elementi di matematica

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Eugenio Guadagno
ELEMENTI DI MATEMATICA
Volume I - Aritmetica
UTE – Cinisello Balsamo
Anno Accademico 2008-09
Introduzione
Il termine “Matematica” è stato introdotto da Pitagora1 per indicare la scienza che enumera e misura le grandezze fisiche dell’universo. Ma molto prima di allora, probabilmente fin dagli albori della sua esistenza, l’uomo aveva percepito i concetti di unità, di
molteplicità e di estensione delle cose ed aveva sentito l’esigenza di contarle e di misurarle.
All’inizio si trattava di bisogni semplici per cui bastavano le dita delle mani o alcune
tacche sul tronco di un albero o una manciata di sassolini per simulare la quantità delle
cose da contare ed alcune parti del corpo come il pollice, il braccio, il piede o il passo
per misurare le distanze o l’estensione delle cose.
Man mano però che la mente umana allargava i suoi orizzonti verso fenomeni più complessi aumentava anche la complessità degli strumenti necessari per contarli o misurarli,
cioè la complessità della matematica.
La matematica si è quindi sviluppata seguendo lo sviluppo delle conoscenze dell’uomo
e non solo ha aiutato la scienza a interpretare i fenomeni naturali, ma a volte ha anche
permesso di anticipare la scoperta di quelli non ancora conosciuti.
Per questa ragione la matematica è diventata una materia molto complessa, ma ha mantenuto inalterata in tutto il suo sviluppo una caratteristica fondamentale: la razionalità 2,
che le è valsa l’assegnazione dell’attributo di “scienza esatta”.
Ma anche di “scienza ostica” secondo alcuni. Ed è vero!
Da dove deriva, però, la difficoltà di apprendere i concetti di base della matematica?
Certamente non da carenza di intelligenza, perché molti personaggi eccellenti in altri
campi della cultura hanno spesso dichiarato di non aver mai amato o capito la matematica. Probabilmente la difficoltà deriva da un approccio inadeguato allo studio della materia. Come si è detto, infatti, la matematica è uno “strumento” e per imparare ad usare
uno strumento è necessario, prima di tutto, capire a cosa serve. Si è detto poi che è una
1
Pitagora (570-490 a.C.), filosofo greco
2
Anche in quella parte della matematica che tratta dei cosiddetti “numeri irrazionali”.
i
materia razionale e consequenziale, quindi non si possono saltare degli argomenti senza
compromettere la comprensione dei successivi.
Purtroppo lo studio della matematica comincia quando si è bambini, cioè quando lo
scopo della vita è il gioco, e comincia ad essere approfondito quando si è adolescenti,
cioè quando le esigenze primarie non sono quelle di contare e misurare. In questi periodi poi la discontinuità nello studio è la regola e la razionalità è ancora tutta da sviluppare. La conseguenza è che si perde il filo e la matematica, in molti casi, diventa la materia “difficile da capire” e quindi una materia da abbandonare.
Col passar degli anni capita poi di rammaricarsi di questa scelta e non meraviglia quindi
la richiesta di questo corso da parte di alcuni studenti dell’Università della terza età. La
loro maturità ed il desiderio di accrescere le conoscenze sono i catalizzatori più appropriati per un buon apprendimento della materia.
C’è un’altra caratteristica della matematica che vale la pena di evidenziare: i suoi simboli sono conosciuti in tutto il mondo e le sue espressioni possono a buona ragione considerarsi parte di un linguaggio universale. Un po’ come la musica!
ii
Aritmetica
Capitolo 1 - I numeri
Il concetto di numero è associato ai concetti di unità e molteplicità.
Anche l’uomo primitivo doveva avere ben chiaro che una pecora era una cosa diversa
da due pecore e che due pecore erano una pecora insieme ad un’altra pecora. Inoltre se
alle due pecore si aggiungeva ancora un’altra pecora si otteneva un gruppo ancora diverso formato da tre pecore e così via.
Nell’esempio precedente davanti alla parola “pecora” ne abbiamo usato altre, cioè: “una”, “due” e “tre” e questo ha chiarito il significato della frase. Più precisamente ha
chiarito cosa si intende per unità e come un insieme di unità costituisca una molteplicità.
Le tre “paroline” di cui ci siamo avvalsi sono “i numeri” e avremmo potuto usare i simboli “1”, “2” e “3” per dire la stessa cosa.
La trasmissione di concetti semplici come quello appena esposto è stata ulteriormente
semplificata dall’introduzione dei numeri e di un criterio di numerazione che sono ormai noti in tutto il mondo.
La quasi totale unificazione dei numeri e dei criteri di numerazione è però una conquista
relativamente recente ed è basata su una razionalizzazione effettuata dai matematici indiani intorno al 500 d.C. La più grande innovazione introdotta da questi studiosi fu il
numero 0 (zero) che, come vedremo fra poco, ha semplificato molto sia la numerazione
stessa, sia l’esecuzione delle operazioni con i numeri.
In precedenza gli antichi popoli (Babilonesi, Egizi, Greci, Romani) avevano usato le lettere dell’alfabeto e particolari altri simboli come strumenti di numerazione.
1
La Figura 1 mostra alcuni sistemi di numerazione usati in passato ed altri tuttora in uso,
da cui risulta evidente la somiglianza dei nostri numeri con i numeri arabi da cui, appunto traggono origine.
Figura 1 - Numerazioni antiche e moderne
2
Sistema romano
Lettere e valori
corrispondenti
•I
•1
V X L
C
5 10 50 100
D
500
M
1000
Criterio
• Non più di tre simboli uguali in sequenza
• Lettera che precede riduce
• Lettera che segue aumenta
Esempi
• I–II–III–iV-V–VI–VII–VIII–IX–X–XI-XII-XIII
• XX–XXX–XL–L–LX–LXX–LXXX–XC-C-CC-CCC
• CD-D-DC-DCC-DCCC-CM-M-MC-MCC-MCCC
Altri sistemi di numerazione
Esadecimale
•0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B
CDEF
Ottale
•0 1 2 3 4 5 6 7
Binario
•0 1
3
I numeri cardinali
Abbiamo dunque visto che i numeri servono a contare le cose ossia servono a rispondere alla domanda: “quante sono queste cose?” Il numero con cui si risponde a questa domanda fornisce una risposta precisa, univoca ed inequivocabile e prende il nome di
“numero cardinale”.
Poiché gli oggetti da contare possono essere pochi ma anche tanti per poter rispondere
in ogni caso a questa domanda occorrerebbero tantissimi numeri, cioè tantissimi simboli
diversi. Sarebbe però veramente improbo non solo inventarli ma anche ricordarli. Tuttavia, anche nelle numerazioni più antiche viste sopra, i criteri di numerazione hanno
permesso di poter esprimere tutti i numeri con una combinazione intelligente di pochi
simboli.
Il sistema a noi più noto usa 10 simboli diversi, detti anche “cifre”:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
e si chiama numerazione in base 10 o numerazione decimale 3.
Il modo in cui questi 10 simboli sono usati per rappresentare tutti i numeri è abbastanza
semplice. Ognuno di questi simboli corrisponde al numero di oggetti o, in altri termini,
al numero di unità da contare, a partire da nessun oggetto (0) fino a nove oggetti (9).
Quando il numero di unità supera nove si introduce un nuovo concetto: “la decina”, ossia aggiungendo un’altra unità a 9 si ha una gruppo di oggetti che si chiama decina. Più
precisamente questo gruppo è formato da 1 decina e 0 unità e può essere indicato con gli
stessi simboli di prima, ma non con uno soltanto di essi, bensì con due disposti uno a
fianco all’altro 10, ponendo prima quello che indica le decine (1) e poi quello che indica
le unità (0).
Quando a questo gruppo si aggiunge un altro oggetto si ha 1 decina e 1 unità e, seguendo lo stesso criterio precedente il numero che esprime questa quantità è 11. Andando
3
Non si tratta comunque del sistema col minor numero di simboli. Esiste infatti il cosiddetto sistema binario, utilizzato in particolare nel campo dei computer, che usa solo due simboli: 0 e 1.
4
avanti si arriva a 19 oggetti (1 decina e 9 unità) e se si aggiunge ancora un oggetto si arriva a 2 decine e 0 unità, ossia a 20 e poi, continuando ancora, a 99 (9 decine e 9 unità).
Il numero successivo è formato da 10 decine e 0 unità (100). A questo punto però si introduce il nuovo concetto delle “centinaia” che è appunto formato da 10 decine, quindi
lo stesso numero 100 può essere considerato formato da 1 centinaio, 0 decine e 0 unità
ed in ogni caso richiede tre cifre per essere indicato.
Questo procedimento continua così ed i nuovi concetti che man mano vengono introdotti al crescere degli oggetti, sono le “migliaia”, i “milioni”, i “miliardi”, i “bilioni”, i “trilioni” e si potrebbe continuare per sempre perché i numeri non finiscono mai. Ad ogni
numero, per quanto grande, basta aggiungere un’unità per avere un numero maggiore. Il
numero di cifre necessarie per indicarli aumenta di uno ogni volta che si raggiungono
Unità
Centinaia
Decine
Semplici
Unità
Migliaia
Decine
Unità
Decine
Milioni
Centinaia
Unità
Decine
Centinaia
Miliardi
Centinaia
dieci gruppi di ogni concetto4.
Figura 2 - Numerazione in base 10
La Figura 2 mostra quanto si è detto. Essa indica che per scrivere e poi leggere correttamente un numero bisogna suddividere le sue cifre in gruppetti da 3 che, eventualmente, si possono separare con un puntino:
30.375.234.378
Partendo da destra, le prime tre cifre rappresentano le unità, le decine e le centinaia
semplici; le successive tre sono le unità, le decine e le centinaia di migliaia; le successive sono le unità, le decine e le centinaia di milioni; poi le unità, le decine e le centinaia
di miliardi e così via.
4
In realtà, quando il numero delle cifre diventa molto alto si usano altri modi di rappresentazione, che saranno illustrati in seguito.
5
Numerazione decimale
u
d
c
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
12
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
90
91
92
93
94
95
96
87
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
990
991
992
993
994
995
996
997
998
999
Sistema decimale
0123456789
6
Unità
Decine
Semplici
Centinaia
Unità
Decine
Centinaia
Migliaia
Unità
Decine
Milioni
Centinaia
Unità
Decine
Centinaia
Miliardi
Con questo sistema, per leggere qualsiasi numero basta saper leggere i numeri da 1 a 99,
cioè i numeri con una o due cifre e diamo per scontato che tutti i lettori sappiano farlo.
Dopo di che bisogna innanzi tutto osservare di quante cifre è composto il numero e seguire le semplici regole seguenti.
Quando il numero è formato da tre cifre, ossia quando siamo nel campo delle centinaia
semplici, si possono avere due casi:
se la prima cifra è 1, si legge “cento” e poi si legge il numero di due cifre che
segue. Es. il numero 153 si legge “cento”53
se la prima cifra è diversa da 1, si legge la prima cifra, si aggiunge “cento” e poi
si legge il numero di due cifre che segue. Es. il numero 467 si legge 4”cento”67.
Quando il numero ha da quattro a sei cifre, ossia quando siamo nel campo delle migliaia, si possono avere ancora due casi:
se il numero ha quattro cifre e la prima cifra è 1, si legge “mille” e poi il numero
di tre cifre che segue. Es. il numero 1.356 si legge “mille”356
negli altri casi, si leggono le cifre che precedono il gruppetto delle centinaia, si
aggiunge “mila” e poi si legge il numero di tre cifre che segue. Es. il numero
14 378 si legge 14”mila”378.
Quando il numero ha da sette a 9 cifre, ossia quando siamo nel campo dei milioni, si
hanno ancora due casi:
se il numero ha sette cifre e la prima cifra è 1, si legge “un milione” e poi il numero di sei cifre che segue. Es. 1.342.578 si legge “un milione”342 578
negli altri casi, si leggono le cifre che precedono il gruppetto delle migliaia, si
aggiunge “milioni” e poi si legge il numero di sei cifre che segue. Es. il numero
254 305.109 si legge 254”milioni”305 109.
Quest’ultima regola vale anche quando il numero di cifre è maggiore, ossia quando siamo nel campo dei miliardi, bilioni, trilioni ecc. Così, ad esempio, il numero riportato
nella pagina precedente, 30.375.234.378, si legge:
30”miliardi” 375”milioni ”234”mila” 378
ma, come già detto, per questi numeri si usano modi diversi di scrittura e quindi di lettu-
7
ra che vedremo in seguito.
Gli infiniti numeri cardinali formano un insieme che si chiama “serie dei numeri naturali”. Convenzionalmente poi i numeri che costituiscono la serie sono chiamati alternativamente “pari” o “dispari”; più precisamente si chiama dispari il numero 1, pari il numero 2, dispari il 3 ecc. Per cui sono dispari i numeri 1,3,5,7,9 e pari i numeri 2,4,6,8. Il
numero 0 (zero) da solo non è né pari né dispari, ma il numero 10 è pari perché segue il
9 che è un numero dispari. È evidente poi che sono dispari anche tutti i numeri con più
cifre che terminano con 1,3,5,7,9 e pari quelli che terminano con 0,2,4,6,8.
I numeri ordinali
Con i numeri cardinali abbiamo imparato a contare le cose, cioè a definire “quanti” sono
gli oggetti che stiamo considerando. Essi però non ci danno alcuna indicazione
dell’ordine in cui si trovano questi oggetti: se osserviamo due pecore di cui una sta davanti e l’altra dietro il loro numero resta due anche se la pecora che stava dietro passa
avanti. Eppure questa situazione è diversa da quella precedente è può essere descritta
con una serie diversa di numeri che rispondono appunto alla domanda: “in che ordine
sono gli oggetti?”. Questi numeri si chiamano ordinali.
I numeri ordinali sono strettamente connessi con i numeri cardinali e ad ogni numero
cardinale corrisponde un numero ordinale e viceversa. I loro nomi sono particolari soltanto per i primi dieci e le corrispondenze sono le seguenti:
Cardinali
1
2
3
4
5
Ordinali
Primo
Secondo
Terzo
Quarto
Quinto
Cardinali
6
7
8
9
10
Ordinali
Sesto
Settimo
Ottavo
Nono
Decimo
Dal numero 11 in poi il numero ordinale si ottiene dal cardinale sostituendo l’ultima lettera del numero con la desinenza “-esimo”. Così si avrà undicesimo, dodicesimo ecc.
8
Da un punto di vista grammaticale i numeri cardinali sono aggettivi invariabili 5, gli ordinali sono invece variabili e quindi devono concordare in genere e numero con il nome
che li accompagna. Ad esempio, si dirà “tre” uomini, “tre” donne, ma il “terzo” uomo,
la “terza” donna, i “terzi” arrivati, le “quarte” classi.
I numeri ordinali sono spesso scritti con il numero cardinale corrispondente seguito da
una lettera in apice che ne indica la desinenza: es. 3o per terzo, 3a per terza, ecc. A volte
sono scritti invece con i numeri romani I, II, III, ecc.
Oltre che per indicare la posizione degli oggetti i numeri ordinali si usano anche per indicare una parte di un oggetto, come ad esempio una fetta di una torta che è stata tagliata in quattro parti si dice che è un quarto di torta. Più in generale, in questa accezione, i
numeri ordinali sono usati nelle frazioni, ma di questo parleremo più avanti.
Infine citiamo ancora l’uso dei numeri ordinali nell’indicare il grado delle potenze e delle radici, ma anche di questo parleremo più avanti.
5
Eccetto alcuni come milione, miliardo, bilione, trilione ecc.
9
Capitolo 2 – Operazioni aritmetiche
Le operazioni aritmetiche sono dei procedimenti che aiutano ad eseguire in modo sistematico delle operazioni mentali che in certi casi dobbiamo fare con i numeri.
Esse sono sei: addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, potenza e radice.
L’addizione
Se abbiamo un gruppo di oggetti possiamo sapere quanti sono contandoli. Se abbiamo
un secondo gruppo di oggetti conosciamo quanti sono contando anche questi. Se mettiamo insieme i due gruppi possiamo conoscere quanti sono gli oggetti ancora una volta
contandoli. Il numero di oggetti che troviamo nel gruppo formato dall’insieme dei due
gruppi si chiama “somma” degli oggetti e l’operazione mentale che abbiamo eseguito si
chiama addizione.
In pratica, se gli oggetti sono pochi il metodo sopra delineato di ricontare tutti gli oggetti che si trovano nel gruppo d’insieme si può fare facilmente ma se gli oggetti sono molti la cosa diventa più difficile.
L’addizione è l’operazione che permette di effettuare questo conteggio operando solo
sui numeri senza dover contare gli oggetti ad uno ad uno, ma utilizzando i concetti di
unità, decine e centinaia illustrati nel capitolo precedente.
Aiutiamoci con un esempio per rendere più chiara l’esposizione.
Supponiamo di avere un gruppo di 145 matite ed un altro gruppo di 653 matite. Supponiamo ora di unire i due gruppi di matite e di chiederci quante matite ci sono in questo
gruppo di insieme, cioè quale è la somma delle matite dei due gruppi messi insieme.
10
L’addizione - Concetto
Addendo
Addendo
Somma
L’addizione – Procedimento 1
145
145
1c
653
4d 5u
7c
653
6c
5d 3u
11
9d 8u
798
Ragioniamo in questo modo:
il primo gruppo di matite è formato da 1 centinaio 4 decine e 5 unità
il secondo gruppo di matite è formato da 6 centinaia 5 decine e 3 unità
e anziché contare l’insieme delle matite totali una ad una contiamo l’insieme delle unità,
delle decine e delle centinaia. L’insieme delle matite sarà allora formato da 7 centinaia,
9 decine e 8 unità, cioè da 798 matite.
Questa operazione si indica con la seguente espressione:
in cui il simbolo + è l’indicatore dell’operazione di addizione, i numeri da sommare
(145 e 653) si chiamano “addendi”, il segno = è l’indicatore del risultato (798) che si
chiama “somma”.
Nella pratica l’operazione si esegue allineando i due numeri l’uno sull’altro in modo che
risultino allineate le unità (u), le decine (d) e le centinaia (c) e risulti più agevole sommarli:
c d u
1 4 5 +
6 5 3 =
7 9 8
L’esempio fatto sopra ha però una particolarità che non sempre si verifica in tutte le addizioni: in questo esempio, infatti, la somma sia delle unità, sia delle decine sia delle
centinaia è inferiore a 10. Nel caso in cui ciò non avvenga, ad esempio se si dovesse eseguire la somma di 175 e 653, nel sommare le decine (7 e 5) si ottengono 12 decine.
Noi sappiamo però che 12 decine sono formate da 1 centinaio e 2 decine e quindi nella
colonna delle decine della somma scriviamo solo 2 mentre il centinaio lo aggiungiamo
alla colonna delle centinaia così che questa risulti 1+6+1:
c d u
1 7 5 +
6 5 3 =
8 2 8
Il centinaio aggiunto (1) si chiama “riporto”.
12
Lo stesso procedimento si applica nel caso in cui sia superiore a 10 la somma delle cifre
che indicano le unità, le centinaia, le migliaia ecc.
Se vogliamo mettere insieme più di due gruppi di oggetti e vogliamo sapere quanti oggetti ci sono nel gruppo di insieme di tutti i gruppi eseguiamo ugualmente un’addizione
che, in questo caso, ha più di due addendi. Per es. se abbiamo quattro gruppi di palline
formati rispettivamente da 235, 54, 122 e 9 palline, il gruppo di insieme avrà un numero
di palline pari a:
235 + 54 + 122 + 9
Per eseguire questa addizione basta addizionare i primi due addendi 235+54=289, poi
addizionare la somma così ottenuta al terzo addendo 289+122=411 e infine addizionare
la somma ottenuta all’ultimo addendo 411+9=420. Nella pratica, quando si è acquisita
un po’ di familiarità, anche questa addizione si effettua allineando le cifre dei quattro
numeri l’una sull’altra facendo corrispondere le unità le decine ecc. ed eseguendo mentalmente le somme delle cifre tenendo conto anche dei riporti, che in questi casi sono
molto frequenti.
Un detto popolare abbastanza ricorrente afferma che non si possono sommare le pere
con le mele. È vero? In parte si. In effetti se uniamo un insieme di pere con un insieme
di mele otteniamo un insieme che non possiamo indicare né come un insieme di mele né
come un insieme di pere. Ma le pere e le mele hanno una caratteristica comune: entrambe sono frutti. L’insieme delle pere e delle mele è quindi un insieme di frutti ed il numero di frutti è la somma delle mele e delle pere contenute nei due insiemi che abbiamo
sommato.
Questo significa che l’addizione è un’operazione che permette di sommare solo le caratteristiche omogenee delle cose, ma in tutte le cose concrete è sempre possibile trovare
una caratteristica comune che, al limite, è la loro tangibilità. Non sarà mai possibile invece sommare i pensieri o i sentimenti; in questi campi la matematica non è applicabile
e questa è un’ulteriore conferma che la matematica è una scienza concreta che riguarda i
fenomeni fisici dell’universo.
13
L’addizione – Procedimento 2
c
d
u
1
4
5
6
5
3
7
9
8
c
d
u
5
5
4
5
5
3
6
5
3
12
8
11
9
8
1
9
8
c
d
u
1
7
6
7
um
1
1
8
2
8
1
Proprietà dell’addizione
5
3
4
7
19
Commutativa
5
7
4
3
19
Associativa
5
11
3
19
Dissociativa
4
1
11
3
14
19
Proprietà dell’addizione
L’operazione di addizione gode di alcune proprietà molto semplici tanto da sembrare
banali. Esse però sono la premessa per spiegare proprietà più complesse che saranno
studiate in seguito.
Le proprietà dell’addizione sono tre e precisamente:
1. Proprietà commutativa secondo cui la somma di due o più addendi non cambia
se si cambia l’ordine degli addendi ossia l’ordine in cui si sommano gli addendi.
Cioè, per esempio, 5+3+4+7=19 ma anche 5+7+4+3=19. Gli addendi sono gli
stessi sia nella prima che nella seconda addizione ma l’ordine secondo cui sono
disposti e sommati è diverso.
2. Proprietà associativa secondo cui una somma di più addendi non cambia se si
sostituisce a due o più di essi la loro somma. Per esempio se nell’espressione del
paragrafo precedente sostituiamo a 7 e 4 la loro somma, cioè 11, e quindi scriviamo 5+11+3 la somma è ancora 19.
3. Proprietà dissociativa che è il contrario della precedente, ossia se ad un addendo si sostituiscono due o più addendi la cui somma sia uguale all’addendo sostituito, la somma non cambia. Per esempio se nell’espressione del paragrafo precedente si sostituiscono al posto di 5 due numeri, 4 e 1, la cui somma è appunto
5, e cioè 4+1+11+3 la somma rimane 19. Si può notare che in quest’ultima espressione, rispetto a quella del paragrafo 1, è stata applicata sia la proprietà associativa per gli addendi 7 e 4, sia la proprietà dissociativa per l’addendo 5. Cioè
le proprietà possono essere applicate anche congiuntamente nella stessa operazione.
La sottrazione
Se da un insieme di oggetti di cui conosciamo il numero ne togliamo alcuni, quanti ne
rimangono nell’insieme? Dipende ovviamente da quanti ne togliamo. Una prima cosa
che appare ovvia è che non ne possiamo togliere più di quanti ce ne sono, ma solo una
quantità minore o al massimo uguale ed in quest’ultimo caso nell’insieme non rimane
più alcun oggetto.
15
Con queste semplici osservazioni abbiamo già capito molte cose ma cerchiamo di metterle un po’ in ordine.
Innanzi tutto diciamo che l’operazione che permette di rispondere alla domanda iniziale
si chiama sottrazione, e consiste nel togliere dal numero di unità contenute nell’insieme
il numero di oggetti che vogliamo sottrarre. Per esempio se nell’insieme iniziale ci sono
7 unità e ne togliamo 4, nell’insieme ne restano 3. L’espressione che indica questa operazione, cioè la sottrazione, è:
7–4=3
Il numero di oggetti inizialmente presenti nell’insieme (7) si chiama “minuendo”, il
numero di oggetti che vogliamo togliere (4) si chiama “sottraendo”, il segno – è
l’indicatore dell’operazione di sottrazione ed il numero di oggetti che rimangono
nell’insieme (3) si chiama “differenza”.
Come già detto il sottraendo deve essere minore del minuendo (o al massimo uguale). Il
concetto di maggiore o minore è innato nel nostro subconscio, ma in matematica è possibile dare una definizione precisa di quando un numero è maggiore, minore o uguale ad
un altro e, precisamente considerando la serie naturale dei numeri (0,1,2,3,4 ecc.) si dice
che un numero è maggiore di un altro quando si trova più a destra nella serie naturale, è
minore quando si trova più a sinistra, è uguale quando si trova nella stessa posizione. I
simboli che esprimono questi concetti sono:
> per maggiore
< per minore
= per uguale
Per esempio, per dire che 9 è maggiore di 7 si scrive 9 > 7, per dire che 3 è minore di 5
si scrive 3 < 5 mentre per l’eguaglianza si scrive 6 = 6.
Quando i numeri da sottrarre sono più grandi di quelli fin qui usati come esempio, si
procede, come già per l’addizione, a sottrarre le unità dalle unità, le decine dalle decine
e così via:
16
La sottrazione - Concetto
Minuendo
Sottraendo
Differenza
Il sottraendo deve essere minore (<) del minuendo
La differenza è < del minuendo
La Sottrazione – Procedimento 1
487
487
4c
254
8d 7u
2c
254
2c
5d 4u
17
3d 3u
233
c d u
4 8 7 2 5 4 =
2 3 3
In questo esempio si verifica però il caso particolare che ogni singola cifra del minuendo è maggiore della corrispondente cifra del sottraendo. Nel caso in cui una cifra del
sottraendo, per esempio quella delle unità fosse inferiore alla corrispondente del minuendo, cioè il minuendo fosse 482 anziché 487 ed il sottraendo fosse ancora 254, da 2
non si potrebbe sottrarre il 4. Poiché però davanti al 2 c’è un 8 che indica 8 decine, la
parte finale del numero, cioè 82, potrebbe essere considerato formato da 7 decine e 12
unità. In tal modo diventa possibile sottrarre da 12 unità le 4 unità di 254, ma bisogna
tener presente quando si passa alle decine che queste sono diventate 7 anziché le 8 iniziali ed è da queste 7 che bisogna togliere le 5 del 254. Solo a titolo di esempio potremmo scrivere cioè:
c d u
c d
u
4 8 2 2 5 4 =
4 7 12 2 5 4 =
2 2 8
in pratica però l’operazione di trasporto della decina (o del centinaio, del migliaio ecc.)
si effettua mentalmente senza alcuna fatica.
Proprietà della sottrazione
La sottrazione ha una sola proprietà, la proprietà “invariantiva”.
Prima però di parlare di questa proprietà vogliamo accennare ad alcune particolarità tipiche della sottrazione:
se dal minuendo si sottrae la differenza si ottiene il sottraendo. Es. consideriamo
la sottrazione 9-7=2. Se da 9 (minuendo) sottraiamo 2 (differenza) otteniamo 7
(sottraendo). Infatti 9-2=7
se si somma la differenza ed il sottraendo si ottiene il minuendo. Es. se nella
sottrazione del punto precedente sommiamo 2 (differenza) e 7 (sottraendo) otteniamo 9 (minuendo). Infatti 2+7=9. Questa particolarità viene in genere usata
per avere la “prova” che la sottrazione era stata eseguita in modo giusto.
18
La sottrazione – Procedimento 2
c
d
u
4
8
7
2
5
4
2
3
3
c
d
u
c
d
u
4
8
2
4
7
2
5
4
2
5
4
?
2
2
8
1 10
1→10
12
Due particolarità della sottrazione
9
7
19
2
La proprietà invariantiva dice che se si aggiunge o si toglie uno stesso numero al minuendo ed al sottraendo la differenza non cambia. Ovviamente nel secondo caso, cioè
quando si toglie, il numero da togliere deve essere minore sia del minuendo che del sottraendo.
Es. se nella sottrazione del paragrafo precedente aggiungiamo 3 sia a 9 (minuendo) che
a 7 (sottraendo) la differenza (2) rimane invariata; infatti 12-10=2. Così anche se togliamo 4 (che è < 9<73) sia al minuendo che al sottraendo la differenza rimane invariata. Infatti 5-3=2.
Oltre all’interpretazione dell’addizione e della sottrazione come operazioni con cui si
aggiungono o si riducono gli oggetti di alcuni insiemi, se ne può considerare un’altra.
Consideriamo la serie dei numeri naturali scritti in ordine crescente da sinistra verso
destra a partire da 0.
La somma di due numeri può essere vista come uno spostamento verso destra, a partire
dal primo numero, di tanti posti quanti ne indica il secondo, mentre la differenza come
uno spostamento verso sinistra, a partire dal primo numero, di tanti posti quanti ne indica il secondo. Ad esempio, per eseguire la somma 3+4 ci si posiziona sul numero 3 e
si procede verso destra di 4 posizioni raggiungendo così il numero 7, che è appunto la
loro somma e per eseguire la differenza 8-3 ci si posiziona sul numero 8 e si procede
verso sinistra di 3 posizioni raggiungendo il numero 5 che è la differenza dei due numeri.
Questa seconda interpretazione mostra, più chiaramente, che la sottrazione è
l’addizione sono due operazioni opposte una dell’altra.
La moltiplicazione
La moltiplicazione è un’operazione un po’ particolare; essa infatti non è altro che una
somma in cui tutti gli addendi sono uguali fra loro. Così ad esempio la somma
5+5+5+5=20, cioè una somma di quattro addendi tutti uguali a 5, si può indicare in modo più sintetico come segue:
5×4=20
20
Proprietà della sottrazione
12
10
2
7
2
3
2
3
9
Invariantiva
4
5
Addizione e sottrazione
Un’altra interpretazione
3
4
1
2
7
3
7>4
7>3
4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
3 2 1
8
3
5<8
5
5+3=8
Sottrazione: operazione
opposta dell’addizione
21
che significa appunto la somma di 4 addendi tutti uguali a 5. L’operazione prende il
nome di ”moltiplicazione”, 5 e 4 si chiamano “fattori”, “×” è l’operatore che indica
l’operazione di moltiplicazione ed il risultato 20 si chiama “prodotto”.
Per eseguire questa operazione si potrebbe quindi procedere facendo una somma di più
addendi come visto sopra, cioè sommando il primo addendo al secondo, la loro somma
al terzo, la somma risultante al quarto e così via. Ma così facendo avremmo fatto solo
una serie di addizioni. La moltiplicazione invece semplifica questo processo con un
semplice procedimento, che si fa risalire addirittura a Pitagora, che richiede di imparare
e ricordare solo i risultati delle moltiplicazioni fra i primi 10 numeri della serie dei numeri naturali.
L’enorme semplificazione di questo procedimento non è generalmente apprezzato dai
bambini, che trovano invece tedioso dover imparare a memoria le “tabelline”, come generalmente chiamano la “tavola pitagorica”.
Questa consiste appunto in una tabella, riprodotta nella Tabella 1, che riporta nella prima riga e nella prima colonna i numeri da 1 fino a 10 ed in ogni incrocio fra riga e colonna il risultato della moltiplicazione, cioè il prodotto, fra il numero dell’inizio della
riga con il numero dell’inizio della colonna.
La tabella potrebbe anche essere tenuta sott’occhio quando si esegue una moltiplicazione ma dopo un po’ di tempo non è più necessario perché la si ricorda facilmente. Con la
tavola pitagorica però impariamo a moltiplicare fra loro solo i numeri semplici, cioè
formati da una sola cifra, ed a moltiplicare i numeri semplici per 10. Come si fa invece a
moltiplicare i numeri che hanno un numero di cifre maggiore?
Anche in questo caso si procede prendendo le cifre una alla volta e considerando gli insiemi che rappresentano (unità, decine, centinaia ecc.).
22
La moltiplicazione
È un’addizione che ha tutti gli addendi uguali fra loro
5
5
5
5
5
4
20
20
Fattori
Prodotto
La tavola pitagorica
X
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
3
3
6
9
12
15
18
21
24
27
30
4
4
8
12
16
20
24
28
32
36
40
5
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
6
6
12
18
24
30
36
42
48
54
60
7
7
14
21
28
35
42
49
56
63
70
8
8
16
24
32
40
48
56
64
72
80
9
9
18
27
36
45
54
63
72
81
90
10
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
23
Tabella 1 - Tavola pitagorica
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
3
3
6
9
12
15
18
21
24
27
30
4
4
8
12
16
20
24
28
32
36
40
5
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
6
6
12
18
24
30
36
42
48
54
60
7
7
14
21
28
35
42
49
56
63
70
8
8
16
24
32
40
48
56
64
72
80
9
9
18
27
36
45
54
63
72
81
90
10
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Teniamo presente, proprio osservando la tavola pitagorica, che già la moltiplicazione di
due numeri ad una cifra può produrre numeri a 2 cifre e ciò non deve meravigliare perché le decine si formano proprio mettendo insieme più di dieci unità.
Vediamo ora con alcuni esempi come si esegue una moltiplicazione fra numeri che hanno più di una cifra.
Consideriamo dapprima il caso di una moltiplicazione fra un numero a due cifre, per esempio 27, ed un numero ad una cifra, 5, cioè la moltiplicazione 27×5.
Osserviamo innanzi tutto che moltiplicare 27×5 significa sommare 27 per 5 volte, cioè:
27×5 = 27+27+27+27+27
e poiché 27 è formato da 2 decine (d) e 7 unità (u) possiamo anche scrivere:
27×5 = 2d×5 + 7u×5
24
Moltiplicazione – Procedimento 1
5
27
2d
10d
5
7u
1c
35u
1c
0d
0u
3d
5u
3d
5u
135
Moltiplicazione – Procedimento 2
c
d
u
2
7
migliaia
c
5
3
0
1
3
5
c
d
u
2
7
5
3
u
c
d
u
2
4
6
3
2
5
1
2
3
0
4
9
2
7
3
8
7
9
9
5
1
1
d
Semplici
5
25
5
0
che ci permette di concludere che per moltiplicare un numero di 2 cifre per un numero
di una cifra si moltiplicano separatamente per questo numero le decine e le unità e si
sommano i due risultati. Nel sommare i risultati poi si dovrà fare attenzione a sommare
unità con unità, decine con decine ecc. Quindi nel nostro caso:
c d u
2 d × 5 = 10 d = 1 c + 0 d + 0 u
7 u × 5 = 35 u = 3 d + 5 u
Risultato
1 0 0 +
3 5 =
1 3 5
Nella pratica si precede moltiplicando le cifre da destra verso sinistra, cioè prima le unità, poi le decine le centinaia ecc., i riporti si effettuano mentalmente e le cifre si dispongono rispettando l’ordine. Nell’esempio, si moltiplica il 5 per 7, del risultato 35, la cifra
delle unità, 5, si scrive, quella delle decine,3, si riporta mentalmente. Poi si moltiplica 5
per 2 e si ottiene 10 decine a cui si aggiungono le 3 di riporto e si ottiene 13 decine, cioè
3 decine e un centinaio che si dispongono quindi nel giusto ordine ottenendo così 135.
La moltiplicazione dei numeri con un numero maggiore di cifre segue questi stessi criteri e quindi, senza dilungarci in un’esposizione dettagliata, diventa intuitivo il modo di
eseguire queste operazioni: i due fattori da moltiplicare si dispongono uno sotto l’altro,
si traccia una riga sotto di essi per distinguerli da quanto segue, si dispongono sulle righe sottostanti i risultati delle moltiplicazioni di ciascuna cifra del secondo numero per
tutte le cifre del primo. Ogni riga successiva si sposta di un posto a sinistra rispetto alla
precedente perché la prima riga rappresenta unità, la seconda decine e così via. Quindi
per esempio la moltiplicazione 246×325 si esegue:
migliaia
c d u
semplici
c d u
u
d
c 7
7
2
3
2
9
8
9
1.
4.
3.
9.
4 6 ×
2 5 =
3 0
2
5 0
Se si devono moltiplicare fra loro più di due fattori, si moltiplicano fra loro i primi due,
26
il risultato si moltiplica per il terzo ecc.
Un caso particolare che non abbiamo ancora esaminato è il prodotto di due numeri di
cui uno è zero. Un’operazione del genere non sembra avere senso perché significherebbe addizionare un numero per se stesso zero volte. In casi come questo, che potrebbero
dare adito ad interpretazioni di tipo diverso, la matematica stabilisce un “postulato”,
cioè un’assunzione senza dimostrazione, che stabilisce che “il prodotto di un numero
per zero è uguale a zero” (Es. 357 × 0 = 0).
Per questa ragione se in una moltiplicazione fra più numeri uno di essi è zero il prodotto
è uguale a zero:
3 × 0 ×5 × 9 = 0
Notiamo invece che la moltiplicazione di un numero per 1 è uguale al numero stesso.
Infatti il significato di questa operazione è che il numero viene ripetuto una sola volta e
quindi rimane immutato.
Proprietà della moltiplicazione
Le proprietà della moltiplicazione sono tre e sono molto simili a quelle dell’addizione.
Ciò è abbastanza ovvio visto che la moltiplicazione non è altro che un’addizione particolare.
1. Proprietà commutativa secondo cui il risultato di una moltiplicazione di due o
più fattori non cambia se si cambia l’ordine dei fattori, per cui:
3×2
5 × 10 = 300
3 × 10 × 5 × 2 = 300
2 × 5 × 3 × 10 = 300
2. Proprietà associativa secondo cui un prodotto di più fattori non cambia se al
posto di due (o più) fattori si sostituisce il loro prodotto:
3
10 × 5 × 2 = 300
30 × 5 × 2 = 300
in cui nella seconda espressione i due fattori 3 e 10 sono stati sostituiti con il loro prodotto 30.
3. Proprietà dissociativa secondo cui un prodotto di più fattori non cambia se al
27
Particolarità della moltiplicazione
3
2
5
6
5
0
0
5
1
5
5
30
3
0
5
9
0
3
2
5
1
30
Proprietà della moltiplicazione
3
2
5
10
300
Commutativa
3
10
5
2
300
Associativa
30
5
2
300
Dissociativa
5
6
5
2
28
300
posto di uno dei fattori se ne sostituiscono due (o più) il cui prodotto è uguale a
quel fattore:
30 × 5 × 2 = 300
5 × 6 × 5 × 2 = 300
in cui nella seconda espressione al posto di 30 si sono sostituiti i due fattori 5 e 6
il cui prodotto è appunto 30.
La divisione
La divisione è concettualmente un’operazione inversa della moltiplicazione. Essa è cioè
quella operazione che si effettua quando si vuole suddividere un insieme di oggetti in
tanti insiemi più piccoli e tutti uguali fra loro. Per esempio si vuole suddividere un cesto di 6 mele in tre cestini contenenti ciascuno un numero uguale di mele. Ogni cestino
conterrà 2 mele e tutte le mele contenute nel cesto risultano così equamente distribuite.
Quest’operazione, che nell’esempio fatto è molto semplice, si chiama divisione e si indica con l’espressione:
6:3=2
in cui 6 si chiama “dividendo”, 3 si chiama “divisore” il “ : ” è il simbolo dell’operatore
della divisione ed il risultato 2 si chiama “quoziente”.
Notiamo subito che se nel cesto ci fossero state 7 mele non sarebbe stato possibile suddividerle in parti uguali in tre cestini6. In questo caso, poste 2 mele in ogni cestino ne
sarebbe rimasta 1 nel cesto e avremmo allora scritto:
6 : 3 = 2 col resto di 1
dove 1 si chiama appunto “resto”.
Notiamo ancora che nel primo caso se moltiplichiamo 2 (le mele che ci sono in ogni cestino) per 3 (numero dei cestini) otteniamo 6 (mele che erano nel cesto), ossia se si moltiplica il quoziente per il divisore si ottiene il dividendo e ciò conferma che la divisione
è l’operazione inversa della moltiplicazione. Nel secondo caso invece dopo aver fatto
6
Supposto naturalmente di non voler tagliare le mele
29
questa moltiplicazione dobbiamo aggiungere la mela che era rimasta nel cesto per ottenere il numero delle mele iniziali e ciò conferma che la moltiplicazione è una somma di
numeri uguali (le 2 mele di ogni cestino) mentre bisogna sommare separatamente il numero diverso (1 mela rimasta nel cesto) per ottenere il numero di mele totali. In entrambi i casi infatti se si sommano tutte le mele, sia quelle suddivise nei cestini sia quella che
resta nel cesto, si ottiene il numero di mele totali.
Nei casi meno semplici di numeri a più cifre si segue un procedimento analogo a quello
della moltiplicazione fra numeri a più cifre. Si procede cioè dividendo una cifra alla volta a partire da quelle più a sinistra sia del dividendo sia del divisore, cioè con le cifre
che rappresentano i gruppetti maggiori.
Procederemo con un esempio per rendere più comprensibile il procedimento e assumeremo un divisore formato da una sola cifra: 5.479 : 3. Per semplicità non introdurremo
nella spiegazione i concetti di unità, decine ecc, ma ovviamente tutto il procedimento
fonda su questi principi, così come illustrato nel caso della moltiplicazione.
Innanzi tutto i due numeri, dividendo e divisore, si dispongono uno a fianco all’altro e
suddivisi dal simbolo “ : ”. A sinistra del simbolo si scrive il dividendo, a destra il divisore, sotto al quale si tira una linea al di sotto della quale si scriverà il quoziente.
Prendiamo poi la prima cifra del dividendo, cioè 5, e dividiamo questa per il divisore 3.
Il risultato è 1(che si scrive sotto la riga) col resto di 2 (che si scrive sotto il 5). Se la
prima cifra del dividendo è minore del divisore si comincia prendendo le prime due cifre. A destra del resto, cioè a destra di 2, si copia ora la seconda cifra, cioè il 4. Il numero 24 che si ottiene si divide per 3 ed il risultato, 8, si scrive sotto la riga a destra di 1. In
questo caso non c’è resto perché 8×3=24, quindi sotto il 4 si mette un trattino a fianco
del quale si scrive la terza cifra 7.
5 4 7 9 :
3
2 4
1 8 2 6
- 7
1 9
1
Si procede dividendo 7 per 3. Il risultato 2 si scrive a destra di 8 ed il resto di 1 si scrive
sotto il 7. A fianco di questo si scrive l’ultima cifra del numero, 9 ed il 19 che ne risulta
si divide per 3 ottenendo 6 col resto di 1 che si scrivono come fatto in precedenza.
30
La divisione
6
6
3
2
3
2
:
dividendo divisore quoziente
7
7
Resto 1
1
:
3
6
2
3
La divisione - Procedimento
5
4
2
4
7
-
5.479
1.826
9
:
1
7
1
9
1
:
3
3
3
8
1.826
5.478
31
2
6
Resto 1
1
5.479
2
A questo punto l’operazione è terminata ed il risultato è:
5.479 : 3 = 1.826 col resto di 1
Si può ora agevolmente verificare che se si moltiplica 1.826 per 3 ed al risultato si aggiunge 1 si ottiene 5.479.
Se il divisore ha più di una cifra il procedimento è analogo anche se leggermente più
complesso. Non ci dilungheremo qui nel descriverlo in dettaglio.
È opportuno invece notare alcuni casi particolari:
la divisione di un numero per sé stesso, ovvero se il dividendo è uguale al divisore, dà come risultato 1. Es. 5 : 5 = 1. La spiegazione è molto semplice: se in un
cesto ci sono 5 mele e le vogliamo dividere equamente in 5 cestini, in ogni cestino va 1 mela
la divisione di un numero per 1 ha come risultato il numero stesso. Es. 9 : 1 = 9.
Anche in questo caso la spiegazione è ovvia: le 9 mele del cesto messe in un solo cestino sono ancora 9
il numero 0 diviso per qualsiasi numero è 0. Es. 0 : 3 = 0. Ancora una volta si
capisce facilmente che se nel cesto non ci sono mele anche i cestini restano vuoti
infine se vogliamo dividere un numero per 0 ci troviamo di fronte ad una operazione che non ha alcun significato e quindi si dice che un numero non può essere
diviso per 0. Infatti che significato avrebbe dividere le mele del cesto in nessun
cestino? In realtà anche a questa operazione la matematica assegna un risultato
convenzionale, ma di questo parleremo più avanti.
Proprietà della divisione
La divisione ha una sola proprietà, la proprietà invariantiva, che ha lo stesso nome ma è
diversa dalla proprietà invariantiva della sottrazione.
La proprietà invariantiva della divisione dice che il quoziente di una divisione non
cambia se il dividendo ed il divisore sono moltiplicati o divisi per uno stesso numero.
Cioè, ad esempio, 30 : 6 = 5. Se moltiplichiamo il 30×2 ed il 6×2 l’operazione diventa
60 : 12 = 5, cioè il risultato rimane 5. Anche se dividiamo 30:3 e 6:3 l’operazione diven-
32
Particolarità della divisione
5
:
5
1
9
:
1
9
0
:
3
0
7
:
0
?
Proprietà della divisione
60
:
:
:3
10
5
x2
x2
30
12
6
5
:3
:
2
5
33
Invariantiva
ta 10 : 2 = 5, ancora una volta il risultato rimane 5.
Ricordiamo che nel caso della sottrazione il risultato non cambia se si aggiunge o si sottrae uno stesso numero, mentre per la divisione non cambia se si moltiplica o si divide.
La potenza
Una moltiplicazione di più fattori in cui tutti i fattori sono uguali fra loro, per esempio
3×3×3×3, si può indicare in modo più sintetico scrivendo 34 cioè scrivendo in piccolo in
alto a destra del fattore il numero di volte che deve essere moltiplicato per sé stesso.
Questa operazione si chiama “potenza”, il fattore costante da moltiplicare (3) si chiama
“base” ed il numero in apice (4) si chiama “esponente”. La potenza quindi non è altro
che una moltiplicazione particolare e pertanto per calcolarne il valore si esegue semplicemente la moltiplicazione:
34 = 3×3×3×3 = 81
Da quanto si è detto è facile capire alcune proprietà delle potenze:
se l’esponente di una potenza è uguale a 1, il valore della potenza è uguale alla
base, es. 31 = 3. Infatti in questo caso la base va presa una sola volta o, in altri
termini, non deve essere moltiplicata per sé stessa e quindi rimane immutata
se la base di una potenza è uguale a zero, il valore della potenze è zero, qualunque sia l’esponente. Infatti moltiplicando zero per sé stesso un numero qualsiasi
di volte si ottiene sempre zero
il prodotto di due potenze che hanno la stessa base, es. 32×33, è uguale ad
un’altra potenza che ha per base la stessa base e per esponente la somma degli
esponenti. Infatti 32=3×3 e 33=3 3×3 per cui:
32×33 = 3×3 × 3 3×3 = 35
il quoziente di due potenze che hanno la stessa base, es. 35 : 32, è uguale ad
un’altra potenza che ha per base la stessa base e per esponente la differenza degli
esponenti:
35 : 32 = 33
34
La potenza
Moltiplicazione di fattori uguali fra loro
3
3
3 → Base
3
3
34
81
81
4 → Esponente = Numero di fattori
Proprietà delle potenze (I)
31
3
Una potenza con esponente 1 è uguale alla base
04
0
0
0
0
Qualsiasi potenza di 0 è uguale a zero
35
0
Proprietà delle potenze (II)
32
3
3
33
3
3
3
35
Il prodotto di due potenze che hanno la stessa
base è una potenza che ha la stessa base e per
esponente somma degli esponenti
Proprietà delle potenze (III)
35
3
3
32
3
3
3
33
Il quoziente di due potenze che hanno la stessa
base è una potenza che ha la stessa base e per
esponente la differenza degli esponenti
36
La spiegazione di questa proprietà è ovvia se si considera che moltiplicare un
numero (3) cinque volte per sé stesso e poi dividerlo due volte per sé stesso equivale a moltiplicarlo tre volte per sé stesso.
se l’esponente di un potenza è zero, il valore della potenza è uguale a 1, qualunque sia la base. La spiegazione di questa proprietà deriva direttamente dalla proprietà precedente. Infatti due potenze che hanno la stessa base e lo stesso esponente, es. 32 e 32, sono due numeri uguali (9) ed il quoziente di due numeri uguali (9:9) è uguale a 1. D’altra parte per quanto detto sopra:
32 : 32 = 30
per cui:
30 = 1
se le potenze non hanno la stessa base per eseguire le moltiplicazioni o le divisioni bisogna prima eseguire le potenze e poi moltiplicare o dividere i risultati.
La radice
La radice è l’operazione contraria della potenza, un po’ come la sottrazione lo è
dell’addizione e la divisione della moltiplicazione.
La radice deve essere caratterizzata da un aggettivo: radice quadrata, radice cubica, radice quarta, quinta ecc. che ne definisce il significato.
La radice quadrata (o seconda) di un numero è un altro numero che elevato al quadrato
dà il numero dato; es. la radice quadrata di 4 è 2 perché 22 = 2×2 = 4, oppure la radice
quadrata di 25 è 5 perché 52 = 5×5 = 25. Il simbolo che si usa per indicare questa operazione è:
in cui il numero in apice in alto a sinistra rappresenta il grado della radice (in questo caso seconda o quadrata).
La radice cubica (o terza) di un numero è un altro numero che elevato alla terza potenza
dà il numero dato; es. la radice cubica (o terza) di 8 è 2 perché 2 3 = 2×2×2 = 8, oppure
37
Proprietà delle potenze (IV)
30
32
32
1
Una potenza con esponente 0 è
uguale a 1 qualunque sia la base
32
23
9
8
72
32
23
9
8
1
R1
Se non hanno la stessa base eseguire le
potenze e poi moltiplicare o dividere i risultati
La radice
Operazione contraria della potenza
Indicata con il simbolo
Caratterizzata da un numero ordinale: “grado”
2
3
4
La radice di un numero è un altro numero che
elevato alla potenza del grado dà il numero dato
38
la radice cubica di 27 è 3 perché 33 = 3×3×3 =27. Ed in questo caso si scrive:
Analogo è il significato di radice quarta, quinta ecc.
L’esecuzione pratica dell’operazione, almeno per quanto riguarda la radice quadrata, è
laboriosa ma non molto complessa. Noi comunque non ci soffermeremo su questo argomento sottolineando soltanto che oggi anche le calcolatrici più semplici eseguono
questi calcoli in una frazione di secondo.
Espressioni aritmetiche
Se una persona esce di casa con 100 €, va al supermercato e vuole tenere traccia dei soldi che le restano in tasca, deve eseguire un certo numero di operazioni che rientrano fra
quelle viste nei paragrafi precedenti. Nella Tabella 2 è riportato un semplice esempio.
Tabella 2 - Espressioni aritmetiche
La persona esce di casa con 100 €
100
Al supermercato fa un reso di 3 confezioni da 5 € cad
3×5
+15
Compra una confezione multi prodotto di 40 € che divide
40:2
-20
3×4
-12
2×2×2=23
-8
con un’altra persona
Compra 3Kg di frutta che costa 4 €/Kg
Compra 2 confezioni da 2 litri di detersivo che costa 2 €/lt
Residuo €
75
Il calcolo effettuato nella tabella è un insieme di operazioni aritmetiche che possiamo
indicare con:
100 + 3×5 – 40:2 - 3×4 - 23
e che prende il nome di “espressione aritmetica”.
Un’espressione aritmetica quindi è la rappresentazione sintetica di un insieme di operazioni legate ad una serie di attività semplici, come nell’esempio fatto, o anche più com-
39
La radice. Esempi
2
4
=
2
=
2
x
2
25
=
5
8
=
2
22
2
3
=
52
23
4
=
25
=
8
Espressioni aritmetiche
Una persona esce di casa con 100 €
100
Al super fa un reso di 3 confezioni da 5 € cad
3x5
+15
Compra prodotto da 40 € e divide con altra persona
40:2
-20
Compra 3 Kg di frutta a 4 €/Kg
3x4
-12
23 =2x2x2
-8
Compra 2 confezioni da 2 litri di detersivo a 2 €/lt
Residuo €
100+3x5-40:2-3x4-23 =
= 100+15-20-12-8 = 115-20-12-8
= 95-12-8 = 83-8 = 75
40
75
plesse ma comunque legate a fatti concreti della vita di ogni giorno.
Detto questo però bisogna subito mettere in guardia sull’insidia che queste rappresentazioni sintetiche nascondono se non si seguono alcuni criteri nell’eseguire i calcoli. Noi
che siamo arrivati all’espressione aritmetica seguendo i fatti concreti descritti nella tabella non abbiamo avuto dubbi su come eseguire i calcoli e abbiamo visto che i soldi
rimasti alla persona alla fine delle sue attività ammontavano a 75 €.
Ma supponiamo di trovarci davanti alla stessa espressione senza sapere cosa rappresenta
e proviamo ad eseguire le operazioni nel modo in cui sembrerebbe naturale procedere,
cioè da sinistra verso destra:
100 +5×3–40:2-3×4-23
Cominceremmo facendo 100+3=103; poi 103×5=515; poi 515-40=475; poi 475:2=237
(col resto di 1 che trascuriamo); poi 237-3=234; poi 234×4=936; poi 936-2=934 e infine
9343=814.780.504, arrivando così ad un risultato ben diverso e soprattutto errato.
Per evitare di incorrere in questo errore di interpretazione è stata stabilita convenzionalmente una procedura che prevede che nelle espressioni le operazioni vengano eseguite nel seguente ordine di priorità:
1. Prima le potenze e le radici
2. Poi le moltiplicazioni e le divisioni
3. Infine le addizioni e le sottrazioni
Seguendo questi criteri l’espressione precedente si calcola così e solo così:
100+3×5-40:2-3×4-23 = 100+3×5–40:2-3×4-8 = 100+15-20-12-8 = 75
che è il risultato corretto già visto.
L’ordine di esecuzione delle operazioni sopra descritto sembra un po’ limitativo. Ci sono dei casi in cui vorremmo eseguire prima la somma o la differenza di due numeri e
poi moltiplicare il risultato per un altro numero. Ad esempio come facciamo a scrivere
un’espressione in cui vogliamo prima sommare 100+3 e poi moltiplicare il risultato
(103) per 4 e ottenere così 412? Se scriviamo 100+3×4 i criteri sovra esposti ci imporrebbero di eseguire prima 3×4 e poi di sommare il risultato (12) a 100 ottenendo 112.
Questo dilemma si risolve con un’altra convenzione che prevede l’uso delle parentesi.
41
Semplice? Ma attenzione!
100+3x5-40:2-3x4-23 = 75
103x5-40:2-3x4-23 =
= 515-40:2-3x4-23 =
= 475:2-3x4-23 =
= 237-3x4-23 = 234x4-23 =
= 936-23 = 9343 = 814.780.504
Priorità di esecuzione
Pi
Prima
le
l potenze
t
Poi le moltiplicazioni e le divisioni anche
contemporaneamente
Poi le addizioni e le sottrazioni anche
contemporaneamente
42
Più precisamente se si scrive: (100+3)×4 si vuole indicare che l’operazione racchiusa
nelle parentesi deve essere eseguita prima di applicare i criteri sopra riportati. Quindi:
(100+3)×4=103×4=412
mentre:
100+3×4=100+12=112
Le parentesi prevalgono sui criteri di priorità evitando così ogni possibile confusione.
Ci sono dei casi un po’ più complessi che prevedono l’uso di diversi tipi di parentesi. Si
usano e, per lo più, sono sufficienti, tre tipi di parentesi:
le parentesi tonde ( )
le parentesi quadre [ ]
le parentesi graffe
Quando in un’espressione si trovano queste parentesi si vuole indicare che si devono eseguire prima le operazioni indicate nelle parentesi tonde, poi quelle nelle parentesi
quadre, poi quelle nelle parentesi graffe. Ogni volta che si eseguono le operazioni, le parentesi in cui erano inserite si tolgono ed al loro posto si scrivono i relativi risultati.
Nell’esecuzione delle espressioni contenute all’interno delle parentesi e dell’espressione
che rimane dopo che tutte le parentesi sono state tolte si applicano i criteri di priorità.
Esempio:
eseguiamo dapprima le operazioni indicate nelle parentesi tonde, sostituendo al loro posto il risultato delle operazioni e togliendo le parentesi tonde che le contenevano:
Dovremmo ora eseguire le operazioni contenute nelle parentesi quadre, ma notiamo che
all’interno della seconda parentesi quadra c’è una potenza 5 2 che, per la regola delle
priorità applicata all’interno della parentesi, deve essere eseguita per prima:
Ora possiamo procedere all’eliminazione delle parentesi quadre:
43
Esecuzione corretta
100+3x5-40:2-3x4-23 =75
100+3x5-40:2-3x4-8 =
= 100+15-20-12-8 = 75
2 possibili casi

Primo caso
• Ho 100 €
€. Vendo 3 Kg a 4 €/Kg
100 + 3 x 4 = 100 + 12 =112 €

Secondo caso
• 100 persone donano 4 € ciascuna
100 x 4 = 400 €
• Arrivano altre 3 persone che donano pure 4 €
ciascuna
100 + 3 x 4 = 103 x 4 = 412 €
44
Le parentesi e l’ordine di esecuzione

Parentesi tonde ( )

Parentesi quadre [ ]

Parentesi graffe { }

Eventuali doppie parentesi {{ }}

Potenze

Moltiplicazioni e divisioni

Addizioni e sottrazioni
I due casi
100 + 3 x 4 =
= 100 + 12 = 112
= ((100+3)) x 4 =
= 103 x 4 = 412
45
Ancora una volta per la regola delle priorità, prima di eliminare le parentesi graffe bisogna eseguire la potenza in esse contenuta:
E infine:
Data l’importanza dell’argomento, pensiamo che non sia superfluo né ridondante riassumere quanto fin qui detto.
Le espressioni aritmetiche sono una rappresentazione sintetica di una serie di operazioni
che devono essere eseguite in un certo ordine convenzionalmente ma univocamente stabilito. Per indicare in quale ordine si devono eseguire le operazioni si usano dei segni
convenzionali, le parentesi, sempre in coppia e disposte una all’inizio e una alla fine
delle operazioni da eseguire. Le parentesi sono generalmente di tre tipi: tonde, quadre e
graffe e, sempre per convenzione, si eseguono prima le operazioni contenute nelle parentesi tonde, poi quelle nelle parentesi quadre ed infine quelle nelle graffe 7. Ogni volta
che le operazioni contenute all’interno di un tipo di parentesi sono eseguite, le parentesi
si tolgono ed al loro posto si inserisce nell’espressione il risultato dell’operazione eseguita8.
Infine nell’eseguire le operazioni contenute all’interno delle parentesi e quelle finali che
rimangono dopo che tutte le parentesi sono state tolte, bisogna tener presenti i criteri di
priorità che prevedono che vengano eseguite prima le potenze e le radici, poi i prodotti e
le divisioni e infine le somme e le sottrazioni.
Divisibilità e numeri primi
Quando si effettua la divisione fra due numeri e si ottiene un resto uguale a zero, si dice
7
È evidente che nell’espressione le parentesi tonde sono interne rispetto alle quadre che, a loro volta, so-
no interne alle graffe.
8
Se necessario, si può usare anche più volte lo stesso tipo di parentesi ed in questo caso l’ordine di esecu-
zione si ricava dalla loro posizione nell’espressione, si procede cioè eseguendo prima le parentesi più interne e poi quelle più esterne.
46
Un esempio più completo
{[(25-21)+(4-3)]2 – [(10+23) - (11-6)2]}x3=
={[4+1]2 - [33-52]}x3=
={[4+1]2 - [33-25]}x3=
={52 - 8}x3=
={25 - 8}x3=
=17x3=51
Esercizi
{[(20-5):5+1]2+(4x2-5)-19}x4 =0
{[(22+6:3)-(3x7-15)]+[(2x3+4)+(2x3-4)]}=12
{[(5x2-32)+23]}+{[52-(3x4+24:2)]}=10
2x3+32-6x3:2+33:32-32 =0
47
che il primo numero (il dividendo) è “divisibile” per il secondo (il divisore). Per esempio, 6 è divisibile per 3 perché 6:3=2 col resto di zero.
In questi casi si dice che il primo numero è “multiplo” del secondo ed il secondo numero è “sottomultiplo” del primo. Il primo numero inoltre è ovviamente maggiore del secondo. Nell’esempio 6 è multiplo di 3 mentre 3 è sottomultiplo di 6.
In alcuni casi è possibile verificare se un numero è divisibile per un altro senza bisogno
di eseguire la divisione ma applicando delle semplici regole riportate qui di seguito.
Queste regole non sono delle convenzioni ma potrebbero essere spiegate con dimostrazioni logiche che, per semplicità, omettiamo
Premettiamo innanzi tutto che tutti i numeri sono divisibili per 1 e per sé stessi. Infatti,
come già si è detto, dividendo un numero per sé stesso si ottiene 1 e dividendo un numero per 1 si ottiene lo stesso numero.
divisibilità per 2 – un numero è divisibile per 2 se è un numero pari
divisibilità per 3 – un numero è divisibile per 3 se la somma consecutiva delle
sue cifre è 3 o un multiplo semplice di 3, ossia 6 oppure 9. Per somma consecutiva intendiamo la somma delle cifre che si ottengono fino ad arrivare ad una sola cifra. Per esempio proviamo se 57.480 è divisibile per 3: sommando le sue cifre si ottiene 24 e sommando le cifre di 24 si ottiene 6. Quindi è divisibile. Invece 57.481 ha come somma delle cifre 25 e quindi 7; perciò non è divisibile.
divisibilità per 4 – un numero è divisibile per 4 se le sue ultime due cifre sono
due zeri o un numero divisibile per 4. Es. 57.480 è divisibile per 4 perché 80 è
divisibile per 4. Come criterio alternativo si può dire che un numero è divisibile
per 4 se dividendolo per 2 si ottiene un numero pari.
divisibilità per 5 – un numero è divisibile per 5 se l’ultima cifra è 5 oppure 0.
Es. 57.480 è divisibile per 5 perché finisce con 0.
divisibilità per 9 – un numero è divisibile per 9 se la somma consecutiva delle
sue cifre è 9. Es. 57.480 non è divisibile per 9 perché la somma consecutiva delle cifre è 6. È invece divisibile 57.483 perché la somma consecutiva è 9.
divisibilità per 10, 100, 1000 ecc. – sono divisibili per 10 tutti i numeri che finiscono con uno zero, per 100 tutti i numeri che finiscono con due zeri, per 1000
tutti i numeri che finiscono con tre zeri ecc.
48
Divisibilità - Concetto
Possibilità di dividere “esattamente” un
insieme di oggetti in tanti insiemi uguali
Divisibile
Non divisibile
Divisibilità
6
3
2
R=0
6 è divisibile per 3
7
3
2
R=1
7 non è divisibile per 3
Un numero è divisibile per un altro quando il resto
della divisione del primo per il secondo è zero
49
Multipli e sottomultipli
6
3
2
R=0
6 è divisibile per 3
6 è un multiplo di 3
3 è un sottomultiplo di 6
Se il resto della divisione fra due numeri è zero
il dividendo è un multiplo del divisore e il
divisore è un sottomultiplo del dividendo
Criteri di Divisibilità I
Divisibilità
per
1
Tutti i numeri
2
I numeri pari
3
I numeri in cui la
somma consecutiva
delle cifre è 3-6-9
50
Criteri di Divisibilità II
Divisibilità
per
4
I numeri la cui metà
è un numero parii
5
I numeri che
terminano con 0-5
9
I numeri in cui la
somma consecutiva
delle cifre è 9
Criteri di Divisibilità III
Divisibilità
per
10
I numeri che
tterminano
i
con 0
100
I numeri che
terminano con 00
1000
I numeri che
terminano con 000
……
51
divisibilità per 11 – per verificare se un numero è divisibile per 11 si sommano
le cifre di posto pari e quelle di posto dispari e si fa la differenza fra il maggiore
e minore dei due risultati. Il numero risulta divisibile per 11 se questa differenza
è zero o un multiplo di 11. Per esempio per 57.480 la somma delle cifre di posto
dispari è 9 (5+4+0) e la somma delle cifre di posto pari è 15 (7+8) la differenza
fra 15 e 9 è 6 che non è un multiplo di 11 e quindi 57.480 non è divisibile per
11. Invece è divisibile per 11 il numero 80.806 perché la somma delle cifre di
posto dispari (8+8+6) è 22 quella delle cifre di posto pari (0+0) è 0 e la loro differenza è 22 che è un multiplo di 11.
Scorrendo la serie dei numeri naturali si osserva che ci sono alcuni numeri che non sono
divisibili per nessun altro numero se non per sé stessi e per 1. Questi numeri si chiamano “numeri primi”. Sono per esempio numeri primi 2, 3, 5, 7, 11 ecc.
I numeri primi sono infiniti ed un semplice criterio per individuarli nella serie dei numeri naturali è chiamato il “crivello di Eratostene” 9 dal matematico greco che lo ideò. Se si
vogliono individuare, per esempio, i numeri primi contenuti nella serie dei numeri naturali da 1 a 60 si procede in questo modo. Scriviamo innanzi tutto i numeri da 1 a 60:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32
33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60.
Togliamo dalla serie tutti i multipli del primo numero primo che si incontra, cioè 2 (il
numero 1 è anche un numero primo, ma molto particolare e non si conta).
La serie diventa:
1 2 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57
59.
Togliamo ora tutti i multipli del secondo numero primo della serie che è 3. Si ha:
1 2 3 5 7 11 13 17 19 23 25 29 31 35 37 41 43 47 49 53 55 59.
Il numero primo successivo al 3 è 5. Togliamo dalla serie i multipli di 5:
9
Eratostene (276-194 a.C.) matematico greco
52
Criteri di Divisibilità IV
Divisibilità
per
I numeri in cui la
differenza fra la somma
delle cifre di posto pari e
di posto dispari è zero o
un multiplo
p di 11
11
Esempio divisibilità per 11
5+4+0=9
57 480
57.480
6≠0
15 9 6
15-9=6
7+8=15
6 non multiplo
8+8+6=22
80.806
22≠0
22-0=22
0+0=0
22 multiplo
53
57.480 non
è divisibile
80.806
80
806 è
divisibile
Il crivello di Eratostene (1-100)
1
11
21
31
41
51
61
71
81
91
2
12
22
32
42
52
62
72
82
92
3
13
23
33
43
53
63
73
83
93
4
14
24
34
44
54
64
74
84
94
5
15
25
35
45
55
65
75
85
95
6
16
26
36
46
56
66
76
86
96
7
17
27
37
47
57
67
77
87
97
8
18
28
38
48
58
68
78
88
98
9
19
29
39
49
59
69
79
89
99
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
I numeri composti
Tutti i numeri che non sono primi si
chiamano “composti”
Perché possono essere considerati come
prodotto di due o più numeri
Esempi:
6
2 9
2×9
2×3
18
15
3×6
2×3×3
3×5
54
1 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59.
Il numero primo successivo a 5 è 7, ma nella serie non ci sono più multipli di 7, né di
11, né di 13 né di tutti gli altri numeri rimasti che sono dunque tutti numeri primi.
Allo stesso modo si dovrebbe procedere anche per serie più lunghe perché non esistono
formule o procedimenti più brevi di quello empirico qui illustrato.
Scomposizione in fattori primi
I numeri della serie naturale che non sono primi si chiamano “numeri composti”. Ciò
significa che essi possono essere considerati come prodotti di altri numeri più piccoli.
Ad esempio 6, che non è un numero primo, può essere considerato come il prodotto di
2×3, 15 può essere considerato come il prodotto di 3×5 mentre 18 presenta più alternative perché può essere considerato come il prodotto di 6×3 oppure di 9×2 o anche di
2×3×3.
Fra tutte i possibili prodotti alternativi che possono formare un numero composto, come
nel caso di 18, merita particolare attenzione quello in cui i singoli fattori sono numeri
primi, che nel caso di 18 è 2×3×3. Per ogni numero esiste uno solo di tali prodotti che si
ricava con un procedimento detto “scomposizione in fattori primi”.
Per scomporre un numero in fattori primi bisogna tener presente sia i criteri di divisibilità sia la serie dei numeri primi vista sopra.
Illustriamo il procedimento scomponendo in fattori primi, per esempio, il numero 240.
Consideriamo ora il primo “numero primo” della serie, cioè 2, e verifichiamo se 240 è
divisibile per 2. Lo è perché è un numero pari. Dividiamo allora 240 per 2, ottenendo
120. Possiamo quindi dire che
240 = 120×2
Anche 120 è ancora divisibile per 2 ed il quoziente è 60. Quindi:
240 = 60×2×2
Anche 60 è divisibile per 2 ed il quoziente è 30. Quindi:
240 = 30×2×2×2
55
E ancora 30 è divisibile per 2 ed il quoziente è 15. Quindi:
240 = 15×2×2×2×2
Il 15 non è più divisibile per 2. Proviamo allora col successivo numero primo, cioè 3. Il
15 è divisibile per 3 perché la somma delle sue cifre 6 è multiplo di 3. Il quoziente è 5.
Quindi:
240 = 5×3×2×2×2×2
Poiché 5 è un numero primo non si può procedere ad ulteriori scomposizioni.
L’espressione finale dunque è l’ultima riportata che può scriversi più propriamente:
240 = 5×3×24
Nella pratica la scomposizione si esegue più sinteticamente eseguendo i vari passaggi
illustrati ponendo, rispetto ad una linea verticale, a sinistra il numero da scomporre e i
successivi quozienti e a destra i numeri primi man mano utilizzati fino a raggiungere il
quoziente 1:
240
120
60
30
15
5
1
2
2
2
2
3
5
e quindi scrivere l’espressione:
240 = 24×3×5
Può risultare utile a questo punto fare un altro esempio di scomposizione con un numero
diverso. Prendiamo allora il numero, già più volte usato in precedenza, cioè 57.480 e
procediamo alla sua scomposizione usando direttamente il metodo pratico appena illustrato.
56
57.480 2
28.740 2
14.370 2
7.185 3
2.395 5
479 479
1
57.480 = 23 3 5 479
Dopo alcuni passi semplici la scomposizione ha portato ad un numero 479, che è un
numero primo. Come abbiamo fatto a riconoscere che 479 era un numero primo? Dopo
aver verificato che nessuno dei criteri di divisibilità era applicabile, avremmo potuto usare il crivello di Eratostene, ma sarebbe stato un procedimento troppo lungo. L’unico
metodo possibile è quello di verificare la divisibilità eseguendo le divisioni di 479 per i
numeri primi per i quali non esistono criteri di divisibilità. Questo metodo risulta più
breve rispetto al crivello di Eratostene perché è sufficiente continuare la verifica finché
il quoziente diventa inferiore al divisore o, il che è lo stesso, fino a quel numero primo il
cui quadrato è maggiore del numero dato. Nel caso di 479 basta verificare che non è divisibile per i numeri primi 7 13 17 19 23 e non occorre più andare avanti perché 479:23
è uguale a 20 (con un certo resto che non ci interessa) 10 o anche perché 23 23=529 che
è maggiore di 479.
La scomposizione in fattori primi non è un’operazione fine a sé stessa, ma è propedeutica per altre applicazioni che vedremo in seguito. A tale proposito anticipiamo qui due
concetti che risulteranno molto importanti nello studio delle frazioni: il massimo comun
divisore ed il minimo comune multiplo.
10
Se continuiamo ad eseguire le divisioni con numeri primi maggiori di 23, otteniamo quozienti inferiori
a 20 e nessuno di questi quozienti può essere esatto, cioè con resto zero. Infatti in una divisione se si divide il dividendo per il quoziente si ottiene il divisore e si è già verificato che nessun divisore inferiore a 23
ha prodotto una divisione con resto zero.
57
Scomposizione in fattori primi
Trasformare un numero composto in un
prodotto di uno o più numeri “primi”
6
2×3
Si
15
3×5
Si
2×9
18
No
No
3×6
2×3×3
Si
Esempi di scomposizione
240 2
57.480 2
120 2
28.740 2
60 2
14.370 2
30 2
7.185 3
15 3
2.395 5
5 5
479 479
1
1
240=2×2×2×2×3×5=
57.480=2×2×2×3×5×479=
=24×3×5
=23×3×5×479
58
Massimo comun divisore
I numeri composti, come si è detto, sono tutti quelli che non risultano numeri primi. Essi cioè, oltre ad essere divisibili per 1 e per sé stessi, hanno dei divisori che a volte possono anche essere molto numerosi.
Per esempio 48 è divisibile per 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48. Infatti se si divide 48 per
uno qualsiasi di questi numeri si ha un quoziente esatto, cioè senza resto. Analogamente
un altro numero, es. 72, è divisibile per 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72. Come si
può notare 48 e 72 hanno molti divisori comuni, oltre a 1, cioè 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Il
maggiore fra questi numeri, cioè 24, è chiamato il “massimo comun divisore” e si indica, per lo più, con le iniziali (maiuscole) di questo appellativo: MCD.
Un metodo semplice per trovare il MCD di due (o più) numeri è il seguente:
si scompongono i numeri in fattori primi:
48
24
12
6
3
1
2
2
2
2
3
72
36
18
9
3
1
2
2
2
3
3
si nota che i numeri hanno in comune tre volte il fattore 2, cioè 2×2×2 = 23 e
una volta il fattore 3, quindi hanno in comune 23×3 = 8×3 = 24 che è il MCD
Poiché dalla scomposizione in fattori primi possiamo scrivere:
48 = 24×3
e
72 = 23×32
ricaviamo che “per trovare il MCD di due (o più) numeri, si scompongono i numeri in
fattori primi e si prendono i fattori comuni, una sola volta, col minimo esponente”.
Può accadere che due (o più) numeri non abbiano divisori comuni, eccetto 1. Per esempio 30 e 77 non hanno divisori comuni. Infatti, scomposti in fattori primi, 30=2×3×5 e
77=7×11 e, come appare evidente, non hanno fattori primi comuni tranne 111.
In questo caso i numeri si chiamano “primi fra loro”. Si noti che ognuno di essi non è un
11
Nella scomposizione in fattori primi, 1 è sempre presente come ultimo fattore della scomposizione, ma
normalmente non lo si indica fra i fattori perché non ne fa cambiare il prodotto.
59
Massimo comun divisore
Divisori
di 48
Divisori
di 72
Divisori
comuni
1
1
2
2
1
3
4
3
2
6
4
6
3
4
8
8
9
6
12
24
48
12 18 24 36 72
8
Massimo Divisore Comune (MCD)
16
12
24
24
MCD - Procedimento
48
=
24
x
3
=
23
x
2
x
3
72
=
23
x
32
=
23
x
3
x
3
MCD
=
23
x
3
=
24
Per trovare il MCD fra due o più numeri si scompongono
i
numeri in fattori primi e si moltiplicano i fattori comuni
presi una sola volta col minimo esponente
60
numero primo, ma “fra loro” sono primi perché non hanno divisori comuni.
Minimo comune multiplo
Come si è detto ogni numero ha dei multipli che sono il prodotto di quel numero per altri numeri. Ad esempio 6 ha come multipli 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 ecc. che
sono i prodotti di 6 rispettivamente per 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ecc. Analogamente un
altro numero, es. 4, ha come multipli 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 ecc. che sono
rispettivamente i prodotti di 4 per 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ecc. Come si può notare i
due numeri 4 e 6 hanno molti multipli comuni, cioè 12 24 36 48 ecc. Si chiama “minimo comune multiplo” e si indica con “mcm” il più piccolo di questi multipli comuni, in
questo caso 12.
Anche in questo caso il procedimento per trovare il mcm fra due (o più) numeri prevede
la scomposizione in fattori primi:
4=22
6=2×3
dopo di che il mcm si ottiene prendendo i fattori comuni e non comuni, di cui i comuni
presi una sola volta col massimo esponente 12. Per cui:
mcm = 22×3 = 12
Notiamo infine che di due o più numeri esiste sempre un mcm. Infatti anche se i numeri
fossero primi fra loro il mcm sarebbe uguale al loro prodotto. Es. i due numeri primi fra
loro già visti, 30 e 77, hanno come mcm il loro prodotto cioè 2.310. Infatti questo risultato si ottiene anche col procedimento illustrato perché:
30 = 2×3×5
77 = 7×11
mcm = 2×3×5×7×11 = 2.310
12
Infatti se si prendessero quelli col minimo esponente il prodotto non risulterebbe multiplo anche
dell’altro numero (3×2 = 6 è multiplo di 3 ma non anche di 4) mentre se i fattori comuni si prendessero
tutti, invece che una sola volta, il numero sarebbe ancora un multiplo dei due numeri, ma non il minimo
multiplo (3×2×22 = 24). Infine se non si prendessero tutti, per esempio non si prendesse il 3, il multiplo
non sarebbe comune ai due numeri.
61
Minimo comune multiplo
Multipli
di 4
4
8
Multipli
di 6
6
12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72
Multipli
comuni
12
12 16 20 24 28 32 36 40 44 48
24
36
48
60
minimo multiplo comune (mcm)
72
…
12
mcm - Procedimento
mcm
4
=
22
6
=
2
x
3
=
22
x
3
=
12
Per trovare il mcm fra due o più numeri si scompongono
i
numeri in fattori primi e si moltiplicano i fattori comuni e
non comuni presi una sola volta col massimo esponente
62
Numeri primi fra loro
mcm
=
30
=
2
x
3
77
=
7
x
11
MCD
=
1
5
x
2
x
3
x
x
5
7
x
11
=
2310
Due numeri sono primi fra loro quando il MCD = 1
Il mcm di due numeri primi fra loro è il loro prodotto
Esercizi: trovare MCD e mcm

12; 45
(MCD=3;mcm=180)

6; 36; 72
(MCD=6;mcm=72)

10; 60; 350
(MCD=10;mcm=2100)

6; 35; 143
(MCD=1;mcm=30.030)

25.200; 210
(MCD=210;mcm=25.200)

114; 70
(MCD=2;mcm=3.990)
63
Capitolo 3 – Numeri decimali e frazioni
Abbiamo visto finora come i concetti di unità e di molteplicità abbiano generato i numeri, le numerazioni e le operazioni aritmetiche. Ma il concetto di unità si è ben presto associato nella mente umana anche con il concetto di parte dell’unità. In realtà il concetto
di parte di un insieme è già insito nell’operazione di divisione, ma in questa operazione
abbiamo tacitamente assunto che si dividesse una pluralità di oggetti in tanti insiemi più
piccoli ciascuno contenente un numero uguale di oggetti interi. Nell’esempio fatto a suo
tempo si è parlato di un cesto di mele da suddividere in tanti cestini ciascuno contenente
un numero uguale di mele intere. Se non si riusciva a dividere tutte le mele in parti uguali ne restava qualcuna nel cesto.
Ma noi sappiamo che anche una mela può essere divisa in due o più parti uguali, solitamente in due metà o in quattro quarti o anche in un maggior numero di parti. Cioè è
possibile avere degli oggetti che sono più piccoli di uno.
Nella serie dei numeri naturali il numero minore di uno è zero, ma queste parti di mela
non sono zero.
Come facciamo a rappresentare matematicamente questo concetto?
In due modi diversi ma collegati: i numeri decimali e le frazioni.
I numeri decimali
Abbiamo visto che le cifre di un numero naturale, da destra verso sinistra, rappresentano
insiemi sempre più grandi: unità decine e centinaia semplici, unità decine e centinaia di
migliaia, unità decine e centinaia di milioni ecc.
64
L’unità e la parte
6
:
2
3
7
:
2
3
Resto 1
7
:
2
3 e mezzo
La parte
È minore dell’unità
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
0<1
La parte è compresa fra 0 e 1
Numeri decimali
Come si
rappresenta?
Frazioni
65
Ricordiamo lo schema adottato:
Miliardi
Milioni
Migliaia Semplici
c d u c d u c d u
c d
u
Con analogo criterio, per rappresentare numeri più piccoli dell’unità semplice, ossia più
piccoli di 1, si scrivono altre cifre a destra dell’unità semplice separandole dalle altre
con una virgola13. Quindi lo schema diventa:
Miliardi
Milioni
Migliaia
c d u c d u c d u
Semplici
c
d
u
di unità
, dc ct
ml
di millesimi
dc
ct
ml
e le cifre a destra della virgola sono decimi (dc), centesimi (ct) e millesimi (ml) di unità,
poi decimi centesimi e millesimi di millesimi ecc.
Questi numeri si chiamano “numeri decimali” ed in essi le cifre a sinistra della virgola
indicano gli oggetti interi, quelle a destra le parti di oggetto più piccole dell’oggetto
stesso14.
Facciamo ora qualche esempio:
se diciamo che in un cestino ci sono 6,3 mele vogliamo dire che ci sono 6 mele e
3 pezzi di una mela tagliata in 10 pezzi uguali (tre decimi di mela). Cioè con
questo sistema si assume che l’oggetto (in questo caso la mela) venga diviso in
10 parti uguali e la prima cifra dopo la virgola rappresenta quante di queste parti
sono presenti nel cestino. Il numero 6,3 si legge “sei virgola 3” oppure “sei e tre
decimi”.
Se nel cestino ci sono 6,4 mele, significa che ci sono 6 mele e 4 pezzi di una me-
13
Ricordiamo che per separare i gruppi a sinistra dell’unità semplice si usano i punti (.) che però sono facoltativi e possono essere omessi. La virgola di separazione dei numeri a destra dell’unità semplice,
quando sono presenti, deve essere invece sempre indicata.
14
È opportuno chiarire che l’aggettivo “decimale” è stato usato fin qui con due significati diversi. Nel
Capitolo 1 abbiamo detto che il sistema di numerazione che normalmente si usa si chiama “sistema di
numerazione decimale” perché utilizza dieci cifre (da 0 a 9) per rappresentare tutti i numeri. In questo capitolo abbiamo chiamato “numero decimale” un numero in cui alcune cifre rappresentano parti di oggetto
più piccole dell’unità. Anche se l’aggettivo è lo stesso i due concetti sono diversi e non devono essere
confusi.
66
I numeri decimali
Mld
ML
M
c d u
c d u
c d u
S
di unità
c d u , dc
Interi
ct ml
di
millesimi
dc
ct ml
Parti
Virgole e punti (sistema europeo)

Le virgole
• separano le cifre decimali da quelle degli interi
• se ci sono cifre decimali devono essere sempre
indicate

I punti
• sono facoltativi
• separano
p
le cifre dei gruppi:
g pp semplici,
p , migliaia,
g
,
milioni, miliardi ecc.
• possono essere posti in alto o in basso
• servono a migliorare la leggibilità
67
la divisa in 10 pezzi uguali, cioè l’oggetto viene sempre diviso in 10 parti uguali,
ma in questo caso se ne sono prese 4.
Se nel cestino ci sono 6,31 mele (in questo caso ci sono due cifre dopo la virgola) vuol dire che nel cestino ci sono 6 mele intere (6 unità semplici), 3 pezzi di
una mela divisa in 10 parti (3 decimi) e 1 pezzo di una mela divisa in 100 parti
(1 centesimo). Notiamo che possiamo anche dire che nel cestino ci sono 6 mele
intere e 31 parti di una mela divisa in 100 parti (31 centesimi). Avremo quindi 6
virgola 31 mele oppure 6 mele e 31 centesimi di mela. Si tenga presente che se
scriviamo 6,30 indichiamo 6 mele e 30 centesimi di mela oppure, il che è lo
stesso, 6 mele 3 decimi e zero centesimi di mela. Pertanto 6,30 e 6,3 rappresentano la stessa quantità, cioè 6,30 = 6,3. È questa la ragione per cui si dice che gli
zeri dopo la virgola non contano. Attenti però! Infatti, per es., 6,03 e 6,3 non sono la stessa cosa perché nel primo caso oltre alle sei mele ci sono 3 centesimi di
mela mentre nel secondo 3 decimi di mela che sono quantità molto diverse. Per
cui gli zeri dopo la virgola non contano solo se sono le ultime cifre a destra.
Consideriamo ora 6,312 mele. In questo caso 312 sono millesimi, cioè pezzi di
una mela tagliata in mille pezzi. Quindi avremo 6 mele e 312 millesimi di mela
oppure 6 mele, 3 decimi, 1 centesimo e 2 millesimi di mela.
Vediamo infine il caso di 0,3 mele. In questo caso nel cestino non c’è nessuna
mela intera, ma solo 3 decimi di mela, ossia 3 pezzi di una mela tagliata in 10
pezzi.
Potremmo continuare ma a questo punto il significato di “numero decimale” dovrebbe
essere abbastanza chiaro. Vediamo invece come questo aiuta a completare un argomento che avevamo già esaminato: la divisione.
Abbiamo visto che se in una divisione il dividendo non è divisibile per il divisore la divisione non è esatta, cioè si ottiene un quoziente che è un numero intero, ed un resto.
Per esempio: 7 : 2 = 3 col resto di 1.
7 3
1 2
Proviamo a rifare la stessa operazione con i numeri decimali. A tal fine possiamo consi-
68
Esempi (1)
, mele
6,3
• 6 mele intere e 3 pezzi di una
mela tagliata in 10 pezzi
6,4 mele
mela tagliata 1n 10 pezzi
6,31
, mele
• 6 mele intere, 3 pezzi di una mela
tagliata in 10 pezzi e un pezzo di
una mela tagliata in 100 pezzi
6,31 mele
Esempi (2)
6,3 mele
6,30 mele
• 6 mele intere 3 pezzi di una mela
tagliata in 10 pezzi, 0 pezzi di una
Gli zeri dopo la virgola non contano
6,03 mele
• 6 mele intere
intere, 0 pezzi di una mela
tagliata in 10 pezzi e 3 pezzi di
Gli zeri non contano solo se sono le ultime cifre decimali
69
Esempi (3)
,
6,312
mele
• 6 mele intere, 312 pezzi di una
6,312 mele
• 6 mele intere e 3 decimi, 1
centesimo e 2 millesimi di mela
0,3
, mele
• nessuna mela intera, 3 pezzi di
0,3 mele
• 3 decimi di mela
Divisione e numeri decimali
7
:
2
7
:
2
3
3 e mezzo
7
2
1
7
1
,
Resto 1
3
0
2
0
3
-
70
,
5
derare 7 come 7,0 cioè un numero che ha 7 unità e 0 decimi e continuiamo la divisione
tenendo presente che a fianco del resto 1 (unità) possiamo portare la cifra 0 (decimi) ottenendo quindi un resto 10 (decimi) che è lo stesso che 1 unità. Nel proseguire la divisione di 10 decimi per 2 otteniamo quindi 5, ma 5 decimi, che deve quindi essere scritto
dopo una virgola. Cioè:
7, 0
1
2
0 3, 5
-
L’introduzione dei numeri decimali ha permesso di concludere la divisione fra 7 e 2
con un resto di 0.
Purtroppo però le cose non vanno sempre così perché in molti casi la divisione fra due
numeri interi di cui il primo non è divisibile per il secondo non dà mai un resto uguale a
0. Per esempio, per 7:3 si ha:
7, 0 0 0
3
1
2, 3 3 3
0
1 0
1 0
1
da cui risulta evidente che continuando la divisione si otterrà sempre una cifra di 3 nel
quoziente e di 1 nel resto. E chiaro che ciascuna cifra successiva del quoziente rappresenta un’entità sempre più piccola (decimi, centesimi, millesimi ecc.) e quindi il quoziente risulta sempre più preciso, ma non sarà mai esatto.
I numeri decimali come quello appena visto si chiamano “periodici” e la cifra che si ripete, in questo caso il 3, si chiama “periodo”. Il numero di solito è scritto 2
cioè con
una linea sopra la cifra che rappresenta il periodo.
Ci sono casi in cui il periodo è formato da più di una cifra. Per es. 58:11= 5,272727 e
quindi, in questo caso si scrive
.
In altri casi i numeri che si ripetono non cominciano subito dopo la virgola, ma sono
71
Numeri decimali periodici
7
:
7
1
3
,
2
0
3
0
1
,
0
0
0
0
1
,
2
1
7
Resto 1
3
3
2
,
3
3
3
0
1
0
7
1
:
3
2,⎯3
Periodo - Antiperiodo
58 : 11 = 5,272727 = 5, 27
27=periodo
26.297 : 4.950 = 5,31252525 = 5,3125
31 = antiperiodo 25=periodo
72
preceduti da alcune cifre che non si ripetono più e che perciò si chiamano “antiperiodo”.
Per esempio 26.297:4950 = 5,31252525 in cui le cifre 31 sono l’antiperiodo e 25 è il periodo. Il numero in questo caso si scrive
cioè con la linea solo sopra le cifre del
periodo.
Riassumendo e completando: il quoziente della divisione fra due numeri interi di cui il
primo sia divisibile per il secondo è un numero intero; se invece il primo numero non è
divisibile per il secondo, la divisione può essere continuata nel campo dei numeri decimali fino a trovare un quoziente esatto, cioè un numero decimale finito, o un quoziente
che presenta una o più cifre che si ripetono sempre, cioè un numero decimale periodico.
Il numero decimale è finito solo nel caso in cui nella divisione che lo genera il divisore
è un numero divisibile solo per 2 o per 5 o per 2 e per 5.
L’insieme dei numeri interi e dei numeri decimali, finiti o periodici, si chiama “serie dei
numeri razionali”15.
Vedremo più avanti come si può risalire da un numero periodico ai numeri (dividendo e
divisore) che lo hanno generato.
Operazioni con i numeri decimali
Le operazioni matematiche che abbiamo visto per i numeri interi si applicano con le
stesse modalità anche ai numeri decimali, ponendo però particolare attenzione alla posizione della virgola, cioè alla distinzione nel risultato della parte intera dalla parte decimale.
Per l’addizione e la sottrazione non ci sono particolari problemi. Infatti poiché in queste
operazioni si sommano (o si sottraggono) cifre omogenee sia nella parte intera (cioè
unità con unità, decine con decine ecc.) che nella parte decimale (decimi con decimi,
centesimi con centesimi ecc.) basterà avere l’accortezza nell’incolonnare i numeri di disporre le virgole una sotto l’altra.
Per esempio per sommare o sottrarre 87,56 e 42, 23 si disporranno le cifre:
15
Ricordiamo che l’insieme dei numeri interi si chiama “serie dei numeri naturali”. La “serie dei numeri
razionali” comprende quindi la serie dei numeri naturali e la serie dei numeri decimali.
73
Addizione e sottrazione
1
8
7
,
5
6
+
8
7 , 5
6
-
4
2
,
2
3
=
4
2 , 2
3
=
2
9
,
7
9
4
5
3
87,5
+ 42,23
1
,
3
87,50
8
7
,
5
0
+
4
2
,
2
3
=
2
9
,
7
3
Moltiplicazione per multipli di 10
Nel sistema numerico decimale moltiplicare un
numero per 10 equivale a spostarlo a sinistra di un
posto, per 100 di due posti, per 1000 tre posti ecc.
Mld
ML
M
c d u
c d u
c d u
S
di unità
c d u , dc
x 10
x 100
74
ct ml
di
millesimi
dc
ct ml
8 7 , 5 6 +
4 2 , 2 3 =
1 2 9 , 7 9
8 7 , 5 6 4 2 , 2 3 =
4 5 , 3 3
Se poi i numeri da sommare (o sottrarre) non hanno lo stesso numero di cifre decimali,
(per esempio 87,5 e 42,23) a quello che ha un numero inferiore di cifre decimali si aggiungono tanti zeri fino a rendere uguale il numero delle cifre decimali nei due numeri.
In questo caso 87,5 diventa 87,50 e si procede come prima. Come abbiamo visto infatti
gli zeri aggiunti come ultime cifre dopo la virgola non fanno cambiare il valore del numero decimale.
La moltiplicazione di due numeri decimali si esegue come quella dei numeri interi. Il
prodotto che così si ottiene ha un numero di cifre decimali pari alla somma delle cifre
decimali dei fattori16. Così, ad esempio 2,37×4,2 = 9,954. Il prodotto 9,954 ha tre cifre
decimali perché i due fattori hanno rispettivamente due cifre decimali il primo e una cifra decimale il secondo. È ovvio che se l’ultima cifra del prodotto è uno zero essa può
essere omessa, ma solo dopo aver posizionato la virgola. Per esempio 2,35×4,2=9,870
(con tre cifre dopo la virgola) che poi può scriversi anche 9,87.
Una menzione particolare merita il prodotto di un numero decimale per 10, 100, 1000
ecc. cioè per 10 ed i suoi multipli. Il prodotto si esegue semplicemente spostando verso
destra la virgola di tanti posti quanti sono gli zeri: un posto per 10, due per 100 ecc. Se
poi lo spostamento porta oltre l’ultima cifra decimale, si toglie la virgola e si aggiungono gli zeri che mancano. Es. 2,35×10=23,5; 2,35×100=235; 2,35×1000=2350 ecc.
Anche la divisione dei numeri decimali si esegue come quella dei numeri interi prestando attenzione soltanto alla posizione della virgola. In particolare il divisore non deve essere un numero decimale e se lo fosse bisogna renderlo intero ricorrendo alla proprietà
invariantiva della divisione secondo cui il quoziente fra due numeri non cambia se entrambi sono moltiplicati per uno stesso numero. Si moltiplicano allora il dividendo e il
divisore per 10, 100, 1000 cioè per quel multiplo di 10 che, per quanto detto nel paragrafo precedente, permette di spostare la virgola del divisore dopo l’ultima cifra.
16
Quest’affermazione ed alcune altre che seguono su questo stesso argomento potrebbero essere dimostrate, ma preferiamo non appesantire troppo l’esposizione.
75
Divisione per multipli di 10
Nel sistema numerico decimale dividere un numero
per 10 equivale a spostarlo a destra di un posto,
per 100 di due posti, per 1000 tre posti ecc.
Mld
ML
M
S
c d u
c d u
c d u
di unità
c d u , dc
ct ml
di
millesimi
dc
ct ml
: 10
: 100
Procedimento pratico
Mld
c
ML
M
S
d u
d u , dc
di u
di ml
ct
ml
dc
3 4 7 8 , 2
3
5
2
x 10
3 4 7 8 2 , 3
5
2
x 100
3 4 7 8 2 3 , 5
2
: 10
3 4 7 , 8
2
3
5
2
: 100
3 4 , 7
8
2
3
5
d u
c d u
c
c
ct ml
2
Per moltiplicare un numero per un multiplo di 10 si sposta la
virgola a destra di tanti posti quanti gli zeri del multiplo di 10
Per dividere un numero per un multiplo di 10 si sposta la
virgola a sinistra di tanti posti quanti gli zeri del multiplo di 10
76
Esempi
32,47
x 10 =
324,7
32,47
32 47
: 10 =
3,247
3 247
32,47
x 100 =
3247
32,47
x 1000 =
32470
32,47
: 100 =
0,3247
32 47
32,47
: 1000 =
0 03247
0,03247
0,1
x 10 =
1
0,1
: 10 =
0,01
Moltiplicazione
2,37
x
4,2
237
= 9954
2,37x100x4,2x10:100:10
Somma delle cifre
decimali dei fattori
237x42:100:10
2,37 x 4,2 = 9,954
9954:100:10
Perché?
4,2
42
2 37x4 2
2,37x4,2
Posizione della virgola?
2,35 x
x
99,54:10 = 9,954
→
9870
77
→
9,870
→
9,87
Esempi
2,45
x
2,3
=
5,635
,
2,45
x
2
=
,
4,9
0,1
x
0,1
=
0,01
4,25
x
8
=
34
0,02
x
0,5
=
0,01
25
x
0,04
=
1
2,5
x
0,4
=
1
2,5
x
4
=
10
25
x
0,4
=
10
Divisione
Dividendo decimale e divisore intero: si esegue
normalmente
Dividendo intero o decimale e divisore decimale:
bisogna rendere intero il divisore
Si ricorre alla proprietà invariantiva della
divisione: moltiplicando dividendo e divisore per
il multiplo di 10 che rende intero il divisore
79 4
79,4
:
1 25
1,25
=
63 52
63,52
x
x
100
100
7940
:
125
78
=
63,52
Per esempio, vogliamo dividere 79,4 per 1,25; il divisore (1,25) ha due cifre decimali
per cui per renderlo intero bisogna moltiplicarlo per 100. Perché il quoziente rimanga lo
stesso bisogna moltiplicare per 100 anche 79,4. Quindi per fare la divisione:
nel quoziente la virgola si inserisce quando si comincia a considerare la prima cifra dopo la virgola del dividendo.
Una menzione particolare merita anche la divisione dei numeri decimali per 10, 100,
1000 o altri multipli di 10. In questo caso basta spostare la virgola verso sinistra di tanti
posti quanti sono gli zeri del divisore. Se non ci sono abbastanza cifre si aggiungono
degli zeri a sinistra in modo da ottenere le cifre necessarie, poi si mette la virgola e un
altro zero a sinistra di essa. Per esempio se si divide 385, 2 per 100, si sposta la virgola a
sinistra di due cifre, quindi 385,2 : 100 = 3,852. Se però si divide 385,2 per 10.000 bisogna spostare la virgola di quattro posti e, poiché prima della virgola ci sono solo tre
cifre, si aggiunge uno zero a sinistra del 3 e si avrebbe così 385,2 : 10.000 = ,03852. Però quando la virgola è posizionata prima della prima cifra si aggiunge a sinistra di essa
uno zero, per cui il risultato diventa 0,03852.
La potenza di un numero decimale si esegue come quella di un numero intero, cioè moltiplicando il numero per se stesso tante volte quante ne indica l’esponente. Il numero di
cifre decimali e la posizione della virgola nel risultato seguono le stesse regole della
moltiplicazione. Per esempio:
2,32 = 2,3 2,3 = 5,29
2,33 = 2,3 2,3 2,3 = 12,167
Anche le radici dei numeri decimali seguono concettualmente le stesse procedure delle
radici dei numeri interi, anche se con qualche maggiore complessità. Non ci addentriamo in questo argomento che esula dagli scopi di questo testo.
79
Esempi
2,336
23,36
3
30
3
300
50
500
12,5
1250
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
3,2
32
0,1
1
0,01
1
2,5
25
1,25
125
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
0,73
30
300
20
10
Potenza
Potenza = prodotto di fattori uguali fra loro
Posizione della virgola come nei prodotti
2,32 =
2,3x2,3 =
5,29
2,312 =
2,31x2,31 =
5,3361
2,33 =
2,3x2,3x2,3 =
12,167
0,12 =
0,1x0,1 =
0,01
0,13 =
0,1x0,1x0,1 =
0,001
80
Le frazioni
La parola “frazione” deriva dal verbo frangere che significa: rompere, dividere. Infatti la
frazione non è altro che una divisione fra due numeri e la stessa rappresentazione deriva
dal suo nome. Infatti la divisione fra due numeri (es. 9:3) può essere indicata come 9 diviso 3 oppure 9 fratto 3, quindi 9f3, quindi 9/3 e infine
.
La linea che si trova fra i due numeri si chiama “linea di frazione”, il numero sopra la
linea (9) si chiama “numeratore”, il numero sotto la linea (3) si chiama “denominatore”
ed entrambi (9 e 3) si chiamano “termini”.
Nell’esempio fatto il numeratore (9) è maggiore del denominatore (3) e questo era il caso normale che abbiamo incontrato quando abbiamo parlato della divisione. Non solo,
sempre nell’esempio fatto il numeratore (9) è multiplo del denominatore (3) ossia è divisibile per 3, per cui la divisione risulta anche esatta e più precisamente
= 9:3 = 3.
Ma non è necessariamente sempre così perché il numeratore può essere anche più piccolo del denominatore, es.
, perché questo significa, come abbiamo già visto per i nu-
meri decimali, dividere un oggetto in 3 parti e prenderne 1. Il valore della frazione, in
questo caso è
cioè appunto un numero decimale periodico.
Quando si legge una frazione si usa per il numeratore il numero cardinale e per il denominatore il numero ordinale: es.
si legge un terzo. Questa più che una regola è conse-
guenza proprio del loro significato; infatti il denominatore rappresenta il numero di parti
in cui è diviso l’oggetto, es. se è diviso in tre parti ognuna di essa si chiama un terzo,
mentre il numeratore indica quante parti se ne prendono, es. una, in cui la desinenza “a”
oppure “0” si elide e diventa “un”.
Confrontando il numeratore ed il denominatore di una frazione si possono verificare i
seguenti casi:
81
Le frazioni
Frazione = divisione
Numeratore
1:3
1 fratto 3
1f 3
Termini
1/3
1
3
Linea di
frazione
Denominatore
.
1
3
Significato e valore numerico
Significato di 1/3
Una unità divisa
in tre parti uguali
Come si legge?
Numeratore cardinale
Un(o), due, tre ecc.
Denominatore ordinale
2→mezzo, 3→terzo,
4→quarto, ecc.
82
il numeratore della frazione è minore del denominatore, es.
. In questo caso la
frazione si chiama “propria” ed il suo valore è un numero decimale compreso fra
0 e 1. Nell’esempio
.
Il numeratore della frazione è maggiore del denominatore, es.
. In questo caso
la frazione si chiama “impropria” ed il suo valore è un numero maggiore di 1.
Nell’esempio
.
Il numeratore della frazione è uguale al denominatore o è multiplo del denominatore, es.
oppure
. In questo caso la frazione si chiama “apparente”17 ed il
suo valore è un numero intero. Nell’esempio
.
Semplificazione di una frazione
Una frazione è dunque una divisione e, come tale, deve essere applicabile anche alle
frazioni la proprietà invariantiva delle divisioni. Ricordiamo che essa dice che “in una
divisione, se il dividendo ed il divisore sono moltiplicati o divisi per uno stesso numero,
il quoziente non cambia”.
Nel caso della frazione si dirà che “se il numeratore ed il denominatore sono moltiplicati
o divisi per uno stesso numero la frazione (cioè il suo valore) non cambia 18.
Per esempio se moltiplichiamo numeratore e denominatore di
zione
che uguale a
cioè:
e se dividiamo numeratore e denominatore di
17
per 7 otteniamo la fra-
per 2 otteniamo
che è uguale a
:
La frazione è anche impropria.
18
Nel caso in cui numeratore e denominatore siano divisi per uno stesso numero occorre che entrambi
siano multipli di questo numero, perché in una frazione numeratore e denominatore devono essere numeri
interi.
83
Tipi di frazioni
Frazioni
Proprie
Numeratore
<
Denominatore
Valore
<1
Improprie
Numeratore
>
Denominatore
Valore
>1
Apparenti
Numeratore
multiplo del
Denominatore
Valore
>1 e
intero
Esempi
Proprie
Improprie
Apparenti
1
.
2
0,5
3
.
2
1,5
4
2
2
1
3
0,33
5
3
1,66
21
3
7
2
5
0,4
9
4
2,25
4
4
1
3
4
0,75
7
5
1,4
15
3
5
443
936
0,47
987
25
39,48
800
20
40
84
Significato
1
1
5
+
2
5
3
5
6
1
= 1+
5
5
4
5
impropria
5
5
apparente
Frazioni equivalenti
1
2
=
2
4
4
8
=
85
=
8
16
Osserviamo ora che nella frazione
natore per 4 ottenendo
è ancora possibile dividere numeratore e denomi-
che è uguale alla frazione iniziale
ma è più semplice per-
ché i suoi termini sono più piccoli. Questo risultato si poteva ottenere subito osservando
che i possibili divisori di 8 sono 2; 4 e 8 ed i possibili divisori di 24 sono 2; 3; 4; 6; 8 e
12. Perciò 8 e 24 hanno come possibili divisori comuni 2; 4 e 8 e la frazione risulta
semplificata al massimo quando numeratore e denominatore si dividono per il più grande dei divisori comuni che, come si è visto è il MCD (massimo comun divisore). Semplificata al massimo significa che la frazione mantiene lo stesso valore con i suoi termini (numeratore e denominatore) formati dai numeri più piccoli possibili. Si dice quindi
che la frazione è “ridotta ai minimi termini”, ossia è semplificata al massimo perché operare con numeri piccoli è più facile e conveniente che operare con numeri grandi.
Da quanto detto si ricava la regola secondo cui “per ridurre una frazione ai minimi termini si dividono numeratore e denominatore per il loro MCD”.
Operazioni con le frazioni
Le sei operazioni aritmetiche addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, potenza
e radice sono applicabili anche alle frazioni, ma con modalità un po’ diverse da quelle
dei numeri interi e decimali.
In effetti già le operazioni più semplici, l’addizione e la sottrazione, in alcuni casi creano qualche imbarazzo. Infatti pensiamo di avere una torta e di tagliarla in 8 fette uguali.
Ogni fetta è
della torta. Perciò se prendiamo 3 fette abbiamo preso
poi prendiamo altre 2 fette cioè
abbiamo preso in totale 5 fette cioè
della torta e se
della torta. Da
questo risulta quindi che:
e cioè la somma di due frazioni che hanno lo stesso denominatore è una frazione che ha
lo stesso denominatore e per numeratore la somma dei numeratori.
Ma questo era un caso molto particolare perché le fette di torta erano tutte uguali e ognuna di esse era
della torta.
86
Proprietà invariantiva
2
4
8
1
= = =
2
4
8
16
2 1x 2
4 1x 4
8 1x8
=
=
=
4 2 x2
8 2 x4
16 2 x8
1 8:8
=
2 16 : 8
2 8:4
=
4 16 : 4
4 8:2
=
8 16 : 2
Moltiplicando o dividendo numeratore
e denominatore di una frazione per uno
stesso numero la frazione non cambia
Semplificazione di una frazione
Operare con numeri piccoli è più facile
Se numeratore e denominatore hanno un
divisore comune si possono dividere
entrambi per quel divisore
8
16
Divisore
comune 2
8:2 4
=
16 : 2 8
Se hanno più divisori comuni si semplifica
al massimo se si divide per?
MCD
87
Riduzione ai minimi termini
Per ridurre ai minimi termini una frazione si dividono
numeratore e denominatore per il loro MCD
8
16
MCD = 8
8:8 1
=
16 : 8 2
5
15
MCD = 5
5:5 1
=
15 : 5 3
24
30
MCD = 6
24 : 6 4
=
30 : 6 5
Esercizi: Ridurre ai minimi termini
24
30
14
21
24
32
27
36
30
40
22
33
MCD = 6
24 : 6 4
=
30 : 6 5
242
330
MCD = 22
242 : 22 11
=
330 : 22 15
MCD = 7
14 : 7 2
=
21 : 7 3
144
200
MCD = 8
144 : 8 18
=
200 : 8 25
MCD = 8
24 : 8 3
=
32 : 8 4
146
232
MCD = 2
146 : 2 73
=
232 : 2 116
MCD = 9
27 : 9 3
=
36 : 9 4
297
363
MCD = 33
297 : 33 9
=
363 : 33 11
MCD = 10
30 : 10 3
=
40 : 10 4
311
400
MCD = 1
311 : 1 311
=
400 : 1 400
MCD = 11
22 : 11 2
=
33 : 11 3
7
8
MCD = 1
7
8
88
Proviamo ora ad esaminare il caso di due torte uguali di cui una venga tagliata in 8 fette
uguali (ciascuna di di torta), l’altra in 4 fette uguali (ciascuna di di torta). Prendiamo
ora 3 fette dalla prima torta, cioè di torta, ed 1 fetta della seconda torta, cioè di torta.
Che parte di una torta abbiamo preso in totale? La risposta non è semplice perché le fette della prima torta sono diverse (più piccole) delle fette della seconda. E allora? Allora
dobbiamo, almeno idealmente, rendere uguali le fette delle due torte. Se pensiamo infatti di dividere la seconda torta anch’essa in 8 fette anziché in 4, per prendere
di torta
avremmo dovuto prendere 2 fette, cioè . Questa affermazione è basata non solo sulla
facile intuizione di una realtà così semplice, ma anche sulla proprietà, già vista, delle
frazioni secondo cui:
Con questo accorgimento ci siamo riportati al caso precedente in cui le due frazioni
hanno lo stesso denominatore e quindi possiamo sommarne i numeratori:
Come si fa in generale a rendere uguali i denominatori di due o più frazioni? Come abbiamo appena visto applicando la proprietà invariantiva delle frazioni. E come si sceglie
il denominatore comune? Evidentemente esso deve essere un multiplo di ognuno dei
denominatori e, per ragioni di semplicità, fra tutti i multipli comuni sceglieremo il più
piccolo, ossia il mcm.
Nell’esempio, in cui i denominatori erano 8 e 4, il mcm è 8 ed è quindi stato scelto come denominatore comune. Notiamo anche che se avessimo voluto usare 4 come denominatore comune, nella prima frazione,
nominatore per 2, avendo quindi
avremmo dovuto dividere numeratore e de-
, che non è accettabile perché numeratore e deno-
minatore di una frazione devono essere numeri interi.
In generale quindi “per sommare (o sottrarre19) due frazioni bisogna prima portarle allo
19
Il ragionamento fatto per l’addizione è valido anche per la sottrazione.
89
Addizione di frazioni
.
.
3
8
.+
.
2
8
1
8
.=
.
5
8
La somma di due frazioni con lo stesso denominatore è una
frazione che ha per denominatore lo stesso denominatore
e per numeratore la somma dei numeratori
Addizione di frazioni (segue 1)
3
.8
.
2
.8
.
3 2 5
+ =
8 8 8
90
1
+
.4
1× 2 2
=
4× 2 8
.
stesso denominatore, che è il mcm dei denominatori, applicando la proprietà invariantiva delle frazioni. La somma (o la differenza) poi è uguale ad una frazione che ha per
denominatore il denominatore comune e per numeratore la somma (o la differenza) dei
numeratori”.
Facciamo ora un esempio per esaminare in pratica come si procede.
Supponiamo di voler sommare:
Dobbiamo innanzi tutto portare le frazioni ad un denominatore comune, che è il mcm di
15; 20 e 12. Scomponiamo allora questi numeri in fattori primi, per cui:
15=3×5;
20=22×5;
12=22×3
Il mcm è il prodotto dei fattori comuni e non comuni presi una sola volta col massimo
esponente. Quindi:
mcm = 22×3×5 = 4×3×5 = 60
che è il denominatore comune. Per vedere ora come portare ogni frazione al denominatore comune, 60, bisogna trovare per ogni singola frazione il numero per cui moltiplicare numeratore e denominatore. È evidente che per la prima frazione bisogna moltiplicare numeratore e denominatore per 4 (che è 60:15), nella seconda frazione per 3 (che è
60:20) e nella terza frazione per 5 (che è 60:12), ossia per ogni frazione il fattore si trova dividendo il mcm per il denominatore della frazione. Risulta allora:
Notiamo infine, ma questo è solo per caso, che il risultato si presta ad essere ridotto ai
minimi termini dividendo numeratore e denominatore per 2, quindi:
che è il risultato finale. Notiamo anche che non avremmo potuto prendere direttamente
30 come denominatore comune perché nella seconda frazione ( ) e nella terza ( ) non
avremmo trovato un numero intero per cui moltiplicare rispettivamente 20 e 12 per ottenere 30.
91
Addizione di frazioni (segue 2)
3 1 3 1× 2 3 2 5
+ = +
= + =
8 4 8 4× 2 8 8 8
3 1 3 × 2 1× 4 6 4 10
+ =
+
= + =
8 4 8 × 2 4 × 4 16 16 16
3 1 3 × 5 1×10 15 10 25
=
+
=
+ =
+
8 4 8 × 5 4 ×10 40 40 40
3 1 3 : 2 1 1,5 1 2 ,5
+ =
+ =
+ =
8 4 8:2 4 4 4
4
No
Esempi
2 3 1
+
+
15 20 12
15 = 3 × 5 20 = 22 × 5 12 = 22 × 3 mcm = 22 × 3 × 5 = 60
60 : 15 = 4
60 : 20 = 3
60 : 12 = 5
2 × 4 3 × 3 1× 5
+
+
15 × 4 20 × 3 12 × 5
8
9
5 22 11
=
+ +
=
60 60 60 60 30
Perché non abbiamo usato 30 come denominatore comune?
92
Nel caso in cui si debba sommare un numero intero o un numero decimale e una o più
frazioni basta ricordare che qualsiasi numero intero può essere considerato una frazione
con denominatore 1 e qualsiasi numero decimale (finito o periodico) può essere trasformato in una frazione 20. Pertanto, con questo accorgimento, il procedimento rimane
quello appena visto.
Vediamo ora la moltiplicazione di due frazioni. Consideriamo due frazioni semplici,
come, per esempio,
e
, e supponiamo di voler eseguire il loro prodotto, cioè
.
Ricordando il significato di frazione (è una divisione del numeratore per il denominatore) possiamo dire che
poniamo che
. Cerchiamo ora di interpretare il significato. Sup-
sia una fetta di torta divisa in due parti, cioè metà torta. Se moltipli-
chiamo per 1 otteniamo lo stesso numero, cioè ancora metà torta. Se poi dividiamo per 3
metà torta è come dividere l’intera torta in sei parti e ogni fetta è uguale a
dell’intera
torta. Quindi possiamo dire che:
Cioè il prodotto delle due frazioni, e , è una frazione che ha per numeratore il prodotto dei numeratori (1
e per denominatore il prodotto dei denominatori (2
) e que-
sta procedura, nonostante la dimostrazione semplificata che ne è stata data, ha validità
generale.
Prima di eseguire il prodotto di più frazioni è possibile semplificarle, cioè ridurle ai minimi termini, non solo dividendo per uno stesso numero il numeratore e il denominatore
di una stessa frazione, ma anche il numeratore di ognuna con i denominatori delle altre.
Per esempio:
20
Anche un numero decimale periodico può essere trasformato in una frazione. La frazione generatrice di
un numero periodico ha come numeratore la differenza fra il numero scritto senza virgola (col periodo
scritto una sola volta) e un numero formato dalla parte intera e dall’antiperiodo scritto senza virgola e per
denominatore tanti 9 quante sono le cifre del periodo seguiti da tanti zeri quante sono le cifre
dell’antiperiodo. Un numero decimale illimitato non periodico (aperiodico) non può essere trasformato in
una frazione e quindi non può essere sommata ad essa con questo metodo.
93
Alcuni casi particolari
Somma di un numero intero e di una frazione
Un numero intero è una frazione con denominatore =1
2+
1 2 1
= +
3 1 3
mcm = 3
2×3 1 6 1 7
+ = + =
1× 3 3 3 3 3
Somma di un numero decimale e di una frazione
Un numero decimale è una frazione con denominatore
uguale a un multiplo di 10
2 ,5 +
1 25 1
25 × 3 1× 10 75 10 85
=
+
=
+
=
+
mcm = 30
3 10 3
10 × 3 3 × 10 30 30 30
Procedimento pratico
2 3 1
+
+
15 20 12
15 = 3 × 5 20 = 22 × 5 12 = 22 × 3 mcm = 22 × 3 × 5 = 60
60 : 15 = 4
60 : 20 = 3
60 : 12 = 5
2 3 1 8 + 9 + 5 22 11
+
+ =
=
=
15 20 12
60
60 30
94
Moltiplicazione di frazioni
1 1 1
1
× = ×1 : 3 =
2 3 2
6
1
1
2
× 1 =
1
2
:
3
:
3
=
1
6
Il prodotto di due o più frazioni è una frazione che
ha per numeratore il prodotto dei numeratori e per
denominatore il prodotto dei denominatori
Semplificazioni
5 2 14 5 : 5 2 : 2 14 : 7 1 1 2 2
× ×
=
×
×
= × × =
6 21 25 6 : 2 21 : 7 25 : 5 3 3 5 45
5 2 14 5 × 2 × 14
5 × 2 ×14
5 2 14 1 1 2 2
× ×
=
= × × = × × =
=
6 21 25 6 × 21× 25 25 × 6 × 21 25 6 21 5 3 3 45
5 2 14 140
× × =
6 21 25 3150
140 = 22 × 7 × 5
MCD = 2 × 7 × 5 = 70
3150 = 2 × 32 × 52 × 7
140
140 : 70 2
=
=
3150 3150 : 70 45
95
in cui sono stati divisi per 5 il numeratore della prima frazione e il denominatore della
terza, per 2 il numeratore della seconda frazione e il denominatore della prima e per 7 il
numeratore della terza ed il denominatore della seconda. Si noti che se non si fosse fatta
la semplificazione prima di eseguire la moltiplicazione, ma dopo sul prodotto delle frazioni, il risultato sarebbe stato lo stesso, ma si sarebbe operato su numeri più grandi e
quindi con maggiore difficoltà. L’operazione infatti sarebbe risultata:
La divisione fra due frazioni si effettua con una procedura meno semplice da dimostrare
che quindi omettiamo. Essa comunque risulta logicamente intuitiva ed è la seguente: “la
divisione fra due frazioni si esegue moltiplicando la prima frazione per la reciproca della seconda21”. Per esempio:
Dopo aver trasformato la divisione in una moltiplicazione si può procedere, se possibile,
alla semplificazione come illustrato sopra.
La potenza e la radice di una frazione non presentano particolari difficoltà. Per definizione infatti per elevare a potenza una frazione si elevano a potenza sia il numeratore sia
il denominatore:
Analogamente la radice di una frazione si esegue estraendo la radice sia del numeratore
sia del denominatore:
L’esempio è stato fatto considerando una radice quadrata, ma la regola è valida per le
radici di qualsiasi grado.
21
La frazione reciproca di una data è un’altra frazione in cui il numeratore ed il denominatore sono scambiati fra loro
96
Esempi
⎡⎛ 3 1 ⎞
⎛ 2 3 ⎞ 240 ⎤ 237
⎢⎜ 4 + 2 ⎟ × 0 ,8 − ⎜ 5 − 8 ⎟ × 6 ⎥ × 425 =
⎠
⎝
⎠
⎣⎝
⎦
⎡⎛ 3 + 2 ⎞ 8 ⎛ 16 − 15 ⎞ 240 : 6 ⎤ 237
= ⎢⎜
−⎜
⎟×
=
⎟×
⎥×
⎣⎝ 4 ⎠ 10 ⎝ 40 ⎠ 6 : 6 ⎦ 425
1 40 ⎤ 237
⎡5 8
=⎢ × − × ⎥×
=
⎣ 4 10 40 1 ⎦ 425
⎡ 5 : 5 8 : 4 40 ⎤ 237
=⎢
×
−
×
=
⎣ 4 : 4 10 : 5 40 ⎥⎦ 425
⎡ 2 1⎤ 237
=
= ⎢ − ⎥×
⎣ 2 1⎦ 425
0
Frazioni reciproche
La frazione reciproca di una data è un’altra frazione in
cui sono scambiati il numeratore col denominatore
2
.
3
3
.
2
Il reciproco di un numero intero è una frazione con
numeratore 1 e denominatore il numero dato
3.
3
.
1
1
.
3
Il prodotto di un numero per il suo reciproco è
97
=1
Divisione di frazioni
Dividere un numero per un altro equivale a moltiplicare
il primo per il reciproco del secondo
moltiplicare
lti li
2:3=
2
3
= 2×
primo
1
3
reciproco del secondo
Per dividere una frazione per un’altra si moltiplica la
prima per la reciproca della seconda
3 5 3 8
3 8:4 3 2 6
: = × =
= × =
×
4 8 4 5 4:4
5
1 5 5
Esempi
3 8 3 9 27
: = × =
4 9 4 8 32
1 2 1 1 2
4
× : = × ×4 =
2 3 4 2 3
3
2 3 7 2 4 8 64
: : = × × =
5 4 8 5 3 7 105
1 1 1
1 : 2 : 3 = 1× × =
2 3 6
0,35 : 0 ,7 =
35 7
7 10 1
:
= ×
=
100 10 20 7 2
98
Potenze di frazioni
Per elevare a potenza una frazione si eleva a potenza
sia il numeratore che il denominatore
2
22 4
⎛2⎞
⎜ ⎟ = 2 =
3
9
⎝3⎠
Le parentesi per indicare che entrambi i termini devono
essere elevati alla stessa potenza
L’espressione:
23
32
non è una potenza di una frazione ma una frazione che
ha come termini delle potenze
Radici di frazioni
La radice di una frazione si esegue estraendo la radice
sia al numeratore che al denominatore
2
2
9
9 3
=2
=
25
25 5
Se il grado delle radici dei due termini è diverso
l’espressione non è la radice di una frazione ma una
frazione avente come termini delle radici
2
3
5
12
99
Confronto di frazioni
Ci si chiede a volte, in particolare quando si deve eseguire una sottrazione, quale fra due
frazioni sia maggiore dell’altra. La risposta a questa domanda è abbastanza immediata
se le due frazioni hanno lo stesso numeratore o lo stesso denominatore, un po’ meno se
le due frazioni hanno diversi sia il numeratore che il denominatore.
Vediamo separatamente i diversi casi:
se due frazioni hanno lo stesso numeratore ma denominatori diversi è maggiore
la frazione che ha il denominatore minore perché il denominatore indica in quante parti è stato diviso l’oggetto e quanto maggiore è il numero di parti in cui è
stato diviso tanto minori sono le parti. Aiutiamoci con un esempio: consideriamo
due frazioni con uguale numeratore, per esempio
e
, di cui la prima rappre-
senta due fette di una torta divisa in quattro parti (cioè metà torta), la seconda
due fette di una torta divisa in 8 parti (cioè un quarto di torta). È evidente che la
prima porzione ( che ha il denominatore minore) è più grande dell’altra ( che
ha il denominatore maggiore).
Se due frazioni hanno lo stesso denominatore e numeratori diversi è maggiore la
frazione che ha il numeratore maggiore, es.
e
. In questo caso le parti in cui
sono state divise le torte sono uguali, 8, ed è evidente che le fette sono uguali e 3
fette sono più di 2 fette.
Se due frazioni hanno numeratori e denominatori diversi fra loro per poterle confrontare bisognerebbe ridurre le frazioni allo stesso denominatore e quindi confrontarle come al punto precedente. Un metodo pratico tuttavia consiste
nell’assegnare alle due frazioni un indice costituito dal prodotto del suo numeratore per il denominatore dell’altra. Risulterà maggiore la frazione con l’indice
maggiore. Per esempio se vogliamo confrontare
e
assegniamo alla prima
l’indice 5×9 = 45 ed alla seconda l’indice 6×8 = 48. Il primo indice è minore del
secondo e quindi la prima frazione
è minore della seconda
.
Notiamo che se avessimo ridotto le due frazioni allo stesso denominatore 72
(che è il mcm fra 8 e 9) le due frazioni sarebbero diventate
100
Confronto di due frazioni con
numeratori uguali
2
2
.4
.8
Se due frazioni hanno lo stesso numeratore
è maggiore quella col denominatore minore
denominatori uguali
3
2
.8
.8
Se due frazioni hanno lo stesso denominatore
è maggiore quella col numeratore maggiore
101
entrambi i termini diversi
Due frazioni con entrambi
i termini diversi non sono
direttamente confrontabili
Trasformare le frazioni allo
stesso denominatore
45
6
5
.8
48
.72
.9
.72
Scorciatoia
5
8
6
9
indice
45
72
mcm = 72 ⇒
45
<
5
8
<
48
72
48
6
9
indice 46.230 < 49.950
5
8325
6
9246
mcm = ?
A cosa equivale questa scorciatoia?
102
e
da cui ugualmente risulta che la prima frazione è maggiore della seconda22.
Per confrontare più di due frazioni, ad esempio perché si vogliono disporre in
ordine crescente o decrescente, è preferibile ridurle allo stesso denominatore e
confrontare i numeratori perché il metodo degli indici risulterebbe più lungo e
laborioso.
22
In effetti anche il primo metodo equivale ad una trasformazione delle due frazioni allo stesso denominatore, che però non è necessariamente il mcm dei due denominatori ma il multiplo comune corrispondente al loro prodotto.
103
Disporre in ordine crescente
2
3
3
4
2
5
5
6
3
7
280
420
315
420
168
420
350
420
180
420
168
420
180
420
280
420
315
420
350
420
2
5
3
7
2
3
3
4
5
6
mcm = 420
Esercizi
3+ 2 5
=
6
6
1 1
+
2 3
mcm = 6
1 1 1
+ +
2 3 4
mcm = 12 =
6 + 4 + 3 13
=
12
12
1 1 1 1
+ + +
2 3 4 5
mcm = 60 =
30 + 20 + 15 + 12 77
=
60
60
=
1 1 1 1 1
30 + 20 + 15 + 12 + 10 87 29
+ + + +
= =
mcm = 60 =
2 3 4 5 6
60
60 20
104
Esercizi
(segue 1)
4 20
1 1 2
ridurre ai min imi ter min i = + =
+
12 60
3 3 3
1 2
−
2 3
1 2
<
2 3
2 1
−
3 2
mcm = 6
non si può ( per ora )
4−3 1
=
6
6
3 1 1 4 1 1 1 =0
+ − = − = −
8 8 2 8 2 2 2
Esercizi
0 ,5 +
(segue 2)
1
5 1 1 1 1 2
−1 = + − = + − = 0
2
10 2 1 2 2 2
2 3 2 5 3
+ + + +
3 4 5 6 7
=
mcm = 420
280 + 315 + 168 + 350 + 180 1293 431
=
=
420
420 140
MCD( 1293;420 ) = 3
105
Sommario
Introduzione ............................................................................................................... i
Capitolo 1 - I numeri ..................................................................................................... 1
I numeri cardinali ...................................................................................................... 4
I numeri ordinali ....................................................................................................... 8
Capitolo 2 – Operazioni aritmetiche ............................................................................ 10
L’addizione ............................................................................................................. 10
Proprietà dell’addizione....................................................................................... 15
La sottrazione.......................................................................................................... 15
Proprietà della sottrazione ................................................................................... 18
La moltiplicazione................................................................................................... 20
Proprietà della moltiplicazione ............................................................................ 27
La divisione ............................................................................................................ 29
Proprietà della divisione ...................................................................................... 32
La potenza .............................................................................................................. 34
La radice ................................................................................................................. 37
Espressioni aritmetiche ........................................................................................... 39
Divisibilità e numeri primi ...................................................................................... 46
Scomposizione in fattori primi ................................................................................ 55
Massimo comun divisore ..................................................................................... 59
Minimo comune multiplo .................................................................................... 61
a
Capitolo 3 – Numeri decimali e frazioni ...................................................................... 64
I numeri decimali .................................................................................................... 64
Operazioni con i numeri decimali ........................................................................ 73
Le frazioni .............................................................................................................. 81
Semplificazione di una frazione ........................................................................... 83
Operazioni con le frazioni ................................................................................... 86
Confronto di frazioni ......................................................................................... 100
b
Profilo dell’autore
Eugenio Guadagno si è laureato in Ingegneria Chimica nel 1958 presso il Politecnico
di Napoli e, nello stesso anno, ha incominciato a lavorare con il Gruppo Montedison (allora ancora Edison) nel settore della progettazione, costruzione ed avviamento di impianti petrolchimici e petroliferi ricoprendo nell’arco di 12 anni posizioni di responsabilità crescenti.
Molti degli impianti realizzati in tale periodo sono tuttora in esercizio e fra questi di particolare importanza è la raffineria di Priolo, con una capacità produttiva di circa 10 milioni di Ton/anno di petrolio.
Dopo questa fase prettamente tecnica è passato, sempre nell’ambito dello stesso Gruppo, ad incarichi di tipo gestionale nel settore petrolifero, ricoprendo ruoli sempre più
impegnativi fino a diventare nel 1977 Direttore Generale del Settore Petrolifero, carica
che ha poi ricoperto per circa 11 anni.
Nel 1989 è stato nominato Presidente ed Amministratore Delegato della Monteshell
SpA, joint venture fra Montedison e Shell, operante in Italia nel campo della produzione
e commercializzazione di prodotti petroliferi.
Nel 1992 è passato al Gruppo Oilinvest dove ha ricoperto, per quattro anni, la carica di
Direttore Generale della Tamoil Italia SpA, e successivamente varie altre cariche
all’interno del Gruppo, fra cui quelle di Amministratore Delegato della Tamoil Shipping
Ltd e della Tamoil Marketing Ltd, le due società inglesi del Gruppo Oilinvest con sede a
Londra, operanti rispettivamente nel campo del brokeraggio marittimo la prima e della
commercializzazione di prodotti petroliferi la seconda.
c