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Leonardo "Pisano" Fibonacci
ESISTE DAVVERO UNA RELAZIONE TRA L'ARTE MUSICALE E LA LOGICA MATEMATICA?
Il primo che ipotizzò questa dirompente teoria fu un tale Leonardo Fibonacci (1171 -1230), il cui lavoro
venne preso sul serio anche da Leonardo Da Vinci.
E' vero che l'arte, soprattutto quella musicale, ha un rapporto stretto con la logica? O meglio: esiste una
sua relazione diretta con un modello matematico? La risposta potrebbe essere si!
Chi conosce un poco la pratica musicale, sa infatti che essa è regolata da norme che coinvolgono
fenomeni, sia naturali che costruiti, di attrazione e repulsione tra suoni.
Più semplicemente si può affermare che alcuni di questi suoni, per cause che non staremo qui a spiegare,
si "incastrano" o si equilibrano tra loro meglio o peggio rispetto ad altri, finendo per determinare
nell'orecchio umano, e a seconda dei casi, un senso di compiutezza o di instabilità. Se in seguito tali
combinazioni vengono comprese entro norme ben definite, sarà possibile per il musicista costruire a
tavolino delle frasi musicali, o addirittura intere composizioni il cui distìnguo risiederà unicamente nella
sua sensibilità e capacità di espressione. Insomma, conoscendo le regole della musica, anche chi artista
non è potrebbe riuscire a scrivere una sonata, una ciaccona, o una sinfonia. Troppo semplice? Riduttivo?
Si e no allo stesso tempo.
- Si perché se davvero fosse così facile ognuno di noi riuscirebbe a scrivere il Concerto per Violino e
Orchestra di Sibelius, oppure una Fuga di Bach semplicemente miscelando le note tra loro secondo
queste famose regole matematiche.
- No perché in determinati casi, e in tempi diversi sono stati enunciati dei principi tanto arditi da
infondere in più di qualche irriducibile idealista (oltre a molti miei colleghi) un sentimento di vero
sconforto. Nello specifico si tratta dell'osservazione che l'essenza dell'arte può nascere da un modello o
proporzione matematica, a prescindere dalla sua "Idea".
Ciò sta a significare che, se un compositore miscela adeguatamente una serie di misure tra loro, e il tutto
senza "transitare" attraverso la propria coscienza (intesa come vena artistica, emozione, sentimento),
inevitabilmente il risultato finale sarà positivo sia dal punto della forma ma, (e sia) udite, udite, anche da
quello artistico. Fu un matematico italiano vissuto nel "200, tale Leonardo Fibonacci il primo che giunse a
questa conclusione. Egli osservò che il concetto di "bellezza" - nel suo significato più esteso - sottostava
ad una relazione logica atta di proporzioni costanti, per esempio: se tra la fronte e il naso di un individuo
passano tot. centimetri, e se tra bocca e gli zigomi tot. altri, sicuramente e inequivocabilmente ci
troveremo davanti ad un viso armonico, proporzionato, dolce, insomma bello! Per la musica, per la
pittura, la prosa vale lo stesso, basterà semplicemente adottare il modello per diventare compositori,
pittori e drammaturghi.
Follia pura? Uno scherzo? Non proprio se consideriamo che il grande Leonardo Da Vinci prese il lavoro di
Fibonacci talmente sul serio da impostare alcune delle sue invenzioni basandosi proprio sulla sua "serie
numerica"; e che dire della notizia che presso la prestigiosa università musicale americana "Julliard
School" qualcuno, provando ad inserire un certo numero di lavori bachiani in un software matematico di
computer, ha ottenuto con sorpresa come risultato una griglia fatta di numeri, un canovaccio
preorganizzato. Coincidenza?
Forse, però ad oggi nessuno ha ancora spiegato in maniera convincente come J. S. Bach riuscisse
materialmente a comporre un Oratorio (ovvero una composizione musicale di grandi dimensioni) a
cadenza quasi settimanale. Ma diremo di più.
Uno dei maggiori filosofi del nostro tempo, Herbert Marcuse affermava che un componimento letterario,
ma anche una semplice poesia possono produrre un risultato dal contenuto "morale" di prim'ordine
combinando aggettivi, vocaboli e verbi solamente in relazione alla propria armonia estetica e fonetica, ed
il tutto a prescindere dal loro senso intrinseco. Ma sappiamo che anche Leopardi ricercava nelle proprie
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opere la proporzione, la fonia, la cifra. Ed il nostro giudizio? Difficile a dire. Saremmo troppo presuntuosi.
Però osserviamo, e proprio osservando ci ricordiamo che qualcuno molto più importante di noi come
Teddy Riley (uno dei maggiori compositori contemporanei) senza nessun dubbio afferma "lo sono come
un costruttore di case, datemi gli elementi, le note che dosiderate e io compongo un'opera", sappiamo
inoltre che il musicista cubano Leo Brouwer scrive i suoi celebri "Pajage" dedicandoli alla famosa "serie
aurea" di Fibonacci.
Fantasie? Disinformazione? Realtà artefatta? Chi può dirlo!
Del resto è vero: ricondurre ogni opera d'arte, ogni melodia ad una serie di numeri è molto difficile da
dimostrare, però quando Fibonacci ebbe l'intuizione correva l'anno 1112, ora siamo nel 2002 ed ancora
se ne parla.
Giorgio Tortora
PROPORZIONI & FASCINO
La bellezza? E' un teorema Marilyn perfetta, Lollo meglio della Schiffer.
Autore: AMANDOLA GIAN PIERO
ARGOMENTI: ANTROPOLOGIA E ETNOLOGIA, INCHIESTA
NOMI: FIBONACCI LEONARDO
LUOGHI: ITALIA
NOTE: Criteri di bellezza e bruttezza
L'ESTATE, con i bagnanti seminudi sparsi su tutte le spiagge, ci porta inesorabilmente a fare i conti con
il corpo, e quindi con la bellezza (e la bruttezza, ovviamente). Conti nei quali la scienza non sembra
possa aiutarci. No, la scienza non «capisce» la bellezza. Il computer non sa leggere l'attrazione di un
volto, gli antropologi non possono individuare lo zigomo o la pupilla che incanta, non si possono fare
banche dati, campionare le narici o gli incarnati che danno le maggiori armonie al volto. Infatti le due
indagini iperscientifiche, informatizzate, che la rivista inglese «Nature» ha tentato qualche mese fa
provano inequivocabilmente (la prima) che la bellezza umana è data dai caratteri «medi» della
popolazione, e (la seconda) che la bellezza umana è data dai caratteri «estremi» della popolazione. La
cosa curiosa è che, in qualche modo, sembra sia la teologia ad azzeccare di più con la bellezza. Esiste
da secoli un modo, una unità di misura sorprendentemente efficace per valutare la bellezza, ed è
quella di un teologo-matematico medioevale, Leonardo Fibonacci detto «il Pisano». Lui la chiama
«sectio divina», proporzione divina; già, perché Fibonacci nella bellezza cerca Dio. Lo cerca con la
matematica, che allora era cabala, un insieme di segni donati dal Dio per svelare la sua volontà. Con le
sue teofanie in numeri, Fibonacci scopre «il rapporto geometrico e numerico che esprime la bellezza
delle forme umane e in generale della natura». Intendiamoci, non stiamo riproponendo la solita
contrapposizione fra scienza e religione, fra secolarizzazione tecnologica e trascendenza. Qui la
situazione è diversa: i «numeri di Dio» di Fibonacci sono già in uso nelle sale operatorie dei chirurghi
estetici, nelle loro riviste di aggiornamento. Ma hanno anche un loro spazio nei saggi che si occupano
del bello nell'arte, in architettura, nonché in natura.
Come conferma Paolo Gotte, chirurgo estetico che dirige la clinica universitaria di Verona: «Non solo la
proporzione elaborata da Fibonacci è quella che seguiamo quando col bisturi dobbiamo ricostruire
l'armonia di un corpo o di un volto. Quella proporzione la si ritrova anche studiando l'arte dei templi
greci o la perfezione delle farfalle o delle conchiglie». La «sectio aurea» di Fibonacci si esprime
semplicemente in questa proporzione: fatta uguale a 1 la parte più corta, la parte più lunga deve
essere pari a 1,618 perché ci sia il bello. Ovvero la parte corta è pari allo 0,618 della parte lunga. Quindi
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chi voglia sottoporsi a questo speciale «giudizio di Dio» sappia che il suo volto per essere apollineo,
perfettamente bello, deve avere queste proporzioni: fatta pari a 1 la lunghezza della parte sopra
l'occhio, la parte sotto, quella fra il centro dell'orecchio e il mento deve essere 1,1618. E, altro
esempio, considerata pari a 1 la distanza fra le narici e il centro della bocca, dal centro della bocca al
termine del mento deve esserci 1, 618 volte quella distanza. Misuratevi. E se temete di non farcela ad
essere sufficientemente precisi, esiste un compasso apposito, il compasso di Goeringer, forse più
ispirato dei computer di «Nature», per appurare l'esistenza o meno delle misure della bellezza. Ci si
può aiutare anche con un recente numero della rivista guida della chirurgia estetica americana «Clinic
in plastic surgery» che ospita un saggio del «bisturi d'oro» Ricketts, intitolato appunto «Proporzioni
divine nell'estetica facciale», e teso a individuare «in modo millimetrico» le anomalie di mandibole,
nasi, zigomi, dalle Fibonacci - proporzioni. Ma se qualcuno non avesse ancora capito che la bellezza è
questione strana, arcana, orfica e un po' folle, aspetti di sapere come Fibonacci è arrivato a trovarne la
misura. Lui è partito dai conigli, sì, studiando, non si sa perché, la riproduzione dei conigli. Sta lì, in
contemplazione, di fronte a un recinto di conigli: una coppia ogni mese genera un'altra coppia che a
sua volta genera un'altra coppia. E conta la progressione del numero delle coppie, rileva alcune
particolarità di questa progressione, lui pensa a segnali magici di Dio.
La più sorprendente è questa. Arrivati alla quindicesima tornata, le coppie di conigli sono 610, la
tornata prima erano 377. Se dividiamo 610 per 377 otteniamo 1,618, bene, da questa volta in avanti,
1,618 si ripeterà sempre quando dividiamo la tornata seguente con quella precedente. Fino all'infinito.
Pensare che qui ci sia il codice dell'essere è come minimo da visionario. E «il Pisano» un po' doveva
esserlo, per forza. Eppure, il padre dell'astronomia, Keplero, assicura di trovare i «numeri» di Fibonacci
nelle orbite dei corpi celesti. Leonardo disegna i suoi studi del corpo umano e dipinge la Gioconda
seguendo la proporzione 1 sta a 1,618, come dimostrano gli studi dell'inglese Clark. Dai saggi di
Colmans sull'«armonia in natura» fino a quelli di Borissavlievic sui capolavori dell'architettura, la
«sectio divina» di Fibonacci la fa da padrona. Si costruiscono specie di prontuari del chirurgo estetico in
cui tutto di noi è catalogato, combinato in rapporti aurei dall'«asse palpebrale» alla «rima orale», dalla
«spina nasale posteriore» al «bordo inferiore del ramo mandibolare» e giù fino alle ultime falangi dei
piedi, in un susseguirsi classificatorio che può dare l'idea di un'onnipotente precisione o l'angoscia di
essere finiti in un labirinto che irride ogni nostra possibilità di capire.
Come in un romanzo di Umberto Eco, la scientificità moderna o postmoderna ci porta dritti dritti a
numerologie e teurgie medioevali. Le elaborazioni duecentesche in latino maccheronico di un teologo
dei numeri, che coi suoi riti cerca l'armonia voluta da Dio, entrano nelle sofisticatissime sale operatorie
dove si rifà, si rimodella l'uomo del 2000. Ma se guardiamo con l'occhio e i criteri di Fibonacci i belli per
mestiere del nostro tempo (top model, attrici, attori), che cosa succede, professor Gotte? «Guardi, spiega il chirurgo - io credo che il grande merito di Fibonacci sia quello di spiegare il mistero del mito di
Marilyn, sì di Marilyn Monroe, bellezza di intramontabile culto; secondo le nostre analisi il suo è un
volto che ha una elevatissima rispondenza alle proporzioni " divine" di Fibonacci, mentre invece quella
che oggi si dice sia la donna più bella del mondo, e cioè Claudia Schiffer, ha una evidente sproporzione
fra la mandibola troppo piccola e il resto del volto; i truccatori, che conoscano Fibonacci o no, lo
vedono e infatti cercano di ridurre l'evidenza dello zigomo. Altro volto, per intenderci, che sembra
abbastanza ispirato alle proporzioni auree è quello della "Venere imperiale" Gina Lollobrigida. E pur
con qualche esuberanza delle parti molli, cioè dei tessuti di guance e zigomi, è abbastanza "alla
Fibonacci" anche il volto di Ornella Muti. La Muti e la Lollo rientrano nelle proporzioni di Fibonacci
nella misura in cui ci entrano le bellezze mediterranee, da Magna Grecia». Sarebbe interessante
pensare ai «numeri di Dio» come metro di misura nei profani concorsi di bellezza o per i diabolici
cachet delle top model e così via. Il chirurgo plastico Paolo Santanché cerca di porre qualche argine ai
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diktat di Fibonacci: «Indubbiamente chi lavora sulle ossa ha molto bisogno di avere proporzioni auree
da rispettare, invece chi, come noi chirurghi plastici, interviene sulle parti molli, cioè su muscoli, carne,
pelle, ha a che fare più che con perfezioni a raggiungere, con imperfezioni da assemblare. Con gli
accidenti della vita e del sistema nervoso. Ha a che fare con la bulimia che gonfia o l'anoressia che
svuota e così via. Il problema quindi per noi è più che altro costruire un aspetto che sia confacente alla
personalità, alla psiche del paziente. E la bellezza aurea alla Fibonacci deve fare i conti con la "neurobellezza" con quel farsi e rifarsi il corpo a seconda degli umori, delle "lune" e delle stagioni della vita».
Il fatto è però che l'implacabile Fibonacci arriva anche alla psiche umana. «Forse Dio è un geometra»,
titola un testo inglese di autori vari e dimostra che, universalmente, sono certe proporzioni che
vediamo nelle cose e negli uomini a rasserenarci. Ed è antichissima la ricerca delle misteriose
geometrie della materia che aiutano l'appagamento psichico e l'armonia esistenziale. Meglio degli
psicofarmaci. Gian Piero Amandola
Le proprietà matematiche della serie di Fibonacci
Leonardo Pisano detto Fibonacci fu senza dubbio il più grande matematico italiano del Medioevo.
Bonaccio era un impiegato di dogana per la Repubblica di Pisa che lavorava in Algeria, nell'Africa
settentrionale,e intratteneva rapporti di lavoro con le popolazioni arabe di quella regione. Poiché il suo
lavoro consisteva nel tenere registri e fare i conti, egli aveva notato come i procedimenti aritmetici
usati dagli Arabi fossero di gran lunga più comodi dei suoi e, volendo avviare il figlio Leonardo allo
stesso tipo di lavoro, pensò bene di dargli degli insegnanti arabi e di farlo viaggiare, affinchè
familiarizzasse con la cultura araba, in particolare con l'aritmetica.
Fu così che Leonardo, figlio di Bonaccio (Fibonacci) studiò il sistema di numerazione indo-arabico.
Nel 1202 la pubblicazione del suo testo "Liber abaci" fu la prima importante tappa per la diffusione nel
mondo occidentale del sistema decimale posizionale a tutt'oggi in uso in Europa.
Nel Liber Abaci Fibonacci espone i fondamenti di algebra e matematica usati nei paesi arabi e
attraverso un problema diventato famoso introduce la serie numerica che a tutt'oggi porta il suo
nome.
Il problema esposto nel Liber Abaci riguarda sette vecchie che andavano a Roma, ognuna con sette
muli, ogni mulo carico di sette sacchi, ogni sacco contenente sette pani, per ogni pane sette coltelli,
ogni coltello in sette foderi. Ci si domanda quanti oggetti sono stati trasportati globalmente e l'autore
fornisce la risposta applicando il concetto della "serie geometrica" con valore iniziale 7 e ragione 7, i
cui 6 termini devono essere sommati e come totale si ottiene 137.256 oggetti (comprese le 7 vecchie).
La successione di questi numeri è chiamata successione di Fibonacci. Essa viene ripresa in
considerazione più tardi da diversi matematici e riveste ancora un notevole interesse nella
matematica.
Risulta necessaria una riflessione sulle proprietà matematiche della serie di Fibonacci che, in quanto
tale è relativamente semplice; partendo dal numero 1 si sviluppa come segue:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, ecc
Si possono constatare una serie impressionante di proprietà e relazioni:
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a) la somma di due numeri contigui forma il numero successivo della sequenza: 2+3=5; 13+21=34;
89+144=233; e così via;
b) il limite che tende ad infinito del rapporto tra il numero e il successivo è uguale a 0,61803;
c) il limite che tende ad infinito del rapporto tra un numero e il suo precedente è uguale a 1,618;
d) il rapporto di un numero per il secondo che lo precede è sempre pari (tendente a) 2,618, che è il
quadrato di 1,618;
e) se dividiamo qualsiasi numero per il secondo che lo precede nella sequenza, otterremo sempre due
come risultato, e come resto il numero immediatamente precedente il divisore. Per esempio:
144/55=2 con il resto di 34;
f) escludendo 1 e 2, ogni numero della serie, moltiplicato per 4, fornisce un risultato, che aggiunto ad
un numero di una nuova serie, dà un'altra serie di Fibonacci.
Ovvero: 3*4=12+1=13 5*4=20+1=21 8*4=32+2=34 13*4=52+3=55 e così via…. Nell'esempio si notano
tre serie di Fibonacci, ottenute grazie all'impiego del quattro come fattore. Queste relazioni sono
possibili in quanto, il rapporto fra un numero e il terzo precedente, tende al limite a 4,236, dove 0,236
è sia il reciproco, sia la differenza rispetto a 4 (4,236-4). g) se mettiamo a confronto la serie di Fibonacci
con una serie di numeri naturali, noteremo che ogni qualvolta in quest'ultima si raggiunge un numero
primo, lo stesso accade nella serie di Fibonacci:
NUMERI NATURALI
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
NUMERI DI FIBONACCI 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597
h) la somma di tutti i numeri della serie di Fibonacci fino ad un punto scelto, più 1, è uguale al numero
di Fibonacci situato due posti in avanti;
i) la somma partendo da 1, dei quadrati dei numeri della serie, fino ad un punto qualsiasi, è uguale
all'ultimo numero considerato moltiplicato per il successivo:
j) il quadrato di un numero di Fibonacci meno il quadrato del secondo numero precedente è sempre un
numero della successione:
k) il quadrato di qualsiasi numero della serie è uguale al numero che lo precede, per il numero che lo
segue, più o meno 1. Il più o meno si alterna lungo la sequenza:
Bellezza ed estetica della serie di Fibonacci
La successione di Fibonacci è onnipresente in natura. Quasi tutti i fiori hanno tre o cinque o otto o
tredici o ventuno o trentaquattro o cinquantacinque o ottantanove petali: i gigli ne hanno tre, i
ranuncoli cinque, il delphinium spessone ha otto, la calendula tredici, l'astro ventuno, e le margherite
di solito ne hanno trentaquattro o cinquantacinque o ottantanove.
Troviamo i numeri di Fibonacci anche nei fiori di girasole. Le piccole infiorescenze al centro di
girasole, che poi si trasformano in semi, sono disposte lungo due insiemi di spirali che girano
rispettivamente in senso orario e antiorario. Spesso le spirali orientate in senso orario sono
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trentaquattro e quelle orientate in senso antiorario cinquantacinque; ma a volta sono
rispettivamente cinquantacinque e ottantanove, o addirittura ottantanove e centoquarantaquattro,
e si tratta sempre di numeri di Fibonacci consecutivi (il cui rapporto si approssima alla sezione aurea).
Se si disegna un rettangolo con i lati che stanno in rapporto aureo fra di loro, lo si può dividere in un
quadrato e un altro rettangolo, simile a quello grande nel senso che anche i suoi lati stanno fra loro
nel rapporto aureo. A questo punto il rettangolo minore può essere diviso in un quadrato e un
rettangolo che ha pure i lati in rapporto aureo, e così via. La curva che passa per vertici consecutivi di
questa successione di rettangoli è una spirale che troviamo spesso nelle conchiglie e nella
disposizione dei semi del girasole sopra descritta e delle foglie su un ramo.
Questo rettangolo ha proporzioni esteticamente molto gradevoli. La sezione aurea non è presente
solo nella natura ma anche nell'arte, come ideale classico della bellezza. C'è qualcosa di divino in
essa, tant'è vero che l'odierna Fibonacci Society è diretta da un sacerdote e ha sede presso il St.
Mary's College in California. La società si dedica alla ricerca di esempi di sezione aurea e di numeri di
Fibonacci nella natura, in arte e in architettura, basandosi sulla convinzione che il rapporto aureo sia
un dono di Dio al mondo. La sezione aurea è presente come ideale di bellezza nel Partenone di
Atene; il rapporto fra larghezza e lunghezza nel Partenone corrisponde alla sezione aurea.
Nella Grande Piramide di Giza, costruita molti secoli prima del Partenone, il rapporto fra l'altezza di
una faccia e metà di un lato della base corrisponde ancora una volta alla sezione aurea.
Il papiro egizio Rhynd parla di "proporzione sacra", e diverse statue antiche, al pari di molti dipinti
rinascimentali, presentano proporzioni uguali alla sezione aurea, o divina proporzione.
La sezione aurea viene ritenuta un ideale di bellezza che vale anche al di là dei fiori e
dell'architettura. In una lettera scritta alla società qualche anno fa, un membro della Fibonacci
Society spiegava che una persona nota per cercare la sezione aurea un po' ovunque aveva chiesto a
diverse coppie di fare un esperimento: il marito avrebbe dovuto misurare l'altezza dell'ombelico della
moglie, dividendo poi la misura ottenuta per la statura. Secondo lo scrivente, il risultato si avvicinava
a 0,618 per tutte le coppie.
Il mondo secondo Fibonacci
Il matematico pisano Leonardo Fibonacci (1175), ricordato soprattutto per via della sua sequenza
divenuta ormai celeberrima, fece parte della cerchia dei dotti che gravitava attorno alla corte di
Federico II di Svevia. Durante i suoi numerosi viaggi, dopo avere assimilato le conoscenze matematiche
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del mondo arabo, pubblicò intorno al 1202 il “Liber Abaci”, con cui si
propose di diffondere nel mondo scientifico occidentale le regole di calcolo
note agli Arabi, ovvero il sistema decimale ad oggi in uso in Europa. Un
problema esposto nel Liber Abaci riguarda sette vecchie che andavano a
Roma, ognuna con sette muli, ogni mulo carico di sette sacchi, ogni sacco
contenente sette pani, per ogni pane sette coltelli, ogni coltello in sette
foderi. Ci si domanda quanti oggetti sono stati trasportati globalmente e
l'autore fornisce la risposta applicando il concetto della serie geometrica
con valore iniziale 7 e ragione 7, i cui 6 termini devono essere sommati e
come totale si ottiene 137.256 oggetti (comprese le 7 vecchie). La
successione di questi numeri è chiamata successione di Fibonacci. Fibonacci
fu il primo algebrista cristiano, il più grande matematico del medioevo, il
maggior genio scientifico del XIII secolo in Italia; è del 1220 il De practica
geometriae, nel quale applicò il nuovo sistema aritmetico alla risoluzione di
problemi geometrici, un trattato di geometria e trigonometria. Il decreto della Repubblica di Pisa gli
conferì il titolo di Discretus et sapiens magister Leonardo Bigollo, a riconoscimento dei grandi progressi
che apportò alla matematica. Fibonacci morì qualche tempo dopo il 1240, presumibilmente a Pisa. La
sequenza di Fibonacci si compone di una serie di numeri (0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144...) e
presenta interessanti proprietà:
La somma di due numeri contigui forma il successivo numero della sequenza (es. 3+5=8; 13+21=34;
55+89=144; ecc...);
Il rapporto tra due termini successivi si avvicina molto rapidamente a 0,618;
Il rapporto fra un numero e il suo precedente tende a 1,618. Questo numero, indicato dalla lettera
greca PHI, è detto rapporto aureo: è un numero irrazionale con molte curiose e misteriose proprietà...;
Il rapporto di un numero per il secondo che lo precede è sempre pari (tendente a) 2,618, che è il
quadrato di 1,618;
Il quadrato di qualsiasi numero della serie è uguale al numero che lo precede, per il numero che lo
segue, più o meno 1. Il più o meno si alterna lungo la sequenza;
Se dividiamo qualsiasi numero per il secondo che lo precede nella sequenza, otterremo sempre due
come risultato, e come resto il numero immediatamente precedente il divisore. Per esempio: 8934=2
con il resto di 21;
Il quadrato di un numero di Fibonacci meno il quadrato del secondo numero precedente è sempre
un numero della successione;
Il massimo comun divisore di due numeri di Fibonacci è ancora un numero di Fibonacci;
Escludendo 1 e 2, ogni numero della serie, moltiplicato per 4, fornisce un risultato, che aggiunto ad
un numero di una nuova serie, dà un'altra serie di Fibonacci.
Esempio: 3x4=12+1=13; 5x4=20+1=21; 8x4=32+2=34; 13x4=52+3=55; 21x4=84+5=89 e così via…
Dato un segmento AC, si fissi un punto intermedio B in modo che lo divida in parti diseguali, le parti
sono dette in rapporto aureo quando il tratto più corto BC sta al tratto più lungo AB come il tratto più
lungo AB sta al segmento intero AC.
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La proporzione è così espressa:
Per avere l'idea della proporzione, supponiamo che il segmento sia pari ad 1, possiamo così calcolare la
misura dei due tratti AB e BC:
uguagliando i termini e ricordando che AC = 1, si ottiene
il rapporto tra i due segmenti è pari a:
Consideriamo un rettangolo con i lati in rapporto aureo AD/AB = 1,618. Se al suo interno tracciamo un
quadrato, il rettangolo minore restante avrà i lati in rapporto aureo AB/AE = 1,618.
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Se ripetiamo questa operazione un numero infinito di volte, otterremo sempre dei rettangoli con i lati
in rapporto aureo tra loro...
Dato un pentagono regolare ABCDE con lati uguali ed angoli uguali, tracciamo una
diagonale BE che unisca due vertici qualsiasi del pentagono. Se dividiamo la
lunghezza della diagonale BE per la lunghezza di un lato AB, otterremo il valore
1,618 ! Se tracciamo ora una seconda diagonale AD all’interno del
pentagono, ogni diagonale sarà divisa in due parti: il rapporto tra
le due parti e tra la parte maggiore e l'intera diagonale sarà pari a
PHI = 1,618. Se tracciamo tutte le diagonali del pentagono, esse
formeranno una stella a cinque punte o
pentangolo al cui
interno apparirà un pentagono invertito che sarà
in rapporto aureo
PHI con il primo pentagono... Il pentagono
stellato
è
sicuramente la figura geometrica che più di ogni
altra rappresenta,
all'infinito, la sezione aurea. E' forse per questo motivo che questo
fu scelto come
simbolo della scuola pitagorica; a questa figura è stata attribuita
per
millenni
un’importanza misteriosa probabilmente per la sua proprietà di
generare la sezione aurea , da cui è nata.
Se all’interno di un rettangolo aureo si disegna un quadrato con lato uguale al lato minore del
rettangolo, il rettangolo differenza sarà anch’esso un
rettangolo aureo. L'operazione andrà ripetuta più di volte al
fine di ottenere un effetto visivo adeguato. Puntiamo il
compasso sul vertice del quadrato che giace sul lato lungo del
rettangolo e tracciamo l’arco che unisce gli estremi dei due
lati che formano l'angolo scelto. Ripetiamo l'operazione per
ogni quadrato disegnato in modo da creare una linea
continua, otterremo così la spirale aurea.
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Sin dai tempi più antichi esiste una proporzione divina (o sezione aurea) che è stata presa in
considerazione per ottenere una dimensione armonica delle cose. Dalla geometria all'architettura,
dalla pittura alla musica possiamo osservare come tale rappresentazione corrisponda ad un rapporto
che è stato definito pari a 1.618. Gli esempi in natura di elementi che richiamano la serie di Fibonacci
sono numerosissimi.Tra i primi utilizzatori di questo rapporto ci furono
sicuramente i Greci. Il rapporto tra lunghezza e larghezza nei templi greci era di
preferenza 1,618. La pianta del Partenone di Atene, ad esempio, è un rettangolo
con lati di dimensioni tali che la lunghezza è pari alla radice di 5 volte la larghezza,
mentre nell'architrave in facciata il rettangolo aureo è ripetuto più volte. In
un'anfora greca (IV secolo a.C.) il diametro maggiore sta al diametro del collo
come 1 : 0,618; il listello all'altezza dei manici divide l'altezza totale in una
proporzione aurea che si riduce anche nel rapporto tra la fascia
decorata a figure e la parte superiore del vaso.
Percorrendo il lungo pendio che
conduce all’altopiano di Giza, nei pressi
del Cairo, pare di scorgere in
lontananza tre montagne dai contorni
particolarmente nitidi. Man mano che
ci avviciniamo, però, riconosciamo quelle gigantesche forme per quello
che sono: piramidi. Ed una volta giunti a ridosso, la loro mole è ancora
più impressionante. Lo spazio visivo è occupato per metà dalla pietra e
per metà dal cielo. La più alta è la Grande Piramide di Cheope. La centrale appartiene a Chefren ed è
solo leggermente più piccola, mentre la più bassa è la tomba di Micerino. La piramide egizia di Cheope,
costruita molti secoli prima del Partenone, ha una base di 230 metri ed una altezza di 145: il rapporto
base/altezza corrisponde a 1,58, molto vicino a 1,618.
In una della prime opere dedicate a Re Artù, la Vita Merlini (circa 1140) di Geoffrey di Monmouth, si
parla di un complesso circolare, composto da
enormi pietre, la Chorea Gigantum (Danza dei
giganti), che si trovava in Africa, poi era stato
portato in Irlanda da un popolo di giganti. Qui era
stato sistemato sul Monte Killarus, come
monumento funebre per quattrocentosessanta
nobili soldati di Aurelio Ambrosius uccisi dai
Sassoni. Re Uther Pendragon tentò di trasportarlo in Inghilterra, ma l'impresa era superiore alle sue
forze, così dovette rivolgersi al mago Merlino. Questi, con l'aiuto degli angeli, lo trasferì nella piana di
Salisbury, dove esiste tuttora con il nome di Stonehenge. Nei megaliti di Stonehenge, le superfici
teoriche dei due cerchi di pietre azzurre e di Sarsen, stanno tra loro nel rapporto di 1,618
Nelle arti del passato, in molte opere di Leonardo da Vinci, Piero della Francesca, Bernardino Luini,
Sandro Botticelli, si ricorreva spesso alla sezione aurea (la divina proportione), considerata quasi la
chiave mistica dell'armonia nelle arti e nelle scienze. Beethoven, nelle “33 variazioni sopra un valzer di
Dabelli”, suddivise la sua composizione in parti corrispondenti corrispondenti ai numeri di Fibonacci.
La successione di Fibonacci è onnipresente in natura.. Se moltiplichiamo per 1,618 la distanza che in
una persona adulta va dai piedi all'ombelico, otteniamo la sua statura. Così la distanza dal gomito alla
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mano (con le dita tese) moltiplicata per 1,618, da la lunghezza totale del braccio. La distanza che va dal
ginocchio all'anca moltiplicata per 1,618, dà la lunghezza della gamba, dall'anca al malleolo. Anche
nella mano i rapporti tra le falangi delle dita medio e anulare sono aurei, così il volto umano è tutto
scomponibile in una griglia i cui rettangoli hanno i lati in rapporto aureo.
Quasi tutti i fiori hanno tre, cinque, otto, tredici, ventuno,
trentaquattro, cinquantacinque o ottantanove petali: i gigli ne hanno
tre, i ranuncoli cinque, il delphinium spessone ne ha otto, la calendula
tredici, l'astro ventuno e le margherite di solito ne hanno
trentaquattro, cinquantacinque o ottantanove.
Troviamo i numeri di Fibonacci anche nei fiori di girasole. Le piccole
infiorescenze
al centro di girasole, che poi si trasformano in semi, sono disposte
lungo
due
insiemi di spirali che girano rispettivamente in senso orario e
antiorario.
Spesso le spirali orientate in senso orario sono trentaquattro e quelle
orientate
in
senso antiorario cinquantacinque; ma a volta sono rispettivamente
cinquantacinque e ottantanove, o addirittura ottantanove e centoquarantaquattro, e
si tratta sempre di numeri di Fibonacci consecutivi (il cui rapporto si approssima alla
sezione aurea)
Diversi tipi di conchiglie (ad esempio quella del Nautilus) hanno una formaa spirale
fatta secondo i numeri di Fibonacci. In botanica, la disposizione a frattali degli
elementi che compongono le foglie degli alberi, seguono un diagramma logaritmico
analogo ai suoni emessi da un monocordo.
L'albero genealogico di un fuco presenta chiaramente la sequenza di
Fibonacci. In uno sciame le api non sono tutte uguali: ci sono le api
(femmine) e i fuchi (maschi). Le femmine sono tutte generate
dall’unione dell’ape regina con un fuco e si dividono in operaie e
regine. Le api regine sono api operaie nutrite con pappa reale ma,
diversamente dalle operaie, sono in grado di produrre uova. I
maschi nascono dalle uova dell ape regina. Le femmine hanno 2
genitori: l’ape regina e un fuco, mentre i fuchi hanno un solo
genitore, l’ape regina. Se prendiamo in esame’l' albero genealogico
di un fuco. 1 fuco ha 1 genitore che a sua volta ha 2 genitori che a loro volta hanno
3 genitori che a loro volta hanno 5 genitori e così via.
In condizioni ideali una coppia di conigli è in grado di riprodursi
già un mese dopo la nascita. La femmina è in grado di generare
una seconda coppia di conigli già un mese dopo
l’accoppiamento con il maschio. Prendiamo una coppia di conigli
e mettiamola in un recinto. Supponiamo che i nostri conigli non
muoiano mai. Come si vede dal grafico all’inizio
dell’esperimento abbiamo 1 coppia di conigli. Dopo un mese
rimaniamo sempre con 1 coppia di conigli. Dopo 2 mesi la
femmina ha generato un’altra coppia di conigli, quindi nel
recinto abbiamo 2 coppie. Al terzo mese la prima coppia ne ha
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generata un’altra, mentre la seconda non è stata in grado di procreare, quindi nel recinto ci sono 3
coppie di conigli. Dopo un altro mese, le prime due coppie generano altre due coppie mentre la terza
non procrea, quindi nel recinto ci sono 5 coppie di conigli e cosi via di mese in mese...Questo
esperimento assume come ipotesi che i conigli non muoiano e che generino solo un altro paio di
conigli alla volta.
Negli oggetti quotidiani possiamo trovare alcuni esempi di sezione aurea, dalle schede
telefoniche alle carte di credito e bancomat, dalle carte SIM dei cellulari alle
musicassette: sono tutti rettangoli aurei con un rapporto tra base ed altezza pari a
1,618.
Tutti i pianeti interni distano dal Sole nelle proporzioni della successione di Fibonacci (Sole 1, Mercurio
1, Venere 2, Terra 3, Marte 5) e quelli esterni distano ugualmente da Giove (Giove 1, Saturno 1, Urano
2, Nettuno 3, Plutone 5); la distanza fra Marte e Giove è pari ad un decimo di quella fra il Sole e l'
ultimo corpo astrale del Sistema Solare, cioè Plutone...
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