, se si tratta di mettere in ordine 1,2 e 1,15, è noto che
la competenza acquisita sui naturali può dare problemi interpretativi; la letteratura segnala casi in cui lo studente afferma:
«A parità di parte intera, siccome 15 2, allora 1,15 1,2».
Non sempre si rivela naturale scrivere 1,3 nella forma 1,30;
ad impedire la naturalezza di questo passaggio sta anche una
regola acquisita precedentemente, in base alla quale aggiungendo uno 0 “in fondo” ad un numero lo si moltiplica per 10;
anche in questo caso, una regola valida in N viene erroneamente ed impropriamente estesa ai numeri razionali.
Fin dagli anni ’60, la letteratura segnala inoltre studenti che
non sanno gestire l’equivalenza tra frazioni.
Come riporta Fandiño Pinilla (2005), sono state sottoposte a
studenti di età variabile le seguenti uguaglianze, nelle quali dovevano riempire i posti mancanti e si è rilevato come (a1) e (b1)
siano più facili da gestire che non le altre e che ancora a 15 anni,
meno del 30% degli studenti sa risolvere con sicurezza (b2):
(a1) 31 = ∇2 ,
(a2) 124 = ◊1 ;
(b1) 27 = 14Δ ,
.
(b2) 27 = 14Δ = 10
Le ricerche hanno anche messo in evidenza come lo studente
faccia fatica a capire il senso dell’equivalenza nei casi discreti;
123
se abbiamo 3 palline bianche e 6 nere, possiamo dire che le
bianche sono 1/3 del totale delle palline; ma se abbiamo 6
bianche e 12 nere, lo studente potrebbe faticare a capire che,
all’aumento evidente del numero di palline, non corrisponda anche un aumento di quel “1/3”.
Questa stessa misconcezione si presenta quando si deve valutare la probabilità di un evento. In particolare, come sostiene
Fischbein (1975) nei problemi in cui intervengono numeri,
le valutazioni di probabilità sono influenzate dalla grandezza
dei numeri considerati. Per esempio, di fronte alla seguente
situazione:
Nell’urna A vi sono 3 palline bianche e 5 nere.
Nell’urna B vi sono 6 palline bianche e 10 nere.
Dovrai pescare una pallina da un’urna a tua scelta: se sarà bianca,
avrai un premio. Da quale urna preferiresti pescare?
La maggior parte degli allievi risponde senza esitazione «dalla B».
Risulta inoltre interessante sottoporre gli allievi alla seguente situazione: Ho la frazione x/y e divido tanto x quanto y per 2.
Ottengo una nuova frazione. Questa è la metà di x/y, uguale a x/y
o il doppio di x/y?
Le risposte più diffuse sono “la metà” e “il doppio” a qualsiasi
età, mentre la risposta “uguale” è assai scarsa, specie tra gli
allievi più giovani.
Non distante da questo esempio è il seguente. Nel Test Prometeo del 1994 somministrato in I Liceo, alla domanda posta
agli allievi “Quanto è il doppio di ¾?” si sono avuti i seguenti
risultati:
3/8 (5%)
6/8 (69%)
5/4 (2%)
3/2 (24%)
124
Gli esempi potrebbero continuare ancora a lungo, ma terminiamo qui questa trattazione per non appesantire troppo il
testo.
2.3.2
Esempi di misconcezioni evitabili
Misconcezioni evitabili dipendenti da rappresentazioni semiotiche
univoche e vincolanti.
Tra le misconcezioni evitabili vi sono quelle che dipendono
dalla scelta univoca delle rappresentazioni semiotiche fornite dagli insegnanti, a volte in contrasto con la definizione
scelta. Emblematico da questo punto di vista risulta l’esempio dell’angolo.
Come riferiscono Tirosh e Stavy (2000), sono diverse le ricerche che si sono occupate delle misconcezioni relative agli
angoli. Ad esempio, se si mostra il seguente disegno ad allievi
dalla scuola dell’infanzia alla scuola superiore e si chiede di
stabilire se i due angoli sono uguali o ce n’è uno più “grande”
dell’altro, molti allievi rispondono: «L’angolo è più grande
dell’angolo perché il suo arco è più lungo».
La stessa situazione si presenta, ma con una percentuale inferiore di risposte sbagliate, proponendo le seguenti domande
inerenti le due figure sotto rappresentate:
gli angoli e sono uguali? Se non lo sono, qual è il più
“grande”? Perché?
125
Si nota quanto la rappresentazione semiotica possa essere
fuorviante per stabilire relazioni fra le ampiezze degli angoli.
Più recentemente, i risultati di ricerca ottenuti da Sbaragli e
Santi (2011) mostrano come le decisioni prese dall’insegnante per presentare l’argomento angolo, si basano su proposte
univoche e vincolanti derivanti dalla noosfera, più che da
scelte personali consapevoli, e vertono sul fornire all’allievo
sempre e solo univoche rappresentazioni convenzionali senza analizzarne i tratti distintivi con gli allievi.
Altra importante causa di difficoltà sulla quale si è concentrata in modo specifico la ricerca di questi due Autori sono le
incoerenze nell’intenzionalità degli insegnanti derivanti da
un uso limitato e inconsapevole dei mezzi semiotici di oggettivazione (ad esempio l’archetto dell’angolo che limita
la parte di piano) rispetto all’aspetto concettuale e culturale
del sapere al quale si vuole solitamente far giungere i propri
allievi (definizione di angolo come parte di piano limitata
da due semirette con l’origine in comune). La complessità
dell’apprendimento del concetto di angolo da parte degli allievi, messa in evidenza dalla numerosa letteratura di ricerca,
è quindi amplificata dalle scelte dell’insegnante riguardanti
la trasposizione didattica del sapere e l’ingegneria didattica
adottata.
L’intenzionalità attribuisce all’individuo, in questo caso all’insegnante, un ruolo fondamentale nella possibilità di assegnare senso agli oggetti matematici, ma tale intenzionalità
deve essere gestita con consapevolezza per poter essere efficace didatticamente. L’incoerenza tra l’intenzionalità esplici-
126
tata dall’insegnante tramite il mezzo di oggettivazione verbale e il mezzo di oggettivazione grafico, scelti per esprimere
tale concetto, può essere la fonte di misconcezioni evitabili
nella mente dell’allievo. La scelta dei segni non è neutra o
indipendente; come sostiene Radford (2005, p. 204): «I mezzi semiotici di oggettivazione offrono possibilità diverse per
svolgere un compito per designare oggetti ed esprimere intenzioni (…). Occorre quindi saper individuare i mezzi semiotici di oggettivazione per ottenere oggetti di coscienza»,
tale individuazione va gestita con forte senso critico da parte
dell’insegnante.
Risulta quindi indispensabile per il superamento di misconcezioni inevitabili e l’assenza di misconcezioni evitabili, fornire una
grande varietà di mezzi semiotici di oggettivazione opportunamente organizzati e integrati in un sistema sociale di significazioni rappresentato dalle pratiche matematiche condivise
dagli allievi gestite con consapevolezza e coerenza da parte
dell’insegnante.
Misconcezioni dipendenti da termini linguistici che vincolano le posizioni delle figure
Sembra ormai una prassi scolastica legare l’apprendimento
geometrico a termini spaziali che derivano dalla posizione
dalla quale si osserva un oggetto matematico. Termini come:
orizzontale, verticale, obliquo, laterale, sono presenti in tutti
i libri scolastici di qualsiasi livello e appaiono come parole
specifiche dell’ambito matematico, pur rientrando in realtà
in altri contesti. Eppure tali termini che generano posizioni
spaziali vincolanti delle figure sono la fonte di misconcezioni
evitabili.
È pur vero che, come sostengono Tirosh e Stavy (2000): «è
stato affermato che le linee verticali e orizzontali costituiscono le direzioni fondamentali su cui gli oggetti possono essere
orientati in relazione alla gravità. Evidentemente, la perce-
127
zione delle linee verticali e orizzontali è programmata nel
sistema visivo dei mammiferi»11, ma l’uso di questi termini in
campo geometrico mette in evidenza la scelta della noosfera
di dare più peso alla posizione dell’oggetto del quale si sta
parlando, piuttosto che all’essenza dell’oggetto stesso. Invece
di rilevare le caratteristiche “assolute” dell’oggetto matematico, come il parallelismo, la perpendicolarità, la congruenza
dei lati o degli angoli, si mettono in evidenza le proprietà “relative” dell’oggetto, che dipendono dal punto di vista, facendo così puntare l’attenzione degli studenti su caratteristiche
concrete, dirette e percepibili, importanti in un contesto di
vita reale, ma di ostacolo in un mondo geometrico dove non
esistono “direzioni privilegiate”.
I lati obliqui. Una convenzione accettata da anni da quasi tutto il mondo della scuola italiana, e per questo presente in
tutti i libri di testo, è quella di chiamare il lato del trapezio,
indicato nel disegno di seguito con il nome di “lato obliquo”.
Questa scelta risulta costruttiva per l’apprendimento degli
allievi o fonte di misconcezioni?
A nostro parere tale scelta crea nella mente degli allievi misconcezioni evitabili, dato che essa vincola la posizione da far
assumere all’oggetto. Nella seguente figura, che rappresenta
un trapezio congruente a quello della figura precedente ma
disposto in modo diverso rispetto ai margini del foglio, tutti i
11 Le due Autrici rimandano a: Lindsay P., Norman D., L’uomo elaboratore di informazioni, Firenze: Giunti, 1968.
128
lati risultano obliqui rispetto al lettore, proprio tranne quello
che per convenzione è chiamato obliquo.
A questo punto lo studente potrebbe non riconoscere più il
trapezio o per farlo potrebbe doverlo riportare nella posizione da lui considerata standard: con il lato che è stato etichettato come obliquo disposto in modo che lo sia effettivamente
rispetto al proprio punto di vista.
Tali misconcezioni sono evitabili in quanto dipendono dalla scelta linguistica dei termini che danno maggiore risalto
alla posizione assunta dall’oggetto del quale si sta parlando,
piuttosto che all’essenza dell’oggetto stesso, valorizzando
così saperi esterni al contesto della matematica che bloccano l’apprendimento concettuale corretto.
Esempi così vincolanti dal punto di vista percettivo, sono
presenti nei libri di ogni livello scolastico. In un famoso testo delle superiori del 2002 edito da una nota casa editrice
di Bologna, vi è scritto: «Il trapezio isoscele è un trapezio
che ha i lati obliqui congruenti». Escludendo così la seguente immagine dai trapezi isosceli.
129
La parola base nello spazio. Molti insegnanti introducono la parola “base” nello spazio, affermando che è la faccia sulla quale “appoggia” il solido. Allo stesso tempo, ai solidi vengono
dati particolari nomi, del tipo: “piramide a base quadrata”,
“prismi a basi triangolari”, etc.
Queste scelte didattiche congiunte possono provocare misconcezioni evitabili, dato che vincolano la posizione che
deve assumere il solido nello spazio. Eppure, ciò che si dovrebbe auspicare in ambito geometrico è che lo studente
riesca ad osservare le proprietà matematiche dell’oggetto,
invarianti rispetto alla posizione assunta: «La geometria non
consiste nel descrivere ciò che si vede ma nello stabilire ciò
che “deve” essere visto» (Brousseau, 2005).
Ne consegue che, nella logica di ciò che gli insegnanti intendono per “base” nello spazio e dei termini che vengono
comunemente utilizzati per parlare dei poliedri, è possibile
giustificare il seguente episodio avvenuto durante una sperimentazione nella scuola media.
In una III media, dopo aver disposto un modello di piramide
quadrangolare con una faccia triangolare appoggiata sulla
cattedra, si è chiesto di quale solido si trattasse.
Una studentessa ha risposto immediatamente: «Non so che
cosa sia, ma se lo rigiri diventa una piramide a base quadrata»
(intendendo: con la faccia quadrata appoggiata sulla cattedra).
In questo caso la proposta della studentessa risulta coerente
con ciò che le è stato insegnato: la base è la faccia sulla quale “appoggia” il poliedro, quel solido si chiama “piramide a
130
base quadrata” solo se “appoggia” sulla faccia quadrata. Eppure in matematica non vi sono piani di “appoggio”, ogni faccia può essere considerata come “base”, indipendentemente
da come è disposta nello spazio. La “base” può essere una
qualsiasi faccia sulla quale si presta l’attenzione, così come,
nel piano, la “base” di un poligono può essere un qualsiasi
lato, comunque disposto rispetto ai margini del foglio o al
punto di vista del lettore.
E così, come conseguenza dell’aver richiesto che la base di
una figura geometrica sia disposta orizzontalmente rispetto al
lettore, l’altezza diventa esclusivamente posizionata in modo
verticale, creando così anche una misconcezione relativa
all’altezza. Quest’ultima misconcezione, specifica del contesto matematico, deriva dal mondo reale, dato che in questo
ambito si parla di solito di altezza come quella distanza che
viene individuata tramite la direzione del filo a piombo: verticale dal punto di vista dal quale tradizionalmente si osserva
il mondo. Come sostiene Hultin (1974): «Quando si tratta di
passare da un semplice riconoscimento percettivo all’analisi
delle proprietà di una figura, la tentazione, per l’insegnante,
di proporre l’esplorazione sistematica e successiva di ogni figura geometrica, è grande. Questo modo di considerare le
cose presenta l’inconveniente di rendere più difficile l’acquisizione di proprietà nel loro significato più generale».
Al contrario di quanto siamo portati a credere, la presenza
dell’oggetto assunto come modello per aiutare la comprensione del concetto può esasperare il riferimento a caratteristiche legate alla percezione che causano deformazione nella
costruzione concettuale.
Sembra di poter affermare che termini “relativi” legati alla
posizione assunta dall’oggetto rispetto all’osservatore, costituiscono la fonte di misconcezioni evitabili che vincolano
l’apprendimento geometrico.
131
I risultati delle prove Invalsi proposte nella scuola media evidenziano le difficoltà che derivano dall’uso vincolante dei termini e dal rappresentare le figure sempre in posizione standard. Alla seguente domanda somministrata nel 2010 risponde
correttamente solo il 68% degli allievi di prima media, nonostante il triangolo corretto fosse quello in posizione canonica.
D.16 Indica quale dei seguenti triangoli corrisponde a questa descrizione
ABC è un triangolo rettangolo con l'angolo retto in A.
Il cateto AB è minore del cateto AC
M è il punto medio dell'ipotenusa
A
A
•M
B
M
•
B
Triangolo 1
C
C
Triangolo 2
C
B
•M
M
B
C
A
•
Triangolo 3
A
Triangolo 4
La stessa percentuale di risposte scorrette rimane anche quando
nelle prove Invalsi di terza media si chiede di disegnare un triangolo rettangolo, “imponendo” una posizione non standard.
132
D.12 Qui sotto vedi una retta r sulla quale sono segnati due punti A e B. Disegna un
triangolo rettangolo ABC in modo tale che il segmento AB sia un cateto. Indica con
una crocetta l'angolo retto del triangolo.
B•
A
•
r
Ovviamente, riteniamo che la geometria debba essere considerata come uno strumento utile per la lettura del mondo che ci
circonda, una modellizzazione dello spazio materiale nel quale siamo immersi, ma sosteniamo che un obiettivo che si deve
raggiungere in ambito geometrico è che lo studente riesca ad
osservare un oggetto matematico nella sua “essenza”, analizzando con elasticità le sue peculiari caratteristiche. Questo è possibile solo se non si assoggetta l’apprendimento a rigidi vincoli
spaziali; in effetti, se ci si abitua ad osservare ed analizzare gli
oggetti, indipendentemente dalla posizione che essi assumono,
si è poi più abili a riconoscere e analizzare la situazione anche
al cambiare della proposta. In definitiva, si diventa più capaci
di modellizzare la realtà e di dominare le situazioni spaziali in
tutta la loro complessità.
2.3.3
Misconcezioni derivanti da “incoerenze”
nei libri di testo
Riportiamo di seguito un esempio di misconcezioni evitabili
che può essere interpretato come conseguenza dell’incoerenza dell’ingegneria didattica.
133
In molti libri di testo viene presentata la definizione di quadrato a partire dal rombo e viene mostrato come la richiesta
che evidenzia la “differenza specifica” tra il “genere prossimo”
rombi ed il “sottogenere” quadrati riguarda solo l’ampiezza
degli angoli (che devono essere tutti congruenti), quindi si sostiene che il quadrato è un particolare tipo di rombo. Nello
stesso testo in seguito si parla delle diagonali del rombo e si
afferma: «Sono una più lunga dell’altra. Quella più lunga è
detta diagonale maggiore che si indica con D, quella più corta diagonale minore che si indica con d». L’incoerenza sorge
fornendo le due contrastanti informazioni: il quadrato è un
caso particolare di rombo − in un rombo le diagonali hanno
sempre lunghezze diverse.
Sempre a proposito del rombo, spesso non si tiene conto
delle conseguenze che si hanno concependo il rombo come
caso particolare di parallelogramma: «un parallelogramma
con i lati della stessa lunghezza»; questo comporta che, per
trovare l’area del rombo, è possibile applicare la formula
dell’area del parallelogramma: lunghezza di un lato per la
relativa altezza, piuttosto che coinvolgerne obbligatoriamente le lunghezze delle diagonali.
Le misconcezioni che spesso manifestano gli allievi possono
quindi derivare dalle scelte didattiche effettuate dall’insegnante che, come abbiamo messo in evidenza in questo capitolo, a volte risultano incoerenti o improprie; per questa ragione è importante che ogni insegnante ripensi criticamente
alla trasposizione didattica da effettuare e all’ingegneria didattica che intende proporre in classe.
2.4 L’“errore”: un termine da reinterpretare
Come abbiamo rilevato nei paragrafi precedenti, l’esplicitazione da parte dell’allievo di una misconcezione avviene con
134
quella segnalazione di un malessere cognitivo che si chiama usualmente e banalmente “errore”: lo studente sbaglia, cioè non
dà la risposta attesa dall’insegnante. Per una trattazione più
approfondita del ruolo dell’errore si veda D’Amore (1999).
Dare agli errori solo connotazioni negative e non interpretarli
come segnali di malessere cognitivo, appunto, è troppo semplicistico e banale: non si tratta solo di valutare negativamente lo
studente che sbaglia; si tratta, invece, di dare gli strumenti necessari per l’elaborazione critica.
Ci serviamo di Fischbein (1985): «Eventuali conflitti tra il livello
intuitivo, il livello algoritmico e il livello formale non possono
essere eliminati ignorando semplicemente il livello intuitivo. A
nostro parere, così come avviene nei processi psicoanalitici, lo
studente deve essere aiutato a prendere coscienza di tali conflitti. Ciò può essere fatto discutendo con gli studenti gli errori
dovuti specificatamente all’intuizione e cercando insieme a
loro l’origine di questi errori. In ogni caso, questo processo di
chiarificazione verbale non è sufficiente. Gli studenti devono
sviluppare la capacità di analizzare le loro risposte, di rendere
esplicite il più possibile le loro supposizioni implicite, di usare
le strategie formali per verificare tali supposizioni intuitive».
Sta al docente, rendersi conto che quelle che lo studente crede
essere concezioni corrette, sono in realtà delle misconcezioni.
Come riportato in D’Amore, Fandiño Pinilla, Marazzani e
Sbaragli (2008, p. 51): «L’errore, dunque, non è necessariamente solo frutto di ignoranza, ma potrebbe invece essere il
risultato di una conoscenza precedente, una conoscenza che
ha avuto successo, che ha prodotto risultati positivi, ma che
non tiene alla prova di fatti più contingenti o più generali».
Dunque, non si tratta sempre di errore di origine sconosciuta, imprevedibile, ma della evidenziazione di difficoltà nel
senso sopra citato. Queste considerazioni hanno portato la
ricerca in didattica della matematica a rivalutare in modo
molto diverso dalla prassi usuale l’errore ed il suo ruolo.
135
A tal proposito Zan (2002) riferendosi alle misconcezioni afferma:
«Gli studi in quest’area sono accomunati dall’enfasi su alcuni
aspetti che li differenzia in modo netto dagli studi precedenti
sull’analisi degli errori (…):
> la motivazione a capire le radici dei misconcetti, e non solo
ad eliminarli
> lo sforzo di assumere il punto di vista di chi apprende, piuttosto che quello dell’esperto
> l’accettazione della ragionevolezza dei misconcetti e quindi la necessità che l’allievo ne percepisca i limiti come prerequisito per modificarli».
A nostro parere l’esplicitazione agli allievi delle possibili misconcezioni e la proposta di attività pensate da questo punto
di vista, permette di prevenire la nascita della loro formazione o il loro superamento; l’insegnante deve cioè svolgere il
ruolo cruciale di organizzatore di situazione adeguate a portarle alla luce. Per fare questo, è possibile trarre suggerimenti
dalla ricerca in didattica della matematica che negli ultimi
trent’anni ne ha evidenziato numerose tipiche. Risulta inoltre importante che l’insegnante strutturi strategie didattiche
di carattere trasversale per la prevenzione e il superamento
delle misconcezioni, principalmente allo scopo di sviluppare
consapevolezza e processi di controllo efficaci negli allievi.
Da questo punto di vista emerge il delicato e difficile ruolo
che svolge quotidianamente l’insegnante in classe e che lo
rende un professionista del processo di insegnamento/apprendimento.
136
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139
3
Capitolo Terzo
La sfida della Didattica:
trasformare le classi in contesti
di apprendimento continuo
3.1 La bussola dal nome Didattica
La Didattica moderna è divenuta una bussola fondamentale
nelle mani degli insegnanti che possono così dirigersi verso
quel cambiamento definito da Morin (2001) come paradigmatico e in grado di formare il cittadino che abita il pianeta del
terzo millennio. Quel cambiamento paradigmatico che porta
il nome di centralità dell’apprendimento e di democrazia, necessario a formare studenti con “teste ben fatte” competenti
innanzi alle sfide della società della conoscenza. Necessario
altresì per costruire atteggiamenti di democrazia cognitiva in
grado di far apprendere lungo tutto il corso della vita. All’insegnante quindi, come già scriveva D’Amore (2005) «viene affidato il compito nuovo di creare le condizioni opportune per
l’apprendimento di tutti e di ciascuno sempre che ciascuno
degli studenti si faccia carico dell’impegno di responsabilità
nella costruzione di tale apprendimento» (p. 73).
Si tratta di un compito particolarmente impegnativo per la
Didattica in quanto deve aiutare l’insegnante a comprendere
come «egli non sia un banale ripetitore di conoscenze, ma
un professionista competente non solo nella disciplina, ma
nell’azione didattica; il suo dovere non è solo di versare liquido in quantità, ma di studiare nel contempo le brocche che
Capitolo 3 La sfida della Didattica
gli si presentano davanti» (D’Amore, 2005, p. 72). È questo
un esempio di cosa significhi centralità dell’apprendimento
piuttosto che centralità della trasmissione dei saperi.
La bussola Didattica indica quindi i percorsi per poter creare le condizioni che permettono di gestire le classi sia con
un forte apparato metodologico basato sulla mediazione, sia
con una chiara e intenzionale prospettiva formativa, in grado, quest’ultima, di guardare alla persona nel suo insieme,
cittadino di oggi e di domani, ed equipaggiarla di un profilo
in grado di gestire la complessità. Per questo, la vita della
classe richiede progettualità piuttosto che casualità. Inoltre,
se pensiamo alla composizione delle classi nelle sue componenti multiculturali, alla necessaria considerazione delle
differenze individuali di apprendimento, allo sviluppo dei
profili basati sulle competenze, comprendiamo ancora di
più come intenzionalità educativa e progettualità siano indispensabili.
Dotarsi della bussola Didattica in grado di orientare verso il
cambiamento di paradigma formativo che abbiamo presentato è giustificato allora per almeno due ragioni: la prima
perché dirige gli insegnanti avvalendosi delle caratteristiche
di una scienza autonoma, la quale, proprio perché scienza,
è dotata di strumenti in grado di indirizzare le azioni accompagnate da una solida interpretazione teorica (Frabboni, 1992, 2007; Gennari, 1996; Laneve, 2003); la seconda ragione poiché la Didattica moderna riconosce i punti
cardinali − definiti da un apparato di ricerca consistente e
proveniente dalla Psicologia e dalla Sociologia, al quale da
anni ricorre − che indicano alcune priorità sulle quali focalizzare le prospettive dell’agire didattico e lo sviluppo di
metodologie coerenti. In merito a quest’ultimo aspetto segnaliamo per esempio la necessità di formare le intelligenze di ciascuno senza escludere nessuno con riferimento alle
teorie delle intelligenze multiple di Gardner (1987; 2007),
141
dell’intelligenza strategica e tripartita di Stenberg (1988) e
dell’intelligenza emotiva e sociale di Goleman (1996; 2006);
di costruire una classe con un clima cooperativo e solidale
attraverso il lavoro di gruppo basato sui problemi significativi e lo sviluppo delle relazioni costruttive in grado di considerare le differenze individuali e creare rete sociale per tutti
(Comoglio, 1996; Dozza, 2006; Ianes, 2011); di considerare
la classe un laboratorio di esperienze per capire in modo
profondo i concetti fondativi delle discipline e di saperli
utilizzare in modi appropriati (Frabboni, 2005; Frabboni,
D’Amore, 2005); di indicare metodologie innovative considerando anche i risultati delle ricerche sugli apprendimenti
(Dumont, Istance, Benavides, 2010). Su questi aspetti ritorneremo subito dopo aver presentato le ragioni che fondano
la Didattica come scienza autonoma.
3.2 I tratti distintivi della Didattica come scienza
autonoma
Abbiamo definito la Didattica come scienza autonoma. Quali sono i presupposti e le conseguenze di tale prospettiva?
Come ampiamente documentato da Frabboni (1992; 2005;
2007; 2011) il Novecento è stato il secolo durante il quale
la Didattica si è legittimata come scienza della formazione
al pari della Sociologia, dell’Antropologia, della Psicologia
e della Pedagogia. Da quest’ultima (Frabboni, 1992, 2007;
Laneve, 2003) ha tagliato quel legame di dipendenza che
la relegava ad occuparsi solamente delle strategie del fareScuola, strappando anche l’etichetta che la legittimava come
“arte” del fare scuola. Un certo tipo di pedagogia, infatti, ritiene che l’insegnante sia un artista dotato di un talento speciale, innato e quindi in grado di agire come sa (Frabboni,
2011). Sciogliere il vincolo che la manteneva in uno stato di
142
a-scientificità ha permesso alla Didattica di liberare le energie necessarie per costruire un proprio apparato teorico e
scientifico, costituendo quindi i presupposti di scienza autonoma. Come tale, ha definito il proprio DNA che la contraddistingue (Frabboni, 1992; 2007):
> nei contenuti dei quali si occupa – l’organizzazione struttu-
>
>
>
>
rale della scuola (con i suoi spazi, tempi, tecnologie, attrezzature) e la sua progettazione curricolare (il Piano dell’Offerta Formativa, le Indicazioni ministeriali);
nei linguaggi che valorizzano tutti i codici di trasmissione
culturale (corpo, suono, immagine, oralità e scrittura, alfabeto iconico ed elettronico);
nella logica formale costruita nel triangolo prassi-teoriaprassi che fa assumere all’azione e all’esperienza − la prassi
− il fondamentale momento di “azione per la riflessione”
che confronta successivamente l’apparato teorico per rinnovare l’azione seguente;
nelle metodologie della ricerca, che si esprimono prevalentemente nella ricerca di tipo sperimentale, nella ricerca-azione e nella ricerca clinica;
nel riconoscimento delle differenze individuali espresse
dal soggetto come esiti delle sua specificità (linguaggi,
creatività, cultura) attribuendo ad esse il medesimo valore culturale, e dei saperi appresi nel corso dell’istruzione
scolastica.
In sintesi, quindi la Didattica come scienza «è interessata a ottimizzare l’organizzazione strutturale (i tempi, gli spazi, gli strumenti, le dinamiche interattive) e curricolare (la conoscenza
degli allievi, la strumentazione educativa e didattica, il Piano
dell’Offerta Formativa, la ricerca, la valutazione) di ogni istituto
scolastico» (Frabboni, 2007, p. 44).
La Didattica si trova quindi nella condizione – attraverso il
lavoro progettuale e intenzionale degli insegnanti – di di-
143
venire relazione e mediazione tra le istanze esterne poste
alla scuola dallo sviluppo culturale, sociale ed economico
e la formazione degli studenti che vengono considerati dei
soggetti attivi e costruttori responsabili delle proprie conoscenze e competenze. Si tratta di considerare la Didattica
con un compito preciso, ovvero quello di progettare delle azioni che possano assicurare allo studente un grado di
coinvolgimento, di partecipazione e di flessibilità negli apprendimenti. Questo implica, come evidenziato da D’Amore (2005) alcune considerazioni: «è chiaro che l’insegnante
si trova implicato in una serie di rapporti di estrema delicatezza. Da un lato deve operare una trasposizione didattica
del Sapere (che sorge dalla ricerca) al sapere insegnato»
(p. 101). Che, come abbiamo visto, dovrebbe essere anche
appreso e quindi necessita di ulteriori attenzioni che, per
Frabboni (2005), richiedono quelle «cifre plurali che vanno
messe in conto ai processi di insegnamento-apprendimento
che si presentano colorati di istruzione, ricerca e creatività»
(p. 18).
Dall’altro lato «l’insegnante deve tener conto del sistema didattico e dell’ambiente sociale e culturale, cioè della noosfera in cui si trova ad agire» (D’Amore, 2005, p. 101). Una
noosfera che è considerata come contesto espressione della
cultura, intreccio di attese, espressione comunicata delle finalità del sistema in cui la scuola affonda le proprie radici.
Ne consegue allora, per gli insegnanti, che «la sfida di oggi
che si trova innanzi alla Didattica è quella di inventare altre
soluzioni, tali da esser realmente in grado di favorire i processi di formazione richiesti dall’opzione apprendimento»
(Guasti, 2002, p. 13).
144
3.3 La bussola Didattica nel contesto classe
incontra le differenze individuali degli studenti
Il tema della noosfera introdotto da D’Amore nella prospettiva culturale che abbiamo presentato, fornisce lo scenario
entro il quale si pone in primo piano la capacità traspositiva degli insegnanti: il contesto. In esso trova compimento la
progettazione intenzionale delle situazioni di apprendimento efficaci, che esalta la crescita culturale degli studenti e degli insegnanti.
Il contesto rappresenta allora l’elemento d’insieme che permette di contenere quei punti cardinali della bussola Didattica che indicano alcune priorità sulle quali focalizzare le
prospettive dell’agire didattico e lo sviluppo di metodologie
coerenti (cfr. par 3.1).
Analizziamo allora, quali caratteristiche esprime il “contesto”
classe.
La classe intesa come grande teatro dell’apprendimento
nel quale si giocano differenti ruoli e scene, dove ognuno è
contemporaneamente attore principale e comparsa, regista
e scenografo, diviene l’espressione che meglio comunica le
credenze, le tradizioni, i linguaggi della scuola. In altre parole il contesto della classe esprime la cultura che vi si respira.
Quanto capita nelle classi è sintomo di quanto, nel tempo, si
è maturata un’idea di scuola e, naturalmente, di Didattica.
Un dato che sottolinea quanto stiamo argomentando è la ricerca Talis-Ocse (2008) la quale indaga le credenze degli insegnati sottese alle loro organizzazioni didattiche. Rilevante è
la conseguenza posta in luce: insegnanti che hanno formato
credenze di un’intelligenza statica oppure di contenuti come
liquidi travasati, utilizzano forme di insegnamento/apprendimento di tipo trasmissivo. Parimenti, insegnanti che hanno
formato credenze di un’intelligenza progressiva e dinamica
145
tendono più facilmente a utilizzare forme attive e problematiche per proporre i contenuti.
Probabilmente, il “contesto di apprendimento” è divenuto
il tema cardine emergente dalle ricerche più recenti sull’apprendimento come conseguenza dei risultati che ne dimostrano l’importanza e l’incidenza sugli studenti. Intesa come
contesto, la classe assume le caratteristiche di un insieme
molto più aggregato e armonico di eventi ed esperienze, rispetto a quei singoli o particolari episodi di apprendimento
che si realizzano in forme isolate (Dumont, Istance, Benavides, 2010). Lo schema riportato sotto, adattato dal Progetto Ile-Oecd (2012), permette di comprendere l’importanza
dell’azione Didattica. Attraverso di essa le attività che generano apprendimento pongono in relazione le risorse, i contenuti, le informazioni relative agli studenti (le informazioni
sulle attività di apprendimento progettate, sui profili degli
studenti, sui prodotti dell’apprendimento) e agli insegnanti (la valutazione, la trasposizione delle informazioni di apprendimento, le conoscenze usabili).
Contenuti
Prodotti
Attività di
apprendimento
/Situazioni
didattiche
Leadership
educativa
Insegnanti
Studenti
Apprendimento
Feedback
dell'apprendimento
Valutazione e monitoraggio
dell'apprendimento:
trasformare le informazioni
sull'apprendimento in
conoscenza utilizzabile
Informazioni sulle attività
di apprendimento, gli
studenti, le evidenze di
apprendimento
146
Pensata come sistema dinamico di interazioni continue, è
nella classe come contesto di apprendimento che quindi
accadono gli eventi, permettendo lo sviluppo intellettuale,
sociale, culturale degli studenti. Con queste premesse possiamo comprendere la definizione che Cole e Griffin (1987)
hanno dato di contesto, inteso «come insieme di trame interdipendenti», che ne esplicitano l’esistere naturale come sistema i cui fattori interni sono: l’organizzazione delle attività
proposte per lo sviluppo del curriculum, l’insieme delle relazioni attivate nella classe e nell’intera scuola, le conoscenze
coinvolte nella realizzazione di compiti cognitivi complessi e
impiegate continuamente in azioni competenti, la qualità e
la quantità del tempo dedicato a queste ultime.
In questo modo la gestione della classe considera fondamentale lo sviluppo di relazioni sociali al suo interno. Osservare
la classe attraverso questa lente che possiamo definire “contestualista” (Bruner, 1997) significa analizzare, considerare,
comprendere, in forma congiunta piuttosto che disgiunta,
alcuni elementi tra loro interdipendenti: gli allievi, gli strumenti, le relazioni sociali, il clima, i valori condivisi e impliciti, le pratiche utilizzate, le visioni complessive. Gli eventi che
caratterizzano la vita della classe divengono quindi osservabili e valutabili nell’insieme delle interazioni, facendo in modo
che la classe venga considerata un sistema sociale (Ligorio,
Pontecorvo, 2010).
L’apprendimento avviene come un processo comune e condiviso e l’indicazione di Vygotskij (1966) illumina la direzione che dovrebbe assumere la gestione della classe. In essa gli
allievi vivono e maturano esperienze in grado di sviluppare
progressivamente le loro competenze e di educare e dirigere
le loro intelligenze. Una vita della classe che esprime anche
la necessità di definire in modo co-costruito le leggi che ne
regolano l’organizzazione e la vita al suo interno.
147
L’apprendimento dunque si attua essenzialmente in interazione con e, soprattutto, attraverso la partecipazione a un
dato contesto sociale e culturale, che pone in essere delle
richieste, le quali direzionano qualità e quantità dell’apprendimento. Gli allievi divengono, nel sistema classe, attivi costruttori ed interpreti di informazioni, con una storia
passata e degli insiemi presenti di scopi, aspettative, desideri,
obiettivi. In questa prospettiva, l’attenzione si focalizza sulla
persona che agisce in differenti spazi, sull’interazione organismo-ambiente e si ritiene che comportamento, emozioni
e pensiero assumano forme e significato in relazione e per
mezzo degli ambienti fisici, che in gran parte si definiscono
attraverso la partecipazione diretta alle situazioni di vita della
classe. Questo aspetto genera una ulteriore caratteristica utile a favorire il processo di apprendimento: il coinvolgimento.
Deborah Stipeck (2004) evidenzia come sia l’apprendimento
che il successo formativo di ognuno, necessitano di un coinvolgimento attivo in tutti i processi di vita della classe. Gli allievi persistono nel loro coinvolgimento – non si demotivano
e non disinvestono nella scuola – quando le proposte degli
insegnanti sono varie e stimolanti, quando è richiesto loro di
essere partecipanti attivi nel processo di ricerca e di scoperta,
quando i docenti strutturano attività che richiedono l’uso di
strumenti e risorse per padroneggiare i contenuti e realizzare
compiti e prodotti complessi.
Le ricerche più recenti mostrano che l’apprendimento efficace non è un’attività puramente solitaria, ma un’azione
distribuita: la costruzione individuale della conoscenza avviene attraverso processi di interazione, negoziazione e cooperazione con altri (DeCorte 2010; Benavides et al., 2010).
L’apprendimento è quindi un fatto sociale poiché avviene in
un contesto di relazione con altri e con la cultura da questi
rappresentata. È uno dei presupposti dell’apprendimento
del costruttivismo socio-culturale.
148
Il contesto così rappresentato permette quindi di considerare e organizzare le attività in modo tale da permettere l’incontro con le differenze individuali.
Infatti, come oramai consolidato dalla ricerca, gli individui
differiscono per una serie di motivi: per gli atteggiamenti e le
preferenze per l’elaborazione delle informazioni, per la costruzione del significato e la sua applicazione a nuove situazioni; per le loro abilità ad eseguire compiti o raggiungere
risultati diversi; per l’uso differente di competenze, atteggiamenti e preferenze nell’affrontare compiti di diversa natura.
Vi è inoltre l’altro aspetto della piena partecipazione alla vita
della classe degli studenti diversamente abili: una ulteriore
specificità delle differenze individuali. L’insieme di queste
differenze influenzano gli studenti nel raggiungere i risultati
di apprendimento. Occorre allora considerarle nella progettazione didattica del contesto.
Un contesto attento e sensibile alle differenze individuali corrisponde appunto alla noosfera, come espresso da D’Amore,
ed esplicita la prospettiva di Bruner (1997) per il quale «la
scuola è essa stessa cultura e non solo una preparazione per
la cultura, un riscaldamento. Quindi la scuola metacomunica
gli atteggiamenti e le credenze che sostengono poi le azioni, evidenziando in quali forme e profondità esprime la sua
cultura intesa come un modo di venire a capo dei problemi
umani, delle transazioni umane di ogni tipo» (p. 111).
In sintesi la scuola esprime la sua qualità anche attraverso la
qualità della Didattica, che diviene espressione di una cultura profonda dell’essere scuola che progetta. Ancora, la qualità della scuola è espressione della misura attraverso la quale
sono riconosciute le caratteristiche individuali degli studenti
e le loro modalità di apprendimento, a partire dalle quali
si organizzano azioni didattiche anche differenziate per permettere ad ogni studente di apprendere. Il contesto è quindi
anche comunicazione.
149
3.4 La Didattica: comunicazione nel contesto
Come abbiamo visto nel paragrafo precedente, le modalità
attraverso le quali si organizza e si gestisce la classe divengono espressione delle credenze degli insegnanti circa l’apprendimento. Esse esprimono però anche le forme attraverso le quali si manifesta il processo di comunicazione.
Considerando il termine latino communicare da cui deriva il
significato di “comunicare” porta con sé l’aspetto del “rendere
comune” qualcosa ad altri, “condividere” un senso, “partecipare”
insieme alla stessa realtà di senso. In questa prospettiva la
“comunicazione” coinvolge la vita della classe sotto diversi
aspetti: nel suo essere, nel suo sentirsi spazio sociale per chi vi
abita e per chi ne è in relazione; nel ripensare le pratiche comunicative poste in essere al fine di costruire relazioni positive e di fiducia; nell’organizzare nuove forme di mediazione
comunicativa.
Dewey (1992) aveva anticipato la valenza della comunicazione sottolineando che «non solo la vita sociale si identifica
con la comunicazione stessa, ma ogni comunicazione è educativa. Ricevere una comunicazione significa avere un’esperienza allargata e diversa. Si partecipa di quel che un altro ha
pensato e sentito, e nemmeno colui che comunica ne rimane
inalterato» (pp. 47-48).
Quando la comunicazione va oltre gli individui, prolungando i suoi effetti sulla valenza educativa negli spazi sociali, diviene linguaggio comune, direzione pedagogica.
Sia l’organizzazione della classe che le modalità di interazione permesse/sostenute al suo interno sono comunicazione
e divengono orientamento per “il respirare e l’agire” democratico degli studenti, poiché «l’intera società continua a esistere non solo per mezzo della trasmissione, per mezzo della
comunicazione, ma si può dire che esiste nella trasmissione e
nella comunicazione.
150
Gli uomini vivono in comunità in virtù delle cose che possiedono in comune» (Dewey, 1992, p. 46).
Il principio di comunicazione come aspetto vitale della relazione diviene contemporaneamente processo di mediazione.
Attraverso la comunicazione che avviene con la disposizione
degli spazi, attraverso le modalità agite nella comunicazione
di idee e informazioni, la didattica è mediazione.
La Didattica utilizza quindi linguaggi molteplici affinché la
comunicazione sia la più diffusa, efficace e formativa possibile. Ovvero, come scienza autonoma la Didattica «dà luce
all’intero spettro dei canali di comunicazione culturale, evitando gerarchizzazioni e discriminazioni. Il campo sistemico
dei linguaggi trova nell’ambiente (scolastico ed extrascolastico) il suo prediletto mediatore culturale. Questo perché
l’ambiente è insieme contenuto e messaggio, oggetto culturale e codice di comunicazione» (Frabboni, 2007, p. 48).
La comunicazione connota, colora, insaporisce l’interazione
e la relazione, permettendo processi di accoglienza, inclusione, differenziazione. Così come, nel polo negativo, genera
esclusione e negazione. Per esempio gestire la comunicazione come risorsa didattica e prospettiva pedagogica nel contesto della classe significa «organizzare la circolarità ascolto/
parola/ascolto. Freinet compie una critica-pratica del monopolio della parola da parte dell’adulto. Sposta il centro
dell’attenzione sulle esperienze significative che gli allievi
possono condividere, dove l’insegnante svolge la funzione
di testimone capace di stare in ascolto attivo permettendo
ai singoli e al gruppo di ri-vedersi e di ri-ascoltarsi» (Dozza,
2010, p. 37).
La comunicazione – nelle sue estensioni descritte – sostiene
alcuni valori chiave della democrazia – come per esempio la
cooperazione, il mutuo rispetto, l’interdipendenza e l’autonomia – che divengono reali e carichi di significato sia per
gli studenti che per gli insegnanti. Sviluppare una Didattica
151
capace di riconoscere e organizzare una buona comunicazione coinvolge alcuni fattori come: a) il clima e la cultura
della scuola; b) i modi con i quali l’apprendimento e l’insegnamento sono organizzati; c) la natura delle interazioni,
attraverso e tra tutti i membri della comunità scolastica. La
scuola, infatti, come comunità ha bisogno di sviluppare un
clima e una cultura democratica consistente, con ideali di
cooperazione e comprensione, basati sul valore della parola
e degli scambi democratici.
3.5 La Didattica si esprime al meglio nel contestoclasse come laboratorio
Nel contesto e attraverso la comunicazione la Didattica
esprime quindi l’idea di dirigere l’organizzazione di una
classe e di una scuola come laboratorio (Frabboni, 1992,
2007), il quale è “luogo” determinato dallo spazio fisico e
ambientale, dagli strumenti in esso contenuti, ed è quindi
anche contesto, inteso come spazio cognitivo ed emotivo,
dove le interazioni con gli altri e con le strumentalità determinano la qualità delle relazioni e le prospettive di crescita
intellettiva. Il laboratorio riflette molteplici facce: è naturalmente orientato alla ricerca operando sintesi continue tra
aspetti pratici e teorici avviando quelle circolarità che sviluppano riflessione e apprendimento. È riflessivo sulle esperienze – cognitive, emotive, di apprendimento – che danno
forma e connotano il “luogo” che porta all’elaborazione di
modelli per l’apprendimento (metodi di studio e di relazione)
che si caratterizzano per l’interdisciplinarietà amplificando e
aumentando la conoscenza delle “formae mentis” culturalmente educate. Il laboratorio è lo spazio della memoria, che si
evolve continuamente, attraverso le esperienze, costruendo
nel tempo la propria identità, recuperando, rinnovando e
152
inventando nuovi saperi e nuovi modi di applicare le conoscenze. Diviene luogo di progettualità e di creatività, poichè la
ricerca stessa modifica i saperi e le prassi.
Potremmo affermare che il laboratorio diviene il luogo “del
cambiamento”, poichè attivamente lo produce attraverso le
interazioni continue e intersoggettive, i problemi da risolvere, le pratiche riflessive. Progettare non solo contenuti,
quindi, ma processi di apprendimento, compiti, prodotti che
costituiscono le pratiche con le quali misurarsi e misurare
padronanze e sviluppi di atteggiamenti intelligenti.
Un laboratorio, luogo della sperimentalità, dunque, anche di
un “fare scuola” accompagnato da un “essere” in apprendimento, in continua ricerca e confronto. In esso è possibile
sperimentare anche modi di essere, di condurre, di relazionarsi che divengono motore di successive applicazioni in ambienti differenti. In questo modo il laboratorio si configura
come “palestra” tra pari che sostengono, aiutano, suggeriscono, per realizzare apprendimento.
Il laboratorio come “luogo” è quindi anche “spazio” che interpreta un’idea di scuola, divenendone metafora: un essere
in ricerca, elevando la cultura della scuola, armonicamente
intrecciata con i tratti delle conoscenze e delle pratiche.
È nella natura del laboratorio generare richieste di approfondimento e di formazione, in quanto i problemi posti in essere
richiedono quote conoscitive, esperienziali, progettuali che
non sono già compiute. Nel laboratorio si generano istanze
alle quali occorre rispondere in modo specifico costruendo
una comunità che riflette, che si forma in modo continuo
intorno alle soluzioni di problemi.
Dopo la tridimensionalità espressa dal contesto-comunicazione-laboratorio che forma la struttura della bussola Didattica,
possiamo affrontare i punti cardinali verso i quali guidare i
percorsi di insegnanti e studenti.
153
3.6 La Didattica e le competenze: punto cardinale
Nord
Il primo punto cardinale per orientarsi con la bussola Didattica è il tema delle competenze. Oggi è un punto di riferimento proprio come il Nord nella bussola. La bussola Didattica orienta e traspone nelle classi le modalità per formare
nuovi profili per gli studenti del XXI secolo. Gli studenti
possono quindi contare su esperienze di apprendimento in
classe che sviluppano un insieme di competenze – come per
esempio la creatività e l’innovazione, il problem solving e
l’apprendere ad apprendere – attraverso le quali sviluppare
contenuti disciplinari fondamentali. Questo tema è un ulteriore aspetto che conferma la necessità di uno spostamento
del paradigma dalla trasmissione alla co-costruzione delle
conoscenze. Questo cambiamento nella domanda di competenze ha una conseguente implicazione nelle stesse competenze degli insegnanti che dovrebbero quindi utilizzare
modalità di insegnamento coerenti e innovative (Schleicher,
2012). Infatti formare alle competenze richiede – in un contesto come definito precedentemente – una Didattica che
sappia sollecitare e fare esperienza di concetti e conoscenze
efficaci per un apprendimento profondo. In tal senso definire dei saperi di qualità e la qualità dei saperi è fondamentale.
Lo sviluppo delle competenze per il XXI secolo dovrebbe essere quindi interpretato come un’opportunità per tutti di affrontare il cambiamento e acquisire potere di trasformare le
situazioni di vita. Se consideriamo infatti le azioni di “operare
per”, di “poter fare”, di “essere in grado di”, il tema delle competenze assume un ulteriore interesse poiché correlato alla
definizione degli strumenti cognitivi e culturali che gli studenti costruiscono e possiedono. Attraverso questi strumenti
gli studenti possono operare per apprendere continuamente
154
nel corso della vita (lifelong learning) e direzionare la propria esperienza (self-direction).
Se consideriamo una definizione di sintesi, tra le più condivise, del concetto di competenza, ovvero la capacità di mobilitare in modo integrato le risorse interne – cognitive, emotive,
relazionali, motivazionali – ed esterne – soggetti, strumenti, linguaggi, ambienti – per far fronte in modo efficace e
continuo alle richieste spesso inedite del contesto in cui si è
impegnati (Perrenoud, 2000; Pellerey, 2004), si comprende
come il concetto di competenza così inteso possa rappresentare una prospettiva educativa di indubbio interesse. Da una
parte, infatti, si riscontra la possibilità di far assumere consapevolezza e “potere di” agli alunni (empowerment) nel corso
delle proposte formative; dall’altra di rappresentare un riferimento per la costruzione del profilo personale attraverso il
curricolo nel corso degli anni dell’istruzione.
In sintesi, vi sono, da più parti e da tempo, convergenze significative circa il profilo definito da competenze in grado di
capacitare al buon funzionamento individuale e sociale.
Le risposte alla vita liquida, alla complessità e al rischio, perseguendo modelli alternativi di sviluppo sostenibile e coesione, possono essere fornite da soggetti che hanno formato un
profilo per il XXI secolo e che sono in grado di integrare le
competenze di pensiero superiore (Dumont, Istance, Benavides, 2010). Questo significa che attraverso la trasposizione
didattica e le situazioni di apprendimento, a tutti gli studenti
è permesso di apprendere per generare, processare e gestire
informazioni complesse, pensare sistematicamente e criticamente, prendere decisioni ponderando diverse forme di risultati, rispondere a domande significative poste su differenti
aspetti, essere adattabili e flessibili all’integrazione di nuove
informazioni, essere creativi e capaci di identificare e risolvere problemi di vita reale. Si rende indispensabile favorire la
capacità naturale della mente di porre e risolvere problemi
155
essenziali ed altresì necessario operare per stimolare il pieno
uso delle intelligenze (Morin, 2001).
3.7 La Didattica e le intelligenze: punto cardinale Est
Il secondo punto cardinale riguarda il tema dell’intelligenza
e del possibile significato da attribuire all’intelligenza come
competenza. Il sole sorge a Est e le intelligenze non aspettano tempo per svilupparsi. Sorgono veloci ed è quindi importante curare la loro formazione il più presto possibile.
Gardner, nel suo Formae Mentis (1983), argomenta che «una
competenza deve implicare un insieme di abilità di soluzioni
dei problemi che rendono ciascun individuo capace di risolvere problemi o difficoltà che incontra e, quando le condizioni lo permettono, di creare prodotti validi, e che lo rendono capace di scoprire o creare problemi, a partire dai quali
acquisire nuove conoscenze. Questi prerequisiti riflettono il
tentativo di comprendere gli sforzi e le imprese intellettuali
degli individui i cui esiti finali assumono una certa importanza all’interno di un contesto culturale».
Così esteso, il principio di intelligenze multiple – le nove intelligenze per Gardner – permette di considerare che esse
possono formarsi attraverso un insieme di esperienze di apprendimento, all’interno di un dato contesto culturale. La
classe, la scuola, i laboratori sono contesti culturali che esprimono, attraverso le discipline, le forme di educazione delle
intelligenze. Per esempio, le arti – la musica, la pittura, la
scultura – rappresentano la cultura all’interno della quale si
formano le intelligenze particolari; spesso è la specifica cultura stessa un alimento del pensiero, fin dalla tenerissima
età. Gardner così spiega la formazione di particolari talenti
riconosciuti unanimemente come formae mentis esemplari. In
ogni soggetto vi è potenzialmente un’orchestrazione di dif-
156
ferenti intelligenze, se esse vengono opportunamente sollecitate e formate, attraverso esperienze pratiche, riflessive e
interiorizzanti dei processi di apprendimento.
In tal modo, possiamo altresì considerare le competenze
come comportamenti intelligenti, agiti nelle situazioni che
ne richiedono una loro mobilitazione pertinente. Gardner
(1999) infatti afferma che «non è possibile che le società trascurino porzioni consistenti della popolazione. Per restare
competitive in un mondo in rapido cambiamento, le società
dovranno fornire un’educazione di qualità a tutti i loro cittadini» (p. 13). Il profilo dello studente del XXI secolo dovrebbe quindi costruirsi considerando la necessità di sviluppare le
competenze, sia come comportamenti intelligenti in contesti
differenti, sia come espressione e sostegno dei talenti.
Questa prospettiva potrebbe permettere ad uno studente di
essere formato all’uso di strumenti culturali, coerenti con il
compito di affrontare e gestire le opportunità individuali, in
un quadro di coesione sociale piuttosto che di conflittualità e
distruttiva competizione. La formazione del talento e delle intelligenze ha infatti bisogno di tempo – anche non immediatamente produttivo – e di esperienza che deriva dall’affrontare
direttamente la soluzione di problemi. In modo particolare fornendo tutte le potenzialità di cui i soggetti hanno bisogno per
apprendere ad organizzare la conoscenza e formarsi quindi
una matrice intellettuale, in grado di codificare le informazioni efficacemente (Morin, 2001). Un secondo aspetto permette
di sostenere che l’educazione non può che essere delle intelligenze e alle intelligenze, in una prospettiva plurale e integrata,
sostenendo il principio che esse non sono innate e determinate
ma progressive e incrementali.
La Didattica aiuta gli studenti a sviluppare strumenti intellettuali e strategie di apprendimento, necessari per acquisire la
conoscenza che permetta loro di pensare produttivamente,
nelle specifiche aree disciplinari. Questo significa che la co-
157
noscenza include anche la capacità di formulare e investigare, con domande appropriate, differenti aree di argomenti.
Attraverso questi apprendimenti, che possiamo definire strategici, gli studenti divengono capaci di auto-sostenersi e di
apprendere lungo l’arco della vita (Bransford et al., 2000).
È quindi a partire dalla necessità di aggiornare il profilo di
allievi e studenti, per renderlo in grado di rispondere alle
mutate condizioni di contesto già presentate, che si sono delineati curricoli come insieme di competenze per il XXI secolo ai quali le scuole possono fare riferimento per direzionare
le proprie scelte.
Come già considerato, l’organizzazione Didattica assume un
ruolo primario nello sviluppo di contesti adeguati per formare competenze, poterle esprimere e osservarle nell’azione. Una particolare forma che permette di esprimere questo punto di vista è offerta dal prodotto che agli allievi viene
chiesto di realizzare per dimostrare le loro competenze. I
prodotti rappresentano uno strumento in grado di definire
dei livelli di padronanza degli studenti, indicando il grado di
qualità e di finitezza con il quale la competenza trova compimento nelle azioni (processi cognitivi, sequenze, processi
metacognitivi) e nei prodotti realizzati.
I prodotti possono essere relativamente semplici – la costruzione di una mappa concettuale sull’argomento studiato,
oppure la soluzione di un problema con l’applicazione dei
concetti appena appresi – o complessi – stesura di ricerche,
di protocolli di sperimentazioni, di progettazioni multimediali, di stesura di articoli per riviste scientifiche o letterarie,
di progettazione di indagini sociali, di organizzazione di seminari i cui esperti sono gli studenti.
I compiti autentici e complessi assumono la caratteristica di
motivare gli studenti a sentirsi parte di una classe organizzata come comunità di apprendimento. Questo significa che
158
alcuni compiti autentici possono essere sviluppati in gruppo
oppure sono singole parti di un progetto più ampio di classe.
Brophy (2003) a tal proposito suggerisce, per quanto possibile, di far apprendere gli studenti attraverso l’impegno in
attività autentiche. Queste ultime richiedono che si utilizzi
quanto si è appreso al fine di realizzare numerosi tipi di applicazioni nella vita reale.
L’efficacia dei compiti complessi e delle attività attorno ad
essi correlate, consiste nel loro potenziale di coinvolgimento
cognitivo, ovvero nel grado in cui inducono gli studenti a
riflettere attivamente sui contenuti, ad applicare le idee chiave, ad essere consapevoli dei loro obiettivi di apprendimento
e a controllare le proprie strategie di apprendimento.
Una Didattica basata sulle competenze permette agli studenti, attraverso il confronto con prodotti complessi in un contesto
autentico, da una parte di renderli motivati allo studio, dall’altra di acquisire quelle formae mentis – analisi, sintesi, problem solving, presa di decisone, applicazione di conoscenze
– che contraddistinguono il pensare degli esperti.
3.8 La didattica cooperativa per lo sviluppo delle
competenze: punto cardinale Sud
Un terzo punto cardinale conduce alla Didattica cooperativa. Un punto a sud, verso il “caldo” delle relazioni, della
conoscenza co-costruita, del lavoro insieme. Come abbiamo
già sostenuto, è necessario che i contesti di apprendimento
permettano agli studenti di essere attivamente coinvolti in
compiti di apprendimento, insieme agli altri e in costante
interazione, per esercitare e formare, nel contesto, le loro
competenze (Slavin, 2010).
Nel paragrafo precedente abbiamo inoltre presentato come
la ricerca educativa evidenzi che gli studenti apprendono
159
in modo più profondo e lavorano meglio, sui compiti assegnati loro dagli insegnanti, se hanno l’opportunità di impegnarsi in attività che richiedono di utilizzare la conoscenza
studiata per risolvere i problemi connessi a situazioni del
mondo reale, in un contesto di tipo cooperativo.
I risultati positivi dell’apprendimento avvengono inoltre
quando gli studenti, durante le attività in classe, partecipano
a lezioni che richiedono di costruire e organizzare la conoscenza considerando continuamente delle alternative; quando gli studenti vengono coinvolti in ricerche dettagliate ed
approfondite, nell’analisi e nella scrittura di report; quando
viene chiesto loro di comunicare efficacemente i risultati
ottenuti ad altri – i compagni di classe, quelli di altre classi
oppure a esperti esterni – che possono valutare i loro lavori.
Occorre allora esplorare come possibilità, sperimentare o
consolidare come pratica, forme di organizzazione e di gestione delle classi in grado di sostenere gli insegnanti nella
loro azione più avanzata che permetta di ridurre il gap ricerca-applicazione.
L’apprendimento cooperativo – o cooperative learning – potrebbe essere una tra le più significative metodologie da utilizzare in tal senso: essa offre infatti architetture per attivare
classi socialmente coese e stimolanti o contesti coinvolgenti,
aiutando gli studenti a padroneggiare le competenze necessarie. Attraverso l’apprendimento cooperativo gli insegnanti
possono progettare contesti per l’apprendimento che stimolano il raggiungimento della conoscenza profonda, così
come una maggiore creatività e interattività mediante il lavoro con gli altri, nella risoluzione di problemi e nella realizzazione di applicazioni innovative delle conoscenze.
Il cooperative learning rappresenta un metodo che, da una
parte, è tra i più indagati per gli effetti prodotti sull’apprendimento, dall’altra – vantando oramai parecchi anni
di riflessione, modellizzazione e innovazione – è fondato
160
sull’intenzionalità pedagogica di formazione e sviluppo delle
competenze chiave e di capacità personali, in una prospettiva di pluralità delle intelligenze e nell’ottica della classe – e
della scuola – come comunità di ricerca e di apprendimento.
Analizzando i risultati e le prospettive più attuali dell’indagine scientifica è coerente considerare il lavoro cooperativo
come utile allo sviluppo di un pensiero superiore e critico,
di intelligenze plurali, di competenze sociali negli studenti
(Slavin, 2010).
Il termine cooperative learning viene usato per identificare
due dimensioni: una pedagogica, che indaga la prospettiva
cooperativa, solidale, di formazione alle competenze e alla
cittadinanza e che considera la prospettiva del riconoscimento delle differenze individuali, e un’altra didattica che considera il cooperative learning come un insieme di metodologie
che prevedono la cooperazione e una pluralità di proposte,
costruite attorno al lavoro di gruppi organizzati. Con l’uso
di queste metodologie normalmente gli studenti lavorano
insieme in gruppi di dimensioni sufficientemente piccoli ed
eterogenei in modo tale che ognuno possa partecipare attivamente allo svolgimento di compiti che sono stati assegnati
dall’insegnante (Cohen, 2004).
Il lavoro in gruppo del cooperative learning consiste nel lavorare insieme per realizzare obiettivi condivisi, all’interno
di situazioni cooperative, dove ogni membro del gruppo cerca di ottenere risultati per se stesso e per gli altri (Johnson,
1994). Nell’apprendimento cooperativo, quindi, si attribuisce una funzione educativa ed intenzionale ai piccoli gruppi,
attraverso i quali gli studenti lavorano insieme e apprendono come portare al massimo livello il proprio apprendimento e quello degli altri. Le modalità attraverso le quali il contesto di piccolo gruppo e di classe viene organizzato,
permettono di impiegare le risorse del gruppo stesso per
rafforzare atteggiamenti di cooperazione, di interazione e di
161
equità di status tra gli studenti nelle classi multiculturali (differenze di genere, di provenienza geografica, di culture, di
competenze).
Emerge nella definizione di Johnson l’importanza del contesto di apprendimento come motore per sviluppare alcune caratteristiche quali la collaborazione e l’intenzionalità
educativa. Appare di interesse quindi la considerazione di
Comoglio (1996) secondo cui l’apprendimento cooperativo è un modo di “fare scuola” che, pur essendosi originato
all’interno di uno specifico ambito di ricerca come la psicologia sociale, integra, in una sintesi quasi “naturale”, alcune
prospettive che sono al centro della riflessione educativa più
avanzata come le comunità di apprendimento in un contesto
di cognizione situata. Considerato secondo tale ottica, il cooperative learning si offre come un approccio duttile, ricco
di risorse e potenzialità, in grado di fornire risposte originali,
efficaci e attuali alle problematiche complesse che investono
il mondo della scuola. Non solo, ma assume anche la prospettiva – tutta pedagogica – di direzionare la formazione del
profilo attraverso l’immersione continua nelle esperienze di
apprendimento sociale. Esperienze di apprendimento che
imitano o simulano quanto accade nella vita reale, che prevedano problemi da risolvere attraverso i gruppi di lavoro,
che contemplino sia attività individuali che responsabilità di
gruppo.
Il cooperative learning, permette agli studenti di acquisire
sia le conoscenze indispensabili delle discipline sia le competenze sociali derivanti dal lavoro continuo con gli altri. Gli
studenti apprendono perché esercitano la propria responsabilità personale ma anche perché imitano gli altri e apprendono dai pari.
La classe cooperativa va considerata e organizzata come
un insieme di piccoli gruppi di alunni, relativamente permanenti e la cui composizione è di tipo eterogeneo. I
162
gruppi sono formati per portare a termine un’attività e
produrre una serie di progetti o prodotti. All’interno del
piccolo gruppo ai membri viene richiesta una responsabilità individuale nell’acquisizione delle competenze utili al
raggiungimento degli scopi individuali e di gruppo (Vermette, 1998).
Così interpretato il cooperative learning trasforma la classe
da un insieme di individui in una rete di gruppi che, in virtù
del particolare clima che si genera, modificano la struttura
sociale della classe. Quest’ultima diviene un sistema inclusivo
di tutte le parti in interazione, piuttosto che una serie di interpreti individuali focalizzati per un lungo periodo di tempo
sulla propria esclusiva performance. Questo micro-sistema è
radicato in un sistema più ampio (la scuola) le cui parti che
lo compongono (insegnanti e dirigenti) devono interagire
in modi che facilitano e sostengono le interazioni necessarie
alle classi cooperative (Shlomo Sharan, 1994).
Questo “nuovo paradigma dell’insegnamento” si fonda su alcuni principi:
> la conoscenza è costruita, scoperta, trasformata ed estesa
>
>
>
>
>
dagli studenti;
gli studenti costruiscono attivamente la loro conoscenza;
l’apprendimento è un’impresa sociale, nella quale gli studenti hanno bisogno di interagire con l’insegnante e con i
compagni di classe;
gli sforzi della scuola vanno indirizzati allo sviluppo delle
competenze e dei talenti degli studenti;
è necessario che l’apprendimento avvenga all’interno di
un contesto cooperativo;
l’insegnamento è assunto come una complessa azione di
connessione tra teoria e ricerca, che richiede continui affinamenti e innovazioni.
163
Alcuni effetti e prospettive pedagogiche connesse alla didattica cooperativa riguardano:
> la costruzione di un contesto classe accogliente per tutti
>
>
>
>
dove ognuno trova il suo posto per un adeguato apprendimento e sviluppo di competenze riconoscendo le differenze individuali;
il riconoscimento di ogni differenza individuale, che permette di considerare ognuno come parte della classe;
la costituzione di un sistema di tutoraggio tra pari dove i
compagni di classe sono la principale risorsa su cui contare
per apprendere, in modo particolare per le diverse abilità;
lo sviluppo di un sistema solidale, nel quale si inizia a praticare il rispetto di ogni altro e di ogni idea, in un prospettiva
democratica;
la possibilità di operare come cittadini attivi nella classe –
contesto sociale.
3.9 La didattica basata sui problemi (Problem
Based Learning): punto cardinale Ovest
L’apprendimento basato sui problemi rappresenta il nostro
ovest della bussola Didattica moderna. Il punto che solitamente rappresenta la metafora verso cui andare, l’innovazione. Il Problem Based Learning costituisce, infatti, una modalità attraverso la quale tutti gli studenti assumono un ruolo
attivo e responsabile nella costruzione della loro conoscenza, sviluppando competenze e processi di pensiero più raffinati. Il lavoro di gruppo rappresenta la modalità attraverso
la quale viene proposto agli studenti di affrontare una situazione molto vicina alla realtà, sollecitandoli a sviluppare un
164
insieme di competenze utili per la vita e per l’apprendimento continuo.
In particolare affrontare lo studio tramite la soluzione di
problemi presenta alcune evidenze molto interessanti circa
la formazione del profilo delle competenze per il XXI secolo. Per esempio questo approccio stimola l’uso di forme flessibili di risoluzione dei problemi, sollecita ad utilizzare le
conoscenze in modo più efficace e sviluppa la capacità di
generare ipotesi (Dochy, Segers, Van den Bossche, Gijbels,
2003). Inoltre è stato dimostrato che la richiesta di presentare le proprie ipotesi e soluzioni, induce gli studenti ad essere
più accurati e coerenti nelle spiegazioni ed a sostenere le
proprie affermazioni con argomentazioni adeguatamente
motivate (Hmelo, 1998; Schmidt et al, 2006; Stepien et al.,
1993).
Le fasi normalmente coinvolte nell’organizzazione delle attività basate sui problemi rappresentano un modello ben strutturato di sequenze (Jonassen, Hung 2008; Larmer e Mergendoller, 2010):
1) l’attività inizia con la presentazione del problema e delle
domanda d’indagine; in questa fase l’insegnante introduce il lavoro di ricerca, utilizzando diversi strumenti e linguaggi, e avviando forme di discussione e di dialogo per
scegliere piste di ricerca sulle quali i gruppi lavoreranno.
2) Una volta focalizzate le domande guida per la ricerca prende avvio il lavoro in gruppo cooperativo per ragionare attorno al problema. In questa fase gli studenti cercano di definire il problema e i confini nel quale collocarlo, identificando
le conoscenze utili che già possiedono, formulando ipotesi
e congetture, progettando lo sviluppo del sapere necessario
per affrontare il problema, individuando quali attività saranno richieste e come le potranno realizzare. Nel gruppo cooperativo gli studenti si distribuiscono le parti da studiare e
165
3)
4)
5)
6)
7)
approfondire e definiscono i tempi necessari per svolgere le
attività individuali e di gruppo.
A questo punto può collocarsi la fase dello studio individuale, durante il quale gli studenti completano le parti scelte e assegnate per indagare il problema studiando
fonti e documenti, raccogliendo elementi di nuove conoscenze connesse al problema e predisponendo dei report
per il gruppo.
Completata la fase di lavoro individuale si passa alla presentazione e alla discussione in gruppo, nella quale gli
studenti condividono con gli altri membri del gruppo le
loro scoperte, rivedono il problema alla luce di quanto
esplorato, generano ulteriori ipotesi e/o rivedono quelle
iniziali, alla luce delle nuove informazioni.
Il gruppo è pronto a questo punto per la definizione
dell’ipotesi finale, che integra gli studi svolti e la loro rifinitura e che verrà formalizzata attraverso la stesura del
report e del prodotto conclusivo.
Ogni gruppo procede quindi alla presentazione dei risultati alla comunità, rappresentata dai compagni, dagli
insegnanti, dagli esperti, alcune volte anche dai genitori,
che forniscono feedback finali. Nella presentazione sono
incluse l’esposizione delle modalità con le quali il gruppo
ha lavorato, l’esplicitazione delle competenze raggiunte e
delle nuove conoscenze acquisite.
Oltre alla presentazione è prevista la revisione all’interno
del gruppo di lavoro, con la quale gli studenti analizzano i loro processi di lavoro, rivedono quanto realizzato,
definiscono come progredire realizzando piani di lavoro
personali e di gruppo per le future attività. In questa fase
vengono utilizzati gli strumenti della valutazione formativa o continua (Ellerani et al., 2007).
166
3.10 La formazione delle “abitudini della mente”:
punto cardinale Nord-Est
L’intersezione tra le competenze e lo sviluppo delle intelligenze genera un percorso dalle caratteristiche particolarmente significative. Arthur Costa (2008) ha indagato infatti
le modalità di formazione di abitudini mentali connesse ai cosiddetti comportamenti intelligenti. Numerose e significative
ricerche indicano che esistono alcune caratteristiche identificative dei pensatori efficaci, i quali non sono necessariamente dei “geni” oppure esseri più dotati che dimostrano questi
attributi, piuttosto utilizzano costantemente modi di pensare
e di comportarsi definiti come intelligenti e che sono attivati
quando viene chiesto di confrontarsi con le complessità e le
ambiguità della vita.
Un’abitudine mentale significa quindi avere una disposizione verso il comportamento intelligente nelle occasioni di
confronto con i problemi. Le “abitudini mentali” sono caratteristiche di spicco dei performers ovunque nella vita, nelle
scuole, nello sport, nelle organizzazioni, nella politica, nelle
chiese o nelle associazioni. Sono quindi il “cosa” permette di
apprendere continuamente, di rendere un posto di lavoro
produttivo e durevole la democrazia. Esse si apprendono
“dal” e “nel” contesto e quindi vanno considerate intenzionalmente nella formazione.
É evidente che l’ambiente di apprendimento diviene un luogo attraverso il quale sollecitare, riconoscere, apprendere e
utilizzare le “buone abitudini” mentali. La classe dovrebbe
essere luogo per sostenere ognuno nel liberare, sviluppare e
allenare pienamente queste abitudini, che rappresentano gli
strumenti per operare scelte disciplinate e durevoli in tutti i
campi della vita. Esse sono, infatti, il principale veicolo nel
viaggio lungo la vita attraverso l’inclusione delle differenze
167
individuali e sociali. Tra le attitudini da formare particolarmente rilevanti con quanto presentato, possiamo evidenziare: a) la gestione dell’impulsività, come attitudine a pensare
prima di agire, essere riflessivi, mantenersi calmi e pronti; b)
ascoltare gli altri con comprensione ed empatia, dedicare
energie mentali alle idee e ai pensieri di altre persone, tenere
in sospeso i propri pensieri in modo da percepire il punto di
vista e le emozioni dell’altro; c) porre domande o problemi,
conoscere quali dati sono necessari e sviluppare strategie di
domande per produrre questi dati.
Queste “attitudini” raramente sono agite isolatamente: esse
sono attivate e impiegate contestualmente in varie situazioni.
Quando ascoltiamo intenzionalmente, per esempio, impieghiamo flessibilità, metacognizione, precisione di linguaggio
e capacità di porre domande. Rilevante è quindi la richiesta
posta nell’ambiente di apprendimento, in questo caso l’uso
del comportamento di ascolto, al fine di comprendere, ricercare, operare con gli altri. Costa (2008) suggerisce alcune
scelte che aiutano a formare atteggiamenti mentali attraverso
le attività quotidiane nelle classi:
1) Pianificare strategie. L’insegnante utilizza tre momenti (prima, durante e dopo le attività) per organizzare gli apprendimenti con gli studenti. Il tempo del “prima” viene utilizzato per discutere strategie e passi necessari ad “attaccare”
il problema, ruoli o procedure da ricordare, direzioni da
seguire. Ogni studente assumerà la propria. Durante l’attività l’insegnante chiede agli studenti di condividere i loro
progressi, i loro processi di pensiero, e le percezioni del
loro comportamento, per descrivere il punto nel quale
si trovano rispetto alla strategia scelta. Vengono chieste
anche le strategie alternative, quando questo si rendesse
necessario. Dopo le attività didattiche di apprendimento,
viene chiesto di valutare come sono stati gestiti i ruoli e i
168
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
compiti svolti, quanto produttive sono state le strategie utilizzate, che cosa è utile modificare per la successiva attività.
Generare domande per la comprensione. Porre delle domande
continue su come si sono attivati i processi di controllo e di
previsione, i collegamenti che permettono il trasferimento
tra processi e saperi, permettendo all’allievo di andare oltre la superficie della conoscenza.
Operare scelte consapevoli. Gli insegnanti possono promuovere la metacognizione aiutando gli studenti a esplorare
le conseguenze delle loro scelte. In questo modo gli studenti saranno piú capaci di mettere in relazione le loro
scelte, le loro azioni e i risultati che raggiungono.
Valutazione differenziata. È possibile chiedere allo studente
di riflettere e categorizzare le proprie azioni e i processi
cognitivi che ha messo in essere, seguendo differenti criteri. In questo modo si genera un’abitudine ad osservare
gli eventi di apprendimento da più punti di vista.
Acquisire fiducia. Invitare a valutare quanto è stato svolto
in modo adeguato e stimolare a ricercare feedback dai
compagni.
Bandire l’affermazione “io non posso”. Informare gli studenti
che non è possibile utilizzare alcune affermazioni per giustificare la rinuncia al compito. Piuttosto aiutare a trovare
quali informazioni, procedure, materiali sono necessari a
svolgerlo.
Parafrasare le idee degli studenti o riflettere sulle idee. L’insegnante utilizza le forme di supporto verbale e aiuta lo studente a capire il senso delle proprie affermazioni e il grado di comprensione che avviene negli altri. Chiedere di
fare altrettanto, aiuta gli studenti a formare un pensiero
piú efficace e lineare.
Esplicitare (etichettare) i comportamenti degli studenti. Definire
con un nome e una descrizione precisa il processo cogni-
169
tivo che viene svolto dallo studente, rende consapevole
quest’ultimo di cosa sta agendo.
9) Chiarire la terminologia degli studenti. È importante che
l’insegnante aiuti lo studente a correggere il proprio linguaggio, trasformandolo via via in un linguaggio preciso.
Questo permette di riconoscere con precisione i processi
e i dialoghi interni, fornendo supporto all’acquisizione di
consapevolezza.
10) Usare giochi di ruolo e simulazioni. Assumere ruoli di altri e
agirli in contesti che richiedono comportamenti specifici aiuta lo studente a utilizzare categorie cognitive come
la previsione e la formulazione di ipotesi e a de-centrarsi
dalle proprie modalità di intervento nei problemi e nelle
situazioni. Viene ulteriormente arricchito il bagaglio di
consapevolezza.
11) Compilare un diario di bordo. Chiedere agli studenti di compilare e tenere aggiornato un loro diario di bordo sulle
esperienze di apprendimento realizzate nel corso dell’anno implica la sintesi e l’uso di forme simboliche che arricchiscono il bagaglio metacognitivo dello studente.
12) Modellare comportamenti metacognitivi. Uno dei modi migliori per aiutare gli studenti ad assumere atteggiamenti
metacognitivi è quello di utilizzare questi atteggiamenti
durante l’insegnamento. Una delle forme più efficaci è
fare quello che si chiede di fare.
Questi aspetti sottolineano ulteriormente l’importanza di
connettere in modo significativo le teorie dell’apprendimento con le pratiche didattiche: pensiamo all’importanza che
assume un allievo competente, nel gruppo, in grado di aiutare e guidare alcuni compagni ad essere altrettanto competenti. E questo moltiplicato, potenzialmente, per ogni allievo
del gruppo e della classe.
170
3.11 La Didattica metacognitiva e l’apprendere ad
apprendere per lo sviluppo del pensare: punto cardinale Sud-Est
Organizzare contesti attivi, realizzando prodotti di comprensione sostenuti da una Didattica laboratoriale, significa contemporaneamente il pensare all’azione e attraverso l’azione.
Il luogo caldo delle relazioni cooperative si innesta nello sviluppo dell’apprendere continuamente, attraverso percorsi di
revisione dei processi di lavoro e di pensiero, individuali e
di gruppo. Apriamo la prospettiva del punto cardinale della
Didattica metacognitiva.
La metacognizione è tradizionalmente definita come l’esperienza e la conoscenza che abbiamo dei nostri processi cognitivi. Essa è una forma di cognizione, un secondo o più alto
ordine di processi di pensiero, che coinvolge un controllo
attivo sui processi cognitivi. Nella forma più semplice «può
essere definita come il “pensare sopra al pensare”, oppure
come una “cognizione della persona sulla propria cognizione”» (Wellman, 1985, p. 1).
Boscolo (1997) afferma che il termine “metacognizione”
«viene utilizzato per designare la consapevolezza e il controllo che l’individuo ha dei propri processi cognitivi; il termine, che ha un significato generale, viene talvolta sostituito
da termini più specifici in relazione ai diversi tipi di processi
su cui esercitano questo controllo: metamemoria, metacomprensione, metaattenzione» (p. 281).
Il fatto che la metacognizione sia qualche cosa di complesso e
spesso accentuato su alcune variabili piuttosto che altre, è affermato da Cornoldi (1995), il quale divide schematicamente l’ambito metacognitivo in due ampi settori, rappresentati
dalla conoscenza metacognitiva e dai processi di controllo.
171
La metacognizione non attiene però solo al campo della psicologia. La dimensione pedagogica della metacognizione è
rintracciabile nel pensiero di Dewey al quale, come riferito da Pallascio, Benny e Patry (2004), spesso ci si riferisce
per il suo “pensare riflessivo” come ad un precursore dello
sviluppo degli strumenti per la realizzazione di un pensare critico negli allievi. Attraverso il “metodo sperimentale”
e l’attribuzione di valore all’“esperienza”, Dewey presenta
risvolti interessanti per una didattica metacognitiva. Infatti
quando sostiene che «scopo dell’educazione è di permettere agli individui di continuare la loro educazione, ossia
che l’obiettivo e la ricompensa dello studio è una continuata capacità di sviluppo» (1916, p. 147), Dewey anticipa la
competenza di apprendere ad apprendere particolarmente
nota oggi. Per Dewey «i principi della continuità dell’azione
e dell’interazione non sono separati l’uno dall’altro (…)
via via che un individuo passa da una situazione ad un’altra,
il suo mondo si espande e si contrae (…). Quello che ha
acquisito in conoscenze e abilità in una situazione diventa
strumento di comprensione e di effettiva azione nella situazione che lo segue. Il processo continua quanto la vita e
l’apprendere» (p. 33).
Più specificamente, Dewey (1916) sostiene che “imparare”
presupponga quindi l’attivazione di un processo cognitivo
che, in questo caso, ci fa guardare a quello che si fa durante lo svolgimento del compito, ricordando come si è fatto
prima, per farlo meglio poi. Ancor più significativo, in tal
senso, la specificazione circa la riflessione nell’esperienza: «il
pensiero, o la riflessione, è il discernimento della relazione
fra quel che cerchiamo di fare e quel che succede in conseguenza. Nessuna esperienza che abbia un significato è possibile senza qualche elemento di pensiero. E vi è differenza
nell’esperienza, secondo la proporzione di riflessione che vi
troviamo. Ben altro valore ha, in contenuto di pensiero, ana-
172
lizzare per vedere cos’è che fa da intermediario in modo da
collegare causa ed effetto, attività e conseguenza: ovvero, l’attività che ci permette di prevedere con maggiore accuratezza.
Se sappiamo in dettaglio da che cosa dipende il risultato, possiamo controllare se esistono le condizioni richieste. Pensare
equivale pertanto ad un cosciente astrarre l’elemento intelligente della nostra esperienza» (p. 196).
L’attività di “prevedere” e di “controllare” esplicitata da
Dewey, come pensare cosciente sull’esperienza, richiama
la riflessione circa l’oggetto della metacognizione che, per
Cornoldi (1995) diviene la conoscenza sulla nostra attività
mentale. Inoltre, diverso è svolgere un compito per prove ed
errori, oppure utilizzare un’immagine mentale di un comportamento di altri, dal riflettere su quanto sta per accadere in
noi, prima di agire sul compito. Più esplicitamente, l’oggetto
della conoscenza metacognitiva è il funzionamento mentale.
E ancora, Cornoldi afferma che la conoscenza metacognitiva
si acquisisce, si sviluppa e si esplicita in interrelazione con il
comportamento cognitivo. Sempre Dewey, considera «il pensare su quello che stiamo per fare un pensare riflessivo, e il
coltivare deliberatamente questa fase di pensiero costituisce
il pensare come esperienza a sé. Il pensare è, in altre parole,
il tentativo intenzionale di scoprire delle connessioni specifiche tra quello che facciamo e le conseguenze che ne risultano, in modo che le due cose diventino continue» (p. 196).
Troviamo inoltre coerente ed esplicativo dell’oggetto metacognitivo evidenziato da Cornoldi, quanto il filosofo americano afferma ancora circa il fatto «che il pensiero non connesso
con un aumento di efficienza per l’azione, e con l’imparare
un po’ di più su noi stessi e su come funzioniamo, zoppica
proprio in quanto pensiero» (1916, p. 203).
Il pensare riflessivo permette di “prevedere” e “controllare”
l’attività in atto e quella che potrà avvenire. Siamo nel versante regolativo dei processi cognitivi, quelli che A. Brown,
173
come riportato da Varisco (2004), ha nettamente distinto dalla conoscenza che un soggetto ha del proprio funzionamento
cognitivo, evidenziando abilità, processi o strategie di regolazione metacognitiva:
a) prevedere il livello di prestazione in un compito e/o stimare il suo grado di difficoltà;
b) essere consapevole del proprio repertorio di strategie e
del loro campo di applicazione;
c) identificare e definire il problema o compito da affrontare;
d) pianificare e programmare appropriate strategie risolutive, ovvero organizzare le azioni che portano al perseguimento di un obiettivo;
e) monitorare, ovvero controllare “progressivamente” in
ogni sua singola fase, un’attività cognitiva intrapresa;
f) valutate in modo “dinamico” i risultati che si vanno complessivamente ottenendo attraverso l’applicazione di una
strategia ed eventualmente modificare quest’ultima.
Come dire, parafrasando Dewey, che il pensare connesso
ad un aumento dell’efficienza in azione e con l’imparare su
come noi stessi funzioniamo, è un pensiero metacognitivo.
Egli afferma che una persona «che ha conseguito il potere
dell’attenzione riflessiva, il potere di affrontare con la mente
problemi e quesiti, è per ciò essa stessa educata dal punto di
vista dell’intelligenza. Possiede disciplina mentale, potere della mente e per la mente. Senza di questo, la mente resta alla
mercé del costume e delle influenze esterne (p. 104) (…). E
per raggiungere tale processo, l’attenzione riflessiva implica
sempre giudizio, ragionamento e deliberazione, e indica che
il ragazzo ha un problema suo ed è impegnato attivamente
nella ricerca e nella scelta di materiale pertinente a rispondervi» (1938, p. 106).
Dewey attribuisce allo sviluppo del pensare e dell’intelligenza in ognuno, uno dei principali motivi per l’attuazione del-
174
la democrazia. Consapevole che in questo «l’educare ha un
senso particolare, poiché una società che non solo cambia,
ma che ha come ideale un cambiamento che la migliori, avrà
norme e metodi di educazione diversi da quella che mira solamente alla perpetuazione dei suoi costumi» (p. 127).
3.12 Didattica e valutazione autentica. La prospettiva per la valutazione delle competenze: punto cardinale Nord-Ovest
Lo spostamento dei paradigmi verso l’apprendimento e le
competenze introduce alcune questioni chiave per il tema
della valutazione.
Il termine “autentico” è stato introdotto da Costa (1989) per
definire le forme di valutazione che includono l’osservazione diretta dei comportamenti, i progetti a lungo termine, le
interviste, i video. Ovvero una varietà di dati di valutazione
per rendere il quadro personale dello studente più vivo e
attendibile, ben oltre la fissità del semplice punteggio di
un test standardizzato. Lo scopo è riconoscere “l’autentica”
crescita dell’alunno durante il corso di studi, in contrapposizione alla pratica dei test, ritenuta al contrario, poco o
nulla “autentica”.
Wiggins (1989) propone di operare il passaggio dalla dimensione di valutazione della conoscenza alla valutazione
della comprensione. Il suo ragionamento è semplice e accattivante. Se le prove regolano cosa l’insegnante insegna e
cosa gli studenti studiano per comprendere, la strada per ripensare la valutazione è ben tracciata: basta verificare quelle capacità e abitudini che si reputano essenziali, collocandole in un preciso contesto e rendere replicabili le sfide che
sono al cuore di ogni disciplina. In ciascuna di esse dobbia-
175
mo saper fare con quello che sappiamo. Questa è l’essenza
delle prove autentiche.
L’alternativa (rispetto alle prove standardizzate) viene mantenuta e rafforzata, affiancata dalla prospettiva dell’“autenticità” intesa come padronanza reale, non effimera e duratura di ciò che è stato appreso.
In altre parole Wiggins sposta il focus sulla prova complessa
come il momento centrale di un processo volto a chiarificare e definire livelli di padronanza nei quali le conoscenze
sono incontrate ad un certo livello di qualità. Attraverso una
situazione complessa viene chiesto allo studente di “mostrare” il livello di padronanza raggiunto in un dato dominio e
operare delle giustificazioni rispetto alle scelte operate.
Padroneggiare un sapere significa molto più che fare un
buon test. Per questo c’è bisogno di progettare prove “autentiche” (cfr. par. 3.7) e cioè in grado di mettere lo studente in condizione di dimostrare quello che sa e sa fare con
quanto conosce (e per come lo ha appreso e interiorizzato).
L’autenticità della valutazione è ulteriormente definita da
Wiggins e Mc Tighe (1999) come una prassi che deve provare quello per cui è stata progettata. Perciò è ipotizzabile
che si possano avere più forme di test o di prove, tutte con
eguale valore. Nello schema che segue si rappresenta questo assunto:
Controlli
informali
Osservazioni/
Dialoghi
Questionari/
Tests
Argomentazioni
accademiche
Compiti di prestazione/
Progetti
Wiggins ha inoltre modificato ulteriormente il significato
di “autentico”, non solo rafforzando l’importanza del cosiddetto “principio di comprensione”, ma anche estendendo il
termine “autentico” nel senso di “educativo”.
Due sono le caratteristiche principali che la renderebbero
tale:
176
1) la valutazione dovrebbe essere intenzionalmente progettata per promuovere e sostenere (non solo misurare) ciò
che è ritenuto significativo nella vita, prospettando a tal
fine agli allievi compiti autentici;
2) la valutazione dovrebbe fornire a tutti gli studenti e ai
loro insegnanti sia un ricco e utile feedback che essere predisposta per valutare l’uso del feedback da entrambe le parti, studenti e insegnanti, per una iniziale autovalutazione.
Le forme diverse di valutazione possono essere correlate alla
comprensione dell’argomento, del concetto, dell’unità che
l’insegnante ha progettato. Lo schema seguente pone in relazione diversi livelli di comprensione con i relativi strumenti di valutazione:
Questionari, test
“carta e penna”:
– scelta multipla
– vero/falso
– test chiusi
– domande aperte
– schede di lettura
Conoscenze che
meritano familiarità
Questionari, test
“carta e penna”:
– scelta multipla
– vero/falso
– test chiusi
– domande aperte
– schede di lettura
Compiti di prestazione e progetti
aperti
complessi
autentici
Conoscenze e abilità
necessarie per sapere
e saper fare
Compiti di prestazione e progetti
aperti
complessi
autentici
Comprensioni per
la vita
177
Altri elementi di questa prassi di valutazione, incentrata sull’apprendimento, che noi diremmo “personalizzato”, sono i seguenti: un sistema di valutazione è educativo quando è progettato per migliorare le prestazioni (degli studenti e dell’insegnante) e si affida a “pedagogie esemplari”. È costruito
incentrandosi su compiti significativi, credibili e realistici e in
quanto tali “autentici”. Il sistema è inoltre tenuto a:
> essere aperto e cioè basato su compiti, criteri e standards,
conosciuti dagli studenti e dagli insegnanti. La valutazione
educativa è quindi molto rilevante rispetto ai semplici test
esterni, i quali richiedono che le domande del test siano
mantenute segrete;
> modellare istruzioni esemplari, incoraggiando piuttosto
che limitando, desiderabili pratiche di insegnamento;
> usare forme di comunicazione e criteri di valutazione che
significano ed indicano qualcosa di chiaro, stabile e valido.
Questi ultimi naturalmente sono tenuti a essere collegati ai
traguardi indicati dal sistema nazionale;
> impiegare le prassi sommative (che non vanno escluse, ma
ordinate all’interno di un contesto) nel senso di costituire
un set di ragionevoli aspettative per gli studenti.
Per quanto riguarda i feedback che il sistema invia a studenti,
insegnanti, dirigenti e decisori politici occorre:
> fornire dati e commenti esaustivi e chiari per rendere capaci gli studenti e gli insegnanti di auto-valutarsi e autocorreggere, al tempo stesso, le proprie prestazioni;
> assicurare ampie opportunità di ottenere e usare una valutazione immediata e continua.
L’introduzione della valutazione autentica/formativa è per
Wiggins un punto fondamentale non soltanto in funzione
della maggiore efficacia delle prassi valutative, ma in rap-
178
porto alla stessa riforma scolastica. Infatti è dalla finalità
che si attribuisce alla valutazione che dipende il volto della
scuola.
3.13 La Didattica per capacitare e costruire capitale
sociale. Un nuovo orizzonte formativo: punto cardinale Sud-Ovest
La prospettiva basata sulle competenze potrebbe essere –
se rigidamente e facilmente interpretata – funzionalistica e
adattata alle esigenze del mercato. L’orizzonte è quindi di
una Didattica innovativa, dai tratti caldi, generativa di nuove
prospettive pedagogiche e sociali. Una Didattica pur basata
sulle competenze, ma che permetta di considerare un differente percorso e significato. La prospettiva a cui ci riferiamo
è quella di Amartya Sen (1992) e Martha Nussbaum (2010)
che hanno introdotto il principio delle capacitazioni.
Abbiamo appreso molto riguardo al capitale umano. Centro
di questa prospettiva è la formazione di una persona competente che possa trovare soddisfazione e sia in grado di
permanere nel mondo del lavoro. Il fulcro è il ruolo attivo
degli individui nell’espansione delle possibilità produttive.
Potremmo dire che al mutare del sistema produttivo o economico – e delle sue esigenze – mutano le competenze che
formano il capitale umano.
La capacitazione di una persona è l’insieme delle combinazioni alternative di funzionamento che essa è in grado di realizzare. È quindi una opzione di libertà, di possibile scelta
tra più opportunità. Le scelte si fondano su prospettive di
valore o di soddisfazione di bisogni, ma sono opzioni personali verso la realizzazione di un progetto di vita, il quale non
necessariamente si fonda sul raggiungimento dei livelli di be-
179
nessere e di status symbol prodotti da un sistema culturale o
economico.
Questa differenza diviene sostanziale nelle prospettive formative: formare a sistemi di possibilità significa ancora una
volta porre al centro lo sviluppo umano, poiché sviluppare
capacitazioni offre alla persona una prospettiva di intervento
autonomo, piuttosto che una formazione per adeguarsi alla
prospettiva. Contemporaneamente questo aspetto sottolinea
la possibilità di aderire a sistemi di sviluppo differenti, ma
che crescono con il crescere delle opportunità e dell’umanità. Una prospettiva quindi di sviluppo sostenibile guidato da
valori e ideali fondati sul vivere bene. Capacitare non è solo
riferito all’individuo ma anche alla necessità di permettere lo
sviluppo del contesto affinché gli individui siano in grado di
formarsi capacità.
Si affaccia, in questa prospettiva, il capitale sociale. In classe
è la qualità delle relazioni che sostiene l’apprendimento e
la costituzione di un contesto nel quale permettere agli studenti e agli insegnanti di formare capacitazioni. È questa del
capitale sociale così inteso una tematica interessante per la
classe come contesto sociale e di cittadinanza attiva. Da un
parte, assumendo la prospettiva di Putnam (2000), il capitale
sociale è importante per alcuni motivi:
1) permette ai cittadini di risolvere più facilmente i problemi collettivi. Le persone spesso potrebbero essere più
ricche se cooperassero, condividendo ogni loro fare. Le
norme sociali e le reti permettono di rendere più efficaci
le regole che vengono definite a livello istituzionale;
2) rende più fluido e scorrevole l’ingranaggio sociale che
permette alla comunità di progredire in modo agevole.
Quando le persone si fidano e si rendono affidabili e ripetono le interazioni con altri cittadini, ogni giorno le transazioni sociali “costano” meno e sono più efficaci;
180
3) migliora la vita attraverso l’allargamento delle nostre consapevolezze circa i molteplici modi nei quali il nostro destino è collegato. Le persone che hanno connessioni attive e
di fiducia con altri – membri della famiglia, amici o compagni del tempo libero – sviluppano o mantengono tratti
caratteristici che sono utili anche per il resto della società;
4) le reti che costituiscono il capitale sociale servono anche
come conduttori per il flusso delle informazioni di aiuto che
facilitano il raggiungimento dei nostri obiettivi. Il capitale
sociale opera attraverso processi psicologici e biologici per
aumentare la vita degli individui. Le persone ricche di capitale sociale e che vivono a lungo, fanno fronte in modo migliore ai traumi e combattono le malattie più efficacemente.
Tradotto nella vita della classe – e della scuola – il capitale sociale è sostenuto da una didattica che nelle rappresentazioni
sin qui evidenziate è comunicazione, riflessione, costruzione ed azione. La classe costruisce il proprio capitale sociale
all’interno delle pratiche didattiche solidali e cooperative, di
aiuto e inclusive. Fondamentali divengono le pratiche di accoglienza dove per ognuno, nella classe, c’è un posto.
Nell’analisi di Donati (2003) assume significato il valore di
capitale sociale basato sulla dimensione relazionale, ovvero
quello che mostra l’esistenza di relazioni sociali sui generis la
cui funzione primaria non è quella di essere strumento per
ottenere qualcosa, ma è quella di favorire la relazionalità sociale stessa, cioè la scambietà che produce un bene condiviso, da cui derivano particolari risorse come effetti secondari.
«Il capitale sociale, pertanto, è la relazione sociale stessa, se e
in quanto è vista e agita come risorsa per l’individuo e/o per
la società» (pp. 49-50).
È ancora più stringente la posizione di Donati per la vita della classe. Ritorna infatti, a questo punto, il tema della comunicazione che, nella prospettiva della psicologia sociale, non
181
è il semplice canale fisico che trasmette i dati sotto forma di
suoni o movimenti, bensì è la relazione sociale stessa che si
instaura durante la comunicazione, unitamente alla personalità degli interagenti, al luogo fisico, al codice utilizzato.
Uno strumento fondante la relazione sociale, quindi, che necessita di attenzione particolare per il contesto che ne permette la realizzazione e per il fatto che essa diviene un atto
relazionale fra gli individui, e non un comportamento del
singolo soggetto.
La classe diviene allora un conteso che sviluppa capitale sociale con alcune conseguenze per la prospettiva formativa.
Capacitare significa costruire contemporaneamente un sistema di possibilità per ognuno e per il contesto che si arricchisce continuamente – grazie alla qualità delle relazioni – di
capitale sociale. Il quale è rilevante per l’apprendimento.
Infatti per Thomas Sergiovanni (2002) «nessuna scoperta è
più importante per la costruzione di una scuola di successo
del legame che esiste tra la capacità della scuola di sviluppare
capitale sociale per tutti i suoi studenti e il loro conseguente
impegno con la scuola, il loro comportamento come membri
della scuola e le loro prestazioni scolastiche» (p. 201).
Alla base delle sue affermazioni, Sergiovanni assume le definizioni di Coleman (1988) per cui «il capitale umano è creato dai cambiamenti nelle persone che producono abilità e
capacità che le mettono in grado di agire in modi nuovi. In
ogni caso il capitale sociale si crea tramite i cambiamenti nelle relazioni tra le persone che facilitano l’azione. Il capitale
umano facilita l’attività produttiva così come il capitale sociale» (pp. 101-102).
Per Sergiovanni (2002) la generatività del capitale sociale
nelle scuole dipende ampiamente dal coltivare una comunità di pensiero: «la scuola che si impegna a costruire una
comunità di pensiero si sforza di trovare i modi che uniscono
le persone con specialità e che le leghi a un sistema di idee
182
condiviso. La comunità emerge da una rete di sistemi di idee
condivisi coerenti di convinzioni che tengono insieme le persone e che spiegano il loro lavoro in termini di rapporti di
causa ed effetto» (pp. 202-203).
Poiché si tratta di generare capitale sociale attraverso la creazione, il potenziamento, il rafforzamento, lo sviluppo di relazioni come bene in sé, la scuola, può essere un importante
contesto per ampliare verso l’esterno – solidificandolo e ravvivandolo – il capitale sociale. È una prospettiva che restituirebbe alla scuola il valore che le compete nella formazione
delle nuove generazioni e per uno sviluppo culturale e di coesione sociale.
Nella prospettiva qui presentata la Didattica, in dialogo continuo con le altre scienze umane, ne diverrebbe il motore.
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188
4
Capitolo Quarto
Le valutazioni nazionali
e internazionali
4.1 Introduzione
L’introduzione delle prove Invalsi, a partire dalla prova Nazionale inserita nell’esame conclusivo del primo ciclo di istruzione nell’a.s. 2007/08, è stato l’inizio di un piccolo terremoto nella scuola italiana.
Queste prove sono state accompagnate da innumerevoli polemiche di diversa natura: culturale, disciplinare, sindacale,
corporativa, economica. Hanno però avuto il merito di riportare prepotentemente all’attenzione degli insegnanti e più in
generale della società il tema della valutazione. In particolare,
hanno posto il problema della valutazione esterna degli apprendimenti in matematica. La valutazione, infatti, è un compito
primario dell’insegnante, intrecciato quotidianamente con
il percorso della classe e dei singoli studenti: un intervento
esterno, brutalmente sommativo, rischia di venire percepito
come una invasione di campo.
La matematica, tra tutte le discipline, è forse quella che vanta
la più lunga esperienza per quanto riguarda le valutazioni standardizzate. In questo capitolo esamineremo dapprima la situazione internazionale, per poi concentrarci sul Servizio Nazionale di Valutazione dell’Invalsi e le sue caratteristiche. L’ultima
parte del capitolo sarà dedicata a come utilizzare i materiali
dell’Invalsi (prove e risultati) come strumento di autovalutazione (per l’insegnante) e in funzione formativa (per gli allievi).
4.2 L’indagine OCSE-PISA
L’indagine che ha il maggior impatto sui media di tutto il
mondo è sicuramente la ricerca PISA (Program for International Student Assessment) promossa dall’OCSE (Organizzazione
per la Cooperazione e lo Sviluppo Economico). L’OCSE (o
OECD) è una organizzazione internazionale con sede a Parigi, che non è nuova a interventi in campo educativo e in
particolare nell’educazione matematica.
L’introduzione delle cosiddette matematiche moderne nelle scuole di tutto il mondo, a partire dagli anni ’60, fu il risultato di
una specifica azione promossa e sostenuta proprio dall’OCSE. In Italia, l’avvento dell’insiemistica fu il frutto (tardivo) di
quell’azione.
Alla fine degli anni ’90 l’OCSE lanciò un ambizioso progetto
per valutare in che modo i ragazzi che terminano l’istruzione
obbligatoria, nei diversi paesi del mondo, abbiano acquisito
le competenze essenziali per la loro vita futura, come cittadini
responsabili. La parola chiave diventa quindi competenza e in
particolare, per la matematica, mathematical literacy.
OCSE-PISA non punta quindi a valutare specifiche conoscenze o abilità, anche perché non presuppone un confronto tra i differenti curricoli scolastici dei diversi paesi
partecipanti; vuole piuttosto valutare (e per quanto possibile anche misurare) quanto, dell’insieme di conoscenze e
abilità apprese a scuola, un ragazzo è in grado di trasferire
nei differenti contesti in cui si troverà a operare.
La prima indagine PISA si svolse nel 2000 e da allora si tiene
con scadenza triennale. Gli ambiti di competenza considerati all’inizio erano la lettura (reading literacy), la matematica
(matematical literacy), le scienze (scientific literacy). Un’enfasi
particolare è posta sul problem solving e diverse importanti novità sono state introdotte con l’indagine del 2012. In ogni
190
Capitolo 4 Le valutazioni nazionali e internazionali
sessio l’indagine si concentra su una competenza diversa; la
matematica è stata il focus nel 2003 e nel 2012.
OCSE-PISA raccoglie anche molti dati di contorno che permettono di correlare la misurazione delle competenze a fattori di contesto; in questo modo, si può valutare in maniera
più precisa l’importanza dei fattori socio-culturali, ma anche
l’impatto delle diverse scelte di politica scolastica o l’influenza di particolari situazioni didattiche (disponibilità di strumenti, pratiche didattiche).
I risultati di OCSE-PISA hanno un fortissimo impatto sull’opinione pubblica e di conseguenza anche sulle politiche scolastiche. Molte nazioni, regioni o città hanno adottato provvedimenti, intrapreso revisioni dell’architettura del sistema
o del curricolo (in particolare per la matematica) in seguito
ai risultati delle rilevazioni OCSE. I dati di questa indagine
permettono infatti di riflettere su come la spesa in istruzione
porti (o non porti) a risultati di apprendimento (in termini
di competenze), di come i diversi sistemi offrano opportunità a studenti socialmente svantaggiati, di come le scelte effettuate (ad esempio in termini di reclutamento, formazione,
orario di impegno, retribuzione degli insegnanti) abbiano
influenza sul servizio erogato agli studenti e alla società.
In conclusione, possiamo dire che l’indagine PISA non ha la
finalità di valutare il singolo studente (questo sarà più chiaro
quando entreremo nel dettaglio tecnico di come viene realizzata), piuttosto vuole fornire informazioni sul sistema. D’altra
parte, riteniamo che possa essere molto utile anche per gli
insegnanti approfondirne i contenuti e i risultati. Il Quadro
di riferimento presenta infatti una proposta molto ragionata di
una possibile scelta di obiettivi per l’educazione matematica,
e una articolazione dei processi coinvolti nell’attività matematica utile per la comprensione di quanto fanno i nostri studenti. I risultati, soprattutto in chiave comparativa, permetto-
191
no di interpretare i percorsi dei nostri allievi confrontandoli
con quelli dei loro coetanei di altri Paesi.
4.2.1
L’edizione del 2012
L’indagine del 2012 ha avuto come focus la competenza in
matematica e in problem solving. Queste competenze sono
state riformulate, rispetto alle precedenti edizioni, in questo
modo:
«Per competenza matematica si intende la capacità di un individuo di utilizzare e interpretare la matematica e di darne rappresentazione mediante formule, in una varietà di contesti. Tale
competenza comprende la capacità di ragionare in modo matematico e di utilizzare concetti, procedure, dati e strumenti di carattere
matematico per descrivere, spiegare e prevedere fenomeni. Aiuta
gli individui a riconoscere il ruolo che la matematica gioca nel
mondo, a operare valutazioni e a prendere decisioni fondate che
consentano loro di essere cittadini impegnati, riflessivi e con un
ruolo costruttivo.
Per problem solving si intende la capacità di un individuo di mettere in atto processi cognitivi per comprendere e risolvere situazioni
problematiche per le quali il percorso di soluzione non è immediatamente evidente. Questa competenza comprende la volontà di confrontarsi con tali situazioni al fine di realizzare le proprie potenzialità in
quanto cittadini riflessivi e con un ruolo costruttivo».
Sottolineiamo l’enfasi posta sull’idea di competenza come capacità di mobilitare conoscenze e abilità e sviluppare atteggiamenti, nelle situazioni che lo studente incontrerà come
cittadino.
L’Italia, in particolare, ha scelto di partecipare alla somministrazione informatizzata (computer based) delle prove di
lettura, matematica e problem solving, di rilevare la familiarità degli studenti con le tecnologie della comunicazione
192
(TIC), di rilevare le esperienze scolastiche passate (educational career) e il coinvolgimento dei genitori sullo sviluppo
della literacy matematica dei figli.
Un’altra novità dell’indagine 2012 è costituita dal rilevamento della financial literacy, che è definita come:
«(...) l’insieme di conoscenze e capacità di comprensione di concetti di carattere finanziario unito alle abilità, alla motivazione
e alla fiducia nei propri mezzi che consentono di applicare quelle
stesse conoscenze e capacità di comprensione per prendere decisioni
efficaci in molteplici e diversi contesti di carattere finanziario, per
migliorare il benessere degli individui e della società e per consentire una partecipazione consapevole alla vita economica».
All’indagine partecipa, per ogni nazione, un campione di
studenti tra i quindici e i sedici anni, dunque in Italia la gran
parte dei ragazzi campionati frequenta la seconda superiore,
una piccola parte la prima superiore e un numero molto ridotto la terza media o la terza superiore.
I quesiti sono suddivisi in blocchi e ogni fascicolo contiene
alcuni dei blocchi: questo fatto è importante, perché ci dice
che i risultati di PISA sono da considerare aggregati, e non
come informazioni sul singolo studente.
4.2.2
La matematica
Al cuore di OCSE-PISA è il cosiddetto ciclo della matematizzazione, nel quale viene schematizzata la mathematical literacy
quando viene esplicitata.
Questo ciclo comprende due processi di matematizzazione orizzontale, che vengono definiti come il processo di formulare e
quello di interpretare, e un processo di matematizzazione verticale
che viene definito come il processo di interpretare.
193
Problema in contesto
Formulare
un modello
Problema matematico
Utilizzare
la matematica
Risultati in contesto
Interpretare
i risultati
Mondo reale
Risultati matematici
Mondo matematico
I tre verbi, formulare (che possiamo tradurre anche con “impostare”), utilizzare e interpretare si riferiscono dunque ai processi in cui sono impegnati i ragazzi in quanto “solutori di
problemi”.
Più in dettaglio, formulare la matematica ha a che fare con il
saper identificare le opportunità di applicare la matematica,
riconoscendo quali strumenti usare per capire e risolvere un
problema. Nella fase di impostazione il ragazzo deve prendere una situazione così come si presenta nel contesto reale, e trasformarla in una forma trattabile matematicamente,
dandole una struttura e una rappresentazione adeguata (ad
esempio tramite un’equazione, una funzione, una rappresentazione geometrica, un grafico). Per fare questo, è necessario spesso identificare le variabili in gioco e fare opportune
ipotesi semplificative.
Nell’applicare la matematica il ragazzo mette in campo ragionamenti matematici, utilizza concetti e procedure, fatti e
strumenti, esegue calcoli, manipola espressioni algebriche e
aritmetiche, equazioni o altri modelli, analizza matematica-
194
mente le informazioni che ha raccolto e rappresentato, elabora le descrizioni matematiche della situazione problematica, usa strumenti di calcolo.
Nella fase dell’interpretare il ragazzo riflette sulle soluzioni matematiche che ha trovato e interpreta i risultati nel contesto
del problema. Per fare questo, deve essere in grado di valutare le soluzioni e le argomentazioni e di determinare se i
risultati sono ragionevoli e sensati in quel contesto.
Vediamo dunque che il quadro di riferimento di OCSE-PISA
2012 ci offre una articolazione dell’attività matematica dei
ragazzi quando risolvono un problema che può essere molto
utile come quadro concettuale per gli insegnanti, per meglio
comprendere gli apprendimenti dei propri allievi. Si basa
su una visione della matematica che non è ridotta alla pura
esecuzione di calcoli e nella quale l’argomentazione non è
esercizio logico fine a se stesso.
OCSE-PISA descrive poi, per ognuno dei tre processi fondamentali della matematizzazione, come questi si esplicitano
relativamente alle competenze matematiche di base: comunicare,
matematizzare, mettere in campo strategie per risolvere problemi, utilizzare linguaggio e operazioni simboliche formali e tecniche, usare
strumenti matematici.
La matematica valutata da OCSE-PISA è quindi una matematica ricca, legata a contesti significativi, centrata attorno
all’attività di risoluzione di problemi.
4.2.3
I risultati e l’Italia
I risultati di OCSE-PISA (fino all’indagine 2009, l’ultima per
la quale sono già disponibili i risultati) dei quindicenni italiani ci forniscono informazioni molto importanti, e una fotografia per certi versi preoccupante delle loro competenze
matematiche.
195
Innanzitutto, il risultato medio dei ragazzi italiani è al di sotto della media dei Paesi OCSE, e pochi sono anche i ragazzi
che raggiungono dei livelli di competenza alti (PISA individua 6 livelli di competenza).
La situazione è estremamente disomogenea da un punto di
vista geografico, con zone del Nord-Est a livello di eccellenza
e il Sud e le isole con risultati confrontabili con le regioni più
deboli economicamente e socialmente del pianeta.
Infine, per la matematica, emerge un dato molto significativo, che “fotografa” in maniera sintetica lo stile di insegnamento e le caratteristiche dell’apprendimento delle nostre
scuole: gli studenti italiani riescono a reggere il confronto
con i loro coetanei (posizionandosi sulle medie OCSE) se
si guarda il processo dell’utilizzare, mentre sono drammaticamente più scarsi per i processi di matematizzazione orizzontale. In altre parole, la nostra scuola raggiunge risultati
discreti (nella media) quando si tratta di fare matematica in
contesto matematico, ma non riesce a mettere in grado i ragazzi di utilizzare la matematica come strumento per comprendere il mondo, descriverlo, operare su di esso. Eppure,
questi obiettivi sono presenti nei programmi e nelle indicazioni almeno da 25 anni.
Un’altra criticità messa in luce da OCSE-PISA è la debolezza dei nostri ragazzi per quanto riguarda la capacità di argomentare e giustificare le proprie affermazioni. Per certi versi,
questo è un paradosso. I nostri studenti sono più deboli, su
questi aspetti, di ragazzi che hanno studiato in paesi in cui
la valutazione, molto di più che da noi, avviene attraverso
prove standardizzate (o addirittura “test a crocette”). Come
mai gli studenti della scuola italiana, che più di qualunque altra utilizza lo strumento dell’interrogazione orale, acquisiscono
meno dei loro coetanei questa capacità? La discussione orale
dovrebbe favorire la crescita e lo sviluppo della capacità di
argomentazione.
196
In realtà, la pratica sul campo delle interrogazioni orali
spesso si riduce a una riproposizione alla lavagna di esercizi
scritti. Anche quando vengono fatte argomentazioni o “dimostrazioni”, quello che viene richiesto allo studente è di restituire l’argomentazione dell’insegnante, o del libro di testo,
o di Euclide. Molto raramente nelle nostre classi si realizza
quella discussione in classe che già veniva raccomandata nei
documenti di Matematica 2001 (si veda a questo proposito
l’Appendice conclusiva sui materiali di documentazione per
gli insegnanti).
L’indagine OCSE-Pisa ha avuto indiscutibilmente il merito di
mettere davanti agli occhi di tutti cosa riesce a fare la nostra
scuola, per la matematica, e quali sono i limiti della sua impostazione. Ci aiuta a comprendere meglio, al di là degli slogan,
gli obiettivi delle Indicazioni di legge, ci dà strumenti concreti per realizzare effettivamente percorsi di insegnamentoapprendimento attraverso i quali i ragazzi costruiscano vere
competenze matematiche.
4.3 L’indagine IEA-TIMSS
L’indagine TIMSS (Trends in International Mathematics and
Science Studies) è una ricerca promossa dall’IEA (International Association for the Evaluation of Educational Achievement)
della quale nel 2011 si è svolto il quinto ciclo. A differenza
di OCSE-PISA, che studia i ragazzi di una coorte d’età indipendentemente dalla classe frequentata, IEA-TIMSS è collegata ai percorsi scolastici, e valuta ogni quattro anni gli
apprendimenti dei ragazzi del quarto e dell’ottavo anno di
scolarità (in Italia, quindi, gli studenti della quarta primaria e della terza classe della secondaria di primo grado).
Si trovano così a essere valutati comparativamente ragazzi
che hanno lo stesso numero di anni di scolarità, ma età
197
differenti: l’inizio della scolarizzazione non è lo stesso in
tutti i Paesi, e ci sono tra i ragazzi valutati ripetenti o anticipatari. Inoltre, è notevole il fatto che sono gli stessi ragazzi
che vengono valutati a distanza di quattro anni in due livelli scolari differenti. Un’altra differenza con OCSE-PISA
è nel fatto che TIMSS è una valutazione collegata ai curricoli scolastici.
TIMSS ha una appendice nella valutazione TIMSS Advanced,
che confronta gli studenti del dodicesimo (in Italia del tredicesimo) anno di scolarizzazione, dei percorsi nei quali la
matematica ha un peso importante.
Gli obiettivi della ricerca sono:
> comparare gli apprendimenti degli studenti in funzione
dei differenti sistemi scolastici dei diversi Paesi;
> individuare, a livello comparativo, punti di forza e di debolezza dei rispettivi sistemi educativi e migliorare, così, l’insegnamento e l’apprendimento della matematica e delle
scienze;
> misurare i cambiamenti nel tempo (analisi di trend) degli
apprendimenti in matematica e scienze degli studenti dei
singoli Paesi;
> identificare i fattori che influenzano le performance in matematica e scienze con particolare attenzione alle variabili
di sfondo di tipo socio-economico e culturale, ai curricoli e
alle strategie didattiche;
> individuare a spiegare le differenze nei sistemi di istruzione
tra Paesi al fine di contribuire a migliorare l’insegnamento
e l’apprendimento della matematica e delle scienze.
Con l’affermarsi del “modello PISA” l’indagine TIMSS ha
perso in parte la propria risonanza, ma continua a fornire
importanti elementi di riflessione sul sistema e ai singoli insegnanti.
198
Innanzitutto, anche TIMSS “fotografa” risultati di apprendimento della matematica molto diseguali tra il Nord e il Sud.
È significativo però che il distacco tra i ragazzi italiani e i
loro coetanei cresca con l’avanzare della scolarizzazione: se in
quarta primaria i risultati sono nella media e senza eccessive
differenze regionali, alla fine del primo ciclo si è già scavato il
distacco con gli altri Paesi e tra Nord e Sud. La nostra scuola
accentua le differenze, anziché colmarle.
4.4 Il Servizio di Valutazione Nazionale dell’Invalsi
In questo quadro di esperienze internazionali, anche l’Italia
ha iniziato a realizzare un Servizio Nazionale di Valutazione,
affidato all’Invalsi. Quasi tutti i Paesi del mondo hanno un
organismo deputato a valutare i risultati del sistema di istruzione, e quasi sempre questo organismo ha come compito
primario quello di monitorare i risultati di apprendimento
degli studenti. Ogni sistema complesso ha bisogno di monitorare continuamente i propri processi e i propri risultati,
per individuare i punti di forza e i punti di debolezza. Un
ovvio principio di buona gestione è che la valutazione deve
essere compiuta da un agente esterno, che fornisce gli elementi per l’autovalutazione.
L’Invalsi agisce in base a precise indicazioni di legge (ad esempio, non è l’Invalsi che decide se la prova deve essere censuaria o campionaria, o il peso che la Prova Nazionale deve avere
nella valutazione degli studenti). Lo scopo principale delle
prove Invalsi è fornire strumenti e dati per la valutazione. Va
subito detto che questa parola, valutazione, comprende significati molto diversi: è importante avere una valutazione del
funzionamento del sistema scolastico, ed è importante avere una
valutazione degli apprendimenti degli studenti. In base alle attuali
disposizioni di legge, l’Invalsi deve fare entrambe le cose.
199
L’Invalsi rileva quindi dati per valutare il sistema scolastico
nel suo complesso, e tra questi, dati sugli apprendimenti in
matematica degli studenti. Queste informazioni sono a disposizione dei cittadini e dei decisori politici e amministrativi
per stabilire, sulla base di dati per quanto possibile affidabili
e oggettivi, se la scuola italiana sta raggiungendo gli obiettivi prefissati. I dati Invalsi contribuiscono quindi a delineare
una fotografia del sistema. Per realizzarla, il Servizio Nazionale
individua un campione molto ampio di studenti, stratificato
tra l’altro per genere e regione, ai quali la prova viene somministrata in maniera controllata.
L’obiettivo finale però è fornire strumenti per il miglioramento della scuola, e questo si può realizzare solo attraverso
l’azione e l’impegno di ogni singolo insegnante, che quotidianamente deve sottoporre ad autovalutazione la propria
azione didattica. La valutazione Invalsi è quindi censuaria,
viene cioè effettuata su tutti gli studenti. In questo modo,
ogni insegnante ha a disposizione i dati dei propri allievi, e
può metterli a confronto con quelli di popolazioni di riferimento, confrontabili ad esempio come area geografica. Ogni
insegnante somministra ai propri studenti la prova Invalsi e
la corregge: in questo modo lui, e solo lui, ha un dato confrontabile col campione su cui riflettere da utilizzare per migliorare.
Attualmente, il Servizio di Valutazione Nazionale valuta annualmente gli studenti delle classi seconda e quinta primaria,
prima e terza secondaria di primo grado, seconda secondaria
di secondo grado. La legge prevede che in futuro verranno
valutati anche gli studenti della classe quinta della secondaria di secondo grado. Il disegno della rilevazione è evidente:
in ogni segmento scolastico gli studenti vengono valutati in
entrata e in uscita. Quello che conta sapere, infatti, è il valore
aggiunto, quanto la scuola riesce a far crescere i ragazzi.
Le domande sono proposte da autori, insegnanti in servizio
che seguono percorsi di formazione specifici. Le domande
200
di ogni livello di valutazione vengono esaminate ed eventualmente modificate nella forma o nella presentazione da un
gruppo che segue la preparazione della prova per quel livello
fino al pretest. Con le domande, il gruppo assembla due o
più prove che vengono pretestate su un ampio campione di
classi, l’anno precedente la valutazione cui sono destinate.
I risultati del pretest sono analizzati dal punto di vista didattico e da quello statistico. Alcune domande vengono modificate ulteriormente e, se necessario, ritestate. Alla fine di questo
processo, che dura quasi due anni, vengono preparati i fascicoli definitivi.
4.4.1
La Prova Nazionale
Le prove Invalsi sono uno strumento di rilevazione di informazioni, e quindi non sono costruite per “dare un voto” agli
studenti. Alcuni insegnanti decidono di utilizzarle per la propria valutazione, ma questa è una loro scelta.
L’unica eccezione è costituita dalla Prova Nazionale, che è
inserita nell’esame conclusivo del primo ciclo di istruzione
e il cui risultato entra nel voto del singolo studente. Questo
pone un problema generale, che in realtà è presente in ogni
valutazione sommativa, anche quella che compie l’insegnante quando assegna una verifica in classe. Come si fa a tradurre il risultato di una “fotografia” (tale vuole essere il ritratto
degli apprendimenti) su una scala unidimensionale (un voto
da 1 a 10)? È ovvio che non ci si può limitare a considerare la
percentuale di risposte corrette: ogni domanda, infatti, fornisce una informazione qualitativamente differente sugli apprendimenti del singolo ragazzo. Per fare esempi molto banali e
schematici, se una prova contiene 10 domande di algebra e
10 di geometria, un ragazzo che risponde a tutte quelle di un
tipo e a nessuna di un altro, e un ragazzo che risponde a 5 e
201
a 5, hanno profili molto diversi. Allo stesso modo, un ragazzo
che risponde a 5 domande “facili” e 5 “difficili” è molto diverso da uno che risponde a 10 facili e nessuna difficile.
Tecnicamente, quello che fa l’Invalsi (ma anche l’OCSE-PISA)
sui dati del campione è realizzare una analisi statistica detta
analisi di Rasch basata su un modello di tipo logistico grazie
alla quale è possibile individuare, per ogni domanda di una
prova, il livello di competenza rispetto al quale quella domanda
è significativa, e parallelamente individuare su quale livello di
competenza (sulla stessa scala) si colloca ogni ragazzo. L’analisi di Rasch, che è disponibile nei rapporti Invalsi, permette
di capire meglio che cosa ci dice, rispetto alla competenza valutata complessivamente dalla prova, ogni singola domanda.
Questo processo viene fatto una prima volta sulle prove che
vengono pretestate; sulla popolazione può essere fatto solo a
posteriori e di norma è contenuto nel rapporto che ogni anno
segue la somministrazione delle prove.
Per la Prova Nazionale occorre invece avere subito uno strumento per tradurre i risultati in un voto. L’Invalsi fornisce
allora una griglia di valutazione nella quale, sostanzialmente, le domande sono suddivise in blocchi: un primo blocco
individua item che sono indicativi di competenze di base; un
secondo comprende item con competenze più elevate e un
terzo blocco comprende domande in cui è richiesta esplicitamente una argomentazione.
Il risultato di questo processo, compiuto sulla prova di Italiano e quella di Matematica, è un voto che “fa media” e quindi
entra nella certificazione finale dello studente al termine del
primo ciclo.
Questa, lo ripetiamo, è stata una scelta del legislatore, che
d’altra parte corrisponde a una esigenza generale.
La valutazione che gli insegnanti fanno del singolo studente,
lungo tutto il suo percorso scolastico, evolve progressivamente da soggettiva a oggettiva. All’inizio della scuola primaria è
202
completamente soggettiva, cioè dipende dai soggetti in gioco
(l’insegnante e l’allievo, la sua provenienza, la sua storia personale, le sue condizioni di studio, le sue vicende familiari,
le sue malattie, etc.). Al termine del percorso, ad esempio al
momento della laurea, la valutazione si pretende oggettiva: il
diploma di laurea del medico che ci cura o dell’ingegnere
che ci costruisce la diga sopra casa non dovrebbe essere stato rilasciato in base a considerazioni sulle vicende personali
dello studente, ma oggettivamente certificare la competenza
acquisita.
L’esame di stato al termine del primo ciclo è uno snodo importante, anche perché il suo risultato viene spesso utilizzato
per orientare le scelte successive degli studi. È quindi ragionevole che in tale sede inizi a entrare una valutazione oggettiva degli apprendimenti dello studente.
4.4.2
Come “utilizzare” le prove Invalsi
I materiali e i risultati delle prove Invalsi, come quelli delle
valutazioni internazionali, possono essere utilizzati dagli insegnanti a diversi livelli: per acquisire consapevolezza delle
caratteristiche del proprio insegnamento, per intervenire sui
processi di apprendimento dei propri allievi, per monitorare
il raggiungimento dei propri obiettivi formativi.
Gli strumenti per queste azioni sono fondamentalmente il
Quadro di Riferimento, le prove rilasciate e i rapporti e i risultati.
Il Quadro di Riferimento del Servizio Nazionale di Valutazione dell’Invalsi è lo strumento che definisce quale matematica viene valutata e come viene valutata. È un documento in
progressiva evoluzione, di cui attualmente sono disponibili
una versione per il primo ciclo e una per il secondo ciclo di
istruzione.
203
Il Quadro di Riferimento individua due direzioni lungo le
quali sono costruiti i quesiti: la direzione dei contenuti e la
direzione dei processi, coerentemente con quanto fatto anche
nelle valutazioni internazionali.
I contenuti matematici sono organizzati nelle quattro grandi
aree di Numeri, Spazio e figure, Dati e previsioni, Relazioni e funzioni. Ogni quesito viene classificato in base all’oggetto di valutazione, che è un contenuto compreso in una di queste aree.
Ogni domanda viene poi classificata secondo il processo prevalente coinvolto e attivato quando lo studente cerca di costruire la propria risposta. Questa classificazione serve anche
a rendere più esplicite le competenze valutate.
I processi attualmente classificati nel quadro di riferimento
sono i seguenti:
1) conoscere e padroneggiare i contenuti specifici della matematica (oggetti matematici, proprietà, strutture...);
2) conoscere e utilizzare algoritmi e procedure (in ambito
aritmetico, geometrico, algebrico,...);
3) conoscere diverse forme di rappresentazione e sapere passare da una all’altra (verbale, numerica, simbolica, grafica, ...);
4) risolvere problemi utilizzando gli strumenti della matematica (individuare e collegare le informazioni utili, individuare schemi risolutivi di problemi, confrontare strategie di soluzione,
descrivere o rappresentare il procedimento risolutivo,…);
5) riconoscere in contesti diversi il carattere misurabile di
oggetti e fenomeni e saper utilizzare strumenti di misura
(individuare l’unità o lo strumento di misura più adatto in un
dato contesto, stimare una misura,...);
6) acquisire progressivamente forme tipiche del pensiero
matematico (congetturare, verificare, giustificare, definire, generalizzare, dimostrare...);
7) utilizzare la matematica appresa per il trattamento quantitativo dell’informazione in ambito scientifico, tecnologico, economico e sociale (descrivere un fenomeno in termini
204
quantitativi, utilizzare modelli matematici per descrivere e interpretare situazioni e fenomeni, interpretare una descrizione di un
fenomeno in termini quantitativi con strumenti statistici o funzioni, ...);
8) riconoscere le forme nello spazio (riconoscere forme in diverse rappresentazioni, individuare relazioni tra forme, immagini
o rappresentazioni visive, visualizzare oggetti tridimensionali a
partire da una rappresentazione bidimensionale e, viceversa, rappresentare sul piano una figura solida, saper cogliere le proprietà
degli oggetti e le loro relative posizioni, …).
Il Quadro di Riferimento fornisce quindi agli insegnanti uno
strumento per interpretare le prove Invalsi e al tempo stesso
un aiuto per focalizzare la propria attenzione valutativa sui
processi messi in campo dagli studenti, superando una tradizionale rigidità, ancora molto diffusa, che porta a centrare la
valutazione solamente sui contenuti.
Il secondo strumento offerto dal Servizio di Valutazione Nazionale sono le prove rilasciate nel corso degli anni. A tutt’oggi (2012) sono disponibili, per i diversi livelli scolastici, circa
una ventina di prove, per un totale di oltre 1000 domande.
Di tutte queste domande è possibile avere i risultati, scorporati secondo diversi parametri: un patrimonio enorme di dati
sui quali basarsi per leggere in profondità i risultati di apprendimento dei propri studenti.
Il lavoro compiuto sul testo del domande dagli autori e dai
gruppi che assemblano le prove è particolarmente accurato.
Ogni insegnante, infatti, elabora con la propria classe una
sorta di lessico familiare nel quale i termini utilizzati nei problemi di matematica, l’ordine delle parole, le sfumature del
discorso acquisiscono significati condivisi: quando i miei
studenti leggono i problemi che propongo, capiscono cosa
voglio dire; e quando io leggo i loro elaborati capisco cosa
vogliono dire.
205
Tutto questo fa parte del contratto didattico ed è un aspetto
ineludibile delle situazioni valutative d’aula. Una prova standardizzata, che viene somministrata a quasi 30.000 classi diverse, deve invece avere un testo il più possibile non equivoco, dove ogni parola ha un significato ben preciso che non si
presti a interpretazioni o ambiguità. Da questo punto di vista,
sottoporre ai nostri studenti le prove Invalsi può svolgere una
funzione importante nel disambiguare il linguaggio utilizzato nel fare matematica.
Le prove Invalsi degli anni passati– questo database di oltre
1000 domande in continua crescita– possono essere uno
strumento di lavoro con la classe, non limitato alla somministrazione e verifica. Sono domande su cui è stato fatto un
lavoro accurato di revisione del testo, una riflessione didattica sui nodi concettuali coinvolti, una analisi statistica delle
difficoltà incontrate dagli studenti, un confronto sul ruolo
dei distrattori e il loro legame con eventuali misconcezioni
degli studenti.
Per tutto questo, è importante utilizzare anche i Rapporti con
i risultati, le Guide alla lettura pubblicate dopo ogni prova e i
Quaderni di approfondimento.
206
Bibliografia
D’Amore B. (1993). Problemi. Pedagogia e psicologia della matematica nell’attività di problem solving. Progetto Ma.S.E., vol. XA. Milano: Angeli. Prefazione di G. Vergnaud. [II edizione 1996]. [In lingua spagnola: Madrid:
Editorial Sintesis, 1997, trad. di F. Vecino Rubio].
D’Amore B., Godino D.J., Arrigo G., Fandiño Pinilla M.I. (2003). Competenze in matematica. Bologna: Pitagora.
Fandiño Pinilla M.I. (2005). La valutazione in Matematica e le prove INValSI. La matematica e la sua didattica. 3, 359-371.
Fandiño Pinilla M. I. (2010). Costruire una cultura della valutazione. In:
Bolondi G., Fandiño Pinilla M.I., Loiero S. (2010). Guida alle prove invalsi. Firenze: Giunti, Pagg. 4-6.
Fandiño Pinilla M. I. (2010). Presentazione. La valutazione nazionale. In:
AA.VV: (2010). Prove nazionali di matematica. 4 volumi: 2 per la seconda e
2 per la quinta (testo per allievi e guida per insegnanti). Firenze: Giunti,
Pagg. 3-4.
Fandiño Pinilla M. I. (2011). Presentazione a e cura scientifica e didattica
di: Asenova M., Foresti I., Grassi G., Iori M., Sangiorgi M. C., Sbaragli
S. (2011). Prove nazionali di matematica. Prepariamoci alle prove Invalsi. Firenze: Giunti.
207
Appendice
Strumenti di documentazione
per l’insegnante
L’insegnante, oggi ha a disposizione molti strumenti – soprattutto grazie alle tecnologie dell’informazione – per documentarsi, scambiare esperienze, porre domande, interagire
con colleghi e istituzioni. Segnaliamo qui i più importanti.
Indicazioni di legge
I “programmi” di un tempo sono oggi sostituiti in Italia dalle
Indicazioni. Un sito nel quale trovare i collegamenti ai curricoli
di molti Paesi del mondo, e a quelli italiani in particolare, è
quello del Database Project dell’International Commission for
Mathematical Instruction:
(http://www.mathunion.org/icmi/other-activities/database-project/introduction/)
I curricoli italiani sono linkati alla pagina:
(http://www.mathunion.org/icmi/other-activities/database-project/introduction/italy/)
Valutazioni Internazionali
Le valutazione IEA-TIMSS e OCSE-Pisa sono realizzate in
Italia dallInvalsi. Nella pagina http://www.invalsi.it/invalsi/
ric.php?page5tutteRI sono presenti i materiali relativi a tutte le
rilevazioni internazionali. In particolare segnaliamo il Compendio per gli insegnanti in cui si possono trovare le domande
rilasciate delle passate rilevazioni PISA, con i risultati degli
studenti italiani a confronto con le medie internazionali.
Questo Compendio, è disponibile alla pagina:
http://www.invalsi.it/download/pdf/Compendio-definitivo-22-10-08.pdf
esso fornisce degli esempi concreti di come PISA cerca di
valutare e misurare la competenza in matematica.
Invalsi
Il sito web dell’Invalsi www.invalsi.it contiene una sezione dedicata agli esami di Stato. Nella parte dedicata all’esame di
Stato del primo ciclo sono raccolti i materiali relativi alle Prove Nazionali fin ora effettuate; nella parte dedicata all’esame
di Stato del secondo ciclo sono presenti i rapporti relativi alla
ricorrezione delle prove scritte di matematica degli esami di
Stato dei Licei Scientifici.
Tutti i materiali relativi al Servizio di Valutazione Nazionale
(e in particolare i rapporti con i risultati) sono nelle pagine
a esso dedicate. Per un rapido accesso al quadro di riferimento, alle prove, alle griglie di correzione e alle guide alla
lettura organizzate per anno scolastico si può utilizzare il seguente link: http://www.formath.it/ita/invalsi.php
Matematica 200x
Il rinnovamento dei curricoli italiani di matematica, realizzatosi attraverso diverse tappe nel primo decennio di questo
secolo, ha origine in un grosso lavoro di riflessione e produzione di materiali realizzato dall’Unione Matematica Italiana
e dall’allora Ministero della Pubblica Istruzione, concretizzatosi in una serie di progetti denominati Matematica 2001,
Matematica 2003 e Matematica 2004. In essi gli insegnanti possono trovare materiali utilissimi, sia per il lavoro in classe che
per la propria formazione. Sono scaricabili alle pagine:
http://umi.dm.unibo.it/old/italiano/Matematica2001/matematica2001.html
http://umi.dm.unibo.it/old/italiano/Matematica2003/matematica2003.html
http://umi.dm.unibo.it/area_download--37.html
210
Appendice Strumenti di documentazione per l’insegnante
Repository di materiali
Sul sito dell’ANSAS (Agenzia Nazionale per lo Sviluppo
dell’Autonomia Scolastica, ex-INDIRE) sono disponibili i
materiali di molti progetti nazionali per la formazione e la
documentazione degli insegnanti. In particolare, nella pagina http://risorsedocentipon.indire.it/home_piattaforma/ sono raccolte tutte le risorse per i docenti elaborate in diversi progetti
nazionali. Tra le altre, riguardano la matematica i progetti
PQM e [email protected].
Convegni e congressi
Il convegno di riferimento per gli insegnanti di ogni ordine
e grado è senza dubbio l’appuntamento annuale con gli Incontri con la Matematica, che tradizionalmente si tiene a Castel S. Pietro Terme, ormai giunto nel 2012 alla ventiseiesima
edizione. È un momento di incontro pensato al servizio degli
insegnanti, occasione di formazione, diffusione della ricerca,
cambio di esperienze. Ma vi sono in Italia altri convegni e
congressi, sebbene assai meno frequentati.
Gruppi di ricerca
In molte città d’Italia sono attivi presso i Dipartimenti di Matematica di varie Università gruppi di ricerca in cui interagiscono insegnanti e ricercatori universitari. Sulla pagina web
del RSDDM (Gruppo di Ricerca e Sperimentazione in Didattica e Divulgazione della Matematica di Bologna), http://
www.dm.unibo.it/rsddm/it/convegni/convegni.htm sono disponibili molti articoli di ricerca e diffusione della ricerca, nonché
un archivio di esperienze didattiche.
211
Autori
Giorgio Bolondi insegna Matematica e Didattica della Matematica presso l’Università di Bologna. Dopo aver fatto ricerca nell’ambito della geometria algebrica, da diversi anni
si occupa dei problemi legati alla trasmissione del sapere
matematico: storia e didattica. Attualmente è presidente
della Commissione Italiana per l’Insegnamento della Matematica; ha collaborato alla stesura delle nuove Indicazioni
nazionali per il sistema dei Licei e collabora con l’Invalsi
per la realizzazione delle prove di matematica. Svolge un’intensa attività di formazione con gli insegnanti.
Piergiuseppe Ellerani è ricercatore presso la Libera Università di Bolzano presso la quale insegna Metodologia del lavoro di gruppo. Esperto di apprendimento cooperativo, da
anni svolge attività di ricerca e formazione degli insegnanti
sulla didattica cooperativa, le metodologie attive e l’innovazione dei contesti di apprendimento.
Martha Isabel Fandiño Pinilla, laureata in Matematica e specializzata in Educazione Matematica. PhD in Mathematics
Education; docente a contratto di Didattica della Matematica presso le Università di Bologna e di Bolzano. È stata docente presso l’Università di Urbino, le SSIS di Bologna e di
Bolzano, l’Alta Scuola Pedagogica di Locarno (Svizzera) e la
SUPSI di Locarno. Tiene seminari presso il Dottorato di Ricerca in Didattica della Matematica dell’Università Distrital
di Bogotà. Ha al suo attivo oltre 200 pubblicazioni tra libri
e articoli in spagnolo, italiano, inglese, portoghese, slovacco
e francese. Tiene corsi di aggiornamento, seminari e conferenze in tutto il mondo. È stata membro del gruppo di
ricerca dell’USR dell’Emilia-Romagna e del Comitato Nazionale Invalsi. È condirettrice scientifica del Convegno Nazionale “Incontri con la Matematica” che si tiene a Castel San
Pietro Terme (Bologna) ed è membro del NRD (Nucleo
di Ricerca in Didattica della Matematica) di Bologna. È responsabile scientifico della didattica della matematica della
rivista Vita Scolastica.
Silvia Sbaragli laureata in Matematica e specializzata SSIS
presso l’Università di Bologna. PhD in Mathematics Education presso l’Università Komenského di Bratislava, in
Slovacchia. Insegna Matematica e Didattica della matematica presso l’Università di Bologna ed è docente-ricercatore
presso la SUPSI di Locarno (Svizzera). Da diversi anni è
membro del NRD (Nucleo di Ricerca in Didattica della Matematica) dell’Università di Bologna. È condirettrice scientifica del Convegno Nazionale “Incontri con la Matematica”
che si svolge a Castel San Pietro Terme (Bologna), curandone, tra l’altro, gli Atti. È membro del comitato scientifico
della rivista “Bollettino dei docenti di matematica” di Bellinzona (Svizzera). Ha al suo attivo numerose pubblicazioni (di
didattica, di divulgazione e di ricerca). Tiene molti corsi per
insegnanti ed ha partecipato a diversi convegni e seminari
in Italia e all’estero.
214

della DIDATTICA quaderni - Dipartimento di Matematica

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