Definizione di anello

Definizione di anello
Definizione
Sia A un insieme dotato di due leggi di composizione interne + e ·.
Si dice che la struttura algebrica (A, +, ·) è un anello se:
Definizione di anello
Definizione
Sia A un insieme dotato di due leggi di composizione interne + e ·.
Si dice che la struttura algebrica (A, +, ·) è un anello se:
1
(A, +) è un gruppo abeliano
Definizione di anello
Definizione
Sia A un insieme dotato di due leggi di composizione interne + e ·.
Si dice che la struttura algebrica (A, +, ·) è un anello se:
1
(A, +) è un gruppo abeliano
2
(A, ·) è associativa
Definizione di anello
Definizione
Sia A un insieme dotato di due leggi di composizione interne + e ·.
Si dice che la struttura algebrica (A, +, ·) è un anello se:
1
(A, +) è un gruppo abeliano
2
(A, ·) è associativa
3
valgono le proprietà distributive, ovvero ∀a, b, c ∈ A si ha
a · (b + c) = a · b + a · c
(a + b) · c = a · c + b · c.
Definizione di anello
Definizione
Sia A un insieme dotato di due leggi di composizione interne + e ·.
Si dice che la struttura algebrica (A, +, ·) è un anello se:
1
(A, +) è un gruppo abeliano
2
(A, ·) è associativa
3
valgono le proprietà distributive, ovvero ∀a, b, c ∈ A si ha
a · (b + c) = a · b + a · c
(a + b) · c = a · c + b · c.
Se (A, ·) è un monoide con 1A 6= 0A allora (A, +, ·) si dice unitario.
Un anello (A, +, ·) si dice commutativo se · è commutativa.
Definizione di anello
Definizione
Sia A un insieme dotato di due leggi di composizione interne + e ·.
Si dice che la struttura algebrica (A, +, ·) è un anello se:
1
(A, +) è un gruppo abeliano
2
(A, ·) è associativa
3
valgono le proprietà distributive, ovvero ∀a, b, c ∈ A si ha
a · (b + c) = a · b + a · c
(a + b) · c = a · c + b · c.
Se (A, ·) è un monoide con 1A 6= 0A allora (A, +, ·) si dice unitario.
Un anello (A, +, ·) si dice commutativo se · è commutativa.
Esempi. 1. L’insieme A = {a} con operazioni banalmente definite
a + a = a e a · a = a è un anello commutativo. In questo caso,
0A = a e l’anello è detto banale.
Definizione di anello
Definizione
Sia A un insieme dotato di due leggi di composizione interne + e ·.
Si dice che la struttura algebrica (A, +, ·) è un anello se:
1
(A, +) è un gruppo abeliano
2
(A, ·) è associativa
3
valgono le proprietà distributive, ovvero ∀a, b, c ∈ A si ha
a · (b + c) = a · b + a · c
(a + b) · c = a · c + b · c.
Se (A, ·) è un monoide con 1A 6= 0A allora (A, +, ·) si dice unitario.
Un anello (A, +, ·) si dice commutativo se · è commutativa.
Esempi. 1. L’insieme A = {a} con operazioni banalmente definite
a + a = a e a · a = a è un anello commutativo. In questo caso,
0A = a e l’anello è detto banale.
2. Esempi non banali di anelli sono gli insiemi (Z, +, ·) e (Zn , +, ·).
Entrambi sono commutativi ed unitari.
Osservazione
Tra le tante proprietà di un anello (A, +, ·) si evidenzia che
∀ a∈A a·0=0·a=0
Osservazione
Tra le tante proprietà di un anello (A, +, ·) si evidenzia che
∀ a∈A a·0=0·a=0
Definizione
Si dice che un anello unitario (A, +, ·) è un corpo se ogni elemento
non nullo di A (ossia diverso da 0A ) è invertibile rispetto a ·; un
corpo commutativo si chiama campo.
Osservazione
Tra le tante proprietà di un anello (A, +, ·) si evidenzia che
∀ a∈A a·0=0·a=0
Definizione
Si dice che un anello unitario (A, +, ·) è un corpo se ogni elemento
non nullo di A (ossia diverso da 0A ) è invertibile rispetto a ·; un
corpo commutativo si chiama campo.
Esempio Sono campi, per esempio, (Q, +, ·), (R, +, ·), (C, +, ·) e
Osservazione
Tra le tante proprietà di un anello (A, +, ·) si evidenzia che
∀ a∈A a·0=0·a=0
Definizione
Si dice che un anello unitario (A, +, ·) è un corpo se ogni elemento
non nullo di A (ossia diverso da 0A ) è invertibile rispetto a ·; un
corpo commutativo si chiama campo.
Esempio Sono campi, per esempio, (Q, +, ·), (R, +, ·), (C, +, ·) e
(Zp , +, ·), p numero primo, in quanto (Z∗p , ·) è un gruppo.
Osservazione
Tra le tante proprietà di un anello (A, +, ·) si evidenzia che
∀ a∈A a·0=0·a=0
Definizione
Si dice che un anello unitario (A, +, ·) è un corpo se ogni elemento
non nullo di A (ossia diverso da 0A ) è invertibile rispetto a ·; un
corpo commutativo si chiama campo.
Esempio Sono campi, per esempio, (Q, +, ·), (R, +, ·), (C, +, ·) e
(Zp , +, ·), p numero primo, in quanto (Z∗p , ·) è un gruppo.
Osservazione
È un anello anche l’insieme (Mn (K), +, ·) delle matrici quadrate
di ordine n con somma e prodotto tra matrici, dove K è un
campo. Esso è unitario, ma non commutativo.
Nell’anello (Z6 , +, ·) il prodotto 3 · 4 = 0, pur essendo 3 6= 0 e
4 6= 0; d’altra parte 5 ammette come inverso moltiplicativo 5 in
Z6 .
Nell’anello (Z6 , +, ·) il prodotto 3 · 4 = 0, pur essendo 3 6= 0 e
4 6= 0; d’altra parte 5 ammette come inverso moltiplicativo 5 in
Z6 . Pertanto hanno senso le seguenti definizioni:
Definizione
Sia (A, +, ·) un anello.
Nell’anello (Z6 , +, ·) il prodotto 3 · 4 = 0, pur essendo 3 6= 0 e
4 6= 0; d’altra parte 5 ammette come inverso moltiplicativo 5 in
Z6 . Pertanto hanno senso le seguenti definizioni:
Definizione
Sia (A, +, ·) un anello.
Un elemento a ∈ A si dice divisore dello zero se
1
2
a 6= 0
∃ b ∈ A, b 6= 0, tale che a · b = 0
Nell’anello (Z6 , +, ·) il prodotto 3 · 4 = 0, pur essendo 3 6= 0 e
4 6= 0; d’altra parte 5 ammette come inverso moltiplicativo 5 in
Z6 . Pertanto hanno senso le seguenti definizioni:
Definizione
Sia (A, +, ·) un anello.
Un elemento a ∈ A si dice divisore dello zero se
1
2
a 6= 0
∃ b ∈ A, b 6= 0, tale che a · b = 0
Un elemento a ∈ A si dice unitario se è invertibile rispetto a ·,
ovvero nel monoide (A, ·).
Se (A, +, ·) è un anello unitario non banale, l’insieme dei suoi
elementi unitari è denotato con il simbolo U (A), quindi
U (A) = {a ∈ A | ∃b ∈ A t.c. a · b = 1A = b · a}.
Si noti che 1A ∈ U (A), quindi U (A) è sempre non vuoto.
Esempi
L’anello degli interi (Z, +, ·) ha come unici elementi unitari
−1 e 1, cioè
U (Z) = {−1, 1}.
Infatti: è ovvia l’inclusione {−1, 1} ⊂ U (Z); viceversa, se
a ∈ U (Z), esiste b ∈ Z tale che a · b = 1. Ciò implica a|1.
Poiché 1|a, per una proprietà della divisibilità, si ha
a = ±1.
Esempi
L’anello degli interi (Z, +, ·) ha come unici elementi unitari
−1 e 1, cioè
U (Z) = {−1, 1}.
Infatti: è ovvia l’inclusione {−1, 1} ⊂ U (Z); viceversa, se
a ∈ U (Z), esiste b ∈ Z tale che a · b = 1. Ciò implica a|1.
Poiché 1|a, per una proprietà della divisibilità, si ha
a = ±1.
Se A = Mn (K), allora
U (A) = GLn (K) = {B ∈ Mn (K) | det(B) 6= 0}.
Esempi
L’anello degli interi (Z, +, ·) ha come unici elementi unitari
−1 e 1, cioè
U (Z) = {−1, 1}.
Infatti: è ovvia l’inclusione {−1, 1} ⊂ U (Z); viceversa, se
a ∈ U (Z), esiste b ∈ Z tale che a · b = 1. Ciò implica a|1.
Poiché 1|a, per una proprietà della divisibilità, si ha
a = ±1.
Se A = Mn (K), allora
U (A) = GLn (K) = {B ∈ Mn (K) | det(B) 6= 0}.
Sappiamo che [a]n ∈ Zn è invertibile nel monoide (Zn , ·) se
e solo se MCD(a, n) = 1. Pertanto
U (Zn ) = {[a]n ∈ Zn | MCD(a, n) = 1}.
Si fa notare che |U (Zn )| = ϕ(n).
Ad esempio, in (Z4 , +, ·) le classi unitarie sono 1̄, 3̄ e quindi
U (Z4 ) = {1̄, 3̄}. Nell’anello (Z8 , +, ·) ci sono ϕ(8) = 4 elementi
unitari che sono 1̄, 3̄, 5̄, 7̄ e quindi U (Z8 ) = {1̄, 3̄, 5̄, 7̄}.
Ad esempio, in (Z4 , +, ·) le classi unitarie sono 1̄, 3̄ e quindi
U (Z4 ) = {1̄, 3̄}. Nell’anello (Z8 , +, ·) ci sono ϕ(8) = 4 elementi
unitari che sono 1̄, 3̄, 5̄, 7̄ e quindi U (Z8 ) = {1̄, 3̄, 5̄, 7̄}.
Osservazione
In un campo (A, +, ·) tutti gli elementi non nulli sono unitari
ossia U (A) = A∗ , mentre non ci possono essere divisori dello
zero. Se, infatti, per assurdo a ∈ A fosse un divisore dello zero,
sarebbe a 6= 0 ed inoltre esisterebbe b ∈ A, b 6= 0 tale che
a · b = 0. Moltiplicando per b−1 si avrebbe
(a · b) · b−1 = 0 · b−1 = 0
ovvero
a = a · (b · b−1 ) = 0
che dà luogo a contraddizione.
Come conseguenza, risulta:
Proposizione
Se l’anello (Zn , +, ·) è un campo, allora n è un numero primo.
Come conseguenza, risulta:
Proposizione
Se l’anello (Zn , +, ·) è un campo, allora n è un numero primo.
In generale:
Proposizione
Sia (A, +, ·) un anello unitario. Se a ∈ A non nullo è invertibile,
allora a non è un divisore dello zero.
Come conseguenza, risulta:
Proposizione
Se l’anello (Zn , +, ·) è un campo, allora n è un numero primo.
In generale:
Proposizione
Sia (A, +, ·) un anello unitario. Se a ∈ A non nullo è invertibile,
allora a non è un divisore dello zero.
Osservazioni
Il viceversa della Proposizione precedente non è sempre
vera. Infatti, 2 non è divisore dello zero in Z, ma non è
neanche invertibile. L’ anello (Z, +, ·) non ha divisori dello
zero tra i suoi elementi: per questo motivo viene chiamato
dominio di integrità.
L’implicazione inversa vale solo se A contiene un numero
finito di elementi. Si dimostra, infatti, che in un anello
commutativo finito ogni elemento non nullo è divisore dello
zero oppure è unitario. Per esempio sappiamo che in Zn , n
non primo, sono unitari gli elementi rappresentati da interi
positivi coprimi con n che sono in numero di ϕ(n); i
rimanenti n − 1 − ϕ(n) elementi non nulli di Zn sono quindi
divisori dello zero. Pertanto
[a]n ∈ Zn è divisore dello zero se e solo se MCD(a, n) 6= 1.
Anelli prodotto diretto
Sono dati due anelli (A, +, ·) e (B, +0 , ∗). A partire dalle
operazioni su A e B, si può munire il prodotto cartesiano A × B di
struttura di anello, definendo due leggi di composizione interne
come segue: ∀(x, y), (z, t) ∈ A × B
(x, y) ⊕ (z, t) = (x + z, y +0 t),
(x, y) (z, t) = (x · z, y ∗ t).
Tale struttura prende il nome di prodotto diretto o somma diretta
degli anelli (A, +, ·) e (B, +0 , ∗) e viene indicato con A ⊕ B. Si
vede facilmente che verifica gli assiomi di anello; il suo elemento
neutro rispetto a ⊕ è 0A×B = (0A , 0B ).
Si verifica facilmente che:
Se A e B sono anelli unitari con unità 1A e 1B
rispettivamente, allora A ⊕ B è unitario con unità (1A , 1B ).
Si verifica facilmente che:
Se A e B sono anelli unitari con unità 1A e 1B
rispettivamente, allora A ⊕ B è unitario con unità (1A , 1B ).
Se A e B sono anelli commutativi, allora anche A ⊕ B è
commutativo.
Si verifica facilmente che:
Se A e B sono anelli unitari con unità 1A e 1B
rispettivamente, allora A ⊕ B è unitario con unità (1A , 1B ).
Se A e B sono anelli commutativi, allora anche A ⊕ B è
commutativo.
Se A e B sono anelli unitari, allora una coppia (a, b) ∈ A × B
è invertibile nella somma diretta se e solo se a e b sono
entrambi invertibili nei rispettivi anelli. In altri termini, si ha:
U (A × B) = U (A) × U (B).
Si verifica facilmente che:
Se A e B sono anelli unitari con unità 1A e 1B
rispettivamente, allora A ⊕ B è unitario con unità (1A , 1B ).
Se A e B sono anelli commutativi, allora anche A ⊕ B è
commutativo.
Se A e B sono anelli unitari, allora una coppia (a, b) ∈ A × B
è invertibile nella somma diretta se e solo se a e b sono
entrambi invertibili nei rispettivi anelli. In altri termini, si ha:
U (A × B) = U (A) × U (B).
In particolare, da ciò segue che, se U (A) e U (B) sono finiti,
allora U (A × B) è finito e
|U (A × B)| = |U (A)| · |U (B)|.
Inoltre se a ha come inverso a−1 e b ha inverso b−1 , allora
(a, b) ha inverso (a−1 , b−1 ), ovvero (a, b)−1 = (a−1 , b−1 ).
Anello dei polinomi a coefficienti in un campo
Definizione
Sia (K, +, ·) un campo. Diremo
Anello dei polinomi a coefficienti in un campo
Definizione
Sia (K, +, ·) un campo. Diremo
polinomio a coefficienti in K
Anello dei polinomi a coefficienti in un campo
Definizione
Sia (K, +, ·) un campo. Diremo
polinomio a coefficienti in K
ogni espressione formale del tipo
p(x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0
dove a0 , a1 , . . . , an sono elementi di K e x è un simbolo formale
che prende il nome di indeterminata. Se an 6= 0 allora si dice che
f ha grado n e si denota con deg(f ). In tal caso, il coefficiente an
si dice coefficiente direttivo; se an = 1 il polinomio f si dice
monico.
L’insieme di tutti i polinomi nell’indeterminata x a coefficienti in K
si denota con K[x]. Si osservi che K ⊂ K[x] dato che i polinomi di
grado nullo altro non sono che gli elementi di K.
Operazioni tra polinomi
Somma. Siano p(x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 e
q(x) = bm xm + bm−1 xn−1 + · · · + b1 x + b0 due polinomi con
an 6= 0 e bm 6= 0. La somma di p e q è definita come segue:
se n ≤ m si pone
p+q = bm xm +· · ·+bn+1 xn+1 +(an +bn )xn +· · ·+(a1 +b1 )x+(a0 +b0 ),
se m ≤ n si pone
p+q = an xn +· · ·+am+1 xm+1 +(am +bm )xm +· · ·+(a1 +b1 )x+(a0 +b0 )
Operazioni tra polinomi
Somma. Siano p(x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 e
q(x) = bm xm + bm−1 xn−1 + · · · + b1 x + b0 due polinomi con
an 6= 0 e bm 6= 0. La somma di p e q è definita come segue:
se n ≤ m si pone
p+q = bm xm +· · ·+bn+1 xn+1 +(an +bn )xn +· · ·+(a1 +b1 )x+(a0 +b0 ),
se m ≤ n si pone
p+q = an xn +· · ·+am+1 xm+1 +(am +bm )xm +· · ·+(a1 +b1 )x+(a0 +b0 )
Prodotto. Il prodotto di p e q è il polinomio
p·q = (an bm )xn+m +· · ·+(a0 b2 +a1 b1 +a2 b0 )x2 +(a0 b1 +a1 b0 )x+(a0 b0
Si può provare che K[x], munito di tali due operazioni, risulta
essere un anello commutatico unitario, con unità data dal
polinomio costante 1K[x] = 1K