simulazione gara a squadre (coppa fermat)

GARA DI MATEMATICA ON-LINE (9/11/2015)
Istruzioni Generali

Si ricorda che per tutti i problemi occorre indicare sul cartellino delle risposte un numero intero
compreso tra 0000 e 9999, o comunque una successione di 4 cifre. Si ricorda anche che occorre sempre e
comunque compilare tutte le 4 cifre, eventualmente aggiungendo degli zeri iniziali.

Se la quantità richiesta non è un numero intero, si indichi la sua parte intera. Si ricorda che la parte
intera di un numero reale x e il più grande intero minore od uguale ad x.

Se la quantità richiesta è un numero negativo, oppure se il problema non ha soluzione, si indichi 0000.

Se la quantità richiesta è un numero maggiore di 9999, oppure se non è univocamente determinata, si
indichi 9999.

Nello svolgimento dei calcoli può essere utile tener conto dei seguenti valori approssimati:
2  1,4142
5  2,2361
3  1,7321
“
  3,1416
”
Gara scritta da:
Alex Letizia
Carlo Càssola
Chiara Milan
Giacomo Bertolucci
Maria Francesca Lago
Marzia Toso
Santina De Monte
Sandro Campigotto
Ugo Tomat
1. LE ZUCCHE DI HALLOWEEN
“Hai preparato le zucche per la festa di stasera?”
“No, ancora no. Quante vuoi che ne prepari?”
“Penso che possa bastare un numero c di zucche: se a  b  c  14 , ab  14 .
Trova c sapendo che c2  a 2  b2 .
2. I BAMBINI
Nella serata di Halloween tutti i bambini del paese erano per le strade, mascherati da streghe,
maghetti e vampiri. Per sapere quanti erano i bambini, trova l’unico numero di due cifre AB ,
   
2
2
tale che AB  BA  ABBB .
3. DOLCETTO O SCHERZETTO?
La vecchia signora aprì la porta e si trovò di fronte un ragazzino vestito da zombie. La sua
maschera era davvero impressionante. “Dolcetto o scherzetto?” gridò il ragazzino. “E quale
sarebbe lo scherzetto?” chiese la vecchietta incuriosita. “Devi rispondere ad un indovinello: sia
x la soluzione reale di x3  4 x  8 . Quanto vale x7  64 x2 ?”.
4. LE CARAMELLE DELLA VECCHIA SIGNORA
La signora non seppe rispondere; così dovette regalare al ragazzino un pacchetto di caramelle.
Mentre il ragazzo si allontanava, la signora gli gridò: “E tu sapresti dirmi qual è la somma di tutti
i numeri n di due cifre, tali che 2n2  n è divisibile per 100 ?” La signora rientrò in casa
ridacchiando fra sé e sé.
5. LO SCHERZO DELLA VECCHIA SIGNORA
I ragazzini rimasero terribilmente delusi: nel sacchetto non c’erano abbastanza caramelle per
tutti. Volevano fare uno scherzo alla signora, e invece lei ne aveva giocato uno a loro. Se vuoi
sapere quante erano le caramelle, trova il più grande valore di n tale che  2015!! è divisibile
per   n !!! . I ragazzini si ripromisero di tornare più tardi dalla vecchia signora per fargliela
pagare.
6. LE ZUCCHE SCOLPITE
Per preparare una indimenticabile scultura con le zucche, un
ragazzo aveva preparato un progetto geometrico dettagliato.
Nella figura a fianco sono riportate due circonferenze tangenti
internamente in A . Se CD  42 cm ed EF  24 cm , quanto
misurano i raggi delle due circonferenze? (Dai come risposta RRrr
dove RR è il raggio della circonferenza maggiore e rr è il raggio A
di quella minore.)
E
F
B
C
D
7. I FOLLETTI
Secondo una leggenda del paese, nella notte di Halloween era
possibile incontrare degli strani folletti. Una delle loro
caratteristiche più insolite era che questi esseri non usavano la base 10 per contare. Infatti
53 15  732 è una moltiplicazione errata. Ma nella base numerica usata dai folletti il risultato è
corretto. Qual è questa base?
8. LA RISPOSTA DELLA VECCHIA SIGNORA
Più tardi, un altro gruppo di ragazzi mascherati bussò alla casa della vecchia signora. Il più
grande, che si atteggiava a capo del gruppo, disse enfaticamente: “Nel triangolo ABC , D
appartiene al lato BC . Se AC  3 , AD  3 , BD  8 e CD  1 , quanto misura AB ?” “Questa la
so!” Gridò la signora, pronunciando la risposta. I ragazzini se ne andarono delusi.
9. LE ZUCCHE E I COLORI
Una ragazzina era dovuta rimanere a casa perché aveva il raffreddore. Ma si divertiva lo stesso,
riempiendo e svuotando le sue zucche cave con la vernice colorata. La zucca A conteneva 16
litri di colore blu, mentre la zucca B conteneva 20 litri di colore bianco. Entrambe non erano
completamente piene. La ragazzina prese una terza zucca, C , la riempì interamente di blu
prendendolo da A e lo versò in B . Dopo aver mescolato bene, riempì interamente C
prelevando da B la mistura, e poi la versò in A . Alla fine in A il rapporto tra blu e bianco era di
3:1 . Qual era la capacità, in centilitri, della zucca C ?
10. LA CASA DEL MATEMATICO
Un ragazzino lesse una targa su un muro in cui era ricordato l’anno A in cui in quella casa era
vissuto un famoso matematico. L’anno era ottenuto sommando tutti i possibili valori di k di
x3  33x2  315x  k per i quali il polinomio ha due sole soluzioni reali. In quale anno A la casa
era stata abitata dal famoso matematico?
11. LA CASA DEL MATEMATICO II
Sul muro della casa del matematico era stato attaccato (da un matematico burlone,
probabilmente), un poster che recava la seguente scritta: il prossimo anno sarà il 2016 , un anno
ricco di divisori! Quale sarà il prossimo anno che avrà gli stessi fattori primi di 2016 ?
12. IL VESTITO DA STREGA
Sul vestito da strega di una bambina era tracciato uno strano disegno geometrico. Erano
disegnati, uno dopo l’altro, tutti i poligoni regolari e le loro diagonali a partire dal triangolo fino
al poligono di quaranta lati. Quante diagonali erano tracciate in tutto sul vestito?
13 LA MAPPA DELLA PIAZZA
Sulla mappa del paese era possibile leggere che la piazza
aveva la forma di un trapezio isoscele ABCD , con la basi di
56 m e 84 m , con i due viali FG e EH paralleli alle basi. Due
viali diagonali AC e BD dividevano i due segmenti in tre parti
uguali: FI  IL  LG e EM  MN  NH .
Qual era la lunghezza FG  EH (in metri)?
D
E
C
M N
H
F
I
L
G
14 LA PISCINA
I ragazzini, scatenati, raggiunsero la casa dell’uomo più ricco A
B
del paese. Nel suo giardino c’era una piscina circolare con
diametro di 40 m , con la profondità che variava linearmente lungo la direzione est-ovest da 3 m
(a est) fino a 10 m (a ovest), ma non lungo la direzione nord-sud. Qual era il volume del piscina,
in m3 ?
15. LA DOMANDA MISTERIOSA
L’uomo aprì subito la porta e regalò ai ragazzini un sacchetto di dolcetti. “Guadagnatevi il
premio!” disse. “Quanti numeri tra 1 e 100000 hanno le cifre la cui somma è 19 ?” Ma i ragazzini
non sapevano neppure da che parte iniziare…
16. LA RICCHEZZA
“Lo sapete in cosa consiste la mia ricchezza?” proseguì l’uomo. “Io allevo cavalli. Ma se volete
sapere quanti cavalli possiedo, ditemi quali sono le cifre delle centinaia di milioni, decine di
milioni e dei milioni del numero 10120 .
17 LA MAPPA DEI RAGAZZI
Frattanto, i ragazzini che erano stati giocati dalla vecchia
signora tramavano vendetta. Il più astuto di loro stava
elaborando un piano per avvicinarsi di nascosto alla casa della
vecchietta e spaventarla con dei mortaretti, rumorosi e
maleodoranti. Il piano conteneva la figura a fianco. Il
segmento DE era tangente alla circonferenza nel punto E . Il
ragazzo cercò di fare il calcolo: se AF  4 metri, EF  6
metri, AB  5 metri e DE  3 2 metri, quanto misura AD ?
E
D
C
F
B
A
18 LA MAPPA DEI RAGAZZI II
“Ma va là!” Gli disse un altro ragazzino, che aveva una zucca spaventosa fissata sulla testa. “La
tua mappa è inutile. Useremo la mia. Un quadrilatero convesso ha le diagonali che misurano 8 m
e 12 m . L’angolo minore tra esse misura 30 . Quanto vale l’area del quadrilatero (in m 2 )?”.
19 I NIPOTI DELLA VECCHIA SIGNORA
La vecchia signora aveva in serbo un’altra sorpresa per la banda dei ragazzi. Infatti, quando
questi si avvicinarono, trovarono la porta aperta e la luce spenta. Dall’interno si udì una voce
spaventosa che diceva: “Ma lo sapete che in un’altra città vivono i miei nipoti? Scegliete a caso e
indipendentemente l’uno dall’altro due numeri reali a e b tra 2 e 2 . Ditemi qual è la
probabilità che sia 2 a  b  2 e saprete quanti nipoti ho! Poi, se ne avete il coraggio, varcate la
soglia di casa mia!” (Esprimi la probabilità in frazione ridotta ai minimi termini e dai come
risposta la somma tra numeratore e denominatore.)
20 I BISCOTTI A FORMA DI ZUCCA
I ragazzini, intimoriti e titubanti, entrarono nella casa buia.
Improvvisamente la vecchia signora accese la luce e accolse i
ragazzini nel suo ampio salotto. Sulla tavola aveva preparato
una fila di vassoi pieni di biscotti a forma di zucca. Sapendo
che i ragazzini erano tanti, la signora aveva sfornato per
tutto il giorno un numero spropositato di biscotti. In ognuno
dei rettangoli in figura inserisci un numero da 1 a 11 (ognuno
usato una e una sola volta), in modo che un rettangolo con
numero n poggi su rettangoli con numeri minori di n . In
quanti modi puoi farlo? La risposta ti dirà quanti biscotti
aveva preparato la vecchia signora.