Matematica e sistemi elettorali

Matematica e sistemi elettorali
1. Introduzione
Dati n elettori x1 , . . . , xn e a1 , . . . , ak opzioni, assumendo che ogni elettore abbia
un profilo di preferenza, cioè un ordinamento delle k opzioni, un sistema di voto è
una procedura che, dai profili di preferenza individuale, costruisce un profilo di
preferenza comune, detto scelta sociale.
A diversi sistemi di voto possono corrispondere scelte sociali diverse; il problema
nasce con la presenza di un numero di opzioni maggiore di due. Infatti, nel caso
con due opzioni, il problema è decisamente più semplice: la scelta sociale è l’opzione preferita dalla maggioranza assoluta degli elettori (o l’indifferenza in caso
di pareggio). Vediamo alcune proprietà che questa procedura ha che potremmo
richiedere essere valide in generale.
1.1. Anonimato. Ogni voto conta allo stesso modo, cioè, scambiando le preferenze di due elettori la scelta sociale non cambia.
1.2. Neutralità. Ogni opzione è trattata allo stesso modo dalla procedura elettorale: se la scelta sociale è a1 e tutti gli elettori scambiano di posto a1 e a2 nei loro
profili di preferenza, allora la scelta sociale diventa a2 .
1.3. Monotonia. Se la scelta sociale è a o indeterminata e uno o più elettori
innalzano a nella loro scala di preferenze, allora la scelta sociale è a.
Si può dimostrare che, nel caso di scelta con due opzioni, l’unica procedura che
verifica le proprietà di anonimato, neutralità e monotonia è il voto a maggioranza
assoluta.
T EOREMA 1.1 (May). Nel caso di scelta con due opzioni l’unica procedura che verifica le
proprietà di anonimato, neutralità e monotonia è il voto a maggioranza assoluta.
Dimostrazione. Siano a e b le due opzioni, e indichiamo con N ( a) (risp. N (b)) il
numero degli elettori la cui scelta è a (risp. b).
1
2
Se N ( a) = N (b) allora la scelta sociale deve essere l’indifferenza; infatti se fosse a
e tutti i votanti cambiassero il loro voto, allora essa dovrebbe restare a per l’anonimato, ma diventare b per la neutralità.
Ora, per la proprietà di monotonia segue che se N ( a) > N (b) la scelta sociale è a,
mentre se N (b) > N ( a) allora la scelta sociale è b.
Il sistema a maggioranza assoluta tra due opzioni ha altre proprietà che sembrano
naturali per un sistema di voto.
1.4. Coerenza. Se il corpo elettorale è diviso in due gruppi, la scelta sociale
del primo gruppo è a, e cosı̀ pure la scelta sociale del secondo gruppo, allora la
scelta sociale dell’intero corpo elettorale è pure a.
1.5. Sincerità. Nessun elettore ha interesse a votare per un’opzione che non
sia la sua preferita.
Andiamo ora ad esaminare diversi sistemi di voto, in relazione alle proprietà
considerate.
2. Esempi di sistemi di voto
2.1. Maggioranza semplice.
E SEMPIO 2.1. Il docente di Geometria III propone per l’esame di giugno le seguenti date:
A) 11 giugno,
B) 19 giugno,
C) 27 giugno.
I profili di preferenza degli studenti sono i seguenti:
ABC
24
CBA
19
BCA
12
Se la votazione avviene col metodo della maggioranza relativa, il risultato del voto dovrebbe
essere il seguente:
A
B
C
24
12
19
Vediamo su questo esempio alcune possibili critiche al sistema di voto che utilizza
la maggioranza relativa:
1) Se si facessero confronti a coppie tra le diverse opzioni, il risultato sarebbe
il seguente:
MATEMATICA E SISTEMI ELETTORALI
B>A
C>A
B>C
31 a 24
31 a 24
36 a 19
3
cioè A perderebbe tutti i confronti diretti. Questa critica fu mossa da
Condorcet al sistema di maggioranza relativa. Egli sosteneva che la scelta
dovrebbe cadere sull’opzione vittoriosa in tutti i confronti diretti. Ma,
come egli realizzò, tale opzione potrebbe non esistere1.
2) L’esempio mostra anche che la votazione a maggioranza relativa non ha
la proprietà di sincerità: gli studenti del secondo gruppo, realizzando
di essere in minoranza potrebbero votare l’opzione B per evitare la più
sgradita opzione A.
2.2. Conteggio di Borda. Il criterio di maggioranza relativa considera, ai fini
della scelta, solo la prima preferenza espressa dall’elettore, e non l’intero profilo
di preferenza. Borda propose a tal fine un sistema di voto strutturato nel modo
seguente: l’elettore indica il suo profilo di preferenza completo tra le n opzioni
disponibili, e il suo voto viene conteggiato attribuendo n − 1 punti all’opzione
preferita, n − 2 alla seconda e cosı̀ via. Vediamo un esempio.
E SEMPIO 2.2. Quattro comuni devono decidere dove verrà costruito un nuovo ospedale
di zona. Gli elettori dei quattro comuni sono percentualmente ripartiti nel modo seguente:
A
B
C
D
35%
24%
22%
19%
Le distanze fra i paesi sono schematizzate dal seguente diagramma:
La votazione si effettua col metodo di Borda. Se la votazione venisse fatta unicamente
utilizzando il criterio di vicinanza, l’esito sarebbe il seguente:
A
B
C
D
A
ABCD
105
70
35
0
B
BCDA
0
72
48
24
C
CDBA
0
22
66
44
D
DCBA
0
19
38
57
105
183
187
125
1Si veda più avanti l’esempio 2.3
4
e l’ospedale verrebbe costruito a C, penalizzando i cittadini di A che pure costituiscono la
maggioranza relativa.
I cittadini di A, prevedendo questo esito potrebbero mettere C all’ultimo posto nelle loro
liste di preferenze, per ottenere almeno che l’ospedale si faccia a B. Ma anche i cittadini
di D, riflettendo sul problema, potrebbero decidere di mettere C in prima posizione, per
rafforzarne la candidatura.
Analogamente, i cittadini di B e C, convinti che si tratti di una partita a due, potrebbero
far scendere C e B di un posto nella loro lista.
Il sorprendente risultato di queste strategie sarebbe il seguente:
A
B
C
D
A
ABDC
105
70
0
35
B
BDCA
0
72
24
48
C
CDAB
22
0
66
44
D
CDBA
0
19
57
38
127
161
147
165
L’ospedale si farebbe quindi a D, che non è la prima scelta di nessuno.
la discussione dell’esempio mostra chiaramente che il metodo di Borda non ha la
proprietà di sincerità.
2.3. Confronti successivi. Il prossimo metodo che esaminiamo è basato sui
confronti a coppie, ma non considera tutti i confronti possibili. Viene fissato un
ordine tra le opzioni, e si vota tra le prime due. La vincente affronta la terza e cosı̀
via.
E SEMPIO 2.3. Il Dipartimento di Matematica dell’Università dell’Insubria ha risorse per
acquisire un nuovo docente. Ci sono tre proposte:
A) Un concorso a Ricercatore di tipo b) in Fisica Matematica;
B) Un concorso a Professore Associato in Analisi;
C) Una chiamata dall’estero di un Ricercatore di tipo b) in Analisi.
I profili di preferenza dei membri del Dipartimento sono i seguenti:
ABC
ACB
BAC
BCA
CAB
CBA
8
15
23
5
14
13
Il Direttore decide di far votare nel modo seguente: per prima cosa scegliere tra i due
possibili posti da Ricercatore di tipo b) , e successivamente confrontare il vincente con il
posto da Associato.
Il risultato è il seguente: A batte C per 46 a 32. Si procede quindi a decidere tra A e B, e il
risultato è che B batte A 41 a 37, quindi l’opzione scelta è la B.
MATEMATICA E SISTEMI ELETTORALI
5
Se invece il Direttore avesse scelto di votare in un altro modo, scegliendo per prima cosa tra
i due possibili posti in Analisi, la situazione sarebbe stata la seguente: C avrebbe battuto B
42 a 36, e avrebbe poi perso con A per 46 a 32.
Se infine si fosse scelto per prima cosa tra i due concorsi, B avrebbe superato A e sarebbe
poi stato battuto da C.
L’esempio fornisce un’illustrazione del paradosso di Condorcet: A vince con C, C
vince con B, e B vince con A.
A<B
B<C
C<A
37 a 41
36 a 42
32 a 46
Osserviamo inoltre che il sistema di voto non è neutrale, perché le opzioni possono
essere favorite o sfavorite dall’ordine di votazione. Si può inoltre verificare che
esso non verifica neppure le condizioni di monotonia e di sincerità.
2.4. Ballottaggio. Vediamo ora un esempio di votazione a doppio turno; nel
primo turno si scelgono due candidati a maggioranza semplice, poi nel secondo si
vota a maggioranza assoluta tra i due candidati scelti al primo turno.
Chiaramente un tale sistema presenta le manchevolezze del sistema a maggioranza semplice, e non verifica la condizione di sincerità. Mostriamo con un esempio
che non soddisfa neppure quella di coerenza.
E SEMPIO 2.4. 100 giornalisti e 100 allenatori devono scegliere il miglior giocatore dell’ultima Champions League, tra Messi, Cristiano Ronaldo, Diego Costa e Lampard.
I profili di preferenza dei giornalisti sono i seguenti:
MDCL
DMLC
CMLD
LCDM
30
40
22
8
Passano il primo turno Messi e Diego Costa, e al ballottaggio, Messi vince per 52 a 48.
I profili di preferenza degli allenatori sono i seguenti:
MLDC
DMCL
LMDC
CDML
29
22
7
42
Passano il turno Messi e Cristiano Ronaldo, e al ballottaggio, Messi vince per 58 voti a 42.
Se giornalisti e allenatori votassero tutti insieme il risultato sarebbe molto diverso: il
risultato del primo turno sarebbe:
C
D
M
L
64
62
59
15
6
e andrebbero quindi al ballottaggio Cristiano Ronaldo e Diego Costa, che vincerebbe il
ballottaggio 128 a 72.
Si può mostrare che questo sistema elettorale non soddisfa neanche la condizione
di monotonia.
3. Il Teorema di Arrow
Nel 1951 Kenneth Arrow nella sua tesi di dottorato diede una definizione assiomatica di sistema di voto, richiedendo le seguenti proprietà
(1) Universalità: il sistema di voto deve assegnare ad ogni insieme di preferenze individuali una preferenza collettiva.
(2) Democraticità = Anonimato: Scambiando le preferenze di due elettori la
scelta sociale non cambia.
(3) Unanimità: Se tutti i votanti preferiscono a1 ad a2 , allora la società deve
preferire a1 ad a2 .
(4) Indipendenza dalle alternative irrilevanti La scelta sociale tra le opzioni
a1 e a2 è determinata solo dalle preferenze relative ad a1 e a2 .
Sia X = { x1 , . . . , xn } l’insieme (finito) degli elettori e sia A = { a1 , . . . , ak } l’insieme
(finito) delle opzioni. Un profilo di preferenza individuale su A è una funzione
biunivoca u : A → {1, . . . , k}, cioè un ordine sulle opzioni. L’opzione ai è preferita
all’opzione a j nel profilo u se e solo se u( ai ) > u( a j ).
Sia U l’insieme dei profili di preferenza individuale. Un profilo di preferenza
collettivo è un elemento u = (u1 , . . . un ) di P := U n = U × · · · × U (n volte).
Una funzione di scelta sociale secondo Arrow è quindi una funzione f : P → U.
Nota bene: Ad essere pignoli quello che si cerca è una funzione di scelta sociale
che possa essere utilizzata per qualsiasi coppia di insiemi finiti X e A, quindi si
tratta di una famiglia di funzioni f n,k .
L’universalità si traduce nel fatto che tali funzioni esistano per ogni possibile
coppia di interi n, k.
L’anonimato si traduce imponendo che (omettiamo i pedici di f per semplicità)
f ( u 1 , . . . , ui , . . . , u j , . . . , u n ) = f ( u 1 , . . . , u j , . . . , ui , . . . , u n ) ,
mentre l’unanimità si formalizza chiedendo che,
ui ( a 1 ) > ui ( a 2 )
∀i
=⇒
f (u)( a1 ) > f (u)( a2 );
in particolare
f (u, u, . . . , u) = u.
MATEMATICA E SISTEMI ELETTORALI
7
Per formalizzare l’ultima proprietà, dato un profilo di preferenza u : A → {1, . . . , k},
associamo ad esso un nuovo profilo, u : { a1 , a2 } → {1, 2}, ponendo
u( a1 ) > u( a2 ) ⇐⇒ u( a1 ) > u( a2 ).
Possiamo ora esprimere l’indipendenza dalle alternative irrilevanti chiedendo
che
f n,2 (u)( a1 ) > f n,2 (u)( a2 ) ⇐⇒ f n,k (u)( a1 ) > f n,k (u)( a2 ).
T EOREMA 3.1 (Arrow). Nel caso con tre o più opzioni non esistono procedure di voto che
soddisfano i quattro assiomi.
Dimostrazione. Osserviamo innanzitutto che, grazie all’assioma di unanimità,
possiamo ridurci al caso n = 3; infatti, se una procedura di voto esistesse per
n > 3, restringendola ai profili che permutano solo le prime tre opzioni, otterremo
una procedura di voto per n = 3.
Denotiamo d’ora in poi le opzioni di voto con A, B e C.
Possiamo rappresentare P come un insieme di sei punti su una circonferenza,
vista come il quoziente di un intervallo rispetto all’identificazione degli estremi,
ordinati nel modo seguente.
In particolare notiamo che passando da un profilo di preferenza a quello adiacente
si scambiano solo due preferenze.
Possiamo quindi considerare U ⊂ I = [0, 1]/∼, dove ∼ è la relazione di equivalenza che identifica gli estremi dell’intervallo, e quindi P ⊂ [0, 1]n , modulo la
relazione di equivalenza che identifica punti tali che la differenza delle coordinate
sia una ennupla di numeri interi.
Consideriamo in I n il segmento che ci fa passare da un punto u = (u1 , . . . , un ) di
P ad un altro punto di P , v = (v1 , . . . , vn ), che sia adiacente ad u, nel senso che
esiste un indice i tale che, per j 6= i u j = v j , mentre ui e vi differiscono per uno
scambio di candidati che non altera la posizione del terzo.
Per l’indipendenza dalle alternative irrilevanti, o f (v) = f (u) o f (v) è adiacente
a f (v) nel quoziente I /∼; in particolare f può essere estesa con continuità all’immagine nel quoziente del segmento congiungente u e v.
E’ possibile (dividendo ogni n-cubo di lato 1/6 con i vertici in P in simplessi)
mostrare che f può essere estesa con continuità a tutto I n / ∼, cioè che esiste una
applicazione continua f : I n / ∼ = (S1 )n → S1 che estende la funzione di scelta
sociale.
Sia Q = ((1, 0), . . . , (1, 0)) ∈ (S1 )n , sia β : I → S1 il cappio
β(t) = (cos(2πt), sin(2πt))
8
e consideriamo i cappi
αi (t) = ((1, 0), . . . , β(t), . . . , (1, 0))
Sia f ∗ il morfismo indotto da f tra i gruppi fondamentali:
f ∗ : π ((S1 )n , Q) → π (S1 , f ( Q));
La classe del cappio δ : I → (S1 )n definito ponendo
δ (t) = (β(t), β(t), . . . , β(t)),
(la diagonale) viene mandata in f ∗ ([δ ]) = [β], per l’unanimità. Per l’anomimato
f ∗ ([αi ]) = f ∗ ([α j ]) per ogni i, j. Essendo [β] un generatore di π (S1 , Q) esiste un
intero m tale che f ∗ ([αi ]) = f ∗ ([α j ]) = m[β].
Ma in (S1 )n il cappio δ è omotopo al cappio α1 ∗ α2 ∗ · · · ∗ αn , e quindi le immagini
delle classi corrispondenti devono essere le stesse:
[β] = f ∗ ([δ ]) = f ∗ ([α1 ∗ α2 ∗ · · · ∗ αn ]) = n f ∗ ([α1 ]) = nm[β],
che implica n = 1, ottenendo una contraddizione.
4. Il teorema di Gibbard - Satterthwaite
Consideriamo ora come funzione di scelta sociale una famiglia funzione g : P →
A. cioè la funzione non associa ai profili di preferenza collettivi un profilo di
preferenza individuale, ma solo l’opzione vincitrice.
D EFINIZIONE 4.1. Una funzione di scelta sociale g : P → A è non manipolabile se per ogni elettore xi e ogni coppia di profili u = (u1 , . . . , ui , . . . , un ),
u0 = (u1 , . . . , ui0 , . . . , un ) di ha ui ( g(u0 )) ≤ ui ( g(u)); si dice invece dittatoriale
se esiste un elettore xi tale che ui ( g(u)) ≥ ui ( a j ) per ogni u ∈ P e ogni a j ∈ A.
Il Teorema di Gibbard - Satterthwaite asserisce che
T EOREMA 4.2. Una funzione di scelta sociale tra tre o più opzioni, unanime e non
manipolabile è dittatoriale.
L EMMA 4.3. (Monotonia) Sia g una funzione di scelta sociale non manipolabile e u ∈ P
tale che g(u) = a. Allora, se v ∈ P è tale che, per ogni b ∈ A e i ∈ {1, . . . , n}
vi ( a ) ≥ vi ( b )
se
ui ( a ) ≥ ui ( b ) .
si ha g(v) = a.
D IMOSTRAZIONE . E’ sufficiente dimostrare l’asserto nel caso in cui i due profili differiscano solo per il profilo di preferenza di un elettore. Sia x j tale elettorePer
la non manipolabilità si ha
u j (b) = u j ( g(v)) ≤ u j ( g(u)) = u j ( a).
MATEMATICA E SISTEMI ELETTORALI
9
v j ( a) = v j ( g(u)) ≤ v j ( g(v)) = v j (b).
Dalla prima disuguaglianza e dalle ipotesi del Lemma, segue che v j ( a) ≥ v j (b),
perciò v j ( a) = v j (b), e quindi, essendo v j una funzione biunivoca a = b.
D IMOSTRAZIONE DEL T EOREMA 4.2. Cominciamo con il fare alcune osservazioni che discendono dalle proprietà di g. Sia u = (u1 , . . . , ui , . . . , un ).
(1) Se g(u) = a e v è un profilo ottenuto da u migliorando in alcuni profili
individuali la posizione di b e di nessun altro elemento, allora g(v) = a
oppure g(v) = b.
E’ conseguenza diretta della monotonia: se g(v) = c 6= a, b, allora
anche g(u) = c per la monotonia.
(2) Se l’elemento a è ultimo nel profilo ui e g(u) = a, allora, per ogni profilo
ui , posto u = (u1 , . . . , ui , . . . , un ) si ha g(u) = a.
Se g(u) = b 6= a, si avrebbe ui ( g(u)) = ui (b) > ui ( a) = ui ( g(u)).
(3) Se l’elemento a è primo nel profilo ui e g(u) = b 6= a, allora, per ogni
profilo ui , posto u = (u1 , . . . , ui , . . . , un ) si ha g(u) 6= a.
Se g(u) = a, si avrebbe ui ( g(u)) = ui ( a) > ui (b) = ui ( g(u)).
Sia ora u un profilo in cui a è l’ultima scelta di tutti. Allora g(u) 6= a, perché altrimenti per la (2) si avrebbe g(u) = a anche per un profilo in una situazione in cui
al primo posto di tutti i profili individuali c’è un elemento b 6= a, contraddicendo
la proprietà di unanimità.
Siano ui i profili ottenuti da u portando a al primo posto in tutti i profili individuali
u j con j ≤ i. Poiché g(u) 6= a e g(un ) = a esiste r tale che g(ui ) 6= a per i < r e
g(ur ) = a. Chiamiamo l’individuo xr pivot per l’opzione a.
Applicando la (2) e la (3) otteniamo che
(4) Per ogni u in cui a è al primo posto per j ≤ r, si ha che g(u) = a
Si applica la (2) per j > r;
(5) Per ogni u in cui a è all’ultimo posto per j ≥ r, si ha che g(u) 6= a
Si applica la (3) per j < r.
Vogliamo ora mostrare che, se u è tale che a è all’ultimo posto in tutti i profili
individuali, e la prima scelta dell’elettore pivot xr è b, allora g(u) = b. Sia per
assurdo g(u) = c 6= b.
10
x1
x2
...
xr −1 xr
xr +1 . . .
xn
a
a
b
u
g(u) = c
a
a
...
a
a
...
Modifichiamo u facendo salire a al primo posto per tutti i profili ui con i < r e
ottenendo u0 . Per la (1) e la (5) abbiamo ancora g(u0 ) = c.
u’
x1
x2
...
xr −1 xr
a
a
...
a
xr +1 . . .
xn
a
a
b
g(u’) = c
a
...
Costruiamo u00 facendo salire a al secondo posto per il pivot. Per la (1) si ha
g(u00 ) = a oppure g(u00 ) = c. In questa seconda ipotesi, il Pivot, scambiando b
ed a manipolerebbe il sistema, quindi g(u00 ) = a.
u”
x1
x2
...
xr −1 xr
a
a
...
a
xr +1 . . .
xn
a
a
b
a
g(u”) = a
...
Costruiamo ora u000 facendo salire b al secondo posto per i < r e al primo per i ≥ r;
per la (3) applicata a ritroso e la (2) si ha g(u000 ) = a.
x1
u”’
g(u”’) = a
x2
...
xr −1 xr
xr +1 . . .
xn
a
a
b
b
...
a
b
b
...
b
...
b
a
a
...
a
Consideriamo ora un’altra situazione: sia v un profilo in cui a è sempre all’ultimo
posto e b sempre al primo. Chiaramente g(v) = b per l’unanimità.
MATEMATICA E SISTEMI ELETTORALI
v
11
x1
x2
...
xr −1 xr
xr +1 . . .
xn
b
b
...
b
b
b
...
b
a
a
...
a
a
a
...
a
g(v) = b
Modifichiamo v facendo salire a al primo posto per tutti i profili ui con i < r e
ottenendo v0 . Per la (1) e la (5) abbiamo ancora g(v0 ) = b.
v’
g(v’) = b
x1
x2
...
xr −1 xr
xr +1 . . .
xn
a
a
...
a
b
b
...
b
b
b
...
b
a
a
...
a
Costruiamo v00 facendo salire a al secondo posto per il pivot. Per la (3) applicata a
ritroso a b si ha g(v00 ) = b.
v”
g(v”) = b
x1
x2
...
xr −1 xr
xr +1 . . .
xn
a
a
...
a
b
b
...
b
b
b
...
b
a
a
...
a
Ma v00 = u000 , e g(u000 ) = a, e abbiamo ottenuto una contraddizione.
Abbiamo quindi mostrato che, se u è tale che a è all’ultimo posto in tutti i profili
individuali, e la prima scelta dell’elettore pivot xr è b, allora g(u) = b.
Dato ora un profilo w qualsiasi in cui b è al primo posto per l’elettore pivot xr
possiamo mostrare che g(w) = a oppure g(w) = b. Infatti possiamo passare da w
a w0 portando a all’ultimo posto. Per quanto appena mostrato si avrà g(w0 ) = b.
Torniamo ora al profilo w facendo salire la posizione di a fino a quella iniziale e
applichiamo la (1), che ci fornisce l’asserto.
Consideriamo ora un’opzione c 6= a, e sia xs l’elettore pivot per l’opzione c. Consideriamo il seguente profilo u:
12
u
x1
x2
...
xr −1 xr
xr +1 . . .
xn
a
a
...
a
a
b
...
b
c
c
...
c
c
c
...
c
g(u) = a
Per quanto precedentemente mostrato g(u) dev’essere la prima scelta del pivot xs
oppure c, e quindi troviamo che s ≤ r. Per simmetria otteniamo che r ≤ s, cioè
l’individuo xr è un pivot per ogni opzione. In particolare per un profilo w in cui b
è al primo posto per xr troviamo che g(w) = a oppure b perché xr è il pivot di a,
ma anche che g(w) = c oppure b perché xr è il pivot di c, quindi g(w) = b è xr è
un dittatore.
Riferimenti bibliografici
[1] Jean-Pierre Benoit. The Gibbard-Satterthwaite theorem: a simple proof Econom. Lett. 69 (2000), no. 3,
319–322.
[2] Davide Ferrario. Geometria e topologia della scelta sociale. www.matapp.unimib.it/ ferrario/var/ar.pdf
[3] Marco Li Calzi. Matematica ed esercizio della democrazia - L’urna di Pandora In “Matematica e Cultura
2002’, Springer, 97-107