LA FORMULA DI EULERO : e = cos(a) + i sin(a)

pagina 1
ia
LA FORMULA DI EULERO :
e = cos(a) + i sin(a)
Gaetano Speranza - I.T.I.S. Galileo Galilei , Roma
Approssimazione dell'arco di lunghezza a
Punti di Nepero e loro normalizzati
numeri (complessi) di Nepero :
ti k
ℵ t , n , k = 1+
n
punti di Nepero :
P t , n , k = punto ℵ t , n , k
punti unitari di Nepero
P t, n, k
U t, n, k =
(punti normalizzati ) :
P t, n, k
lato della poligonale di Eulero :
λ t , n = U t , n , 1 − 1, 0
punto approssimante di Eulero :
E t, n = U t, n, n
dati
a = 0.5
n=6
ai n
0.5i 6
z = 1+
z = 1+
n
6
figura con raggi e connessioni
0.6
0.4
0.2
y
0
0
x
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
pagina 2
0.6
0.4
0.2
0
y
-0.2
0
x
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Prendiamo n alto e valutiamo la lunghezza della semicirconferenza
goniometrica
a
visualizzazione di 1 + i
n
a = 3.14
n = 1000
k
per k = 0,...,n
4
2
0
y
-2
-2
x
0
2
pagina 3
1 k
visualizzazione di ( 1 + i )
per k = 0,...,N
n
a=1
n = 100
h=3
N = hn
z' = 1 +
k= N
a
i
n
z' =
k= N
k
z' = 1 + 1 i
n
k= n
z' =
z'
h
z'
k= n
k
3
2
0
y
-2
-2
x
0
2
pagina 4
Determinazione della lunghezza dell'arco
Intanto verifichiamo che la successione degli n-esimi (ossia finali) punti di
Nepero di ordine n :
a n
w n = 1+ i
n
tende, per n tendente ad infinito, allo stesso limite cui tende la successione dei
punti finali normalizzati :
n
wn
ai
+1
vn =
n
wn
vn =
n
ai
+1
n
Mostriamo che infatti il denominatore wn tende ad 1 :
n
wn
ai
wn =
+1
n
a
w n = 1+ i
n
wn =
a
n
n
2
a
n
wn =
wn =
n
+1
1
2
+1
a2
n2
n
1
+1
n
1
a2
n
n
wn =
+1
n
2
a
0
il numeratore tende a 0, quindi wn tende a e = 1 .
n
Primo punto di Nepero normalizzato di ordine n e sua distanza da 1
a
1+ i
n
zn =
a
1+ i
n
a
1+ i
n
zn =
a 2
+1
n
pagina 5
1+
zn =
a
i
n
a2
+1
n2
1+
zn =
a
i
n
a2+ n2
n2
a
1+ i
n
zn =
a2+ n2
n
n
zn =
ai
+
a2+ n2
a2+ n2
δ n = z n −1
n
δn =
δn =
+
a2+ n2
n
a2+ n2
δn =
−
ai
a2+ n2
−1
ai
− 1+
a2+ n2
a2+ n2 + n + a i
a2+ n2
δn =
δn =
−
a2+ n2 + n + a i
a2+ n2
−
a2+ n2 + n + a i
a2+ n2
δn =
δn =
2
−
a2+ n2 + n + a2
a2+ n2
−
2
a2+ n2 + n + a2
a2+ n2
2a 2 + 2n 2 − 2 a 2 + n 2 n
δn =
a2+ n2
n δ n tende ad a per n tendente ad infinito
nδn =
2a 2 + 2n 2 − 2 a 2 + n 2 n
2
a +n
2
n
pagina 6
2a 2 + 2n 2 − 2 a 2 + n 2 n n 2
nδn =
a2+ n2
2a 2 + 2n 2 − 2 a 2 + n 2 n
nδn =
a2
n2
+1
poniamo :
τ n = 2a 2 + 2n 2 − 2 a 2 + n 2 n
τn =
2 a2+ n2−
a2+ n2+
2
τn =
a2+ n2 n
a4
n
a2
2
a2+ n2+
a2+ n2 n
a2+ n2 n
+ 2a 2
+1+
2
a2
2
+1
n
n
che, per n tendente a infinito, tende a :
2a 2
= a2
1+1
Gli stessi passi svolti nelle dimostrazioni precedenti valgono identicamente
sostituendo ad a il generico termine di una successione a n tendente ad a .
pagina 7
Funzioni circolari e lim x -> 0
e
ix
=
n= ∞
1+
cos x = Re e
i
x
n
sin x
x
n
ix
cos x =
ix
sin x =
sin x = Im e
sin x
tan x =
cos x
tan x =
approssimazioni
n = 100
x=3
asc E x , n = − 0.98987
cos x = − 0.98999
ord E x , n = 0.14201
sin x = 0.14112
ord E x , n
= − 0.14346
asc E x , n
tan x = − 0.14255
Limite notevole
sin x
=1
x
x= 0
n= ∞
n= ∞
n= ∞
asc E x , n
ord E x , n
ord E x , n
asc E x , n
pagina 8
sin x < x <
sin x
cos x
x = 0.6
n=3
circonferenza = 0
segmentoX = 0
lunghezza della poligonale :
λ x , n n = 0.59123
approssimazione del seno :
ord E x , n = 0.55818
sin x = 0.56464
approssimazione della tangente :
ord E x , n
= 0.67273
asc E x , n
tan x = 0.68414
0.2
sin x < x <
ascisse
0.4
0.6
0.8
1
1.2
sin x
x
1
, quindi : 1 <
<
cos x
sin x
cos x
quando x tende a zero cos x tende ad 1 , quindi anche
Funzione esponenziale in generale
x
tende ad 1
sin x
pagina 9
definizione e calcolo
z = x+ yi
z n
e = lim n 1 +
n
n
x+ iy
z
e = lim n
+1
n
x iy
e z = lim n
+
+1
n n
z
e z = lim n 1 +
x
n
n
n
lim n 1 +
x n
e = lim n 1 +
n
iy
iy
e = lim n 1 +
n
iy
n
n
x
e
iy
n
= cos y + i sin y
n
iy
+1
= cos y + i sin y
n
n
iy
z
x
e = e lim n
+1
n
e z = cos y + i sin y e x
lim n
e z = e x cos y + i sin y
x + iy
variazione di e
x=1
y=2
6
4
2
0
-2
y
-4
-5
x
0
5
pagina 10
variazione di e
x=1
x + iy
con x costante e y variabile
6
4
2
0
Click to Animate (click again to stop)
-2
y
-4
-5
x
0
Animate this graph for y = − 5 ... 5 in steps of
5
1
3
for a total of 30 frames in a cycle at
6 frames/second .
variazione di e
y=2
x + iy
con x variabile e y costante
6
4
2
0
Click to Animate (click again to stop)
-2
y
-4
-5
x
0
Animate this graph for x = − 5 ... 5 in steps of
6 frames/second .
5
1
3
for a total of 30 frames in a cycle at
pagina 11
x + iy
variazione di e
con (x,y) variabile su una retta passante per l'origine
a=1
b=1
5
0
Click to Animate (click again to stop)
y
-5
-10
x
-5
0
Animate this graph for t = − 4 ... 4 in steps of
5
4
15
10
for a total of 30 frames in a cycle at
2 frames/second .
x + iy
variazione di e
con (x,y) variabile su una retta non passante per l'origine
a=1
b=1
q=2
5
0
Click to Animate (click again to stop)
y
-5
-10
x
-5
0
Animate this graph for t = − 4 ... 4 in steps of
2 frames/second .
5
4
15
10
for a total of 30 frames in a cycle at